Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Logarytmy

Logarytmy

Q: Co oznacza log bez indeksu?

W polskiej szkole logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10. Logarytm naturalny, o podstawie e ≈ 2,718, zapisuje się jako ln. Warto uważać, bo w literaturze zagranicznej i w programowaniu log bywa logarytmem naturalnym.

Logarytm ma opinię trudnego, a jest pytaniem o wykładnik — i to jedynym, jakie zadaje. Jeśli wiesz, że $2^3 = 8$ , to wiesz już, ile wynosi $\log_2 8$ . Cała reszta, łącznie z trzema wzorami, wychodzi wprost z praw potęg, które znasz ze szkoły podstawowej. Trudność leży gdzie indziej: w zapisie, który wygląda obco, i w jednej pułapce, przez którą przechodzi większość błędów.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 23

Krótko: Logarytm przy podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b: log₂ 8 = 3, bo 2³ = 8.

Przejdź od razu do zadań (23) ↓

1Potęgowanie ma dwa działania odwrotne

Zacznijmy od miejsca, w którym logarytm w ogóle się pojawia — bo bez tego wygląda na wymyślony bez powodu.

W równaniu $2^3 = 8$ występują trzy liczby: podstawa $2$ , wykładnik $3$ i wynik $8$ . Znając dwie z nich, można szukać trzeciej — i to daje trzy różne pytania:

czego szukasz	pytanie	działanie	zapis
wyniku	ile to jest $2^3$ ?	potęgowanie	$2^3 = \textcolor{#16A06A}{8}$
podstawy	co do trzeciej daje $8$ ?	pierwiastkowanie	$\sqrt[3]{8} = \textcolor{#E0453A}{2}$
wykładnika	do której potęgi podnieść $2$ , żeby wyszło $8$ ?	logarytmowanie	$\log_2 8 = \textcolor{#2F80D8}{3}$

Potęgowanie ma więc dwa działania odwrotne, nie jedno. Pierwiastkowanie szuka podstawy, a logarytmowanie — wykładnika. To jedyna różnica między nimi i warto ją zapamiętać, bo tłumaczy, dlaczego oba istnieją osobno.

Dodawanie i mnożenie takiego rozdwojenia nie mają, bo są przemienne: $3+5$ i $5+3$ to to samo, więc wystarczy jedno odejmowanie. Potęgowanie przemienne nie jest — $2^3 = 8$ , ale $3^2 = 9$ — i stąd bierze się potrzeba dwóch osobnych działań odwrotnych.

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum umieszcza logarytmy w dziale I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, punkt 9: „stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi”.

W zakresie rozszerzonym dochodzi tylko jedno: wzór na zamianę podstawy logarytmu. Piszę o nim na końcu, osobno oznaczony.

W równości 2³ = 8 są trzy liczby: potęgowanie szuka wyniku (2³ = 8), pierwiastkowanie szuka podstawy (pierwiastek trzeciego stopnia z 8 = 2), logarytmowanie szuka wykładnika (log₂ 8 = 3) — Potęgowanie ma dwa działania odwrotne — pierwiastkowanie i logarytmowanie

2Definicja i co z niej od razu wynika

Definicja

$\log_a x$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$ , żeby otrzymać $x$ .

Równoważnie: $\log_a x = y$ oznacza dokładnie to samo co $a^y = x$ .

\log_a x = y \quad \Longleftrightarrow \quad a^y = x

Te dwa zapisy to jedno i to samo zdanie, przeczytane z dwóch stron. Przy każdym zadaniu z logarytmem warto zacząć od przetłumaczenia go na postać z potęgą — problem zwykle wtedy znika.

$\log_2 8 = \textcolor{#E0453A}{3}$ , bo $2^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{8}$ ,
$\log_3 81 = \textcolor{#E0453A}{4}$ , bo $3^{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#16A06A}{81}$ ,
$\log_{10} 1000 = \textcolor{#E0453A}{3}$ , bo $10^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{1000}$ ,
$\log_5 \frac{1}{25} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ , bo $5^{\textcolor{#E0453A}{-2}} = \frac{1}{25}$ .

Ostatni przykład pokazuje coś ważnego: logarytm bywa ujemny. Przy podstawie większej od jedynki — a taka jest w szkolnych zadaniach niemal zawsze — dzieje się tak dokładnie wtedy, gdy $x$ jest mniejsze od jedynki, bo potrzebny jest wtedy ujemny wykładnik, czyli odwrotność.

Warto jednak wiedzieć, że przy podstawie mniejszej od jedynki jest odwrotnie. Założenia niżej dopuszczają każde $a > 0$ różne od $1$ , więc podstawa może być ułamkiem: $\log_{1/2} 8 = -3$ , bo $\left(\tfrac12\right)^{-3} = 8$ — tutaj logarytm wyszedł ujemny dla $x$ większego od jedynki. Reguła bez zastrzeżenia o podstawie po prostu nie działa; pewne jest tylko jedno: $\log_a 1 = 0$ niezależnie od podstawy.

Założenia biorą się wprost z definicji, nie są dodatkową regułą do zapamiętania:

warunek	dlaczego
$x > 0$	potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $x$ ujemne ani zero nigdy nie wyjdzie
$a > 0$	dla podstawy ujemnej potęgi „skakałyby” między znakami
$a \neq 1$	jedynka do każdej potęgi daje jedynkę, więc pytanie o wykładnik nie miałoby odpowiedzi

Z definicji wypadają też dwie wartości, które warto znać na pamięć — a właściwie umieć wyprowadzić w sekundę:

\log_a 1 = \textcolor{#16A06A}{0} \qquad \text{oraz} \qquad \log_a a = \textcolor{#E0453A}{1}

Pierwsza: do której potęgi podnieść $a$ , żeby dostać $1$ ? Do zerowej, bo $a^0 = 1$ . Druga: żeby dostać samo $a$ , wystarczy pierwsza potęga.

Definicja logarytmu: logₐ x = y wtedy i tylko wtedy, gdy aʸ = x; przykłady log₂ 8 = 3, log₃ 81 = 4, log₁₀ 1000 = 3, log₅ (1 : 25) = −2 — Definicja logarytmu — przetłumacz logarytm na potęgę

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja wykładnicza i logarytmiczna” (liceum, klasa 3), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — cały dział, liceum 3 (4 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcja wykładnicza i logarytmiczna”4 arkusze w jednym pliku8,90 zł~~15,60 zł~~−6,70 zł Liceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 8,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Trzy wzory — wszystkie z praw potęg

Tych wzorów też nie trzeba pamiętać osobno. Każdy jest przepisanym prawem potęg, tylko czytanym od strony wykładników.

prawo potęg	odpowiadający wzór na logarytm
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$

Zależność jest systematyczna: logarytm obniża działanie o jeden poziom. Mnożenie zamienia na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie.

Zobaczmy to na liczbach. Weźmy $\log_2 (4 \cdot 8)$ :

\log_2 (\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{8}) = \log_2 \textcolor{#2F80D8}{32} = \textcolor{#E0453A}{5}

\log_2 \textcolor{#16A06A}{4} + \log_2 \textcolor{#16A06A}{8} = 2 + 3 = \textcolor{#E0453A}{5}

Oba sposoby dają $\textcolor{#E0453A}{5}$ ✓ — i widać dlaczego: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , a przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają.

Tak samo działa wzór na potęgę. Zamiast liczyć $\log_2 64$ wprost, można rozłożyć:

\log_2 \textcolor{#16A06A}{64} = \log_2 (4^3) = 3 \cdot \log_2 4 = 3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}

Po co komu zamiana mnożenia na dodawanie

Dziś to wygląda na sztuczkę, ale przez trzysta lat na tym opierały się wszystkie poważne rachunki. Mnożenie wielocyfrowych liczb zastępowano dodawaniem ich logarytmów odczytanych z tablic.

Tak liczono w astronomii, nawigacji i inżynierii aż do upowszechnienia kalkulatorów. Suwak logarytmiczny — narzędzie oparte dokładnie na tym wzorze — był w użyciu jeszcze w latach siedemdziesiątych XX wieku.

Dziś logarytmy zostały tam, gdzie są niezbędne, a nie wygodne: w skali decybelowej, skali Richtera, pH i wszędzie, gdzie wielkości zmieniają się o rzędy wielkości.

4Pułapka: logarytm sumy

Wzory dotyczą iloczynu i ilorazu. Dla sumy żaden wzór nie istnieje — a to właśnie tam popełnia się najwięcej błędów.

\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y

Sprawdźmy to jednym kontrprzykładem, bo do obalenia równości wystarczy jeden:

zapis	obliczenie	wynik
poprawnie $\log_2(4+4)$	$\log_2 \textcolor{#16A06A}{8}$	$\textcolor{#E0453A}{3}$
błędnie $\log_2 4 + \log_2 4$	$2 + 2$	$\textcolor{#9b1c14}{4}$

Wyniki są różne, więc równość jest fałszywa — i to jest dowód, nie przypuszczenie.

Ten błąd ma dokładnie tę samą naturę co $(a+b)^2 = a^2+b^2$ , o którym piszę przy wzorach skróconego mnożenia. W obu przypadkach chodzi o to samo złudzenie: że działanie „rozdziela się” na składniki sumy.

Reguła, która porządkuje wszystkie takie pułapki

Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie rozdzielają się względem mnożenia i dzielenia — nigdy względem dodawania i odejmowania.

Dlatego prawdą są $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ oraz $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ , a fałszem $\log_a(x+y)$ „ $=$ ” $\log_a x + \log_a y$ oraz $\sqrt{x+y}$ „ $=$ ” $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ .

Gdy nie masz pewności — podstaw dwie małe liczby i policz obie strony. Pięć sekund rozstrzyga sprawę.

Warto też zauważyć, czego wzory nie mówią. $\log_a x^n = n\log_a x$ dotyczy potęgi liczby logarytmowanej, a nie potęgi całego logarytmu: $(\log_a x)^2$ to coś zupełnie innego niż $\log_a x^2$ .

5Logarytm dziesiętny, naturalny i zmiana podstawy

Dwie podstawy występują tak często, że mają skrócony zapis.

nazwa	podstawa	zapis	gdzie występuje
dziesiętny	$10$	$\log x$ (bez indeksu)	skala Richtera, pH, decybele
naturalny	$e \approx 2{,}718$	$\ln x$	wzrost wykładniczy, analiza matematyczna

W polskiej szkole zapis $\log x$ bez indeksu oznacza logarytm dziesiętny. Warto o tym pamiętać, bo w części literatury zagranicznej i w językach programowania ten sam zapis bywa logarytmem naturalnym.

Materiał rozszerzony: zamiana podstawy

Ten wzór jest jedynym elementem tematu, który podstawa umieszcza w zakresie rozszerzonym. Do matury podstawowej nie jest potrzebny.

Pozwala policzyć logarytm o dowolnej podstawie za pomocą kalkulatora, który zna tylko $\log$ i $\ln$ .

\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}

Nowa podstawa $c$ może być dowolna — byle ta sama w liczniku i mianowniku. W praktyce bierze się $10$ albo $e$ .

Przykład: ile wynosi $\log_2 5$ ? Kalkulator nie ma takiego przycisku, ale ma $\log$ :

\log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2} \approx \frac{0{,}699}{0{,}301} \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}32}

Kontrola sensu jest tu tania i warto ją zrobić: $2^2 = 4$ , a $2^3 = 8$ , więc wykładnik dający $5$ musi leżeć między $2$ a $3$ — i rzeczywiście $2{,}32$ tam leży ✓

Zwróć uwagę, że $\log_2 5$ pojawia się tu jako wartość do oszacowania, ale w zadaniach bywa też odpowiedzią: równanie $2^x = 5$ ma dokładnie takie rozwiązanie i w tej postaci należy je zostawić. Jak rozwiązuje się równania i nierówności, w których niewiadoma stoi w wykładniku albo pod logarytmem, opisuję osobno.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: odczytanie z definicji, zwijanie wyrażenia i równanie logarytmiczne.

Przykład 1 Obliczanie wprost z definicji

Oblicz $\log_3 81$ , $\log_2 \frac{1}{16}$ oraz $\log_7 1$ .

Każdy logarytm tłumaczę na pytanie o wykładnik — to jedyna potrzebna metoda.
Pierwszy: do której potęgi podnieść $\textcolor{#16A06A}{3}$ , żeby wyszło $\textcolor{#16A06A}{81}$ ? Wypisuję: $3^1=3$ , $3^2=9$ , $3^3=27$ , $3^4=\textcolor{#16A06A}{81}$ .
Zatem $\log_3 81 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Drugi: szukam wykładnika dla $\textcolor{#16A06A}{\frac{1}{16}}$ . Skoro liczba jest mniejsza od jedynki, wykładnik musi być ujemny.
$2^4 = 16$ , więc $2^{-4} = \frac{1}{16}$ , czyli $\log_2 \frac{1}{16} = \textcolor{#2F80D8}{-4}$ .
Trzeci: $\log_7 1 = \textcolor{#8B5CF6}{0}$ , bo każda liczba do potęgi zerowej daje jeden.
Kontrola pierwszego: $3^{\textcolor{#E0453A}{4}} = 81$ ✓
Kontrola drugiego: $2^{\textcolor{#2F80D8}{-4}} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ ✓

Odpowiedź: $\log_3 81 = 4$ , $\log_2 \frac{1}{16} = -4$ , $\log_7 1 = 0$ .

Przy podstawie naturalnej i niedużych liczbach najszybciej jest wypisać kolejne potęgi i odczytać wynik. Metoda wygląda prymitywnie, ale na maturze bez kalkulatora bywa najpewniejsza.

Przykład 2 Zwijanie wyrażenia

Zapisz jako jeden logarytm: $\log_2 \textcolor{#16A06A}{12} + \log_2 \textcolor{#16A06A}{6} - \log_2 \textcolor{#16A06A}{9}$ , a następnie oblicz wartość.

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu.
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{12} + \log_2 \textcolor{#16A06A}{6} = \log_2 (\textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{6}) = \log_2 \textcolor{#2F80D8}{72}$
Różnica logarytmów to logarytm ilorazu.
$\log_2 \textcolor{#2F80D8}{72} - \log_2 \textcolor{#16A06A}{9} = \log_2 \frac{\textcolor{#2F80D8}{72}}{\textcolor{#16A06A}{9}} = \log_2 \textcolor{#E0453A}{8}$
Teraz z definicji: do której potęgi podnieść $2$ , żeby dostać $\textcolor{#E0453A}{8}$ ? Do trzeciej.
$\log_2 \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#8B5CF6}{3}$
Kontrola: $2^{\textcolor{#8B5CF6}{3}} = 8$ , a $\frac{12 \cdot 6}{9} = \frac{72}{9} = 8$ ✓
Kontrola warunku: wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę $2$ , więc wzory wolno było zastosować ✓

Odpowiedź: $\log_2 8 = 3$ .

Kluczowy warunek to jednakowa podstawa wszystkich logarytmów — bez niej żadnego z tych wzorów użyć nie wolno. Zwijanie zwykle opłaca się bardziej niż liczenie każdego składnika osobno, bo wewnątrz często skraca się do ładnej liczby.

Przykład 3 Proste równanie logarytmiczne

Rozwiąż równanie $\log_5 (2x - 3) = \textcolor{#16A06A}{2}$ .

Najpierw zaznaczam dziedzinę: liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc $2x - 3 > 0$ , czyli $x > \textcolor{#2F80D8}{1{,}5}$ .
Teraz tłumaczę równanie na postać z potęgą, korzystając z definicji.
$\log_5 (2x-3) = \textcolor{#16A06A}{2}$ oznacza dokładnie $5^{\textcolor{#16A06A}{2}} = 2x - 3$ .
$\textcolor{#E0453A}{25} = 2x - 3$
$2x = \textcolor{#E0453A}{25} + 3 = 28$ , więc $x = \textcolor{#8B5CF6}{14}$ .
Sprawdzam dziedzinę: $\textcolor{#8B5CF6}{14} > \textcolor{#2F80D8}{1{,}5}$ ✓ — rozwiązanie jest dopuszczalne.
Kontrola podstawieniem: $2 \cdot \textcolor{#8B5CF6}{14} - 3 = 25$ , a $\log_5 25 = 2$ , bo $5^2 = 25$ ✓

Odpowiedź: $x = 14$ .

Dziedzina nie jest formalnością — w wielu zadaniach właśnie ona odrzuca jedno z dwóch rozwiązań. Warto ją wypisać przed rozwiązywaniem, a nie po, bo wtedy łatwo o niej zapomnieć.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest odpowiednikiem pułapki znanej z potęg.

Rozbijanie logarytmu sumy

Skąd się bierze: Przez analogię do wzoru na iloczyn uczeń pisze $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ . Dla $\log_2(4+4)$ daje to $4$ zamiast $3$ — a taki wzór po prostu nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj granicę: wzory działają dla iloczynu, ilorazu i potęgi, nigdy dla sumy. Gdy w logarytmie stoi suma, spróbuj ją najpierw rozłożyć na czynniki — dopiero wtedy wzór zadziała.

Pomijanie dziedziny w równaniach

Skąd się bierze: Liczba logarytmowana musi być dodatnia, ale warunek nie jest widoczny w samym równaniu. Bez niego do odpowiedzi trafiają rozwiązania, dla których logarytm w ogóle nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Wypisz dziedzinę przed rozwiązywaniem, jako pierwszy krok, i porównaj z nią każdy otrzymany pierwiastek. Przy dwóch rozwiązaniach zwykle jedno odpada właśnie tutaj.

Mylenie $\log_a x^n$ z $(\log_a x)^n$

Skąd się bierze: Zapisy różnią się tylko nawiasem, a znaczą co innego. Wzór $\log_a x^n = n\log_a x$ dotyczy potęgi liczby logarytmowanej; dla kwadratu całego logarytmu żadnego uproszczenia nie ma.

Jak zrobić dobrze: Czytaj, co dokładnie jest podniesione do potęgi. Kontrola liczbowa: $\log_2 4^2 = \log_2 16 = 4$ , ale $(\log_2 4)^2 = 2^2 = 4$ — tu akurat zgodnie, więc sprawdź drugą parę: $\log_2 8^2 = 6$ , a $(\log_2 8)^2 = 9$ .

Stosowanie wzorów do logarytmów o różnych podstawach

Skąd się bierze: Wzory na sumę i różnicę wymagają jednakowej podstawy. Wyrażenia $\log_2 5 + \log_3 7$ nie da się zwinąć w jeden logarytm żadnym z nich.

Jak zrobić dobrze: Przed zwinięciem sprawdź indeksy przy wszystkich logarytmach. Jeśli się różnią, potrzebna jest najpierw zamiana podstawy — a to już materiał rozszerzony.

Zadania maturalne — jak obliczyć logarytm z definicji

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wszystko na tej stronie wynika z jednego zdania, czyli z definicji logarytmu:

\log_a b = c

znaczy dokładnie tyle, że

a^c = b

. Logarytm to pytanie o wykładnik: „do której potęgi podnieść podstawę, żeby dostać argument?”. Warto też zapamiętać dwie wartości, które wracają w co drugim zadaniu:

\log_a 1 = 0

oraz

\log_a a = 1

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy dokładnie 7 zadań, więc dostaniesz je wszystkie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2014)1 pktłatwe

Liczba

c = \log_3 2

. Wtedy

A. $c^3 = 2$
B. $3^c = 2$
C. $3^2 = c$
D. $c^2 = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

To zadanie sprawdza jedną jedyną rzecz: czy potrafisz przepisać logarytm na potęgę. Warto je zrobić jako pierwsze, bo cała reszta strony z niego wynika.
Definicja logarytmu. Zapis $\log_a b = c$ znaczy: $a^c = b$ . Trzy liczby układają się tak:
podstawa do potęgi wynik daje argument
Podstawiamy nasze liczby. Podstawa to $\textcolor{#16A06A}{3}$ , argument to $\textcolor{#16A06A}{2}$ , a wynikiem jest $\textcolor{#16A06A}{c}$ :
$\log_{\textcolor{#16A06A}{3}} \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{c} \quad \Longleftrightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{3}^{\,\textcolor{#16A06A}{c}} = \textcolor{#16A06A}{2}$
Odpowiedź: $3^c = 2$ , czyli B.
Kontrola sensu: $3^1 = 3$ to już za dużo, a $3^0 = 1$ to za mało — więc $c$ musi leżeć między 0 a 1. I faktycznie $\log_3 2 \approx 0{,}63$ .

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kolejność: podstawa zostaje podstawą potęgi, wynik logarytmu idzie w wykładnik, a argument zostaje po drugiej stronie równości. Podstawa nigdy nie zamienia się miejscami z wynikiem.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $c^3 = 2$ ), czyli zamiana podstawy z wynikiem. Łatwo to odsiać podstawieniem: gdyby $c^3 = 2$ , to $c = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ — a logarytm z liczby mniejszej od podstawy musi być mniejszy od 1.

Zadanie 2 (listopad 2009)1 pktłatwe

O liczbie

x

wiadomo, że

\log_3 x = 9

. Zatem

A. $x = 2$
B. $x = \dfrac{1}{2}$
C. $x = 3^9$
D. $x = 9^3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Znowu definicja — tylko tym razem szukamy argumentu, a nie wyniku.
Przepisujemy na potęgę. Podstawa $\textcolor{#16A06A}{3}$ , wynik $\textcolor{#16A06A}{9}$ , argument $x$ :
$\log_{\textcolor{#16A06A}{3}} x = \textcolor{#16A06A}{9} \quad \Longleftrightarrow \quad x = \textcolor{#16A06A}{3}^{\,\textcolor{#16A06A}{9}}$
Odpowiedź: $x = 3^9$ , czyli C.
Nie ma potrzeby tego liczyć — ale dla orientacji $3^9 = 19\,683$ , a $9^3 = 729$ . To zupełnie różne liczby, więc wybór między C i D naprawdę coś zmienia.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu logarytm jest znany, a szukamy argumentu, po prostu podnieś podstawę do potęgi równej wynikowi. Żadnych praw logarytmów tu nie trzeba.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $9^3$ ), czyli zamiana podstawy z wykładnikiem. Pomaga pytanie kontrolne: „do której potęgi podnieść trójkę?” — do dziewiątej. Więc trójka jest na dole, dziewiątka w wykładniku.

Zadanie 3 (marzec 2012)1 pktłatwe

Liczba

\log_3 \dfrac{1}{27}

jest równa

A. $-3$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — zapisujemy argument jako potęgę podstawy. Ułamek $\tfrac{1}{27}$ to odwrotność $27$ , a odwrotność oznacza wykładnik ujemny:
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{27}} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{\textcolor{#E0453A}{-3}}$
Krok 2 — czytamy wykładnik.
$\log_3 \textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{27}} = \log_3 3^{\textcolor{#E0453A}{-3}} = -3$
Odpowiedź: $-3$ , czyli A.
Kontrola: $3^{-3} = \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27}$ ✓.

💡 Wskazówka: Reguła, która oszczędza dużo czasu: argument mniejszy od 1 zawsze daje logarytm ujemny (przy podstawie większej od 1). Widząc ułamek w argumencie, od razu wiesz, że szukasz odpowiedzi ze znakiem minus — to odsiewa połowę opcji.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $-\tfrac13$ ), czyli przeniesienie ułamka z argumentu do wyniku. Ułamek $\tfrac{1}{27}$ nie oznacza wyniku „jedna trzecia z minusem” — oznacza wykładnik $-3$ , bo $27 = 3^3$ .

Zadanie 4 (maj 2020)1 pktśrednie

Liczba

\log_5 \sqrt{125}

jest równa

A. $\dfrac{2}{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $\dfrac{3}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem.
$\textcolor{#16A06A}{125} = 5^3$
Krok 2 — pierwiastek to potęga o wykładniku $\tfrac12$ , a potęgę potęgi mnożymy wykładnikami.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{125}} = \left(5^3\right)^{1/2} = 5^{\,3 \cdot \frac12} = 5^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 3 — czytamy wykładnik.
$\log_5 \textcolor{#16A06A}{\sqrt{125}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{2}}$
Odpowiedź: $\dfrac{3}{2}$ , czyli D.
Kontrola: $5^{3/2} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125}$ ✓. Można też oszacować: $\log_5 25 = 2$ , a $\sqrt{125} \approx 11{,}2$ leży między 5 i 25, więc wynik musi być między 1 i 2 — $\tfrac32$ pasuje.

💡 Wskazówka: Pierwiastek w argumencie połowi logarytm: $\log_a \sqrt{b} = \tfrac12 \log_a b$ . Tu $\log_5 125 = 3$ , więc od razu $\tfrac12 \cdot 3 = \tfrac32$ — bez zamiany na potęgi.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $\tfrac23$ ), czyli odwrócenie ułamka. Warto sprawdzić szacowaniem: $5^{2/3} \approx 2{,}9$ , a to nie jest $\sqrt{125} \approx 11{,}2$ . Drugi częsty błąd: odpowiedź C, czyli pominięcie pierwiastka.

Zadanie 5 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

4^x = 9

A. $\log 9 - \log 4$
B. $\dfrac{\log 2}{\log 3}$
C. $2\log_9 2$
D. $2\log_4 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — przepisujemy równanie wykładnicze na logarytm. Z definicji: skoro $\textcolor{#16A06A}{4}^x = \textcolor{#16A06A}{9}$ , to $x$ jest tym wykładnikiem, czyli:
$x = \log_{\textcolor{#16A06A}{4}} \textcolor{#16A06A}{9}$
Krok 2 — szukamy tej postaci wśród odpowiedzi. Żadna nie brzmi $\log_4 9$ , ale D ma podstawę 4 — więc doprowadźmy nasz wynik do jego postaci. Rozkładamy dziewiątkę:
$\textcolor{#16A06A}{9} = 3^2$
$x = \log_4 3^2 = \textcolor{#E0453A}{2\log_4 3}$
Odpowiedź: $2\log_4 3$ , czyli D.
Dlaczego pozostałe są złe. A: $\log 9 - \log 4 = \log \tfrac94$ — to logarytm dziesiętny z $2{,}25$ , czyli około $0{,}35$ , a szukany $x$ to około $1{,}58$ . B: $\tfrac{\log 2}{\log 3} = \log_3 2 \approx 0{,}63$ — odwrotna podstawa i odwrotny argument. C: $2\log_9 2 = \log_9 4$ — podstawa i argument zamienione miejscami.

💡 Wskazówka: Każde równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie $x = \log_a b$ — to jedyna treść tego zadania. Reszta to dopasowanie do postaci odpowiedzi. Jeśli nie widzisz swojej postaci na liście, spróbuj rozłożyć argument na potęgę i wyciągnąć wykładnik przed logarytm.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli mechaniczne „skoro dzielenie, to różnica logarytmów”. Wzór na zmianę podstawy brzmi $\log_4 9 = \tfrac{\log 9}{\log 4}$ — to iloraz logarytmów dziesiętnych, a nie ich różnica. Kreska ułamkowa nie jest minusem.

Zadanie 6 (maj 2015)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby

a = -\dfrac{1}{27}

b = \log_{\frac{1}{4}} 64

c = \log_{\frac{1}{3}} 27

. Iloczyn

abc

jest równy

A. $-9$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dwa logarytmy o podstawach mniejszych od jedynki — tam wykładniki wychodzą ujemne. Liczymy każdy osobno.
Liczba $b$ . Podstawa $\textcolor{#16A06A}{\tfrac14} = 2^{-2}$ , argument $\textcolor{#16A06A}{64} = 2^6$ . Iloraz wykładników:
$b = \dfrac{6}{-2} = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Kontrola: $\left(\tfrac14\right)^{-3} = 4^3 = 64$ ✓
Liczba $c$ . Podstawa $\textcolor{#16A06A}{\tfrac13} = 3^{-1}$ , argument $\textcolor{#16A06A}{27} = 3^3$ :
$c = \dfrac{3}{-1} = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Kontrola: $\left(\tfrac13\right)^{-3} = 3^3 = 27$ ✓
Iloczyn. Trzy czynniki, wszystkie ujemne — a iloczyn trzech liczb ujemnych jest ujemny:
$abc = \textcolor{#16A06A}{\left(-\tfrac{1}{27}\right)} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-3)} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-3)} = -\tfrac{1}{27} \cdot 9 = -\dfrac{9}{27} = -\dfrac{1}{3}$
Odpowiedź: $-\dfrac{1}{3}$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Przy podstawie ułamkowej wynik jest ujemny, gdy argument jest większy od jedynki — bo trzeba brać odwrotność. Zapisanie podstawy jako potęgi z minusem ( $\tfrac14 = 2^{-2}$ ) załatwia znak automatycznie, bez zgadywania.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $b = 3$ i $c = 3$ (zignorowanie ułamkowej podstawy), co daje $-\tfrac{1}{27} \cdot 9 = -\tfrac13$ — przypadkiem ten sam wynik. Tu błąd nie zostaje ukarany, ale w innym zadaniu już tak; warto liczyć znak świadomie, a nie z przypadku.

Zadanie 7 (sierpień 2015)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia

\log_5 0{,}04 - \dfrac{1}{2}\log_{25} 5 \cdot \log_{25} 1

jest równa

A. $-3$
B. $-2\dfrac{1}{4}$
C. $-2$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie wygląda groźnie, ale ma w środku pułapkę, która skraca całą drugą część do zera. Zacznijmy od niej.
Krok 1 — patrzymy na ostatni czynnik. Logarytm z jedynki jest zawsze zerem, niezależnie od podstawy:
$\log_{25} \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Krok 2 — cały drugi składnik to iloczyn, w którym jest zero. Mnożenie przez zero daje zero — nie trzeba liczyć $\log_{25} 5$ :
$\dfrac{1}{2}\log_{25} \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{0} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Krok 3 — zostaje pierwszy składnik. Zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły:
$\textcolor{#16A06A}{0{,}04} = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25} = 5^{\textcolor{#E0453A}{-2}}$
$\log_5 \textcolor{#16A06A}{0{,}04} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Krok 4 — składamy całość.
$\textcolor{#E0453A}{-2} - \textcolor{#E0453A}{0} = -2$
Odpowiedź: $-2$ , czyli C.

💡 Wskazówka: Zanim rzucisz się na rachunki, przejrzyj wyrażenie w poszukiwaniu $\log_a 1$ — jeśli stoi w iloczynie, zeruje cały składnik. Tu oszczędza to liczenia $\log_{25} 5 = \tfrac12$ , które jest zupełnie niepotrzebne.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie wyrażenia jako $\left(\log_5 0{,}04 - \tfrac12 \log_{25} 5\right) \cdot \log_{25} 1$ , czyli zignorowanie kolejności działań — wtedy wszystko mnoży się przez zero i wychodzi odpowiedź D. Mnożenie wiąże mocniej niż odejmowanie, więc zero zabiera tylko drugi składnik. Drugi częsty błąd: $\log_5 0{,}04 = -3$ (odpowiedź A) z pomylenia $\tfrac{1}{25}$ z $\tfrac{1}{125}$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. A	4. D	5. D	6. B
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — suma i różnica logarytmów

W rozwiązaniach kolor pokazuje, skąd się bierze każdy krok. Zielone jest to, co dane — liczby wprost z treści zadania. Czerwone jest to, co policzone po drodze: sklejony logarytm albo wyznaczona potęga. Sam wynik zostaje czarny. Dwa prawa, na których stoi cała ta strona:

\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)

oraz

\log_a x - \log_a y = \log_a \tfrac{x}{y}

— obowiązują tylko przy tej samej podstawie.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 15 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktłatwe

Liczba

\log_3 2 - \log_3 18

jest równa

A. $(-2)$
B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — sklejamy różnicę w jeden logarytm. Podstawy są takie same (obie równe 3), więc różnicę zamieniamy na logarytm ilorazu:
$\log_3 \textcolor{#16A06A}{2} - \log_3 \textcolor{#16A06A}{18} = \log_3 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{18}} = \log_3 \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{9}}$
Krok 2 — liczymy logarytm. Pytamy: do której potęgi podnieść 3, żeby dostać $\tfrac19$ ?
$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{9}}$ , więc $\log_3 \textcolor{#E0453A}{\tfrac19} = -2$
Odpowiedź: $(-2)$ , czyli A.

💡 Wskazówka: Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź, czy oba logarytmy mają tę samą podstawę. Tu obie są równe 3, więc wolno je skleić. Gdyby podstawy się różniły, tego kroku zrobić nie można.

⚠ Najczęstszy błąd: dzielenie logarytmów zamiast odejmowania — czyli policzenie $\tfrac{\log_3 2}{\log_3 18}$ . Różnica logarytmów to logarytm ilorazu liczb, a nie iloraz logarytmów.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Iloczyn $2 \cdot \log_3 5$ jest równy $\log_3 25$ .	P	F
Suma $2 + \log_3 5$ jest równa $\log_3 10$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Liczba stojąca przed logarytmem wchodzi do środka jako wykładnik:
$\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \log_3 \textcolor{#16A06A}{5} = \log_3 \textcolor{#16A06A}{5}^{\textcolor{#16A06A}{2}} = \log_3 \textcolor{#E0453A}{25}$ ✓ P
Zdanie 2 — tu jest pułapka. Dwójka nie stoi przed logarytmem, tylko jest osobnym składnikiem. Żeby ją wciągnąć pod logarytm, trzeba ją najpierw zapisać jako logarytm o tej samej podstawie:
$\textcolor{#16A06A}{2} = \log_3 \textcolor{#E0453A}{9}$ , bo $3^2 = 9$
Dopiero teraz wolno skleić sumę:
$\textcolor{#16A06A}{2} + \log_3 \textcolor{#16A06A}{5} = \log_3 \textcolor{#E0453A}{9} + \log_3 \textcolor{#16A06A}{5} = \log_3(\textcolor{#E0453A}{9} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}) = \log_3 \textcolor{#E0453A}{45}$
A $\log_3 45 \neq \log_3 10$ ✗ F
Odpowiedź: P, F.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na różnicę między dwoma zdaniami: w pierwszym dwójka mnoży logarytm, w drugim jest do niego dodana. Mnożnik przed logarytmem wchodzi jako wykładnik, a składnik trzeba wcześniej przerobić na logarytm.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie drugiego zdania jak pierwszego i dopisanie dwójki do argumentu ( $2 + \log_3 5 = \log_3 7$ ) albo pomnożenie ( $\log_3 10$ , bo $2 \cdot 5 = 10$ ). Ani jedno, ani drugie nie wynika z żadnego prawa logarytmów.

Zadanie 3 (czerwiec 2024 i czerwiec 2016)1 pktłatwe

Liczba

\log_3\left(\dfrac{3}{2}\right) + \log_3\left(\dfrac{2}{9}\right)

jest równa

A. $\log_3 \dfrac{31}{18}$
B. $\log_3 \dfrac{5}{11}$
C. $(-1)$
D. $\dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — suma logarytmów to logarytm iloczynu. Podstawy takie same, więc:
$\log_3 \textcolor{#16A06A}{\tfrac32} + \log_3 \textcolor{#16A06A}{\tfrac29} = \log_3\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac32} \cdot \textcolor{#16A06A}{\tfrac29}\right)$
Krok 2 — mnożymy ułamki. Trójka skraca się z dziewiątką, dwójka z dwójką:
$\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{18} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}}$
Krok 3 — liczymy logarytm.
$3^{-1} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$ , więc $\log_3 \textcolor{#E0453A}{\tfrac13} = -1$
Odpowiedź: $(-1)$ , czyli C.
To zadanie CKE dala dwa razy: w czerwcu 2016 (zad. 6) i ponownie w czerwcu 2024 (zad. 2) — z tymi samymi liczbami i tymi samymi dystraktorami.

💡 Wskazówka: Odpowiedź A to suma ułamków ( $\tfrac32 + \tfrac29 = \tfrac{31}{18}$ ), a odpowiedź B to dodanie liczników i mianowników osobno. Obie liczą sumę zamiast iloczynu — same podpowiadają, jaki błąd tu na ucznia czyha. Argumenty mnożymy, bo to suma logarytmów.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie argumentów zamiast pomnożenia, czyli wybór odpowiedzi A. Drugi częsty błąd: zatrzymanie się na $\log_3 \tfrac13$ i nieprzeliczenie tego do liczby — a wśród odpowiedzi jest już gotowa liczba.

Zadanie 4 (grudzień 2023)1 pktłatwe

Liczba

\log_2 96 - \log_2 3

jest równa

A. $\log_2 93$
B. $\log_2 30$
C. $4$
D. $5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — różnica logarytmów to logarytm ilorazu.
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{96} - \log_2 \textcolor{#16A06A}{3} = \log_2 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{96}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \log_2 \textcolor{#E0453A}{32}$
Krok 2 — liczymy logarytm. Rozkładamy 32 na potęgę dwójki:
$\textcolor{#E0453A}{32} = 2^5$ , więc $\log_2 \textcolor{#E0453A}{32} = 5$
Odpowiedź: $5$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Liczby w takich zadaniach są dobrane tak, żeby iloraz wyszedł „okrągłą” potęgą podstawy. Jeśli po podzieleniu nie wychodzi potęga dwójki, poszukaj błędu rachunkowego — a nie egzotycznej metody.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie argumentów, czyli $\log_2(96-3) = \log_2 93$ — odpowiedź A czeka dokładnie na ten błąd. Różnica logarytmów daje iloraz argumentów, nie ich różnicę.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Liczba

\log_2 \dfrac{1}{8} + \log_2 4

jest równa

A. $(-1)$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $2$
D. $5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tu najszybciej policzyć każdy logarytm osobno — oba są „okrągłe”.
Krok 1 — pierwszy logarytm. $\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$ , więc:
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{\tfrac18} = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Krok 2 — drugi logarytm. $\textcolor{#16A06A}{4} = 2^2$ , więc:
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Krok 3 — dodajemy.
$\textcolor{#E0453A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{2} = -1$
Odpowiedź: $(-1)$ , czyli A.
Kontrola drugą drogą: $\log_2\left(\tfrac18 \cdot 4\right) = \log_2 \tfrac12 = -1$ ✓ — ta sama liczba.

💡 Wskazówka: Gdy oba logarytmy są „okrągłe”, licz je osobno — będzie szybciej niż sklejanie w jeden. Prawo o sumie logarytmów przydaje się wtedy, gdy pojedyncze logarytmy nie dają się policzyć.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że $\log_2 \tfrac18$ jest równy $3$ albo $\tfrac13$ . Ułamek w argumencie daje wykładnik ujemny — bo żeby z dwójki zrobić liczbę mniejszą od 1, trzeba ją podnieść do potęgi ujemnej.

Zadanie 6 (maj 2023)1 pktłatwe

Liczba

\log_9 27 + \log_9 3

jest równa

A. $81$
B. $9$
C. $4$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — sklejamy sumę. Podstawa w obu logarytmach to 9:
$\log_9 \textcolor{#16A06A}{27} + \log_9 \textcolor{#16A06A}{3} = \log_9(\textcolor{#16A06A}{27} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}) = \log_9 \textcolor{#E0453A}{81}$
Krok 2 — liczymy logarytm. Do której potęgi podnieść 9, żeby dostać 81?
$9^2 = \textcolor{#E0453A}{81}$ , więc $\log_9 \textcolor{#E0453A}{81} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli D.
Warto zauważyć: pojedynczo żaden z tych logarytmów nie jest „okrągły” ( $\log_9 27 = \tfrac32$ , $\log_9 3 = \tfrac12$ ) — dlatego tutaj sklejanie sumy naprawdę pomaga.

💡 Wskazówka: To zadanie odwrotne do poprzedniego: tu pojedyncze logarytmy wychodzą połówkowe, więc opłaca się najpierw skleić sumę, a policzyć dopiero na końcu.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na liczbie $81$ z argumentu i wybranie odpowiedzi A. $81$ to argument sklejonego logarytmu, a nie jego wartość — trzeba jeszcze zapytać, którą potęgą dziewiątki jest 81.

Zadanie 7 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia

\log_7 98 - \log_7 2

jest równa

A. $7$
B. $2$
C. $1$
D. $(-1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — logarytm ilorazu.
$\log_7 \textcolor{#16A06A}{98} - \log_7 \textcolor{#16A06A}{2} = \log_7 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{98}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \log_7 \textcolor{#E0453A}{49}$
Krok 2 — liczymy logarytm.
$\textcolor{#E0453A}{49} = 7^2$ , więc $\log_7 \textcolor{#E0453A}{49} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Jeśli w zadaniu z logarytmem o podstawie 7 widzisz liczbę 98, prawie na pewno chodzi o rozkład $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$ . Duże liczby w treści są zawsze tak dobrane, żeby dzieliły się „na czysto”.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi A ( $7$ ), czyli pomylenie podstawy logarytmu z jego wartością. Wynik logarytmu to wykładnik, a nie podstawa.

Zadanie 8 (sierpień 2022)1 pktłatwe

Liczba

\log_2 32 - \log_2 8

jest równa

A. $2$
B. $14$
C. $16$
D. $24$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tu oba logarytmy są „okrągłe”, więc najprościej policzyć je osobno.
Krok 1. $\textcolor{#16A06A}{32} = 2^5$ , więc $\log_2 \textcolor{#16A06A}{32} = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Krok 2. $\textcolor{#16A06A}{8} = 2^3$ , więc $\log_2 \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Krok 3 — odejmujemy.
$\textcolor{#E0453A}{5} - \textcolor{#E0453A}{3} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli A.
Kontrola drugą drogą: $\log_2 \tfrac{32}{8} = \log_2 4 = 2$ ✓.

💡 Wskazówka: Odpowiedź D ( $24$ ) to działanie na argumentach: $32-8$ . Jeśli Twój wynik jest dużą liczbą, to znak, że gdzieś zapomniałeś policzyć logarytm.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie argumentów i podanie $24$ (odpowiedź D). To pomylenie dwóch rzeczy: $\log_2 32 - \log_2 8$ nie jest tym samym co $32 - 8$ .

Zadanie 9 (sierpień 2018)1 pktłatwe

Liczba

\log_4 96 - \log_4 6

jest równa

A. $\log_4 90$
B. $\log_6 96$
C. $4$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — logarytm ilorazu.
$\log_4 \textcolor{#16A06A}{96} - \log_4 \textcolor{#16A06A}{6} = \log_4 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{96}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \log_4 \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok 2 — liczymy logarytm.
$\textcolor{#E0453A}{16} = 4^2$ , więc $\log_4 \textcolor{#E0453A}{16} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Zauważ, że odpowiedź C to $4$ — czyli podstawa logarytmu. Taki dystraktor pojawia się w tych zadaniach nagminnie: sprawdź, czy nie podajesz przypadkiem podstawy zamiast wykładnika.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B, czyli przeniesienie szóstki z argumentu do podstawy. Odejmowanie logarytmów nie rusza podstawy — ona zostaje ta sama, zmienia się tylko argument.

Zadanie 10 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Liczba

\log 4 + \log 5 - \log 2

jest równa

A. $10$
B. $2$
C. $1$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zapis $\log x$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10} x$ . Wszystkie trzy mają tę samą podstawę, więc wolno je skleić w jeden.
Krok 1 — dodawanie daje mnożenie, odejmowanie daje dzielenie.
$\log \textcolor{#16A06A}{4} + \log \textcolor{#16A06A}{5} - \log \textcolor{#16A06A}{2} = \log \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{2}}$
Krok 2 — liczymy argument.
$\dfrac{4 \cdot 5}{2} = \dfrac{20}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}$
Krok 3 — logarytm dziesiętny z dziesiątki.
$\log \textcolor{#E0453A}{10} = \log_{10} 10 = 1$ , bo $10^1 = 10$
Odpowiedź: $1$ , czyli C.

💡 Wskazówka: Kolejność nie ma znaczenia — możesz najpierw pomnożyć, potem podzielić, albo odwrotnie. Ważne tylko, żeby składniki z plusem trafiły do licznika, a z minusem do mianownika.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi A ( $10$ ). To wartość argumentu sklejonego logarytmu, a nie wartość samego logarytmu — brakuje ostatniego kroku.

Zadanie 11 (listopad 2010)1 pktłatwe

Liczba

\log_5 5 - \log_5 125

jest równa

A. $(-2)$
B. $(-1)$
C. $\dfrac{1}{25}$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — oba logarytmy są „okrągłe”. Liczymy osobno:
$\log_5 \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{1}$ , bo $5^1 = 5$
$\log_5 \textcolor{#16A06A}{125} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , bo $5^3 = 125$
Krok 2 — odejmujemy.
$\textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{3} = -2$
Odpowiedź: $(-2)$ , czyli A.
Kontrola drugą drogą: $\log_5 \tfrac{5}{125} = \log_5 \tfrac{1}{25} = -2$ ✓ — i tu widać, na co czeka odpowiedź C: to argument $\tfrac1{25}$ , nie wynik.

💡 Wskazówka: Wynik ujemny nie jest niczym dziwnym: odejmujemy od mniejszego logarytmu większy. Logarytm może być dowolną liczbą rzeczywistą — ograniczony jest tylko argument, który musi być dodatni.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $\tfrac{1}{25}$ (odpowiedź C) — czyli zatrzymanie się na argumencie po sklejeniu różnicy. Drugi częsty błąd: przyjęcie, że $\log_5 5 = 0$ ; jedynka byłaby prawdziwa dla $\log_5 1$ .

Zadanie 12 (maj 2010)1 pktłatwe

Liczba

\log_4 8 + \log_4 2

jest równa

A. $1$
B. $2$
C. $\log_4 6$
D. $\log_4 10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — sklejamy sumę w logarytm iloczynu.
$\log_4 \textcolor{#16A06A}{8} + \log_4 \textcolor{#16A06A}{2} = \log_4(\textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}) = \log_4 \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok 2 — liczymy logarytm.
$\textcolor{#E0453A}{16} = 4^2$ , więc $\log_4 \textcolor{#E0453A}{16} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli B.
Tu też pojedyncze logarytmy nie są całkowite ( $\log_4 8 = \tfrac32$ , $\log_4 2 = \tfrac12$ ), więc sklejenie sumy jest najkrótszą drogą — a suma $\tfrac32 + \tfrac12 = 2$ potwierdza wynik.

💡 Wskazówka: Odpowiedzi C i D pokazują dwa typowe potknięcia: $\log_4 6$ to odjęcie argumentów, $\log_4 10$ to ich dodanie. Argumenty przy sumie logarytmów mnożymy.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli $\log_4(8+2)$ zamiast $\log_4(8 \cdot 2)$ . Warto zapamiętać kierunek: logarytm obniża działanie o poziom — mnożenie argumentów staje się dodawaniem logarytmów, nie odwrotnie.

Zadanie 13 (sierpień 2013)1 pktłatwe

Liczba

\log_2 100 - \log_2 50

jest równa

A. $\log_2 50$
B. $1$
C. $2$
D. $\log_2 5000$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pojedynczo żaden z tych logarytmów nie jest „okrągły” — $100$ i $50$ nie są potęgami dwójki. Ale ich iloraz już jest.
Krok 1 — logarytm ilorazu.
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{100} - \log_2 \textcolor{#16A06A}{50} = \log_2 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{100}}{\textcolor{#16A06A}{50}} = \log_2 \textcolor{#E0453A}{2}$
Krok 2 — liczymy logarytm.
$\log_2 \textcolor{#E0453A}{2} = 1$ , bo $2^1 = 2$
Odpowiedź: $1$ , czyli B.

💡 Wskazówka: To wzorcowy przykład na to, po co jest prawo o różnicy logarytmów: osobno nie policzysz ani $\log_2 100$ , ani $\log_2 50$ (obie są liczbami niewymiernymi), a ich różnica wychodzi równa dokładnie 1.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli pomnożenie argumentów ( $100 \cdot 50 = 5000$ ). Mnożenie argumentów odpowiada sumie logarytmów; przy różnicy argumenty się dzielą.

Zadanie 14 (czerwiec 2013)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia

\log_2 20 - \log_2 5

jest równa

A. $\log_2 15$
B. $2$
C. $4$
D. $\log_2 25$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — logarytm ilorazu.
$\log_2 \textcolor{#16A06A}{20} - \log_2 \textcolor{#16A06A}{5} = \log_2 \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{\textcolor{#16A06A}{5}} = \log_2 \textcolor{#E0453A}{4}$
Krok 2 — liczymy logarytm.
$\textcolor{#E0453A}{4} = 2^2$ , więc $\log_2 \textcolor{#E0453A}{4} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Odpowiedzi A i D pokazują dwa najczęstsze potknięcia naraz: A to odjęcie argumentów ( $20-5$ ), D to ich dodanie ( $20+5$ ). Ani jedno, ani drugie — argumenty przy różnicy logarytmów dzielimy.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi C ( $4$ ). To argument sklejonego logarytmu, a nie jego wartość — zabrakło ostatniego kroku: $\log_2 4 = 2$ , nie $4$ .

Zadanie 15 (czerwiec 2017)1 pktłatwe

Liczba

\log_3 27 - \log_3 1

jest równa

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Całe zadanie stoi na jednej rzeczy, o której łatwo zapomnieć: logarytm z jedynki jest zawsze zerem, niezależnie od podstawy.
Krok 1 — pierwszy logarytm. $\textcolor{#16A06A}{27} = 3^3$ , więc:
$\log_3 \textcolor{#16A06A}{27} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Krok 2 — drugi logarytm. Do której potęgi podnieść 3, żeby dostać 1? Do zerowej, bo $3^0 = 1$ :
$\log_3 \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Krok 3 — odejmujemy.
$\textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#E0453A}{0} = 3$
Odpowiedź: $3$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie wartości, które wracają w co drugim zadaniu z logarytmów: $\log_a 1 = 0$ oraz $\log_a a = 1$ . Pierwsza z nich odejmuje zero — czyli nic nie zmienia.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $\log_3 1 = 1$ , i podanie wyniku $2$ (odpowiedź C). Jedynka w argumencie daje zero, a jedynkę w wyniku daje dopiero argument równy podstawie.

Zadanie 16 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Różnica

\log_3 9 - \log_3 1

jest równa

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1. $\textcolor{#16A06A}{9} = 3^2$ , więc $\log_3 \textcolor{#16A06A}{9} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Krok 2. $\log_3 \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}$ , bo $3^0 = 1$ .
Krok 3 — odejmujemy.
$\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{0} = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli C.
To zadanie i poprzednie różnią się tylko jedną liczbą w argumencie ( $9$ zamiast $27$ ) — CKE lubi wracać do tego samego schematu, więc warto go mieć w palcach.

💡 Wskazówka: Odejmowanie $\log_3 1$ to odejmowanie zera — można je pominąć od razu i policzyć sam $\log_3 9$ . Zadanie sprawdza wyłącznie to, czy wiesz, ile wynosi logarytm z jedynki.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór odpowiedzi B ( $1$ ) po uznaniu, że $\log_3 9 = 2$ , ale $\log_3 1 = 1$ zamiast zera. Logarytm z jedynki jest zerem: $3^0 = 1$ , więc wynik to $2$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. P, F	3. C	4. D	5. A	6. D
7. B	8. A	9. D	10. C	11. A	12. B
13. B	14. B	15. D	16. C

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz przećwiczyć logarytmy jak na lekcji albo przed maturą, w sklepie są gotowe arkusze PDF z kluczami:

Płatny materiał · sklep

Sprawdzian: logarytmy

Logarytm z definicji, suma i różnica logarytmów, współczynnik jako wykładnik. Arkusze, zadania do zeszytu, klucze.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Kartkówka: logarytmy

Definicja logarytmu, logarytm dziesiętny, logarytm iloczynu i ilorazu. Krótka forma na lekcję albo powtórkę w domu.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Matura z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami

Pięć autorskich arkuszy po 50 punktów, z odpowiedziami, rozwiązaniami i punktowaniem. Część 1.

29,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest logarytm?

To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Zapis $\log_a x = y$ znaczy dokładnie to samo co $a^y = x$ . Na przykład $\log_2 8 = 3$ , bo $2^3 = 8$ .

Czym różni się logarytmowanie od pierwiastkowania?

Oba są działaniami odwrotnymi do potęgowania, ale szukają czego innego. Pierwiastkowanie szuka podstawy, a logarytmowanie wykładnika. W równaniu $2^3 = 8$ pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu daje dwójkę, a logarytm o podstawie dwa z ośmiu daje trójkę.

Jakie są wzory na logarytmy?

Trzy podstawowe: logarytm iloczynu to suma logarytmów, logarytm ilorazu to ich różnica, a logarytm potęgi to wykładnik pomnożony przez logarytm. Wszystkie wynikają wprost z praw potęg i wymagają jednakowej podstawy.

Dlaczego

\log_a(x+y)

nie równa się

\log_a x + \log_a y

Bo wzór dotyczy iloczynu, a nie sumy — logarytmowanie rozdziela się względem mnożenia, nigdy względem dodawania. Kontrprzykład: $\log_2(4+4) = \log_2 8 = 3$ , natomiast $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ .

Dlaczego liczba logarytmowana musi być dodatnia?

Bo potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc nie istnieje wykładnik dający wynik ujemny lub zero. Z tego samego powodu podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki.

Co oznacza

\log

bez indeksu?

W polskiej szkole logarytm dziesiętny, czyli o podstawie $10$ . Logarytm naturalny, o podstawie $e \approx 2{,}718$ , zapisuje się jako $\ln$ . Warto uważać, bo w literaturze zagranicznej i w programowaniu $\log$ bywa logarytmem naturalnym.

Czytaj dalej

PotęgiPrawa potęg, z których wychodzą wszystkie wzory na logarytmy PierwiastkowanieDrugie działanie odwrotne — szuka podstawy, nie wykładnika Wzory skróconego mnożeniaTa sama pułapka w innym miejscu: (a+b)² ≠ a²+b² Liczby rzeczywisteDział podstawy, do którego logarytmy formalnie należą Wyrażenia algebraicznePrzekształcanie wyrażeń i kontrola przez podstawienie Równania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczneRównania i nierówności, w których niewiadoma stoi w wykładniku albo pod…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.