Strona główna › Liczby i działania › Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby parzyste i nieparzyste

Rozpoznanie liczby parzystej zajmuje sekundę — wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę. Prawdziwie ciekawe zaczyna się przy działaniach, bo jedna z reguł zaskakuje niemal każdego: nieparzysta plus nieparzysta daje liczbę parzystą. Ta strona pokazuje, dlaczego tak jest, bez sięgania po litery — wystarczy model par. Litery pojawiają się dopiero na samym końcu, jako zapowiedź tego, co z tej reguły robi się w klasie siódmej.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 1–6Zadań z E8: 7

Krótko: Liczba parzysta dzieli się przez 2 bez reszty i kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8; nieparzysta daje przy dzieleniu przez 2 resztę 1 i kończy się cyfrą 1, 3, 5, 7 lub 9. Zero jest liczbą parzystą.

Krótko: liczby parzyste to 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12… — dzielą się przez 2 bez reszty i kończą na 0, 2, 4, 6 lub 8. Liczby nieparzyste to 1, 3, 5, 7, 9, 11… — kończą się na 1, 3, 5, 7 lub 9. Zero jest liczbą parzystą.

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co znaczy parzysta

Liczba parzysta to taka, którą da się podzielić na pary bez reszty. Nieparzysta to taka, przy której jedna sztuka zostaje sama.

Sześć kropek tworzy trzy pary; z siedmiu kropek jedna zostaje bez pary6 — parzysta: 3 paryzostaje sama7 — nieparzysta: 3 pary i 1
Rysunek 1. Liczba parzysta to taka, której wszystkie elementy da się połączyć w pary. W liczbie nieparzystej zawsze jedna sztuka zostaje sama.

To nie jest przenośnia, tylko dokładnie definicja: liczba parzysta dzieli się przez 22, nieparzysta nie.

liczbaustawiona w paryreszta
66∙∙\bullet\bullet ∙∙\bullet\bullet ∙∙\bullet\bulletnic — parzysta
77∙∙\bullet\bullet ∙∙\bullet\bullet ∙∙\bullet\bullet ∙\bulletjedna — nieparzysta

Rozpoznajemy po ostatniej cyfrze. Parzyste kończą się na 00, 22, 44, 66 lub 88; nieparzyste na 11, 33, 55, 77 lub 99. Pozostałe cyfry nie mają znaczenia, bo o podzielności przez dwa decydują wyłącznie jedności — tłumaczę to szerzej przy cechach podzielności.

Jak rozpoznać liczbę parzystą: 6 kropek tworzy 3 pary i nic nie zostaje, więc 6 jest parzyste; z 7 kropek zostaje jedna bez pary, więc 7 jest nieparzyste; o parzystości decyduje ostatnia cyfra, np. 4586 jest parzyste, 1237 nieparzyste, 100 parzyste
Liczba parzysta dzieli się na pary bez reszty — wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę

Czy zero jest parzyste

Tak. Zero elementów można ustawić w zero par i nic nie zostaje — warunek spełniony.

Rachunkowo też: 0:2=00 : 2 = 0 bez reszty. Zero jest zresztą liczbą naturalną i zachowuje się jak każda inna liczba parzysta.

Dlaczego zero jest parzyste — trzy sprawdzenia

Oś liczbowa od minus sześciu do sześciu: liczby parzyste i nieparzyste na przemian, zero wśród parzystych−6−5−4−3−2−10123456● parzyste ● nieparzyste
Rysunek 2. Na osi liczbowej parzyste (niebieskie) i nieparzyste (pomarańczowe) występują na przemian — także po lewej stronie zera.
Czy zero jest liczbą parzystą? Tak: 0 : 2 = 0 bez reszty, na osi liczbowej zero stoi między nieparzystymi −1 i 1, a liczby kończące się zerem, jak 10 i 20, są parzyste
Zero jest liczbą parzystą — trzy sprawdzenia

Czy zero jest nieparzyste? Nie. Każda liczba całkowita jest albo parzysta, albo nieparzysta — nigdy obie naraz i nigdy żadna. Zdanie „zero nie jest ani parzyste, ani nieparzyste” krąży w sieci, ale jest po prostu błędne.

Czy 1 jest liczbą parzystą? Nie — jedna sztuka nie ma pary. Najmniejsza dodatnia liczba parzysta to 2, najmniejsza nieparzysta to 1. Czy 2 jest nieparzyste? Nie: 2:2=12 : 2 = 1 bez reszty, więc dwójka jest parzysta — i jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Liczby ujemne też mają parzystość: −2, −4, −10 i −100 są parzyste, a −1, −3, −7 nieparzyste. Reguła ostatniej cyfry działa bez zmian — minus niczego nie zmienia.

Parzystych i nieparzystych jest po tyle samo — na przemian. Wśród liczb od 11 do 2020 jest dokładnie dziesięć jednych i dziesięć drugich.

Liczby parzyste i nieparzyste do 100 — tabela

Niebieskie pola to liczby parzyste, białe — nieparzyste. Widać od razu, że parzyste układają się w całe kolumny: druga, czwarta, szósta, ósma i dziesiąta. To dlatego o parzystości decyduje sama ostatnia cyfra.

12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
Tabela liczb parzystych i nieparzystych od 1 do 100: parzyste (2, 4, 6, 8, 10…) są zaznaczone na niebiesko i tworzą całe kolumny, bo kończą się na 0, 2, 4, 6 lub 8; nieparzyste kończą się na 1, 3, 5, 7 lub 9; od 1 do 100 jest 50 liczb parzystych i 50 nieparzystych
Liczby parzyste i nieparzyste do 100

Karta pracy PDF dla klas 1–3. Tablica do 100 do kolorowania, kropki do łączenia w pary, dwa koszyki, ciągi do uzupełnienia i zadanie „nie licz — zgadnij”. Z kluczem.

Pobierz kartę PDF

2Dodawanie — cztery przypadki, jedna niespodzianka

Wyniki nie zależą od konkretnych liczb, tylko od tego, czy każda z nich jest parzysta. To dlatego można ułożyć tabelę raz na zawsze.

+ parzysta+ nieparzysta
parzystaparzysta (4+6=104+6=10)nieparzysta (4+7=114+7=11)
nieparzystanieparzysta (7+4=117+4=11)parzysta (3+5=83+5=8)

Trzy pola nikogo nie dziwią. Prawy dolny zaskakuje: dwie liczby nieparzyste dają w sumie parzystą.

Dlaczego tak jest — bez wzorów

Liczba nieparzysta to pary i jedna sztuka luzem.

Gdy dodajesz dwie takie liczby, dokładasz do siebie ich pary — te dalej są parami — oraz dwie samotne sztuki.

A dwie samotne sztuki łączą się w parę. Nic nie zostaje, więc suma jest parzysta.

3+53 + 5: trójka to para plus jeden, piątka to dwie pary plus jeden. Razem trzy pary i dwie samotne sztuki, które tworzą czwartą parę — czyli 88.

Ten sam obraz tłumaczy pozostałe przypadki. Parzysta plus parzysta: same pary, nic nie zostaje. Parzysta plus nieparzysta: jedna samotna sztuka nie ma z kim się połączyć, więc wynik jest nieparzysty.

Odejmowanie działa dokładnie tak samo. 7−3=47 - 3 = 4 (nieparzysta minus nieparzysta daje parzystą), 7−4=37 - 4 = 3 (nieparzysta minus parzysta daje nieparzystą). Wystarczy zapamiętać jedną tabelę.

Parzystość jest najprostszą z cech podzielności i zwykle pierwszym pytaniem, jakie zadaje się o liczbę; kolejne reguły o liczbach i ich własnościach działają na tej samej zasadzie.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Własności liczb naturalnych” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Własności liczb naturalnych — cały dział, klasa 5 (7 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Własności liczb naturalnych”7 arkuszy w jednym pliku12,90 zł27,30 zł−14,40 złCała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 12,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Mnożenie — wystarczy jeden parzysty czynnik

Tutaj reguła jest jeszcze prostsza i da się ją zapisać jednym zdaniem.

Reguła w jednym zdaniu

Iloczyn jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty.

Nieparzysty wychodzi tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są nieparzyste.

× parzysta× nieparzysta
parzystaparzysta (6⋅8=486 \cdot 8 = 48)parzysta (4⋅7=284 \cdot 7 = 28)
nieparzystaparzysta (9⋅2=189 \cdot 2 = 18)nieparzysta (3⋅5=153 \cdot 5 = 15)

Powód jest ten sam co przy dodawaniu, tylko widziany z drugiej strony. Mnożenie to wielokrotne dodawanie: 4⋅74 \cdot 7 to siedem czwórek, czyli siedem razy „same pary”. Cokolwiek by dołożyć do samych par, pary zostają parami.

Zwróć uwagę na różnicę wobec dodawania: przy sumie oba składniki nieparzyste dają parzystą, a przy iloczynie oba nieparzyste dają nieparzystą. Reguły są różne i to jest najczęstsze źródło pomyłek.

Parzystość sumy i iloczynu: parzysta plus parzysta daje parzystą, parzysta plus nieparzysta daje nieparzystą, nieparzysta plus nieparzysta daje parzystą (3 + 5 = 8); w mnożeniu wynik jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty, a nieparzysta razy nieparzysta daje nieparzystą (3 · 5 = 15)
Kiedy suma i iloczyn są parzyste — reguły z przykładami

Stąd bierze się też fakt z innego działu: dwójka jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda parzysta liczba większa od 2\boldsymbol{2} ma dzielnik 22 różny od niej samej, więc jest złożona. Zero stoi poza tym podziałem: jest parzyste, ale nie jest ani pierwsze, ani złożone.

4Gdzie te reguły są potrzebne

Parzystość rzadko jest celem zadania — częściej jest narzędziem, które skraca rozwiązanie albo pozwala coś rozstrzygnąć bez liczenia.

Ładna obserwacja na koniec: suma kolejnych liczb nieparzystych — licząc od jedynki — zawsze jest kwadratem. 1+3=41 + 3 = 4, 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, 1+3+5+7=161 + 3 + 5 + 7 = 16. Za każdym razem wychodzi kwadrat liczby składników. Początek jest tu istotny: już 3+5=83 + 5 = 8 kwadratem nie jest, bo brakuje jedynki na starcie.

Ta sama rzecz w klasie siódmej

W starszych klasach te same reguły zapisuje się literami: liczba parzysta to 2n2n, nieparzysta to 2n+12n + 1.

Wtedy „nieparzysta plus nieparzysta” staje się rachunkiem: (2k+1)+(2m+1)=2k+2m+2=2(k+m+1)(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1) — a skoro wynik jest podwojeniem czegoś, to jest parzysty.

To jedno z pierwszych miejsc, gdzie widać, po co w ogóle są litery w matematyce: jeden zapis zastępuje sprawdzanie nieskończenie wielu przykładów. Piszę o tym przy wyrażeniach algebraicznych.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozstrzyganie bez liczenia, kontrola wyniku i zadanie „czy to możliwe”.

Przykład 11 Rozstrzyganie bez liczenia

Czy suma 127+4589127 + 4589 jest parzysta, czy nieparzysta? Nie licz jej.

  1. Patrzę tylko na ostatnie cyfry, bo tylko one decydują o parzystości.
  2. 127127 kończy się na 77 — liczba nieparzysta.
  3. 45894589 kończy się na 99 — też nieparzysta.
  4. Z tabeli: nieparzysta plus nieparzysta daje parzystą.
  5. Odpowiedź: suma jest parzysta.
  6. Kontrola modelem par: obie liczby to „pary plus jedna sztuka”; dwie samotne sztuki łączą się w parę, więc nic nie zostaje ✓
  7. Sprawdzenie rachunkiem: 127+4589=4716127 + 4589 = 4716, a 47164716 kończy się na 66 — parzysta ✓

Odpowiedź: Parzysta.

Cała odpowiedź wynika z ostatnich cyfr obu składników. To najważniejsze zastosowanie tych reguł: pozwalają rozstrzygnąć coś o wyniku, zanim się go policzy.

Przykład 22 Kontrola wyniku mnożenia

Uczeń policzył 37⋅46=1701\textcolor{#9b1c14}{37 \cdot 46 = 1701}. Czy wynik może być poprawny?

  1. Sprawdzam czynniki: 3737 jest nieparzyste, ale 4646 jest parzyste.
  2. Reguła: iloczyn jest parzysty, gdy choć jeden czynnik jest parzysty.
  3. Zatem wynik musi być liczbą parzystą.
  4. Podany wynik 17011701 kończy się na 11, czyli jest nieparzysty.
  5. Wniosek: wynik na pewno jest błędny — i wiadomo to bez wykonywania mnożenia.
  6. Kontrola: poprawny wynik to 37⋅46=170237 \cdot 46 = 1702, czyli liczba parzysta ✓

Odpowiedź: Nie — wynik musi być parzysty, a 1701\boldsymbol{1701} jest nieparzyste.

To najtańsza kontrola mnożenia, jaką można zrobić: jedno spojrzenie na ostatnie cyfry. Nie wyłapie każdego błędu, ale wyłapuje go natychmiast i bez rachunku.

Przykład 33 Czy to możliwe

Do sali weszło 99 osób. Czy da się ustawić je wszystkie w pary tak, żeby nikt nie został sam?

  1. Ustawienie w pary bez reszty jest możliwe dokładnie wtedy, gdy liczba osób jest parzysta.
  2. Sprawdzam: 99 kończy się na 99, więc jest liczbą nieparzystą.
  3. Zatem odpowiedź brzmi: nie da się.
  4. Można to zobaczyć wprost: cztery pary to osiem osób, a dziewiąta zostaje bez pary.
  5. Kontrola: 9:2=49 : 2 = 4 reszty 11 — reszta różna od zera potwierdza nieparzystość ✓
  6. Uwaga na sformułowanie: pytanie „czy da się” ma tu odpowiedź „nie” i to jest pełna odpowiedź — nie trzeba niczego liczyć dalej.

Odpowiedź: Nie da się — dziewięć jest liczbą nieparzystą.

Zadania typu „czy to możliwe” bywają rozwiązywane parzystością w jednym zdaniu. Umiejętność odpowiedzenia „nie, i oto powód” jest pełnoprawnym rozwiązaniem, a nie unikiem.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa wynikają z mieszania reguł dodawania z regułami mnożenia.

Przekonanie, że nieparzysta plus nieparzysta daje nieparzystą

Skąd się bierze: Uczeń zakłada, że „nieparzystość” się utrzyma, tak jak przy mnożeniu. Ale przy dodawaniu dwie samotne sztuki łączą się w parę i wynik jest parzysty: 3+5=83 + 5 = 8, 7+9=167 + 9 = 16.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź regułę na najprostszym przykładzie, zanim jej użyjesz: 1+1=21 + 1 = 2. Dwie liczby nieparzyste, a wynik parzysty — to wystarczy, żeby zapamiętać całą regułę.

Mieszanie reguły dodawania z regułą mnożenia

Skąd się bierze: Przy dodawaniu dwie nieparzyste dają parzystą, a przy mnożeniu — nieparzystą. Reguły są różne, więc zapamiętanie „nieparzyste dają nieparzyste” psuje jedną z nich.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj je osobno i przez skutek: przy dodawaniu wynik jest nieparzysty tylko wtedy, gdy jeden składnik jest parzysty, a drugi nie. Przy mnożeniu — tylko gdy oba czynniki są nieparzyste.

Uznanie, że zero nie jest parzyste

Skąd się bierze: Zero „nie wygląda” na liczbę, którą można dzielić, więc uczeń wyłącza je z podziału. Tymczasem 0:2=00 : 2 = 0 bez reszty, a zero elementów tworzy zero par i nic nie zostaje.

Jak zrobić dobrze: Stosuj tę samą definicję co do innych liczb: dzieli się przez dwa bez reszty, więc jest parzyste. Zero nie jest wyjątkiem od reguły parzystości — jest wyjątkiem tylko od podziału na dodatnie i ujemne.

Patrzenie na całą liczbę zamiast na ostatnią cyfrę

Skąd się bierze: Przy liczbach wielocyfrowych uczeń próbuje dzielić całość przez dwa albo sugeruje się sumą cyfr — co jest cechą podzielności przez 33, nie przez 22. Przy 45894589 suma cyfr wynosi 2626, więc odpowiedź wyjdzie błędna.

Jak zrobić dobrze: O parzystości decyduje wyłącznie cyfra jedności, bo wszystkie wyższe rzędy — dziesiątki, setki, tysiące — są już podzielne przez dwa. Reszta liczby nie ma tu żadnego znaczenia.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie są 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są liczby: k=69k = 69 oraz m=83m = 83. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Suma liczb kk i mm jest podzielna przez 44.PF
Iloczyn liczb kk i mm jest podzielny przez 33.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 11: liczymy sumę 69+83=15269 + 83 = 152.
  2. Podzielność przez 44 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: 52:4=1352 : 4 = 13 ✓, więc 152152 dzieli się przez 44 — prawda.
  3. Zdanie 22: iloczynu nie trzeba liczyć! Wystarczy, że jeden z czynników dzieli się przez 33.
  4. Suma cyfr liczby 6969: 6+9=156 + 9 = 15, a 15:3=515 : 3 = 5, więc 6969 dzieli się przez 33.
  5. Skoro 69=3⋅2369 = 3 \cdot 23, to 69⋅83=3⋅(23⋅83)69 \cdot 83 = 3 \cdot (23 \cdot 83) — iloczyn dzieli się przez 33 ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: W iloczynie wystarczy znaleźć jeden czynnik podzielny przez daną liczbę — cały iloczyn wtedy też się przez nią dzieli. W sumie tak nie działa: trzeba policzyć.

⚠ Typowy błąd: mnożenie 69⋅83=572769 \cdot 83 = 5727 na piechotę. To strata czasu i okazja do pomyłki — wystarczy spojrzeć na czynniki.

Zadanie 2 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba kk jest sumą liczb 323323 i 160160. Czy liczba kk jest podzielna przez 33? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 11., 22. albo 33.
ATak,ponieważ1.cyfrą jedności liczby kk jest 33.
2.żadna z liczb 323323 i 160160 nie dzieli się przez 33.
BNie,
3.suma cyfr 33, 44 i 88 jest liczbą podzielną przez 33.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 33

  1. Najpierw liczymy kk: 323+160=483323 + 160 = \textcolor{#16A06A}{483}.
  2. Cecha podzielności przez 33 — sumujemy cyfry liczby 483\textcolor{#16A06A}{483}: 4+8+3=154 + 8 + 3 = \textcolor{#E0453A}{15}.
  3. 15:3=5\textcolor{#E0453A}{15} : 3 = 5, więc suma cyfr dzieli się przez 33, a zatem i cała liczba kk — odpowiedź A.
  4. Uzasadnienie 3\boldsymbol{3} mówi dokładnie to samo (wymienia cyfry 33, 44 i 88 liczby 483483).
  5. Uwaga na pułapkę w uzasadnieniu 22.: rzeczywiście ani 323323, ani 160160 nie dzieli się przez 33 — ale to nie jest powód, dla którego suma się nie dzieli. Tu suma akurat się dzieli, więc to zdanie nie może uzasadniać odpowiedzi.

💡 Wskazówka: Dwie liczby niepodzielne przez 33 mogą dać sumę podzielną przez 33 (np. 1+2=31 + 2 = 3). Zawsze sprawdzaj sumę, a nie same składniki.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór uzasadnienia 22. — brzmi rozsądnie, ale prowadzi do złego wniosku. Drugi błąd: patrzenie na cyfrę jedności (uzasadnienie 11.), która o podzielności przez 33 nic nie mówi.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Dane są liczby: 33213321, 17641764, 61146114, 29362936, 14521452, 16271627. Uzupełnij zdania.
Wśród danych liczb są dokładnie AB liczby podzielne przez 33.
  • A. trzy
  • B. cztery
Wśród danych liczb są dokładnie CD liczby podzielne przez 44.
  • C. dwie
  • D. trzy
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Przez 3\boldsymbol{3} — patrzymy na sumę cyfr: 3321→93321 \to \textcolor{#E0453A}{9} ✓, 1764→181764 \to \textcolor{#E0453A}{18} ✓, 6114→126114 \to \textcolor{#E0453A}{12} ✓, 2936→202936 \to 20 ✗, 1452→121452 \to \textcolor{#E0453A}{12} ✓, 1627→161627 \to 16 ✗.
  2. Podzielne przez 33 są cztery liczby: 3321\boldsymbol{3321}, 1764\boldsymbol{1764}, 6114\boldsymbol{6114}, 1452\boldsymbol{1452} — odpowiedź B.
  3. Przez 4\boldsymbol{4} — patrzymy tylko na dwie ostatnie cyfry: 332133\textcolor{#16A06A}{21} ✗, 176417\textcolor{#16A06A}{64} ✓, 611461\textcolor{#16A06A}{14} ✗, 293629\textcolor{#16A06A}{36} ✓, 145214\textcolor{#16A06A}{52} ✓, 162716\textcolor{#16A06A}{27} ✗.
  4. Sprawdzenie: 64:4=16\textcolor{#16A06A}{64} : 4 = 16, 36:4=9\textcolor{#16A06A}{36} : 4 = 9, 52:4=13\textcolor{#16A06A}{52} : 4 = 13 — trzy liczby: 1764\boldsymbol{1764}, 2936\boldsymbol{2936}, 1452\boldsymbol{1452}.
  5. Odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Dwie zupełnie różne cechy: przez 3\boldsymbol{3} decyduje suma wszystkich cyfr, przez 4\boldsymbol{4} — tylko dwie ostatnie. Nie mieszaj ich ze sobą.

⚠ Częsty błąd przy podzielności przez 44: sprawdzanie samej ostatniej cyfry („kończy się na 44, więc dzieli się przez 44”) — wtedy 61146114 zostałoby zaliczone niesłusznie.

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Piłki tenisowe zapakowano do 186186 jednakowych pudełek. Do każdego z tych pudełek włożono po 66 piłek. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba wszystkich spakowanych piłek jest podzielna przez 44.PF
Wszystkie te piłki można byłoby spakować do większych pudełek — po 99 piłek w każdym.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Liczymy wszystkie piłki: 186⋅6=1116186 \cdot 6 = 1116.
  2. Zdanie 11 — podzielność przez 44 sprawdzamy po dwóch ostatnich cyfrach: 111611\textcolor{#16A06A}{16}, a 16:4=4\textcolor{#16A06A}{16} : 4 = 4 ✓ — prawda (1116:4=2791116 : 4 = 279).
  3. Zdanie 22 — „spakować po 99” znaczy: czy 11161116 dzieli się przez 99?
  4. Cecha podzielności przez 99: suma cyfr 1+1+1+6=91 + 1 + 1 + 6 = \textcolor{#E0453A}{9}, a 9\textcolor{#E0453A}{9} dzieli się przez 99 ✓ — prawda (1116:9=1241116 : 9 = 124 pudełka).
  5. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Cecha podzielności przez 99 działa tak samo jak przez 33 — tylko suma cyfr musi się dzielić przez 99, a nie przez 33.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro pakowaliśmy po 66, to po 99 się nie da. Pakowanie zmienia tylko rozmiar pudełka — liczy się, czy łączna liczba piłek dzieli się przez 99.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

W liczbie pięciocyfrowej 258#4258\#4, podzielnej przez 44 i niepodzielnej przez 33, cyfrę dziesiątek zastąpiono znakiem „#”. Jakiej cyfry na pewno nie zastąpiono znakiem „#”?
  • A. 00
  • B. 44
  • C. 66
  • D. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Mamy dwa warunki naraz — sprawdzamy każdy osobno i dopiero potem łączymy.
  2. Warunek 1\boldsymbol{1} — podzielna przez 4\boldsymbol{4}. Decydują dwie ostatnie cyfry, czyli #4\textcolor{#16A06A}{\#4}. Sprawdzamy: 0404 ✓, 1414 ✗, 2424 ✓, 3434 ✗, 4444 ✓, 5454 ✗, 6464 ✓, 7474 ✗, 8484 ✓, 9494 ✗.
  3. Zatem #\textcolor{#16A06A}{\#} musi być parzyste: 00, 22, 44, 66 lub 88.
  4. Warunek 2\boldsymbol{2} — NIEpodzielna przez 3\boldsymbol{3}. Suma cyfr: 2+5+8+#+4=19+#2+5+8+\#+4 = \textcolor{#E0453A}{19 + \#}. Ta suma nie może dzielić się przez 33.
  5. Sprawdzamy nasze parzyste kandydatki: #=0→19\#=0 \to 19 ✓, #=2→21\#=2 \to \textcolor{#E0453A}{21} (dzieli się przez 33 — odpada), #=4→23\#=4 \to 23 ✓, #=6→25\#=6 \to 25 ✓, #=8→27\#=8 \to \textcolor{#E0453A}{27} (dzieli się przez 33 — odpada).
  6. Pasują więc 00, 44 i 66, a nie może być 22 ani 88. Wśród odpowiedzi jest tylko 88 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Przy dwóch warunkach naraz rób to zawsze etapami: najpierw jedno sito (parzystość), potem drugie (suma cyfr) — nie próbuj sprawdzać wszystkiego naraz.

⚠ Uwaga na słowo „nie zastąpiono” — pytanie jest odwrotne niż zwykle. Łatwo znaleźć poprawne cyfry (00, 44, 66) i odruchowo zaznaczyć jedną z nich.

Zadanie 6 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Które zdanie jest fałszywe?
  • A. Suma kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą.
  • B. Iloczyn kolejnych dwóch liczb naturalnych jest liczbą parzystą.
  • C. Różnica dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
  • D. Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. A — dwie kolejne liczby naturalne to zawsze jedna parzysta i jedna nieparzysta, np. 4+5=94 + 5 = 9. Suma wychodzi nieparzysta ✓ prawda.
  2. B — wśród dwóch kolejnych zawsze jest liczba parzysta, więc iloczyn ma czynnik 22: 4⋅5=204 \cdot 5 = 20 ✓ prawda.
  3. C — sprawdzamy kontrprzykładem: 7−3=4\textcolor{#16A06A}{7} - \textcolor{#16A06A}{3} = 4, a 44 jest parzysta. Zdanie fałszywe ✓
  4. D — 7+3=10\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3} = 10, parzysta ✓ prawda.
  5. Szukaliśmy zdania fałszywego — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj: suma i różnica dwóch nieparzystych są zawsze parzyste. Nieparzysty wynik daje dopiero połączenie liczby parzystej z nieparzystą.

⚠ Częsty błąd: przekonanie, że „nieparzysta minus nieparzysta daje nieparzystą” — przez analogię do mnożenia. Wystarczy jeden przykład (5−1=45-1=4), żeby to obalić.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze

Paweł rzucił 55 razy zwykłą sześcienną kostką do gry. Zapisane kolejno wyniki rzutów utworzyły liczbę pięciocyfrową. Liczba ta jest parzysta i podzielna przez 99, a jej początkowe trzy cyfry to: 33, 11, 22. Ile oczek wyrzucił Paweł za czwartym i piątym razem? Podaj wszystkie możliwości. Odpowiedź uzasadnij.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 11 i 22 lub 66 i 66

  1. Oznaczmy szukane wyniki jako aa (czwarty rzut) i bb (piąty). Liczba ma postać 312ab312ab.
  2. Ważne ograniczenie: to wyniki rzutów kostką, więc aa i bb są liczbami od 1\boldsymbol{1} do 6\boldsymbol{6}.
  3. Warunek podzielności przez 9\boldsymbol{9} — suma cyfr musi dzielić się przez 99: 3+1+2+a+b=6+a+b3+1+2+a+b = \textcolor{#16A06A}{6 + a + b}.
  4. Skoro a+ba+b mieści się między 22 a 1212, to 6+a+b\textcolor{#16A06A}{6+a+b} mieści się między 88 a 1818. Podzielne przez 99 w tym zakresie są tylko 9\boldsymbol{9} i 18\boldsymbol{18}, czyli a+b=3a + b = \textcolor{#16A06A}{3} albo a+b=12a + b = \textcolor{#16A06A}{12}.
  5. Warunek parzystości — ostatnia cyfra b\textcolor{#E0453A}{b} musi być parzysta: b∈{2,4,6}\textcolor{#E0453A}{b} \in \{2, 4, 6\}.
  6. Przypadek a+b=3a+b = \textcolor{#16A06A}{3}: pary z kostki to (1;2)(1; 2) i (2;1)(2; 1). Parzyste b\textcolor{#E0453A}{b} ma tylko pierwsza → a=1a=1, b=2b=2 (liczba 3121231212).
  7. Przypadek a+b=12a+b = \textcolor{#16A06A}{12}: jedyna para z kostki to (6;6)(6; 6), a b=6\textcolor{#E0453A}{b}=6 jest parzyste ✓ → a=6a=6, b=6b=6 (liczba 3126631266).
  8. Odpowiedź: Paweł wyrzucił 1\boldsymbol{1} i 2\boldsymbol{2} albo 6\boldsymbol{6} i 6\boldsymbol{6}. Sprawdzenie: 31212:9=346831212 : 9 = 3468, 31266:9=347431266 : 9 = 3474 — obie parzyste ✓

💡 Wskazówka: W zadaniach „podaj wszystkie możliwości” nie wystarczy znaleźć jedną odpowiedź — trzeba pokazać, że innych nie ma. Dlatego ograniczamy zakres sumy a+ba+b i sprawdzamy wszystkie przypadki.

⚠ Dwa typowe błędy: (1)(1) zapomnienie, że kostka ma tylko cyfry 1–61\text{–}6, i dopisanie par typu (3;0)(3; 0) czy (4;8)(4; 8); (2)(2) podanie tylko jednej możliwości — za co komisja odejmuje punkty, bo zadanie wyraźnie prosi o wszystkie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P2. A, 33. B, D4. P, P5. D6. C
7. 1 i 2 lub 6 i 6

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Gotowe karty pracy do druku z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć na papierze, tu są gotowe zestawy PDF z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

Płatny zestaw · sklep

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga z cechami podzielności i 10 kart pracy: od reguł przez liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD i NWW po zadania w stylu egzaminu…

6,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Matematyka klasa 2 — 30 kart pracy na cały rok PDF z kluczem

Płatny zestaw · sklep

Matematyka klasa 2 — 30 kart pracy na cały rok PDF z kluczem

30 kart z matematyki dla klasy 2, od września do czerwca: dodawanie i odejmowanie do 100, mnożenie, zegar, pieniądze, miary. Z testem…

24,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jak rozpoznać liczbę parzystą?

Po ostatniej cyfrze: parzyste kończą się na 00, 22, 44, 66 lub 88. Pozostałe cyfry nie mają znaczenia, bo dziesiątki, setki i tysiące są już podzielne przez dwa. Liczba parzysta to taka, którą da się podzielić na pary bez reszty.

Czy zero jest liczbą parzystą?

Tak. Dzieli się przez dwa bez reszty (0:2=00 : 2 = 0), a zero elementów tworzy zero par i nic nie zostaje. Zero jest zwykłą liczbą parzystą i nie stanowi tu wyjątku.

Ile wynosi nieparzysta plus nieparzysta?

Zawsze liczba parzysta: 3+5=83 + 5 = 8, 7+9=167 + 9 = 16. Każda liczba nieparzysta to pary i jedna sztuka luzem — a dwie samotne sztuki łączą się w parę, więc nic nie zostaje.

Kiedy iloczyn jest parzysty?

Gdy choć jeden czynnik jest parzysty. Nieparzysty wychodzi tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są nieparzyste. To odwrotnie niż przy dodawaniu, gdzie dwie liczby nieparzyste dają parzystą — dlatego reguł nie wolno mieszać.

Po co znać reguły parzystości?

Pozwalają rozstrzygnąć coś o wyniku, zanim się go policzy. Iloczyn 37⋅4637 \cdot 46 musi być parzysty, więc wynik 17011701 jest na pewno błędny. Przydają się też w zadaniach „czy to możliwe” — dziewięciu osób nie da się ustawić w pary.

Czy odejmowanie ma inne reguły niż dodawanie?

Nie, dokładnie te same. 7−3=47 - 3 = 4 — nieparzysta minus nieparzysta daje parzystą, tak samo jak przy dodawaniu. Wystarczy zapamiętać jedną tabelę dla obu działań.

Jakie są liczby parzyste od 1 do 100?

To 2, 4, 6, 8, 10 i dalej co dwa, aż do 100 — razem 50 liczb. Każda kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8. Pozostałe 50 liczb od 1 do 99 to liczby nieparzyste.

Czy 1 jest liczbą parzystą?

Nie. Jedynka jest liczbą nieparzystą: 1:21 : 2 daje resztę 1, a jedna sztuka nie ma pary. Najmniejsza dodatnia liczba parzysta to 2.

Czy liczby ujemne mogą być parzyste?

Tak. −2, −4 i −10 są parzyste, a −1, −3 i −7 nieparzyste. Parzystość sprawdza się tak samo jak dla liczb dodatnich — po ostatniej cyfrze.

Czy zero jest nieparzyste?

Nie. Zero jest parzyste, a liczba nie może być jednocześnie parzysta i nieparzysta. Zero dzieli się przez 2 bez reszty i leży na osi między −1 a 1, które są nieparzyste.

Grafiki z powiązanych tematów

Zero jest liczbą naturalną — najmniejszą — Liczby naturalneLiczby naturalne

Czytaj dalej

Cechy podzielnościDlaczego o podzielności przez 2 decyduje sama cyfra jednościLiczby pierwszeDwójka jako jedyna parzysta liczba pierwszaLiczby naturalneZbiór, w którym parzyste i nieparzyste występują na przemianWyrażenia algebraiczneTe same reguły zapisane literami: 2n i 2n+1Funkcje parzyste i nieparzysteWarunek f(−x) = f(x) i f(−x) = −f(x), rola symetrycznej dziedziny oraz to,…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22