Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste — sprawdzian, kartkówki i test (1 liceum)

Pierwszy dział klasy 1: liczby wymierne i niewymierne, potęgi i pierwiastki, potęga o wykładniku wymiernym, logarytmy i procenty. Na tej stronie: 4 sprawdziany, 5 kartkówek, 1 test, 5 kart pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 1 liceum / technikumDział w podręczniku: 1. Liczby rzeczywistePliki: 75 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Potęgi i pierwiastki — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Potęgi i pierwiastki

Wykładnik całkowity i wymierny, działania na pierwiastkach, suma jednakowych potęg
6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B
wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz

Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z liczb rzeczywistych

Sprawdzian

Potęgi i pierwiastki

Wykładnik całkowity i wymierny, działania na pierwiastkach, suma jednakowych potęg

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Logarytmy

Logarytm z definicji, suma i różnica logarytmów, współczynnik jako wykładnik

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Procenty i oprocentowanie

Wartość przed zmianą, kilka zmian z rzędu, procent składany

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Podzielność liczb całkowitych

Dzielenie z resztą, dzielniki, wykazanie reszty z dzielenia

4 zadania · 2 zamkn. i 2 otw. · 7 pkt · 35 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z liczb rzeczywistych

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Liczby wymierne

NWD, potęgi liczb ujemnych, rozwinięcia dziesiętne, działania na ułamkach

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Pierwiastki i potęgi

wykładnik ujemny, działania na potęgach i pierwiastkach

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Potęga o wykładniku wymiernym

wykładnik ułamkowy dodatni i ujemny, iloczyn pierwiastków jako potęga

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Logarytmy

definicja logarytmu, logarytm dziesiętny, logarytm iloczynu i ilorazu

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Procenty

obniżki i podwyżki, jakim procentem jest liczba, cena przed obniżką

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Liczby rzeczywiste

potęgi, pierwiastki, logarytmy, procenty — test z działu

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z liczb rzeczywistych — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

Jakie jest rozwinięcie dziesiętne liczby $\displaystyle \frac{8}{11}$ ?
Rozwiązanie
$8:11=0{,}727272\ldots$ — powtarza się para cyfr $72$ : $0{,}(72)$ . ( $0{,}7(2)$ — okres zaczęty o cyfrę za późno; $0{,}72$ — obcięte rozwinięcie.)
Ile wynosi $\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{16}$ , $\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{3}$ , iloczyn $\displaystyle \frac{9}{16}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3}{4}$ .
Ile wynosi $\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$ . ( $4=12:3$ — zgubiony pierwiastek.)
Ile wynosi iloraz $\displaystyle \frac{6\cdot10^{-5}}{2\cdot10^{3}}$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle \frac{6}{2}=3$ , $\displaystyle \frac{10^{-5}}{10^{3}}=10^{-5-3}=10^{-8}$ , czyli $3\cdot10^{-8}$ . ( $3\cdot10^{-2}$ — wykładniki dodane zamiast odjęte.)
Ile wynosi $\displaystyle 32^{-\frac{2}{5}}$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle 32^{\frac{2}{5}}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^{2}=2^{2}=4$ , a wykładnik ujemny daje odwrotność: $\displaystyle \frac{1}{4}$ . ( $-4$ — minus z wykładnika przeniesiony na liczbę.)
Ile wynosi $\log_{5}125$ ?
Rozwiązanie
$5^{3}=125$ , więc $\log_{5}125=3$ . ( $25=125:5$ — dzielenie zamiast logarytmu.)
Ile wynosi $\log_{2}24-\log_{2}3$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle \log_{2}\frac{24}{3}=\log_{2}8=3$ . ( $\log_{2}21$ — odjęte argumenty zamiast podzielone; $8$ — sam iloraz, bez logarytmu.)
Cena biletu wzrosła ze $150$ zł do $180$ zł. O ile procent wzrosła?
Rozwiązanie
Wzrost o $30$ zł ze $150$ zł: $\displaystyle \frac{30}{150}=20\%$ . ( $30$ — wzrost w złotych, nie w procentach; $120$ — nowa cena to $120\%$ starej.)
Oprocentowanie lokaty wzrosło z $2\%$ do $3\%$ . O ile procent wzrosło oprocentowanie?
Rozwiązanie
Wzrost o $1$ punkt procentowy to $\displaystyle \frac{1}{2}=50\%$ dotychczasowego oprocentowania. ( $1\%$ — pomylone punkty procentowe z procentami.)
Która z liczb jest niewymierna?
Rozwiązanie
$\displaystyle \sqrt{1{,}44}=1{,}2$ , $\displaystyle 0{,}1(6)=\frac{1}{6}$ , $\displaystyle \sqrt[3]{27}=3$ — wymierne. $\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}$ jest niewymierna.

5Karty pracy z liczb rzeczywistych

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Liczby naturalne, całkowite i wymierne

Działania na ułamkach, ułamki okresowe, dzielniki, błąd przybliżenia, dowody podzielności

7 zadań · 5 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Pierwiastki i potęgi o wykładniku całkowitym

Potęga o wykładniku ujemnym, działania na pierwiastkach, usuwanie niewymierności, notacja wykładnicza

7 zadań · 5 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Potęga o wykładniku wymiernym

Potęga a pierwiastek, wykładnik ujemny i ułamkowy, działania na potęgach o tej samej podstawie

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Logarytmy

Logarytm z definicji, suma i różnica logarytmów, współczynnik przed logarytmem, logarytm wyrażony przez inny

7 zadań · 5 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Procenty

O ile procent, relacje procentowe, procenty w geometrii, lokata z podatkiem

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

Grupy A i B mają te same typy zadań z innymi liczbami — klucz każdej grupy jest liczony osobno.
Trzy wersje PDF. Każdy arkusz jest w trzech plikach PDF: z miejscem na obliczenia pod każdym zadaniem, same zadania (zwarte, do pracy w zeszycie) i klucz odpowiedzi dla nauczyciela.
Zadania na wzór arkuszy CKE, z liczbami zmienionymi — to arkusze ćwiczeniowe, nie są tworzone ani firmowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
Zamknięte i otwarte. Zadania zamknięte mają cztery odpowiedzi do wyboru, otwarte — miejsce na rozwiązanie i punktację w kluczu.
Druk: A4, skala 100% (bez „dopasuj do strony”). Pliki są za darmo i bez rejestracji.

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Liczby rzeczywisteteoria z przykładami Potęgiteoria z przykładami Logarytmyteoria z przykładami Procentyteoria z przykładami Potęgi i pierwiastki na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Logarytmy na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Procenty na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 1 liceum:

Wyrażenia algebraiczne, przedziały i nierówności2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Układy równań1 kartkówka · 1 test · 1 karta pracy Funkcje1 sprawdzian · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Funkcja liniowa2 sprawdziany · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Geometria płaska — kąty, trójkąty, podobieństwo2 sprawdziany · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 1 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z liczb rzeczywistych?

Potęgi i pierwiastki: Wykładnik całkowity i wymierny, działania na pierwiastkach, suma jednakowych potęg. Logarytmy: Logarytm z definicji, suma i różnica logarytmów, współczynnik jako wykładnik. Procenty i oprocentowanie: Wartość przed zmianą, kilka zmian z rzędu, procent składany. Podzielność liczb całkowitych: Dzielenie z resztą, dzielniki, wykazanie reszty z dzielenia.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 1 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 1. Liczby rzeczywiste, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Potęgi i pierwiastki”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Logarytmy”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Procenty i oprocentowanie”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Podzielność liczb całkowitych”: 4 zadania, 7 pkt, 35 minut; Kartkówka „Liczby wymierne”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Pierwiastki i potęgi”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Potęga o wykładniku wymiernym”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Logarytmy”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Procenty”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Liczby rzeczywiste”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27