Strona główna › Liczby i działania › Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Q: Czy rozkład na czynniki pierwsze może wyjść inny, jeśli zacznę inaczej?

Nie. Każda liczba naturalna większa od 1 ma dokładnie jeden taki rozkład, z dokładnością do kolejności czynników. Można zacząć 60 od 6 · 10 albo od 4 · 15 — w obu przypadkach zostaną dwie dwójki, trójka i piątka.

Q: Czy jedynkę zapisuje się w rozkładzie?

Nie, bo 1 nie jest liczbą pierwszą — ma tylko jeden dzielnik, samą siebie. W dzieleniu słupkiem jedynka pojawia się jako wynik ostatniego kroku i oznacza koniec rozkładu, ale do zapisu nie wchodzi.

Rozkład na czynniki pierwsze wygląda na ćwiczenie samo dla siebie — dzielimy, dzielimy, wychodzi ciąg liczb. Sens pokazuje się dopiero później: to jedno narzędzie, które obsługuje wszystkie cztery tematy naraz — skracanie ułamków, NWD, NWW i pierwiastki. Nie jest jedyną drogą do każdego z nich z osobna (sam NWD wyznacza też algorytm Euklidesa, przez kolejne dzielenia z resztą), ale jako jedyne załatwia je wszystkie tym samym rachunkiem. Kto ją opanuje w klasie piątej, w ósmej ma cztery tematy załatwione z góry.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 5–8Zadań z E8: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Czym jest rozkład i dlaczego jest tylko jeden

Rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze to zapisać ją jako iloczyn samych liczb pierwszych.

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

Liczba pierwsza to taka, która ma dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i samą siebie — czyli $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ … Warto zapamiętać ją w tej właśnie postaci, a nie jako „dzieli się przez $1$ i przez siebie”, bo ten drugi zapis pasuje także do jedynki. Rozkładu nie kończymy, dopóki w iloczynie stoi cokolwiek innego.

Wynik nie zależy od drogi

Liczbę $60$ można zacząć rozkładać od $6 \cdot 10$ albo od $4 \cdot 15$ — i wyjdzie to samo: dwie dwójki, trójka i piątka.

To nie przypadek, tylko twierdzenie: każda liczba naturalna większa od $1$ ma dokładnie jeden rozkład na czynniki pierwsze, z dokładnością do kolejności.

Dlatego rozkład jest tak użyteczny — jest odciskiem palca liczby. Dwie liczby o tym samym rozkładzie są tą samą liczbą.

Zapis skraca się potęgami, gdy czynnik się powtarza:

60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \qquad 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

Jedynki w rozkładzie nie zapisujemy — nie jest liczbą pierwszą i mnożenie przez nią niczego nie zmienia. I nie jest to wyjątek do zapamiętania, tylko wniosek z definicji: jedynka ma dokładnie jeden dzielnik, a liczba pierwsza ma dwa. Złożona ma ich więcej niż dwa, więc $1$ nie należy do żadnej z tych grup.

2Dwie metody zapisu — drzewko i słupek

Cel jest jeden — dojść do samych liczb pierwszych — ale procedury różnią się nie tylko zapisem. W słupku dzielisz przez kolejne liczby pierwsze, od najmniejszej w górę. W drzewku rozbijasz liczbę na dowolne dwa czynniki, niekoniecznie pierwsze: rozkład $60$ zaczyna się tam od $6 \cdot 10$ , a w słupku od dwójki. Stąd bierze się przewaga słupka, o której piszę niżej.

Drzewko czynników

Rozbijasz liczbę na dowolne dwa czynniki, potem każdy z nich dalej — aż na końcu każdej gałęzi zostanie liczba pierwsza.

$60 = 6 \cdot 10$
$6 = 2 \cdot 3$ — obie pierwsze, gałąź zamknięta
$10 = 2 \cdot 5$ — obie pierwsze, gałąź zamknięta
zbieram liście: $2$ , $3$ , $2$ , $5$ , czyli $2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Drzewko jest wygodne, gdy widać jakiś oczywisty rozkład — ale łatwo w nim zgubić gałąź.

Drzewko czynników pierwszych liczby 60: rozkład zaczęty od 6 · 10 i od 4 · 15 daje ten sam wynik 60 = 2² · 3 · 5; liczby pierwsze zamykają gałęzie — Drzewko czynników pierwszych — dwie drogi, jeden wynik

Słupek (dzielenie przez kolejne liczby pierwsze)

Zapisujesz liczbę, po prawej stronie kreski dzielnik, pod spodem iloraz. Dzielisz przez najmniejszą liczbę pierwszą, która pasuje, i powtarzasz.

dzielimy	przez	wychodzi
$360$	$2$	$180$
$180$	$2$	$90$
$90$	$2$	$45$
$45$	$3$	$15$
$15$	$3$	$5$
$5$	$5$	$1$

Rozkład to kolumna dzielników: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

Słupek jest bezpieczniejszy i to jego warto ćwiczyć: idziesz zawsze od najmniejszej liczby pierwszej w górę, więc nie da się niczego pominąć, a koniec jest jednoznaczny — dochodzisz do $1$ .

Przy szukaniu dzielników ratują cechy podzielności: przez $2$ poznasz po ostatniej cyfrze, przez $3$ po sumie cyfr, przez $5$ po zerze lub piątce na końcu. Bez nich każdy krok wymagałby próbnego dzielenia.

Rozkład liczby 360 na czynniki pierwsze w słupku: 360, 180, 90 dzielone przez 2, 45 i 15 przez 3, 5 przez 5; wynik 360 = 2³ · 3² · 5 oraz cechy podzielności przez 2, 3, 5 i 7 — Rozkład na czynniki pierwsze słupkiem — przykład dla 360

3Kiedy przestać sprawdzać

To pytanie zadaje sobie każdy, kto rozkłada większą liczbę: dokąd właściwie szukać dzielników?

Reguła pierwiastka

Wystarczy sprawdzać liczby pierwsze do pierwiastka z badanej liczby. Jeśli żadna nie dzieli — liczba jest pierwsza i rozkład się kończy.

Dlaczego: gdyby liczba $n$ miała dzielnik większy od $\sqrt{n}$ , to drugi czynnik tego iloczynu musiałby być mniejszy od $\sqrt{n}$ — a takiego już sprawdziliśmy i nie było.

Dla $91$ : $\sqrt{91}$ jest trochę mniejsze niż $10$ , więc sprawdzam $2$ , $3$ , $5$ , $7$ . I $7$ dzieli: $91 = 7 \cdot 13$ .

W szkole podstawowej liczby są na tyle małe, że wystarczy przejść $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ — dalej rzadko trzeba iść.

Najczęstsze przeoczenie to siódemka. Dwójkę, trójkę i piątkę widać z cech podzielności, więc idą same; dla $7$ istnieje cecha podzielności, ale w takim zadaniu często szybciej po prostu podzielić. Liczby $49$ , $77$ , $91$ , $119$ wyglądają na pierwsze i nie są.

Kontrola gotowego rozkładu jest zawsze ta sama i zajmuje chwilę: wymnóż czynniki z powrotem. Jeśli nie wychodzi liczba wyjściowa, gdzieś zgubiłeś krok.

4Do czego to naprawdę służy

Rozkład rzadko bywa celem zadania. Prawie zawsze jest narzędziem do czegoś innego — i to jest powód, dla którego warto go umieć szybko.

gdzie	co daje rozkład
skracanie ułamków	pokazuje wszystkie wspólne czynniki licznika i mianownika naraz
NWD	iloczyn czynników wspólnych, każdy w niższej potędze
NWW	iloczyn wszystkich czynników, każdy w wyższej potędze
pierwiastki	para jednakowych czynników wychodzi spod pierwiastka
liczba dzielników	z wykładników: dla $2^3 \cdot 3^2$ jest ich $(3+1)(2+1) = 12$

Dwa środkowe wiersze warto zapamiętać razem, bo są lustrzane: NWD bierze części wspólne, NWW bierze wszystko. Mając rozkłady obu liczb, dostaje się jedno i drugie bez zgadywania.

Przy pierwiastkach działa to tak: $\sqrt{72}$ rozkładam na $2^3 \cdot 3^2$ , czyli $\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$ . Każda para jednakowych czynników daje jedną liczbę przed pierwiastkiem: para dwójek daje $2$ , para trójek daje $3$ , a samotna dwójka zostaje w środku — więc $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

Ostatni wiersz tabeli bywa zaskoczeniem, a jest prostą konsekwencją: każdy dzielnik powstaje przez wybranie każdego czynnika w potędze od $0$ do jego wykładnika. Dla $2^3 \cdot 3^2$ dwójkę można wziąć na $4$ sposoby ( $2^0$ do $2^3$ ), a trójkę na $3$ — razem $12$ dzielników.

NWD i NWW z rozkładu na czynniki pierwsze dla 60 i 72: czynniki wspólne 2 · 2 · 3 dają NWD = 12, wszystkie czynniki 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 dają NWW = 360; pierwiastek √72 = 6√2 — NWD, NWW i pierwiastek — do czego służy rozkład na czynniki

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozkład słupkiem, liczba z ukrytą siódemką i rozkład użyty do NWD i NWW.

Przykład 1 Rozkład słupkiem

Rozłóż liczbę $180$ na czynniki pierwsze i zapisz wynik z potęgami.

Ostatnia cyfra jest parzysta, więc dzielę przez $2$ : $180 : 2 = 90$ .
$90$ też jest parzyste: $90 : 2 = 45$ .
$45$ jest nieparzyste, więc dwójka odpada. Suma cyfr $4 + 5 = 9$ dzieli się przez $3$ , więc dzielę przez $3$ : $45 : 3 = 15$ .
$15 : 3 = 5$ .
$5$ jest liczbą pierwszą: $5 : 5 = 1$ . Koniec.
Kolumna dzielników: $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $5$ , czyli $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
Kontrola przez wymnożenie: $4 \cdot 9 = 36$ , a $36 \cdot 5 = 180$ ✓

Odpowiedź: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Zwróć uwagę na krok trzeci: nie przeskakuję od razu do trójki „bo tak wygląda”, tylko najpierw stwierdzam, że dwójka już nie pasuje. W słupku idzie się zawsze od najmniejszej liczby pierwszej w górę i to jest cała jego przewaga nad drzewkiem.

Przykład 2 Liczba z ukrytą siódemką

Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę $154$ . Czy $119$ jest liczbą pierwszą?

$154$ jest parzyste: $154 : 2 = 77$ .
$77$ — suma cyfr to $14$ , nie dzieli się przez $3$ . Ostatnia cyfra to $7$ , więc ani $2$ , ani $5$ nie pasują.
Sprawdzam $7$ : $77 : 7 = 11$ . Pasuje.
$11$ jest liczbą pierwszą, więc koniec: $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$ .
Kontrola: $2 \cdot 7 = 14$ , a $14 \cdot 11 = 154$ ✓
Teraz $119$ . Nie dzieli się przez $2$ ani $5$ , a suma cyfr $1 + 1 + 9 = 11$ nie dzieli się przez $3$ . Sprawdzam $7$ : $119 : 7 = 17$ — dzieli się, więc $119$ nie jest liczbą pierwszą: $119 = 7 \cdot 17$ .
Kontrola regułą pierwiastka: $\sqrt{119}$ leży między $10$ a $11$ (bo $10^2 = 100$ , a $11^2 = 121$ ), więc wystarczyło sprawdzić $2$ , $3$ , $5$ , $7$ — jedenastki już nie trzeba ✓

Odpowiedź: $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$ ; liczba $119$ nie jest pierwsza, bo $119 = 7 \cdot 17$

Siódemka jest najczęściej pomijanym dzielnikiem, bo jej cecha podzielności jest mniej znana od tych dla 2, 3 i 5. Warto zapamiętać kilka jej iloczynów: $49$ , $77$ , $91$ i $119$ wyglądają na pierwsze, a nie są.

Przykład 3 Rozkład w akcji — NWD i NWW naraz

Dla liczb $60$ i $72$ wyznacz NWD i NWW, korzystając z rozkładów.

Rozkładam obie: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ oraz $72 = 2^3 \cdot 3^2$ .
NWD — czynniki wspólne w niższej potędze. Wspólne są dwójka i trójka. Dwójka: niższa z potęg $2^2$ i $2^3$ to $2^2$ . Trójka: niższa z $3^1$ i $3^2$ to $3^1$ . Piątki nie ma w $72$ , więc odpada.
$\mathrm{NWD}(60, 72) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ .
NWW — wszystkie czynniki w wyższej potędze. Dwójka: $2^3$ . Trójka: $3^2$ . Piątka: $5$ , bo występuje choć w jednej liczbie.
$\mathrm{NWW}(60, 72) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$ .
Kontrola iloczynem: $\mathrm{NWD} \cdot \mathrm{NWW}$ musi być równe iloczynowi liczb. $12 \cdot 360 = 4320$ oraz $60 \cdot 72 = 4320$ ✓
Kontrola sensu: NWD musi dzielić obie liczby ( $60 : 12 = 5$ , $72 : 12 = 6$ ), a NWW musi być przez obie podzielne ( $360 : 60 = 6$ , $360 : 72 = 5$ ) ✓

Odpowiedź: $\mathrm{NWD}(60, 72) = 12$ , $\mathrm{NWW}(60, 72) = 360$

Kontrola z kroku szóstego jest darmowa i wyłapuje niemal każdą pomyłkę w potęgach: iloczyn NWD i NWW zawsze równa się iloczynowi obu liczb. Warto ją robić zawsze, gdy zadanie każe policzyć oba naraz.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą definicji rozkładu, trzeci przeoczenia dzielnika, czwarty mylenia reguł NWD i NWW.

Zapisanie jedynki w rozkładzie

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{60 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5}$ jest nadmiarowy, bo $1$ nie jest liczbą pierwszą. Definicja wymaga dwóch różnych dzielników — $1$ ma tylko jeden, samą siebie. Jedynka w rozkładzie psuje też liczenie dzielników i porównywanie rozkładów.

Jak zrobić dobrze: Rozkład kończy się na ostatniej liczbie pierwszej. Jedynka pojawia się w słupku wyłącznie jako wynik ostatniego dzielenia — i to jest sygnał końca, a nie czynnik do zapisania.

Zatrzymanie rozkładu na liczbie złożonej

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{60 = 4 \cdot 15}$ nie jest rozkładem na czynniki pierwsze — ani $4$ , ani $15$ liczbami pierwszymi nie są. Przy drzewku zdarza się to najczęściej: gałąź wygląda na skończoną, bo liczba jest mała.

Jak zrobić dobrze: Przy każdej liczbie w rozkładzie zadaj jedno pytanie: czy dzieli się przez cokolwiek poza $1$ i sobą? Jeśli tak, gałąź trzeba ciągnąć dalej. Słupek eliminuje ten błąd, bo kończy się dopiero na $1$ .

Pominięcie siódemki

Skąd się bierze: Dla $2$ , $3$ i $5$ istnieją cechy podzielności, więc same rzucają się w oczy. Dla $7$ uczeń często nie sprawdza podzielności, więc przeskakuje do $11$ i uznaje $77$ albo $91$ za liczbę pierwszą. Cały dalszy rachunek — NWD, NWW, skracanie — jest wtedy błędny.

Jak zrobić dobrze: Po sprawdzeniu $2$ , $3$ i $5$ zawsze podziel przez $7$ , choćby na próbę. To jedno dzielenie, a zamyka najczęstszą lukę w tym temacie.

Mylenie reguł NWD i NWW

Skąd się bierze: Obie korzystają z tych samych rozkładów, więc łatwo je zamienić i podać $360$ tam, gdzie miało być $12$ . Wynik bywa wtedy większy od obu liczb, choć NWD musi być od nich mniejszy albo równy.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez nazwę: NWD to dzielnik, więc musi być mały i bierze tylko część wspólną. NWW to wielokrotność, więc musi być duża i bierze wszystko. Kontrola: $\mathrm{NWD} \cdot \mathrm{NWW}$ równa się iloczynowi obu liczb.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. $4334$
B. $4994$
C. $8338$
D. $8998$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy $X$ — największego wspólnego dzielnika liczb 18 i 27. Dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; dzielniki 27 to 1, 3, 9, 27.
Największy wspólny: $X = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Szukamy $Y$ — najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2 i 4. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 4 dzieli się przez 2, więc $Y = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawiamy do wzoru kodu $YXXY$ : $\textcolor{#E0453A}{4}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli 4994.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: NWD jest zawsze nie większy od mniejszej z liczb, a NWW nie mniejszy od większej. Tu: $X \le 18$ , $Y \ge 4$ — dobra kontrola wyniku.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności liter i wpisanie $XYYX$ , czyli 9449. Warto podkreślić sobie wzór $YXXY$ i podstawiać po kolei.

Zadanie 2 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. $72$
B. $108$
C. $180$
D. $216$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$ . Zatem $x = 12$ .
Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$ . Zatem $y = 90$ .
Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
$12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ( $\textcolor{#16A06A}{2^2}$ ), trójkę z liczby 90 ( $\textcolor{#E0453A}{3^2}$ ) i piątkę ( $\textcolor{#E0453A}{5}$ ).
$\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ( $12 \cdot 90 = 1080$ ) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Zadanie 3 (materiały CKE)1 pktśrednie

Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składa się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoce nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek?

A. $90$
B. $20$
C. $30$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Liczba porcji musi dzielić obie liczby owoców — i to jak największa. Szukamy więc $\mathrm{NWD}(120, 180)$ .
Rozkładamy na czynniki pierwsze: $120 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ , oraz $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
Do NWD bierzemy wspólne czynniki w najniższej potędze: $\textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Sprawdzamy: $120 : 60 = 2$ mandarynki na osobę, $180 : 60 = 3$ śliwki na osobę — wszystko się zgadza.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: „Maksymalnie osób / największe pudełka / równe porcje” to sygnał NWD. Gdy w zadaniu chodzi o „za ile dni znowu się spotkają / najmniejsza wspólna liczba” — to NWW.

⚠ Odpowiedź 90 kusi, bo to połowa liczby śliwek. Ale $120 : 90$ nie jest liczbą całkowitą, więc 90 osób nie dostałoby równych porcji.

Zadania otwarte

Zadanie 4 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Zaczynamy od rozłożenia liczby, do której zmierzamy: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Musimy więc pokazać, że nasza liczba zawiera czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Oznaczmy tę liczbę przez $n$ .
Skąd bierzemy piątkę? Skoro $n$ dzieli się przez $15 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Skąd bierzemy dwójkę? Skoro $n$ dzieli się przez $14 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 7$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Liczby $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1 (obie są pierwsze), więc z podzielności przez każdą z nich wynika podzielność przez ich iloczyn.
Zatem $n$ dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ . co należało uzasadnić
Można to też zapisać krócej: $n$ jest wielokrotnością $\mathrm{NWW}(15, 14) = 210$ , a $210 = 10 \cdot 21$ , więc $n$ dzieli się przez 10.

💡 Wskazówka: Schemat takich dowodów jest zawsze ten sam: rozłóż cel na czynniki pierwsze, a potem pokaż, skąd bierze się każdy z nich.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie jednego przykładu (np. 210) i uznanie sprawy za zamkniętą. Jeden przykład nie jest dowodem — trzeba rozumować dla dowolnej liczby $n$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. C

3. D

4. dowód

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Dzielniki i liczby pierwsze — kartkówka, klasa 5

Własności liczb naturalnych: dzielniki, liczby pierwsze, rozkład, NWD i NWW.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga z cechami podzielności i 10 kart pracy: od reguł przez liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD i NWW po zadania w stylu egzaminu…

6,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Dziel ją przez kolejne liczby pierwsze, zaczynając od najmniejszej, która pasuje, i powtarzaj z każdym wynikiem, aż dojdziesz do $1$ . Rozkładem jest kolumna dzielników. Dla $180$ wychodzi $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ , czyli $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

Czy rozkład na czynniki pierwsze może wyjść inny, jeśli zacznę inaczej?

Nie. Każda liczba naturalna większa od $1$ ma dokładnie jeden taki rozkład, z dokładnością do kolejności czynników. Można zacząć $60$ od $6 \cdot 10$ albo od $4 \cdot 15$ — w obu przypadkach zostaną dwie dwójki, trójka i piątka.

Czy jedynkę zapisuje się w rozkładzie?

Nie, bo $1$ nie jest liczbą pierwszą — ma tylko jeden dzielnik, samą siebie. W dzieleniu słupkiem jedynka pojawia się jako wynik ostatniego kroku i oznacza koniec rozkładu, ale do zapisu nie wchodzi.

Do jakiej liczby trzeba sprawdzać dzielniki?

Do pierwiastka z badanej liczby. Gdyby istniał dzielnik większy od $\sqrt{n}$ , drugi czynnik musiałby być od niego mniejszy — a ten już sprawdziliśmy. Dla $91$ wystarczy więc dojść do $9$ , czyli przetestować $2$ , $3$ , $5$ i $7$ .

Do czego służy rozkład na czynniki pierwsze?

Do skracania ułamków, wyznaczania NWD i NWW, wyłączania czynników spod pierwiastka oraz liczenia dzielników. Prawie nigdy nie jest celem zadania — jest narzędziem, bez którego te pięć rzeczy trzeba by robić zgadywaniem.

Co jest lepsze — drzewko czy słupek?

Słupek, jeśli chodzi o pewność. Idzie się w nim zawsze od najmniejszej liczby pierwszej w górę i kończy na $1$ , więc trudno coś pominąć. Drzewko bywa szybsze, gdy od razu widać wygodny rozkład, ale łatwiej w nim zostawić niedokończoną gałąź.

Na czym polega rozkładanie na czynniki pierwsze?

Rozkładanie na czynniki pierwsze to zapisanie liczby jako iloczynu samych liczb pierwszych. Dzielimy kolejno przez najmniejszą pasującą liczbę pierwszą, aż zostanie jedynka. Każda liczba naturalna większa od jedynki ma dokładnie jeden taki rozkład.

Czytaj dalej

Liczby i działaniaHub działu: cztery działania, podzielność i rodzaje liczb Cechy podzielności liczbBez nich każdy krok rozkładu wymagałby próbnego dzielenia NWWWszystkie czynniki w wyższej potędze NWDCzynniki wspólne w niższej potędze Wspólny mianownikNajczęstsze zastosowanie rozkładu w praktyce

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

1Czym jest rozkład i dlaczego jest tylko jeden

2Dwie metody zapisu — drzewko i słupek

Drzewko czynników

Słupek (dzielenie przez kolejne liczby pierwsze)

3Kiedy przestać sprawdzać

4Do czego to naprawdę służy

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Zadanie 2 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (materiały CKE)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 4 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Dzielniki i liczby pierwsze — kartkówka, klasa 5

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku