Strona główna › Liczby i działania › NWD — największy wspólny dzielnik

NWD — największy wspólny dzielnik

Q: Czym różni się NWD od NWW?

NWD dzieli obie liczby i jest mniejszy lub równy mniejszej z nich; NWW dzieli się przez obie i jest większy lub równy większej. NWD przydaje się przy skracaniu ułamków i dzieleniu na równe grupy, NWW przy dodawaniu ułamków i zadaniach o cyklach.

Q: Co to znaczy, że liczby są względnie pierwsze?

Że ich NWD wynosi 1, czyli nie mają wspólnego dzielnika poza jedynką. Same nie muszą być pierwsze — 4 i 9 są liczbami złożonymi, a mimo to są względnie pierwsze. Ułamek jest nieskracalny dokładnie wtedy, gdy licznik i mianownik są względnie pierwsze.

NWD to największy wspólny dzielnik — największa liczba, przez którą dzielą się obie dane liczby. Pytanie, na które odpowiada, brzmi zawsze podobnie: ile najwięcej równych części da się z czegoś zrobić. Ile jednakowych paczek z $24$ cukierków i $36$ ciastek. Jak duży kafelek pokryje podłogę bez docinania.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 4

Kalkulator NWD i NWW

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Dzielnik, wspólny dzielnik, największy

Ta sama trójstopniowa konstrukcja co przy NWW, tylko w drugą stronę.

Dzielnik liczby to liczba, przez którą dzieli się ona bez reszty. Dzielniki dwudziestu czterech to $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — i tu, w odróżnieniu od wielokrotności, lista się kończy.

liczba	dzielniki
$24$	$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $12$ , $24$
$36$	$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ , $18$ , $36$
wspólne	$1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $12$ — skończenie wiele

Największy wspólny dzielnik to ostatni z tej listy: $\text{NWD}(24, 36) = 12$ .

Ta skończoność jest najważniejszą różnicą wobec NWW. Wspólnych wielokrotności jest nieskończenie wiele i szukamy najmniejszej; wspólnych dzielników jest skończenie wiele i szukamy największej. Stąd bierze się cała reszta.

Jak nie pomylić NWD z NWW

NWD jest zawsze mniejszy lub równy mniejszej z danych liczb. Dla $24$ i $36$ nie ma NWD większego niż $24$ .

NWW jest zawsze większe lub równe większej. Jeśli wynik wypadł poza tym zakresem, pomylone zostało jedno z drugim.

Warto też zauważyć, że jedynka jest wspólnym dzielnikiem każdej pary liczb. NWD nigdy więc nie „nie istnieje” — w najgorszym razie wynosi $1$ .

NWD wyrasta wprost z podzielności, więc komu dzielniki wciąż się mylą, ten powinien zacząć od wprowadzenia do podzielności.

Dzielniki 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 i dzielniki 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; wspólne 1, 2, 3, 4, 6, 12, więc NWD(24, 36) = 12 — NWD(24, 36) — wspólne dzielniki i największy z nich

2Trzy sytuacje — w dwóch nie ma czego liczyć

Tak jak przy NWW, warto najpierw sprawdzić, czy rachunek jest w ogóle potrzebny.

sytuacja	NWD to	przykład
jedna liczba dzieli drugą	ta mniejsza	$\text{NWD}(4, 12) = 4$
nie mają wspólnych dzielników poza jedynką	jedynka	$\text{NWD}(4, 9) = 1$
mają wspólne dzielniki	trzeba policzyć	$\text{NWD}(8, 12) = 4$

Pierwsze dwa wiersze są lustrzanym odbiciem tabeli przy NWW — tam wychodziła większa liczba i iloczyn, tutaj mniejsza i jedynka. To dobry sposób na zapamiętanie obu naraz.

Drugi przypadek ma własną nazwę: liczby o NWD równym $1$ nazywamy względnie pierwszymi. Nie muszą być pierwsze — $4$ i $9$ są złożone, a mimo to nie mają wspólnego dzielnika poza jedynką.

W trzecim przypadku sięgamy po rozkład na czynniki pierwsze i bierzemy części wspólne, każdą w niższej liczbie wystąpień:

24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \qquad 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \qquad \text{NWD} = \textcolor{#16A06A}{2 \cdot 2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 12

Tu jest różnica, na której najłatwiej się potknąć: NWD bierze części wspólne w niższej potędze, NWW bierze wszystko w wyższej. Dwójka występuje trzy razy w $24$ i dwa razy w $36$ — do NWD wchodzą dwie.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Własności liczb naturalnych” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Własności liczb naturalnych — cały dział, klasa 5 (7 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Własności liczb naturalnych”7 arkuszy w jednym pliku12,90 zł~~27,30 zł~~−14,40 zł Cała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 12,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Algorytm Euklidesa

Metoda starsza od zapisu dziesiętnego i wciąż najszybsza, gdy liczby są duże albo ich rozkład nie rzuca się w oczy.

To materiał nadprogramowy

Podstawa programowa szkoły podstawowej wskazuje jedną metodę, i to dla obu wielkości naraz. Dział II, punkt 11 (wersja od 2025) brzmi: „znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych co najwyżej trzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki”. Poziom trudności wyznacza więc liczba cyfr — najwyżej trzy — a metoda nazwana jest wprost: rozkład na czynniki.

Algorytm Euklidesa nie jest wymagany — warto go znać, bo bywa znacznie szybszy, ale na sprawdzianie nikt go nie będzie egzekwował.

Zasada jest jednozdaniowa: dziel większą liczbę przez mniejszą i zapamiętuj resztę. Potem powtórz z mniejszą liczbą i tą resztą. Gdy reszta wyniesie zero, ostatni dzielnik jest szukanym NWD.

Weźmy $600$ i $72$ — jeden z przykładów, którymi podstawa programowa sama wyznacza poziom trudności:

600 = 8 \cdot 72 + \textcolor{#E0453A}{24} \qquad 72 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{24} + \textcolor{#16A06A}{0}

Reszta zeszła do zera w dwóch krokach, a ostatni dzielnik to $24$ — i to jest NWD.

Przewaga widać dopiero przy liczbach nieprzyjemnych. Dla $910$ i $2016$ rozkład wymagałby zauważenia, że $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ , a Euklides tego nie potrzebuje wcale — po prostu dzieli.

Warto rozumieć, dlaczego to działa: jeśli jakaś liczba dzieli $600$ i $72$ , to dzieli też ich różnicę, a więc i resztę z dzielenia. Zbiór wspólnych dzielników nie zmienia się przy tej operacji, a liczby robią się coraz mniejsze.

Algorytm Euklidesa na prostokącie 84 × 36: dwa kwadraty 36 × 36 i reszta 12 (84 = 2 · 36 + 12), potem trzy kwadraty 12 × 12 (36 = 3 · 12 + 0), więc NWD(84, 36) = 12 — Algorytm Euklidesa — NWD(84, 36) = 12

4Do czego NWD naprawdę służy

Wszystkie zastosowania mają wspólny kształt: coś trzeba rozdzielić na równe części i pytamy, ile najwięcej ich będzie.

paczki i zestawy — $24$ cukierki i $36$ ciastek; ile najwięcej jednakowych paczek,
kafelki i płytki — jak duży kwadratowy kafelek pokryje prostokąt bez docinania,
dzielenie na grupy — ile najliczniejszych równych drużyn z dwóch klas,
cięcie materiału — najdłuższy jednakowy kawałek z dwóch wstążek bez odpadu,
skracanie ułamków — podzielenie licznika i mianownika przez ich NWD daje ułamek nieskracalny jednym krokiem.

NWD i NWW w tym samym zadaniu o kafelkach

NWD: mam podłogę $24 \times 36$ cm i szukam największego kwadratowego kafelka, który ją pokryje bez docinania → $12$ cm.

NWW: mam kafelki $8 \times 12$ cm i szukam najmniejszego kwadratu, jaki z nich ułożę → bok $24$ cm.

Pierwsze pytanie dzieli coś, co już jest; drugie buduje coś nowego. Stąd raz wychodzi liczba mniejsza, a raz większa.

Sygnały w treści zadania są dość niezawodne. „Ile najwięcej”, „największy”, „bez reszty”, „po równo” wskazują na NWD. „Co ile”, „jednocześnie”, „po raz pierwszy znowu” — na NWW.

5Związek z NWW

Obie wielkości wiąże jeden wzór, który opisuję szerzej przy NWW. Tutaj przydaje się w postaci odwróconej:

\text{NWD}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{NWW}(a, b)}

Sprawdzenie na znanych liczbach: $\text{NWW}(8, 12) = 24$ , a $\frac{8 \cdot 12}{24} = \frac{96}{24} = 4$ — zgadza się z $\text{NWD}(8, 12) = 4$ ✓

W praktyce częściej idzie się jednak w drugą stronę: NWD liczy się łatwiej, bo jest małe i często widać je gołym okiem, a NWW wyprowadza się z niego wzorem. Przy Euklidesie ta droga jest wyjątkowo tania.

Uwaga jak przy NWW: wzór obowiązuje tylko dla dwóch liczb. Dla trzech i więcej trzeba liczyć rozkładem albo krokami — najpierw NWD dwóch, potem NWD wyniku z trzecią.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozkład, Euklides na liczbach z podstawy programowej i zadanie o paczkach.

Przykład 1 NWD metodą rozkładu

Oblicz $\text{NWD}(24, 36)$ .

Sprawdzam sytuacje darmowe: $36$ nie dzieli się przez $24$ , a obie liczby są parzyste, więc wspólny dzielnik istnieje. Zostaje rachunek.
Rozkładam: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ oraz $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .
Dwójka występuje trzy razy w $24$ i dwa razy w $36$ — do NWD biorę niższą liczbę wystąpień, czyli dwie.
Trójka: raz w $24$ , dwa razy w $36$ — biorę jedną.
Mnożę części wspólne: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .
Kontrola: $24 : 12 = 2$ ✓ oraz $36 : 12 = 3$ ✓ — obie dzielą się bez reszty.
Kontrola sensu: $12$ jest mniejsze od obu liczb, jak być powinno przy NWD ✓ A ilorazy $2$ i $3$ nie mają już wspólnego dzielnika — znak, że NWD było naprawdę największe.

Odpowiedź: $\text{NWD}(24, 36) = 12$

Ostatnia kontrola jest najmocniejsza: po podzieleniu obu liczb przez NWD wyniki muszą być względnie pierwsze. Gdyby dały się jeszcze skrócić, wzięty dzielnik nie był największy.

Przykład 2 Algorytm Euklidesa na trudnej parze

Oblicz $\text{NWD}(910, 2016)$ algorytmem Euklidesa.

Dzielę większą przez mniejszą: $2016 = 2 \cdot 910 + 196$ .
Powtarzam z $910$ i resztą $196$ : $910 = 4 \cdot 196 + 126$ .
Dalej: $196 = 1 \cdot 126 + 70$ , potem $126 = 1 \cdot 70 + 56$ .
Jeszcze dwa kroki: $70 = 1 \cdot 56 + 14$ , a następnie $56 = 4 \cdot 14 + 0$ .
Reszta wyniosła zero, więc ostatni dzielnik jest odpowiedzią: $\text{NWD}(910, 2016) = 14$ .
Kontrola: $910 : 14 = 65$ ✓ oraz $2016 : 14 = 144$ ✓
Kontrola przez rozkład: $910 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ , a $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ . Wspólne czynniki to $2$ i $7$ , czyli $14$ ✓

Odpowiedź: $\text{NWD}(910, 2016) = 14$

Ta para pochodzi wprost z podstawy programowej, która czterema takimi przykładami sama wyznacza górną granicę trudności. Zwróć uwagę, o co tu chodzi: rozkład $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ trzeba zauważyć, a Euklides niczego nie zauważa — po prostu dzieli sześć razy.

Przykład 3 Zadanie o paczkach

Mama ma $24$ cukierki i $36$ ciastek. Chce zrobić jak najwięcej jednakowych paczek, zużywając wszystko. Ile paczek zrobi i co będzie w każdej?

„Jak najwięcej jednakowych, zużywając wszystko” to sygnał NWD: liczba paczek musi dzielić i $24$ , i $36$ .
Wspólne dzielniki to $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — a największy z nich to $12$ .
Będzie więc $12$ paczek.
Zawartość jednej: $24 : 12 = 2$ cukierki oraz $36 : 12 = 3$ ciastka.
Kontrola: $12 \cdot 2 = 24$ ✓ oraz $12 \cdot 3 = 36$ ✓ — nic nie zostaje.
Kontrola sensu: przy $13$ paczkach ani $24$ , ani $36$ nie podzieliłoby się równo, więc $12$ naprawdę jest maksimum ✓

Odpowiedź: $12$ paczek, w każdej $2$ cukierki i $3$ ciastka

Zauważ, że NWD daje liczbę paczek, a ilorazy — zawartość jednej. Uczniowie często podają jedno zamiast drugiego, więc warto na końcu przeczytać jeszcze raz, o co właściwie pytano.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa biorą się z mylenia NWD z NWW.

Podanie NWW zamiast NWD

Skąd się bierze: Skróty różnią się jedną literą, a polecenia brzmią podobnie. Dla $24$ i $36$ zamiast $12$ pada $72$ — liczba większa od obu danych, co przy dzieleniu na paczki jest bezsensowne, bo paczek nie może być więcej niż cukierków.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj zakres: NWD nie może być większy od mniejszej z liczb. Jeśli wynik go przekracza, policzone zostało NWW. Pomaga też pytanie: czy zadanie coś dzieli, czy coś buduje?

Wzięcie wyższej liczby wystąpień czynnika

Skąd się bierze: W rozkładach $24 = 2^3 \cdot 3$ i $36 = 2^2 \cdot 3^2$ uczeń bierze trzy dwójki i dwie trójki, dostając $72$ . Ale $72$ nie dzieli ani $24$ , ani $36$ — nie jest więc żadnym wspólnym dzielnikiem.

Jak zrobić dobrze: Przy NWD bierzemy niższą liczbę wystąpień (przy NWW — wyższą). Kontrola dzieleniem wyłapuje to natychmiast: jeśli wynik nie dzieli obu liczb bez reszty, jest za duży.

Dobranie czynnika, którego nie ma w obu rozkładach

Skąd się bierze: Uczeń bierze wszystkie czynniki, jakie zobaczył, także te występujące tylko w jednej liczbie. Do NWD $24$ i $36$ dokłada na przykład dziewiątkę z $36$ — a $36$ dzieli się przez $9$ , lecz $24$ już nie.

Jak zrobić dobrze: Do NWD wchodzą wyłącznie czynniki wspólne — obecne w obu rozkładach. Wszystkie czynniki bierze się przy NWW, nie tutaj.

Zatrzymanie się na pierwszym wspólnym dzielniku

Skąd się bierze: Uczeń zauważa, że obie liczby są parzyste, dzieli przez $2$ i podaje dwójkę jako NWD. To poprawny wspólny dzielnik, ale nie największy — i zadanie pyta o największy.

Jak zrobić dobrze: Po znalezieniu dzielnika sprawdź, czy ilorazy dalej mają coś wspólnego. $24 : 2 = 12$ i $36 : 2 = 18$ — oba nadal parzyste, więc można dalej. Kończymy dopiero, gdy ilorazy są względnie pierwsze.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. $4334$
B. $4994$
C. $8338$
D. $8998$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy $X$ — największego wspólnego dzielnika liczb 18 i 27. Dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; dzielniki 27 to 1, 3, 9, 27.
Największy wspólny: $X = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Szukamy $Y$ — najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2 i 4. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 4 dzieli się przez 2, więc $Y = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podstawiamy do wzoru kodu $YXXY$ : $\textcolor{#E0453A}{4}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#16A06A}{9}\,\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli 4994.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: NWD jest zawsze nie większy od mniejszej z liczb, a NWW nie mniejszy od większej. Tu: $X \le 18$ , $Y \ge 4$ — dobra kontrola wyniku.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności liter i wpisanie $XYYX$ , czyli 9449. Warto podkreślić sobie wzór $YXXY$ i podstawiać po kolei.

Zadanie 2 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. $72$
B. $108$
C. $180$
D. $216$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy $x$ — najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez 3 i 4, czyli $\mathrm{NWW}(3,4) = 12$ . Zatem $x = 12$ .
Szukamy $y$ — podzielna przez 2 i 9 znaczy podzielna przez 18. Największa dwucyfrowa wielokrotność 18 to $18 \cdot 5 = 90$ . Zatem $y = 90$ .
Teraz NWW liczb 12 i 90 — rozkładamy obie na czynniki pierwsze:
$12 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 3$ oraz $90 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Do NWW bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, jaka wystąpiła: dwójkę z liczby 12 ( $\textcolor{#16A06A}{2^2}$ ), trójkę z liczby 90 ( $\textcolor{#E0453A}{3^2}$ ) i piątkę ( $\textcolor{#E0453A}{5}$ ).
$\mathrm{NWW} = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3^2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola wyniku: NWW musi być wielokrotnością obu liczb. Sprawdzamy: $180 : 12 = 15$ ✓ i $180 : 90 = 2$ ✓.

⚠ Częsty błąd: pomnożenie liczb przez siebie ( $12 \cdot 90 = 1080$ ) — to daje wspólną wielokrotność, ale nie najmniejszą. Drugi błąd: wybór 72 lub 216, które nie dzielą się przez 90.

Zadanie 3 (materiały CKE)1 pktśrednie

Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składa się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoce nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek?

A. $90$
B. $20$
C. $30$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Liczba porcji musi dzielić obie liczby owoców — i to jak największa. Szukamy więc $\mathrm{NWD}(120, 180)$ .
Rozkładamy na czynniki pierwsze: $120 = \textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ , oraz $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
Do NWD bierzemy wspólne czynniki w najniższej potędze: $\textcolor{#16A06A}{2^2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Sprawdzamy: $120 : 60 = 2$ mandarynki na osobę, $180 : 60 = 3$ śliwki na osobę — wszystko się zgadza.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: „Maksymalnie osób / największe pudełka / równe porcje” to sygnał NWD. Gdy w zadaniu chodzi o „za ile dni znowu się spotkają / najmniejsza wspólna liczba” — to NWW.

⚠ Kusząca odpowiedź 90 to połowa liczby śliwek — dzieli 180, więc wygląda sensownie. Ale $120 : 90$ nie jest liczbą całkowitą, więc 90 osób nie dostałoby równych porcji.

Zadania otwarte

Zadanie 4 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód

Zaczynamy od rozłożenia liczby, do której zmierzamy: $10 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ . Musimy więc pokazać, że nasza liczba zawiera czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ i czynnik $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Oznaczmy tę liczbę przez $n$ .
Skąd bierzemy piątkę? Skoro $n$ dzieli się przez $15 = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Skąd bierzemy dwójkę? Skoro $n$ dzieli się przez $14 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 7$ , to dzieli się w szczególności przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Liczby $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$ nie mają wspólnych dzielników poza 1 (obie są pierwsze), więc z podzielności przez każdą z nich wynika podzielność przez ich iloczyn.
Zatem $n$ dzieli się przez $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 10$ . co należało uzasadnić
Można to też zapisać krócej: $n$ jest wielokrotnością $\mathrm{NWW}(15, 14) = 210$ , a $210 = 10 \cdot 21$ , więc $n$ dzieli się przez 10.

💡 Wskazówka: Schemat takich dowodów jest zawsze ten sam: rozłóż cel na czynniki pierwsze, a potem pokaż, skąd bierze się każdy z nich.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie jednego przykładu (np. 210) i uznanie sprawy za zamkniętą. Jeden przykład nie jest dowodem — trzeba rozumować dla dowolnej liczby $n$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. C

3. D

4. dowód

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

NWD i NWW — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Podzielność, NWD i NWW — kartkówka, klasa 8

Liczby i działania: system rzymski, cechy podzielności, NWD i NWW.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga z cechami podzielności i 10 kart pracy: od reguł przez liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD i NWW po zadania w stylu egzaminu…

6,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest NWD?

Największy wspólny dzielnik — największa liczba naturalna, przez którą dzielą się bez reszty obie dane liczby. Dla $24$ i $36$ wynosi $12$ . Wspólnych dzielników jest zawsze skończenie wiele, a jedynka jest wspólnym dzielnikiem każdej pary.

Jak obliczyć NWD dwóch liczb?

Sprawdź najpierw dwa łatwe przypadki: jeśli jedna liczba dzieli drugą, NWD to ta mniejsza; jeśli nie mają wspólnych dzielników poza jedynką, NWD wynosi $1$ . W pozostałych rozłóż obie na czynniki pierwsze i weź czynniki wspólne w najniższej liczbie wystąpień.

Czym różni się NWD od NWW?

NWD dzieli obie liczby i jest mniejszy lub równy mniejszej z nich; NWW dzieli się przez obie i jest większy lub równy większej. NWD przydaje się przy skracaniu ułamków i dzieleniu na równe grupy, NWW przy dodawaniu ułamków i zadaniach o cyklach.

Na czym polega algorytm Euklidesa?

Dzielisz większą liczbę przez mniejszą i zapamiętujesz resztę, potem powtarzasz z mniejszą liczbą i tą resztą. Gdy reszta wyniesie zero, ostatni dzielnik jest szukanym NWD. Dla $600$ i $72$ wystarczą dwa kroki i wychodzi $24$ .

Czy algorytm Euklidesa obowiązuje w szkole podstawowej?

Z nazwy nie — podstawa nie wymienia algorytmu Euklidesa. Punkt 11 działu II wskazuje jedną metodę, i to dla obu wielkości naraz: rozkład na czynniki — tak samo dla NWD, jak i dla NWW. Euklides jest więc metodą dodatkową: dozwoloną, ale w podstawie niewymienioną. W szkole uczy się rozkładu, bo przy tak dobranych liczbach jest naturalniejszy i łączy się z innymi tematami; przy dużych liczbach Euklides bywa znacznie szybszy.

Co to znaczy, że liczby są względnie pierwsze?

Że ich NWD wynosi $1$ , czyli nie mają wspólnego dzielnika poza jedynką. Same nie muszą być pierwsze — $4$ i $9$ są liczbami złożonymi, a mimo to są względnie pierwsze. Ułamek jest nieskracalny dokładnie wtedy, gdy licznik i mianownik są względnie pierwsze.

Największy wspólny dzielnik — jak obliczyć? NWD jak obliczyć najszybciej?

Najpewniej przez rozkład na czynniki pierwsze: rozkładamy obie liczby i mnożymy czynniki wspólne, każdy w najniższej potędze. Przy większych liczbach szybszy jest algorytm Euklidesa — dzielimy większą przez mniejszą z resztą i powtarzamy, aż reszta wyniesie zero.

Czytaj dalej

NWWDruga strona tej pary — cykle i wspólny mianownik Rozkład na czynniki pierwszeMetoda wymagana przez podstawę programową Skracanie ułamkówDzielenie przez NWD daje postać nieskracalną w jednym kroku Cechy podzielnościPozwalają zobaczyć wspólne dzielniki bez rachunku Zagadki logicznePięć klasycznych zagadek rozwiązanych do końca oraz trzy metody, które je…Dzielniki liczbyJak znaleźć wszystkie dzielniki.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

NWD — największy wspólny dzielnik

1Dzielnik, wspólny dzielnik, największy

2Trzy sytuacje — w dwóch nie ma czego liczyć

3Algorytm Euklidesa

4Do czego NWD naprawdę służy

5Związek z NWW

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Zadanie 2 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (materiały CKE)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 4 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

NWD i NWW — kartkówka, klasa 5

Wielokrotności i dzielniki — kartkówka, klasa 5

Podzielność, NWD i NWW — kartkówka, klasa 8

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Cechy podzielności — ściąga i 10 kart pracy PDF z kluczem

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku