Strona główna › Liczby i działania › NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność

NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność

Q: Czym różni się NWW od NWD?

NWW to najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie dane — jest od nich większa lub równa większej. NWD to największa liczba, która je dzieli — jest od nich mniejsza lub równa mniejszej. NWW przydaje się przy dodawaniu ułamków i zadaniach o cyklach, NWD przy skracaniu ułamków.

Q: Czy iloczyn dwóch liczb to zawsze ich NWW?

Nie. Iloczyn zawsze jest wspólną wielokrotnością, ale najmniejszą tylko wtedy, gdy liczby są względnie pierwsze. Dla 8 i 12 iloczyn to 96, a NWW 24 — czterokrotnie mniej, bo liczby mają wspólny dzielnik 4.

Q: Jaki jest wzór wiążący NWW i NWD?

NWW(a,b) · NWD(a,b) = a · b, a stąd NWW(a,b) = a · b NWD(a,b). Wystarczy więc policzyć jedno z nich. Uwaga: wzór działa wyłącznie dla dwóch liczb — przy trzech trzeba liczyć rozkładem.

NWW to skrót od najmniejszej wspólnej wielokrotności — najmniejszej liczby, która dzieli się przez obie dane liczby. Brzmi abstrakcyjnie, dopóki nie zobaczy się, skąd bierze się to pytanie: kiedy dwa autobusy odjeżdżające co inny czas spotkają się znowu na przystanku. To dokładnie pytanie o NWW.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Wielokrotność, wspólna wielokrotność, najmniejsza

Trzy słowa, które trzeba rozróżnić — cała reszta z nich wynika.

Wielokrotność liczby to wynik pomnożenia jej przez liczbę naturalną. Wielokrotności czwórki to $4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots$ — ciąg, który nigdy się nie kończy.

Wspólna wielokrotność dwóch liczb to taka, która występuje w obu ciągach naraz.

liczba	wielokrotności
$8$	$8$ , $16$ , $24$ , $32$ , $40$ , $48$ , $56$ , $64$ , $72$ , …
$12$	$12$ , $24$ , $36$ , $48$ , $60$ , $72$ , …
wspólne	$24$ , $48$ , $72$ , … — też nieskończenie wiele

Najmniejsza wspólna wielokrotność to pierwsza z tego wspólnego ciągu — tutaj $24$ . Zapisujemy $\text{NWW}(8, 12) = 24$ .

Zwróć uwagę na coś, co porządkuje cały temat: wspólnych wielokrotności jest nieskończenie wiele, ale wszystkie są wielokrotnościami tej najmniejszej. Ciąg $24, 48, 72$ to po prostu wielokrotności dwudziestu czterech.

Dlatego pytanie „znajdź wspólną wielokrotność” nie ma jednej odpowiedzi, a „znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność” — ma dokładnie jedną.

2Dlaczego najmniejsza, a nie dowolna

Skoro wspólnych wielokrotności jest nieskończenie wiele i każda „działa”, po co szukać najmniejszej?

Bo iloczyn zawsze jest wspólną wielokrotnością, tylko zwykle za dużą. Dla $8$ i $12$ iloczyn to $96$ , a NWW to $24$ — czterokrotnie mniej.

8 \cdot 12 = \textcolor{#E0453A}{96} \qquad \text{NWW}(8, 12) = \textcolor{#16A06A}{24} \qquad 96 : 24 = 4

W zadaniu z ułamkami różnica jest odczuwalna od razu: przy mianowniku $96$ liczby w licznikach robią się duże, a wynik i tak trzeba potem skracać. Przy $24$ rachunek jest krótszy i mniej podatny na pomyłkę.

Kiedy „byle jaka” wystarczy

Gdy brakuje czasu albo pamięć zawodzi — pomnóż obie liczby. To zawsze jest wspólna wielokrotność i odpowiedź wyjdzie poprawna.

Ale jeśli zadanie pyta wprost o NWW, iloczyn zwykle nie jest odpowiedzią. Trzeba wtedy sprawdzić, czy nie da się mniej.

W zadaniach o cyklach ta różnica bywa nawet ważniejsza. Pytanie „za ile minut autobusy spotkają się po raz pierwszy” ma jedną poprawną odpowiedź, a iloczyn wskazałby któreś z późniejszych spotkań.

3Jak ją znaleźć — trzy sytuacje

Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź, w której jesteś sytuacji. W dwóch z trzech nie ma czego liczyć.

sytuacja	NWW to	przykład
jedna liczba dzieli drugą	ta większa	$\text{NWW}(4, 12) = 12$
nie mają wspólnych dzielników	ich iloczyn	$\text{NWW}(4, 9) = 36$
mają wspólne dzielniki	trzeba rozłożyć na czynniki	$\text{NWW}(8, 12) = 24$

Pierwszy przypadek jest najczęstszy w zadaniach szkolnych i całkowicie darmowy: skoro $12$ dzieli się przez $4$ , to dwunastka jest wielokrotnością obu liczb — i mniejszej być nie może.

Drugi dotyczy liczb względnie pierwszych, czyli takich, które nie mają wspólnego dzielnika poza jedynką. Wtedy nic się nie „nakłada” i iloczyn naprawdę jest najmniejszy.

Trzeci wymaga rachunku i tylko wtedy sięgamy po rozkład na czynniki pierwsze: rozkładamy obie liczby, z każdego czynnika bierzemy wyższą potęgę i mnożymy.

8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \qquad 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \qquad \text{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2 \cdot 2 \cdot 2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 24

Kontrola jest natychmiastowa i zawsze warto ją zrobić: $24 : 8 = 3$ oraz $24 : 12 = 2$ — obie dzielą bez reszty ✓

Podstawa programowa wymienia metodę rozkładu wprost i sama ogranicza trudność. Dział II („Działania na liczbach naturalnych”), punkt 11, w wersji obowiązującej od 2025 brzmi dosłownie: „znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych co najwyżej trzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki”.

Ograniczenie jest tu bardzo konkretne: co najwyżej trzycyfrowych. Obie liczby mają więc najwyżej trzy cyfry, a metoda jest wskazana z nazwy — rozkład na czynniki. Liczb czterocyfrowych w tym zadaniu w szkole podstawowej nie będzie.

4Gdzie NWW naprawdę występuje

To nie jest pojęcie wymyślone do ćwiczeń — pojawia się wszędzie tam, gdzie dwa cykle mają się zejść.

rozkłady jazdy — autobus co $15$ minut, drugi co $20$ ; kiedy odjadą razem,
dzwonki i sygnały — dwa budziki albo latarnie morskie o różnych okresach,
zębatki i koła — po ilu obrotach oba tryby wrócą do położenia początkowego,
pakowanie — cukierki po $8$ w paczce, ciastka po $12$ ; ile kupić, żeby wyszło po równo,
kafelkowanie — najmniejszy kwadrat, jaki da się ułożyć z płytek $8 \times 12$ cm.

Wspólny schemat tych zadań: coś powtarza się co pewien odstęp i pytamy, kiedy powtórzenia się pokryją. Jeśli w treści pada „co ile”, „po raz pierwszy znowu” albo „jednocześnie” — to niemal na pewno NWW.

Szóste zastosowanie jest szkolne, ale najczęstsze ze wszystkich: wspólny mianownik przy dodawaniu ułamków. Mianowniki to właśnie dwa „cykle”, które trzeba zgrać.

Jak rozpoznać, że to NWW, a nie NWD

NWW — coś się powtarza i ma się zejść. Wynik jest większy od obu danych liczb albo równy większej z nich.

NWD — coś trzeba podzielić na równe części. Wynik jest mniejszy od obu albo równy mniejszej.

Jeśli odpowiedź wyszła mniejsza od danych liczb, a zadanie było o spotkaniach — pomylone zostało jedno z drugim.

5NWW i NWD to jedna para

Obie wielkości są ze sobą związane wzorem, który potrafi zaoszczędzić połowę pracy.

\text{NWW}(a, b) \cdot \text{NWD}(a, b) = a \cdot b

Sprawdźmy na znanych liczbach: $\text{NWW}(8, 12) = 24$ , $\text{NWD}(8, 12) = 4$ , a $24 \cdot 4 = 96 = 8 \cdot 12$ ✓

Drugi przykład: $\text{NWW}(12, 18) = 36$ , $\text{NWD}(12, 18) = 6$ , a $36 \cdot 6 = 216 = 12 \cdot 18$ ✓

Praktyczny wniosek: wystarczy policzyć jedno. Mając NWD, dzielimy iloczyn przez nie i dostajemy NWW — a NWD bywa łatwiejsze do znalezienia, bo jest małe i często widać je od razu.

\text{NWW}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{NWD}(a, b)}

Wzór tłumaczy też oba przypadki szczególne z tabeli wyżej. Gdy liczby są względnie pierwsze, ich NWD wynosi $1$ , więc NWW to po prostu iloczyn. Gdy jedna dzieli drugą, NWD jest równe mniejszej liczbie i iloczyn skraca się do większej.

Uwaga: wzór działa tylko dla dwóch liczb. Przy trzech nie ma tak prostej zależności i trzeba liczyć rozkładem albo krokami — najpierw NWW dwóch, potem NWW wyniku z trzecią.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozkład, zadanie o cyklach i trzy liczby naraz.

Przykład 1 NWW metodą rozkładu

Oblicz $\text{NWW}(8, 12)$ .

Sprawdzam sytuacje darmowe: $12$ nie dzieli się przez $8$ , a obie liczby są parzyste, więc mają wspólny dzielnik. Zostaje rozkład.
Rozkładam na czynniki pierwsze: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ oraz $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ .
Dwójka występuje trzy razy w ósemce i dwa razy w dwunastce — biorę wyższą liczbę wystąpień, czyli trzy.
Trójka występuje raz, tylko w dwunastce — biorę ją.
Mnożę: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .
Kontrola: $24 : 8 = 3$ ✓ oraz $24 : 12 = 2$ ✓ Obie liczby dzielą bez reszty.
Kontrola przez iloczyn: $8 \cdot 12 = 96$ , a $96 : 24 = 4$ — NWW jest czterokrotnie mniejsze od iloczynu, co ma sens, bo NWD wynosi $4$ .

Odpowiedź: $\text{NWW}(8, 12) = 24$

Reguła „wyższa potęga” bywa myląca po polsku: nie chodzi o większy czynnik, tylko o to, ile razy dany czynnik występuje. Dwójki bierzemy trzy, bo trzy to więcej niż dwa.

Przykład 2 Zadanie o cyklach

Z przystanku odjeżdżają dwa autobusy: pierwszy co $15$ minut, drugi co $20$ minut. O godzinie $8{:}00$ odjechały razem. O której odjadą razem po raz pierwszy od nowa?

Pierwszy autobus odjeżdża w minutach $15, 30, 45, 60, \ldots$ — to wielokrotności piętnastu.
Drugi w minutach $20, 40, 60, \ldots$ — wielokrotności dwudziestu.
Szukam pierwszej liczby wspólnej dla obu ciągów, czyli $\text{NWW}(15, 20)$ .
Rozkład: $15 = 3 \cdot 5$ oraz $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ . Biorę dwie dwójki, jedną trójkę i jedną piątkę.
$\text{NWW}(15, 20) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ minut, czyli równa godzina.
Odpowiedź: o godzinie $9{:}00$ .
Kontrola: $60 : 15 = 4$ ✓ (czwarty odjazd pierwszego) oraz $60 : 20 = 3$ ✓ (trzeci odjazd drugiego).

Odpowiedź: O godzinie $9{:}00$

Sformułowanie „po raz pierwszy od nowa” to sygnał, że chodzi o najmniejszą wspólną wielokrotność. Iloczyn $15 \cdot 20 = 300$ minut też byłby momentem wspólnego odjazdu, ale dopiero piątym z kolei.

Przykład 3 NWW trzech liczb

Oblicz $\text{NWW}(4, 6, 10)$ .

Przy trzech liczbach wzór z NWD nie działa — liczę rozkładem.
Rozkładam wszystkie: $4 = 2 \cdot 2$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $10 = 2 \cdot 5$ .
Dwójka: najwięcej razy występuje w czwórce — dwa razy. Biorę dwie dwójki.
Trójka występuje raz (w szóstce), piątka raz (w dziesiątce) — biorę po jednej.
Mnożę: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Kontrola: $60 : 4 = 15$ ✓, $60 : 6 = 10$ ✓, $60 : 10 = 6$ ✓ — wszystkie trzy dzielą bez reszty.
Kontrola sensu: iloczyn trzech liczb to $240$ , a NWW nigdy nie jest od iloczynu większe — tutaj wyszło wyraźnie mniejsze ✓ Równość zdarza się tylko przy liczbach parami względnie pierwszych, jak $3, 5, 7$ : tam $\text{NWW} = 105$ , czyli dokładnie iloczyn.

Odpowiedź: $\text{NWW}(4, 6, 10) = 60$

Metoda rozkładu jako jedyna skaluje się na trzy i więcej liczb — dlatego warto ją znać, nawet gdy przy dwóch liczbach wystarczyłby skrót. Sprawdzenie robi się wtedy dla każdej liczby osobno.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość złych odpowiedzi w tym temacie.

Podanie iloczynu zamiast NWW

Skąd się bierze: Uczeń mnoży obie liczby, bo to zawsze daje wspólną wielokrotność. Ale zadanie pyta o najmniejszą — dla $8$ i $12$ iloczyn $96$ jest poprawną wspólną wielokrotnością i zarazem złą odpowiedzią, bo NWW wynosi $24$ .

Jak zrobić dobrze: Po policzeniu iloczynu sprawdź, czy da się mniej: podziel go przez NWD albo rozłóż obie liczby na czynniki. Iloczyn jest poprawnym NWW tylko dla liczb względnie pierwszych.

Pomylenie NWW z NWD

Skąd się bierze: Skróty różnią się jedną literą, a oba zadania brzmią podobnie — „znajdź coś wspólnego”. Podstawienie jednego zamiast drugiego daje odpowiedź nie tylko złą, ale odwrotnego rzędu wielkości.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wynik: NWW jest zawsze większe lub równe większej z danych liczb, a NWD mniejsze lub równe mniejszej. Dla $8$ i $12$ nie ma NWW mniejszego od $12$ ani NWD większego od $8$ .

Branie niższej liczby wystąpień czynnika

Skąd się bierze: W rozkładzie $8 = 2^3$ i $12 = 2^2 \cdot 3$ uczeń bierze dwie dwójki zamiast trzech i dostaje $12$ zamiast $24$ . Wynik dzieli się przez $12$ , ale nie dzieli się przez $8$ — więc nie jest żadną wspólną wielokrotnością.

Jak zrobić dobrze: Przy NWW bierzemy wyższą liczbę wystąpień każdego czynnika (przy NWD — niższą). Kontrola dzieleniem przez obie liczby wyłapuje ten błąd natychmiast.

Pominięcie czynnika występującego tylko w jednej liczbie

Skąd się bierze: Uczeń bierze wyłącznie czynniki wspólne i dla $8$ i $12$ mnoży same dwójki, gubiąc trójkę. Wynik dzieli się przez $8$ , ale nie przez $12$ — znów nie jest wspólną wielokrotnością.

Jak zrobić dobrze: Do NWW wchodzą wszystkie czynniki, jakie pojawiły się w którymkolwiek rozkładzie, każdy w najwyższej liczbie wystąpień. Wyłącznie czynniki wspólne bierze się przy NWD, nie przy NWW.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. $4334$
B. $4994$
C. $8338$
D. $8998$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy $X$ — największego wspólnego dzielnika liczb 18 i 27. Dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; dzielniki 27 to 1, 3, 9, 27.
Największy wspólny: $X = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Szukamy $Y$ — najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2 i 4. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 4 dzieli się przez 2, więc $Y = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawiamy do wzoru kodu $YXXY$ : $\textcolor{#E0453A}{4}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli 4994.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: NWD jest zawsze nie większy od mniejszej z liczb, a NWW nie mniejszy od większej. Tu: $X \le 18$ , $Y \ge 4$ — dobra kontrola wyniku.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności liter i wpisanie $XYYX$ , czyli 9449. Warto podkreślić sobie wzór $YXXY$ i podstawiać po kolei.

Zadanie 2 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych	1.	nie musi znajdować się liczba podzielna przez 10.

			2.	jest co najmniej jedna liczba nieparzysta i co najmniej jedna parzysta.
B	Nie,
			3.	jest co najmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna parzysta.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Rozkładamy dzielnik na czynniki pierwsze: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Żeby iloczyn dzielił się przez 10, musi zawierać czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Wśród pięciu kolejnych liczb zawsze jest dokładnie jedna podzielna przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ — bo co piąta liczba jest wielokrotnością piątki.
Wśród pięciu kolejnych są też co najmniej dwie liczby parzyste, czyli czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ na pewno się znajdzie.
Skoro iloczyn zawiera i $\textcolor{#16A06A}{2}$ , i $\textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ — odpowiedź A, uzasadnienie 3.
Przykład: $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520$ , a $2520 : 10 = 252$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy podzielności iloczynu zawsze rozłóż dzielnik na czynniki pierwsze i sprawdź, czy każdy z nich gdzieś się znajdzie.

⚠ Kuszące uzasadnienie 2. („jest liczba parzysta i nieparzysta”) gwarantuje tylko podzielność przez 2 — nic nie mówi o piątce. A uzasadnienie 1. jest prawdziwe (liczby podzielnej przez 10 faktycznie może nie być), ale prowadzi do złej odpowiedzi: dziesiątka powstaje z iloczynu 2 i 5, nie musi być gotowa w jednej liczbie.

Zadanie 3 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. $72$
B. $108$
C. $180$
D. $216$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$ . Zatem $x = 12$ .
Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$ . Zatem $y = 90$ .
Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
$12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ( $\textcolor{#16A06A}{2^2}$ ), trójkę z liczby 90 ( $\textcolor{#E0453A}{3^2}$ ) i piątkę ( $\textcolor{#E0453A}{5}$ ).
$\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ( $12 \cdot 90 = 1080$ ) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Zadanie 4 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba 1725 jest liczbą podzielną przez 15.	P	F
Liczba 1725 jest wielokrotnością 125.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1: rozkładamy dzielnik — $15 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , więc sprawdzamy obie cechy osobno.
Przez $\textcolor{#16A06A}{3}$ : suma cyfr $1+7+2+5 = \textcolor{#16A06A}{15}$ , a $\textcolor{#16A06A}{15}$ dzieli się przez 3 ✓.
Przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ : liczba kończy się na $\textcolor{#E0453A}{5}$ ✓.
Skoro dzieli się i przez 3, i przez 5, to dzieli się przez 15 — prawda ( $1725 : 15 = 115$ ).
Zdanie 2: sprawdzamy $1725 : 125$ . Wiemy, że $125 \cdot 13 = 1625$ , a $125 \cdot 14 = 1750$ — liczba 1725 wypada pomiędzy, więc nie jest wielokrotnością 125. Fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Przy podzielności przez liczbę złożoną (15, 12, 18…) rozłóż ją na czynniki względnie pierwsze i sprawdź każdy osobno. Uwaga: dla 12 nie wystarczy „przez 2 i przez 6” — trzeba „przez 3 i przez 4”.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro liczba kończy się na 25, to dzieli się przez 125. Końcówka 25 świadczy tylko o podzielności przez 25.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. A, 3

3. C

4. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest NWW?

Najmniejsza wspólna wielokrotność — najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się bez reszty przez obie dane liczby. Dla $8$ i $12$ wynosi $24$ . Wspólnych wielokrotności jest nieskończenie wiele ( $24$ , $48$ , $72$ , …), ale najmniejsza jest tylko jedna.

Jak obliczyć NWW dwóch liczb?

Najpierw sprawdź dwa darmowe przypadki: jeśli jedna liczba dzieli drugą, NWW to ta większa; jeśli liczby nie mają wspólnych dzielników, NWW to ich iloczyn. W pozostałych przypadkach rozłóż obie na czynniki pierwsze i weź każdy czynnik w najwyższej liczbie wystąpień.

Czym różni się NWW od NWD?

NWW to najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie dane — jest od nich większa lub równa większej. NWD to największa liczba, która je dzieli — jest od nich mniejsza lub równa mniejszej. NWW przydaje się przy dodawaniu ułamków i zadaniach o cyklach, NWD przy skracaniu ułamków.

Czy iloczyn dwóch liczb to zawsze ich NWW?

Nie. Iloczyn zawsze jest wspólną wielokrotnością, ale najmniejszą tylko wtedy, gdy liczby są względnie pierwsze. Dla $8$ i $12$ iloczyn to $96$ , a NWW $24$ — czterokrotnie mniej, bo liczby mają wspólny dzielnik $4$ .

Jaki jest wzór wiążący NWW i NWD?

$\text{NWW}(a,b) \cdot \text{NWD}(a,b) = a \cdot b$ , a stąd $\text{NWW}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\text{NWD}(a,b)}$ . Wystarczy więc policzyć jedno z nich. Uwaga: wzór działa wyłącznie dla dwóch liczb — przy trzech trzeba liczyć rozkładem.

Do czego NWW przydaje się w życiu?

Wszędzie tam, gdzie dwa cykle mają się zejść: rozkłady jazdy, dzwonki, obroty zębatek, pakowanie po równo. Jeśli w zadaniu pada „co ile”, „jednocześnie” albo „po raz pierwszy znowu” — pytanie dotyczy NWW.

NWW — jak obliczyć?

Najprościej przez rozkład na czynniki pierwsze: rozkładamy obie liczby, bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, w jakiej występuje, i mnożymy. Dla liczb dwucyfrowych szybsza bywa metoda wypisywania wielokrotności większej z nich i sprawdzania, która dzieli się przez mniejszą.

Czytaj dalej

Rozkład na czynniki pierwszeNarzędzie do trzeciego przypadku — samo drzewko i słupek Wspólny mianownikNajczęstsze szkolne zastosowanie NWW Cechy podzielnościPomagają zobaczyć wspólne dzielniki bez liczenia Liczby i działaniaPozostałe tematy z tego działu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.