Reguła mnożenia i dodawania — zliczanie przez rozbicie na przypadki i drzewo możliwości

**A.** \(7\cdot6^5\)

Pierwszy obszar można pokolorować na \(7\) sposobów. Każdy kolejny obszar graniczący z poprzednim ma \(6\) dopuszczalnych kolorów. Otrzymujemy \[7\cdot6^5.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.

Istnieje \(30140\) najkrótszych dróg.

Każda najkrótsza droga omijająca park przechodzi przez jeden z pięciu punktów granicznych \(C,D,E,F,G\). Liczby dróg przez te punkty wynoszą odpowiednio \[\binom{11}{2}\binom{13}{0}=55,\] \[\binom{11}{3}\binom{13}{1}=2145,\] \[\binom{11}{4}\binom{13}{2}=25740,\] \[\binom{13}{1}\binom{11}{3}=2145,\] \[\binom{13}{0}\binom{11}{2}=55.\] Po zsumowaniu otrzymujemy \[55+2145+25740+2145+55=30140.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(30140\). **3 pkt** – obliczenie liczby dróg z \(A\) do każdego punktu granicznego. **2 pkt** – zapisanie iloczynowej zasady liczenia dróg przez punkt pośredni. **1 pkt** – wskazanie, że każda najkrótsza droga przechodzi przez jeden z punktów \(C-G\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - […] operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] w formie wykresów, diagramów […]. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI. Kombinatoryka. 1R) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji; 2R) Zdający stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

**C.** \(60\)

**Krok \(1\).** Zestaw powstaje przez wybranie po jednym elemencie z trzech niezależnych grup: koszula, spodnie, buty. Do liczenia takich wyborów służy **reguła mnożenia**: liczby możliwości w kolejnych krokach mnożymy przez siebie. **Krok \(2\).** Koszulę można wybrać na \(4\) sposoby (czerwona, żółta, zielona, niebieska). **Krok \(3\).** Do każdej wybranej koszuli spodnie można dobrać na \(3\) sposoby, a wybór spodni nie zależy od tego, jaka jest koszula. Par (koszula, spodnie) jest więc \[4\cdot3=12.\] **Krok \(4\).** Do każdej z tych \(12\) par buty dobieramy na \(5\) sposobów, zatem wszystkich trójek jest \[12\cdot5=60.\] **Krok \(5\).** Ostatecznie \[4\cdot3\cdot5=60\] różnych zestawów. **Uwaga.** Nie należy tu dodawać (\(4+3+5=12\), odpowiedź A) — reguła dodawania służy do liczenia wyborów **jednej** rzeczy z rozłącznych grup, a tutaj bierzemy po jednej rzeczy z każdej grupy. Powtarzające się kolory (np. niebieski występuje wśród koszul, spodni i butów) niczego nie zmieniają: elementy pochodzą z osobnych grup, a zestawy różnią się kolorem co najmniej jednego elementu. **Odpowiedź.** C: \(60\)

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modelu praktycznego. **Wymagania szczegółowe:** XI.1) Zdający zlicza obiekty. XI.2) Stosuje regułę mnożenia.

Można wybrać \(26\) takich zestawów.

Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki. Niebieska jest tylko koszula: \(1\cdot2\cdot4=8\) zestawów. Niebieskie są tylko spodnie: \(3\cdot1\cdot4=12\). Niebieskie są tylko buty: \(3\cdot2\cdot1=6\). Łącznie \[8+12+6=26.\]

**3 pkt** – poprawne zastosowanie reguł mnożenia i dodawania oraz wynik \(26\) **2 pkt** – poprawne obliczenie trzech przypadków: \(8\), \(12\), \(6\) **1 pkt** – rozpisanie trzech przypadków albo poprawne obliczenie jednego z nich **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** XI.1) Zdający zlicza obiekty. XI.2) Stosuje łącznie reguły mnożenia i dodawania.

**C.** \(60\)

Koszulę można wybrać na \(4\) sposoby, spodnie na \(3\) sposoby, a buty na \(5\) sposobów. Z reguły mnożenia liczba zestawów jest równa \[4\cdot3\cdot5=60.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.2 tworzenie modelu matematycznego problemu praktycznego. **Wymagania szczegółowe:** XI.1-XI.2 zliczanie obiektów z zastosowaniem reguły mnożenia.

Taki zestaw można wybrać na \(26\) sposobów.

Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki. Niebieska jest tylko koszula: \(1\cdot2\cdot4=8\) zestawów. Niebieskie są tylko spodnie: \(3\cdot1\cdot4=12\) zestawów. Niebieskie są tylko buty: \(3\cdot2\cdot1=6\) zestawów. Z reguły dodawania otrzymujemy \[8+12+6=26.\]

**3 pkt** – poprawne zastosowanie reguł mnożenia i dodawania oraz wynik \(26\) **2 pkt** – poprawne obliczenie trzech przypadków: \(8\), \(12\) i \(6\) **1 pkt** – rozpisanie trzech właściwych przypadków albo poprawne obliczenie jednego z nich **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** XI.1-XI.2 zliczanie obiektów z łącznym zastosowaniem reguł mnożenia i dodawania.

C. \(90\)

Z rysunku odczytujemy, że flaga składa się z trzech poziomych pasów: górnego, środkowego i dolnego, przy czym pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a środkowy — innego. O fladze decydują więc dwie informacje: kolor pasów zewnętrznych i kolor pasa środkowego. Kolor pasów zewnętrznych wybieramy spośród \(10\) dostępnych, czyli na \(10\) sposobów. Kolor pasa środkowego musi być inny, więc zostaje \(9\) możliwości. Z reguły mnożenia \[10\cdot9=90.\] Zamiana koloru zewnętrznego ze środkowym daje inną flagę, więc te dwa wybory są rozróżnialne i nie dzielimy przez \(2\). **Odpowiedź.** C. \(90\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie zasady mnożenia (II.10.b).

**B.** \(20\)

Obiad składa się z jednej zupy i jednego drugiego dania, a wybory są od siebie niezależne. Zupę wybieramy na \(5\) sposobów, drugie danie na \(4\) sposoby, więc z reguły mnożenia \[5\cdot4=20.\] **Odpowiedź.** B. \(20\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – stosuje regułę mnożenia.

**A.** \(2\)

Liczbę \(a\) wybieramy niezależnie od \(b\), więc zdarzeniami elementarnymi są pary uporządkowane \((a,b)\) i z reguły mnożenia jest ich \(4\cdot2=8\). Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty dokładnie wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W zbiorze \(A\) liczbami nieparzystymi są \(3\) i \(5\), a w zbiorze \(B\) tylko \(1\). Zatem sprzyjające pary to \[(3,1)\quad\text{oraz}\quad(5,1),\] czyli są dwie takie pary. **Odpowiedź.** A. \(2\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{A}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.