Przekątna, pole powierzchni i objętość sześcianu w zadaniach

Pole trapezu \(KLMN\) jest równe \(\displaystyle \frac{63\sqrt{3}}{8}\).

Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), a wysokość ostrosłupa przez \(H\). Niech \(O\) będzie środkiem podstawy; punkty \(K\) i \(L\) są środkami krawędzi \(AD\) i \(BC\), więc odcinek \(KL\) przechodzi przez \(O\) i \(|KL|=a\). Niech \(N_0\) będzie środkiem krawędzi \(CD\). Wtedy \(SN_0\) jest wysokością ściany \(CDS\), a \(ON_0=\frac a2\). Płaszczyzna \(\gamma\) zawiera prostą \(KL\) i jest nachylona do podstawy pod kątem \(30^{\circ}\). Z warunku prostopadłości \(\gamma\) do ściany \(CDS\) wynika, że w przekroju płaszczyzną \(SON_0\) prosta przekroju jest prostopadła do \(SN_0\). Kąt między \(SN_0\) a podstawą oznaczmy \(\beta\); wtedy \(\beta+30^{\circ}=90^{\circ}\), czyli \(\beta=60^{\circ}\) i \[H=\frac a2\tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt3}2.\] Z objętości ostrosłupa \[\frac13a^{2}\cdot\frac{a\sqrt3}2=36\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a^{3}=216\quad\Longrightarrow\quad a=6,\qquad H=3\sqrt3.\] Przyjmijmy układ współrzędnych o początku w \(O\), w którym \(K=(-3,0,0)\), \(L=(3,0,0)\), \(C=(3,3,0)\), \(D=(-3,3,0)\), \(S=(0,0,3\sqrt3)\). Płaszczyzna \(\gamma\) zawiera oś \(x\) i tworzy z podstawą kąt \(30^{\circ}\), więc ma równanie \(z=\frac{y}{\sqrt3}\). Punkt \(M\) leży na \(CS\): dla \(M=C+t(S-C)=(3-3t,\,3-3t,\,3\sqrt3t)\) warunek \(3\sqrt3t=\frac{3-3t}{\sqrt3}\) daje \(t=\frac14\), więc \[M=\left(\tfrac94,\tfrac94,\tfrac{3\sqrt3}4\right),\qquad N=\left(-\tfrac94,\tfrac94,\tfrac{3\sqrt3}4\right),\qquad |MN|=\frac92.\] Wysokość trapezu to odległość prostych \(KL\) i \(MN\) w płaszczyźnie \(\gamma\): \[h=\sqrt{\left(\tfrac94\right)^{2}+\left(\tfrac{3\sqrt3}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81+27}{16}}=\frac{3\sqrt3}2.\] Pole trapezu: \[P=\frac{|KL|+|MN|}2\cdot h=\frac{6+\frac92}2\cdot\frac{3\sqrt3}2=\frac{63\sqrt3}8.\] **Odpowiedź.** \(P_{KLMN}=\frac{63\sqrt3}8\)

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. **Pierwszy etap** polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania: **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). **2 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy: \(a=6\). **Drugi etap** polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\). **2 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\). **Trzeci etap** polega na obliczeniu pola trapezu. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie pola przekroju ostrosłupa: \(\frac{63\sqrt{3}}{8}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.2) Zdający posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami. X.R2) Zdający wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

**B.** \(2\sqrt2\)

Trójkąt \(ACH\) jest równoboczny, a jego bok jest przekątną ściany sześcianu, czyli ma długość \(a\sqrt2\). Jego pole wynosi \[\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{2}=4\sqrt3.\] Stąd \(a^2=8\), więc \(a=2\sqrt2\). Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** X.3) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami. VIII.3) Zdający korzysta z własności wielokątów foremnych.

\[(27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\] Iloczyn jest równy \(0\), gdy co najmniej jeden czynnik jest równy \(0\). Z równania \(27x^{3}+1=0\) otrzymujemy \(x=-\frac{1}{3}\), a z równania \(x^{2}-4=0\) otrzymujemy \(x=-2\) lub \(x=2\). Zatem \(x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden z czynników, więc \[27x^3+1=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0.\] Z pierwszego równania \(x^3=-\tfrac1{27}\), czyli \(x=-\tfrac13\) (sześcian jest funkcją różnowartościową, więc to jedyny pierwiastek rzeczywisty). Z drugiego \(x^2=4\), czyli \(x=-2\) lub \(x=2\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-2,-\tfrac13,2\right\}\).

1 pkt: zapisanie równań 27x³ + 1 = 0 i x² − 4 = 0, rozłożenie całości na czynniki albo poprawne rozwiązanie jednego z tych równań. 2 pkt: poprawna metoda i wszystkie rozwiązania: −2, −1/3, 2.

1 pkt – zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania \(x^2-4=0\).

\[a_{n}=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\]

Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego suma wszystkich wyrazów istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q|<1\); dopiero przy tym założeniu wolno pisać \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Zatem \[\frac{a_1}{1-q}=14,\qquad a_1=14(1-q).\] Sześciany wyrazów, czyli \(a_1^{3},a_1^{3}q^{3},a_1^{3}q^{6},\ldots\), też tworzą ciąg geometryczny — o pierwszym wyrazie \(a_1^{3}\) i ilorazie \(q^{3}\). Z \(|q|<1\) wynika \(|q^{3}|<1\), więc i ten szereg jest zbieżny: \[\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392.\] Podstawiamy \(a_1=14(1-q)\) i korzystamy z \(1-q^{3}=(1-q)(1+q+q^{2})\): \[\frac{2744(1-q)^{3}}{(1-q)(1+q+q^{2})}=392,\qquad \frac{7(1-q)^{2}}{1+q+q^{2}}=1.\] Stąd \(7-14q+7q^{2}=1+q+q^{2}\), czyli \(6q^{2}-15q+6=0\), a po podzieleniu przez \(3\) \[2q^{2}-5q+2=0,\qquad q=2\ \text{albo}\ q=\frac12.\] Wartość \(q=2\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Dla \(q=\frac12\) otrzymujemy \(a_1=14\cdot\frac12=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie \(a_1\) w zależności od \(q\): \(a_1=14(1-q)\) ALBO zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) oraz \(q\), które wynikają z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów wszystkich wyrazów ciągu, np. \(\frac{a_1}{1-q}=14\) oraz \(\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)), np. \(\frac{\left[14\cdot(1-q)\right]^{3}}{1-q^{3}}=392\), \(\frac{a_1^{3}}{1-\left(1-\frac{a_1}{14}\right)^{3}}=392\). **3 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_n=7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_n=14\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje równanie z jedną niewiadomą \(q\), które nie ma rozwiązań spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jako sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

**A.** \(9\sqrt3\)

Z objętości sześcianu \(a^{3}=729\) otrzymujemy \(a=9\). Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\), więc \[d=9\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=9\sqrt3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] graniastosłupów […].

**C.** \(\dfrac65\)

Bezpośrednie podstawienie daje symbol nieoznaczony \(\tfrac00\), więc rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. W liczniku stosujemy wzór na różnicę sześcianów: \[x^{3}-8=(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right),\qquad 2x^{2}+2x-12=2\left(x^{2}+x-6\right)=2(x-2)(x+3).\] Dla \(x\neq2\) można skrócić czynnik \(x-2\): \[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}{2(x-2)(x+3)}=\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+2x+4}{2(x+3)}=\frac{4+4+4}{2\cdot5}=\frac{6}{5}.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.1R) Zdający oblicza granice funkcji […].

Szukana odległość wynosi \(\frac{a\sqrt6}{6}\).

Niech \(S\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\). Punkt \(S\) leży na przekątnej \(BD\), więc odcinek \(PS\) leży w płaszczyźnie \(BDP\). Mamy \[|CS|=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad |CP|=\frac a2,\qquad |PS|=\sqrt{|CS|^2+|CP|^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.\] Przekątna \(BD\) jest prostopadła do płaszczyzny \(CPS\), dlatego wysokość \(h\) trójkąta \(CPS\) opuszczona na \(PS\) jest odległością punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\). Pole trójkąta obliczamy dwiema metodami: \[P_{CPS}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac a2=\frac{a^2\sqrt2}{8}\] oraz \[P_{CPS}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot h.\] Po porównaniu otrzymujemy \[h=\frac{a\sqrt6}{6}.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **2 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(CPS\) i wyrażenie go za pomocą szukanej odległości \(h\), albo równoważny zaawansowany etap innej metody **1 pkt** – obliczenie \(|PS|=\frac{a\sqrt3}{2}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań. **Wymagania szczegółowe:** X.2 R) Zdający wyznacza przekroje sześcianu.

Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy \[(a+2b)^{3}-8a^{2}b-16ab^{2}=(a-2b)^{2}(a+2b).\] Ponieważ \(a>0\), \(b>0\), mamy \(a+2b>0\), a z warunku \(b\neq\frac{a}{2}\) wynika \((a-2b)^{2}>0\). Iloczyn jest więc dodatni, co dowodzi nierówności.

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) \(a_{3}\) + \(6a2b\) + \(12ab2\) + \(8b3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) \(a_{3}\) − \(2a2b\) − \(4ab2\) + \(8b3\) > \(0\) \(a_{2}\)(a − \(2b\)) − \(4b2\)(a − \(2b\)) > \(0\) (a − \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób II Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8ab\)(a + \(2b\)) (a + \(2b\))\(3\) − \(8ab\)(a + \(2b\)) > \(0\) (a + \(2b\))[(a + \(2b\))\(2\) − \(8ab\)] > \(0\) (a + \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4ab\) + \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób III Niech \(f\) będzie funkcją określoną wzorem \(f\)(a) = (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) dla każdego a ∈ (\(0\), +∞). Obliczamy pochodną funkcji \(f\) oraz jej miejsca zerowe: \(f\)′(a) = \(3\)(a + \(2b\))\(2\) − \(16ba\) − \(16b2\) \(3a2\) + \(12ab\) + \(12b2\) − \(16ba\) − \(16b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(3a2\) − \(4ba\) − \(4b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(2\) (a = − b ∨ a = \(2b\)) ∧ a > \(0\) \(3\) Gdy b > \(0\), to \(f\)′(a) > \(0\) dla a ∈ (\(2b\), +∞) oraz \(f\)′(a) < \(0\) dla a ∈ (\(0\), \(2b\)). Zatem przy b dodatnim funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale (\(0\), \(2b\)] oraz rosnąca w przedziale [\(2b\), +∞), czyli funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego a = \(2b\). Ta najmniejsza wartość jest równa \(f\)(\(2b\)) = (\(2b\) + \(2b\))\(3\) − \(8\) ⋅ (\(2b\))\(2\) ⋅ b − \(16\) ⋅ \(2b\) ⋅ \(b_{2}\) = \(0\). Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że a ≠ \(2b\), prawdziwa jest nierówność (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) To należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci \(a^{2}(a-2b)-4b^{2}(a-2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)\left[(a+2b)^{2}-8ab\right]>0\), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)^{2}>8ab\), ALBO rozważenie funkcji \(f(a)=a^{3}-2ba^{2}-4b^{2}a+8b^{3}\) określonej dla \(a>0\) oraz obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej: \(f'(a)=3a^{2}-4ba-4b^{2}\) oraz \(a=2b\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}(a+2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}>0\), ALBO uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(a=2b\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że \(a+2b>0\) oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek \(b\neq\frac{1}{2}a\) zachodzi \((a-2b)^{2}>0\)). Uwaga. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: […] \((a+b)^n\) […].

Szukany stosunek jest równy \(6\). Przyjmując \(\lvert CE\rvert=3x\) i \(\lvert DE\rvert=11x\) (a więc \(\lvert CD\rvert=14x\)), z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów \(BED\) i \(BEC\) otrzymujemy \(\lvert BE\rvert=5\sqrt3\,x\) oraz \(\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}\,x\). Stąd pole powierzchni bocznej wynosi \(105\sqrt3\,x^{2}\), pole podstawy \(21\sqrt3\,x^{2}\), a szukany stosunek \(\frac{126\sqrt3\,x^{2}}{21\sqrt3\,x^{2}}=6\).

**Krok \(1\).** Metoda: płaszczyzna przekroju jest prostopadła do krawędzi \(CD\), więc leżące w niej odcinki \(AE\) i \(BE\) są prostopadłe do \(CD\). Odcinek \(BE\) jest zatem wysokością ściany bocznej \(BCD\) opuszczoną na krawędź \(CD\). Wszystkie wymiary wyrazimy przez jeden parametr. **Krok \(2\).** Ze stosunku \(\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert DE\rvert}=\frac{3}{11}\) przyjmujemy \[\lvert CE\rvert=3x,\qquad \lvert DE\rvert=11x,\qquad \lvert CD\rvert=14x\quad (x\gt 0).\] Ostrosłup jest prawidłowy, więc wszystkie krawędzie boczne są równe: \(\lvert BD\rvert=\lvert AD\rvert=\lvert CD\rvert=14x\). **Krok \(3\).** Trójkąt \(BED\) jest prostokątny (kąt prosty przy \(E\)), więc z twierdzenia Pitagorasa \[\lvert BE\rvert^{2}=\lvert BD\rvert^{2}-\lvert DE\rvert^{2}=(14x)^{2}-(11x)^{2}=196x^{2}-121x^{2}=75x^{2},\] \[\lvert BE\rvert=5\sqrt3\,x.\] **Krok \(4\).** Trójkąt \(BEC\) także jest prostokątny przy \(E\), więc \[\lvert BC\rvert^{2}=\lvert CE\rvert^{2}+\lvert BE\rvert^{2}=(3x)^{2}+\left(5\sqrt3\,x\right)^{2}=9x^{2}+75x^{2}=84x^{2},\] \[\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}\,x.\] To jest długość krawędzi podstawy. **Krok \(5\).** Obliczamy pole jednej ściany bocznej, traktując \(CD\) jako podstawę, a \(BE\) jako wysokość: \[P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot\lvert CD\rvert\cdot\lvert BE\rvert=\frac{1}{2}\cdot 14x\cdot 5\sqrt3\,x=35\sqrt3\,x^{2},\] a pole powierzchni bocznej (trzy przystające ściany) wynosi \[P_{b}=3\cdot 35\sqrt3\,x^{2}=105\sqrt3\,x^{2}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy pole podstawy — trójkąta równobocznego o boku \(2\sqrt{21}\,x\): \[P_{p}=\frac{\left(2\sqrt{21}\,x\right)^{2}\sqrt3}{4}=\frac{84x^{2}\sqrt3}{4}=21\sqrt3\,x^{2}.\] **Krok \(7\).** Obliczamy szukany stosunek pola powierzchni całkowitej do pola podstawy: \[\frac{P_{b}+P_{p}}{P_{p}}=\frac{105\sqrt3\,x^{2}+21\sqrt3\,x^{2}}{21\sqrt3\,x^{2}}=\frac{126}{21}=6.\] **Uwaga.** Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pola podstawy — łatwo tu podać samo \(\frac{P_{b}}{P_{p}}=5\). Parametr \(x\) skraca się, co potwierdza, że stosunek zależy tylko od danego w zadaniu podziału krawędzi. **Odpowiedź.** Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy \(6\).

**(dla sposobów I – III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(6\). **4 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) czterech spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt ALBO – wyznaczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa w zależności od \(x\): \(126\sqrt{3}x^2\). **3 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) trzech spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. **2 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) dwóch spośród wielkości 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. **1 pkt** – wyznaczenie w zależności od \(x\) jednej z poniższych wielkości 1)-4): 1) długości wysokości ściany bocznej, np. \(\lvert BE\rvert=5\sqrt{3}x\), \(\lvert DF\rvert=5\sqrt{7}x\), 2) długości krawędzi podstawy \(ABC\): \(\lvert BC\rvert=2\sqrt{21}x\), 3) pola podstawy \(ABC\): \(21\sqrt{3}x^2\), 4) pola ściany bocznej (lub pola powierzchni bocznej): \(35\sqrt{3}x^2\) (lub \(105\sqrt{3}x^2\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości i pola graniastosłupów, ostrosłupów […]. X.R2) Zdający wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych […].

**\(B_{3}\).** \(9P\)

Stosunek objętości podobnych brył jest sześcianem skali podobieństwa. Zatem \[k^3=27,\qquad k=3.\] Stosunek pól powierzchni jest kwadratem skali, więc \[\frac{P_2}{P_1}=k^2=9.\] Ponieważ \(P_1=P\), otrzymujemy \(P_2=9P\). Poprawne uzasadnienie mówi o kwadracie stosunku długości odpowiadających odcinków.

**1 pkt** – odpowiedź **B3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja - dostrzeganie podobieństw. **Wymagania szczegółowe:** X.6) Zdający wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

**C.** \(\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\) oraz \(\sqrt[3]{192}=4\sqrt[3]{3}\), więc suma jest równa \(6\sqrt[3]{3}\).

Z każdego pierwiastka wyłączamy sześcian największego dzielnika: \[\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot3}=2\sqrt[3]{3},\qquad \sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot3}=4\sqrt[3]{3}.\] Oba składniki mają teraz ten sam czynnik \(\sqrt[3]{3}\), więc \[2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}.\] Pierwiastków nie wolno dodawać pod jednym znakiem: \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\neq\sqrt[3]{216}=6\), co daje błędny wariant **A**. **Odpowiedź.** **C.** \(6\sqrt[3]{3}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.3) Zdający stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia […].

\(\frac{P_{ACS}}{P_{ABCD}}=\sqrt2\), a \(\angle BSO\approx20^{\circ}\).

Niech krawędź podstawy ma długość \(a\), a krawędź boczna \(b\). Z warunku \[\frac{4a}{4a+4b}=\frac15\] wynika \(b=4a\). Ponieważ \(S\) jest środkiem \(BE\), \(|BS|=2a\). Z geometrii ostrosłupa otrzymujemy \(|OS|=2a\). Pole przekroju \(ACS\) wynosi \[P_{ACS}=\frac12\cdot|AC|\cdot|OS|=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot2a=a^2\sqrt2.\] Stąd \(\frac{P_{ACS}}{P_{ABCD}}=\sqrt2\). W trójkącie \(BSO\), korzystając z twierdzenia cosinusów, otrzymujemy \[\cos\angle BSO=\frac{15}{16},\] więc \(\angle BSO\approx20^{\circ}\).

**5 pkt** – poprawny stosunek pól i miara kąta. **4 pkt** – cosinus kąta i stosunek pól albo sama poprawna miara kąta. **3 pkt** – stosunek pól albo wartość cosinusa kąta. **2 pkt** – wyznaczenie \(|OS|\) w zależności od \(a\). **1 pkt** – wyznaczenie \(b=4a\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X. Stereometria. 2R) Zdający wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystanie trygonometrii.

**A.** \(3\).

**Krok \(1\).** Znamy dwa wyrazy ciągu geometrycznego, między którymi są trzy „przeskoki” (od \(a_2\) do \(a_5\)). W ciągu geometrycznym każdy przeskok o jedno miejsce w prawo to mnożenie przez iloraz \(q\), więc trzy przeskoki to mnożenie przez \(q^3\). **Krok \(2\).** Zapiszmy to jawnie: \[a_3=a_2q,\qquad a_4=a_2q^2,\qquad a_5=a_2q^3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) i \(a_5=54\): \[54=2q^3.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^3=27.\] **Krok \(5\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^3=27\) i pierwiastek stopnia nieparzystego jest wyznaczony jednoznacznie, mamy \[q=3.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: przy \(a_2=2\) i \(q=3\) kolejne wyrazy to \(2,\;6,\;18,\;54\) — czwarty z nich, czyli \(a_5\), rzeczywiście wynosi \(54\). **Uwaga.** Nie wolno podzielić \(54:2=27\) i uznać, że to iloraz — liczba \(27\) jest równa \(q^3\), a nie \(q\). Właśnie na tej pomyłce opiera się dystraktor D. **Odpowiedź.** A: \(q=3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz [...] ciągu geometrycznego.

**A.** \(3\)

**Krok \(1\).** W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\). Od \(a_2\) do \(a_5\) wykonujemy trzy takie mnożenia (\(a_2\to a_3\to a_4\to a_5\)), więc \[a_5=a_2\cdot q^{3}.\] Wykładnik to różnica numerów wyrazów: \(5-2=3\). **Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\): \[54=2\cdot q^{3}.\] **Krok \(3\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^{3}=27.\] **Krok \(4\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\) i jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty stopnia nieparzystego, mamy \[q=3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie: \(a_3=2\cdot3=6\), \(a_4=6\cdot3=18\), \(a_5=18\cdot3=54\). Zgadza się z danymi. **Uwaga.** W ciągu geometrycznym wyrazy **mnożymy**, a nie dodajemy. Potraktowanie zadania jak ciągu arytmetycznego dałoby \(\frac{54-2}{3}=\frac{52}{3}\), czyli błędną odpowiedź C. Z kolei \(q^{3}\), a nie \(q^{2}\), bo między \(a_2\) i \(a_5\) są trzy kroki. **Odpowiedź.** A: \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(8\)

Przekątna ściany sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt2\), więc z warunku \(a\sqrt2=2\sqrt2\) otrzymujemy \(a=2\). Zatem \[V=a^{3}=8.\] **Odpowiedź.** \(V=8\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza objętości […] graniastosłupów […].

\[-\infty.\]

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Dla \(x\neq2\) mamy \[\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}=\frac{x^2+2x+4}{x-2}.\] Gdy \(x\to2^-\), licznik dąży do \(12>0\), a mianownik do zera od strony ujemnej. Zatem \[\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=-\infty.\]

**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: \(-\infty\) **1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(\frac{x^2+2x+4}{x-2}\) albo poprawne zastosowanie reguły de l'Hospitala **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R1) Zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne.

**A.** \(15\)

Ściany sześcianu tworzą trzy pary ścian przeciwległych. Dla każdej pary suma odległości punktu \(P\) od obu ścian jest równa długości krawędzi sześcianu, czyli \(5\). Zatem suma odległości punktu \(P\) od wszystkich sześciu ścian wynosi \[5+5+5=15.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** X.1, X.2 i X.4 rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz obliczanie objętości graniastosłupów i ostrosłupów.

**D.** \(1\)

Podstawienie \(x=1\) daje symbol nieoznaczony \(\frac00\), bo zeruje się zarówno licznik, jak i mianownik. Wspólny czynnik \(x-1\) trzeba więc najpierw skrócić. Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę sześcianów: \[x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right).\] Dla \(x\ne1\) skracamy czynnik \(x-1\): \[\frac{x^{3}-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^{2}+x+1}{x+2}.\] Otrzymana funkcja wymierna jest ciągła w punkcie \(1\), bo jej mianownik dąży do \(3\ne0\). Granicę obliczamy przez podstawienie: \[\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x+1}{x+2}=\frac{1+1+1}{1+2}=\frac33=1.\] **Odpowiedź.** D. \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** R11.1) Zdający oblicza granice funkcji i granice jednostronne, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.

Odległość punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\) jest równa \(\frac{a\sqrt6}{6}\).

Niech \(S\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\). Punkt \(S\) leży na przekątnej \(BD\), więc odcinek \(PS\) należy do płaszczyzny \(BDP\). Płaszczyzna \(CPS\) jest prostopadła do \(BD\); dlatego wysokość trójkąta \(CPS\) opuszczona z \(C\) na \(PS\) jest zarazem odległością punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\). Mamy \[|CS|=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad |CP|=\frac a2.\] Trójkąt \(CPS\) jest prostokątny w \(C\), zatem \[|PS|=\sqrt{|CS|^2+|CP|^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.\] Jego pole można zapisać na dwa sposoby: \[P_{CPS}=\frac12|CS|\,|CP|=\frac{a^2\sqrt2}{8}\] oraz \[P_{CPS}=\frac12|PS|h=\frac{a\sqrt3}{4}h.\] Po porównaniu otrzymujemy \[h=\frac{a\sqrt6}{6}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{a\sqrt6}{6}\) **2 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(CPS\) i wyrażenie go za pomocą szukanej wysokości \(h\) albo wykonanie równoważnego kluczowego kroku metodą trygonometryczną lub objętościową **1 pkt** – obliczenie \(|PS|=\frac{a\sqrt3}{2}\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań. **Wymagania szczegółowe:** X.2R wyznaczanie przekrojów sześcianu i wykorzystywanie ich do obliczeń stereometrycznych.

\[|SP|=\sqrt6,\] gdzie \(P\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z \(S\) na \(BH\).

Punkt \(S\) jest środkiem przekątnych kwadratowej ściany \(ADHE\), więc \[|HS|=\frac12|HA|=3\sqrt2.\] W sześcianie o krawędzi \(6\): \[|AB|=6,\qquad |AH|=6\sqrt2,\qquad |BH|=6\sqrt3.\] Niech \(P\) będzie spodkiem wysokości trójkąta \(SBH\) poprowadzonej z \(S\). Trójkąty prostokątne \(PHS\) i \(AHB\) są podobne, więc \[\frac{|SP|}{|AB|}=\frac{|SH|}{|BH|}.\] Zatem \[\frac{|SP|}{6}=\frac{3\sqrt2}{6\sqrt3},\] \[|SP|=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(\sqrt6\) **3 pkt** – zapisanie równania z niewiadomą \(|SP|\), np. \(\frac{|SP|}{6}=\frac{3\sqrt2}{6\sqrt3}\) **2 pkt** – obliczenie boków trójkąta \(HSB\), zapisanie właściwej proporcji podobieństwa albo równoważnego etapu prowadzącego do wysokości **1 pkt** – obliczenie jednego z odcinków \(|BH|=6\sqrt3\), \(|HS|=3\sqrt2\), \(|BS|=3\sqrt6\) lub odpowiedniego odcinka pomocniczego **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.1) Zdający rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się. X.R5) Zdający wyznacza przekroje sześcianu.

Wysokość ma długość \(\sqrt6\). Mamy \(\lvert AH\rvert=6\sqrt2\), \(\lvert BH\rvert=6\sqrt3\) oraz \(\lvert SH\rvert=3\sqrt2\).

Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych: \(A=(0,0,0)\), \(B=(6,0,0)\), \(C=(6,6,0)\), \(D=(0,6,0)\), \(E=(0,0,6)\), \(F=(6,0,6)\), \(G=(6,6,6)\), \(H=(0,6,6)\). Punkt \(S\) jest przecięciem przekątnych ściany \(ADHE\), czyli jej środkiem: \[S=(0,3,3).\] Długości boków trójkąta \(SBH\): \[\lvert BH\rvert=\sqrt{6^2+6^2+6^2}=6\sqrt3,\qquad \lvert SH\rvert=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2,\qquad \lvert SB\rvert=\sqrt{6^2+3^2+3^2}=3\sqrt6.\] Pole trójkąta obliczamy z iloczynu wektorowego wektorów \(\vec{HB}=[6,-6,-6]\) i \(\vec{HS}=[0,-3,-3]\): \[\vec{HB}\times\vec{HS}=[0,18,-18],\qquad \left\lvert\vec{HB}\times\vec{HS}\right\rvert=18\sqrt2,\qquad P_{SBH}=\tfrac12\cdot18\sqrt2=9\sqrt2.\] Wysokość opuszczona z \(S\) na bok \(BH\): \[h=\frac{2P_{SBH}}{\lvert BH\rvert}=\frac{18\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.\] **Odpowiedź.** Wysokość ma długość \(\sqrt6\).

**1–2 pkt** – wyznaczenie \(\lvert BH\rvert=6\sqrt3\) i \(\lvert SH\rvert=3\sqrt2\). **3 pkt** – wyznaczenie \(\lvert SB\rvert=3\sqrt6\) albo pola trójkąta \(SBH\). **4 pkt** – obliczenie wysokości równej \(\sqrt6\).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** P9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów; P9.3) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości graniastosłupów.

Nierówność jest równoważna \((x-y)(x^2-y^2)\leq0\), czyli \((x+y)(x-y)^2\leq0\). Ponieważ \(x+y=4\), mamy \(4(x-y)^2\leq0\), zatem \(x=y\). Stąd \(x=y=2\).

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ x + y = \(4\), więc y = \(4\) − x. Ponieważ ponadto x i y spełniają nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\), więc otrzymujemy \(x^{3}\) − \(x^{2}\)(\(4\) − x) ≤ x(\(4\) − x)\(2\) − (\(4\) − x)\(3\) Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ x(\(16\) − \(8x\) + \(x^{2}\)) − (\(64\) − \(48x\) + \(12x2\) − \(x^{3}\)) Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ \(16x\) − \(8x2\) + \(x^{3}\) − \(64\) + \(48x\) − \(12x2\) + \(x^{3}\) \(16x2\) − \(64x\) + \(64 \leq 0\) (\(4x\) − \(8\))\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym rozwiązaniem tej nierówności jest x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać. Sposób II Przekształcamy nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\) kolejno do postaci \(x^{3}\) − \(x2y\) − \(xy2\) + \(y^{3}\) ≤ \(0\) (x − y)(\(x^{2}\) − \(y^{2}\)) ≤ \(0\) (x + y)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ x + y = \(4\), więc otrzymujemy \(4\)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić (x − y)\(2 = 0\) Stąd x − y = \(0\), czyli x = y. Zatem \(2x\) = \(4\), czyli x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb \(x\) i \(y\) (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: \(x\), \(y\), jest równa \(2\)) oraz obliczenie tych liczb: \(x=2\) oraz \(y=2\). **2 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\)) w postaci \(ax^{2}+bx+c\ge 0\) lub \(ax^{2}+bx+c\le 0\), np. \(16x^{2}-64x+64\le 0\) ALBO – wykorzystanie założenia \(x+y=4\) i zapisanie nierówności w postaci \(4(x-y)^{2}\le 0\) (lub \(4(4-2y)^{2}\le 0\), lub \(4(2x-4)^{2}\le 0\)), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\le 0\) oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. **1 pkt** – wykorzystanie zależności \(x+y=4\) i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. \(x^{3}-x^{2}(4-x)\le x(4-x)^{2}-(4-x)^{3}\) ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \((x-y)(x^{2}-y^{2})\le 0\), ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \(x\cdot y\ge 4\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający podstawia do związków \(x+y=4\) oraz \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^3\) oraz \(a^3\pm b^3\).

**C.** \(1:8\)

Ostrosłupy \(DEFS\) i \(ABCS\) są podobne w skali \(\frac12\), ponieważ \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami krawędzi bocznych. Stosunek objętości jest sześcianem skali podobieństwa: \[\frac{V_{DEFS}}{V_{ABCS}}=\left(\frac12\right)^3=\frac18.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** X.5 wykorzystywanie zależności między objętościami podobnych graniastosłupów i ostrosłupów.

**\(B_{3}\).** Pole powierzchni całkowitej \(\mathcal B_2\) jest równe \(9P\).

Stosunek objętości podobnych brył jest sześcianem skali podobieństwa \(k\): \[k^3=\frac{27V}{V}=27,\qquad k=3.\] Stosunek pól powierzchni jest kwadratem tej skali, zatem \[\frac{P_2}{P_1}=k^2=9.\] Ponieważ \(P_1=P\), otrzymujemy \(P_2=9P\). Poprawny zestaw odpowiedzi to **\(B_{3}\)**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 i IV.2 operowanie obiektami oraz dostrzeganie regularności i analogii. **Wymagania szczegółowe:** X.7 zależność między objętościami brył podobnych i skalą podobieństwa.

Suma jest podzielna przez \(36\).

Trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez \(4\) można zapisać jako \[a-1,\qquad a,\qquad a+1,\] gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\). Ich suma sześcianów jest równa \[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=3a(a^2+2).\] Liczba \(a\) jest parzysta, a \(a^2+2\) także jest parzysta, więc iloczyn \(3a(a^2+2)\) jest podzielny przez \(4\). Wykażemy podzielność przez \(9\). Każda liczba całkowita \(a\) ma jedną z postaci \(3k\), \(3k+1\), \(3k+2\). Jeżeli \(a=3k\), to \[3a(a^2+2)=9k(9k^2+2).\] Jeżeli \(a=3k+1\), to \[3a(a^2+2)=9(3k+1)(3k^2+2k+1).\] Jeżeli \(a=3k+2\), to \[3a(a^2+2)=9(3k+2)(3k^2+4k+2).\] W każdym przypadku suma jest podzielna przez \(9\). Ponieważ \(4\) i \(9\) są względnie pierwsze, suma jest podzielna przez \[4\cdot9=36.\]

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu podzielności przez \(36\) **2 pkt** – przekształcenie \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\) do postaci \(3a(a^2+2)\), gdzie \(a\) jest parzyste i niepodzielne przez \(4\), oraz wykazanie podzielności otrzymanej liczby przez \(4\) albo przez \(9\) **1 pkt** – zapisanie sumy w postaci \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\), gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\), albo w równoważnej postaci z liczbami \(4k+1\), \(4k+2\), \(4k+3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.R2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Dla opisanych liczb \(a\) i \(b\) suma \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).

Dwie kolejne liczby naturalne niepodzielne przez \(3\) mają postać \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\). Wtedy \[a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\] \[=54k^3+81k^2+45k+9=9(6k^3+9k^2+5k+1).\] Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc \(9\mid(a^3+b^3)\).

**3 pkt** – pełny dowód zakończony postacią \(9(6k^3+9k^2+5k+1)\) i uzasadnieniem całkowitości drugiego czynnika **2 pkt** – zapisanie \(a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\) i poprawne rozwinięcie do \(54k^3+81k^2+45k+9\) **1 pkt** – zapisanie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie kilkuetapowych rozumowań. **Wymagania szczegółowe:** I.2 i II.1 dowody dotyczące podzielności oraz stosowanie wzoru na sześcian sumy.

**A.** \(-\frac32\)

**Krok \(1\).** Mamy iloczyn dwóch pierwiastków tego samego stopnia, więc możemy je połączyć w jeden pierwiastek: \(\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}\). Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje także dla liczb ujemnych, więc minus nam nie przeszkadza. **Krok \(2\).** Łączymy pierwiastki: \[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot2}=\sqrt[3]{-\frac{54}{16}}.\] **Krok \(3\).** Skracamy ułamek przez \(2\): \[\frac{54}{16}=\frac{27}{8},\qquad\text{więc}\qquad \sqrt[3]{-\frac{54}{16}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}.\] **Krok \(4\).** Wyciągamy minus przed pierwiastek i liczymy pierwiastek z licznika i mianownika: \[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{3}{2}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: \(\left(-\frac32\right)^{3}=-\frac{27}{8}\), czyli dokładnie liczba spod pierwiastka. **Uwaga.** Wynik musi być ujemny, bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny. Od razu odpada więc \(\frac32\) i \(\frac23\). Warto też zauważyć, że skracanie do \(\frac{27}{8}\) nie jest przypadkiem: \(27\) i \(8\) to sześciany liczb \(3\) i \(2\). **Odpowiedź.** A, czyli \(-\frac32\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań. **Wymagania szczegółowe:** I.4 zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

\(\displaystyle m\in\left(\frac{11}{5},\frac94\right)\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\displaystyle m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{11}{5},+\infty\right)\), a nierówność z wzorami Viète'a prowadzi do \(\displaystyle m\in\left(2,\frac94\right)\).

**Krok \(1\).** Metoda: dwa niezależne warunki — \(\Delta\gt 0\) dla istnienia dwóch różnych pierwiastków oraz warunek na sumę sześcianów, przepisany przez wzory Viète'a. Na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Dla trójmianu \(x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}\), gdzie \(m\neq 2\), mamy \[\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)=16+\frac{4(m-3)}{m-2}=\frac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\frac{20m-44}{m-2}.\] **Krok \(3\).** Warunek \(\Delta\gt 0\) jest równoważny \((20m-44)(m-2)\gt 0\), czyli \((5m-11)(m-2)\gt 0\). Stąd \[m\in(-\infty,2)\cup\left(\tfrac{11}{5},+\infty\right).\] **Krok \(4\).** Ze wzorów Viète'a \(x_{1}+x_{2}=-4\) oraz \(x_{1}x_{2}=-\frac{m-3}{m-2}\). **Krok \(5\).** Sumę sześcianów zapisujemy przez sumę i iloczyn: \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-64+12x_{1}x_{2}=-64-\frac{12(m-3)}{m-2}.\] **Krok \(6\).** Warunek zadania: \[-64-\frac{12(m-3)}{m-2}\gt -28\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{12(m-3)}{m-2}\lt -36\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{m-3}{m-2}\lt -3.\] **Krok \(7\).** Przenosimy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[\frac{m-3}{m-2}+3\lt 0,\qquad \frac{m-3+3m-6}{m-2}\lt 0,\qquad \frac{4m-9}{m-2}\lt 0,\] skąd \((4m-9)(m-2)\lt 0\), czyli \(m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right)\). **Krok \(8\).** Bierzemy część wspólną zbiorów z Kroków \(3\) i \(7\). Ponieważ \(\tfrac{11}{5}=2{,}2\) oraz \(\tfrac{9}{4}=2{,}25\), otrzymujemy \[m\in\left(\tfrac{11}{5},\tfrac{9}{4}\right).\] **Uwaga.** Nierówności z niewiadomą w mianowniku nie wolno mnożyć przez \(m-2\), bo nie znamy znaku tego wyrażenia. Zamiast tego korzystamy z równoważności \(\frac../../{Q}\lt 0\iff P\cdot Q\lt 0\) (przy \(Q\neq 0\)). **Odpowiedź.** \(m\in\left(\frac{11}{5},\frac{9}{4}\right)\).

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności \(\Delta>0\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(m\in\left(-\infty,\,2\right)\cup\left(\frac{11}{5},\,+\infty\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\ge 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **3 pkt** – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\), wynikającej z warunku \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(2,\,\frac{9}{4}\right)\). **2 pkt** – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\), wynikającej z warunku \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\), np. \(-64-3\cdot\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)\cdot(-4)>-28\) ALBO – zapisanie nierówności \(\left(-2-\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}+\left(-2+\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}>-28\) i poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej jednego ze składników sumy \(\left(-2-\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}+\left(-2+\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}\). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \((x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})>-28\) ALBO – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego \(x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}\) w zależności od \(m\): \(x_{1}=\frac{-4-\sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2\cdot 1}\), \(x_{2}=\frac{-4+\sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2\cdot 1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie dwa warunki: \(\Delta>0\) i \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(\frac{11}{5},\,\frac{9}{4}\right)\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(\Delta>0\) i \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(\frac{11}{5},\,\frac{9}{4}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że \(x_{1}+x_{2}=\pm\frac{m-3}{m-2}\) lub \(x_{1}\cdot x_{2}=\pm 4\), to za II etap może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt, a za III etap otrzymuje \(0\) punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})\left[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}\cdot x_{2}\right]\)), i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej \(1\) punkt za II etap.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R3.1) Zdający stosuje wzory Viète’a; R3.2) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.

\[\frac ab=-1.\]

Rozwijamy sześcian sumy i porządkujemy równanie: \[a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] \[3ab(a+b)=0.\] Ponieważ \(a\ne0\) i \(b\ne0\), musi zachodzić \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \(\frac ab=-1\).

**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia ilorazu i wynik \(\frac ab=-1\) **2 pkt** – uzyskanie \(3ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(3ab(a+b)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1, II.3, III.1 i III.6 wzory skróconego mnożenia, wyłączanie jednomianu przed nawias, równoważne przekształcanie równań i rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

**D.** \(27V\)

Objętość sześcianu \(F\) jest równa \(V=a^3\). Krawędź sześcianu \(G\) jest trzy razy dłuższa, więc jego objętość wynosi \[(3a)^3=27a^3=27V.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** X.5 wykorzystywanie zależności między objętościami graniastosłupów podobnych.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.\]

Niech \(O\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\), czyli spodkiem wysokości ostrosłupa. Wtedy \(|OW|=9\). Przekątna kwadratu podstawy ma długość \(9\sqrt2\), zatem \[|AO|=\frac{9\sqrt2}{2}.\] W trójkącie prostokątnym \(AOW\): \[|AW|=\sqrt{|AO|^2+|OW|^2}=\sqrt{\frac{81}{2}+81}=\frac{9\sqrt6}{2}.\] Kąt nachylenia krawędzi \(AW\) do płaszczyzny podstawy jest równy \(\alpha=\angle WAO\), więc \[\cos\alpha=\frac{|AO|}{|AW|}=\frac{9\sqrt2/2}{9\sqrt6/2}=\frac{\sqrt3}{3}.\]

**2 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\) **1 pkt** – obliczenie \(|AO|=\frac{9\sqrt2}{2}\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** X.2 i VII.1 posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz definicjami funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x\ne y\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-x^3y+y^4-xy^3\] \[=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2).\] Z założenia \(x\ne y\), więc \((x-y)^2>0\). Ponadto \[x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34y^2\geq0,\] a równość zachodziłaby wyłącznie dla \(x=y=0\), co jest sprzeczne z \(x\ne y\). Zatem drugi czynnik także jest dodatni, więc cały iloczyn jest dodatni. To kończy dowód.

**3 pkt** – pełne poprawne rozumowanie **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)>0\) albo poprawne rozpatrzenie znaków po uzyskaniu \((x-y)(x^3-y^3)>0\) **1 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((x-y)(x^3-y^3)>0\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1 i R2.3 wzory skróconego mnożenia dla sześcianów oraz rozkładanie wielomianu na czynniki.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(x+y\geq1\).

Przenosimy prawą stronę nierówności na lewą i przekształcamy: \[x^3+y^3-xy(x+y)-x^2+2xy-y^2\geq0.\] Korzystamy ze wzoru \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\): \[(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy(x+y)-(x-y)^2\geq0,\] \[(x+y)(x-y)^2-(x-y)^2\geq0,\] \[(x+y-1)(x-y)^2\geq0.\] Z założenia \(x+y-1\geq0\), a kwadrat \((x-y)^2\) jest nieujemny. Ich iloczyn jest więc nieujemny, co dowodzi tezy.

**3 pkt** – pełny dowód: sprowadzenie nierówności do postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\) i uzasadnienie jej prawdziwości **2 pkt** – poprawne otrzymanie postaci \((x+y-1)(x-y)^2\geq0\) **1 pkt** – poprawne częściowe grupowanie z czynnikiem \(x+y\) albo \(x-y\), prowadzące do wymaganej postaci **0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja, w tym przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych. **Wymagania szczegółowe:** II.R3 stosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(2x>y\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\] \[=8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3=(2x-y)(2x+y)^2.\] Z założenia \(2x-y>0\), a dla wszystkich liczb rzeczywistych \((2x+y)^2\geq0\). Zatem \[(2x-y)(2x+y)^2\geq0,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – pełne rozumowanie: rozkład na czynniki i uzasadnienie znaków obu czynników **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((2x-y)(2x+y)^2\geq0\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważny istotny krok prowadzący do rozkładu **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla sześcianu sumy i różnicy oraz sumy i różnicy sześcianów.

**A.** \(243\)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku \(9\), więc jego pole wynosi \(9^2=81\). Wysokość ostrosłupa jest równa krawędzi sześcianu, czyli \(9\). Zatem \[V=\frac13\cdot81\cdot9=243.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** X.1 i X.4 rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni oraz obliczanie objętości ostrosłupów.

**D.** \(\frac{3+\sqrt3}{2}a^2\)

Ściany \(EFB\), \(FBG\) i \(EFG\) są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości \(a\), więc suma ich pól wynosi \(3\cdot\frac12a^2=\frac32a^2\). Odcinki \(EB\), \(BG\) i \(GE\) są przekątnymi ścian sześcianu, każdy ma długość \(a\sqrt2\). Trójkąt \(EBG\) jest równoboczny, zatem \[P_{EBG}=\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}a^2.\] Łącznie \[P_c=\frac32a^2+\frac{\sqrt3}{2}a^2=\frac{3+\sqrt3}{2}a^2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G11.2 obliczanie pola powierzchni ostrosłupa.

**C.** \(3\)

Dla \(x\ne2\) rozkładamy różnicę sześcianów: \[f(x)=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4.\] Stąd \[f'(x)=2x+2,\qquad f'\left(\frac12\right)=2\cdot\frac12+2=3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R11.2 obliczanie pochodnych funkcji wymiernych.

\[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni: \[\Delta=(m-4)^2-4(m^2-7m+12)=-3m^2+20m-32>0.\] Ponieważ \[-3m^2+20m-32=-3(m-4)\left(m-\frac83\right),\] otrzymujemy \(m\in(\frac83,4)\). Z warunku zadania: \[x_1^3+x_2^3<5x_1x_2(x_1+x_2).\] Korzystamy z tożsamości \(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]\) oraz ze wzorów Viète'a: \[x_1+x_2=m-4,\qquad x_1x_2=m^2-7m+12.\] Dostajemy \[(m-4)[(m-4)^2-3(m^2-7m+12)]<5(m^2-7m+12)(m-4),\] \[-7(m-4)^2\left(m-\frac{20}{7}\right)<0.\] Stąd \(m\in(\frac{20}{7},4)\cup(4,+\infty)\). Część wspólna z warunkiem \(\Delta>0\) jest równa \[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m\in(\frac{20}{7},4)\) **4 pkt** – rozwiązanie warunku \(\Delta>0\) oraz otrzymanie końcowej nierówności z parametrem lub osobne rozwiązanie warunku wynikającego z nierówności pierwiastków **3 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) i zapisanie nierówności po zastosowaniu wzorów Viète'a albo poprawne sprowadzenie jej do postaci iloczynowej **2 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) oraz przekształcenie warunku do postaci umożliwiającej użycie wzorów Viète'a **1 pkt** – poprawne rozwiązanie \(\Delta>0\) albo właściwe przekształcenie sumy sześcianów **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R3 i III.R5 stosowanie wzorów Viète'a oraz analiza równań kwadratowych z parametrem i własnościami rozwiązań.

**A.** \(125\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\). Zatem \[a\sqrt3=5\sqrt3,\qquad a=5.\] Objętość wynosi \[V=a^3=5^3=125.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G11.2 obliczanie objętości graniastosłupa prostego.

**A.** \(24\sqrt3\)

Jeśli \(a\) jest długością krawędzi sześcianu, to jego przekątna ma długość \(a\sqrt3\). Z warunku \[a\sqrt3=6\] otrzymujemy \(a=2\sqrt3\). Objętość sześcianu wynosi \[V=a^3=(2\sqrt3)^3=24\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie długości przekątnej i objętości sześcianu.

Najmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta \(CFS\) ma miarę \(45^\circ\).

Długości boków trójkąta \(CFS\) wynoszą \[|CF|=2\sqrt2,\qquad |CS|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5,\qquad |FS|=\sqrt{(2\sqrt2)^2+1^2}=3.\] Najkrótszym bokiem jest \(CS\), więc najmniejszy kąt leży naprzeciw niego i jest to \(\angle CFS\). Z twierdzenia cosinusów: \[|CS|^2=|CF|^2+|FS|^2-2|CF|\,|FS|\cos(\angle CFS),\] \[5=8+9-12\sqrt2\cos(\angle CFS).\] Stąd \[\cos(\angle CFS)=\frac{12}{12\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\] a więc \(|\angle CFS|=45^\circ\).

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie miary kąta \(CFS\): \(45^\circ\) **3 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(CFS\) **2 pkt** – obliczenie wszystkich boków: \(|CF|=2\sqrt2\), \(|CS|=\sqrt5\), \(|FS|=3\) **1 pkt** – obliczenie \(|CF|\) i \(|CS|\) albo samego \(|FS|=3\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - dobór zależności geometrycznych i planu obliczeń. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie odległości w sześcianie, stosowanie twierdzenia Pitagorasa oraz twierdzenia cosinusów.

A. \(\frac{1}{7}\)

Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki, więc kolejność nie ma znaczenia: zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe podzbiory zbioru ośmiu wierzchołków, wszystkie jednakowo prawdopodobne. Zatem \[|\Omega|=\binom82=\frac{8\cdot7}{2}=28.\] Przekątna sześcianu łączy wierzchołki, które nie leżą na wspólnej ścianie. Każdy wierzchołek ma dokładnie jeden taki wierzchołek przeciwległy, więc przekątnych jest \[|A|=\frac{8}{2}=4.\] Stąd \[P(A)=\frac{4}{28}=\frac17.\] **Odpowiedź.** A. \(\frac17\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zasady oceniania rozwiązań zadań

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.2) Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

**A.** \(96\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\). Zatem \[a\sqrt3=4\sqrt3,\qquad a=4.\] Pole powierzchni sześcianu wynosi \[P=6a^2=6\cdot4^2=96.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G11.2 obliczanie pola powierzchni graniastosłupa prostego.

**C.** \(12\sqrt2\)

Jeśli krawędź sześcianu ma długość \(a\), to \[6a^2=12,\] czyli \(a^2=2\) i \(a=\sqrt2\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=12\sqrt2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** stereometria - pole powierzchni i krawędzie sześcianu.

**C.** \(384\,\mathrm{cm}^2\)

Sześcian ma \(12\) krawędzi jednakowej długości, więc z warunku \(12a=96\) otrzymujemy \(a=8\ \mathrm{cm}\). Zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot64=384\ \mathrm{cm}^{2}.\] **Odpowiedź.** \(P_c=384\,\mathrm{cm}^2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(\sqrt2\)

Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem podstawy \(ABCD\), a wierzchołek \(H\) leży bezpośrednio nad \(D\), więc rzutem odcinka \(PH\) na płaszczyznę \(ABCD\) jest odcinek \(PD\). Szukany kąt \(\alpha\) to kąt \(\angle HPD\) w trójkącie prostokątnym \(HDP\) o kącie prostym przy \(D\), w którym \[|HD|=a,\qquad |PD|=\frac12|BD|=\frac{a\sqrt2}2.\] Zatem \[\tan\alpha=\frac{|HD|}{|PD|}=\frac{a}{\frac{a\sqrt2}2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(\tan\alpha=\sqrt2\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\(x\in\{-4,1,4\}\)

**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch nawiasów przyrównanego do zera: \[(x^{2}-16)(x^{3}-1)=0.\] Nie mnożymy nawiasów przez siebie. Korzystamy z zasady: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden czynnik. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^{2}-16=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=16.\] Liczba podniesiona do kwadratu daje \(16\) w dwóch przypadkach, więc \[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\] (To samo wyjdzie z rozkładu \(x^{2}-16=(x-4)(x+4)\).) **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[x^{3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1.\] Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, a sześcian liczby większej od \(1\) jest większy od \(1\), więc jedyną liczbą rzeczywistą o sześcianie równym \(1\) jest \[x=1.\] **Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \[x=-4,\qquad x=1,\qquad x=4.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy każdą w wyjściowym równaniu: dla \(x=-4\) pierwszy nawias to \(16-16=0\); dla \(x=4\) tak samo; dla \(x=1\) drugi nawias to \(1-1=0\). W każdym przypadku iloczyn jest zerem. **Uwaga.** Warto zauważyć różnicę między potęgą parzystą a nieparzystą: równanie \(x^{2}=16\) ma **dwa** rozwiązania, a \(x^{3}=1\) tylko **jedno**. Dopisanie do rozwiązania liczby \(-1\) byłoby błędem, bo \((-1)^{3}=-1\). **Odpowiedź.** \(x\in\{-4,\,1,\,4\}\)

1 pkt: rozwiązanie jednego z równań czynnikowych. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**D.** \(\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\)

Dla krawędzi sześcianu długości \(a\) przekątna ściany ma długość \(a\sqrt2\), a przekątna sześcianu \(a\sqrt3\). W odpowiednim trójkącie prostokątnym bok naprzeciw \(\alpha\) ma długość \(a\), więc \[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\]

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** stereometria - przekątna ściany, przekątna sześcianu i kąt między odcinkami.

**C.** \(\frac32\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: mnożymy dwa pierwiastki **tego samego stopnia**, więc możemy zapisać je pod jednym pierwiastkiem, korzystając ze wzoru \[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}.\] To zwykle najprostsza droga: pod jednym pierwiastkiem da się skrócić ułamki. **Krok \(2\).** Łączymy oba czynniki: \[\sqrt[3]{\frac73}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7\cdot81}{3\cdot56}}.\] **Krok \(3\).** Skracamy **przed** wymnożeniem. Liczba \(7\) skraca się z \(56\), bo \(56=7\cdot8\), a \(81\) skraca się z \(3\), bo \(81=3\cdot27\): \[\frac{7\cdot81}{3\cdot56}=\frac{81}{3}\cdot\frac{7}{56}=27\cdot\frac18=\frac{27}{8}.\] **Krok \(4\).** Wyciągamy pierwiastek z ułamka, pierwiastkując osobno licznik i mianownik: \[\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2},\] bo \(3^{3}=27\) oraz \(2^{3}=8\). **Uwaga.** Skracanie przed mnożeniem jest tu kluczowe: gdyby wymnożyć na siłę, otrzymalibyśmy \(\sqrt[3]{\frac{567}{168}}\) i trudno byłoby dostrzec sześciany. Zauważ też, że wynik jest liczbą wymierną, choć oba czynniki wymierne nie były. **Odpowiedź.** C: \(\frac32\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **1.3:** zdający posługuje się pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.

x∈{−\(4\),−\(3\),\(4\)}

**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch czynników przyrównanego do zera: \[\left(x^3+27\right)\left(x^2-16\right)=0.\] Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem — nic nie mnożymy i nic nie rozwijamy, tylko rozbijamy zadanie na dwa proste równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^3+27=0,\qquad x^3=-27.\] **Krok \(3\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(-27\). Ponieważ \((-3)^3=-27\), mamy \(x=-3\) i jest to jedyne rozwiązanie tego równania (funkcja \(x\mapsto x^3\) jest różnowartościowa, więc nie ma drugiej takiej liczby). **Krok \(4\).** Drugi czynnik: \[x^2-16=0,\qquad x^2=16.\] **Krok \(5\).** Tu rozwiązania są dwa, bo kwadrat liczby i liczby do niej przeciwnej jest taki sam: \[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\] (Można też rozłożyć: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).) **Krok \(6\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby — każda z nich zeruje przynajmniej jeden czynnik, więc każda spełnia równanie. **Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie obu czynników tak samo i napisanie \(x=\pm3\) w pierwszym albo tylko \(x=4\) w drugim. Przy nieparzystej potędze rozwiązanie jest jedno, przy parzystej — dwa (o ile prawa strona jest dodatnia). **Odpowiedź.** \(x=-4\), \(x=-3\) lub \(x=4\).

1 pkt: rozwiązanie jednego równania czynnikowego. 2 pkt: wszystkie rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\frac35,\frac34\right)\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\Delta=5m^2+2m-3\gt0\), czyli \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac35\). Ze wzorów Viète’a nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) sprowadza się do \((m+3)(m+1)(4m-3)\lt0\), czyli \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(-1,\frac34\right)\). Część wspólna obu warunków daje wynik.

**Krok \(1\).** Warunek z treści dotyczy wyrażenia symetrycznego względem pierwiastków, więc nie liczymy pierwiastków — używamy wzorów Viète’a i wzoru na sumę sześcianów. Do tego dochodzi warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków, czyli \(\Delta\gt0\). Na koniec bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Wyróżnik równania \(x^2+(m+1)x-m^2+1=0\): \[\Delta=(m+1)^2-4\left(-m^2+1\right)=m^2+2m+1+4m^2-4=5m^2+2m-3.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(5m^2+2m-3\gt0\): \[\Delta_m=2^2-4\cdot5\cdot(-3)=64,\qquad m=\frac{-2\pm8}{10},\] czyli miejsca zerowe to \(-1\) i \(\frac35\), a nierówność zachodzi dla \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac35,+\infty\right)\). **Krok \(4\).** Wzory Viète’a (tu \(a=1\)): \[x_1+x_2=-(m+1),\qquad x_1x_2=-m^2+1=1-m^2.\] **Krok \(5\).** Sumę sześcianów zapisujemy przez sumę i iloczyn: \[x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right).\] **Krok \(6\).** Nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) przenosimy na jedną stronę: \[\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7x_1x_2\gt0.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy wzory Viète’a: \[-(m+1)^3-3\left(1-m^2\right)\cdot\left(-(m+1)\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0,\] \[-(m+1)^3+3(m+1)\left(1-m^2\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0.\] **Krok \(8\).** Korzystamy z \(1-m^2=-(m+1)(m-1)\) i wyłączamy \((m+1)\) przed nawias: \[(m+1)\left[-(m+1)^2-3(m+1)(m-1)-7(m-1)\right]\gt0,\] a po uporządkowaniu nawiasu: \[-(m^2+2m+1)-3(m^2-1)-7m+7=-4m^2-9m+9,\] więc nierówność ma postać \((m+1)\left(-4m^2-9m+9\right)\gt0\), czyli \((m+1)\left(4m^2+9m-9\right)\lt0\). **Krok \(9\).** Rozkładamy trójmian: \(\Delta=81+144=225\), pierwiastki \(\frac{-9\pm15}{8}\), czyli \(-3\) i \(\frac34\). Zatem \(4m^2+9m-9=(m+3)(4m-3)\) i nierówność przyjmuje postać \[(m+3)(m+1)(4m-3)\lt0.\] **Krok \(10\).** Wielomian stopnia trzeciego o dodatnim współczynniku wiodącym i pierwiastkach \(-3\lt-1\lt\frac34\) jest ujemny na \((-\infty,-3)\) oraz na \(\left(-1,\frac34\right)\). **Krok \(11\).** Bierzemy część wspólną z warunkiem \(\Delta\gt0\): \[\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac35,+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-3)\cup\left(-1,\tfrac34\right)\right]=(-\infty,-3)\cup\left(\tfrac35,\tfrac34\right).\] **Uwaga.** Ponieważ \(\frac35=0{,}6\) i \(\frac34=0{,}75\), drugi przedział jest niepusty — warto porównać te ułamki dziesiętnie, żeby go nie odrzucić. Pamiętaj też, że mnożąc nierówność przez \(-1\) odwracamy jej zwrot. **Odpowiedź.** \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\dfrac35,\dfrac34\right)\).

Zadanie 12. (0-6) III. Modelowanie matematyczne. Przykładowe rozwiązanie —1)u 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viëte'a (R3.1). Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywłste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli A = (m +1)2 +1) > O 5m2 +2m —3 > O Stąd me ( Warunek XI + x23 > —7XlX2 możemy zapisać w postaci równoważnej (XI —x1x2 + x/ ) > —7x1x2, (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 Ze wzorów Vičte'a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę nierówność zapisać w postaci: (4 —(m+1)3 +3(m +1) (—m2 +1) + 7 (—1712+1) > O —2m —1 — 3m2 +3+7— 7m) > O (m +1) (—4m2 —9m+9) > O mł = —3 lub a lub — 4) Wyznaczamy część wspólną zbiorów —00, Odpowiedź m e (—00, Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności A > 0 • Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga -3)u Jeżeli zdający zapisze A 0 , to za tę część otrzymuje O punktów. Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności XI +x2 > —7 XIX2 Za tę część rozwiązama zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci: (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 lub równoważnej. 2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np. -( 3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomłanu -( czyli wielomianu —4m3 —13m2 +9 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności. Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem wszystkich warunków. Uwagi l. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy O punktów za III etap. 2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy O punktów za III etap. 3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag l. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I oraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełma błędy w etapie I i otrzyma co najmniej I punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt. 4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązama stosuje nieistniejącą zależność: ąsuma sześcianów = sześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje Inny błędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność wielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje otrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności). 5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową stopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za II etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomłanu z tej nierówności i konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym Innym przypadku otrzymuje 2 punkty za ten etap. 6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia większego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe w liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentme rozwiąże nierówność. Jeżeli wieloman w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap. 7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co najmnłej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np. z nierówności —4m3 —13m2 +9>0 uzyska —9) > 0, to nie otrzymuje punktów za części 11.3 i 11.4.

III. Modelowanie matematyczne. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).

**A.** \(72\)

Z zależności \(d=a\sqrt3\) dla \(d=6\) otrzymujemy \(a=\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3\), czyli \(a^{2}=12\). Zatem \[P_c=6a^{2}=72.\] **Odpowiedź.** \(P_c=72\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**C.** \(2\sqrt[3]{2}\)

Z pierwszego pierwiastka wyłączamy sześcian: \[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}.\] Oba składniki mają teraz wspólny czynnik \(\sqrt[3]{2}\), więc \[3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.\] Pierwiastków nie wolno odejmować pod jednym znakiem — wariant **A** (\(\sqrt[3]{52}\)) powstaje właśnie z tego błędu. **Odpowiedź.** **C.** \(2\sqrt[3]{2}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. (0−1) 1. Liczby rzeczywiste. Zdający posługuje Wersja Wersja II. Wykorzystanie się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego I II i interpretowanie stopnia i stosuje prawa działań na reprezentacji. pierwiastkach (1.3). C D

D

**Krok \(1\).** W zapisie treści zgubiły się znaki pierwiastków: chodzi o liczbę \(\sqrt[3]{3\sqrt3}\), a warianty odpowiedzi to kolejno \(\sqrt[6]{3}\), \(\sqrt[4]{3}\), \(\sqrt[3]{3}\) oraz \(\sqrt3\). Mamy więc pierwiastek pod pierwiastkiem. Standardowa metoda: zamieniamy wszystkie pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych, bo na potęgach liczy się prościej. **Krok \(2\).** Zapisujemy pierwiastek wewnętrzny jako potęgę: \[\sqrt3=3^{\frac12}.\] **Krok \(3\).** Wyrażenie pod pierwiastkiem sześciennym jest iloczynem potęg o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki: \[3\cdot\sqrt3=3^{1}\cdot3^{\frac12}=3^{1+\frac12}=3^{\frac32}.\] **Krok \(4\).** Pierwiastek stopnia trzeciego to potęga o wykładniku \(\frac13\), a przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: \[\sqrt[3]{3^{\frac32}}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac13}=3^{\frac32\cdot\frac13}=3^{\frac12}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, podnosząc wynik do sześcianu: \(\left(\sqrt3\right)^{3}=\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=3\sqrt3\), czyli dokładnie liczba spod pierwiastka. Wynik jest poprawny. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \(3\) stojącego przed pierwiastkiem wewnętrznym i policzenie \(\sqrt[3]{\sqrt3}=3^{\frac16}=\sqrt[6]{3}\). Czynnik stojący przed pierwiastkiem trzeba najpierw wciągnąć pod pierwiastek, zapisując go jako \(3^{1}\). **Odpowiedź.** D, czyli \(\sqrt3\).

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Płaszczyzna \(ACK\) przecina prostokąt \(BDHF\) wzdłuż prostej \(KL\), gdzie \(L\) jest środkiem kwadratu \(ABCD\) (przecięciem \(AC\) i \(BD\)), a \(K\) środkiem krawędzi \(BF\). Punkty odcinka \(BH\) mają w tym prostokącie postać \((t\,a\sqrt2,\ t\,a)\), a po podstawieniu do równania prostej \(KL\) wychodzi \(4t=1\), czyli \(t=\tfrac14\). Zatem \(|BP|=\tfrac14|BH|\), \(|HP|=\tfrac34|BH|\) i \(|BP|:|HP|=1:3\).

**Krok \(1\).** Zadanie jest przestrzenne, ale wszystkie potrzebne obiekty da się zamknąć w jednej płaszczyźnie. Przekątna \(BH\) leży w prostokącie \(BDHF\) (przekrój sześcianu zawierający przekątne \(BD\) i \(FH\) obu podstaw). Znajdziemy część wspólną płaszczyzny tnącej z tym prostokątem i dalej policzymy wszystko na płasko. **Krok \(2\).** Niech \(L\) będzie punktem przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) kwadratu \(ABCD\), czyli środkiem tego kwadratu. Punkt \(L\) leży na odcinku \(AC\), a więc należy do płaszczyzny tnącej; leży też na \(BD\), a więc należy do płaszczyzny \(BDHF\). **Krok \(3\).** Punkt \(K\) (środek krawędzi \(BF\)) należy do płaszczyzny tnącej z założenia oraz do płaszczyzny \(BDHF\), bo krawędź \(BF\) jest bokiem prostokąta \(BDHF\). Skoro obie płaszczyzny mają wspólne punkty \(K\) i \(L\), to ich częścią wspólną jest prosta \(KL\). **Krok \(4\).** Punkt \(P\) leży na \(BH\), czyli w płaszczyźnie \(BDHF\), i jednocześnie na płaszczyźnie tnącej. Zatem \(P\) jest punktem przecięcia prostych \(BH\) i \(KL\) — dalsza część zadania rozgrywa się już tylko w prostokącie \(BDHF\). **Krok \(5\).** Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(a\). Wtedy \(|BF|=a\), a \(|BD|=a\sqrt2\) jako przekątna kwadratu o boku \(a\). Wprowadzamy w płaszczyźnie \(BDHF\) układ współrzędnych o początku w \(B\), z osią poziomą wzdłuż \(BD\) i pionową wzdłuż \(BF\): \[B=(0,0),\quad D=\left(a\sqrt2,0\right),\quad F=(0,a),\quad H=\left(a\sqrt2,a\right).\] **Krok \(6\).** Środki odcinków: \(L\) to środek \(BD\), czyli \(L=\left(\dfrac{a\sqrt2}{2},0\right)\), a \(K\) to środek \(BF\), czyli \(K=\left(0,\dfrac{a}{2}\right)\). **Krok \(7\).** Prosta \(KL\) przecina osie w punktach o współrzędnych \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\) i \(\dfrac{a}{2}\), więc zapisujemy ją w postaci odcinkowej: \[\frac{x}{\frac{a\sqrt2}{2}}+\frac{y}{\frac{a}{2}}=1.\] **Krok \(8\).** Punkty odcinka \(BH\) mają postać \(\left(t\,a\sqrt2,\ t\,a\right)\), gdzie \(t\in\langle0,1\rangle\) (dla \(t=0\) dostajemy \(B\), dla \(t=1\) punkt \(H\)). Podstawiamy do równania prostej \(KL\): \[\frac{t\,a\sqrt2}{\frac{a\sqrt2}{2}}+\frac{t\,a}{\frac{a}{2}}=2t+2t=4t.\] **Krok \(9\).** Z warunku \(4t=1\) otrzymujemy \(t=\dfrac14\). Oznacza to, że \[|BP|=\tfrac14|BH|,\qquad |HP|=|BH|-|BP|=\tfrac34|BH|,\] a zatem \(|BP|:|HP|=\dfrac14:\dfrac34=1:3\), co należało wykazać. **Uwaga.** Krawędź \(a\) skróciła się w rachunkach — wynik nie zależy od wielkości sześcianu, a jedynie od tego, że \(K\) i \(L\) są środkami odpowiednich odcinków. **Odpowiedź.** Punkt \(P\) dzieli przekątną tak, że \(|BP|=\tfrac14|BH|\), czyli \(|BP|:|HP|=1:3\).

**1 pkt** – gdy zdający zauważy, że \(P\) jest punktem przecięcia przekątnej \(BH\) z odcinkiem \(KL\), gdzie \(L\) to środek przekątnej \(BD\). **2 pkt** – gdy zapisze, że trójkąty \(LBK\) i \(DBF\) są podobne w skali \(1:2\), albo zapisze, że odcinek \(KL\) jest obrazem odcinka \(FD\) w jednokładności o środku \(B\) i skali […], albo wykaże, że trójkąt \(LBP\) jest równoramienny, np. wykaże, że \(\lvert\angle PBL\rvert=\lvert\angle PLB\rvert\), albo poprowadzi odcinki łączące środek przekątnej \(BH\) z punktami \(K\) i \(L\) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – gdy wykaże, że \(\lvert BP\rvert:\lvert HP\rvert=1:3\).

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie podobieństwa trójkątów i odcinków łączących środki boków w przekroju sześcianu.

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{16}{17}.\]

Duży sześcian zawiera \[\left(\frac82\right)^3=64\] małe klocki. Druga bryła powstała z \(63\) klocków. Ponieważ jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, liczba klocków w warstwie musi być kwadratem. Rozkład \(63=3^2\cdot7\) oznacza podstawę \(3\times3\) klocki i wysokość \(7\) klocków, czyli wymiary \(6\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\times14\,\text{cm}\). Pole pierwszego sześcianu wynosi \[P_1=6\cdot8^2=384\,\text{cm}^2.\] Pole drugiego graniastosłupa: \[P_2=2\cdot6^2+4\cdot6\cdot14=72+336=408\,\text{cm}^2.\] Zatem \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{384}{408}=\frac{16}{17}.\]

**4 pkt** – poprawny stosunek \(\frac{16}{17}\) w postaci nieskracalnej **3 pkt** – poprawne pola \(384\) i \(408\), lecz błąd w stosunku **2 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów drugiej bryły \(6\times6\times14\,\text{cm}\) **1 pkt** – ustalenie, że pierwsza bryła składa się z \(64\), a druga z \(63\) klocków **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, sześcian, graniastosłup i pole powierzchni całkowitej.

\[AW=CW=\frac{\sqrt{30}}6,\qquad SW=\frac{\sqrt3}{6}.\]

Niech \(T\) będzie punktem przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) dolnej podstawy sześcianu. Ponieważ \(S\) jest środkiem \(DH\), mamy \(SD=\frac12\), a \(DT=\frac{\sqrt2}{2}\). Trójkąt \(TDS\) jest prostokątny, więc \[ST=\sqrt{SD^2+DT^2}=\frac{\sqrt3}{2}.\] Odcinek \(DW\) jest wysokością tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną \(ST\). Z porównania dwóch zapisów pola \[\frac12SD\cdot DT=\frac12ST\cdot DW\] otrzymujemy \(DW=\frac{\sqrt6}{6}\). Następnie \[SW=\sqrt{SD^2-DW^2}=\sqrt{\frac14-\frac16}=\frac{\sqrt3}{6}.\] Ponieważ \(ST\) jest osią symetrii trójkąta równoramiennego \(ACS\), mamy \(AW=CW\). Ponadto \[TW=ST-SW=\frac{\sqrt3}{3},\qquad AT=\frac{\sqrt2}{2}.\] Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ATW\): \[AW=\sqrt{AT^2+TW^2}=\sqrt{\frac12+\frac13}=\frac{\sqrt{30}}6.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne trzy długości **3 pkt** – poprawne \(SW\) i poprawna metoda wyznaczenia \(AW=CW\) **2 pkt** – poprawne obliczenie \(ST\) i \(DW\) **1 pkt** – rozpoznanie trójkąta prostokątnego \(TDS\) oraz symetrii \(AW=CW\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 9.2. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. 10.7. G. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa.

\[AW=CW=\frac{\sqrt{30}}6,\qquad SW=\frac{\sqrt3}{6}.\]

Łączymy punkty \(A\) i \(S\), \(A\) i \(C\) oraz \(C\) i \(S\). Niech \(T\) oznacza punkt przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy sześcianu. Trójkąt \(ACS\) jest równoramienny, więc \(ST\) jest jego wysokością. Mamy \[ST^2=SD^2+DT^2=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2,\qquad ST=\frac{\sqrt3}{2}.\] W trójkącie prostokątnym \(TDS\) odcinek \(DW\) jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną \(TS\). Z porównania pól: \[\frac12SD\cdot DT=\frac12ST\cdot DW,\qquad DW=\frac{\sqrt6}{6}.\] Następnie \[SW=\sqrt{SD^2-DW^2}=\sqrt{\frac14-\frac16}=\frac{\sqrt3}{6}.\] Punkt \(W\) leży na osi symetrii trójkąta \(ACS\), zatem \(AW=CW\). Ponadto \[TW=ST-SW=\frac{\sqrt3}{3}\] i w trójkącie prostokątnym \(ATW\): \[AW^2=AT^2+TW^2=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=\frac56.\] Stąd \(AW=CW=\frac{\sqrt{30}}6\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich trzech długości **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(SW\) oraz poprawna metoda obliczenia \(AW=CW\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(DW\) i \(SW\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(ST=\frac{\sqrt3}{2}\) lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii rozwiązywania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 9.2. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. 10.7. G. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.\]

Niech krawędź sześcianu ma długość \(a\). Przekątna sześcianu ma długość \(a\sqrt3\), a krawędź prostopadła do podstawy ma długość \(a\). W trójkącie prostokątnym wyznaczającym kąt \(\alpha\) między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy otrzymujemy \[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(\frac{\sqrt3}{3}\) z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne wskazanie trójkąta prostokątnego i długości jego boków \(a\) oraz \(a\sqrt3\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 9.2. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.

\[DP=BS=9.\]

Rozważmy kwadrat \(EFGH\) i niech \(T\) będzie punktem przecięcia przedłużeń prostych \(QR\) i \(EF\). Trójkąty prostokątne \(RFT\) i \(RGQ\) są podobne. Ponieważ \(RG=5\), \(GQ=5\) i \(FR=10\), otrzymujemy \(FT=10\). W kwadracie \(ABFE\) trójkąty prostokątne \(ABS\) i \(TFS\) są podobne. Oznaczmy \(SF=x\), wtedy \(BS=15-x\). Z podobieństwa \[\frac{SF}{FT}=\frac{BS}{AB},\qquad \frac{x}{10}=\frac{15-x}{15}.\] Stąd \(15x=150-10x\), więc \(x=6\) i \(BS=9\). Punkty \(B\) i \(D\) są symetryczne względem płaszczyzny \(ACGE\), a płaszczyzna przekroju zachowuje tę symetrię. Zatem \(DP=BS=9\).

**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(DP=BS=9\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(BS=9\) i wskazanie symetrii **2 pkt** – poprawne podobieństwa i równanie \(\frac{x}{10}=\frac{15-x}{15}\) **1 pkt** – poprawna konstrukcja punktu \(T\) i wyznaczenie \(FT=10\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 9.2. R. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. 9.1. Zdający rozpoznaje kąty między odcinkami i oblicza ich miary. 7.4. R. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne oraz wykorzystuje ich własności.

\[DP=BS=9.\]

Rozważamy kwadrat \(EFGH\) i punkt \(T\), w którym przedłużenie prostej \(QR\) przecina przedłużenie \(EF\). Ponieważ \(QG=5\), \(RG=5\) i \(RF=10\), trójkąty prostokątne \(RFT\) i \(RGQ\) są podobne, skąd \(FT=10\). W kwadracie \(ABFE\) punkty \(A,S,T\) są współliniowe. Oznaczmy \(BS=x\), wtedy \(SF=15-x\). Z podobieństwa trójkątów \(ABS\) i \(TFS\) otrzymujemy \[\frac{SF}{BS}=\frac{TF}{AB},\qquad \frac{15-x}{x}=\frac{10}{15}.\] Zatem \(15(15-x)=10x\), czyli \(x=9\). Otrzymujemy \(BS=9\). Z symetrii sześcianu względem płaszczyzny \(ACGE\) wynika \(DP=BS\), dlatego \(DP=9\).

**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne otrzymanie \(DP=BS=9\) **3 pkt** – poprawne obliczenie jednej z długości i uzasadnienie symetrii lub poprawna metoda obliczenia drugiej **2 pkt** – poprawne zastosowanie podobieństwa prowadzące do równania \(\frac{15-x}{x}=\frac{10}{15}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie pomocniczej długości \(FT=10\) lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii rozwiązywania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 9.2. R. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. 9.1. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi itp.), oblicza miary tych kątów. 7.4. R. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności.

**C.** \(60^\circ\)

Odcinki \(FI\) i \(FK\) są przekątnymi dwóch sąsiednich ścian sześcianu o krawędzi \(a\), więc \[|FI|=|FK|=a\sqrt2.\] Punkty \(I\) i \(K\) są przeciwległymi wierzchołkami górnej ściany \(IJKL\), więc odcinek \(IK\) jest jej przekątną i również \[|IK|=a\sqrt2.\] Trójkąt \(IFK\) ma zatem wszystkie boki równe — jest równoboczny, a każdy jego kąt ma miarę \(60^{\circ}\). **Odpowiedź.** \(|\angle IFK|=60^\circ\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 16. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(5\) razy.

Z rysunku odczytujemy, że odcięty ostrosłup \(ABDE\) ma wierzchołek w narożu \(A\) sześcianu, a trzy jego krawędzie wychodzące z \(A\) — czyli \(AB\), \(AD\) i \(AE\) — są krawędziami sześcianu i są parami prostopadłe. Podstawą jest trójkąt prostokątny \(ABD\) o polu \(\frac12a^2\), a wysokością krawędź \(AE\) długości \(a\), więc \[V_{ABDE}=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot a=\frac{a^3}{6}.\] Pozostała część sześcianu ma objętość \[a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6},\] czyli \(5\) razy większą od objętości ostrosłupa. **Odpowiedź.** D. \(5\) razy.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli — także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.

Teza została wykazana: suma jest podzielna przez \(24\).

Trzy kolejne liczby naturalne parzyste zapisujemy jako \(2n\), \(2n+2\), \(2n+4\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną. Rozwijamy sześciany: \[(2n)^{3}=8n^{3},\] \[(2n+2)^{3}=8n^{3}+24n^{2}+24n+8,\] \[(2n+4)^{3}=8n^{3}+48n^{2}+96n+64.\] Po dodaniu \[(2n)^{3}+(2n+2)^{3}+(2n+4)^{3}=24n^{3}+72n^{2}+120n+72=24\left(n^{3}+3n^{2}+5n+3\right).\] Liczba w nawiasie jest całkowita, więc cała suma jest wielokrotnością \(24\). **Odpowiedź.** Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\), co należało wykazać.

1 pkt: poprawne zapisanie sumy i jej przekształcenie. 2 pkt: pełny dowód podzielności przez 24.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

**A.** \(12\sqrt2\)

Z pola powierzchni \(6a^{2}=12\) otrzymujemy \(a^{2}=2\), czyli \(a=\sqrt2\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=12\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(12\sqrt2\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[d=3+\sqrt3.\]

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(d=a\sqrt3\). Z warunku zadania \(d-a=2\), czyli \[a\sqrt3-a=2\quad\Longleftrightarrow\quad a\left(\sqrt3-1\right)=2\quad\Longleftrightarrow\quad a=\frac2{\sqrt3-1}=\sqrt3+1.\] Stąd \[d=a\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)\sqrt3=3+\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=3+\sqrt3\)

1 pkt: równanie d=(√3/3)d+2 albo a√3=a+2. 2 pkt: d=3+√3.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**B.** \(4^{-4}\)

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są potęgami liczby \(4\), więc całe wyrażenie trzeba doprowadzić do jednej potęgi o podstawie \(4\). Potrzebne będą trzy prawa działań na potęgach: \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\), \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) oraz \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\). **Krok \(2\).** Zamieniamy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym, a podstawę \(16\) na podstawę \(4\): \[\sqrt[3]{16}=16^{\frac13}=\left(4^{2}\right)^{\frac13}=4^{\frac23}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki: \[4^{\frac23}\cdot 4^{-2}=4^{\frac23-2}=4^{-\frac43}.\] **Krok \(4\).** Podnosimy do trzeciej potęgi, czyli mnożymy wykładniki: \[\left(4^{-\frac43}\right)^{3}=4^{-\frac43\cdot 3}=4^{-4}.\] **Krok \(5\).** Sposób bez ułamków: podnosimy do sześcianu każdy czynnik osobno. Wtedy \(\left(\sqrt[3]{16}\right)^{3}=16=4^{2}\) oraz \(\left(4^{-2}\right)^{3}=4^{-6}\), więc \[4^{2}\cdot 4^{-6}=4^{2-6}=4^{-4}.\] **Uwaga.** Ujemny wykładnik nie oznacza, że liczba jest ujemna: \(4^{-4}=\frac{1}{4^{4}}=\frac{1}{256}\) jest liczbą dodatnią, tylko bardzo małą. **Odpowiedź.** B. \(4^{-4}\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

Oznaczmy lewą stronę przez x i podnieśmy równość do trzeciej potęgi. Ponieważ (\(9\)+√\(80\))(\(9\)−√\(80\))=\(1\), otrzymujemy \(x^{3}\)=\(18\)+\(3x\), czyli (x−\(3\))(\(x^{2}\)+\(3x\)+\(6\))=\(0\). Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc x=\(3\).

**Krok \(1\).** Pojedynczych pierwiastków sześciennych \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) i \(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\) nie da się wprost uprościć. Standardowy chwyt w takich dowodach: oznaczamy całą lewą stronę jedną literą i podnosimy równość do trzeciej potęgi, bo wtedy pierwiastki sześcienne znikną. **Krok \(2\).** Niech \[x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.\] Oznaczmy dla wygody \(p=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) oraz \(q=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\), czyli \(x=p+q\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy w postaci \[(p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q).\] Ta postać jest tu kluczowa, bo pozwoli nam wykorzystać to, że \(p+q\) to właśnie \(x\). **Krok \(4\).** Liczymy \(p^3+q^3\). Sześcian znosi pierwiastek sześcienny, więc \[p^3+q^3=\left(9+\sqrt{80}\right)+\left(9-\sqrt{80}\right)=18.\] **Krok \(5\).** Liczymy \(pq\). Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu, a pod pierwiastkiem mamy różnicę kwadratów: \[pq=\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\left(9-\sqrt{80}\right)}=\sqrt[3]{81-80}=\sqrt[3]{1}=1.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy obie wartości do wzoru z kroku \(3\): \[x^3=18+3\cdot 1\cdot x,\qquad\text{czyli}\qquad x^3-3x-18=0.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, że \(x=3\) jest pierwiastkiem: \(27-9-18=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-3\) i otrzymujemy rozkład \[x^3-3x-18=(x-3)\left(x^2+3x+6\right).\] **Krok \(8\).** Trójmian \(x^2+3x+6\) ma wyróżnik \[\Delta=9-24=-15\lt 0,\] więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zatem jedyną liczbą rzeczywistą spełniającą równanie \(x^3-3x-18=0\) jest \(x=3\). **Krok \(9\).** Liczba \(x\) z kroku \(2\) jest oczywiście rzeczywista (to suma dwóch pierwiastków sześciennych z liczb rzeczywistych), a spełnia to równanie, więc musi być równa \(3\). To kończy dowód. **Uwaga.** Samo pokazanie, że \(x=3\) spełnia równanie \(x^3-3x-18=0\), to za mało. Trzeba jeszcze uzasadnić, że innych rozwiązań rzeczywistych nie ma, bo inaczej nie wiadomo, które z nich jest naszą sumą. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik w kroku \(8\). **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\): \(\sqrt[3]{9+[…]}+\sqrt[3]{9-[…]}=x\), podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, np.: […], lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, np.: […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\) w postaci: \(x^{3}-3x-18=0\). **4 pkt** – zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski. Jeżeli zdający wyznaczy liczbę \(x=3\) i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania \(x^{3}-3x-18=0\), to otrzymuje \(3\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami sześciennymi i dowód równości.

**A.** \(-8x^3+27\)

Zauważamy, że drugi czynnik można zapisać jako \(-\left(4x^{2}+6x+9\right)\), a wtedy \[(2x-3)\left(4x^{2}+6x+9\right)=(2x)^{3}-3^{3}=8x^{3}-27\] na mocy wzoru na różnicę sześcianów \(a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\) dla \(a=2x\), \(b=3\). Zatem \[(2x-3)\left(-4x^{2}-6x-9\right)=-\left(8x^{3}-27\right)=-8x^{3}+27.\] **Odpowiedź.** A

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

**B.** \(8\)

Ściana sześcianu jest kwadratem o boku \(a\), więc z \(a^{2}=4\) otrzymujemy \(a=2\). Zatem \[V=a^{3}=8.\] **Odpowiedź.** \(V=8\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie objętości sześcianu z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie (II.9.b).

**C.** \(96\)

Z objętości \(a^{3}=64\) otrzymujemy \(a=4\), zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot16=96.\] **Odpowiedź.** \(P_c=96\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach; wykorzystuje związek między polem powierzchni całkowitej sześcianu a jego objętością.

**D.** \(3\sqrt3\)

Z pola powierzchni \(6a^{2}=54\) otrzymujemy \(a^{2}=9\), czyli \(a=3\). Przekątna sześcianu ma długość \[d=a\sqrt3=3\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=3\sqrt3\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie.

\[P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}{8}.\]

Punkty \(K\), \(L\), \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu o krawędzi \(1\). W trójkącie prostokątnym \(ABK\) (kąt prosty przy \(B\)) mamy \(|AB|=1\) oraz \(|BK|=\frac12\), więc \[|AK|^{2}=1^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}=\frac54.\] Krawędź \(AE\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(MAK\) jest prostokątny przy \(A\) i \[|MK|^{2}=|MA|^{2}+|AK|^{2}=\left(\tfrac12\right)^{2}+\frac54=\frac32.\] Z symetrii sześcianu w ten sam sposób otrzymujemy \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=\frac32\), więc trójkąt \(KLM\) jest równoboczny o boku \(\sqrt{\frac32}\). Pole trójkąta równobocznego o boku \(b\) jest równe \(\frac{b^{2}\sqrt3}4\), zatem \[P_{KLM}=\frac{\frac32\cdot\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}8.\] **Odpowiedź.** \(P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}8\)

**2 pkt** – obliczenie \(|AK|^{2}=\frac54\) **3 pkt** – obliczenie boków trójkąta \(KLM\): \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=|MK|^{2}=\frac32\) albo równoważne wykazanie, że trójkąt jest równoboczny **4 pkt** – obliczenie pola \(\frac{3\sqrt3}8\)

Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie.

**C.** \(9\sqrt3\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są krawędź \(a\) oraz przekątna ściany \(a\sqrt2\): \[d=\sqrt{a^{2}+\left(a\sqrt2\right)^{2}}=a\sqrt3.\] Dla \(a=9\) otrzymujemy \(d=9\sqrt3\). **Odpowiedź.** \(d=9\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza przekątną sześcianu.

**A.**

Ostrosłup \(ABCDE\) ma podstawę \(ABCD\) — kwadrat o boku \(a\) — oraz wierzchołek \(E\) leżący bezpośrednio nad \(A\), bo krawędź \(AE\) jest krawędzią sześcianu. Krawędź \(AE\) jest więc wysokością ostrosłupa. Rozpoznajemy kształty ścian bocznych: \[|AE|=a,\qquad |BE|=|DE|=a\sqrt2,\qquad |CE|=a\sqrt3.\]Ściany \(ABE\) i \(ADE\) są trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przyprostokątnych \(a\) i \(a\), bo \(AE\perp AB\) i \(AE\perp AD\). Ściany \(BCE\) i \(DCE\) są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych \(a\) oraz \(a\sqrt2\), bo \(BC\perp AB\) i \(BC\perp AE\), więc \(BC\perp BE\). Siatka składa się zatem z kwadratu o boku \(a\) oraz z czterech trójkątów prostokątnych przyłożonych do jego boków: dwóch mniejszych, o przyprostokątnych \(a\) i \(a\), przy bokach wychodzących z \(A\), i dwóch większych, o przyprostokątnych \(a\) i \(a\sqrt2\), przy pozostałych bokach. Ten opis spełnia wyłącznie siatka z rysunku **A**. **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – rozpoznaje siatkę ostrosłupa.

**D.** \(8\)

Sześcian ma \(12\) krawędzi jednakowej długości \(a\), więc \[12a=24,\qquad a=2.\] Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V=a^3\), zatem \[V=2^3=8.\] **Odpowiedź.** D. \(8\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie krawędzi sześcianu z sumy długości krawędzi i obliczanie jego objętości Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(18\)

Bryła \(EFSB\) jest czworościanem. Jako jego podstawę wybieramy trójkąt \(EFS\), zawarty w górnej ścianie sześcianu; wtedy wysokością jest odległość wierzchołka \(B\) od płaszczyzny tej ściany, równa krawędzi sześcianu. Punkt \(S\) jest środkiem kwadratu \(EFGH\) o boku \(6\), więc jego odległość od prostej \(EF\) wynosi \(3\). Stąd \[P_{EFS}=\frac12\cdot|EF|\cdot3=\frac12\cdot6\cdot3=9.\] Objętość czworościanu: \[V=\frac13\cdot P_{EFS}\cdot 6=\frac13\cdot9\cdot6=18.\] **Odpowiedź.** \(V=18\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza objętość ostrosłupa w sześcianie.

**C.** \(18\)

Z zależności \(d=a\sqrt3\) dla \(d=3\) otrzymujemy \(a=\sqrt3\), czyli \(a^{2}=3\). Zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot3=18.\] **Odpowiedź.** \(P_c=18\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(8\ \mathrm{cm}^3\)

Z pola powierzchni całkowitej \(6a^{2}=24\) otrzymujemy \(a^{2}=4\), czyli \(a=2\ \mathrm{cm}\). Zatem \[V=a^{3}=8\ \mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=8\,\mathrm{cm}^3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

\(162\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(d=a\sqrt3\). Z warunku \(d=9\) otrzymujemy \[a\sqrt3=9\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3,\qquad a^{2}=27.\] Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól sześciu ścian: \[P_c=6a^{2}=6\cdot27=162.\] **Odpowiedź.** \(P_c=162\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(162\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

**B.** \(36\ \mathrm{cm}\)

Z objętości \(a^{3}=27\) otrzymujemy \(a=3\ \mathrm{cm}\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=36\ \mathrm{cm}.\] **Odpowiedź.** \(36\,\mathrm{cm}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – wykorzystuje objętość sześcianu do obliczenia sumy krawędzi.

**D.** \(5\,\mathrm{cm}\)

Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych, więc jego pole powierzchni całkowitej o krawędzi \(a\) jest równe \(P_c=6a^{2}\). Z warunku zadania \[6a^{2}=150\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad a=5,\] bo długość krawędzi jest dodatnia. **Odpowiedź.** Krawędź ma długość \(5\,\mathrm{cm}\), czyli wariant **D**

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{D}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Krawędź sześcianu ma długość \(2\sqrt[3]{2}\ \mathrm{cm}\).

Krawędź boczna \(b=4\) rzutuje się na połowę przekątnej podstawy, a kąt nachylenia wynosi \(30^\circ\). Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez krawędź boczną, wysokość ostrosłupa \(H\) i połowę przekątnej \(\frac d2\): \[H=b\sin30^\circ=4\cdot\tfrac12=2,\qquad \frac d2=b\cos30^\circ=4\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3,\] skąd \(d=4\sqrt3\). W kwadracie przekątna jest \(\sqrt2\) razy dłuższa od boku, więc krawędź podstawy wynosi \[a=\frac{d}{\sqrt2}=\frac{4\sqrt3}{\sqrt2}=2\sqrt6,\qquad a^2=24.\] Objętość ostrosłupa: \[V=\tfrac13a^2H=\tfrac13\cdot24\cdot2=16.\] Sześcian o krawędzi \(c\) ma tę samą objętość, gdy \[c^3=16,\qquad c=\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}=2\sqrt[3]{2}.\] **Odpowiedź.** Krawędź sześcianu ma długość \(2\sqrt[3]{2}\ \mathrm{cm}\approx2{,}52\ \mathrm{cm}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – obliczenie wysokości ostrosłupa: \(H=2\). […] **7.2. (1 pkt)** – obliczenie długości przekątnej podstawy ostrosłupa: \(d=4\sqrt{3}\) albo długości krawędzi podstawy: \(a=2\sqrt{6}\). **7.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=16\). **7.4. (1 pkt)** – oznaczenie długości krawędzi sześcianu, np. \(b\) i zapisanie równania: \(b^{3}=16\). **7.5. (1 pkt)** – obliczenie długości krawędzi sześcianu: \(b=2\sqrt[3]{2}\). Zdający może podać wynik w postaci, np. \(b=\sqrt[3]{16}\) lub wartość przybliżoną pierwiastka.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**A.** \((3x+y)\left(9x^{2}-3xy+y^{2}\right)\)

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów \[u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)\] dla \(u=3x\) oraz \(v=y\), bo \(27x^{3}=(3x)^{3}\). Otrzymujemy \[27x^{3}+y^{3}=(3x+y)\left(9x^{2}-3xy+y^{2}\right).\] W drugim nawiasie środkowy wyraz ma znak minus — to odróżnia poprawny wariant od wariantu B. **Odpowiedź.** A

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(H=\dfrac{3-\sqrt3}{6}\).

Każda ściana boczna jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, a przeciwprostokątną jest krawędź podstawy o długości \(\sqrt2\). Zatem kąt prosty jest przy wierzchołku \(D\), a krawędzie boczne mają długość \[|DA|=|DB|=|DC|=b,\qquad b^2+b^2=(\sqrt2)^2,\quad b=1.\] Krawędzie \(DA\), \(DB\), \(DC\) są więc parami prostopadłe, skąd \[V=\frac16\cdot1\cdot1\cdot1=\frac16.\] Pola ścian: trzy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(1\) dają \(3\cdot\tfrac12=\tfrac32\), a podstawa (trójkąt równoboczny o boku \(\sqrt2\)) \[P_{ABC}=\frac{(\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.\] Łącznie \(S=\tfrac32+\tfrac{\sqrt3}2=\tfrac{3+\sqrt3}{2}\). Punkt \(P\) dzieli ostrosłup na cztery ostrosłupy o wspólnej wysokości \(H\) i podstawach będących ścianami danego ostrosłupa, więc \[V=\tfrac13SH,\qquad H=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot\frac16}{\frac{3+\sqrt3}{2}} =\frac{1}{3+\sqrt3}=\frac{3-\sqrt3}{6}.\] **Odpowiedź.** \(H=\dfrac{3-\sqrt3}{6}\approx0{,}21\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I metoda rozwiązania:** **8.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku: \(P\) leży na wysokości \(DO\). (rysunek: \(P\), \(C\), \(A\), \(O\), \(B\)) **8.2. (1 pkt)** – obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa: \(a=1\). **8.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa \(ABCD\), np. poprzez stwierdzenie, że dany ostrosłup to „naroże” sześcianu o krawędzi długości \(1\): \(V_{ABCD}=\frac{1}{6}\). **8.4. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(H\) – szukaną odległością: \[3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot H+\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{1}{6}.\] Wystarczy, że zdający zapisze, że objętość ostrosłupa jest sumą objętości czterech ostrosłupów, których podstawami są ściany danego ostrosłupa, a wysokością szukana odległość. **8.5. (1 pkt)** – obliczenie szukanej odległości: \(H=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\). **II metoda rozwiązania:** **8.1. (1 pkt)** – sporządzenie rysunku. (rysunek: \(D\), \(P_{1}\), \(P\), \(C\), \(A\), \(O\), \(C_{1}\), \(B\); znaczniki na rysunku […]) \(P_{1}\) jest rzutem punktu \(P\) na wysokość ściany bocznej \(DC_{1}\). **8.2. (1 pkt)** – obliczenie długości \(DC_{1}\): \(DC_{1}=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\). **8.3. (1 pkt)** – wyznaczenie \(DO\) z trójkąta \(DOC_{1}\): np. \(DO^{2}=DC_{1}^{2}-OC_{1}^{2}\), gdzie \(OC_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}\), stąd \(DO=\frac{\sqrt{3}}{3}\). **8.4. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(H\), np. z podobieństwa trójkątów \(\Delta PP_{1}D\sim\Delta DOC_{1}\) wynika proporcja \(\frac{PP_{1}}{DP}=\frac{OC_{1}}{DC_{1}}\) i \(PP_{1}=H\): \[\frac{H}{\frac{\sqrt{3}}{3}-H}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.\] **8.5. (1 pkt)** – obliczenie szukanej odległości: \(H=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Objętość narożnika jest równa \(\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3\).

Punkt \(R\) jest narożnikiem pokoju, w którym schodzą się dwie ściany i sufit, więc krawędzie \(RA\), \(RB\), \(RC\) są parami prostopadłe. Odcięta bryła jest ostrosłupem \(RABC\). Za podstawę przyjmijmy trójkąt prostokątny \(RAB\) o przyprostokątnych \(\lvert RA\rvert=\lvert RB\rvert=1\ \mathrm{m}\): \[P_{RAB}=\tfrac12\cdot1\cdot1=\tfrac12\ \mathrm{m}^2.\] Krawędź \(RC\) jest prostopadła do obu krawędzi \(RA\) i \(RB\), a więc do płaszczyzny \(RAB\) — jest wysokością tego ostrosłupa i ma długość \(1\ \mathrm{m}\). Zatem \[V=\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot1=\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3.\] **Odpowiedź.** \(V=\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – zapisanie założenie, że trójkąt \(ABR\) jest podstawą, a odcinek \(CR\) jest wysokością danego ostrosłupa \(ABRC\). **9.2. (1 pkt)** – obliczenie pola podstawy: \(P_{p}=\frac{1}{2}\,\mathrm{m}^{2}\). **9.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\). Zdający może pominąć jednostki. Jeśli zdający zapisze, że objętość ostrosłupa jest równa \(\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\), bo jest to naroże sześcianu o krawędzi \(1\) m, to przyznajemy punkty w czynnościach 9.1, 9.2, 9.3. **9.4. (1 pkt)** – podanie wyniku zaokrąglonego do \(0{,}01\,\mathrm{m}^{3}\): \(V=0{,}17\,\mathrm{m}^{3}\). **II sposób rozwiązania:** **9.1. (1 pkt)** – podstawą ostrosłupa \(ABCR\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\), którego krawędź podstawy ma długość \(\sqrt{2}\). Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: \(P_{p}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{m}^{2}\). **9.2. (1 pkt)** – obliczenie wysokości \(H\) ostrosłupa: \(H=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{m}\). **9.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\). **9.4. (1 pkt)** – podanie wyniku zaokrąglonego do \(0{,}01\,\mathrm{m}^{3}\): \(V=0{,}17\,\mathrm{m}^{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(m=0\).

**Krok \(1\).** Słowo *jedynym* dzieli zadanie na dwa etapy. Najpierw z warunku, że \(1\) jest rozwiązaniem, wyznaczamy kandydatów na \(m\) (podstawiamy \(x=1\)). Potem dla każdego kandydata sprawdzamy, czy równanie nie ma innych rozwiązań rzeczywistych — bez tego etapu zadanie nie jest rozwiązane. **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=1\) do równania \(x^3+m^3x^2-m^2x-1=0\): \[1+m^3-m^2-1=0,\qquad m^3-m^2=0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(m^2\) przed nawias: \[m^2(m-1)=0,\qquad\text{czyli}\qquad m=0\quad\text{lub}\quad m=1.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy \(m=0\). Równanie przyjmuje postać \(x^3-1=0\), a korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów: \[x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Trójmian \(x^2+x+1\) ma wyróżnik \(\Delta=1-4=-3\lt0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem jest zatem \(x=1\) — wartość \(m=0\) spełnia warunki zadania. **Krok \(6\).** Sprawdzamy \(m=1\). Równanie przyjmuje postać \(x^3+x^2-x-1=0\). Grupujemy wyrazy: \[x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1)=0.\] **Krok \(7\).** Rozwiązaniami są \(x=1\) oraz \(x=-1\), więc rozwiązanie nie jest jedyne — wartość \(m=1\) odrzucamy. **Uwaga.** Samo podstawienie \(x=1\) daje tylko warunek konieczny. Gdyby na tym poprzestać, w odpowiedzi znalazłoby się także \(m=1\), przy którym równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. **Odpowiedź.** \(m=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą \(m\): \(1^{3}+m^{3}\cdot 1^{2}-m^{2}\cdot 1-1=0\). **3.2. (1 pkt)** – obliczenie wszystkich wartości \(m\), dla których liczba \(1\) jest rozwiązaniem równania (pierwiastkiem wielomianu): \(m=0\) lub \(m=1\). **3.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=0\) równanie ma tylko jedno rozwiązanie \(x=1\) (wielomian ma tylko jeden pierwiastek), np. dla \(m=0\) równanie ma postać \(x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=0\), a trójmian \(x^{2}+x+1\) nie ma pierwiastków. **3.4. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=1\) równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla \(m=1\) równanie ma postać \((x+1)^{2}(x-1)=0\), co oznacza, że liczba \((-1)\) też jest jego rozwiązaniem. **II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci iloczynu, np. \((x-1)\left(x^{2}+bx+c\right)=0\) i wykonanie mnożenia \(x^{3}+(b-1)x^{2}+(c-b)x-c=0\). **3.2. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków: \(c=1\), \(b=m^{2}+1\) i \(b=m^{3}+1\) oraz rozwiązanie równania \(m^{3}+1=m^{2}+1\): \(m=0\) lub \(m=1\). **III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\): \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}+\left(m^{3}+1\right)x+m^{3}-m^{2}+1\right)+\left(m^{3}-m^{2}\right)\), **3.2. (1 pkt)** – skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie \(m\): \(m^{3}-m^{2}=0\) stąd \(m=0\) lub \(m=1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(d=4\); b) dla \(d=2\): \(Q(x)=(x+1)(2x-1)(x-2)\).

**Krok \(1\).** ⋅\(13\) − \(3⋅12\) − \(3⋅1\)+ d = \(0\) . zapisze Q (\(1\)) = \(0\) . **Krok \(2\).** Obliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba \(1\) jest pierwiastkiem **Krok \(3\).** wielomianu: d = \(4\) . **Krok \(4\).** Zapisanie wielomianu Q dla d = \(2\) w postaci sumy iloczynów, z których **Krok \(5\).** będzie wynikał wspólny czynnik: Q ( x) = \(2\) ( \(x^{3}\) +\(1\) ) − \(3x\) ( x +\(1\)) . \(1\) **Krok \(6\).** Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie **Krok \(7\).** wielomianu Q w postaci: Q ( x) = \(2\) ( x +\(1\)) ( \(x^{2}\) − x +\(1\) ) − \(3x\) ( x +\(1\)) . \(1\) **Krok \(8\).** Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów: **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […]: \(2\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{2}-3\cdot 1+d=0\). […] zapisze \(Q(1)=0\). **5.2. (1 pkt)** – obliczenie wartości współczynnika \(d\), gdy liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu: \(d=4\). **5.3. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) dla \(d=2\) w postaci sumy iloczynów, z których będzie wynikał wspólny czynnik: \(Q(x)=2\left(x^{3}+1\right)-3x(x+1)\). **5.4. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci: \(Q(x)=2(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)-3x(x+1)\). **5.5. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów: \(Q(x)=(x+1)\left(2x^{2}-5x+2\right)\). **5.6. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(Q\) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego: \(Q(x)=(x+1)(2x-1)(x-2)\) lub \(Q(x)=2(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedzina: \(m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\); \(f(m)=\frac{3m+2}{m+2}=3-\frac{4}{m+2}\), więc wykresem są łuki hiperboli o asymptotach \(m=-2\) i \(y=3\), ograniczone do tej dziedziny.

**Krok \(1\).** Kluczowe jest zrozumienie, czym jest dziedzina funkcji \(f\): to zbiór tych \(m\), dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli \(\Delta\gt0\) (warunek \(m\neq-2\) gwarantuje, że równanie jest kwadratowe). Samego iloczynu pierwiastków nie liczymy z pierwiastków — dają go wzory Viète’a. **Krok \(2\).** Dla równania \((m+2)x^2-(m+2)^2x+3m+2=0\) mamy \(a=m+2\), \(b=-(m+2)^2\), \(c=3m+2\), więc \[\Delta=(m+2)^4-4(m+2)(3m+2).\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \((m+2)\): \[\Delta=(m+2)\left[(m+2)^3-4(3m+2)\right].\] **Krok \(4\).** Rozwijamy sześcian: \((m+2)^3=m^3+6m^2+12m+8\), zatem \[(m+2)^3-12m-8=m^3+6m^2=m^2(m+6),\] czyli \[\Delta=m^2(m+2)(m+6).\] **Krok \(5\).** Warunek \(\Delta\gt0\): czynnik \(m^2\) jest dodatni dla \(m\neq0\) i zerowy dla \(m=0\), więc musi być \(m\neq0\) oraz \((m+2)(m+6)\gt0\), czyli \(m\lt-6\) lub \(m\gt-2\). **Krok \(6\).** Dziedzina funkcji \(f\): \[m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty).\] **Krok \(7\).** Ze wzoru Viète’a na iloczyn pierwiastków: \[f(m)=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3m+2}{m+2}.\] **Krok \(8\).** Aby narysować wykres, zapisujemy ten ułamek w postaci przesuniętej hiperboli: \[\frac{3m+2}{m+2}=\frac{3(m+2)-4}{m+2}=3-\frac{4}{m+2}.\] **Krok \(9\).** Wykresem jest więc hiperbola \(y=-\frac4{x}\) przesunięta o wektor \([-2,3]\), o asymptotach \(m=-2\) oraz \(y=3\). **Krok \(10\).** Rysujemy tylko te fragmenty, które odpowiadają dziedzinie: gałąź dla \(m\lt-6\) (przy czym punkt \((-6,4)\) jest wyłączony, bo \(f(-6)=4\)), pomijamy przedział \(\langle-6,-2\rangle\), a na prawej gałęzi wykluczamy punkt \((0,1)\), bo \(f(0)=1\), a \(m=0\) nie należy do dziedziny. **Uwaga.** Dziedziną nie jest zbiór wszystkich \(m\neq-2\). Najłatwiej tu przeoczyć wykluczenie \(m=0\): wtedy \(\Delta=0\) i równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek, a treść wymaga dwóch różnych. **Odpowiedź.** Dziedzina: \(m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\); \(f(m)=\dfrac{3m+2}{m+2}=3-\dfrac{4}{m+2}\), więc wykres to fragmenty hiperboli o asymptotach \(m=-2\) i \(y=3\), z wyłączonym punktem \((0,1)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (2 pkt)** – […] \(m_{1}=0\), \(m_{2}=-6\), \(m_{3}=-2\), lub zapisanie wyróżnika w postaci iloczynowej: \(\Delta=m^{2}(m+2)\cdot(m+6)\). **11.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) i zapisanie dziedziny: \(m\in\left(-\infty,\,-6\right)\cup\left(-2,\,0\right)\cup\left(0,\,\infty\right)\). **11.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji: \(f(m)=\frac{3m+2}{m+2}\). **11.4. (2 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że dla \(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) zachodzi \(a^{3}=14-3a\), a równanie \(a^{3}+3a-14=(a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty \(a=2\); zatem badane wyrażenie jest równe \(2\), czyli jest liczbą całkowitą (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Metoda: oznaczamy badane wyrażenie jedną literą i podnosimy je do sześcianu. Wynika to z tożsamości \((u-v)^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)\), która pozwoli zastąpić uciążliwe pierwiastki sześcienne prostym równaniem. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia \[u=\sqrt[3]{5\sqrt2+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt2-7},\qquad a=u-v.\] Liczby \(u\) i \(v\) są rzeczywiste (pierwiastek sześcienny istnieje dla każdej liczby rzeczywistej), więc \(a\) jest liczbą rzeczywistą. **Krok \(3\).** Obliczamy różnicę sześcianów: \[u^{3}-v^{3}=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14.\] **Krok \(4\).** Obliczamy iloczyn \(uv\), korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: \[uv=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1.\] To jest sedno zadania: pod pierwiastkiem zostaje liczba \(1\). **Krok \(5\).** Podstawiamy oba wyniki do tożsamości z kroku \(1\): \[a^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)=14-3\cdot 1\cdot a,\] czyli \(a\) spełnia równanie \[a^{3}+3a-14=0.\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(a=2\) spełnia to równanie, bo \(8+6-14=0\). Dzielimy więc wielomian przez dwumian \(a-2\): \[a^{3}+3a-14=(a-2)\left(a^{2}+2a+7\right).\] **Krok \(7\).** Badamy drugi czynnik. Dla trójmianu \(a^{2}+2a+7\) mamy \[\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24\lt 0,\] więc \(a^{2}+2a+7\) nie ma pierwiastków rzeczywistych i dla każdego rzeczywistego \(a\) jest dodatni. **Krok \(8\).** Zatem równanie \(a^{3}+3a-14=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie jeden pierwiastek: \(a=2\). Ponieważ nasza liczba \(a\) jest rzeczywista i spełnia to równanie, musi być równa \(2\). **Uwaga.** Samo sprawdzenie, że liczba \(2\) spełnia równanie \(a^{3}=14-3a\), jeszcze nie kończy dowodu: trzeba wykazać, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik. **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}=2\), a więc badane wyrażenie jest liczbą całkowitą.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] lub \(a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) i \(a^{3}=\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^{3}\) **17.2. (1 pkt)** – skorzystanie z tożsamości: \((x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)\) **17.3. (2 pkt)** – wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą \(a\) (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(a^{3}=14-3a\) (*) **17.4. (1 pkt)** – wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): \(a=2\) **17.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (*) w postaci iloczynowej: \((a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) lub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek **17.6. (1 pkt)** – wykazanie, że \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) jest liczbą całkowitą – sprawdzenie warunku \(\Delta<0\) i uzasadnienie, że \(a=2\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(-5,1)\), \(B=\langle-2,2\rangle\), \(A\cap B=\langle-2,1)\), \(B\setminus A=\langle1,2\rangle\).

**Krok \(1\).** Oba zbiory są opisane nierównościami, więc plan jest taki: każdą nierówność rozwiązujemy osobno i zapisujemy jej rozwiązanie jako przedział, a dopiero potem wykonujemy działania na przedziałach. Nierówność z wartością bezwzględną rozwiążemy z definicji, a drugą trzeba najpierw uprościć, rozwijając sześcian. **Krok \(2\).** Zbiór \(A\): nierówność \(|x+2|\lt3\) oznacza, że liczba \(x+2\) jest odległa od zera o mniej niż \(3\), czyli \[-3\lt x+2\lt3.\] Odejmujemy \(2\) od każdej części: \(-5\lt x\lt1\), zatem \(A=(-5,1)\). **Krok \(3\).** Zbiór \(B\): korzystamy ze wzoru \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) dla \(a=2x\), \(b=1\): \[(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to do nierówności: \[8x^3-12x^2+6x-1\leqslant 8x^3-13x^2+6x+3.\] Wyrazy \(8x^3\) oraz \(6x\) występują po obu stronach i się redukują: \[-12x^2-1\leqslant-13x^2+3.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \(-12x^2+13x^2\leqslant3+1\), czyli \(x^2\leqslant4\). Ta nierówność oznacza \(|x|\leqslant2\), a więc \[-2\leqslant x\leqslant2,\qquad B=\langle-2,2\rangle.\] **Krok \(6\).** Część wspólna: \(A\cap B\) to liczby należące jednocześnie do \((-5,1)\) i do \(\langle-2,2\rangle\). Lewy koniec bierzemy z \(B\) (bo \(-2\) jest większe od \(-5\) i należy do \(B\)), a prawy z \(A\) (bo \(1\) jest mniejsze od \(2\), ale nie należy do \(A\)): \[A\cap B=\langle-2,1).\] **Krok \(7\).** Różnica: \(B\setminus A\) to liczby z \(B\), które nie są w \(A\). Ze zbioru \(\langle-2,2\rangle\) wyrzucamy wszystko, co jest mniejsze od \(1\) i większe od \(-5\), zostaje \[B\setminus A=\langle1,2\rangle.\] **Uwaga.** Cała trudność tego zadania siedzi w końcach przedziałów. Liczba \(1\) nie należy do \(A\) (nierówność \(|x+2|\lt3\) jest ostra), więc \(1\) nie wchodzi do \(A\cap B\), ale wchodzi do \(B\setminus A\). Liczby \(-2\) i \(2\) należą do \(B\), bo tam nierówność jest nieostra. **Odpowiedź.** \(A=(-5,1)\), \(B=\langle-2,2\rangle\), \(A\cap B=\langle-2,1)\), \(B\setminus A=\langle1,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (2 pkt)** – […] (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(A=(-5;1)\) **6.2. (2 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \((2x-1)^{3}\le 8x^{3}-13x^{2}+6x+3\) i wyznaczenie zbioru \(B\): \(B=\langle-2;2\rangle\) (w tym 1 p. za doprowadzenie nierówności do postaci \(x^{2}\le 4\) oraz 1 p. za rozwiązanie otrzymanej nierówności kwadratowej) **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru \(A\cap B\): \(A\cap B=\langle-2;1)\) **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru \(B-A\): \(B-A=\langle 1;2\rangle\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Przekrojem jest trapez o wysokości \(h=\frac{2\sqrt3}{3}a\) i podstawach \(a\sqrt2\) oraz \(\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)a}{3}\); jego pole wynosi \(S=\frac{2(\sqrt6-1)a^2}{3}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy problem. Płaszczyzna przechodzi przez przekątną podstawy i jest nachylona do podstawy pod kątem \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\). Zanim policzymy pole, musimy ustalić, jaką figurą jest przekrój — a to zależy od tego, czy płaszczyzna wychodzi z sześcianu przez krawędź boczną (wtedy przekrój jest trójkątem), czy dopiero przez ścianę górną (wtedy jest trapezem). Kąt nachylenia mierzymy zawsze w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi przecięcia, czyli tutaj prostopadłej do przekątnej podstawy. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Niech sześcian ma wierzchołki \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), a płaszczyzna przechodzi przez przekątną \(BD\) podstawy. Niech \(S\) będzie środkiem odcinka \(BD\). W kwadracie \(ABCD\) przekątne są prostopadłe, więc \(AS\perp BD\) oraz \[|AS|=\tfrac12|AC|=\tfrac12\cdot a\sqrt2=\frac{a\sqrt2}{2}.\] Kąt \(60^\circ\) to kąt przy wierzchołku \(S\) w płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez \(A\), \(S\) i \(A_1\). **Krok \(3\).** Sprawdzamy, czy przekrój jest trójkątem. Gdyby płaszczyzna przecięła krawędź \(AA_1\), to na wysokości \(h_0\) spełniającej \(\operatorname{tg}60^\circ=\frac{h_0}{|AS|}\), czyli \[h_0=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\sqrt3=\frac{a\sqrt6}{2}\approx 1{,}22a.\] To jest WIĘCEJ niż krawędź \(a\), więc płaszczyzna nie dosięga krawędzi \(AA_1\) — wychodzi wcześniej przez ścianę górną. Przekrojem jest zatem trapez \(BDNM\), w którym \(MN\) leży w ścianie górnej i jest równoległy do \(BD\), a dłuższa podstawa \(|BD|=a\sqrt2\). **Krok \(4\).** Liczymy wysokość trapezu \(h\). Rozpatrujemy trójkąt prostokątny w płaszczyźnie pionowej: jego wierzchołek ostry to \(S\) z kątem \(60^\circ\), przyprostokątna pionowa ma długość \(a\) (odległość ściany górnej od podstawy), a przeciwprostokątna leży w płaszczyźnie przekroju — to właśnie wysokość trapezu. Zatem \[\sin 60^\circ=\frac{a}{h},\qquad h=\frac{a}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2a}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}a.\] **Krok \(5\).** W tym samym trójkącie liczymy drugą przyprostokątną — mówi ona, jak daleko (poziomo) od prostej \(BD\) leży odcinek \(MN\): \[d=\frac{a}{\operatorname{tg}60^\circ}=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}a\approx 0{,}577a.\] **Krok \(6\).** Liczymy krótszą podstawę \(|MN|\). W ścianie górnej \(A_1B_1C_1D_1\) odcinek \(B_1D_1\) leży dokładnie nad \(BD\), a odległość wierzchołka \(A_1\) od prostej \(B_1D_1\) wynosi \(\frac{a\sqrt2}{2}\). Odcinek \(MN\) jest równoległy do \(B_1D_1\) i przesunięty o \(d\) w stronę \(A_1\), więc trójkąt \(A_1MN\) jest podobny do trójkąta \(A_1B_1D_1\) w skali \[k=\frac{\frac{a\sqrt2}{2}-d}{\frac{a\sqrt2}{2}}.\] Stąd \[|MN|=a\sqrt2\cdot k=a\sqrt2-2d=a\sqrt2-\frac{2\sqrt3}{3}a=\frac{\left(3\sqrt2-2\sqrt3\right)a}{3}.\] **Krok \(7\).** Liczymy pole trapezu. Suma podstaw: \[a\sqrt2+\frac{\left(3\sqrt2-2\sqrt3\right)a}{3}=\frac{3\sqrt2 a+3\sqrt2 a-2\sqrt3 a}{3}=\frac{\left(6\sqrt2-2\sqrt3\right)a}{3}.\] **Krok \(8\).** Podstawiamy do wzoru na pole trapezu: \[S=\frac{|BD|+|MN|}{2}\cdot h=\frac{\left(6\sqrt2-2\sqrt3\right)a}{2\cdot 3}\cdot\frac{2\sqrt3}{3}a=\frac{\left(3\sqrt2-\sqrt3\right)a}{3}\cdot\frac{2\sqrt3}{3}a.\] Mnożymy: \(\left(3\sqrt2-\sqrt3\right)\cdot 2\sqrt3=6\sqrt6-2\cdot 3=6\sqrt6-6\), więc \[S=\frac{\left(6\sqrt6-6\right)a^2}{9}=\frac{2\left(\sqrt6-1\right)a^2}{3}\approx 0{,}97a^2.\] **Uwaga.** Pułapką jest odruchowe założenie, że przekrój jest trójkątem. Płaszczyzna daje trójkąt tylko wtedy, gdy \(\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\operatorname{tg}\alpha\leqslant a\), czyli gdy \(\operatorname{tg}\alpha\leqslant\sqrt2\), a więc dla kątów nie większych niż około \(54{,}7^\circ\). Tutaj \(\alpha=60^\circ\) przekracza tę granicę, dlatego sprawdzenie z kroku \(3\) jest konieczne — bez niego całe dalsze rozwiązanie byłoby błędne. **Odpowiedź.** Przekrojem jest trapez o wysokości \(h=\frac{2\sqrt3}{3}a\) i podstawach \(a\sqrt2\) oraz \(\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)a}{3}\); jego pole wynosi \(S=\frac{2(\sqrt6-1)a^2}{3}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (2 pkt)** – […] z oznaczeniami i zaznaczenie kąta nachylenia **16.2. (1 pkt)** – obliczenie długości wysokości \(h\) trapezu: \(h=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\) **16.3. (1 pkt)** – obliczenie długości krótszej podstawy \(b\) trapezu: \(b=\frac{\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)a}{3}\) **16.4. (1 pkt)** – obliczenie pola \(S\) trapezu: \(S=\frac{2\left(\sqrt{6}-1\right)a^{2}}{3}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dla kąta ostrego między dwiema przekątnymi sześcianu \(\cos\alpha=\frac13\) (dla kąta rozwartego \(\cos\beta=-\frac13\)).

**Krok \(1\).** W sześcianie \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) o krawędzi \(a\) wybieramy dwie przekątne: \(AC_1\) oraz \(BD_1\). Przecinają się one w środku \(S\) sześcianu. Na rysunku zaznaczamy kąt \(\alpha=\sphericalangle ASB\), czyli kąt ostry między tymi przekątnymi. **Krok \(2\).** Przekątna sześcianu ma długość \(|AC_1|=|BD_1|=a\sqrt3\), a przekątne dzielą się w punkcie \(S\) na połowy, zatem \[|SA|=|SB|=\frac{a\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Odcinek \(AB\) jest krawędzią sześcianu, więc \(|AB|=a\). W trójkącie \(ASB\) stosujemy twierdzenie cosinusów: \[a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2\cdot\frac{3a^2}{4}\cdot\cos\alpha.\] **Krok \(4\).** Przekształcamy otrzymane równanie: \[a^2=\frac{3a^2}{2}-\frac{3a^2}{2}\cos\alpha,\qquad \frac{3a^2}{2}\cos\alpha=\frac{a^2}{2},\qquad \cos\alpha=\frac13.\] **Krok \(5\).** Drugi kąt wyznaczony przez te przekątne jest kątem rozwartym \(\beta=180^\circ-\alpha\), więc \(\cos\beta=-\frac13\). **Odpowiedź.** Cosinus kąta ostrego między wybranymi przekątnymi sześcianu jest równy \(\frac13\), a cosinus kąta rozwartego jest równy \(-\frac13\).

**[…]. (2 pkt)** – […] \(a^{2}=\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-2\cdot\frac{3}{4}a^{2}\cdot\cos\alpha\), gdzie \(a\) – długość krawędzi sześcianu, zaś \(\alpha\) – miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu. **32. (1 pkt)** – obliczenie wartości cosinusa kąta ostrego: \(\cos\alpha=\frac{1}{3}\). (Albo: \(\cos\beta=-\frac{1}{3}\), gdzie \(\beta\) jest kątem rozwartym).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[P(A)=\frac17.\]

Zdarzeniem elementarnym jest trzyelementowy podzbiór zbioru ośmiu wierzchołków sześcianu, przy czym wszystkie takie podzbiory są jednakowo prawdopodobne: \[\lvert\Omega\rvert=\binom83=56.\] Odcinki łączące wierzchołki sześcianu mają trzy możliwe długości: krawędź \(a\), przekątna ściany \(a\sqrt2\) i przekątna sześcianu \(a\sqrt3\). Trójkąt równoboczny powstaje tylko wtedy, gdy wszystkie trzy boki są przekątnymi ścian. Taka trójka wierzchołków to zbiór trzech sąsiadów ustalonego wierzchołka — każdemu z ośmiu wierzchołków odpowiada dokładnie jeden taki trójkąt i różnym wierzchołkom odpowiadają różne trójkąty. Zatem \(\lvert A\rvert=8\). Stąd \[P(A)=\frac{8}{56}=\frac17.\] **Odpowiedź.** \(P(A)=\dfrac17\).

**[…] ([…] pkt)** – […] doświadczenia: \(\lvert\Omega\rvert=\binom{8}{3}=56\). **31. (1 pkt)** – podanie liczby zdarzeń sprzyjających: \(\lvert A\rvert=8\). **32. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia: \(P(A)=\frac{1}{7}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.