Strona główna › Liczby i działania › Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby parzyste i nieparzyste

Q: Jak rozpoznać liczbę parzystą?

Po ostatniej cyfrze: parzyste kończą się na 0, 2, 4, 6 lub 8. Pozostałe cyfry nie mają znaczenia, bo dziesiątki, setki i tysiące są już podzielne przez dwa. Liczba parzysta to taka, którą da się podzielić na pary bez reszty.

Q: Czy zero jest liczbą parzystą?

Tak. Dzieli się przez dwa bez reszty (0 : 2 = 0), a zero elementów tworzy zero par i nic nie zostaje. Zero jest zwykłą liczbą parzystą i nie stanowi tu wyjątku.

Q: Ile wynosi nieparzysta plus nieparzysta?

Zawsze liczba parzysta: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16. Każda liczba nieparzysta to pary i jedna sztuka luzem — a dwie samotne sztuki łączą się w parę, więc nic nie zostaje.

Q: Czy odejmowanie ma inne reguły niż dodawanie?

Nie, dokładnie te same. 7 - 3 = 4 — nieparzysta minus nieparzysta daje parzystą, tak samo jak przy dodawaniu. Wystarczy zapamiętać jedną tabelę dla obu działań.

Rozpoznanie liczby parzystej zajmuje sekundę — wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę. Prawdziwie ciekawe zaczyna się przy działaniach, bo jedna z reguł zaskakuje niemal każdego: nieparzysta plus nieparzysta daje liczbę parzystą. Ta strona pokazuje, dlaczego tak jest, bez sięgania po litery — wystarczy model par. Litery pojawiają się dopiero na samym końcu, jako zapowiedź tego, co z tej reguły robi się w klasie siódmej.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co znaczy parzysta

Liczba parzysta to taka, którą da się podzielić na pary bez reszty. Nieparzysta to taka, przy której jedna sztuka zostaje sama.

To nie jest przenośnia, tylko dokładnie definicja: liczba parzysta dzieli się przez $2$ , nieparzysta nie.

liczba	ustawiona w pary	reszta
$6$	$\bullet\bullet$ $\bullet\bullet$ $\bullet\bullet$	nic — parzysta
$7$	$\bullet\bullet$ $\bullet\bullet$ $\bullet\bullet$ $\bullet$	jedna — nieparzysta

Rozpoznajemy po ostatniej cyfrze. Parzyste kończą się na $0$ , $2$ , $4$ , $6$ lub $8$ ; nieparzyste na $1$ , $3$ , $5$ , $7$ lub $9$ . Pozostałe cyfry nie mają znaczenia, bo o podzielności przez dwa decydują wyłącznie jedności — tłumaczę to szerzej przy cechach podzielności.

Czy zero jest parzyste

Tak. Zero elementów można ustawić w zero par i nic nie zostaje — warunek spełniony.

Rachunkowo też: $0 : 2 = 0$ bez reszty. Zero jest zresztą liczbą naturalną i zachowuje się jak każda inna liczba parzysta.

Parzystych i nieparzystych jest po tyle samo — na przemian. Wśród liczb od $1$ do $20$ jest dokładnie dziesięć jednych i dziesięć drugich.

2Dodawanie — cztery przypadki, jedna niespodzianka

Wyniki nie zależą od konkretnych liczb, tylko od tego, czy każda z nich jest parzysta. To dlatego można ułożyć tabelę raz na zawsze.

	+ parzysta	+ nieparzysta
parzysta	parzysta ( $4+6=10$ )	nieparzysta ( $4+7=11$ )
nieparzysta	nieparzysta ( $7+4=11$ )	parzysta ( $3+5=8$ )

Trzy pola nikogo nie dziwią. Prawy dolny zaskakuje: dwie liczby nieparzyste dają w sumie parzystą.

Dlaczego tak jest — bez wzorów

Liczba nieparzysta to pary i jedna sztuka luzem.

Gdy dodajesz dwie takie liczby, dokładasz do siebie ich pary — te dalej są parami — oraz dwie samotne sztuki.

A dwie samotne sztuki łączą się w parę. Nic nie zostaje, więc suma jest parzysta.

$3 + 5$ : trójka to para plus jeden, piątka to dwie pary plus jeden. Razem trzy pary i dwie samotne sztuki, które tworzą czwartą parę — czyli $8$ .

Ten sam obraz tłumaczy pozostałe przypadki. Parzysta plus parzysta: same pary, nic nie zostaje. Parzysta plus nieparzysta: jedna samotna sztuka nie ma z kim się połączyć, więc wynik jest nieparzysty.

Odejmowanie działa dokładnie tak samo. $7 - 3 = 4$ (nieparzysta minus nieparzysta daje parzystą), $7 - 4 = 3$ (nieparzysta minus parzysta daje nieparzystą). Wystarczy zapamiętać jedną tabelę.

3Mnożenie — wystarczy jeden parzysty czynnik

Tutaj reguła jest jeszcze prostsza i da się ją zapisać jednym zdaniem.

Reguła w jednym zdaniu

Iloczyn jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty.

Nieparzysty wychodzi tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są nieparzyste.

	× parzysta	× nieparzysta
parzysta	parzysta ( $6 \cdot 8 = 48$ )	parzysta ( $4 \cdot 7 = 28$ )
nieparzysta	parzysta ( $9 \cdot 2 = 18$ )	nieparzysta ( $3 \cdot 5 = 15$ )

Powód jest ten sam co przy dodawaniu, tylko widziany z drugiej strony. Mnożenie to wielokrotne dodawanie: $4 \cdot 7$ to siedem czwórek, czyli siedem razy „same pary”. Cokolwiek by dołożyć do samych par, pary zostają parami.

Zwróć uwagę na różnicę wobec dodawania: przy sumie oba składniki nieparzyste dają parzystą, a przy iloczynie oba nieparzyste dają nieparzystą. Reguły są różne i to jest najczęstsze źródło pomyłek.

Stąd bierze się też fakt z innego działu: dwójka jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda parzysta liczba większa od $2$ ma dzielnik $2$ różny od niej samej, więc jest złożona. Zero stoi poza tym podziałem: jest parzyste, ale nie jest ani pierwsze, ani złożone.

4Gdzie te reguły są potrzebne

Parzystość rzadko jest celem zadania — częściej jest narzędziem, które skraca rozwiązanie albo pozwala coś rozstrzygnąć bez liczenia.

Sprawdzanie wyniku bez liczenia — iloczyn $37 \cdot 46$ musi być parzysty, bo drugi czynnik jest parzysty. Jeśli wyszła liczba nieparzysta, gdzieś jest błąd.
Zadania o dzieleniu na dwie równe części — da się to zrobić tylko przy liczbie parzystej,
Zadania o parach — ustawianie w dwuszeregu, taniec w parach, przekazywanie sobie czegoś nawzajem,
Zadania „czy to możliwe” — na przykład czy da się dziewięć osób podzielić na pary. Nie da się, i nie trzeba nic liczyć.
Szachownica i kolory pól — klasyczne zadania olimpijskie opierają się właśnie na parzystości.

Ładna obserwacja na koniec: suma kolejnych liczb nieparzystych — licząc od jedynki — zawsze jest kwadratem. $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ . Za każdym razem wychodzi kwadrat liczby składników. Początek jest tu istotny: już $3 + 5 = 8$ kwadratem nie jest, bo brakuje jedynki na starcie.

Ta sama rzecz w klasie siódmej

W starszych klasach te same reguły zapisuje się literami: liczba parzysta to $2n$ , nieparzysta to $2n + 1$ .

Wtedy „nieparzysta plus nieparzysta” staje się rachunkiem: $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$ — a skoro wynik jest podwojeniem czegoś, to jest parzysty.

To jedno z pierwszych miejsc, gdzie widać, po co w ogóle są litery w matematyce: jeden zapis zastępuje sprawdzanie nieskończenie wielu przykładów. Piszę o tym przy wyrażeniach algebraicznych.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozstrzyganie bez liczenia, kontrola wyniku i zadanie „czy to możliwe”.

Przykład 1 Rozstrzyganie bez liczenia

Czy suma $127 + 4589$ jest parzysta, czy nieparzysta? Nie licz jej.

Patrzę tylko na ostatnie cyfry, bo tylko one decydują o parzystości.
$127$ kończy się na $7$ — liczba nieparzysta.
$4589$ kończy się na $9$ — też nieparzysta.
Z tabeli: nieparzysta plus nieparzysta daje parzystą.
Odpowiedź: suma jest parzysta.
Kontrola modelem par: obie liczby to „pary plus jedna sztuka”; dwie samotne sztuki łączą się w parę, więc nic nie zostaje ✓
Sprawdzenie rachunkiem: $127 + 4589 = 4716$ , a $4716$ kończy się na $6$ — parzysta ✓

Odpowiedź: Parzysta.

Cała odpowiedź wynika z dwóch ostatnich cyfr. To najważniejsze zastosowanie tych reguł: pozwalają rozstrzygnąć coś o wyniku, zanim się go policzy.

Przykład 2 Kontrola wyniku mnożenia

Uczeń policzył $\textcolor{#9b1c14}{37 \cdot 46 = 1701}$ . Czy wynik może być poprawny?

Sprawdzam czynniki: $37$ jest nieparzyste, ale $46$ jest parzyste.
Reguła: iloczyn jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty.
Zatem wynik musi być liczbą parzystą.
Podany wynik $1701$ kończy się na $1$ , czyli jest nieparzysty.
Wniosek: wynik na pewno jest błędny — i wiadomo to bez wykonywania mnożenia.
Kontrola: poprawny wynik to $37 \cdot 46 = 1702$ , czyli liczba parzysta ✓

Odpowiedź: Nie — wynik musi być parzysty, a $1701$ jest nieparzyste.

To najtańsza kontrola mnożenia, jaką można zrobić: jedno spojrzenie na ostatnie cyfry. Nie wyłapie każdego błędu, ale wyłapuje go natychmiast i bez rachunku.

Przykład 3 Czy to możliwe

Do sali weszło $9$ osób. Czy da się ustawić je wszystkie w pary tak, żeby nikt nie został sam?

Ustawienie w pary bez reszty jest możliwe dokładnie wtedy, gdy liczba osób jest parzysta.
Sprawdzam: $9$ kończy się na $9$ , więc jest liczbą nieparzystą.
Zatem odpowiedź brzmi: nie da się.
Można to zobaczyć wprost: cztery pary to osiem osób, a dziewiąta zostaje bez pary.
Kontrola: $9 : 2 = 4$ reszty $1$ — reszta różna od zera potwierdza nieparzystość ✓
Uwaga na sformułowanie: pytanie „czy da się” ma tu odpowiedź „nie” i to jest pełna odpowiedź — nie trzeba niczego liczyć dalej.

Odpowiedź: Nie da się — dziewięć jest liczbą nieparzystą.

Zadania typu „czy to możliwe” bywają rozwiązywane parzystością w jednym zdaniu. Umiejętność odpowiedzenia „nie, i oto powód” jest pełnoprawnym rozwiązaniem, a nie unikiem.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa wynikają z mieszania reguł dodawania z regułami mnożenia.

Przekonanie, że nieparzysta plus nieparzysta daje nieparzystą

Skąd się bierze: Uczeń zakłada, że „nieparzystość” się utrzyma, tak jak przy mnożeniu. Ale przy dodawaniu dwie samotne sztuki łączą się w parę i wynik jest parzysty: $3 + 5 = 8$ , $7 + 9 = 16$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdź regułę na najprostszym przykładzie, zanim jej użyjesz: $1 + 1 = 2$ . Dwie liczby nieparzyste, a wynik parzysty — to wystarczy, żeby zapamiętać całą regułę.

Mieszanie reguły dodawania z regułą mnożenia

Skąd się bierze: Przy dodawaniu dwie nieparzyste dają parzystą, a przy mnożeniu — nieparzystą. Reguły są różne, więc zapamiętanie „nieparzyste dają nieparzyste” psuje jedną z nich.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj je osobno i przez skutek: przy dodawaniu wynik jest nieparzysty tylko wtedy, gdy jeden składnik jest parzysty, a drugi nie. Przy mnożeniu — tylko gdy oba czynniki są nieparzyste.

Uznanie, że zero nie jest parzyste

Skąd się bierze: Zero „nie wygląda” na liczbę, którą można dzielić, więc uczeń wyłącza je z podziału. Tymczasem $0 : 2 = 0$ bez reszty, a zero elementów tworzy zero par i nic nie zostaje.

Jak zrobić dobrze: Stosuj tę samą definicję co do innych liczb: dzieli się przez dwa bez reszty, więc jest parzyste. Zero nie jest wyjątkiem od reguły parzystości — jest wyjątkiem tylko od podziału na dodatnie i ujemne.

Patrzenie na całą liczbę zamiast na ostatnią cyfrę

Skąd się bierze: Przy liczbach wielocyfrowych uczeń próbuje dzielić całość przez dwa albo sugeruje się sumą cyfr — co jest cechą podzielności przez $3$ , nie przez $2$ . Przy $4589$ suma cyfr wynosi $26$ , więc odpowiedź wyjdzie błędna.

Jak zrobić dobrze: O parzystości decyduje wyłącznie cyfra jedności, bo wszystkie wyższe rzędy — dziesiątki, setki, tysiące — są już podzielne przez dwa. Reszta liczby nie ma tu żadnego znaczenia.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są liczby:

k = 69

oraz

m = 83

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Suma liczb $k$ i $m$ jest podzielna przez 4.	P	F
Iloczyn liczb $k$ i $m$ jest podzielny przez 3.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: liczymy sumę $69 + 83 = 152$ .
Podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $52 : 4 = 13$ ✓, więc 152 dzieli się przez 4 — prawda.
Zdanie 2: iloczynu nie trzeba liczyć! Wystarczy, że jeden z czynników dzieli się przez 3.
Suma cyfr liczby 69: $6 + 9 = 15$ , a $15 : 3 = 5$ , więc $69$ dzieli się przez 3.
Skoro $69 = 3 \cdot 23$ , to $69 \cdot 83 = 3 \cdot (23 \cdot 83)$ — iloczyn dzieli się przez 3 ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W iloczynie wystarczy znaleźć jeden czynnik podzielny przez daną liczbę — cały iloczyn wtedy też się przez nią dzieli. W sumie tak nie działa: trzeba policzyć.

⚠ Typowy błąd: mnożenie $69 \cdot 83 = 5727$ na piechotę. To strata czasu i okazja do pomyłki — wystarczy spojrzeć na czynniki.

Zadanie 2 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

k

jest sumą liczb 323 i 160. Czy liczba

k

jest podzielna przez 3? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

A	Tak,	ponieważ	1.	cyfrą jedności liczby $k$ jest 3.

			2.	żadna z liczb 323 i 160 nie dzieli się przez 3.
B	Nie,
			3.	suma cyfr 3, 4 i 8 jest liczbą podzielną przez 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Najpierw liczymy $k$ : $323 + 160 = \textcolor{#16A06A}{483}$ .
Cecha podzielności przez 3 — sumujemy cyfry liczby $\textcolor{#16A06A}{483}$ : $4 + 8 + 3 = \textcolor{#E0453A}{15}$ .
$\textcolor{#E0453A}{15} : 3 = 5$ , więc suma cyfr dzieli się przez 3, a zatem i cała liczba $k$ — odpowiedź A.
Uzasadnienie 3 mówi dokładnie to samo (wymienia cyfry 3, 4 i 8 liczby 483).
Uwaga na pułapkę w uzasadnieniu 2.: rzeczywiście ani 323, ani 160 nie dzieli się przez 3 — ale to nie jest powód, dla którego suma się nie dzieli. Tu suma akurat się dzieli, więc to zdanie nie może uzasadniać odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Dwie liczby niepodzielne przez 3 mogą dać sumę podzielną przez 3 (np. $1 + 2 = 3$ ). Zawsze sprawdzaj sumę, a nie same składniki.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór uzasadnienia 2. — brzmi rozsądnie, ale prowadzi do złego wniosku. Drugi błąd: patrzenie na cyfrę jedności (uzasadnienie 1.), która o podzielności przez 3 nic nie mówi.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Dane są liczby: 3321, 1764, 6114, 2936, 1452, 1627. Uzupełnij zdania.

Wśród danych liczb są dokładnie AB liczby podzielne przez 3.

A. trzy
B. cztery

Wśród danych liczb są dokładnie CD liczby podzielne przez 4.

C. dwie
D. trzy

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Przez 3 — patrzymy na sumę cyfr: $3321 \to \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓, $1764 \to \textcolor{#E0453A}{18}$ ✓, $6114 \to \textcolor{#E0453A}{12}$ ✓, $2936 \to 20$ ✗, $1452 \to \textcolor{#E0453A}{12}$ ✓, $1627 \to 16$ ✗.
Podzielne przez 3 są cztery liczby: 3321, 1764, 6114, 1452 — odpowiedź B.
Przez 4 — patrzymy tylko na dwie ostatnie cyfry: $33\textcolor{#16A06A}{21}$ ✗, $17\textcolor{#16A06A}{64}$ ✓, $61\textcolor{#16A06A}{14}$ ✗, $29\textcolor{#16A06A}{36}$ ✓, $14\textcolor{#16A06A}{52}$ ✓, $16\textcolor{#16A06A}{27}$ ✗.
Sprawdzenie: $\textcolor{#16A06A}{64} : 4 = 16$ , $\textcolor{#16A06A}{36} : 4 = 9$ , $\textcolor{#16A06A}{52} : 4 = 13$ — trzy liczby: 1764, 2936, 1452.
Odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Dwie zupełnie różne cechy: przez 3 decyduje suma wszystkich cyfr, przez 4 — tylko dwie ostatnie. Nie mieszaj ich ze sobą.

⚠ Częsty błąd przy podzielności przez 4: sprawdzanie samej ostatniej cyfry („kończy się na 4, więc dzieli się przez 4”) — wtedy 6114 zostałoby zaliczone niesłusznie.

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Piłki tenisowe zapakowano do 186 jednakowych pudełek. Do każdego z tych pudełek włożono po 6 piłek. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba wszystkich spakowanych piłek jest podzielna przez 4.	P	F
Wszystkie te piłki można byłoby spakować do większych pudełek — po 9 piłek w każdym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Liczymy wszystkie piłki: $186 \cdot 6 = 1116$ .
Zdanie 1 — podzielność przez 4 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: $11\textcolor{#16A06A}{16}$ , a $\textcolor{#16A06A}{16} : 4 = 4$ ✓ — prawda ( $1116 : 4 = 279$ ).
Zdanie 2 — „spakować po 9” znaczy: czy 1116 dzieli się przez 9?
Cecha podzielności przez 9: suma cyfr $1 + 1 + 1 + 6 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , a $\textcolor{#E0453A}{9}$ dzieli się przez 9 ✓ — prawda ( $1116 : 9 = 124$ pudełka).
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Cecha podzielności przez 9 działa tak samo jak przez 3 — tylko suma cyfr musi się dzielić przez 9, a nie przez 3.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro pakowaliśmy po 6, to po 9 się nie da. Pakowanie zmienia tylko rozmiar pudełka — liczy się, czy łączna liczba piłek dzieli się przez 9.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

W liczbie pięciocyfrowej

258\#4

, podzielnej przez 4 i niepodzielnej przez 3, cyfrę dziesiątek zastąpiono znakiem „#”. Jakiej cyfry na pewno nie zastąpiono znakiem „#”?

A. $0$
B. $4$
C. $6$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Mamy dwa warunki naraz — sprawdzamy każdy osobno i dopiero potem łączymy.
Warunek 1 — podzielna przez 4. Decydują dwie ostatnie cyfry, czyli $\textcolor{#16A06A}{\#4}$ . Sprawdzamy: $04$ ✓, $14$ ✗, $24$ ✓, $34$ ✗, $44$ ✓, $54$ ✗, $64$ ✓, $74$ ✗, $84$ ✓, $94$ ✗.
Zatem $\textcolor{#16A06A}{\#}$ musi być parzyste: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Warunek 2 — NIEpodzielna przez 3. Suma cyfr: $2+5+8+\#+4 = \textcolor{#E0453A}{19 + \#}$ . Ta suma nie może dzielić się przez 3.
Sprawdzamy nasze parzyste kandydatki: $\#=0 \to 19$ ✗niepodz. ✓, $\#=2 \to \textcolor{#E0453A}{21}$ (dzieli się przez 3 — odpada), $\#=4 \to 23$ ✓, $\#=6 \to 25$ ✓, $\#=8 \to \textcolor{#E0453A}{27}$ (dzieli się przez 3 — odpada).
Pasują więc 0, 4 i 6, a nie może być 2 ani 8. Wśród odpowiedzi jest tylko 8 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch warunkach naraz rób to zawsze etapami: najpierw jedno sito (parzystość), potem drugie (suma cyfr) — nie próbuj sprawdzać wszystkiego naraz.

⚠ Uwaga na słowo „nie zastąpiono” — pytanie jest odwrotne niż zwykle. Łatwo znaleźć poprawne cyfry (0, 4, 6) i odruchowo zaznaczyć jedną z nich.

Zadanie 6 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Które zdanie jest fałszywe?

A. Suma kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.
B. Iloczyn kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą parzystą.
C. Różnica dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
D. Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

A — dwie kolejne liczby naturalne to zawsze jedna parzysta i jedna nieparzysta, np. $4 + 5 = 9$ . Suma wychodzi nieparzysta ✓ prawda.
B — wśród dwóch kolejnych zawsze jest liczba parzysta, więc iloczyn ma czynnik 2: $4 \cdot 5 = 20$ ✓ prawda.
C — sprawdzamy kontrprzykładem: $\textcolor{#16A06A}{7} - \textcolor{#16A06A}{3} = 4$ , a 4 jest parzysta. Zdanie fałszywe ✓
D — $\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3} = 10$ , parzysta ✓ prawda.
Szukaliśmy zdania fałszywego — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: suma i różnica dwóch nieparzystych są zawsze parzyste. Nieparzysty wynik daje dopiero połączenie liczby parzystej z nieparzystą.

⚠ Częsty błąd: przekonanie, że „nieparzysta minus nieparzysta daje nieparzystą” — przez analogię do mnożenia. Wystarczy jeden przykład ( $5-1=4$ ), żeby to obalić.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Paweł rzucił 5 razy zwykłą sześcienną kostką do gry. Zapisane kolejno wyniki rzutów utworzyły liczbę pięciocyfrową. Liczba ta jest parzysta i podzielna przez 9, a jej początkowe trzy cyfry to: 3, 1, 2. Ile oczek wyrzucił Paweł za czwartym i piątym razem? Podaj wszystkie możliwości. Odpowiedź uzasadnij.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 1 i 2 lub 6 i 6

Oznaczmy szukane wyniki jako $a$ (czwarty rzut) i $b$ (piąty). Liczba ma postać $312ab$ .
Ważne ograniczenie: to wyniki rzutów kostką, więc $a$ i $b$ są liczbami od 1 do 6.
Warunek podzielności przez 9 — suma cyfr musi dzielić się przez 9: $3+1+2+a+b = \textcolor{#16A06A}{6 + a + b}$ .
Skoro $a+b$ mieści się między 2 a 12, to $\textcolor{#16A06A}{6+a+b}$ mieści się między 8 a 18. Podzielne przez 9 w tym zakresie są tylko 9 i 18, czyli $a + b = \textcolor{#16A06A}{3}$ albo $a + b = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Warunek parzystości — ostatnia cyfra $\textcolor{#E0453A}{b}$ musi być parzysta: $\textcolor{#E0453A}{b} \in \{2, 4, 6\}$ .
Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{3}$ : pary z kostki to $(1,2)$ i $(2,1)$ . Parzyste $\textcolor{#E0453A}{b}$ ma tylko pierwsza → $a=1$ , $b=2$ (liczba 31212).
Przypadek $a+b = \textcolor{#16A06A}{12}$ : jedyna para z kostki to $(6,6)$ , a $\textcolor{#E0453A}{b}=6$ jest parzyste ✓ → $a=6$ , $b=6$ (liczba 31266).
Odpowiedź: Paweł wyrzucił 1 i 2 albo 6 i 6. Sprawdzenie: $31212 : 9 = 3468$ , $31266 : 9 = 3474$ — obie parzyste ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „podaj wszystkie możliwości” nie wystarczy znaleźć jedną odpowiedź — trzeba pokazać, że innych nie ma. Dlatego ograniczamy zakres sumy $a+b$ i sprawdzamy wszystkie przypadki.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie, że kostka ma tylko cyfry 1–6, i dopisanie par typu $(0,3)$ czy $(9,3)$ ; (2) podanie tylko jednej możliwości — za co komisja odejmuje punkty, bo zadanie wyraźnie prosi o wszystkie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P	2. A, 3	3. B, D	4. P, P	5. D	6. C
7. 1 i 2 lub 6 i 6

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak rozpoznać liczbę parzystą?

Po ostatniej cyfrze: parzyste kończą się na $0$ , $2$ , $4$ , $6$ lub $8$ . Pozostałe cyfry nie mają znaczenia, bo dziesiątki, setki i tysiące są już podzielne przez dwa. Liczba parzysta to taka, którą da się podzielić na pary bez reszty.

Czy zero jest liczbą parzystą?

Tak. Dzieli się przez dwa bez reszty ( $0 : 2 = 0$ ), a zero elementów tworzy zero par i nic nie zostaje. Zero jest zwykłą liczbą parzystą i nie stanowi tu wyjątku.

Ile wynosi nieparzysta plus nieparzysta?

Zawsze liczba parzysta: $3 + 5 = 8$ , $7 + 9 = 16$ . Każda liczba nieparzysta to pary i jedna sztuka luzem — a dwie samotne sztuki łączą się w parę, więc nic nie zostaje.

Kiedy iloczyn jest parzysty?

Gdy choć jeden czynnik jest parzysty. Nieparzysty wychodzi tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są nieparzyste. To odwrotnie niż przy dodawaniu, gdzie dwie liczby nieparzyste dają parzystą — dlatego reguł nie wolno mieszać.

Po co znać reguły parzystości?

Pozwalają rozstrzygnąć coś o wyniku, zanim się go policzy. Iloczyn $37 \cdot 46$ musi być parzysty, więc wynik $1701$ jest na pewno błędny. Przydają się też w zadaniach „czy to możliwe” — dziewięciu osób nie da się ustawić w pary.

Czy odejmowanie ma inne reguły niż dodawanie?

Nie, dokładnie te same. $7 - 3 = 4$ — nieparzysta minus nieparzysta daje parzystą, tak samo jak przy dodawaniu. Wystarczy zapamiętać jedną tabelę dla obu działań.

Czytaj dalej

Cechy podzielnościDlaczego o podzielności przez 2 decyduje sama cyfra jedności Liczby pierwszeDwójka jako jedyna parzysta liczba pierwsza Liczby naturalneZbiór, w którym parzyste i nieparzyste występują na przemian Wyrażenia algebraiczneTe same reguły zapisane literami: 2n i 2n+1

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.