Granice ciągów — obliczanie granicy ciągu, ciągi rozbieżne i twierdzenia o granicach

\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

Symbol Newtona rozpisujemy, korzystając z równości \(\binom{n+2}{n-1}=\binom{n+2}{3}\): \[\binom{n+2}{n-1}=\frac{(n+2)(n+1)n}{6}.\] Licznik i mianownik są wielomianami trzeciego stopnia, więc dzielimy oba przez \(n^{3}\): \[\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{(n+2)(n+1)n}{6}}{\frac12n^{3}-4n+7}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac16\left(1+\frac2n\right)\left(1+\frac1n\right)}{\frac12-\frac4{n^{2}}+\frac7{n^{3}}}=\frac{\frac16}{\frac12}=\frac13.\] **Odpowiedź.** \(\frac13\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie wyrażenia \(\binom{n+2}{n-1}\) w postaci […] lub w postaci […], \(\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\). **2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{1}{3}\). Uwaga: Jeżeli zdający zapisze symbol Newtona \(\binom{n+2}{n-1}\) błędnie jako \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) lub \(n(n+1)(n+2)\), lub popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma iloraz wielomianów stopnia trzeciego i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy granicę, to otrzymuje 1 punkt.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R2) Zdający stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności […]. VI.R1) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}=7.\]

Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) zachodzi \[7^n\leq6^n+7^n\leq2\cdot7^n.\] Po wyciągnięciu pierwiastków stopnia \(n\): \[7\leq\sqrt[n]{6^n+7^n}\leq7\sqrt[n]{2}.\] Ponieważ \(\lim_{n\to\infty}7=7\) oraz \(\lim_{n\to\infty}7\sqrt[n]{2}=7\), z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy szukaną granicę równą \(7\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **1 pkt** – wskazanie ciągów ograniczających o tej samej granicy, np. \(7\) i \(7\sqrt[n]{2}\), oraz obliczenie granicy jednego z nich **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 R) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając między innymi z granic ciągów typu \(\sqrt[n]{a}\) oraz z twierdzenia o trzech ciągach.

\[p=3.\]

Rozdzielamy składniki: \[a_n=(p+1)\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}+(2p+2)\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}.\] Oba ilorazy wielomianów mają granicę \(1\), ponieważ liczniki i mianowniki są stopnia \(2\) i mają ten sam współczynnik wiodący. Zatem \[\lim_{n\to\infty}a_n=(p+1)+(2p+2)=3p+3.\] Warunek \(3p+3=12\) daje \(p=3\).

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **2 pkt** – wyznaczenie granicy ciągu \((a_n)\) w zależności od \(p\) **1 pkt** – obliczenie jednej z dwóch granic ilorazów występujących we wzorze **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 R) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach sumy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych.

\[\frac{5\sqrt3}{2}=4,330\ldots\] W pola należy wpisać kolejno: **\(4\), \(3\), \(3\)**.

Dzielimy licznik i mianownik przez \(n\): \[\lim_{n\to+\infty}\frac{15+\frac{24}{n}}{2\sqrt{3+\frac4n-\frac{2}{n^2}}}=\frac{15}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{2}.\] Ponieważ \(\frac{5\sqrt3}{2}=4,330\ldots\), cyfrą jedności jest \(4\), a pierwszymi dwiema cyframi po przecinku są \(3\) i \(3\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5. R1) Zdający oblicza granice ciągów.

\[2.\]

Suma \(1+3+5+\ldots+(2n+1)\) zawiera \(n+1\) kolejnych liczb nieparzystych. Jej wartość wynosi \[1+3+5+\ldots+(2n+1)=(n+1)^2.\] Ponadto \[\binom n2=\frac{n(n-1)}2.\] Zatem \[\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+\ldots+(2n+1)}{\binom n2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{n(n-1)/2}.\] Po uproszczeniu: \[\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+4n+2}{n^2-n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2+\frac4n+\frac2{n^2}}{1-\frac1n}=2.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(2\) **3 pkt** – wyznaczenie sumy \(1+3+5+\ldots+(2n+1)=(n+1)^2\) oraz zapisanie \(\binom n2=\frac{n(n-1)}2\) **2 pkt** – wyznaczenie liczby składników sumy: \(n+1\), oraz rozwinięcie symbolu Newtona; albo wyznaczenie sumy \((n+1)^2\) **1 pkt** – wyznaczenie liczby składników sumy: \(n+1\); albo zapisanie \(\binom n2=\frac{n(n-1)}2\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga CKE:** przyjęcie błędnie, że suma ma \(n\) składników, i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca daje \(2\) punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R1) Zdający oblicza granice ciągów.

Do kratek należy wpisać kolejno: \(1\), \(3\), \(3\).

Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^3\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{4-\frac2{n^2}+\frac1{n^3}}{3-\frac1n-\frac2{n^2}+\frac3{n^3}}=\frac43.\] Ponieważ \[\frac43=1{,}333\ldots=1{,}(3),\] pierwsze trzy cyfry rozwinięcia dziesiętnego to kolejno \(1\), \(3\), \(3\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: wpisanie kolejno cyfr \(1\), \(3\), \(3\) **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów oraz interpretowanie rozwinięcia dziesiętnego wyniku. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\(7\)

Dla każdego \(n\in\mathbb N\) zachodzi \[7^n\le 6^n+7^n\le 2\cdot7^n.\] Po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(n\) otrzymujemy \[7\le\sqrt[n]{6^n+7^n}\le7\sqrt[n]{2}.\] Ponieważ \[\lim_{n\to\infty}7=7\qquad\text{oraz}\qquad\lim_{n\to\infty}7\sqrt[n]{2}=7,\] to z twierdzenia o trzech ciągach \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}=7.\]

**2 pkt** – prawidłowe zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach i wynik \(7\) **1 pkt** – zauważenie, że \(7^n\le6^n+7^n\le2\cdot7^n\), oraz obliczenie granic ciągów ograniczających **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1R obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem znanych granic oraz twierdzenia o trzech ciągach.

\(p=3\)

Rozdzielamy składniki ciągu: \[a_n=(p+1)\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}+(2p+2)\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}.\] Po podzieleniu liczników i mianowników przez \(n^2\) otrzymujemy \[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}=1,\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}=1.\] Zatem \[\lim_{n\to\infty}a_n=(p+1)+(2p+2)=3p+3.\] Warunek z zadania daje \(3p+3=12\), stąd \(p=3\).

**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy i prawidłowe wyznaczenie \(p=3\) **2 pkt** – wyznaczenie granicy ciągu \((a_n)\) w zależności od \(p\) **1 pkt** – obliczenie jednej z dwóch granic ilorazów występujących we wzorze ciągu **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** VI.1R obliczanie granic z wykorzystaniem twierdzeń o granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych.

\[p=\frac7{17}=0{,}411764\ldots\] Pierwsze trzy cyfry po przecinku to **\(4\), \(1\), \(1\)**.

Granica ilorazu wielomianów tego samego stopnia jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach: \[\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{7p-1}{p+1}.\] Z warunku zadania \[\frac{7p-1}{p+1}=\frac43.\] Ponieważ \(p>0\), mianownik jest niezerowy. Po pomnożeniu stronami otrzymujemy \[21p-3=4p+4,\qquad17p=7,\qquad p=\frac7{17}.\] Rozwinięcie dziesiętne ma postać \[\frac7{17}=0{,}411764\ldots,\] więc szukane cyfry to \(4\), \(1\), \(1\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: **4, 1, 1** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

W zasadach oceniania CKE dla tego zadania kodowanego nie wyszczególniono osobnego wymagania programowego. Zadanie sprawdza obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów oraz rozwiązywanie równania z parametrem.

**D.** \(a=0\) i \(|b|=1\)

Aby obie granice były równe i skończone, musi być \(a=0\). Wtedy dla \(b\neq0\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{bn+4}{n+1}=b,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{bn+4}=\frac1b.\] Warunek równości daje \[b=\frac1b,\qquad b^2=1,\qquad |b|=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem własności granic i porównywania stopni wielomianów.

\[1{,}25\] W kratkach należało zapisać kolejno cyfry \(1\), \(2\), \(5\).

Rozwijamy kwadraty w liczniku i mianowniku: \[(3n+2)^2-(1-2n)^2=9n^2+12n+4-(4n^2-4n+1)=5n^2+16n+3,\] \[(2n-1)^2=4n^2-4n+1.\] Dzieląc licznik i mianownik przez \(n^2\), otrzymujemy \[\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{16}{n}+\frac3{n^2}}{4-\frac4n+\frac1{n^2}}=\frac54=1{,}25.\]

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: \(1{,}25\), czyli cyfry \(1,2,5\) **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R5.1 obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem granic \(1/n\), \(1/n^2\) i twierdzeń o działaniach na granicach.

**C.** \(\frac35\)

Licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia. Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\): \[a_n=\frac{3+\frac7n-\frac5{n^2}}{\frac{11}{n^2}-\frac5n+5}.\] Dla \(n\to+\infty\) składniki zawierające \(\frac1n\) i \(\frac1{n^2}\) dążą do zera, zatem \[\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac35.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz twierdzeń o działaniach na granicach.

Granica jest równa \[\frac{20}{21}=0{,}(952380).\] Przykładowy poprawny kod: **\(952\)**.

Dzieląc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez \(n^3\), a drugiego przez \(n^2\), otrzymujemy \[\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac{11}{n}}{7+\frac5n+\frac3{n^2}+\frac1{n^3}}=\frac97\] oraz \[\lim_{n\to\infty}\frac1{3+\frac1{n^2}}=\frac13.\] Zatem \[\frac97-\frac13=\frac{27-7}{21}=\frac{20}{21}=0{,}(952380).\]

**2 pkt** – zakodowanie dowolnych trzech kolejnych cyfr okresu: **952**, **523**, **238**, **380**, **809** albo **095** **0 pkt** – inny kod albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 obliczanie granic ciągów z użyciem granic typu \(1/n\), \(1/n^2\) oraz twierdzeń o działaniach na granicach.

**D.** \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\frac32\)

Licznik ma stopień trzeci i współczynnik wiodący \(-3\), a mianownik stopień trzeci i współczynnik wiodący \(2\). Zatem granica jest równa \(-\frac32\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - granica ilorazu wielomianów tego samego stopnia.

**C.** \(0\)

Stopień licznika jest równy \(3\), a stopień mianownika \(5\). Po podzieleniu licznika i mianownika przez \(n^5\) otrzymujemy \[\lim_{n\to\infty}\frac{-7/n^2+3/n^4}{1/n^5+2/n^4+3/n^3+4}=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - granica ilorazu wielomianów różnych stopni.

**D.** \(p=-2\)

Po podzieleniu licznika i mianownika przez \(n^6\) granica jest równa \(\frac{p^3}{5}\). Zatem \[\frac{p^3}{5}=-\frac85,\qquad p^3=-8,\qquad p=-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - granica ciągu i porównanie współczynników przy najwyższych potęgach.

Należy zakodować cyfry \(3,7,5\).

Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{3-5/n+2/n^2}{(8+7/n)(1+4/n)}=\frac38=0{,}375.\] Trzy pierwsze cyfry po przecinku to \(3,7,5\).

**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(3,7,5\) **1 pkt** – obliczenie granicy \(\frac38\) lub \(0{,}375\) z błędnym kodowaniem **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.2 R - obliczanie granic ciągów i działania na granicach.

\[\frac1{32}=0{,}03125.\] Należy zakodować cyfry \(0,3,1\).

Wyłączamy \(n^3\) w liczniku i mianowniku: \[\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^3+3n}{(1-4n)^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^3\left(-2+\frac3{n^2}\right)}{n^3\left(\frac1n-4\right)^3}=\frac{-2}{(-4)^3}=\frac1{32}=0{,}03125.\] Pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(0,3,1\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna granica \(\frac1{32}\) i kod \(031\) **1 pkt** – poprawne podzielenie licznika i mianownika przez \(n^3\) lub wskazanie ilorazu współczynników najwyższych potęg **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 5.2. R. Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów.

Do kratek należy wpisać kolejno: \(1,4,3\).

Obie granice obliczamy z ilorazów współczynników przy najwyższych potęgach: \[\lim_{n\to\infty}\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}=\frac{11}{6},\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}=\frac25.\] Zatem \[\frac{11}{6}-\frac25=\frac{55-12}{30}=\frac{43}{30}=1{,}4333\ldots\] Cyfra jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku to \(1,4,3\).

**2 pkt** – poprawne cyfry \(1,4,3\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie granic składowych \(\frac{11}{6}\) i \(\frac25\) albo otrzymanie \(\frac{43}{30}\), lecz błędne wpisanie cyfr **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5. Ciągi - obliczanie granic ciągów i korzystanie z twierdzeń o działaniach na granicach (R5.2).

\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n+2}-\frac{(n+2)^{2}}{n+444}\right)=438.\]

Sprowadzamy obie części do wspólnego mianownika \((n+2)(n+444)\): \[\frac{n^{2}}{n+2}-\frac{(n+2)^{2}}{n+444}=\frac{n^{2}(n+444)-(n+2)^{3}}{(n+2)(n+444)}.\] Licznik rozwijamy: \[n^{3}+444n^{2}-\left(n^{3}+6n^{2}+12n+8\right)=438n^{2}-12n-8.\] Mianownik po wymnożeniu to \(n^{2}+446n+888\). Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^{2}\): \[\frac{438-\tfrac{12}{n}-\tfrac{8}{n^{2}}}{1+\tfrac{446}{n}+\tfrac{888}{n^{2}}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{438-0-0}{1+0+0}=438.\] **Odpowiedź.** Granica jest równa \(438\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli poprawnie zapisze wyrażenie […] w postaci ułamka, np. \(\frac{438n^2-12n-8}{(n+2)(n+444)}\). **2 pkt** – jeżeli poprawnie obliczy wartość granicy.

17 Zadanie 8. (0–2)  n2 n  22  Oblicz granicę lim    . n  n  2 n  444    II. Wykorzystanie R11.1. Zdający oblicza granice funkcji (i granice i interpretowanie jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na reprezentacji granicach i z własności funkcji ciągłych. Rozwiązanie:  n2 n  22   n2 n  444  n  23  lim     lim    n  n  2 n  444  n  n  2 n  444      438n2 12n  8  lim  438 n n  2 n  444 Schemat oceniania Zdający otrzymuje – 1 pkt n2 n  22 438n2 12n  8 jeżeli poprawnie zapisze wyrażenie  w postaci ułamka, np. . n  2 n  444 n  2 n  444 Zdający otrzymuje – 2 pkt jeżeli poprawnie obliczy wartość granicy.

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}=\frac32.\]

Zarówno licznik, jak i mianownik są sumami początkowych wyrazów ciągów arytmetycznych; wyznaczamy je ze wzoru \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\] **Licznik.** Ciąg \(1,4,7,\ldots\) ma \(a_1=1\) i różnicę \(r=3\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(a_n=1+3(n-1)=3n-2\) — zgadza się z ostatnim składnikiem, więc sumujemy \(n\) wyrazów: \[S_n=\frac{1+(3n-2)}{2}\cdot n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^{2}-n}{2}.\] **Mianownik.** Ciąg \(5,7,9,\ldots\) ma \(b_1=5\) i różnicę \(r'=2\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(b_n=5+2(n-1)=2n+3\) — również zgadza się z ostatnim składnikiem, więc i tu sumujemy \(n\) wyrazów: \[S'_n=\frac{5+(2n+3)}{2}\cdot n=\frac{n(2n+8)}{2}=n^{2}+4n.\] **Granica.** Dla \(n\geq1\) mamy \(S'_n\ne0\), więc \[\frac{S_n}{S'_n}=\frac{\frac{3n^{2}-n}{2}}{n^{2}+4n}=\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}.\] Licznik i mianownik są wielomianami tego samego, drugiego stopnia, więc granica jest ilorazem współczynników przy \(n^{2}\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}=\frac32.\] **Odpowiedź.** Granica jest równa \(\frac32\).

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **2 pkt** – wyznaczenie \(a_1=1\), \(r=3\) oraz sumy licznika \(S_n=\frac{3n^{2}-n}{2}\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia) **2 pkt** – wyznaczenie \(b_1=5\), \(r'=2\) oraz sumy mianownika \(S'_n=n^{2}+4n\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia) **1 pkt** – obliczenie granicy: \(\frac32\)

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów tego samego stopnia.