Strona główna › Liczby i działania › Liczby pierwsze

Liczby pierwsze

Q: Ile jest liczb pierwszych?

Nieskończenie wiele — udowodnił to Euklides około 300 r. p.n.e. Choć rzedną (do dziesięciu są cztery, między 90 a 100 już tylko jedna), nigdy się nie kończą. Dowód jest materiałem nadprogramowym, ale prostym do zrozumienia.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Ta definicja wygląda niewinnie, dopóki nie zada się pytania, które zadaje każdy uczeń: dlaczego więc jedynka nie jest pierwsza, skoro dzieli się tylko przez siebie? Odpowiedź nie brzmi „bo tak przyjęto” — i od niej warto zacząć.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Pierwsze i złożone — podział na dwie grupy

Liczby naturalne większe od jedynki dzielą się na dwie rozłączne grupy, a kryterium jest jedno: ile mają dzielników.

rodzaj	ile dzielników	przykłady
pierwsza	dokładnie dwa: $1$ i ona sama	$2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$
złożona	więcej niż dwa	$4$ , $6$ , $8$ , $9$ , $12$
jedynka	jeden — tylko ona sama	ani pierwsza, ani złożona

Wiersz trzeci jest sednem sprawy: jedynka nie mieści się w żadnej grupie. Nie jest pierwsza, bo ma za mało dzielników, i nie jest złożona, bo nie da się jej rozłożyć. Stoi osobno.

Liczbę złożoną poznaje się po tym, że ma dzielnik właściwy — czyli inny niż jedynka i ona sama. Dziewiątka dzieli się przez trzy, więc jest złożona; siódemka przez nic poza $1$ i $7$ , więc jest pierwsza.

Podstawa programowa oczekuje rozpoznawania liczb złożonych jednocyfrowych i dwucyfrowych oraz takich, w których dzielnik zdradza cecha podzielności. To wyznacza realny zakres ćwiczeń — liczb czterocyfrowych nikt tu badać nie każe.

Oto wszystkie liczby pierwsze do stu — jest ich dwadzieścia pięć:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97

Liczba pierwsza czy złożona: 7 kropek da się ułożyć tylko w jeden rząd (dzielniki 1 i 7), 12 kropek w prostokąty 2 · 6 i 3 · 4 (dzielniki 1, 2, 3, 4, 6, 12), jedynka ma jeden dzielnik — Liczba pierwsza, złożona i jedynka — liczba dzielników na kropkach

2Dlaczego jedynka nie jest liczbą pierwszą

Najczęstsza odpowiedź w internecie brzmi „bo taka jest definicja” — i jest bezużyteczna, bo definicje wymyślają ludzie, więc od razu ciśnie się pytanie: dlaczego wymyślili akurat taką.

Prawdziwy powód jest praktyczny. Cała użyteczność liczb pierwszych stoi na jednym twierdzeniu: każdą liczbę złożoną da się rozłożyć na czynniki pierwsze dokładnie na jeden sposób.

12 = 2 \cdot 2 \cdot 3

I to jest jedyny rozkład dwunastki. Kolejność można zmienić, ale zestaw czynników jest zawsze ten sam. Na tej jednoznaczności opiera się liczenie NWD i NWW — bo skoro rozkład jest jeden, to porównywanie rozkładów ma sens.

Co by się stało, gdyby jedynka była pierwsza

Wtedy dwunastkę można by rozłożyć tak: $2 \cdot 2 \cdot 3$ , ale też $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ , a także $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ — i tak bez końca, bo jedynek wolno dopisać dowolnie wiele.

Rozkładów byłoby nieskończenie wiele zamiast jednego. Twierdzenie o jednoznaczności w tej postaci przestałoby obowiązywać: przy porównywaniu rozkładów w obliczeniach NWD i NWW trzeba by pomijać dopisane jedynki.

Wykluczenie jedynki nie jest więc kaprysem ani formalnością. To cena, którą płacimy za to, żeby rozkład był jeden — i bardzo opłacalna cena.

Zauważ, że definicja „dokładnie dwa dzielniki” załatwia sprawę sama, bez dopisywania wyjątków. Jedynka ma jeden dzielnik, więc odpada automatycznie.

3Sito Eratostenesa

Najstarsza znana metoda wyławiania liczb pierwszych — wymyślona w starożytnej Grecji i wciąż najwygodniejsza, gdy chcemy znaleźć wszystkie liczby pierwsze w jakimś zakresie.

Pomysł jest odwrotny do sprawdzania po kolei: zamiast pytać o każdą liczbę osobno, wykreślamy wielokrotności. To, co zostanie, jest pierwsze.

wypisz liczby od $2$ do $100$ ,
wykreśl jedynkę, jeśli ją zapisałeś — nie jest pierwsza,
zakreśl $2$ , a potem wykreśl wszystkie jej wielokrotności: $4, 6, 8, \ldots$ ,
znajdź pierwszą niewykreśloną liczbę — to $3$ ; zakreśl ją i wykreśl jej wielokrotności,
powtarzaj: kolejne niewykreślone to $5$ , potem $7$ ,
zatrzymaj się po siódemce — dalej nie trzeba,
wszystko, co zostało niewykreślone, to liczby pierwsze.

Dlaczego kończymy na siódemce

Bo $7 \cdot 7 = 49$ mieści się w setce, ale $11 \cdot 11 = 121$ już nie.

Każda liczba złożona mniejsza od $100$ ma dzielnik nie większy niż $10$ — a to znaczy, że została już wykreślona przy dwójce, trójce, piątce albo siódemce. Szerzej tłumaczę tę regułę przy rozkładzie na czynniki.

Warto wykonać sito raz, ręcznie, na kartce. Widać wtedy rzecz, której nie widać z gotowej listy: liczby pierwsze rzedną. Do dziesięciu są cztery, między $10$ a $20$ też cztery, a między $90$ a $100$ — już tylko jedna, $97$ .

Sito jest metodą szkolną i klasyczną, ale sama podstawa programowa nie wymienia go z nazwy — wymaga rozpoznawania liczb pierwszych, nie konkretnego sposobu.

Sito Eratostenesa do 100: skreślone wielokrotności 2, 3, 5 i 7, wyróżnione 25 liczb pierwszych od 2 do 97, jedynka osobno — Sito Eratostenesa — 25 liczb pierwszych do 100

4Dwójka i inne obserwacje z listy

Gotowa lista liczb pierwszych mówi kilka rzeczy, które warto zauważyć od razu.

Dwójka jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$ , więc ma co najmniej trzy dzielniki i z definicji jest złożona. Dwójka jest jedynym wyjątkiem, bo dla niej ten dzielnik jest nią samą.

Stąd praktyczny wniosek do zadań: poza dwójką wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste. Jeśli liczba większa od $2$ kończy się cyfrą parzystą, nie ma po co dalej sprawdzać.

Podobnie z piątką: poza samą piątką żadna liczba pierwsza nie kończy się na $5$ ani na $0$ , bo takie dzielą się przez pięć.

Liczby, które wyglądają na pierwsze, a nie są

$51 = 3 \cdot 17$ , $57 = 3 \cdot 19$ , $87 = 3 \cdot 29$ — wszystkie trzy zdradza suma cyfr podzielna przez trzy.

$91 = 7 \cdot 13$ oraz $119 = 7 \cdot 17$ — te są najbardziej podstępne, bo dla siódemki nie ma wygodnej cechy podzielności. Trzeba po prostu podzielić.

Siódemka jest w tym temacie najczęstszym przeoczeniem. Dwójkę, trójkę i piątkę widać z cech podzielności, więc odpadają same — a siódemkę trzeba sprawdzić świadomie.

5Ile jest liczb pierwszych

Skoro liczby pierwsze rzedną, nasuwa się pytanie: czy w końcu się kończą?

Nie kończą się — jest ich nieskończenie wiele. Udowodnił to Euklides około $300$ lat p.n.e. i jest to jeden z najstarszych zachowanych dowodów w matematyce.

To materiał nadprogramowy

Dowód Euklidesa nie należy do podstawy programowej szkoły podstawowej ani do wymagań egzaminacyjnych.

Wart jest jednak poznania, bo pokazuje, jak wygląda rozumowanie matematyczne — i jest na tyle prosty, że da się go zrozumieć w kilka minut.

Pomysł jest taki: przypuśćmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele i że wypisaliśmy je wszystkie. Pomnóżmy je wszystkie przez siebie i dodajmy jeden.

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030 \qquad 30030 + 1 = 30031

Nowa liczba nie dzieli się przez żadną z wypisanych — przy każdym dzieleniu zostaje reszta $1$ . A skoro każda liczba większa od jedynki ma jakiś dzielnik pierwszy, to musi istnieć liczba pierwsza spoza naszej listy. Lista nie mogła więc być pełna.

Ciekawostka, która pilnuje, żeby nie wyciągnąć zbyt pochopnego wniosku: $30031$ samo nie jest pierwsze. To $59 \cdot 509$ — obie liczby pierwsze, obie spoza listy. Dowód nie twierdzi, że iloczyn plus jeden jest pierwszy; twierdzi tylko, że kryje w sobie nowy dzielnik pierwszy. I to wystarcza.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: badanie pojedynczej liczby, pułapka z siódemką i fragment sita.

Przykład 1 Czy 97 jest liczbą pierwszą

Sprawdź, czy $97$ jest liczbą pierwszą.

Dwójka: $97$ jest nieparzyste, więc nie dzieli się przez $2$ .
Trójka: suma cyfr to $9 + 7 = 16$ , a $16$ nie dzieli się przez $3$ — więc i $97$ nie.
Piątka: liczba nie kończy się na $0$ ani $5$ , odpada.
Siódemka: $97 : 7 = 13$ reszty $6$ — nie dzieli.
Czy sprawdzać dalej? $11 \cdot 11 = 121$ , a to więcej niż $97$ — więc nie trzeba.
Nie znaleziono żadnego dzielnika właściwego, zatem $97$ jest liczbą pierwszą.
Kontrola: $97$ to ostatnia liczba pierwsza przed setką i jedyna w przedziale od $90$ do $100$ ✓

Odpowiedź: Tak, $97$ jest liczbą pierwszą.

Cztery dzielenia wystarczyły, bo dalej sprawdzać nie trzeba. Zatrzymanie w odpowiednim momencie jest tu równie ważne jak same rachunki — bez tej reguły uczeń dzieliłby przez wszystko aż do $96$ .

Przykład 2 Pułapka z siódemką

Czy $91$ jest liczbą pierwszą?

Liczba jest nieparzysta, więc dwójka odpada.
Suma cyfr: $9 + 1 = 10$ , co nie dzieli się przez $3$ — trójka odpada.
Nie kończy się na $0$ ani $5$ — piątka odpada.
Do tego miejsca wszystko wskazuje na liczbę pierwszą i tu wielu uczniów kończy.
Siódemka: $91 : 7 = 13$ — dzieli się bez reszty.
Zatem $91 = 7 \cdot 13$ i jest liczbą złożoną.
Kontrola: $7 \cdot 13 = 91$ ✓

Odpowiedź: Nie — $91 = 7 \cdot 13$ jest liczbą złożoną.

To najczęstszy błąd w całym temacie. Dla dwójki, trójki i piątki istnieją wygodne cechy podzielności, więc odsiewają się same; dla siódemki cechy nie ma i trzeba wykonać dzielenie świadomie. Ta sama pułapka to $119 = 7 \cdot 17$ .

Przykład 3 Fragment sita Eratostenesa

Wykonaj sito dla liczb od $2$ do $30$ i wypisz liczby pierwsze.

Wypisuję: $2, 3, 4, 5, \ldots, 30$ .
Zakreślam $2$ , wykreślam jej wielokrotności: $4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$ .
Pierwsza niewykreślona to $3$ — zakreślam, wykreślam $9, 15, 21, 27$ (parzyste wielokrotności trójki zniknęły już wcześniej).
Następna niewykreślona to $5$ — zakreślam, wykreślam $25$ (pozostałe wielokrotności piątki już przepadły).
Czy iść dalej? $7 \cdot 7 = 49$ , a to więcej niż $30$ — więc kończę.
Zostały: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ — dziesięć liczb pierwszych.
Kontrola: wszystkie poza dwójką są nieparzyste ✓ i żadna poza piątką nie kończy się na $5$ ✓

Odpowiedź: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ — dziesięć liczb pierwszych.

Zwróć uwagę, ile pracy oszczędza kolejność: przy trójce większość wielokrotności była już wykreślona przy dwójce, a przy piątce zostało do skreślenia tylko $25$ . Dlatego sito jest szybsze niż badanie każdej liczby osobno.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy jedynki, drugi zatrzymania się za wcześnie, trzeci sprawdzania o wiele za długo, czwarty mylenia nieparzystości z pierwszością.

Uznanie jedynki za liczbę pierwszą

Skąd się bierze: Jedynka „dzieli się tylko przez siebie”, więc pasuje do luźno zapamiętanej definicji. Ma jednak jeden dzielnik, a liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa. Gdyby ją dopuścić, rozkład na czynniki przestałby być jednoznaczny.

Jak zrobić dobrze: Licz dzielniki, nie recytuj definicji z pamięci. Jedynka ma jeden dzielnik i dlatego nie jest ani pierwsza, ani złożona — stoi poza tym podziałem.

Pominięcie siódemki przy sprawdzaniu

Skąd się bierze: Uczeń sprawdza $2$ , $3$ i $5$ , bo dla nich są cechy podzielności, i uznaje liczbę za pierwszą. Tymczasem $91$ , $119$ czy $77$ dzielą się właśnie przez $7$ — a tego nie widać z żadnej wygodnej cechy.

Jak zrobić dobrze: Po dwójce, trójce i piątce zawsze wykonaj dzielenie przez $7$ , a przy liczbach powyżej $120$ także przez $11$ i $13$ . To jedno dodatkowe dzielenie eliminuje najczęstszy błąd.

Sprawdzanie dzielników aż do samej liczby

Skąd się bierze: Uczeń dzieli $97$ kolejno przez $2, 3, 4, 5, \ldots$ aż do $96$ . Wynik będzie poprawny, ale kosztem kilkudziesięciu niepotrzebnych dzieleń — a na sprawdzianie zwykle brakuje na to czasu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj tylko liczby pierwsze do pierwiastka z badanej liczby. Dla $97$ wystarczą $2$ , $3$ , $5$ i $7$ , bo $11 \cdot 11$ przekracza już $97$ .

Uznanie każdej liczby nieparzystej za pierwszą

Skąd się bierze: „Pierwsze są nieparzyste” zapamiętuje się jako regułę działającą w obie strony. Ale $9$ , $15$ , $21$ , $25$ , $27$ i $33$ też są nieparzyste, a wszystkie są złożone — nieparzystość jest warunkiem koniecznym, nie wystarczającym.

Jak zrobić dobrze: Nieparzystość pozwala tylko odrzucić liczbę parzystą (poza dwójką). Żeby potwierdzić, że liczba jest pierwsza, trzeba sprawdzić wszystkie dzielniki do pierwiastka.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są liczby:

k = 69

oraz

m = 83

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Suma liczb $k$ i $m$ jest podzielna przez 4.	P	F
Iloczyn liczb $k$ i $m$ jest podzielny przez 3.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: liczymy sumę $69 + 83 = 152$ .
Podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $52 : 4 = 13$ ✓, więc 152 dzieli się przez 4 — prawda.
Zdanie 2: iloczynu nie trzeba liczyć! Wystarczy, że jeden z czynników dzieli się przez 3.
Suma cyfr liczby 69: $6 + 9 = 15$ , a $15 : 3 = 5$ , więc $69$ dzieli się przez 3.
Skoro $69 = 3 \cdot 23$ , to $69 \cdot 83 = 3 \cdot (23 \cdot 83)$ — iloczyn dzieli się przez 3 ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W iloczynie wystarczy znaleźć jeden czynnik podzielny przez daną liczbę — cały iloczyn wtedy też się przez nią dzieli. W sumie tak nie działa: trzeba policzyć.

⚠ Typowy błąd: mnożenie $69 \cdot 83 = 5727$ na piechotę. To strata czasu i okazja do pomyłki — wystarczy spojrzeć na czynniki.

Zadanie 2 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ wśród dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych	1.	nie musi znajdować się liczba podzielna przez 10.

			2.	jest co najmniej jedna liczba nieparzysta i co najmniej jedna parzysta.
B	Nie,
			3.	jest co najmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna parzysta.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Rozkładamy dzielnik na czynniki pierwsze: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Żeby iloczyn dzielił się przez 10, musi zawierać czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Wśród pięciu kolejnych liczb zawsze jest dokładnie jedna podzielna przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ — bo co piąta liczba jest wielokrotnością piątki.
Wśród pięciu kolejnych są też co najmniej dwie liczby parzyste, czyli czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ na pewno się znajdzie.
Skoro iloczyn zawiera i $\textcolor{#16A06A}{2}$ , i $\textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ — odpowiedź A, uzasadnienie 3.
Przykład: $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 2520$ , a $2520 : 10 = 252$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy podzielności iloczynu zawsze rozłóż dzielnik na czynniki pierwsze i sprawdź, czy każdy z nich gdzieś się znajdzie.

⚠ Kuszące uzasadnienie 2. („jest liczba parzysta i nieparzysta”) gwarantuje tylko podzielność przez 2 — nic nie mówi o piątce. A uzasadnienie 1. jest prawdziwe (liczby podzielnej przez 10 faktycznie może nie być), ale prowadzi do złej odpowiedzi: dziesiątka powstaje z iloczynu 2 i 5, nie musi być gotowa w jednej liczbie.

Zadanie 3 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. $72$
B. $108$
C. $180$
D. $216$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$ . Zatem $x = 12$ .
Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$ . Zatem $y = 90$ .
Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
$12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ( $\textcolor{#16A06A}{2^2}$ ), trójkę z liczby 90 ( $\textcolor{#E0453A}{3^2}$ ) i piątkę ( $\textcolor{#E0453A}{5}$ ).
$\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ( $12 \cdot 90 = 1080$ ) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Zadanie 4 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba 1725 jest liczbą podzielną przez 15.	P	F
Liczba 1725 jest wielokrotnością 125.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1: rozkładamy dzielnik — $15 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , więc sprawdzamy obie cechy osobno.
Przez $\textcolor{#16A06A}{3}$ : suma cyfr $1+7+2+5 = \textcolor{#16A06A}{15}$ , a $\textcolor{#16A06A}{15}$ dzieli się przez 3 ✓.
Przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ : liczba kończy się na $\textcolor{#E0453A}{5}$ ✓.
Skoro dzieli się i przez 3, i przez 5, to dzieli się przez 15 — prawda ( $1725 : 15 = 115$ ).
Zdanie 2: sprawdzamy $1725 : 125$ . Wiemy, że $125 \cdot 13 = 1625$ , a $125 \cdot 14 = 1750$ — liczba 1725 wypada pomiędzy, więc nie jest wielokrotnością 125. Fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Przy podzielności przez liczbę złożoną (15, 12, 18…) rozłóż ją na czynniki względnie pierwsze i sprawdź każdy osobno. Uwaga: dla 12 nie wystarczy „przez 2 i przez 6” — trzeba „przez 3 i przez 4”.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: uznanie, że skoro liczba kończy się na 25, to dzieli się przez 125. Końcówka 25 świadczy tylko o podzielności przez 25.

Zadanie 5 (materiały CKE)1 pktśrednie

Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składa się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoce nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek?

A. $90$
B. $20$
C. $30$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Liczba porcji musi dzielić obie liczby owoców — i to jak największa. Szukamy więc $\mathrm{NWD}(120, 180)$ .
Rozkładamy na czynniki pierwsze: $120 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ , oraz $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
Do NWD bierzemy wspólne czynniki w najniższej potędze: $\textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Sprawdzamy: $120 : 60 = 2$ mandarynki na osobę, $180 : 60 = 3$ śliwki na osobę — wszystko się zgadza.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: „Maksymalnie osób / największe pudełka / równe porcje” to sygnał NWD. Gdy w zadaniu chodzi o „za ile dni znowu się spotkają / najmniejsza wspólna liczba” — to NWW.

⚠ Kusząca odpowiedź 90 to połowa liczby śliwek — dzieli 180, ale $120 : 90$ nie jest liczbą całkowitą, więc 90 osób nie dostałoby równych porcji.

Zadania otwarte

Zadanie 6 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Zaczynamy od rozłożenia liczby, do której zmierzamy: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Musimy więc pokazać, że nasza liczba zawiera czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Oznaczmy tę liczbę przez $n$ .
Skąd bierzemy piątkę? Skoro $n$ dzieli się przez $15 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Skąd bierzemy dwójkę? Skoro $n$ dzieli się przez $14 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 7$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Liczby $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1 (obie są pierwsze), więc z podzielności przez każdą z nich wynika podzielność przez ich iloczyn.
Zatem $n$ dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ . co należało uzasadnić
Można to też zapisać krócej: $n$ jest wielokrotnością $\mathrm{NWW}(15, 14) = 210$ , a $210 = 10 \cdot 21$ , więc $n$ dzieli się przez 10.

💡 Wskazówka: Schemat takich dowodów jest zawsze ten sam: rozłóż cel na czynniki pierwsze, a potem pokaż, skąd bierze się każdy z nich.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie jednego przykładu (np. 210) i uznanie sprawy za zamkniętą. Jeden przykład nie jest dowodem — trzeba rozumować dla dowolnej liczby $n$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P

2. A, 3

3. C

4. P, F

5. D

6. dowód

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Dzielniki i liczby pierwsze — kartkówka, klasa 5

Własności liczb naturalnych: dzielniki, liczby pierwsze, rozkład, NWD i NWW.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga z cechami podzielności i 10 kart pracy: od reguł przez liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD i NWW po zadania w stylu egzaminu…

6,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest liczba pierwsza?

Liczba naturalna mająca dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Do stu jest ich dwadzieścia pięć: $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ , $31$ , $37$ , $41$ , $43$ , $47$ , $53$ , $59$ , $61$ , $67$ , $71$ , $73$ , $79$ , $83$ , $89$ , $97$ .

Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą?

Bo ma tylko jeden dzielnik, a liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa. Gdyby ją dopuścić, rozkład na czynniki pierwsze przestałby być jednoznaczny: $12$ dałoby się zapisać jako $2 \cdot 2 \cdot 3$ , ale też $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ i tak bez końca.

Czy 2 jest liczbą pierwszą?

Tak, i jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$ , więc ma co najmniej trzy dzielniki i jest złożona. Poza dwójką wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste.

Na czym polega sito Eratostenesa?

Zamiast badać każdą liczbę osobno, wykreślasz wielokrotności. Wypisujesz liczby, zakreślasz $2$ i wykreślasz jej wielokrotności, potem robisz to samo z $3$ , $5$ i $7$ . Dla zakresu do stu wystarczą te cztery — co zostanie niewykreślone, jest pierwsze.

Czym różni się liczba pierwsza od złożonej?

Liczbą dzielników. Pierwsza ma dokładnie dwa, złożona więcej niż dwa — czyli ma dzielnik właściwy, inny niż jedynka i ona sama. Jedynka nie należy do żadnej z tych grup, bo ma tylko jeden dzielnik.

Ile jest liczb pierwszych?

Nieskończenie wiele — udowodnił to Euklides około $300$ r. p.n.e. Choć rzedną (do dziesięciu są cztery, między $90$ a $100$ już tylko jedna), nigdy się nie kończą. Dowód jest materiałem nadprogramowym, ale prostym do zrozumienia.

Co to są liczby pierwsze?

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od jedynki, które dzielą się tylko przez jeden i przez samą siebie. Najmniejsza z nich to dwa i jest to jedyna parzysta liczba pierwsza. Jedynka nie jest liczbą pierwszą, bo ma tylko jeden dzielnik.

Czytaj dalej

Rozkład na czynniki pierwszeDo czego służą liczby pierwsze i skąd reguła pierwiastka Cechy podzielnościSzybkie odsianie dzielników 2, 3 i 5 — ale nie 7 NWDOpiera się na jednoznaczności rozkładu, czyli na wykluczeniu jedynki Liczby i działaniaPozostałe tematy z tego działu Liczby parzyste i nieparzysteJak rozpoznać liczbę parzystą i co wychodzi z dodawania oraz mnożenia.…Liczby doskonałeLiczba doskonała równa się sumie swoich dzielników właściwych. Cztery…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Liczby pierwsze

1Pierwsze i złożone — podział na dwie grupy

2Dlaczego jedynka nie jest liczbą pierwszą

3Sito Eratostenesa

4Dwójka i inne obserwacje z listy

5Ile jest liczb pierwszych

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Zadanie 5 (materiały CKE)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 6 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Dzielniki i liczby pierwsze — kartkówka, klasa 5

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku