Geometria płaska — kąty, trójkąty, podobieństwo — sprawdzian, kartkówki i test (1 liceum)

$2+3+7=12$ części, jedna część to $180^\circ:12=15^\circ$, największy kąt $7\cdot15^\circ=105^\circ$. ($30^\circ$ — najmniejszy kąt; $45^\circ$ — środkowy.)

Kąty przy podstawie są równe: $180^\circ-2\cdot52^\circ=76^\circ$. ($128^\circ=180^\circ-52^\circ$ — odjęty tylko jeden kąt przy podstawie; $104^\circ$ — suma kątów przy podstawie.)

Z nierówności trójkąta $12-5<c<12+5$, czyli $7<c<17$ — pasuje tylko $10$. (Dla $7$ i $17$ zachodzi równość, a nierówność trójkąta musi być ostra — trójkąt „spłaszcza się" w odcinek.)

$c^{2}=20^{2}+21^{2}=400+441=841$, $c=29$. ($41=20+21$ — dodane długości; $\displaystyle \sqrt{41}=\sqrt{441-400}$ — odjęte kwadraty; $841$ — bez pierwiastka.)

Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-64^\circ=116^\circ$. ($26^\circ=90^\circ-64^\circ$; $296^\circ=360^\circ-64^\circ$; $128^\circ=2\cdot64^\circ$.)

$\displaystyle h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{14\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$ (albo z Pitagorasa: $h^{2}=14^{2}-7^{2}=147$). ($\displaystyle 49\sqrt{3}=\frac{14^{2}\sqrt{3}}{4}$ — to pole, nie wysokość; $\displaystyle 14\sqrt{3}$ — bez dzielenia przez $2$.)

Kąt zewnętrzny jest sumą dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych: $115^\circ=38^\circ+|\angle B|$, więc $|\angle B|=77^\circ$. ($65^\circ$ — kąt wewnętrzny przy $C$.)

Skala podobieństwa $\displaystyle k=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$, pola zmieniają się w skali $\displaystyle k^{2}=\frac{25}{4}$: $\displaystyle 12\cdot\frac{25}{4}=75$. ($\displaystyle 30=12\cdot\frac{5}{2}$ — pole pomnożone przez $k$, nie $k^{2}$; $27=12+15$ — dodana różnica obwodów.)

Z twierdzenia Talesa $\displaystyle \frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|OC|}{|OD|}$: $\displaystyle \frac{6}{9}=\frac{8}{|OD|}$, $|OD|=12$. ($11=8+3$ — dodana różnica zamiast proporcji; $4=|CD|$.)

Trójkąty $DEC$ i $ABC$ są podobne: $\displaystyle \frac{|AB|}{|DE|}=\frac{|CA|}{|CD|}=\frac{12}{3}=4$, $|AB|=8$. ($\displaystyle 6=2\cdot\frac{9}{3}$ — wzięte $|DA|$ zamiast $|CA|$.)