Funkcja wymierna — funkcja homograficzna, hiperbola i asymptoty

**B.** \(6{,}75\)

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn jest stały: \[18\cdot9=24a.\] Stąd \(a=\frac{162}{24}=6{,}75\). Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.13) Zdający posługuje się funkcją \(f(x)=\frac{a}{x}\) do opisu wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

Punkty kratowe: \((11,-4)\), \((12,-5)\), \((14,-1)\), \((15,-2)\).

Przekształcamy wzór funkcji: \[f(x)=\frac{-3x+41}{x-13}=\frac{-3(x-13)+2}{x-13}=-3+\frac{2}{x-13}.\] Dla całkowitego \(x\neq13\) wartość \(f(x)\) jest całkowita dokładnie wtedy, gdy \(x-13\) jest dzielnikiem liczby \(2\). Rozpatrujemy więc \(x-13\in\{-2,-1,1,2\}\). Otrzymujemy kolejno: \[(x,f(x))=(11,-4),(12,-5),(14,-1),(15,-2).\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **2 pkt** – poprawne określenie dwóch z czterech przypadków, dla których \(\frac{2}{x-13}\in\mathbb{Z}\), i wyznaczenie dwóch punktów kratowych **1 pkt** – przekształcenie wzoru do postaci \(f(x)=-3+\frac{2}{x-13}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w tekście. IV. Rozumowanie i argumentacja - dobieranie argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** II.4) Zdający mnoży i dzieli wyrażenia wymierne. V.13) Posługuje się funkcją postaci \(f(x)=\frac{a}{x}\).

Punkty kratowe wykresu funkcji \(f\) to \( (11,-4)\), \( (12,-5)\), \( (14,-1)\) oraz \( (15,-2)\).

Przekształcamy wzór funkcji do postaci \[f(x)=-3+\frac{2}{x-13}.\] Dla całkowitego \(x\ne13\) wartość \(f(x)\) jest całkowita wtedy i tylko wtedy, gdy \(x-13\) jest całkowitym dzielnikiem liczby \(2\), czyli \[x-13\in\{-2,-1,1,2\}.\] Stąd \(x\in\{11,12,14,15\}\), a odpowiadające wartości funkcji wynoszą kolejno \(-4,-5,-1,-2\).

**3 pkt** – wyznaczenie wszystkich czterech punktów kratowych **2 pkt** – wyznaczenie co najmniej dwóch punktów kratowych poprawną metodą **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=-3+\frac{2}{x-13}\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I oraz IV.3 interpretowanie tekstu matematycznego oraz prowadzenie poprawnego rozumowania. **Wymagania szczegółowe:** II.7 i V.13 wykonywanie działań na wyrażeniach wymiernych oraz posługiwanie się wykresem i własnościami funkcji homograficznej postaci \(f(x)=\frac{a}{x}\).

D. a=\(2\), b=\(9\)

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: \[x\cdot y=k.\] Stałą \(k\) wyznaczamy z pary, w której obie liczby są znane, czyli z pary \((3,24)\): \[k=3\cdot24=72.\] Teraz obliczamy brakujące wartości: \[a\cdot36=72\ \Rightarrow\ a=2,\qquad 8\cdot b=72\ \Rightarrow\ b=9.\] **Odpowiedź.** D: \(a=2\), \(b=9\)

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\(\frac da=\frac53=1{,}666\ldots\) — w kratki wpisujemy cyfry \(1\), \(6\), \(6\).

Funkcja homograficzna \(f(x)=\frac{ax+7}{x+d}\) ma asymptotę pionową i poziomą; ich punkt przecięcia jest środkiem symetrii wykresu. Asymptotą pionową jest prosta \(x=-d\) (mianownik zeruje się dla \(x=-d\)). Asymptotę poziomą wyznaczamy, przekształcając wzór: \[f(x)=\frac{a(x+d)+7-ad}{x+d}=a+\frac{7-ad}{x+d},\] skąd widać, że dla \(|x|\) rosnących nieograniczenie wartości funkcji dążą do \(a\), czyli asymptotą poziomą jest prosta \(y=a\). Środkiem symetrii jest zatem punkt \((-d,a)\). Z warunku zadania \[(-d,a)=(-5,3),\] czyli \(d=5\) oraz \(a=3\). (Funkcja jest istotnie homograficzna, bo \(7-ad=7-15=-8\ne0\).) Obliczamy iloraz: \[\frac da=\frac53=1{,}666\ldots\] **Odpowiedź.** W kratki wpisujemy kolejno cyfry \(1\), \(6\), \(6\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […] Uwaga: akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych (R11.1). 4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości) (4.2).

**B.** Dokładnie jedno rozwiązanie dla \(p=0\) lub \(p=2\).

Rozwiązania równania \(|f(x)|=p\) odpowiadają punktom przecięcia wykresu funkcji \(y=|f(x)|\) z prostą \(y=p\). Z wykresu wynika, że dokładnie jeden punkt przecięcia występuje dla \(p=0\) oraz dla poziomu asymptoty poziomej \(p=2\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja homograficzna - interpretacja wykresu, wartość bezwzględna i liczba rozwiązań równania.

**A.** \(14\) osób więcej.

Nakład pracy mierzymy w osobodniach. Przy stałej wydajności iloczyn liczby pracowników i liczby dni jest stały: \[25\cdot156=3900.\] Aby wykonać tę samą pracę w \(100\) dni, potrzeba \[\frac{3900}{100}=39\ \text{pracowników}.\] Należy więc zatrudnić dodatkowo \(39-25=14\) osób. **Odpowiedź.** A. \(14\) osób więcej.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 4.13) Zdający szkicuje wykres funkcji \(f(x)=\frac ax\) dla danego \(a\), korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

\(b=3\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: we wzorze funkcji jedyną nieznaną wielkością jest \(b\), a warunek \(f(14)=5\) mówi, że po wstawieniu \(x=14\) wartość ułamka ma wyjść \(5\). Podstawienie zamienia więc warunek w zwykłe równanie liniowe z niewiadomą \(b\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=14\) do wzoru funkcji. Wolno to zrobić, bo \(14\neq9\), czyli \(14\) należy do dziedziny: \[f(14)=\frac{2\cdot14-b}{14-9}.\] **Krok \(3\).** Liczymy osobno licznik i mianownik: \(2\cdot14=28\) oraz \(14-9=5\), więc \[f(14)=\frac{28-b}{5}.\] **Krok \(4\).** Korzystamy z warunku \(f(14)=5\) i zapisujemy równanie: \[\frac{28-b}{5}=5.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(5\), żeby pozbyć się ułamka: \[28-b=25.\] **Krok \(6\).** Wyznaczamy \(b\): \[b=28-25=3.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy wynik, wstawiając \(b=3\) do wzoru: \[f(14)=\frac{2\cdot14-3}{14-9}=\frac{25}{5}=5,\] czyli zgadza się z warunkiem z treści. **Uwaga.** Liczba \(5\) po prawej stronie równania jest **wartością funkcji**, a nie argumentem. Podstawianie \(x=5\) zamiast \(x=14\) jest tu najczęstszą pomyłką. **Odpowiedź.** \(b=3\)

1 pkt: poprawne równanie wynikające z f(14)=5. 2 pkt: b=3.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza parametr funkcji wymiernej z podanej wartości.

**D.** \(a=12\)

Punkt należy do wykresu funkcji, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Podstawiamy \(x=2\) i \(f(x)=6\) do wzoru \(f(x)=\frac ax\): \[6=\frac a2.\] Stąd \[a=12.\] Sprawdzenie: dla \(a=12\) mamy \(f(2)=\frac{12}{2}=6\), zgodnie z treścią zadania. **Odpowiedź.** D: \(a=12\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza parametr funkcji wymiernej z punktu wykresu.

\[h(x)=\frac{2}{x-2}+1;\qquad \text{punkt }M\text{ należy do wykresu funkcji }h.\]

Przesunięcie wykresu o wektor \([2,1]\) zamienia \(f(x)=\dfrac ax\) na \[h(x)=\frac{a}{x-2}+1,\qquad x\neq2.\] Z rysunku odczytujemy asymptotę pionową \(x=2\) i asymptotę poziomą \(y=1\) — zgodne z powyższym wzorem — oraz to, że wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((0,0)\). Podstawiamy \(x=0\) i \(h(0)=0\): \[\frac{a}{-2}+1=0,\qquad a=2.\] Zatem \[h(x)=\frac{2}{x-2}+1=\frac{x}{x-2}.\] Sprawdzamy, czy \(M=\left(\sqrt3,\,-2\sqrt3-3\right)\) należy do wykresu. Ponieważ \(\sqrt3\neq2\), argument należy do dziedziny, a \[h\!\left(\sqrt3\right)=\frac{2}{\sqrt3-2}+1=\frac{2\left(\sqrt3+2\right)}{\left(\sqrt3-2\right)\left(\sqrt3+2\right)}+1=\frac{2\sqrt3+4}{-1}+1=-2\sqrt3-3.\] Otrzymana wartość jest równa drugiej współrzędnej punktu \(M\). **Odpowiedź.** \(h(x)=\dfrac{2}{x-2}+1\); punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(h\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji w postaci: \(h(x)=\frac{a}{x-2}+1\). **5.2. (1 pkt)** – obliczenie współczynnika \(a\) i zapisanie wzoru funkcji: \(a=2\), \(h(x)=\frac{2}{x-2}+1\). Wystarczy obliczenie współczynnika \(a\). Akceptujemy podanie wzoru \(h(x)=\frac{x}{x-2}\), bez uzasadnienia. Przyznajemy wtedy punkty za czynności 5.1, 5.2. **5.3. (1 pkt)** – obliczenie wartości funkcji \(h\) dla \(x=\sqrt{3}\): \(h\left(\sqrt{3}\right)=-2\sqrt{3}-3\) i zapisanie wniosku.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=10\), czyli \(h(x)=\frac{10}{x}\); b) liczba \(h(\pi)-h(-\pi)=\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia; c) \(x\in(0,2)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję. Wzór \(h(x)=\frac{a}{x}\) to proporcjonalność odwrotna, a jej wykresem jest hiperbola o dwóch gałęziach. Skoro podano punkt należący do wykresu, to współczynnik \(a\) wyznaczymy, wstawiając współrzędne tego punktu do wzoru. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Punkt \(P=(2,5)\) należy do wykresu, więc \(h(2)=5\), czyli \[5=\frac{a}{2},\qquad a=10.\] Zatem \(h(x)=\frac{10}{x}\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Liczymy obie wartości: \[h(\pi)=\frac{10}{\pi},\qquad h(-\pi)=\frac{10}{-\pi}=-\frac{10}{\pi}.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[h(\pi)-h(-\pi)=\frac{10}{\pi}-\left(-\frac{10}{\pi}\right)=\frac{20}{\pi}.\] Ponieważ \(\pi\gt 0\), liczba \(\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia. (Ten sam wniosek widać z wykresu: dla \(x\gt 0\) wykres leży nad osią \(Ox\), a dla \(x\lt 0\) pod nią, więc \(h(\pi)\gt 0\) i \(h(-\pi)\lt 0\), a różnica liczby dodatniej i ujemnej jest dodatnia.) **Krok \(5\).** Podpunkt c). Rozwiązujemy \(\frac{10}{x}\gt 5\). Nie wolno pomnożyć obu stron przez \(x\), bo nie wiemy, jaki jest jego znak — mnożenie przez liczbę ujemną odwróciłoby nierówność. Rozpatrujemy więc dwa przypadki. **Krok \(6\).** Przypadek \(x\gt 0\): mnożymy przez \(x\) bez zmiany zwrotu i dostajemy \(10\gt 5x\), czyli \(x\lt 2\). Łącznie z założeniem: \(x\in(0,2)\). **Krok \(7\).** Przypadek \(x\lt 0\): wtedy \(\frac{10}{x}\lt 0\), a liczba ujemna nigdy nie jest większa od \(5\) — brak rozwiązań. **Krok \(8\).** Zbiór rozwiązań to \(x\in(0,2)\). To samo można odczytać z wykresu: nad prostą \(y=5\) leży tylko ten fragment gałęzi, który znajduje się na lewo od punktu \(P=(2,5)\) i na prawo od osi \(Oy\). **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, w nierówności z niewiadomą w mianowniku trzeba pamiętać o dziedzinie \(x\neq 0\) i o rozbiciu na przypadki (albo skorzystać z wykresu). Po drugie, końce przedziału nie należą do rozwiązania: nierówność jest ostra, a \(x=0\) nie należy do dziedziny. **Odpowiedź.** a) \(a=10\), czyli \(h(x)=\frac{10}{x}\); b) liczba \(h(\pi)-h(-\pi)=\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia; c) \(x\in(0,2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Korzystam z faktu, że punkt \(P=(2,5)\) należy do wykresu funkcji \(h\) i wyznaczam współczynnik \(a\): \(5=\frac{a}{2}\) stąd \(a=10\). Funkcja \(h\) jest dana wzorem: \(h(x)=\frac{10}{x}\). b) Z wykresu odczytuję, że \(h(-\pi)<0\), natomiast \(h(\pi)>0\). Stąd wynika, że \(h(\pi)-h(-\pi)\) jest liczbą dodatnią. Z informacji podanej w zadaniu wiem, że wykres funkcji \(h\) przechodzi przez punkt \(P=(2,5)\). Odczytuję rozwiązanie nierówności \(h(x)>5\) z wykresu: jest to przedział \((0,2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a=-4\), czyli \(g(x)=\dfrac{-4}{x+3}+2\) dla \(x\ne-3\); nierówność \(g(x)\lt4\) ma rozwiązanie \(x\in(-\infty,-5)\cup(-3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa tematy naraz: przesunięcie wykresu o wektor oraz nierówność wymierną. Zasada przesunięcia: jeśli wykres funkcji \(f\) przesuniemy o wektor \(\vec{u}=[p,q]\), to otrzymamy wykres funkcji \(g(x)=f(x-p)+q\). Znajomość jednego punktu wykresu \(g\) pozwoli wyznaczyć \(a\). **Krok \(2\).** Tu \(p=-3\) i \(q=2\), więc \[g(x)=f\bigl(x-(-3)\bigr)+2=f(x+3)+2=\frac{a}{x+3}+2,\qquad x\neq-3.\] **Krok \(3\).** Korzystamy z tego, że punkt \(A=(-4,6)\) należy do wykresu \(g\), czyli \(g(-4)=6\): \[\frac{a}{-4+3}+2=6,\qquad \frac{a}{-1}+2=6,\qquad -a=4,\qquad a=-4.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy wzór funkcji \(g\): \[g(x)=\frac{-4}{x+3}+2,\qquad x\neq-3.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy nierówność \(g(x)\lt4\). Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy do jednego ułamka: \[\frac{-4}{x+3}+2-4\lt0,\qquad \frac{-4}{x+3}-2\lt0,\qquad \frac{-4-2(x+3)}{x+3}\lt0,\qquad \frac{-2x-10}{x+3}\lt0.\] **Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(-\frac12\) (liczbę ujemną), więc odwracamy znak nierówności: \[\frac{x+5}{x+3}\gt0.\] Ułamek jest dodatni dokładnie wtedy, gdy iloczyn licznika i mianownika jest dodatni, więc rozwiązujemy \((x+5)(x+3)\gt0\). **Krok \(7\).** Miejsca zerowe tego iloczynu to \(-5\) i \(-3\), a odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wartości dodatnie przyjmuje poza pierwiastkami: \[x\lt-5\quad\text{lub}\quad x\gt-3.\] **Krok \(8\).** Uwzględniamy dziedzinę \(x\neq-3\) — jest ona już zapewniona, bo \(-3\) nie należy do otrzymanego zbioru. Ostatecznie \(x\in(-\infty,-5)\cup(-3,+\infty)\). Sprawdzenie: dla \(x=-6\) mamy \(g(-6)=\frac{-4}{-3}+2\approx3{,}33\lt4\), a dla \(x=-4\) mamy \(g(-4)=6\gt4\) — zgadza się. **Uwaga.** Najgroźniejszy błąd to pomnożenie nierówności \(\frac{-4}{x+3}+2\lt4\) przez \(x+3\). Nie znamy znaku tego wyrażenia, więc nie wiemy, czy znak nierówności zachować, czy odwrócić. Bezpieczne wyjścia są dwa: sprowadzić wszystko do jednego ułamka i badać znak ilorazu (tak jak wyżej), albo pomnożyć obie strony przez \((x+3)^2\), które jest zawsze dodatnie. Pamiętaj też o wypisaniu dziedziny \(x\neq-3\) — jest za to punkt. **Odpowiedź.** \(a=-4\), czyli \(g(x)=\dfrac{-4}{x+3}+2\) dla \(x\ne-3\); nierówność \(g(x)\lt4\) ma rozwiązanie \(x\in(-\infty,-5)\cup(-3,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=\frac{a}{x+3}+2\) dla \(x\neq -3\). […] nie zapisze dziedziny funkcji \(g\). **2.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika \(a\) z równania \(g(-4)=6\): \(a=-4\). **2.3. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności \(\frac{-4}{x+3}+2<4\) do postaci \(\frac{-2x-10}{x+3}<0\). **2.4. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności \(g(x)<4\): \(x\in(-\infty,\,-5)\cup(-3,\,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) hiperbola \(y=\frac{3}{x}\) przesunięta o \(2\) jednostki w górę, o asymptotach \(x=0\) i \(y=2\); b) największa wartość to \(g(21)=\frac{15}{7}=2\frac17\); c) o \(\frac32\) jednostki w prawo wzdłuż osi \(Ox\).

**Krok \(1\).** Funkcja \(g\) powstaje z hiperboli \(y=\frac3x\) przez przesunięcie o \(2\) jednostki w górę. To od razu daje jej asymptoty: pionową \(x=0\) (bez zmian) oraz poziomą \(y=2\) (przesuniętą razem z wykresem). Wszystkie trzy podpunkty rozwiążemy, opierając się na tym obrazie. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Wykres \(g\) to dwie gałęzie hiperboli. Wygodne punkty do zaznaczenia: \(g(1)=3+2=5\), \(g(3)=1+2=3\), \(g(-1)=-3+2=-1\), \(g(-3)=-1+2=1\). Prawa gałąź leży nad prostą \(y=2\), lewa pod nią, a wykres nigdy tej prostej nie dotyka. **Krok \(3\).** Podpunkt b). Dla \(x\gt0\) wartość \(\frac3x\) maleje, gdy \(x\) rośnie (dzielimy stałą przez coraz większą liczbę), więc funkcja \(g\) jest malejąca w całym przedziale \(\langle21,31\rangle\). **Krok \(4\).** Funkcja malejąca przyjmuje największą wartość na lewym końcu przedziału, czyli dla \(x=21\). **Krok \(5\).** Obliczamy tę wartość: \[g(21)=\frac{3}{21}+2=\frac17+2=\frac{15}{7}=2\tfrac17.\] Dla porównania \(g(31)=\frac{3}{31}+2\approx2{,}097\), czyli mniej — potwierdza to nasz wybór końca przedziału. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Przesuwamy wykres tylko wzdłuż osi \(Ox\), więc żaden punkt nie zmienia rzędnej. Aby po przesunięciu wykres przechodził przez początek układu, przed przesunięciem musi mieć punkt o rzędnej \(0\) — czyli miejsce zerowe. **Krok \(7\).** Szukamy miejsca zerowego funkcji \(g\): \[\frac3x+2=0,\qquad \frac3x=-2,\qquad 3=-2x,\qquad x=-\frac32.\] **Krok \(8\).** Punkt \(\left(-\frac32,0\right)\) ma trafić w punkt \((0,0)\), więc wykres trzeba przesunąć o \(\frac32\) jednostki w prawo. **Uwaga.** Funkcja \(g\) nie ma wartości największej w całej swojej dziedzinie — pytanie dotyczy wyłącznie przedziału \(\langle21,31\rangle\), w którym \(g\) jest malejąca. Gdyby przedział zawierał liczby ujemne, rozumowanie o monotoniczności trzeba by prowadzić osobno dla każdej gałęzi. **Odpowiedź.** a) Wykres \(g\) to hiperbola \(y=\frac3x\) przesunięta o \(2\) w górę, o asymptotach \(x=0\) i \(y=2\). b) Największa wartość w przedziale \(\langle21,31\rangle\) to \(g(21)=\frac{15}{7}=2\frac17\). c) Należy przesunąć wykres o \(\frac32\) jednostki w prawo.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] \(y=\frac{3}{x}\). **8.2. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(g\) w przedziale \(\langle 21,\,31\rangle\): \(g(21)=2\tfrac{1}{7}\). **8.3. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3}{x}+2=0\). **8.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi: \(x=-\frac{3}{2}\), o \(\frac{3}{2}\) jednostki w prawo (albo o \(\frac{3}{2}\) wzdłuż osi \(Ox\)). Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie, o ile należy przesunąć wykres, to otrzymuje punkt także w czynności 8.3.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=1+\dfrac{-2}{x-1}\), czyli \(k=1\) oraz \(m=-2\). b) \(p\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)\).

**Krok \(1\).** Obie części zadania opierają się na jednym pomyśle: funkcję homograficzną zapisujemy w postaci *stała plus ułamek*, czyli wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik. Dopiero z takiej postaci widać, jak funkcja się zachowuje, bo o monotoniczności decyduje znak licznika tego ułamka. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Dla \(p=1\) mamy \(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\). W liczniku wyodrębniamy mianownik: \[x-3=(x-1)-2.\] **Krok \(3\).** Zatem \[f(x)=\frac{(x-1)-2}{x-1}=1+\frac{-2}{x-1},\] czyli \(k=1\) oraz \(m=-2\). **Krok \(4\).** Podpunkt b). Ten sam zabieg wykonujemy dla dowolnego \(p\). Chcemy w liczniku zobaczyć \(x-p\): \[px-3=p(x-p)+p^2-3,\] bo \(p(x-p)=px-p^2\), a \(-p^2+p^2-3=-3\). **Krok \(5\).** Stąd dla \(x\neq p\) \[f(x)=\frac{p(x-p)+p^2-3}{x-p}=p+\frac{p^2-3}{x-p}.\] **Krok \(6\).** Badamy monotoniczność na przedziale \((p,+\infty)\). Weźmy \(p\lt x_1\lt x_2\); wtedy \(0\lt x_1-p\lt x_2-p\) i \[f(x_2)-f(x_1)=\left(p^2-3\right)\left(\frac1{x_2-p}-\frac1{x_1-p}\right).\] **Krok \(7\).** Nawias jest ujemny, bo z dwóch dodatnich mianowników większy daje mniejszy ułamek. Zatem różnica \(f(x_2)-f(x_1)\) jest ujemna (czyli funkcja maleje) dokładnie wtedy, gdy \[p^2-3\gt0.\] **Krok \(8\).** Rozwiązujemy: \(p^2\gt3\), czyli \(\lvert p\rvert\gt\sqrt3\), a więc \[p\in\left(-\infty,-\sqrt3\right)\cup\left(\sqrt3,+\infty\right).\] **Uwaga.** Warunek dotyczy tylko przedziału \((p,+\infty)\), czyli jednej gałęzi hiperboli — na całej dziedzinie funkcja homograficzna nigdy nie jest monotoniczna. Przypadek \(p^2-3=0\) (funkcja stała) jest wykluczony założeniem \(\lvert p\rvert\neq\sqrt3\). **Odpowiedź.** a) \(f(x)=1+\dfrac{-2}{x-1}\), czyli \(k=1\) i \(m=-2\); b) \(p\in\left(-\infty,-\sqrt3\right)\cup\left(\sqrt3,+\infty\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)=1+\frac{-2}{x-1}\) lub \(f(x)=1-\frac{2}{x-1}\). **I sposób rozwiązania podpunktu b).** **1.2. (2 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy \(f(x)=p+\frac{p^{2}-3}{x-p}\). 1 pkt za wykonanie dzielenia \((px-3):(x-p)=p(x-p)+p^{2}-3\) lub wykorzystanie innej metody, która doprowadzi do zapisania wyrażenia w postaci sumy, np. \(f(x)=\frac{p(x-p)+p^{2}-3}{x-p}\). 1 pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej: \(f(x)=p+\frac{p^{2}-3}{x-p}\). **1.3. (1 pkt)** – Zapisanie nierówności \(p^{2}-3>0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie powyższej nierówności: \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **II sposób rozwiązania podpunktu b)** **1.2. (2 pkt)** – Obliczenie pochodnej funkcji \(f(x)\): \(f'(x)=\frac{3-p^{2}}{(x-p)^{2}}\), \(x\neq p\) i zapisanie nierówności \(\frac{3-p^{2}}{(x-p)^{2}}<0\) pozwalającej wyznaczyć szukany zbiór wartości parametru \(p\). 1 pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej, 1 pkt za zapisanie nierówności. **1.3. (1 pkt)** – Stwierdzenie, że \((x-p)^{2}>0\) i zapisanie nierówności \(3-p^{2}<0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(3-p^{2}<0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **III sposób rozwiązania podpunktu b) z zastosowaniem definicji funkcji malejącej.** **1.2. (2 pkt)** – Dla dowolnych \(x_{1},x_{2}\in(p,\infty)\) takich, że \(x_{1}<x_{2}\) funkcja \(f\) jest malejąca gdy \(f(x_{2})-f(x_{1})<0\). Obliczenie różnicy \(f(x_{2})-f(x_{1})\): \(f(x_{2})-f(x_{1})=\frac{p^{2}(x_{1}-x_{2})-3(x_{1}-x_{2})}{(x_{2}-p)(x_{1}-p)}=\frac{(x_{1}-x_{2})\left(p^{2}-3\right)}{(x_{2}-p)(x_{1}-p)}\). 1 pkt – zapisanie założeń. 1 pkt – doprowadzenie różnicy \(f(x_{2})-f(x_{1})\) do postaci iloczynowej. **1.3. (1 pkt)** – Analiza znaku ułamka: \((x_{2}-p)>0\), \((x_{1}-p)>0\) i \((x_{1}-x_{2})<0\) dla każdego \(x_{1},x_{2}\in(p,\infty)\). Zauważenie, że wyrażenie \(f(x_{2})-f(x_{1})\) przyjmuje wartość ujemną gdy \(p^{2}-3>0\). Zapisanie nierówności \(p^{2}-3>0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(p^{2}-3>0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **IV sposób rozwiązania podpunktu b)** **1.2. (2 pkt)** – Zapisanie warunku wystarczającego na to, żeby funkcja \(f\) była malejąca w przedziale \((p,+\infty)\): \(f(p+1)>p\). **1.3. (1 pkt)** – Zapisanie warunku \(f(p+1)>p\) w postaci: \(\frac{p(p+1)-3}{(p+1)-p}>p\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(p^{2}-3>0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(k\in(1,2)\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie z parametrem \(k\), a dodatkowy warunek dotyczy iloczynu rozwiązań. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny dokładnie wtedy, gdy jedna z nich jest ujemna, a druga dodatnia. Szukamy więc takich \(k\), dla których prosta \(y=k\) przecina wykres funkcji \(f\) w dwóch punktach, przy czym jeden z nich ma odciętą ujemną, a drugi dodatnią. Dlatego wykres musimy narysować dokładnie — z zaznaczeniem, gdzie przecina osie. **Krok \(2\).** Najpierw wykres funkcji bez modułu, czyli \(g(x)=\frac{x-4}{x-2}\) (dziedzina: \(x\neq2\)). Przekształcamy wzór, żeby rozpoznać hiperbolę: \[g(x)=\frac{(x-2)-2}{x-2}=1-\frac{2}{x-2}.\] Jest to wykres funkcji \(y=-\frac2x\) przesunięty o wektor \([2,1]\), więc jego asymptotami są proste \(x=2\) i \(y=1\). **Krok \(3\).** Zaznaczamy punkty charakterystyczne: \(g(4)=\frac{0}{2}=0\) (przecięcie z osią \(Ox\)) oraz \(g(0)=\frac{-4}{-2}=2\) (przecięcie z osią \(Oy\)). Wartość \(g(0)=2\) będzie kluczowa. **Krok \(4\).** Nakładamy moduł: \(f(x)=|g(x)|\). Wyrażenie \(g(x)\) jest ujemne dokładnie dla \(x\in(2,4)\) (licznik ujemny, mianownik dodatni), więc tę część wykresu odbijamy symetrycznie względem osi \(Ox\); pozostałą część zostawiamy bez zmian. **Krok \(5\).** Opisujemy trzy gałęzie wykresu funkcji \(f\): - dla \(x\lt2\): \(f\) rośnie, jej wartości rosną od \(1\) (asymptota, wartość nieosiągana) do \(+\infty\); przy tym \(f(0)=2\), więc dla \(x\lt0\) wartości należą do przedziału \((1,2)\), a dla \(0\lt x\lt2\) — do przedziału \((2,+\infty)\); - dla \(2\lt x\lt4\): \(f\) maleje od \(+\infty\) do \(0\), przyjmując po drodze każdą wartość dodatnią dokładnie raz; - dla \(x\gt4\): \(f\) rośnie od \(0\) do \(1\) (asymptota), więc jej wartości należą do przedziału \((0,1)\). **Krok \(6\).** Szukamy rozwiązania ujemnego. Z opisu widać, że odciętą ujemną mają tylko punkty pierwszej gałęzi leżące na lewo od osi \(Oy\), a odpowiadają im wartości \(k\in(1,2)\). Warunek zadania może więc być spełniony wyłącznie dla takich \(k\). **Krok \(7\).** Sprawdzamy, co się dzieje dla \(k\in(1,2)\). Prosta \(y=k\) przecina pierwszą gałąź w punkcie o odciętej ujemnej, drugą gałąź (dla \(2\lt x\lt4\)) w jednym punkcie o odciętej dodatniej, a trzeciej gałęzi nie przecina, bo tam wartości są mniejsze od \(1\). Mamy więc dokładnie dwa rozwiązania, jedno ujemne i jedno dodatnie — ich iloczyn jest ujemny. Warunki zadania są spełnione. **Krok \(8\).** Sprawdzamy jeszcze końce przedziału. Dla \(k=1\) prosta przecina wykres tylko raz (obie gałęzie zewnętrzne mają \(y=1\) jako asymptotę), więc dwóch rozwiązań nie ma. Dla \(k=2\) rozwiązaniami są \(x=0\) oraz pewne \(x\in(2,4)\); ich iloczyn wynosi \(0\), a zero nie jest liczbą ujemną. Oba końce odrzucamy. **Uwaga.** Najbardziej podchwytliwy jest przypadek \(k=2\): rozwiązania są dwa, ale jedno z nich to \(x=0\), więc iloczyn wynosi \(0\), a nie jest ujemny. Dlatego przedział musi być otwarty z obu stron. Pamiętaj też, że sam warunek dwa rozwiązania spełnia znacznie więcej wartości \(k\) (wszystkie \(k\gt0\) poza \(k=1\)) — dopiero warunek o znaku iloczynu zawęża odpowiedź do \((1,2)\). **Odpowiedź.** \(k\in(1,2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **13.1. (2 pkt)** – Sporządzenie wykresu funkcji \(g\), \(g(x)=\frac{[\ldots]}{x-2}\). **13.2. (1 pkt)** – Sporządzenie wykresu funkcji \(f(x)=g(x)\). **13.3. (2 pkt)** – Odczytanie z wykresu funkcji \(f\) szukanych wartości \(k\): \(k\in[\ldots]1;2[\ldots]\), w tym: • 1 punkt za obliczenie wartości \(f(0)=2\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.