Wyznaczanie wartości najmniejszej i największej funkcji

Prosta \(AB\) ma równanie \(y=-2x+4\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((-\infty,0)\), badając znak jej pochodnej. Znaleziona wartość \(a\) to współczynnik kierunkowy szukanej prostej, a prosta przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\). **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-\left(-a^{2}+4a-4\right)\cdot 2}{(2a)^{2}}=\frac{-4a^{2}+8a+2a^{2}-8a+8}{4a^{2}}=\frac{-2a^{2}+8}{4a^{2}}=\frac{4-a^{2}}{2a^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(a)=0\iff 4-a^{2}=0\iff a=-2\ \text{lub}\ a=2.\] Wartość \(a=2\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny \((-\infty,0)\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej na \((-\infty,0)\). Dla \(a\lt -2\) mamy \(a^{2}\gt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\lt 0\); dla \(-2\lt a\lt 0\) mamy \(a^{2}\lt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\gt 0\). **Krok \(5\).** Zatem \(P\) maleje na \((-\infty,-2\rangle\) i rośnie na \(\langle -2,0)\), a więc dla \(a=-2\) osiąga wartość najmniejszą: \[P(-2)=\frac{-4-8-4}{-4}=4.\] Najmniejsze pole trójkąta jest równe \(4\). **Krok \(6\).** Prosta zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\): \[y=-2(x-1)+2,\qquad\text{czyli}\qquad y=-2x+4.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: taka prosta przecina osie w punktach \(A=(2,0)\) i \(B=(0,4)\), więc pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\) — zgadza się z krokiem \(5\). **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej samo w sobie nie dowodzi, że mamy minimum. Dopiero zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni w punkcie \(a=-2\) pozwala tak wnioskować. **Odpowiedź.** Najmniejsze pole ma trójkąt, którego przeciwprostokątna leży na prostej \(y=-2x+4\) (pole to jest równe \(4\)).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-(-a^{2}+4a-4)\cdot 2}{(2a)^{2}}\) ALBO zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(a=-2\) ALBO obliczenie wartości \(a\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(a=-2\), ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\) są równe. **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. \(y=-2x+4\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) oraz \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\), za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) lub \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\) oraz za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji, LUB – wyznaczy drugą pochodną funkcji \(P\) i dla wyznaczonej wartości \(a\) obliczy wartość tej drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej \(AB\), dla której pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze). 5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \(\displaystyle P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: korzystamy z dwóch faktów o trójkącie opisanym na okręgu — ze wzoru \(P=r\cdot p\) (gdzie \(p\) to połowa obwodu) oraz z twierdzenia Pitagorasa dla połowy trójkąta równoramiennego. Promień koła fontanny wynosi \(r=2\) (średnica ma \(4\) metry). **Krok \(2\).** Oznaczmy: \(x\) — długość podstawy, \(b\) — długość ramienia, \(h\) — wysokość opuszczona na podstawę. Połowa obwodu jest równa \(p=\frac{2b+x}{2}=b+\frac{x}{2}\). **Krok \(3\).** Pole zapisujemy na dwa sposoby: \[\frac{1}{2}xh=r\cdot p=2\left(b+\frac{x}{2}\right)=2b+x,\] skąd \[b=\frac{xh-2x}{4}=\frac{x(h-2)}{4}.\] **Krok \(4\).** Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa \[b^{2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b\) z kroku \(3\): \[\frac{x^{2}(h-2)^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2},\qquad x^{2}\left(h^{2}-4h+4\right)=4x^{2}+16h^{2},\] \[x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}.\] **Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(h\gt 0\) i wyznaczamy \(h\): \[x^{2}h-4x^{2}=16h,\qquad h\left(x^{2}-16\right)=4x^{2},\qquad h=\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}.\] (Dla istnienia takiego trójkąta konieczne jest \(x\gt 4\), czyli \(x^{2}-16\gt 0\).) **Krok \(7\).** Obliczamy pole: \[P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x\cdot\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\] To należało wykazać. **Krok \(8\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\). **Krok \(9\).** Różniczkujemy: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(10\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\), czyli \(x=0\) lub \(x=\pm 4\sqrt3\). W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje tylko \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(11\).** Badamy znak pochodnej: dla \(x\in\left(4,4\sqrt3\right)\) jest \(x^{2}\lt 48\), więc \(P^{\prime}(x)\lt 0\); dla \(x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\) jest \(P^{\prime}(x)\gt 0\). Funkcja \(P\) maleje na \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc dla \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(12\).** Obliczamy to pole. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Znaleziona podstawa \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w narzuconym w zadaniu ograniczeniu \(x\leqslant 10\) — gdyby minimum wypadło poza tym przedziałem, trzeba by porównać wartości na jego krańcach. **Odpowiedź.** **a)** \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**Część a)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie związku między \(h\) i \(x\) oraz jedną z wielkości: długością \(b\) ramienia, lub długością odcinka \(CE\), lub długością odcinka \(CS\), np.: \(b^{2}=\left(\frac{1}{2}x\right)^{2}+h^{2}\), \(\frac{r}{h-r}=\frac{\frac{1}{2}x}{b}\), \(\frac{1}{2}xh=r\cdot\left(\frac{1}{2}x+b\right)\), ALBO zapisanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{r}{\frac{1}{2}x}\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie związku \(P=\left(b+\frac{x}{2}\right)\cdot r\) lub \(P=\sqrt{\left(b+\frac{1}{2}x\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-b\right)\left(b+\frac{1}{2}x-x\right)}\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie związków \(P=\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\beta)\) oraz \(\sin\beta=\frac{r}{h-r}\), ALBO zapisanie długości boków trójkąta \(ADC\) (lub trójkąta \(CES\)) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV), ALBO zapisanie długości przyprostokątnych trójkątów \(ADC\) oraz \(CES\) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV). **2 pkt** – spełnienie kryterium zapisanego w pierwszym myślniku w kategorii za 1 punkt oraz zapisanie układu co najwyżej trzech równań niezależnych, umożliwiającego wyznaczenie \(h\) w zależności od \(x\) ALBO wyznaczenie \(\operatorname{tg}(2\alpha)\) w zależności od \(x\), np. \(\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{4rx}{x^{2}-4r^{2}}\) (dla sposobu II), ALBO wyznaczenie zależności między \(P\) oraz \(x\), np. \(P^{2}=\frac../../{r}\cdot\left(\frac../../{r}-x\right)\cdot\frac{1}{4}x^{2}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. Uwaga: Kategorie za 1 punkt oraz za 2 punkty oceniamy w sytuacji, gdy zdający posługuje się symbolem \(r\) albo przyjmie \(r=2\) lub \(r=4\). Natomiast jeżeli zdający przyjmie promień inny niż \(2\) lub \(4\), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. **Część b)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P(4\sqrt{3})=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 2. b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}\) lub \(\frac{B(x)}{(x^{2}-16)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Minimum występuje dla \(x=4\sqrt{3}\,\mathrm{m}\), a najmniejsze pole jest równe \(12\sqrt{3}\,\mathrm{m}^{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((4,10\rangle\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\), korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(x)=\frac{6x^{2}\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{6x^{4}-96x^{2}-4x^{4}}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}=\frac{2x^{2}\left(x^{2}-48\right)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc \[P^{\prime}(x)=0\iff 2x^{2}\left(x^{2}-48\right)=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=-4\sqrt3\ \text{lub}\ x=4\sqrt3.\] W przedziale \((4,10\rangle\) zostaje jedynie \(x=4\sqrt3\approx 6{,}93\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Ponieważ \(2x^{2}\gt 0\) i mianownik jest dodatni, znak \(P^{\prime}(x)\) jest znakiem wyrażenia \(x^{2}-48\): \[x\in\left(4,4\sqrt3\right)\Rightarrow P^{\prime}(x)\lt 0,\qquad x\in\left(4\sqrt3,10\right\rangle\Rightarrow P^{\prime}(x)\gt 0.\] **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(P\) maleje w przedziale \(\left(4,4\sqrt3\right\rangle\) i rośnie w przedziale \(\left\langle 4\sqrt3,10\right\rangle\), więc w punkcie \(x=4\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(4\sqrt3\right)^{3}=64\cdot 3\sqrt3=192\sqrt3\) oraz \(\left(4\sqrt3\right)^{2}-16=48-16=32\), więc \[P\left(4\sqrt3\right)=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{32}=12\sqrt3.\] **Uwaga.** Wynik \(4\sqrt3\approx 6{,}93\) mieści się w dozwolonym przedziale \((4,10\rangle\), więc jest to rzeczywiście wartość najmniejsza w całej dziedzinie, a nie tylko lokalne minimum poza zakresem projektu. **Odpowiedź.** Pole kwietnika jest najmniejsze dla podstawy \(x=4\sqrt3\) metrów i wynosi wtedy \(12\sqrt3\ \mathrm{m}^{2}\).

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\) (m), oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: \(P\left(4\sqrt{3}\right)=12\sqrt{3}\) (m\(^{2}\)). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=4\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(x=4\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(x)=\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(2x^{3}\) oraz \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(2x^{3}\) lub \(x^{2}-16\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{6x^{2}\cdot\left(x^{2}-16\right)-2x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}-16\right)}\) lub \(\frac{B(x)}{\left(x^{2}-16\right)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((4,10]\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(P\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), lub w \((4,+\infty)\), lub w \((0,10]\), to może uzyskać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za pochodną i \(1\) punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** \(\displaystyle P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) dla \(a<0\). **b)** Prosta \(AB\) ma równanie \(y=-2x+4\).

Prosta \(AB\) przechodząca przez \(K=(1,2)\) ma równanie \(y=a(x-1)+2\). Jej przecięcia z osiami to \[A=\left(\frac{a-2}{a},0\right),\qquad B=(0,2-a).\] Dla \(a<0\) pole trójkąta wynosi \[P(a)=\frac{1}{2}\cdot\frac{a-2}{a}\cdot(2-a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\] Ponieważ \(P'(a)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{a^{2}}\), minimum w przedziale \(( -\infty,0)\) występuje dla \(a=-2\). Prosta przechodząca przez \(K\) ma wtedy równanie \(y-2=-2(x-1)\), czyli \(y=-2x+4\).

**Część a)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pierwszej współrzędnej \(x_A\) punktu \(A\) oraz drugiej współrzędnej \(y_B\) punktu \(B\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\): \(x_A=\frac{a-2}{a}\) oraz \(y_B=2-a\). **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **Część b)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-(-a^{2}+4a-4)\cdot 2}{(2a)^{2}}\) ALBO zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(a=-2\) ALBO obliczenie wartości \(a\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(a=-2\), ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\) są równe. **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. \(y=-2x+4\). Uwagi do części b): 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) oraz \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\), za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) lub \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\) oraz za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji, LUB – wyznaczy drugą pochodną funkcji \(P\) i dla wyznaczonej wartości \(a\) obliczy wartość tej drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej \(AB\), dla której pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze). 5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[P(x)=x^{2}-2x+8\quad\text{dla }x\in(0,2);\qquad \text{pole jest najmniejsze dla }x=1.\]

Z rysunku odczytujemy położenie punktów: \(E\) leży na boku \(AB\), przy czym odcinek \(EB\) ma długość \(2x\), a \(F\) leży na boku \(BC\), przy czym \(CF=x\). Kwadrat \(ABCD\) ma bok \(4\). **Wyrażenie pozostałych odcinków.** Z warunku \(|CF|=\frac12|EB|=x\) mamy \(|EB|=2x\), więc \[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=|BC|-|CF|=4-x.\] Warunek \(x\in(0,2)\) zapewnia, że oba te odcinki są dodatnie, a punkty \(E\) i \(F\) leżą wewnątrz odpowiednich boków. **Pole trójkąta \(DEF\).** Trójkąt \(DEF\) powstaje z kwadratu przez odcięcie trzech trójkątów prostokątnych o wierzchołkach w narożach \(A\), \(B\) i \(C\): \[P_{DAE}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|AE|=\tfrac12\cdot4\cdot(4-2x)=8-4x,\] \[P_{EBF}=\tfrac12\cdot|EB|\cdot|BF|=\tfrac12\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x),\] \[P_{FCD}=\tfrac12\cdot|CF|\cdot|CD|=\tfrac12\cdot x\cdot4=2x.\] Zatem \[P(x)=16-\bigl[(8-4x)+x(4-x)+2x\bigr]=16-\left(-x^{2}+2x+8\right)=x^{2}-2x+8.\] **Najmniejsza wartość.** Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej: \[P(x)=(x-1)^{2}+7.\] Dla każdego \(x\) zachodzi \((x-1)^{2}\geq0\), więc \(P(x)\geq7\), a równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\). Liczba \(1\) należy do dziedziny \((0,2)\), więc jest to minimum przyjmowane na całym rozważanym przedziale, a nie tylko lokalnie. **Odpowiedź.** \(P(x)=x^{2}-2x+8\) dla \(x\in(0,2)\); pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze dla \(|CF|=x=1\) i wynosi wtedy \(7\).

**3 pkt** – poprawny wzór funkcji \(P\) oraz poprawne wyznaczenie \(x=1\) **2 pkt** – wyznaczenie poprawnego wzoru \(P(x)=x^{2}-2x+8\) **1 pkt** – zapisanie pola trójkąta \(DEF\) przez pola trzech trójkątów pomocniczych albo zapisanie co najmniej dwóch z tych pól w zależności od \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]

Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych). Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-8).\] Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+8}{2}=3.\] Z warunku \(f(3)=100\): \[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\] Warunek \(a<0\) jest spełniony. Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\) **1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** Wierzchołek paraboli jest osiągany dla \(t=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}\).

Funkcja \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) jest funkcją kwadratową o współczynniku \(a=-4{,}9<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwszą współrzędną wierzchołka obliczamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\), gdzie \(b=14{,}7\): \[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=\frac{14{,}7}{9{,}8}=1{,}5.\] Ten sam wynik daje symetria: miejsca zerowe funkcji \(h\) to \(0\) i \(3\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku między nimi, czyli dla \(t=1{,}5\). **Odpowiedź.** A: \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**C.** \(\pi\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną \(\pi\). Ponieważ \(\pi\in[0,6]\), funkcja przyjmuje wartość największą dla \(x=\pi\). Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

**A.** \(0\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc minimum na przedziale domkniętym występuje na jednym z jego końców. Ponieważ \(\pi<3\), punkt \(0\) leży dalej od osi symetrii \(x=\pi\) niż punkt \(6\). Zatem najmniejsza wartość jest przyjmowana dla \(x=0\). Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

**C.** \(1\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\): \[\sin^{4}x+\cos^{4}x=1-2\sin^{2}x\cos^{2}x\leq 1.\] Równość zachodzi między innymi wtedy, gdy \(\sin x=0\), więc największa wartość funkcji jest równa \(1\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.4) Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\).

**B.** Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(2\).

Szukamy najwyżej położonego punktu wykresu i odczytujemy jego odciętą. Z rysunku odczytujemy wysokości końców poszczególnych fragmentów: pierwszy odcinek rośnie od \(-2\) do wartości \(2\), której **nie osiąga** (kropka pusta w punkcie \((-2,2)\)); drugi odcinek rośnie od \(0\) do \(3\) i wartość \(3\) osiąga w punkcie \((2,3)\); trzeci odcinek zaczyna się w tym samym punkcie i opada. Najwyższym punktem wykresu jest więc \((2,3)\), a największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\). Liczba \(3\) z wariantu C jest największą **wartością**, a nie argumentem. **Odpowiedź.** B: \(2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji ([…] punkty, w których funkcja przyjmuje […] wartość największą […]).

\(1\). Funkcja \(f\) ma dokładnie \(3\) miejsca zerowe. \(2\). Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(2\).

Wzór funkcji \(f\) składa się z trzech kawałków i każdy z nich jest funkcją liniową. Miejsca zerowe wyznaczamy osobno w każdym przedziale, za każdym razem sprawdzając, czy otrzymany argument do tego przedziału należy. Dla \(x\in[-5,-2)\): \[\frac43x+\frac{14}3=0,\qquad x=-\frac{14}{4}=-3{,}5\in[-5,-2).\] Dla \(x\in[-2,2]\): \[\frac34x+\frac32=0,\qquad x=-2\in[-2,2].\] Dla \(x\in(2,4)\): \[-3x+9=0,\qquad x=3\in(2,4).\] Rysunek potwierdza ten odczyt: wykres przecina oś \(Ox\) między \(-4\) a \(-3\), następnie zaczyna się kropką pełną w punkcie \((-2,0)\), a trzeci raz przecina oś \(Ox\) dla \(x=3\). Miejsc zerowych jest zatem trzy. Największej wartości szukamy, porównując krańce kawałków. Na przedziale \([-5,-2)\) funkcja rośnie od \(f(-5)=-2\) do wartości \(2\), której nie osiąga (na rysunku kropka pusta). Na przedziale \([-2,2]\) rośnie od \(f(-2)=0\) do \[f(2)=\frac34\cdot2+\frac32=3.\] Na przedziale \((2,4)\) funkcja maleje i wartości \(3\) już nie osiąga (kropka pusta). Największą wartością jest więc \(3\), a funkcja przyjmuje ją dla argumentu \(x=2\). **Odpowiedź.** \(1\). Funkcja \(f\) ma dokładnie \(3\) miejsca zerowe. \(2\). Największą wartość osiąga dla argumentu \(2\).

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania. 2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. V.4) Zdający odczytuje z wykresu miejsca zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości największe i najmniejsze.

\(1\). Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(1\). \(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2,3]\) jest równa \(4\).

Funkcja jest opisana dwoma wzorami, więc każdy przypadek rozpatrujemy osobno i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do właściwego przedziału. Z rysunku odczytujemy, że wykres składa się z odcinka rosnącego na \([-4,2]\) i odcinka malejącego na \((2,5)\), a najwyższy punkt wykresu ma rzędną \(4\) i jest osiągany dla \(x=2\). **Równanie \(f(x)=3\).** Dla \(x\in[-4,2]\): \(x+2=3\), czyli \(x=1\); liczba \(1\) należy do \([-4,2]\), więc jest rozwiązaniem. Dla \(x\in(2,5)\): \(-x+5=3\), czyli \(x=2\); liczba \(2\) nie należy do \((2,5)\), więc odpada. **Największa wartość na \([2,3]\).** Przedział \([2,3]\) obejmuje punkt \(x=2\) z pierwszego wzoru oraz przedział \((2,3]\) z drugiego. Mamy \(f(2)=2+2=4\), a na \((2,3]\) funkcja \(f(x)=-x+5\) maleje i przyjmuje wartości mniejsze od \(3\). Największą wartością jest zatem \(4\). **Odpowiedź.** \(1\). \(x=1\) \(2\). \(4\)

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów i wzorów; V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym.

\(1\). \(4\) \(2\). \(3\) rozwiązania.

Największa wartość widoczna na wykresie jest równa \(4\). Prosta \(y=\sqrt5\) przecina wykres funkcji w trzech punktach, więc równanie \(f(x)=\sqrt5\) ma trzy rozwiązania.

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonej za pomocą wykresu lub wzoru. V.4) Zdający odczytuje z wykresu największe i najmniejsze wartości funkcji.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\) oraz \(y>0\).

Z założenia \(x>0\) i \(y>0\), więc \(x^{2}y^{2}>0\) i mnożenie obu stron nierówności przez tę liczbę nie zmienia jej kierunku. Otrzymujemy nierówność równoważną \[xy^{2}+yx^{2}\le x^{3}+y^{3}.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę i grupujemy wyrazy: \[x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)=(x-y)\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)^{2}(x+y).\] Dla dowolnych liczb rzeczywistych \((x-y)^{2}\ge0\), a z założenia \(x+y>0\), więc iloczyn jest nieujemny. To dowodzi wyjściowej nierówności. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x=y\). **Odpowiedź.** Nierówność \(\dfrac1x+\dfrac1y\le\dfrac{x}{y^{2}}+\dfrac{y}{x^{2}}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\), \(y>0\), co należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(W(x,y)\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{W(x,y)}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), gdzie \(W\) jest wielomianem zmiennych \(x\) oraz \(y\), np.: \(x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y\geq 0\), \(x^{3}+y^{3}-xy(x+y)\geq 0\), \(\frac{x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y}{x^{2}y^{2}}\geq 0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x^{2}y^{2}}\geq\frac{x+y}{xy}\), ALBO rozważenie funkcji \(f(x)=\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) zmiennej dodatniej \(x\) z parametrem \(y>0\) oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. \(f'(x)=\frac{1}{y^{2}}-\frac{2y}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \(x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), ALBO obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\): \(x=y\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.: • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny ALBO • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich \(x\), \(y\) nierówność \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub nierówność \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) jest prawdziwa, ALBO • obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(x=y\) i obliczenie \(f(y)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(x\) i \(y\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci \((x^{2}-y^{2})(x-y)\geq 0\), a następnie uzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy \(x>y\) oraz w przypadku, gdy \(x<y\), a pominie przypadek \(x=y\), to otrzymuje 2 punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3\) […].

\(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\). W przedziale \(a\in(0,4\sqrt{3})\) jedyny punkt krytyczny to \(a=4\); pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny. Największa objętość wynosi \(V(4)=24-8=16\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości największej funkcji \(V\) na przedziale \((0,4\sqrt3)\), badając znak jej pochodnej. Funkcja jest wielomianem, więc jest różniczkowalna w całej dziedzinie. **Krok \(2\).** Wyznaczamy pochodną funkcji \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\): \[V^{\prime}(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}\qquad\text{dla}\ a\in\left(0,4\sqrt3\right).\] **Krok \(3\).** Obliczamy miejsca zerowe pochodnej: \[6-\frac{3}{8}a^{2}=0,\qquad a^{2}=16,\qquad a=-4\ \text{lub}\ a=4.\] Wartość \(a=-4\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny; zostaje \(a=4\in\left(0,4\sqrt3\right)\) (bo \(4\sqrt3\approx 6{,}93\)). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt3\right)\) mamy \(a^{2}\gt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\lt 0\). **Krok \(5\).** Zatem funkcja \(V\) rośnie w przedziale \((0,4\rangle\) i maleje w przedziale \(\langle 4,4\sqrt3)\), a więc w punkcie \(a=4\) osiąga wartość największą. **Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość: \[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\] **Uwaga.** Samo wskazanie miejsca zerowego pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stąd wywnioskować, że to maksimum, a nie minimum. **Odpowiedź.** Objętość jest największa dla krawędzi podstawy \(a=4\) i wynosi wtedy \(V(4)=16\).

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości). 3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(\frac1{54}\).

Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\] Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), ponieważ jego wyróżnik wynosi \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem w tym punkcie funkcja osiąga minimum globalne. \[f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\) **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej **1 pkt** – poprawne wyznaczenie pochodnej funkcji **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4 R) Zdający oblicza pochodne, w tym pochodną funkcji złożonej. XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności. XIII.6 R) Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Pochodna funkcji \(V\) ma znak wyrażenia \(h^{2}-75\), więc funkcja maleje na \((5,5\sqrt{3})\) i rośnie na \((5\sqrt{3},+\infty)\). Minimum występuje dla \(h=5\sqrt{3}\), a jego wartość wynosi \(V_{\min}=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji różniczkowalnej na przedziale otwartym, więc wyznaczamy pochodną (ze wzoru na pochodną ilorazu) i badamy jej znak. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór w wygodniejszej postaci, wyłączając stałą: \[V(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{3}}{h^{2}-25},\qquad h\in(5,+\infty).\] **Krok \(3\).** Różniczkujemy iloraz: \[\left(\frac{h^{3}}{h^{2}-25}\right)'=\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] Zatem \[V'(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Dla \(h\gt 5\) czynniki \(\frac{25\pi}{3}\), \(h^{2}\) i \(\left(h^{2}-25\right)^{2}\) są dodatnie, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia \(h^{2}-75\). **Krok \(5\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(h^{2}=75\), czyli \(h=5\sqrt{3}\) (wartość \(-5\sqrt{3}\) nie należy do dziedziny, a \(h=0\) również nie). **Krok \(6\).** Znak: \(V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(5,5\sqrt{3}\right)\) oraz \(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(5\sqrt{3},+\infty\right)\). Funkcja \(V\) maleje, a potem rośnie, więc w \(h=5\sqrt{3}\) osiąga minimum, a ponieważ jest to jedyne ekstremum, jest to zarazem wartość najmniejsza na całej dziedzinie. **Krok \(7\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(5\sqrt{3}\right)^{3}=375\sqrt{3}\) oraz \(\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt{3}}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{9375\sqrt{3}}{50}=\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Dziedzina jest przedziałem otwartym, więc nie można powołać się na twierdzenie o wartościach największej i najmniejszej na przedziale domkniętym — uzasadnieniem musi być zmiana znaku pochodnej (funkcja dąży do \(+\infty\) zarówno przy \(h\to 5^{+}\), jak i przy \(h\to+\infty\)). **Odpowiedź.** Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt{3}\), a objętość ta wynosi \(\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \[V'(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^{2}\cdot(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}.\] **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^{3}\) oraz \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) (gdzie \(a\neq 0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^{3}\) lub \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

**a)** W przekroju osiowym odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) i \(h\), więc z porównania pól \(rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}\), skąd \(r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\) i \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** \(V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}\), więc funkcja maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right)\) i rośnie na \(\left(5\sqrt3,+\infty\right)\). Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt3\), a jest ona równa \(V\left(5\sqrt3\right)=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: rozpatrujemy przekrój osiowy stożka. Odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) (promień) i \(h\) (wysokość stożka), opuszczoną na przeciwprostokątną. Pole tego trójkąta zapiszemy na dwa sposoby. **Krok \(2\).** Niech \(D\) będzie środkiem podstawy, \(B\) — punktem na brzegu podstawy, \(C\) — wierzchołkiem stożka. Trójkąt \(DBC\) jest prostokątny przy \(D\), jego przyprostokątne mają długości \(r\) i \(h\), a przeciwprostokątna \(BC\) (tworząca) ma długość \[\lvert BC\rvert=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy pole trójkąta \(DBC\) na dwa sposoby (drugi raz z wysokością równą \(5\), opuszczoną z \(D\) na \(BC\)): \[\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{r^{2}+h^{2}}\cdot 5,\qquad\text{czyli}\qquad rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\] **Krok \(4\).** Podnosimy obie strony (dodatnie) do kwadratu i wyznaczamy \(r^{2}\): \[r^{2}h^{2}=25r^{2}+25h^{2},\qquad r^{2}\left(h^{2}-25\right)=25h^{2},\qquad r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}.\] Dzielenie jest poprawne, bo \(h\gt 5\), więc \(h^{2}-25\gt 0\). **Krok \(5\).** Podstawiamy do wzoru na objętość stożka: \[V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\cdot h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: badamy znak pochodnej funkcji \(V\) na przedziale \((5,+\infty)\). **Krok \(7\).** Różniczkujemy, korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu: \[V^{\prime}(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. W przedziale \((5,+\infty)\) mamy \(h^{2}\gt 0\), więc \[V^{\prime}(h)=0\iff h^{2}=75\iff h=5\sqrt3\quad\left(5\sqrt3\approx 8{,}66\right).\] **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej: dla \(h\in\left(5,5\sqrt3\right)\) jest \(h^{2}\lt 75\), więc \(V^{\prime}(h)\lt 0\); dla \(h\in\left(5\sqrt3,+\infty\right)\) jest \(V^{\prime}(h)\gt 0\). Zatem \(V\) maleje na \(\left(5,5\sqrt3\right\rangle\) i rośnie na \(\left\langle 5\sqrt3,+\infty\right)\), więc dla \(h=5\sqrt3\) osiąga wartość najmniejszą. **Krok \(10\).** Obliczamy tę objętość. Mamy \(\left(5\sqrt3\right)^{3}=375\sqrt3\) oraz \(\left(5\sqrt3\right)^{2}-25=75-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt3\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt3}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{375\sqrt3}{2}=\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Pochodnej ilorazu nie wolno liczyć jako ilorazu pochodnych. Warto też zauważyć, że przy \(h\to 5^{+}\) oraz \(h\to+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie — to dodatkowo potwierdza, że w punkcie \(h=5\sqrt3\) jest minimum globalne. **Odpowiedź.** **a)** \(V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\). **b)** Objętość jest najmniejsza dla \(h=5\sqrt3\) i wynosi wtedy \(\frac{125\sqrt3\,\pi}{2}\).

**Część a)** **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. \(\tfrac{1}{2}rh=\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{h^2+r^2}\), \(\left(\tfrac{5}{r}\right)^2+\left(\tfrac{5}{h}\right)^2=1\), \(\tfrac{r}{5}=\tfrac{h}{\sqrt{h^2-25}}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\tfrac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\tfrac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \(V'(h)=\tfrac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^2\cdot(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^3\) oraz \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) (gdzie \(a\neq0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^3\) lub \(h^2-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^2(h^2-25)-25h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^2-25)^2}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

**A.** \(f(3)\)

Rozwijamy wzór funkcji: \[f(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\] Współczynnik przy \(x^{2}\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a funkcja rośnie na \((-\infty,x_w\rangle\) i maleje na \(\langle x_w,+\infty)\), gdzie \[x_w=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\] Argument \(x_w=3\) należy do przedziału \([0,14]\), więc wartość największa w tym przedziale jest przyjmowana właśnie w wierzchołku. Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, największej wartości należałoby szukać na jednym z jego krańców. **Odpowiedź.** A. \(f(3)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 4.11) Wyznacza wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

**A.** \(3\)

Rozwijamy podany wzór zysku: \[Z(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-50<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\] Z treści zadania \(x\) jest wyrażone w pełnych złotych i spełnia \(1\leq x\leq14\). Liczba \(3\) jest całkowita i należy do tego przedziału, więc maksimum modelu jest osiągane wewnątrz dziedziny — nie trzeba porównywać wartości na jej krańcach. **Odpowiedź.** A. \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\(f(x)=3(x+1)^2-12\), a zbiorem wartości jest \(\langle-12,+\infty)\).

Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej. Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p=-1\), a druga \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12,\] zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Ponieważ \(a=3>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę i \(-12\) jest najmniejszą wartością funkcji, osiąganą w wierzchołku. Zbiorem wartości jest więc \[ZW_f=\langle-12,+\infty).\] **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\), \(ZW_f=\langle-12,+\infty)\).

1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: zapisanie f(x)=3(x+1)²−12 albo obliczenie q=−12 i podanie zbioru wartości. 4 pkt: poprawny wzór i zbiór wartości [−12,+∞).

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli i prawidłowe podstawienie danych albo zapisanie funkcji w postaci kanonicznej oraz rozpoznanie rzędnej wierzchołka jako maksymalnej wysokości **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. V.11) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\): \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na wierzchołek albo zapis funkcji w postaci kanonicznej i rozpoznanie rzędnej wierzchołka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej. V.11) Interpretuje funkcję kwadratową w zagadnieniu praktycznym.

\[P(x)=-2x^{2}+22x+88,\qquad D_P=(0,11),\qquad x=\frac{11}{2}.\]

Z rysunku odczytujemy, że z wierzchołka \(B\) wychodzą trzy krawędzie prostopadłościanu: \(BA\), \(BC\) oraz \(BF\), przy czym \(|AB|=x\) i \(|BC|=4\). **Wzór i dziedzina.** Z warunku na sumę długości tych krawędzi \[x+4+|BF|=15,\qquad\text{czyli}\qquad |BF|=11-x.\] Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc \(x>0\) oraz \(11-x>0\). Stąd \[D_P=(0,11).\] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) wynosi \(2(ab+bc+ca)\), zatem \[P(x)=2\bigl(4x+x(11-x)+4(11-x)\bigr)=2\left(4x+11x-x^{2}+44-4x\right)=-2x^{2}+22x+88.\] **Maksimum.** Funkcja \(P\) jest kwadratowa o współczynniku \(a=-2<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{22}{2\cdot(-2)}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}.\] Liczba \(\frac{11}{2}=5{,}5\) należy do dziedziny \((0,11)\), więc maksimum jest osiągane wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym na całym tym przedziale. **Odpowiedź.** \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\) dla \(x\in(0,11)\); pole powierzchni całkowitej jest największe dla \(|AB|=\frac{11}{2}\) i wynosi wtedy \(P\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\).

**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyznaczenie wzoru \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\), dziedziny \(D_P=(0,11)\) i argumentu maksimum \(x=\frac{11}{2}\) **3 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(P\) wraz z dziedziną **2 pkt** – zapisanie zależności między długościami krawędzi \(BF\) i \(AB\), na przykład \(x+4+|BF|=15\), oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej w zależności od \(x\) i \(|BF|\): \(P=2\left(4x+x\cdot|BF|+4\cdot|BF|\right)\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(|BF|=11-x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu funkcyjnego opisującego pole powierzchni bryły, wyznaczanie dziedziny wynikającej z warunków geometrycznych oraz rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera pełnej tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Cena za dobę powinna wynosić \(260\) zł.

Rozwijamy podany wzór przychodu: \[P(x)=(80-x)(120+5x)=9600+400x-120x-5x^{2}=-5x^{2}+280x+9600.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-5<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{280}{2\cdot(-5)}=28.\] Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\leq x\leq80\), należy więc do dziedziny — maksimum jest osiągane wewnątrz rozważanego zbioru, a nie na jego krańcu. Zmienna \(x\) oznacza liczbę podwyżek po \(5\) zł, zatem szukana cena to \[120+5\cdot28=120+140=260\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** Cena wynajęcia pokoju za dobę powinna wynosić \(260\) zł (przychód wynosi wtedy \(P(28)=52\cdot260=13\,520\) zł).

**2 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik: cena \(260\) zł **1 pkt** – obliczenie liczby podwyżek \(x=28\) albo równoważne wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową — wyznaczenie wierzchołka paraboli, sprawdzenie przynależności argumentu do dziedziny modelu i zinterpretowanie wyniku w kontekście zadania. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

a) Z równania pola całkowitego otrzymujemy wysokość, a następnie \(V(a)=6a-\frac{a^{3}}{8}\). b) \(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\), więc maksimum w przedziale występuje dla \(a=4\). Największa objętość wynosi \(V(4)=16\).

**Krok \(1\).** Metoda w części a): z danego pola powierzchni całkowitej wyznaczamy wysokość graniastosłupa w zależności od \(a\) i wstawiamy ją do wzoru na objętość. **Krok \(2\).** Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) i polu \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), a ściany boczne to trzy prostokąty o wymiarach \(a\times H\). Zatem \[24\sqrt{3}=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3aH=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3aH.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(H\): \[3aH=24\sqrt{3}-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2},\qquad H=\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na objętość: \[V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}=\frac{3a\left(48-a^{2}\right)}{24}=6a-\frac{1}{8}a^{3}.\] To należało wykazać. **Krok \(5\).** Część b). Obliczamy pochodną funkcji \(V\) na przedziale \(\left(0,4\sqrt{3}\right)\): \[V'(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}.\] **Krok \(6\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(\frac{3}{8}a^{2}=6\), czyli \(a^{2}=16\). Stąd \(a=4\) (wartość \(a=-4\) nie należy do dziedziny). **Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V'(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt{3}\right)\) mamy \(V'(a)\lt 0\). Funkcja \(V\) rośnie na \((0,4]\) i maleje na \(\left[4,4\sqrt{3}\right)\), więc w \(a=4\) osiąga wartość największą. **Krok \(8\).** Obliczamy tę wartość: \[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\] **Uwaga.** Samo zerowanie się pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stwierdzić, że jest to maksimum, a przy tym jedyne ekstremum na całym przedziale, więc zarazem wartość największa. **Odpowiedź.** a) \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\); b) największą objętość ma graniastosłup o krawędzi podstawy \(a=4\), a objętość ta wynosi \(16\).

**Część a)** **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa, np. \(H=\frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot\sqrt{3}}{6a}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi do części b):** Uwagi: 1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości). 3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy \[(a+2b)^{3}-8a^{2}b-16ab^{2}=(a-2b)^{2}(a+2b).\] Ponieważ \(a>0\), \(b>0\), mamy \(a+2b>0\), a z warunku \(b\neq\frac{a}{2}\) wynika \((a-2b)^{2}>0\). Iloczyn jest więc dodatni, co dowodzi nierówności.

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) \(a_{3}\) + \(6a2b\) + \(12ab2\) + \(8b3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) \(a_{3}\) − \(2a2b\) − \(4ab2\) + \(8b3\) > \(0\) \(a_{2}\)(a − \(2b\)) − \(4b2\)(a − \(2b\)) > \(0\) (a − \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób II Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy: (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8ab\)(a + \(2b\)) (a + \(2b\))\(3\) − \(8ab\)(a + \(2b\)) > \(0\) (a + \(2b\))[(a + \(2b\))\(2\) − \(8ab\)] > \(0\) (a + \(2b\))(\(a_{2}\) − \(4ab\) + \(4b2\)) > \(0\) (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) Z założenia a > \(0\) i b > \(0\), więc a + \(2b\) > \(0\). \(1\) Ponieważ b ≠ a, więc a − \(2b\) ≠ \(0\) i wtedy (a − \(2b\))\(2 > 0\) jako kwadrat liczby \(2\) rzeczywistej różnej od zera. Zatem (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność (a − \(2b\))\(2\)(a + \(2b\)) > \(0\) jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby \(1\) dodatniej b takich, że b ≠ a. To oznacza, że również nierówność \(2\) (a + \(2b\))\(3\) > \(8a2b\) + \(16ab2\) jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej a \(1\) i każdej liczby dodatniej b takich, że b ≠ a. To należało wykazać. \(2\) Sposób III Niech \(f\) będzie funkcją określoną wzorem \(f\)(a) = (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) dla każdego a ∈ (\(0\), +∞). Obliczamy pochodną funkcji \(f\) oraz jej miejsca zerowe: \(f\)′(a) = \(3\)(a + \(2b\))\(2\) − \(16ba\) − \(16b2\) \(3a2\) + \(12ab\) + \(12b2\) − \(16ba\) − \(16b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(3a2\) − \(4ba\) − \(4b2\) = \(0\) ∧ a > \(0\) \(2\) (a = − b ∨ a = \(2b\)) ∧ a > \(0\) \(3\) Gdy b > \(0\), to \(f\)′(a) > \(0\) dla a ∈ (\(2b\), +∞) oraz \(f\)′(a) < \(0\) dla a ∈ (\(0\), \(2b\)). Zatem przy b dodatnim funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale (\(0\), \(2b\)] oraz rosnąca w przedziale [\(2b\), +∞), czyli funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego a = \(2b\). Ta najmniejsza wartość jest równa \(f\)(\(2b\)) = (\(2b\) + \(2b\))\(3\) − \(8\) ⋅ (\(2b\))\(2\) ⋅ b − \(16\) ⋅ \(2b\) ⋅ \(b_{2}\) = \(0\). Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że a ≠ \(2b\), prawdziwa jest nierówność (a + \(2b\))\(3\) − \(8a2b\) − \(16ab2\) > \(0\) To należało wykazać.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci \(a^{2}(a-2b)-4b^{2}(a-2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)\left[(a+2b)^{2}-8ab\right]>0\), ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a+2b)^{2}>8ab\), ALBO rozważenie funkcji \(f(a)=a^{3}-2ba^{2}-4b^{2}a+8b^{3}\) określonej dla \(a>0\) oraz obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej: \(f'(a)=3a^{2}-4ba-4b^{2}\) oraz \(a=2b\). **2 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}(a+2b)>0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \((a-2b)^{2}>0\), ALBO uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(a=2b\). **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że \(a+2b>0\) oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek \(b\neq\frac{1}{2}a\) zachodzi \((a-2b)^{2}>0\)). Uwaga. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(a\) i \(b\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: […] \((a+b)^n\) […].

**F, F, F**

Z tabeli odczytujemy dwa miejsca zerowe: \(f(-1)=0\) i \(f(1)=0\), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Dla \(x=3\) i \(x=-3\) wartości wynoszą odpowiednio \(1\) i \(-3\), dlatego wykres nie jest symetryczny względem osi \(Oy\). Największa wartość w tabeli wynosi \(2\), a nie \(3\).

**2 pkt** – poprawne zaznaczenie wszystkich trzech odpowiedzi **1 pkt** – poprawne zaznaczenie dwóch odpowiedzi **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie danych przedstawionych w tabeli. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonej tabelą.

\(1\). \(6\) \(2\). \(0\)

Z wykresu odczytujemy, że największa rzędna punktu należącego do wykresu jest równa \(6\). Na fragmencie wykresu odpowiadającym argumentom \(x\in[6,8]\) najmniejsza wartość funkcji wynosi \(0\).

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu luk **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednej luki **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu największe i najmniejsze wartości funkcji w danym przedziale domkniętym.

\(1\). \(6\) \(2\). \(0\)

Największa rzędna punktu należącego do wykresu jest równa \(6\). Na części wykresu odpowiadającej argumentom \(x\in[6,8]\) najmniejsza wartość funkcji wynosi \(0\).

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu luk **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednej luki **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje największe i najmniejsze wartości funkcji w przedziale domkniętym.

\(1\). \(D_f=[-4,4)\) \(2\). \(W_f=(-3,3]\) \(3\). \(\{x:f(x)>0\}=[-4,3)\) \(4\). \(\{x:f(x)=3\}=[-2,2]\)

Funkcja jest opisana trzema wzorami; każdy z nich rozpatrujemy na swoim przedziale, a wyniki sumujemy. Z rysunku odczytujemy, które końce odcinków należą do wykresu. **Dziedzina.** Suma przedziałów z definicji: \[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4).\] **Zbiór wartości.** Na \([-4,-2]\) funkcja \(f(x)=x+5\) rośnie od \(f(-4)=1\) do \(f(-2)=3\), czyli daje \([1,3]\). Na \((-2,2]\) jest stała i równa \(3\). Na \((2,4)\) funkcja \(f(x)=-3x+9\) maleje od wartości bliskich \(3\) do wartości bliskich \(-3\), przy czym żaden z tych krańców nie jest osiągany, czyli daje \((-3,3)\). Suma: \[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\] **Wartości dodatnie.** Na \([-4,-2]\) mamy \(f(x)\geq1>0\) — cały przedział. Na \((-2,2]\) wartość \(3>0\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9>0\iff x<3\), czyli \((2,3)\). Suma: \[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3).\] **Równanie \(f(x)=3\).** Na \([-4,-2]\): \(x+5=3\), czyli \(x=-2\), i liczba ta należy do przedziału. Na \((-2,2]\) funkcja jest stale równa \(3\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9=3\), czyli \(x=2\), ale \(2\notin(2,4)\). Suma: \[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2].\] **Odpowiedź.** \(1\). \([-4,4)\) \(2\). \((-3,3]\) \(3\). \([-4,3)\) \(4\). \([-2,2]\)

**4 pkt** – poprawne uzupełnienie czterech zdań **3 pkt** – poprawne uzupełnienie trzech zdań **2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów **Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** pomylenie porządku liczb na osi przy zachowaniu poprawnych krańców, na przykład zapis \((4,-4]\) zamiast \([-4,4)\), daje \(1\) punkt za tak uzupełnione zdanie.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub mniejsze od danej liczby, oraz wartości największe i najmniejsze w danym przedziale domkniętym; I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.

**C.** Najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\), a największą \(3\); obie są przyjmowane. Zbiorem wartości jest \([-4,3]\).

Zbiorem wartości jest zbiór rzędnych punktów wykresu; sprawdzamy najniższy i najwyższy punkt oraz rodzaj kropek na końcach. Z rysunku odczytujemy, że najniżej wykres schodzi w wierzchołku \((-3,-4)\) — punkt ten należy do wykresu, więc wartość \(-4\) jest przyjmowana. Najwyżej wykres wznosi się w prawym końcu, zaznaczonym kropką **pełną** w punkcie \((4,3)\), więc wartość \(3\) też jest przyjmowana. Wykres jest linią ciągłą, więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Lewy koniec, kropka pusta w punkcie \((-5,0)\), nie zmienia wyniku, bo wartość \(0\) jest przyjmowana także w miejscu zerowym \(x=1\). Zatem \[ZW_f=\langle-4,3\rangle.\] Oba końce są domknięte, co wyklucza warianty A, B i D. **Odpowiedź.** C: \(\langle-4,3\rangle\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.3) Odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym zbiór wartości.

\[R=4,\qquad V_{\max}=8\sqrt3.\]

Dla \(R\in(0,6)\) obliczamy pochodną funkcji objętości: \[V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)=\frac{3\sqrt3}{4}R(4-R).\] Jedynym miejscem zerowym pochodnej należącym do dziedziny jest \(R=4\). Ponadto \[V'(R)>0\quad\text{dla }R\in(0,4),\qquad V'(R)<0\quad\text{dla }R\in(4,6).\] Funkcja \(V\) jest więc rosnąca w przedziale \((0,4]\) i malejąca w przedziale \([4,6)\), a zatem przyjmuje największą wartość dla \(R=4\). Wtedy \[V(4)=\frac{\sqrt3}{4}(6\cdot4^2-4^3)=8\sqrt3.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), i obliczenie wartości największej \(V=8\sqrt3\) **3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(R=4\), albo poprawne przeprowadzenie rozwiązania metodą nierówności między średnimi do warunku równości **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\), \(R=4\), albo poprawne wyznaczenie warunku równości w metodzie nierówności między średnimi **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(V'(R)=\frac{\sqrt3}{4}(12R-3R^2)\) albo zapisanie odpowiedniej nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[C=\left(8-2\sqrt2,\ 12-3\sqrt2\right).\]

Dla \(x\in(0,7)\) pole jest opisane funkcją \[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\] Wyznaczamy jej pochodną: \[P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-16x+56}{(x-8)^2}.\] Miejsca zerowe pochodnej spełniają równanie \[x^2-16x+56=0,\] stąd \[x=8-2\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=8+2\sqrt2.\] Do przedziału \((0,7)\) należy tylko \(x=8-2\sqrt2\). Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, a trójmian \(x^2-16x+56\) jest dodatni dla \(x<8-2\sqrt2\) i ujemny dla \(8-2\sqrt2<x<7\), funkcja \(P\) najpierw rośnie, a następnie maleje. Zatem osiąga wartość największą dla \[x_C=8-2\sqrt2.\] Druga współrzędna punktu \(C\) jest równa \[y_C=f(8-2\sqrt2)=\frac{12(8-2\sqrt2)-84}{8-2\sqrt2-8}=12-3\sqrt2.\] Ostatecznie \[C=\left(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2\right).\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\), i obliczenie współrzędnych punktu \(C=(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2)\) **3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności funkcji, że \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie należącego do dziedziny miejsca zerowego pochodnej: \(x=8-2\sqrt2\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), na przykład \(P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[a=8\sqrt3,\qquad P_{\min}=1728+96\sqrt3.\]

Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać \[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\] Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość dla \[a=8\sqrt3.\] Wtedy \[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\) **3 pkt** – poprawne uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

\[P(x)=-26x^2+96x,\qquad D_P=(0,3),\qquad x=\frac{24}{13}.\]

Mamy \(|AB|=x\) oraz \(|AE|=3x\). Oznaczmy \(|AD|=y\). Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest równa \[4x+4y+4\cdot3x=48.\] Po podzieleniu przez \(4\): \[x+y+3x=12,\qquad y=12-4x.\] Pole powierzchni całkowitej wynosi \[P=2(xy+x\cdot3x+y\cdot3x).\] Podstawiamy \(y=12-4x\): \[P(x)=2[x(12-4x)+3x^2+3x(12-4x)]\] \[=2(-13x^2+48x)=-26x^2+96x.\] Wszystkie długości muszą być dodatnie: \[x>0,\qquad 12-4x>0,\qquad 3x>0,\] więc \[D_P=(0,3).\] Wykres funkcji \(P\) jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{96}{2\cdot(-26)}=\frac{24}{13}.\] Ponieważ \(\frac{24}{13}\in(0,3)\), dla tej wartości funkcja przyjmuje wartość największą. Zatem szukana długość wynosi \[x=\frac{24}{13}.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: \(P(x)=-26x^2+96x\), \(D_P=(0,3)\), \(x=\frac{24}{13}\) **3 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji i wyznaczenie jej dziedziny; albo zapisanie poprawnego wzoru funkcji i prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka \(x=\frac{24}{13}\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru \(P(x)=-26x^2+96x\); albo zapisanie zależności między długościami krawędzi i wyznaczenie \(x\in(0,3)\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(4x+4|AD|+4\cdot3x=48\); albo wyznaczenie dziedziny \(x\in(0,3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\[x=4{,}5\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}.\]

Długość całej siatki opisuje równanie \[4x+6y=36,\] więc \[y=6-\frac23x.\] Suma pól trzech wybiegów jest równa \[P=3xy.\] Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy \[P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)=-2x^2+18x,\qquad x\in(0,9).\] Wykres tej funkcji jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi \[x=-\frac{18}{2\cdot(-2)}=4{,}5.\] Wtedy \[y=6-\frac23\cdot4{,}5=3.\] Suma pól jest największa dla \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) oraz \(y=3\ \mathrm{m}\).

**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta i wynik \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\), \(y=3\ \mathrm{m}\) **3 pkt** – poprawny wzór opisujący pole jako funkcję jednej zmiennej oraz poprawne wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość największą: \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) albo \(y=3\ \mathrm{m}\) **2 pkt** – poprawny wzór opisujący sumę pól albo pole jednego wybiegu jako funkcję jednej zmiennej, np. \(P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)\) **1 pkt** – poprawna zależność między wymiarami a długością siatki, np. \(4x+6y=36\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]

Z warunku \[x+y=12\] otrzymujemy \(y=12-x\). Ponieważ \(x\geq0\) i \(y\geq0\), mamy \(x\in[0,12]\). Wyrażenie zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej: \[f(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144.\] Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej: \[f(x)=3(x^2-8x)+144=3\bigl((x-4)^2-16\bigr)+144=3(x-4)^2+96.\] Ponieważ \(3(x-4)^2\geq0\), najmniejsza wartość funkcji jest równa \(96\) i jest przyjmowana dla \(x=4\). Wtedy \[y=12-4=8.\] Zatem \[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest równa \(96\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\), oraz obliczenie argumentu minimum \(x=4\) albo wartości minimum \(96\); równoważnie: zapisanie \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) oraz obliczenie \(y=8\) albo wartości \(96\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru opisującego \(2x^2+y^2\) jako funkcję jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\) albo \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwagi CKE:** argument minimum musi należeć do przedziału \([0,12]\). Samo sprawdzenie kilku par \((x,y)\), bez poprawnego modelu funkcji jednej zmiennej i bez odwołania do własności funkcji kwadratowej, nie uzasadnia pełnego wyniku.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**D.** \([-2,+\infty)\).

Ramiona paraboli są skierowane ku górze, a jej wierzchołek ma współrzędne \((1,-2)\). Najmniejszą wartością funkcji jest więc \(-2\), a wszystkie większe wartości są przyjmowane. Zatem \[W_f=[-2,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji: [...] zbiór wartości [...].

**A.** \(16{,}8\)

Masa bańki z \(x\) litrami mleka jest równa \[g(x)=1{,}03x+6{,}5.\] Funkcja jest rosnąca, a \(x\in[0,10]\), więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[g(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=16{,}8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.3) Zdający odczytuje własności funkcji, w tym wartość największą. 4.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień osadzonych w kontekście praktycznym.

**A.** \(16{,}8\).

Funkcja \(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) jest rosnąca na przedziale \([0,10]\), więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[f(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.1) Zdający określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego [...]. V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji [...]. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej [...] do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

**a)** \(P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}\) **b)** \(a=8\sqrt3\), a najmniejsze pole wynosi \(1728+96\sqrt3\).

**a)** Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez \(H\). Z warunku objętości \[3456=\frac{a^2\sqrt3}{4}H\] otrzymujemy \[H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}.\] Pole powierzchni całkowitej jest równe \[P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH,\] zatem \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\] **b)** Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać \[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\] Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość na prawym końcu przedziału, dla \[a=8\sqrt3.\] Wtedy \[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]

**Część a: 2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{13824}{a^2\sqrt3}=\frac{4608\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania **Część b: 4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\) **3 pkt** – uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 11.6 R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Z poprzedniego podpunktu \[f(x)=-(x-3)^2.\] Zatem \[g(x)=f(x)-1=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji \(g\) jest równa \(-1\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(1\) jednostkę w dół nie zmienia osi symetrii. Nadal jest nią prosta \[x=3.\] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) zdający szkicuje wykres funkcji \(y=f(x)+b\).

C. Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\)

Funkcja jest zadana tabelą, więc wszystkie jej wartości mamy wypisane: \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=0\), \(f(0)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=3\). Sprawdzamy kolejne zdania. **A.** Miejsca zerowe to argumenty, dla których wartość wynosi \(0\); w tabeli są dwa takie argumenty: \(-1\) oraz \(1\). Zdanie jest fałszywe. **B.** Symetria wykresu względem osi \(Oy\) oznaczałaby \(f(-x)=f(x)\). Tymczasem \(f(-2)=-1\), a \(f(2)=3\). Zdanie jest fałszywe. **C.** Największą z wartości \(-1,\;0,\;1,\;0,\;3\) jest \(3\). Zdanie jest prawdziwe. **D.** Najmniejszą z tych wartości jest \(-1\), a nie \(-2\); liczba \(-2\) jest najmniejszym **argumentem**. Zdanie jest fałszywe. **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G8.1) Zdający zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty o danych współrzędnych. 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji ([…] miejsca zerowe, […] wartość największą lub najmniejszą).

**B.** \(4\)

Z wykresu odczytujemy, że największa osiągana wartość funkcji \(f\) jest równa \(4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym wartość największą.

\(1\). \((-4,4]\) \(2\). \([-1,3]\) \(3\). \((1,3)\) \(4\). \((-4,-2]\)

Z definicji przedziałowej funkcji odczytujemy wszystkie argumenty, dla których jest określona: \[D_f=(-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4]=(-4,4].\] Najmniejszą wartością funkcji jest \(-1\), osiągana dla \(x=2\), a największą jest \(3\), osiągana dla \(x\in(-4,-2]\). Zatem \[W_f=[-1,3].\] Na środkowym odcinku \(-x+1<0\) dla \(x>1\), co daje \((1,2]\). Na prawym odcinku \(x-3<0\) dla \(x<3\), co daje \((2,3)\). Łącznie funkcja przyjmuje wartości ujemne dla \[x\in(1,3).\] Największa wartość \(3\) jest przyjmowana dla \[x\in(-4,-2].\]

**4 pkt** – zapisanie dokładnie czterech poprawnych odpowiedzi **3 pkt** – zapisanie dokładnie trzech poprawnych odpowiedzi **2 pkt** – zapisanie dokładnie dwóch poprawnych odpowiedzi **1 pkt** – zapisanie dokładnie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub mniejsze od danej liczby, oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

**C.** \(5\)

Z wiersza wartości \(f(x)\) odczytujemy liczby \[-3,-4,4,1,5,0,2.\] Największą z nich jest \(5\), przyjmowana dla \(x=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.3) Zdający odczytuje z reprezentacji funkcji jej wartość największą.

**\(9\).\(1\). D** - \(5\). **\(9\).\(2\). C** - \(4\).

Z tabeli odczytujemy wartości funkcji: \[-3,-4,4,1,5,0,2.\] Największą wartością jest \(5\), więc w zadaniu \(9\).\(1\) wybieramy **D**. Miejscem zerowym jest argument, dla którego \(f(x)=0\). Z tabeli odczytujemy \(f(4)=0\), więc w zadaniu \(9\).\(2\) wybieramy **C**.

**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **D** i **C** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel.

**D.** \([-2,+\infty)\)

Najmniejsza wartość funkcji jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka, czyli \(-2\). Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę, funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-2\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-2,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym jej zbiór wartości.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na symetralnych odpowiednio boków \(AD\) i \(BC\), w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od tych boków; każdy jest oddalony o \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch najbliższych miast.

W optymalnej konfiguracji lewy węzeł \(K\) leży na symetralnej \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej \(BC\). Oznaczmy ich odległości od odpowiednich boków przez \(x\) i \(y\). Długość sieci wynosi \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Wystarczy zminimalizować funkcję \[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\] Jej pochodna to \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \[4x^2=x^2+150^2,\qquad x=50\sqrt3.\] Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc jest to minimum. Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Ponieważ \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), otrzymujemy \[d_{\min}=2\cdot150\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\] Odległość każdego węzła od dwóch przypisanych mu miast wynosi \[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]

**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja obu węzłów **5 pkt** – obliczenie długości \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\) **4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) **3 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej \(f'\) **2 pkt** – wyrażenie długości sieci przez odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\) **1 pkt** – uzasadnienie, że węzły leżą na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac1{54}\).

Obliczamy pochodną: \[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\] Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb R\), ponieważ jego wyróżnik jest równy \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem funkcja osiąga w tym punkcie minimum globalne. Jego wartość wynosi \[f\!\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(2\cdot-\frac13+1\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]

**4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\), równej \(\frac1{54}\) **3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\) **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(f\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania CKE dopuszcza również rozwiązanie za pomocą nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną albo przez odpowiednie przekształcenie algebraiczne.

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnej funkcji złożonej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

**a)** \(\displaystyle C=\left(\frac{m}{4-m},\frac{2m}{m-4}\right)\), więc dla \(m>4\) pole wynosi \(\displaystyle P(m)=\frac{m^2}{m-4}\). **b)** \(\displaystyle P'(m)=\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\), stąd minimum występuje dla \(m=8\) i ma wartość \(16\). Prosta \(BC\) ma równanie \(\displaystyle y=-\frac25x+\frac{16}{5}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: wierzchołek \(C\) to punkt przecięcia prostej \(BD\) (bo \(D\) leży na boku \(BC\)) z prostą \(y=-2x\). Pole liczymy jako połowę iloczynu podstawy \(AB\) leżącej na osi \(Ox\) i wysokości równej odległości \(C\) od tej osi. **Krok \(2\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(BD\) dla \(B=(m,0)\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BD}=\frac{2-0}{3-m}=\frac{2}{3-m},\qquad\text{zatem}\qquad BD\colon y=\frac{2}{3-m}(x-m).\] Zauważmy, że \(m\gt 4\), więc \(3-m\neq 0\). **Krok \(3\).** Szukamy przecięcia z prostą \(y=-2x\): \[\frac{2}{3-m}\left(x_{C}-m\right)=-2x_{C}\ \Big/\cdot\frac{3-m}{2},\] \[x_{C}-m=-x_{C}(3-m),\qquad x_{C}(1+3-m)=m,\qquad x_{C}(4-m)=m.\] **Krok \(4\).** Stąd \[x_{C}=\frac{m}{4-m},\qquad y_{C}=-2x_{C}=\frac{2m}{m-4},\qquad\text{czyli}\qquad C=\left(\frac{m}{4-m},\ \frac{2m}{m-4}\right).\] **Krok \(5\).** Podstawa \(AB\) leży na osi \(Ox\) i ma długość \(m\) (bo \(m\gt 4\gt 0\)). Wysokość z \(C\) jest równa \(\lvert y_{C}\rvert=\frac{2m}{m-4}\) (dla \(m\gt 4\) liczba ta jest dodatnia). Zatem \[P(m)=\frac{1}{2}\cdot m\cdot\frac{2m}{m-4}=\frac{m^{2}}{m-4}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: szukamy najmniejszej wartości funkcji \(P\) na przedziale \((4,+\infty)\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(7\).** Liczymy pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\frac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\frac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej w dziedzinie: mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(m)=0\iff m(m-8)=0\iff m=0\ \text{lub}\ m=8,\] a w przedziale \((4,+\infty)\) zostaje tylko \(m=8\). **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(m\in(4,8)\) mamy \(m\gt 0\) i \(m-8\lt 0\), więc \(P^{\prime}(m)\lt 0\); dla \(m\in(8,+\infty)\) mamy \(P^{\prime}(m)\gt 0\). Zatem \(P\) maleje na \((4,8\rangle\) i rośnie na \(\langle 8,+\infty)\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga wartość najmniejszą \[P(8)=\frac{64}{8-4}=16.\] **Krok \(10\).** Dla \(m=8\) mamy \(B=(8,0)\), a prosta \(BC\) przechodzi przez \(B\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BC}=\frac{2-0}{3-8}=-\frac{2}{5},\qquad y=-\frac{2}{5}(x-8),\qquad\text{czyli}\qquad y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej to dopiero kandydat na minimum — o tym, że jest to wartość najmniejsza, przesądza dopiero zbadanie znaku pochodnej po obu stronach punktu \(m=8\). **Odpowiedź.** **a)** \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla \(m=8\) i wynosi wtedy \(16\); prosta \(BC\) ma równanie \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\).

**Część a)** **3 pkt** – wyznaczenie pola \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcji zmiennej \(m\): \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **2 pkt** – wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu \(C\): \(x_{C}=\frac{m}{4-m}\) (lub \(y_{C}=\frac{2m}{m-4}\)). **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(BD\): \(\frac{2}{3-m}\) ALBO – zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci ogólnej, np. \(2x+(m-3)y-2m=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) w przypadku, gdy pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze, np. \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\). **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej funkcji \(P\): \(P'(m)>0\) dla \(m\in(8,\,+\infty)\) oraz \(P'(m)<0\) dla \(m\in(4,\,8)\), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(m\), dla której funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą, np. funkcja \(P\) zmiennej \(m\) (określona na przedziale \((4,\,+\infty)\)) jest rosnąca w przedziale \(\langle 8,\,+\infty)\) oraz malejąca w przedziale \((4,\,8\rangle\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga najmniejszą wartość ALBO – uzasadnienie, że dla \(m=8\) funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie średnich liczbowych). **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(P\): \(m=8\) ALBO – obliczenie wartości \(m\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(m=8\). **1 pkt** – wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+\frac{16}{m-4}}{2}\ge\sqrt{(m-4)\cdot\frac{16}{m-4}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\), \(4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+4+\frac{16}{m-4}}{3}\ge\sqrt[3]{(m-4)\cdot 4\cdot\frac{16}{m-4}}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi do części b):** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(m\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(m\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja \(P\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(m=8\), nie ogranicza się do przedziału \((4,\,+\infty)\), to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 4. Akceptujemy przedziały monotoniczności \((4,\,8)\), \((8,\,+\infty)\). 5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to otrzymuje co najwyżej \(3\) punkty za część b).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \[-4\] i jest osiągana dla \(x=1\).

Dla \(x>0\) rozważamy funkcję \[f(x)=x^4+x^2-6x.\] Jej pochodna jest równa \[f'(x)=4x^3+2x-6.\] Rozkładamy wielomian na czynniki: \[4x^3+2x-6=4(x^3-1)+2(x-1)=(x-1)(4x^2+4x+6).\] Ponieważ \(4x^2+4x+6>0\) dla każdego \(x>0\), jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest \(x=1\). Mamy \[f'(x)<0\quad\text{dla}\quad x\in(0,1),\] \[f'(x)>0\quad\text{dla}\quad x\in(1,+\infty).\] Funkcja \(f\) maleje więc w \((0,1]\) i rośnie w \([1,+\infty)\). Osiąga wartość najmniejszą dla \(x=1\): \[f(1)=1^4+1^2-6\cdot1=-4.\]

**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\), i obliczenie wartości najmniejszej \(-4\) **3 pkt** – uzasadnienie, np. przez badanie monotoniczności, że funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=1\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(4x^3+2x-6=0\): \(x=1\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=4x^3+2x-6\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.

**C.** \([-2,+\infty)\)

Parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek ma drugą współrzędną równą \(-2\). Jest to najmniejsza wartość funkcji, zatem zbiorem wartości jest \([-2,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm m.\]

Maksymalna wysokość jest współrzędną \(y\) wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) otrzymujemy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – prawidłowe podstawienie danych do wzoru na wierzchołek albo zapis postaci kanonicznej i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie i interpretowanie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej i zastosowanie jej w kontekście praktycznym.

Maksymalna wysokość środka piłki wynosi \(4{,}93\,\mathrm m\).

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}92816.\] Po zaokrągleniu otrzymujemy \(4{,}93\,\mathrm m\).

**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania oraz wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli z prawidłowym podstawieniem danych albo zapisanie funkcji w postaci \(y=-0{,}174(x-p)^2+q\) i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej oraz stosowanie jej własności w kontekście fizycznym.

Jedenastego dnia; \(400\) klientów.

Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a \(11\in\{1,2,\ldots,30\}\). Funkcja przyjmuje więc największą wartość dla \(n=11\), a wartość ta wynosi \[L(11)=400.\] Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia i było to \(400\) osób.

**2 pkt** – poprawna metoda oraz poprawne wyniki: \(11\) i \(400\) **1 pkt** – wyznaczenie postaci kanonicznej \(L(n)=-(n-11)^2+400\), obliczenie dnia maksimum lub największej liczby klientów albo wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**D.** największą równą \(4\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać wzoru: \(f(x)=-(x-1)(x-5)\) to funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej. Najpierw rozstrzygamy, czy ma wartość największą, czy najmniejszą — decyduje o tym znak współczynnika przy \(x^{2}\). **Krok \(2\).** Po wymnożeniu wyraz z \(x^{2}\) powstaje jako \(-x\cdot x=-x^{2}\), więc \(a=-1\lt0\). Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem funkcja przyjmuje wartość **największą** (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. To już eliminuje odpowiedzi A i B. **Krok \(3\).** Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_{1}=1\) i \(x_{2}=5\) (to dla nich któryś nawias się zeruje). **Krok \(4\).** Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, więc pierwsza współrzędna wierzchołka leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: \[p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+5}{2}=3.\] **Krok \(5\).** Wartość największa to \(f(p)\): \[f(3)=-(3-1)(3-5)=-\,2\cdot(-2)=4.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy dwiema wartościami kontrolnymi: \(f(0)=-(0-1)(0-5)=-5\) oraz \(f(2)=-(2-1)(2-5)=3\). Obie są mniejsze od \(4\), co potwierdza, że \(4\) jest wartością największą. **Uwaga.** Znak minus przed iloczynem odwraca całą sytuację. Gdyby wzór brzmiał \(f(x)=(x-1)(x-5)\), funkcja miałaby wartość **najmniejszą** równą \(-4\). Zwróć też uwagę, że pytamy o wartość funkcji (drugą współrzędną wierzchołka), a nie o argument \(x=3\), przy którym jest ona osiągana — stąd pułapka w odpowiedzi C. **Odpowiedź.** D: największą równą \(4\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**A i F**

Dla funkcji **A** ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek ma współrzędne \((3,2)\), więc jej zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\). Funkcję **F** zapisujemy w postaci kanonicznej: \[F(x)=-2x^2+4x=-2(x-1)^2+2.\] Jej największa wartość także wynosi \(2\), więc zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\).

**2 pkt** – wybranie obu poprawnych odpowiedzi: **A** i **F** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na wspólnej osi symetrii kwadratu: każdy w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku oraz \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch sąsiednich miast.

Symetryzacja pokazuje, że lewy węzeł \(K\) musi leżeć na symetralnej odcinka \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej odcinka \(BC\). Niech \(x\) i \(y\) oznaczają ich odległości odpowiednio od prostych \(AD\) i \(BC\). Długość sieci jest równa \[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\] Wprowadzamy \[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\] Wtedy \[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\] Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\). Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc przyjmuje tam minimum równe \(150\sqrt3\). Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Zatem \[d_{\min}=f(x)+f(y)+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\] Każdy węzeł leży na poziomej osi symetrii kwadratu, w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku. Jego odległość od obu przyległych miast wynosi \[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]

**6 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów względem miast **5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami **4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) **3 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) **2 pkt** – wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\) **1 pkt** – uzasadnienie, że węzły muszą znajdować się na symetralnych odcinków \(AD\) i \(BC\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

Po pomnożeniu przez \(a\gt 0\) nierówność jest równoważna \(a^{3}-12a+16\geq 0\), czyli \((a-2)^{2}(a+4)\geq 0\). Oba czynniki są nieujemne dla \(a\gt 0\), a równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie, mnożąc przez dodatnią liczbę \(a\), i rozkładamy powstały wielomian na czynniki o oczywistym znaku. **Krok \(2\).** Z założenia \(a\gt 0\), więc mnożenie obu stron przez \(a\) nie zmienia kierunku nierówności: \[a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}+16\geq 12a\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}-12a+16\geq 0.\] **Krok \(3\).** Rozważmy wielomian \(W(a)=a^{3}-12a+16\). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(W(2)=8-24+16=0\), więc \(a-2\) jest dzielnikiem \(W\). **Krok \(4\).** Dzielimy: \(W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2a-8\right)\). Trójmian \(a^{2}+2a-8\) ma pierwiastki \(2\) i \(-4\), więc \[W(a)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^{2}(a+4).\] **Krok \(5\).** Dla każdego \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^{2}\geq 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn \((a-2)^{2}(a+4)\) jest nieujemny. Zatem \(a^{3}-12a+16\geq 0\). **Krok \(6\).** Dzieląc tę nierówność stronami przez \(a\gt 0\), wracamy do postaci wyjściowej \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\). To należało wykazać. **Uwaga.** Kluczowe jest założenie \(a\gt 0\): tylko dzięki niemu mnożenie i dzielenie przez \(a\) zachowuje kierunek nierówności. Dla \(a\lt 0\) lewa strona jest ujemna albo mniejsza od \(12\), więc teza po prostu nie zachodzi. Zauważmy też, że równość ma miejsce dokładnie dla \(a=2\), bo tylko wtedy \((a-2)^{2}=0\). **Odpowiedź.** Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\), przy czym równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**3 pkt** – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) z powołaniem się na założenie (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) do postaci tezy (dla sposobu II), ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie \(f(2)\): \(f(2)=12\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu \(a^{3}-12a+16\) w postaci \((a-2)^{2}(a+4)\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie oraz zapisanie nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\): \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) (dla sposobu II), ALBO – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz wyznaczenie w przedziale \((0,\,+\infty)\) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): \(a=2\) (dla sposobu III). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{a^{3}-12a+16}{a}\ge 0\) lub \(a^{3}-12a+16\ge 0\), lub \(a(a^{3}-12a+16)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie (dla sposobu II), ALBO – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(a)=a^{2}+\frac{16}{a}\) dla \(a>0\) (lub w szerszym zakresie), np. \(f'(a)=2a-\frac{16}{a^{2}}\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje nierówność między średnimi liczb \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R1) Zdający znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych. III.R1) Zdający rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)>0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)<0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

Największa wartość: \(6\). Najmniejsza wartość: \(-6\).

Najwyższy punkt wykresu ma współrzędną \(y=6\), a najniższy punkt ma współrzędną \(y=-6\). Zatem \(\max f=6\) i \(\min f=-6\).

**1 pkt** – podanie obu wartości: \(6\) i \(-6\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\), a najmniejsza jest równa \(-6\).

Z wykresu odczytujemy najwyższą rzędną \(6\) oraz najniższą rzędną \(-6\).

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

**C.** \(2\)

Dla \(x\in[-4,1]\) najwyżej położony punkt wykresu ma rzędną \(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w tym przedziale jest więc równa \(2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu największą wartość funkcji w danym przedziale domkniętym.

**B.** \(n=9\)

Rozwiązujemy nierówność \(a_n>25\): \[3n-1>25,\] \[3n>26,\] \[n>\frac{26}{3}=8\frac23.\] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \(n=9\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

Zbiorem wartości funkcji \(g\) w przedziale \([9,11]\) jest \([0,\frac94]\).

Niech \(f(x)=-\frac14x^2+3x-5\), wtedy \(g(x)=|f(x)|\). Miejsca zerowe funkcji \(f\) to \(2\) i \(10\), a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[p=-\frac3{2(-1/4)}=6.\] Ponieważ \(6\notin[9,11]\), funkcja \(g\) maleje na \([9,10]\) i rośnie na \([10,11]\). Obliczamy wartości na końcach i w miejscu zerowym: \[g(9)=\left|-\frac{81}{4}+27-5\right|=\frac74,\qquad g(10)=0,\] \[g(11)=\left|-\frac{121}{4}+33-5\right|=\frac94.\] Zatem najmniejszą wartością jest \(0\), a największą \(\frac94\), więc szukany zbiór to \([0,\frac94]\).

**2 pkt** – obliczenie \(g(11)=\frac94\) i zapisanie zbioru wartości \([0,\frac94]\) **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(2\) i \(10\) oraz współrzędnej \(p=6\) wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych w tekście i na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.R1 tworzenie i interpretowanie wykresu funkcji \(y=|f(x)|\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

\[[-3,+\infty).\]

Najmniejszą wartością funkcji jest druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(-3\). Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-3\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-3,+\infty).\]

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

**A.** \(b=-4\), \(c=8\)

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac b2\). Z warunku \(-\frac b2=2\) otrzymujemy \(b=-4\). Ponadto \(f(2)=4\), więc \[4+2b+c=4,\qquad c=8.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IV.8 posługiwanie się własnościami funkcji kwadratowej, w szczególności położeniem jej wierzchołka.

**A.** \(( -\infty,2]\)

Współczynnik przy \((x-1)^2\) jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Największa wartość funkcji jest osiągana w wierzchołku i wynosi \(2\). Zatem \[W_f=(-\infty,2].\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie dziedziny i zbioru wartości funkcji.

\[[-4,4].\]

Najmniejsza wartość odczytana z wykresu funkcji \(f\) jest równa \(-4\), a największa jest równa \(4\). Wykres przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi, zatem zbiorem wartości jest \[[-4,4].\]

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej dziedziny i zbioru wartości.

**C.** \(-2\)

Na części wykresu odpowiadającej argumentom \(x\in[-4,0]\) najniżej położony punkt ma współrzędne \((-3,-2)\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) na tym przedziale jest więc równa \[-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

**a)** \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\). **b)** \(D_P=(0,2)\). **c)** Największe pole ma trójkąt o bokach \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\) i \(4\sqrt2-4\). Pole to wynosi \(4(3-2\sqrt2)\).

Oznaczmy \(b=|BC|\) i \(c=|AB|\). Z obwodu \(x+b+c=4\), więc \(c=4-x-b\). Twierdzenie Pitagorasa daje \[(4-x-b)^2=x^2+b^2.\] Po uproszczeniu \[b(4-x)=8-4x,\qquad b=\frac{8-4x}{4-x}.\] Zatem \[P(x)=\frac12xb=\frac{x(4-2x)}{4-x}.\] Warunki \(x>0\), \(b>0\) i \(c>0\) prowadzą do dziedziny \[D_P=(0,2).\] Dla \(x\in(0,2)\): \[P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}.\] Jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest \[x=4-2\sqrt2.\] Pochodna jest dodatnia na \((0,4-2\sqrt2)\) i ujemna na \((4-2\sqrt2,2)\), więc w tym punkcie funkcja osiąga największą wartość. Wówczas \[b=4-2\sqrt2,\qquad c=x\sqrt2=4\sqrt2-4,\] a największe pole wynosi \[P_{\max}=\frac12(4-2\sqrt2)^2=4(3-2\sqrt2).\]

**7 pkt łącznie:** \(2\) pkt za podpunkt a), \(1\) pkt za podpunkt b) i \(4\) pkt za podpunkt c). **Podpunkt a): 2 pkt** – pełne wyprowadzenie wzoru \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\) **1 pkt** – poprawne użycie obwodu i twierdzenia Pitagorasa **Podpunkt b): 1 pkt** – dziedzina \((0,2)\) **Podpunkt c): 4 pkt** – poprawne uzasadnienie maksimum, długości boków \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\), \(4\sqrt2-4\) oraz pole \(4(3-2\sqrt2)\) **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum dla \(x=4-2\sqrt2\) **2 pkt** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej w dziedzinie **1 pkt** – poprawna pochodna \(P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}\)

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - modelowanie problemu geometrycznego funkcją i przeprowadzenie optymalizacji. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie twierdzenia Pitagorasa, wyznaczanie dziedziny funkcji, obliczanie pochodnej funkcji wymiernej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

Zbiornik ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\). Dla boku podstawy \(x\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{x^{2}}\), a koszt \(f(x)=100x^{2}+\frac{43200}{x}\) na dziedzinie \(x\in[4,9]\). Pochodna \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}\) zeruje się dla \(x=6\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni; wtedy \(h=4\).

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie optymalizacyjne — budujemy funkcję kosztu jednej zmiennej, ustalamy jej dziedzinę, a następnie szukamy wartości najmniejszej za pomocą pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) długość krawędzi kwadratowego dna, a przez \(h\) wysokość zbiornika (w metrach). Z warunku na pojemność \(x^{2}h=144\), skąd \[h=\frac{144}{x^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zbiornik jest otwarty od góry, więc koszt to koszt dna \(100x^{2}\) plus koszt czterech ścian bocznych \(75\cdot 4xh\). Zatem \[f(x)=100x^{2}+300x\cdot\frac{144}{x^{2}}=100x^{2}+\frac{43200}{x}.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Żaden wymiar nie przekracza \(9\), więc \(x\leq 9\) oraz \(h=\frac{144}{x^{2}}\leq 9\), czyli \(x^{2}\geq 16\), a stąd \(x\geq 4\). Zatem \(x\in[4,9]\). **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=\frac{200\left(x^{3}-216\right)}{x^{2}}.\] **Krok \(6\).** Miejsce zerowe pochodnej: \(x^{3}=216\), czyli \(x=6\), i \(6\in[4,9]\). **Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(x\in(4,6)\) mamy \(x^{3}\lt 216\), więc \(f'(x)\lt 0\); dla \(x\in(6,9)\) mamy \(f'(x)\gt 0\). Funkcja \(f\) maleje na \([4,6]\) i rośnie na \([6,9]\), więc w punkcie \(x=6\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Krok \(8\).** Dla \(x=6\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{36}=4\), a koszt \(f(6)=3600+7200=10800\) zł. Oba wymiary spełniają ograniczenie \(9\) m. **Uwaga.** Ograniczenie na wymiary działa w obie strony: górne \(x\leq 9\) i — poprzez wysokość — dolne \(x\geq 4\). Pominięcie dziedziny nie zmienia tu wyniku, ale bez niej nie da się poprawnie uzasadnić, że znaleziona wartość jest najmniejsza w rozważanym zakresie. **Odpowiedź.** Zbiornik o najmniejszym koszcie wykonania ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\).

Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów: - zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu - zbadanie modelu i jego własności - przeprowadzenie końcowych obliczeń. Pierwszy etap składa się z trzech kroków. Krok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (\(x\) – długość krawędzi podstawy zbiornika, \(h\) – wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru zbiornika: \(h=\frac{144}{x^{2}}\) lub \(x=\sqrt{\frac{144}{h}}\). Krok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania \(f\) zbiornika za pomocą jednej zmiennej: \(f(x)=100x^{2}+4x\cdot\frac{144}{x^{2}}\cdot 75\) lub \(f(h)=100\cdot\frac{144}{h}+4\cdot\sqrt{\frac{144}{h}}\cdot h\cdot 75\). Krok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji \(f\): \(D_{x}=[4,\,9]\) lub \(D_{h}=\left[\frac{16}{9},\,9\right]\). Drugi etap składa się z trzech kroków. Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie kroki też były wykonane poprawnie. **1 pkt** – Krok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=200\left(x-\frac{216}{x^{2}}\right)\) lub \(f'(h)=-\frac{14400}{h^{2}}+\frac{1800}{\sqrt{h}}\). **1 pkt** – Krok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji \(f\) – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(x=6\) (lub \(h=4\)). **1 pkt** – Krok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)>0\) dla \(x\in(6,\,9)\), \(f'(x)<0\) dla \(x\in(4,\,6)\) lub \(f'(h)>0\) dla \(h\in(4,\,9)\), \(f'(h)<0\) dla \(h\in\left(\frac{16}{9},\,4\right)\) oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(x\) (lub zmiennej \(h\)), dla której funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą, np.: funkcja \(f\) zmiennej \(x\) (określona na przedziale \([4,\,9]\)) jest malejąca w przedziale \([4,\,6]\) oraz rosnąca w przedziale \([6,\,9]\), więc w punkcie \(x=6\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. LUB funkcja \(f\) zmiennej \(h\) (określona na przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,9\right]\)) jest malejąca w przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,4\right]\) oraz rosnąca w przedziale \([4,\,9]\), więc w punkcie \(h=4\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. **1 pkt** – Etap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika jest najmniejszy: \(x=6\), \(h=4\). Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **Uwagi:** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy zdający: a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(f\); LUB b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)) funkcja \(f\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty. 3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje \(0\) punktów za II i III etap. 4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). 5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap). 6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze \(R\setminus\{0\}\), to nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

**D.** \(( -\infty,4]\)

Parabola \(y=-x^2+4\) ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek to \(W=(0,4)\). Największa wartość funkcji jest równa \(4\), dlatego \[W_f=( -\infty,4].\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

**C.** \(a=1\)

Nieconstantna funkcja liniowa określona na \(\mathbb R\) nie ma wartości najmniejszej. Funkcja osiąga minimum równe \(3\) tylko wtedy, gdy jest stała i ma postać \(f(x)=3\). Zatem \[a-1=0,\qquad a=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej.

**C.** Funkcja \(f\) osiąga wartość największą równą \(1\).

Z wykresu odczytujemy, że wartość \(1\) jest przyjmowana przez funkcję, między innymi dla wszystkich \(x\in[5,6]\), i żadna wartość funkcji nie jest większa od \(1\). Zatem funkcja osiąga maksimum równe \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** odczytywanie z wykresu miejsc zerowych, zbioru wartości, znaków i wartości największej funkcji.

**C.** \(1\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(2,1)\) należy do rozpatrywanego przedziału \([1,4]\). Największą wartością funkcji w tym przedziale jest więc druga współrzędna wierzchołka: \[\max_{x\in[1,4]}f(x)=f(2)=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 wyznaczanie wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

**B.** \(m=-5\)

Wzór jest zapisany w postaci kanonicznej. Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne \((-9,m)\). Największą wartością funkcji jest więc \(m\), a jej zbiór wartości ma postać \[(-\infty,m].\] Porównując z \((-\infty,-5]\), otrzymujemy \(m=-5\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z postaci kanonicznej.

Krawędź podstawy ma długość a=(\(2\)√\(\frac{2}{5}\))d, a największa objętość wynosi (\(8\)√\(\frac{5}{375}\))\(d^{3}\). Dla promienia r okręgu opisanego na podstawie mamy a=r√\(2\) i H=√(d(d−\(2r\))); analiza pochodnej prowadzi do r=\(\frac{2d}{5}\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne z pochodną, w którym wszystkie wielkości trzeba wyrazić przez jedną zmienną. Najwygodniejszą zmienną podpowiada sama treść: promień \(r\) okręgu opisanego na podstawie. Wtedy krawędź boczna to \(b=d-r\), a krawędź podstawy i wysokość wyliczymy z własności ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. **Krok \(2\).** Podstawą jest kwadrat, a okrąg opisany na kwadracie ma średnicę równą przekątnej, więc \(a\sqrt2=2r\), skąd \[a=r\sqrt2.\] **Krok \(3\).** Spodek wysokości to środek kwadratu, odległy od wierzchołka podstawy o \(r\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\), \(r\) i przeciwprostokątnej \(b=d-r\): \[H^2=(d-r)^2-r^2=d^2-2dr+r^2-r^2=d^2-2dr,\qquad H=\sqrt{d^2-2dr}.\] **Krok \(4\).** Dziedzina: musi być \(r\gt0\) oraz \(d^2-2dr\gt0\), czyli \(r\lt\frac{d}{2}\). Zatem \(r\in\left(0,\frac{d}{2}\right)\), przy \(d\gt0\). **Krok \(5\).** Objętość ostrosłupa: \[V(r)=\frac13a^2H=\frac13\cdot2r^2\cdot\sqrt{d^2-2dr}=\frac23r^2\sqrt{d^2-2dr}.\] **Krok \(6\).** Zamiast różniczkować wyrażenie z pierwiastkiem, badamy funkcję pomocniczą \[f(r)=r^4\left(d^2-2dr\right)=d^2r^4-2dr^5,\] czyli kwadrat wyrażenia \(r^2\sqrt{d^2-2dr}\). Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc \(V\) rośnie i maleje dokładnie tam, gdzie \(f\), i obie osiągają maksimum dla tego samego \(r\). **Krok \(7\).** Liczymy pochodną: \[f^{\prime}(r)=4d^2r^3-10dr^4=2dr^3\left(2d-5r\right).\] **Krok \(8\).** W dziedzinie \(2dr^3\gt0\), więc o znaku decyduje czynnik \(2d-5r\): pochodna jest dodatnia dla \(r\lt\frac{2d}{5}\), a ujemna dla \(r\gt\frac{2d}{5}\). Zatem \(f\) (a więc i \(V\)) osiąga największą wartość dla \(r=\frac{2d}{5}\), a punkt ten należy do dziedziny, bo \(\frac{2d}{5}\lt\frac{d}{2}\). **Krok \(9\).** Wyznaczamy krawędź podstawy: \[a=r\sqrt2=\frac{2d}{5}\sqrt2=\frac{2\sqrt2}{5}d.\] **Krok \(10\).** Wysokość i objętość: \[H=\sqrt{d^2-2d\cdot\frac{2d}{5}}=\sqrt{d^2-\frac{4d^2}{5}}=\sqrt{\frac{d^2}{5}}=\frac{d\sqrt5}{5},\] \[V=\frac13a^2H=\frac13\cdot\frac{8d^2}{25}\cdot\frac{d\sqrt5}{5}=\frac{8\sqrt5}{375}d^3.\] **Uwaga.** Pytanie dotyczy krawędzi podstawy \(a\), a nie promienia \(r\) — po znalezieniu \(r=\frac{2d}{5}\) trzeba jeszcze wykonać przeliczenie \(a=r\sqrt2\). Warto też pamiętać, że \(d\) jest ustaloną liczbą dodatnią, a nie zmienną. **Odpowiedź.** Krawędź podstawy ma długość \(a=\dfrac{2\sqrt2}{5}d\), a największa objętość wynosi \(V=\dfrac{8\sqrt5}{375}d^3\).

**Schemat oceniania (I sposób)** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie. **1 pkt** – a) wyznaczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokości w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie. **1 pkt** – b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej \(r\): \(V(r)=\frac{2}{3}\sqrt{r^{4}d^{2}-2r^{5}d}\). **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(V\): \(r\in\left(0,\frac{d}{2}\right)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wprowadzenie funkcji pomocniczej \(f(r)=r^{4}d^{2}-2r^{5}d\) i wyznaczenie pochodnej \(f'(r)=4r^{3}d^{2}-10r^{4}d=2r^{3}d(2d-5r)\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(r=\frac{2}{5}d\). **1 pkt** – c) uzasadnienie, że dla \(r=\frac{2}{5}d\) funkcja \(f\) osiąga największą wartość oraz że dla takiej wartości promienia objętość ostrosłupa jest największa. **Uwaga:** Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji \(V\), to nie może otrzymać punktu za ostatnią część etapu drugiego (uzasadnienie). **1 pkt** – Trzeci etap. Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości: \(a=\frac{2\sqrt{2}}{5}d\). Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa: \(V=\frac{8\sqrt{5}}{375}d^{3}\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **Schemat oceniania (II sposób)** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie. **1 pkt** – a) wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz pola podstawy w zależności od długości wysokości ostrosłupa. **1 pkt** – b) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej \(H\): \(V(H)=\frac{1}{6d^{2}}\left(d^{4}H-2d^{2}H^{3}+H^{5}\right)\). **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(V\): \(H\in(0,d)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wyznaczenie pochodnej \(V'(H)=\frac{1}{6d^{2}}\left(5H^{4}-6d^{2}H^{2}+d^{4}\right)\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(H=\frac{\sqrt{5}}{5}d\). **1 pkt** – c) uzasadnienie, że dla \(H=\frac{\sqrt{5}}{5}d\) objętość ostrosłupa jest największa. **Uwaga:** Jeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji \(V\), to nie może otrzymać punktu za ostatnią część etapu drugiego (uzasadnienie). **1 pkt** – Trzeci etap. Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości: \(a=\frac{2\sqrt{2}}{5}d\). Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa: \(V=\frac{8\sqrt{5}}{375}d^{3}\). Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 15. (0–7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość. Rozwiązanie (I sposób) Wprowadzamy oznaczenia: r – promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, b – krawędź boczna, a – krawędź podstawy, H – wysokość ostrosłupa. Z zależności r + b = d wyznaczamy b = d − r . W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa: H 2 = b2 − r 2 = ( b − r ) ( b + r ) = d ( b − r ) = d ( d − r − r ) = d ( d − 2r ) skąd wyznaczamy H = d ( d − 2r ) .  d  Zauważamy, że r > 0 oraz d − 2r > 0 , czyli r ∈  0,  .  2  Wyznaczamy a w zależności od r: a = r 2 i zapisujemy objętość ostrosłupa w zależności od zmiennej r.  d  1 2 V ( r ) = r 2 ⋅ 2 d 2 − 2dr = r 4d 2 − 2r5d dla r ∈  0,  . 3 3  2   d  Rozważamy funkcję pomocniczą f ( r ) = r 4d 2 − 2r5d , której dziedziną jest przedział  0,  .  2  Aby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną f ′( r ) = 4r3d 2 −10r 4d = 2r3d ( 2d − 5r )  d  2 Jedynym miejscem zerowym z przedziału  0,  jest r = d  2  5 ( r = 0 nie należy do dziedziny funkcji f ).

x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\), wartość największa \(\frac{5}{4}\)

**Krok \(1\).** \(1\)–\(3\) pkt: zapis i analiza funkcji −\(9\)\(x^{2}\)+\(3x\)+\(1\). \(4\) pkt: x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\) i maksimum \(\frac{5}{4}\). **Odpowiedź.** x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\), wartość największa \(\frac{5}{4}\)

**1–3 pkt** – zapis i analiza funkcji \(-9x^{2}+3x+1\). **4 pkt** – \(x=\frac{1}{6}\), \(z=\frac{2}{3}\) i maksimum \(\frac{5}{4}\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \([-4,+\infty)\)

Parabola jest skierowana ramionami w górę, a jej wierzchołek \(W=(2,-4)\) wyznacza najmniejszą wartość funkcji równą \(-4\). Zatem zbiorem wartości jest \[\left[-4,+\infty\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności funkcji, w tym zbioru wartości.

**D.** \(0\)

W przedziale \([1,4]\) parabola osiąga najmniejszą wartość \(-4\) w wierzchołku dla \(x=2\), a następnie rośnie do miejsca zerowego \(x=4\). Największą wartością na tym przedziale jest więc \[f(4)=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu wartości największej lub najmniejszej funkcji w podanym przedziale.

**D.** \(( -\infty,1]\)

Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek \(W=(1,1)\) wyznacza największą wartość funkcji równą \(1\). Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie większe od \(1\), więc jej zbiorem wartości jest \[(-\infty,1].\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z wykresu paraboli.

\[V(x)=8x^2(11-3x),\qquad D_V=\left(0,\frac52\right].\] Największa objętość występuje dla \[x=\frac{22}{9}\] i wynosi \[V_{\max}=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]

Szkielet składa się z dwunastu listewek. Cztery mają długość \(6-2x\), cztery długość \(10-3x\), a cztery długość \(6-x\). Każda ma pole przekroju \(x^2\), zatem \[V(x)=4x^2(6-2x)+4x^2(10-3x)+4x^2(6-x)=8x^2(11-3x).\] Z warunków geometrycznych otrzymujemy \(x>0\), \(6\geq2x\) i \(10-2x\geq2x\), więc \[D_V=\left(0,\frac52\right].\] Liczymy pochodną: \[V'(x)=8x(22-9x).\] W dziedzinie funkcja rośnie dla \(0<x<\frac{22}{9}\) i maleje dla \(\frac{22}{9}<x\leq\frac52\). Maksimum osiąga zatem dla \[x=\frac{22}{9}.\] Jego wartość jest równa \[V\left(\frac{22}{9}\right)=8\left(\frac{22}{9}\right)^2\left(11-3\cdot\frac{22}{9}\right)=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]

**7 pkt** – wyznaczenie funkcji i jej dziedziny, pełna analiza maksimum oraz obliczenie \(V_{\max}=\frac{42592}{243}\) **6 pkt** – poprawne ustalenie \(x=\frac{22}{9}\), bez poprawnego obliczenia największej objętości **5 pkt** – uzasadnienie znakiem pochodnej, że maksimum występuje dla \(x=\frac{22}{9}\) **4 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(0\) i \(\frac{22}{9}\) **3 pkt** – zapisanie długości trzech rodzajów listewek, funkcji \(V(x)=8x^2(11-3x)\) oraz dziedziny \(D_V=(0,\frac52]\) **2 pkt** – poprawne zapisanie funkcji objętości, nawet przy pominięciu lub błędzie w dziedzinie **1 pkt** – poprawne zapisanie długości listewek: \(6-2x\), \(10-3x\), \(6-x\) **0 pkt** – brak istotnego postępu Klucz CKE dopuszcza również zapis dziedziny \((0,\frac52)\).

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** optymalizacja - modelowanie objętości bryły funkcją wielomianową, warunki geometryczne dziedziny, pochodna i badanie największej wartości funkcji.

B

Wzór \(y=-(x-2)^2+4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((2,4)\), a ramiona są skierowane w dół (\(a=-1<0\)). Funkcja jest zatem malejąca dla \(x\geqslant2\). Cały przedział \(\langle3,5\rangle\) leży na prawo od wierzchołka, więc na tym przedziale funkcja maleje i największą wartość przyjmuje w lewym końcu: \[y(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3.\] Wartość \(4\) z wariantu A jest największą wartością funkcji w całej dziedzinie, ale osiąganą dla \(x=2\), czyli poza rozważanym przedziałem. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

D

Funkcja \(y=-(x-2)^{2}+4\) jest zapisana w postaci kanonicznej: jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku \((2,4)\). Na prawo od wierzchołka funkcja maleje, a przedział \(\langle3,5\rangle\) leży w całości na prawo od \(x=2\). Największą wartość funkcja przyjmuje więc na lewym końcu przedziału: \[y(3)=-(3-2)^{2}+4=-1+4=3.\] **Odpowiedź.** **D.** \(3\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Dla krawędzi x, \(2x\) i \(\frac{4}{x^{2}}\) pole powierzchni całkowitej ma postać P(x)=\(4\)\(x^{2}\)+\(24\)/x, a warunek sumy krawędzi daje dziedzinę x∈(\(1\),\(2\)). Pochodna P′(x)=\(8x\)−\(\frac{24}{x^{2}}\) zeruje się dla x=∛\(3\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni. Najmniejsze pole ma prostopadłościan o wymiarach ∛\(3\), \(2\)∛\(3\) i \(4\)∛\(\frac{3}{3}\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne z pochodną. Plan: wprowadzić jedną zmienną \(x\), wyrazić przez nią wszystkie trzy krawędzie (objętość jest dana, więc trzecia krawędź się wyznaczy), z warunku o sumie krawędzi odczytać dziedzinę, zapisać pole całkowite jako funkcję \(x\) i zbadać jej pochodną. **Krok \(2\).** Niech \(x\) będzie krótszą z dwóch krawędzi o stosunku \(1:2\); druga ma wtedy długość \(2x\). Trzecią krawędź \(z\) wyliczamy z objętości: \[x\cdot2x\cdot z=8,\qquad 2x^2z=8,\qquad z=\frac{4}{x^2}.\] **Krok \(3\).** Prostopadłościan ma \(12\) krawędzi — po cztery każdej długości, więc ich suma to \[4\left(x+2x+\frac4{x^2}\right)=4\left(3x+\frac4{x^2}\right)\lt28,\qquad 3x+\frac4{x^2}\lt7.\] **Krok \(4\).** Mnożymy stronami przez \(x^2\gt0\) i przenosimy wszystko na jedną stronę: \[3x^3+4\lt7x^2,\qquad 3x^3-7x^2+4\lt0.\] **Krok \(5\).** Zauważamy, że \(x=1\) jest pierwiastkiem (\(3-7+4=0\)), więc dzielimy przez \((x-1)\): \[3x^3-7x^2+4=(x-1)\left(3x^2-4x-4\right)=(x-1)(3x+2)(x-2).\] **Krok \(6\).** Dla \(x\gt0\) czynnik \(3x+2\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \((x-1)(x-2)\lt0\), czyli \(x\in(1,2)\). To jest dziedzina rozważanej funkcji. **Krok \(7\).** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(x\), \(2x\), \(z\): \[P=2\left(x\cdot2x+x\cdot z+2x\cdot z\right)=2\left(2x^2+3xz\right)=4x^2+6xz=4x^2+6x\cdot\frac{4}{x^2}=4x^2+\frac{24}{x}.\] **Krok \(8\).** Liczymy pochodną (korzystamy z \(\left(\frac{24}{x}\right)^{\prime}=-\frac{24}{x^2}\)): \[P^{\prime}(x)=8x-\frac{24}{x^2}=\frac{8x^3-24}{x^2}.\] **Krok \(9\).** Mianownik jest dodatni, więc znak pochodnej to znak licznika. \(P^{\prime}(x)=0\) dla \(8x^3=24\), czyli \(x^3=3\), a stąd \(x=\sqrt[3]{3}\approx1{,}44\), co należy do przedziału \((1,2)\). **Krok \(10\).** Dla \(x\lt\sqrt[3]3\) licznik jest ujemny (funkcja maleje), a dla \(x\gt\sqrt[3]3\) dodatni (funkcja rośnie), więc w punkcie \(x=\sqrt[3]3\) funkcja \(P\) osiąga minimum, i jest to zarazem jej najmniejsza wartość w dziedzinie. **Krok \(11\).** Wyznaczamy wymiary: \(x=\sqrt[3]3\), \(2x=2\sqrt[3]3\) oraz \[z=\frac{4}{\left(\sqrt[3]3\right)^2}=\frac{4}{3^{2/3}}=\frac{4\sqrt[3]3}{3}.\] **Uwaga.** Dziedziny nie wolno pominąć: bez warunku o sumie krawędzi zbiorem dopuszczalnych \(x\) byłoby całe \((0,+\infty)\). Trzeba też sprawdzić, że znaleziony punkt \(\sqrt[3]3\) rzeczywiście leży w \((1,2)\). **Odpowiedź.** \(P(x)=4x^2+\dfrac{24}{x}\) dla \(x\in(1,2)\); najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma prostopadłościan o wymiarach \(\sqrt[3]3\), \(2\sqrt[3]3\), \(\dfrac{4\sqrt[3]3}{3}\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.** **Pierwszy etap: po 1 pkt za każdą z trzech części** – a) zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od zmiennej \(x\); b) zapisanie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji zmiennej \(x\): \(P_C(x)=4x^2+\tfrac{24}{x}\); c) określenie dziedziny funkcji \(P\): \((1,2)\). Jeśli zdający od razu zapisze pole powierzchni całkowitej w zależności od zmiennej \(x\), to otrzymuje 1 pkt za część a) i 1 pkt za część b). **Drugi etap: po 1 pkt za każdą z trzech części** – a) wyznaczenie pochodnej funkcji wymiernej […]; b) obliczenie miejsca zerowego pochodnej: \(x=\) […]; c) uzasadnienie, że dla tego miejsca zerowego funkcja \(P_C\) osiąga najmniejszą wartość, np. zapisanie, że w przedziale […] funkcja \(P_C\) jest malejąca, w przedziale […] jest rosnąca, a w punkcie osiąga minimum lokalne, które jest najmniejszą wartością tej funkcji. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 pkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **Trzeci etap: 1 pkt** – obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu o najmniejszym polu powierzchni całkowitej.

Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie pola powierzchni prostopadłościanu funkcją jednej zmiennej, wyznaczanie dziedziny i optymalizacja z użyciem pochodnej.

Największa wartość funkcji jest równa \(42{,}25\); kod: \(2\), \(2\), \(5\).

**Krok \(1\).** Skoro \(a=-1\), a miejscami zerowymi są \(x_{1}=-1\) i \(x_{2}=12\), to \[f(x)=-(x+1)(x-12).\] **Krok \(2\).** Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-1+12}{2}=5{,}5.\] **Krok \(3\).** Ramiona paraboli są skierowane w dół (\(a=-1\lt 0\)), więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą: \[f(5{,}5)=-(5{,}5+1)(5{,}5-12)=-6{,}5\cdot(-6{,}5)=42{,}25.\] **Krok \(4\).** Kodujemy cyfrę jedności wyniku oraz dwie pierwsze cyfry po przecinku: \(42{,}25\) daje cyfry \(2\), \(2\), \(5\). **Odpowiedź.** Największa wartość funkcji wynosi \(42{,}25\), a kod to \(225\).

Klasyfikacja rzeczowa: odtwarzanie wzoru funkcji kwadratowej z miejsc zerowych i wyznaczanie jej największej wartości.

\[a=-\frac12.\]

Ponieważ \(f(-6)=f(0)\), oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-3\). Największa wartość funkcji jest równa \(6\), więc \[f(x)=a(x+3)^2+6.\] Podstawiamy \(f(0)=\frac32\): \[9a+6=\frac32,\qquad 9a=-\frac92,\qquad a=-\frac12.\]

**4 pkt** – obliczenie \(a=-\frac12\) **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. \(a(0+3)^2+6=\frac32\), albo poprawne wyznaczenie \(b=-3\) i \(c=\frac32\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+3)^2+6\) albo pełnego układu równań wynikającego z danych **1 pkt** – wyznaczenie osi symetrii \(x=-3\), użycie \(q=6\), zapisanie dwóch równań z wartości funkcji albo równoważny istotny postęp **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** postać kanoniczna funkcji kwadratowej, oś symetrii i wyznaczanie wzoru funkcji z podanych informacji.

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

Skoro funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\), to można ją zapisać w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-6).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(1)=-5\): \[a(1+2)(1-6)=-5,\qquad -15a=-5,\qquad a=\frac13.\] Ponieważ \(a>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę, a więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+6}{2}=2.\] Najmniejsza wartość to \[q=f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=\frac13\cdot4\cdot(-4)=-\frac{16}{3}.\] **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

**1–3 pkt** – postać iloczynowa, współczynnik \(a=\tfrac{1}{3}\) i argument wierzchołka \(x=2\). **4 pkt** – wartość najmniejsza \(-\tfrac{16}{3}\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\(r=\frac{\sqrt3}{3}\) oraz \(V_{\max}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).

**Krok \(1\).** Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(h\) wysokość walca. Z warunku zadania \[2\pi r^2+2\pi rh=2\pi,\qquad\text{czyli}\qquad r^2+rh=1,\] skąd \(h=\frac{1-r^2}{r}\). Ponieważ \(r>0\) i \(h>0\), dziedziną jest przedział \(r\in(0,1)\). **Krok \(2\).** Objętość walca zapisujemy jako funkcję zmiennej \(r\): \[V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\cdot\frac{1-r^2}{r}=\pi\left(r-r^3\right),\qquad r\in(0,1).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy pochodną i jej miejsce zerowe: \[V^{\prime}(r)=\pi\left(1-3r^2\right),\qquad V^{\prime}(r)=0\iff r^2=\frac13\iff r=\frac{\sqrt3}{3}.\] **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej: dla \(r\in\left(0,\frac{\sqrt3}{3}\right)\) jest \(V^{\prime}(r)>0\), a dla \(r\in\left(\frac{\sqrt3}{3},1\right)\) jest \(V^{\prime}(r)<0\). Funkcja \(V\) najpierw rośnie, a potem maleje, więc dla \(r=\frac{\sqrt3}{3}\) osiąga wartość największą. **Krok \(5\).** Obliczamy tę wartość. Ponieważ \(\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{27}=\frac{\sqrt3}{9}\), to \[V\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{9}\right)=\pi\cdot\frac{3\sqrt3-\sqrt3}{9}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi.\] Odpowiadająca temu wysokość walca to \(h=\frac{1-\frac13}{\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}=2r\). **Odpowiedź.** Największą objętość ma walec o promieniu podstawy \(r=\frac{\sqrt3}{3}\), a ta największa objętość jest równa \(V=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).

Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie objętości walca funkcją jednej zmiennej, wyznaczanie dziedziny i optymalizacja z użyciem pochodnej.

**D.** \(( -\infty,9]\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(1,9)\) wyznacza największą wartość funkcji równą \(9\). Zatem zbiorem wartości jest \(( -\infty,9]\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z wykresu paraboli.

**B.** \(5\)

Z miejsc zerowych i wierzchołka wynika \(f(x)=-(x+2)(x-4)\). W przedziale \([-1,2]\) największa wartość jest w wierzchołku, a najmniejszą porównujemy na końcach: \[f(-1)=5,\qquad f(2)=8.\] Najmniejsza wartość jest równa \(5\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie wartości i ekstremum funkcji w przedziale.

\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=-\frac{121}{4}.\]

Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{11}{2}.\] Ponieważ \(\frac{11}{2}\in[-6,6]\) i ramiona paraboli są skierowane w górę, najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi \[f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\frac{11}{2}=-\frac{121}{4}.\]

**2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-\frac{121}{4}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(x_w=\frac{11}{2}\) lub równoważnej postaci kanonicznej funkcji **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** funkcja kwadratowa - wyznaczanie najmniejszej wartości w przedziale domkniętym.

D

Wyrażenie \((x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}\) jest najmniejsze, gdy \(x^{2}\) jest jak najmniejsze, a \(y^{2}\) jak największe. Dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) minimum osiągamy przy \(x=2\) i \(y=4\): \[(2-4)(2+4)=-2\cdot6=-12.\] **Odpowiedź.** D

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4.\]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((-3,4)\), więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x+3)^2+4.\] Punkt \(A=(-1,3)\) należy do wykresu, zatem \[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\] skąd \(a=-\frac14\).

**1 pkt** – zapisanie postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) i wykorzystanie punktu \(A\) **2 pkt** – podanie poprawnego wzoru \(f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

**C.** \(a=-1\).

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej: \[f(x)=-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji wynosi \(-1\). Prosta pozioma \(y=a\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek. Zatem \(a=-1\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

**C.** \(-3\).

Mamy \[f(x)=x^2+4x-3=(x+2)^2-7.\] Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \(-2\), więc na przedziale \(\langle0,3\rangle\) funkcja jest rosnąca. Najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=0\): \[f(0)=-3.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-4\).

Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na przedziale \(( -\infty,3\rangle\), a zatem również na \(\langle0,1\rangle\). Najmniejszą wartość przyjmuje w prawym końcu przedziału: \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej wartości \(-4\) wraz z uzasadnieniem wyboru argumentu \(x=1\) **1 pkt** – poprawne ustalenie monotoniczności na \(\langle0,1\rangle\) lub poprawne obliczenie \(f(1)=-4\), lecz bez pełnego uzasadnienia odpowiedzi **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Najmniejsza wartość funkcji w przedziale \([0,1]\) jest równa \(-4\).

Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na \(( -\infty,3]\). Cały przedział \([0,1]\) leży w tym zakresie, dlatego najmniejsza wartość jest przyjmowana w prawym końcu, dla \(x=1\). Mamy \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-4\) z uzasadnieniem monotoniczności **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka lub ustalenie, że funkcja maleje na \([0,1]\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Wartość najmniejsza: \(-6\). Wartość największa: \(3\).

Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2}=3,\] która należy do \([0,4]\). Zatem wartość najmniejsza wynosi \(f(3)=9-18+3=-6\). Na końcach przedziału mamy \(f(0)=3\) i \(f(4)=16-24+3=-5\), więc wartość największa to \(3\).

**1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka i wartości najmniejszej \(-6\) **2 pkt** – dodatkowe sprawdzenie końców przedziału i podanie wartości największej \(3\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 zdający wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]

Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).

**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\) **4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu **3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\) **2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\) **1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.

Dla każdego \(x>0\) zachodzi \(x^2+\frac{16}{x}\geq12\), przy czym równość występuje dla \(x=2\).

Niech \[f(x)=x^2+\frac{16}{x},\qquad x\in(0,+\infty).\] Pochodna ma postać \[f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}.\] Dla \(x>0\) czynniki \(x^2\) i \(x^2+2x+4\) są dodatnie. Zatem \(f'(x)<0\) dla \(x\in(0,2)\), \(f'(2)=0\) i \(f'(x)>0\) dla \(x\in(2,+\infty)\). Funkcja maleje do punktu \(x=2\), a następnie rośnie, więc osiąga tam minimum. Ponieważ \[f(2)=2^2+\frac{16}{2}=12,\] to \(f(x)\geq12\) dla każdego \(x>0\).

**Oficjalny schemat CKE dla sposobu z pierwszą pochodną:** **1 pkt** – istotny postęp: określenie funkcji \(f(x)=x^2+\frac{16}{x}\) dla \(x>0\) i poprawne obliczenie pochodnej **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej oraz przedziałów jej znaku **3 pkt** – rozwiązanie pełne: uzasadnienie minimum w \(x=2\), obliczenie \(f(2)=12\) i zapisanie wniosku

Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **równania i nierówności** oraz badanie najmniejszej wartości funkcji za pomocą pochodnej.

\[m=-4.\]

Zakładamy \(m\neq5,-3,2\), aby \(f\) była funkcją kwadratową. Warunek istnienia wartości największej daje \[\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}<0,\qquad m\in(-\infty,-3)\cup(2,5).\] Dwa różne miejsca zerowe wymagają \[\Delta=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)>0,\] czyli \(-\frac{14}{3}<m<2\). Jednakowe znaki pierwiastków wymagają dodatniego iloczynu: \[x_1x_2=\frac{m-5}{(m^2+m-6)/(m-5)}=\frac{(m-5)^2}{(m+3)(m-2)}>0.\] Po przecięciu warunków otrzymujemy \[m\in\left(-\frac{14}{3},-3\right).\] Jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(m=-4\).

**6 pkt** – wyznaczenie \(m=-4\) z kompletem warunków **5 pkt** – poprawne rozwiązanie trzech nierówności bez końcowego wskazania liczby całkowitej **4 pkt** – poprawne warunki na znak współczynnika kwadratowego i iloczyn pierwiastków **3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednej z tych dwóch nierówności i warunek \(\Delta>0\) **2 pkt** – zapisanie dwóch koniecznych warunków **1 pkt** – poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(-\frac{14}{3}<m<2\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** funkcja kwadratowa z parametrem, wyróżnik, wzory Viète'a i nierówności wymierne.

**D.** \((-2,2]\).

Z wykresu odczytujemy, że najmniejsza wartość \(-2\) nie jest przyjmowana, co oznaczono pustym punktem. Największa wartość \(2\) jest przyjmowana przez funkcję. Wszystkie wartości pośrednie również występują, więc zbiorem wartości jest \((-2,2]\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 zdający odczytuje z wykresu własności funkcji.

Dłuższa podstawa powinna mieć długość \(8\ \mathrm{dm}\), a największe pole okna wynosi \(12\sqrt3\ \mathrm{dm}^2\).

Niech \(x\) oznacza długość rzutu prostokątnego ramienia na prostą zawierającą dłuższą podstawę. Wtedy dłuższa podstawa ma długość \(4+2x\), a wysokość trapezu wynosi \[h=\sqrt{16-x^{2}},\qquad x\in(0,4).\] Pole okna jest funkcją zmiennej \(x\): \[P(x)=\frac{4+(4+2x)}{2}\cdot h=(4+x)\sqrt{16-x^{2}}.\] Funkcja \(P\) jest dodatnia, więc osiąga maksimum tam, gdzie maksimum osiąga jej kwadrat: \[f(x)=P^{2}(x)=(4+x)^{2}\left(16-x^{2}\right)=(4+x)^{3}(4-x).\] Obliczamy pochodną: \[f'(x)=3(4+x)^{2}(4-x)-(4+x)^{3}=(4+x)^{2}\left(12-3x-4-x\right)=(4+x)^{2}(8-4x).\] Dla \(x\in(0,4)\) czynnik \((4+x)^{2}\) jest dodatni, więc znak pochodnej wyznacza \(8-4x\): pochodna jest dodatnia dla \(x<2\) i ujemna dla \(x>2\). Funkcja \(f\), a wraz z nią \(P\), osiąga więc maksimum dla \(x=2\). Wtedy \[h=\sqrt{16-4}=2\sqrt3,\qquad \text{dłuższa podstawa}=4+2\cdot2=8,\] \[P=\frac{4+8}{2}\cdot2\sqrt3=12\sqrt3\ \mathrm{dm}^2\approx20{,}8\ \mathrm{dm}^2.\] **Odpowiedź.** Dłuższa podstawa powinna mieć długość \(8\ \mathrm{dm}\); największe pole okna wynosi \(12\sqrt3\ \mathrm{dm}^2\).

**Schemat oceniania I sposobu rozwiązania** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Zdający może otrzymać maksymalnie po \(1\) punkcie za realizację każdej z części tego etapu, przy czym dziedzina funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale z geometrycznych warunków zadania. **1 pkt** – a) wybór zmiennej \(x\) (długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierającą dłuższą podstawę trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej wysokości trapezu: \(h=\sqrt{16-x^2}\). **1 pkt** – b) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej \(x\): \(P(x)=\) […]. **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(P\): \((0,4)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje \(1\) punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej \(f(x)=-x^4-8x^3+128x+256\): \(f'(x)=\) […] \(+128\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(x_1=\) […], \(x_2=-4\), \(x_3=2\). **1 pkt** – c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) osiąga wartość największą w punkcie \(x=2\). Trzeci etap. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje \(1\) punkt. **1 pkt** – obliczenie pola trapezu dla \(x=2\): \(P(2)=12\sqrt{3}\). **Uwaga:** Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie […]. **Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części. Zdający może otrzymać maksymalnie po \(1\) punkcie za realizację każdej z części tego etapu, przy czym dziedzina funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale z geometrycznych warunków zadania. **1 pkt** – a) wybór zmiennej \(x\) (długość dłuższej podstawy trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej wysokości trapezu: \(h=\) […]. **1 pkt** – c) określenie dziedziny funkcji \(P\): \((4,12)\). Drugi etap składa się z trzech części. Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje \(1\) punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. **1 pkt** – a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej \(f(x)=\) […] \(+512x+768\): \(f'(x)=\) […] \(+512\). **1 pkt** – b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(x_1=\) […], \(x_2=-4\), \(x_3=\) […]. **1 pkt** – c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) osiąga wartość największą w punkcie \(x=8\). Trzeci etap. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje \(1\) punkt. **1 pkt** – obliczenie pola trapezu dla \(x=8\): \(P(8)=12\sqrt{3}\). **Uwaga:** Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie […].

Zadanie 18. (0–7) Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. V. Rozumowanie R11.6. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania i argumentacja zagadnień optymalizacyjnych. Rozwiązanie (I sposób): Niech x oznacza długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą podstawę trapezu, a h – wysokość trapezu. 4 4 4 h x 4 x Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 0  x  4 . Przy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem: 2  4  2x P   h  4  x  h i 0  x  4 2 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy x2  h2  42 , stąd h  16  x2 . Pole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem: P  x  4  x 16  x2  4  x2  16  x2    4  x3 4  x  x4  8x3 128x  256 gdzie 0  x  4 . Należy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 0  x  4 , funkcja P określona wzorem P  x  x4  8x3 128x  256 przyjmuje wartość największą. Funkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja f  x  x4  8x3 128x  256 osiąga w przedziale 0, 4 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy pochodną tej funkcji f  x  4x3  24x2 128 Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej: x  x  4 , x  2 1 2 3 Ponadto:  f  x  0 w przedziale 0, 2 ,  f  x  0 w przedziale 2, 4 Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 0 , 2 i malejąca w przedziale 2 , 4 . Ponieważ P  x  f  x dla x 0, 4 , więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 0 , 2 , a malejąca w przedziale 2 , 4 . Stąd wynika, że w punkcie x  2 funkcja P przyjmuje wartość największą. Gdy x  2 , to 2x  4  8 , czyli dłuższa podstawa trapezu ma długość 8, a pole tego trapezu jest wówczas równe P 2  4  2  16  22  6  2 3  12 3 . Odpowiedź: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa podstawa ma długość 8 dm. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części: a) wybór zmiennej x (długość rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą podstawę trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej wysokości trapezu: h  16  x2 b) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: P  x  4  x 16  x2 c) określenie dziedziny funkcji P: 0, 4 Zdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu, przy czym dziedzina funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale z geometrycznych warunków zadania. Drugi etap składa się z trzech części: a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej f  x  x4  8x3 128x  256 : f  x  4x3  24x2 128 , b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x  x  4 , x  2 , 1 2 3 c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga wartość największą w punkcie x  2 . Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Trzeci etap. Obliczenie pola trapezu dla x  2 : P 2  12 3 . Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga: Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie x  2 . Rozwiązanie (II sposób): Niech x oznacza długość dłuższej podstawy trapezu, a h – wysokość trapezu. 4 4 4 h y y 4 x Długość y rzutu prostokątnego ramienia trapezu na prostą zawierająca dłuższą podstawę x  4 trapezu jest wówczas równa y  . 2 Z geometrycznych warunków zadania wynika, że 4  x  12 . Przy tak przyjętych oznaczeniach pole trapezu jest określone wzorem: x  4 P   h i 4  x  12 2 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy y2  h2  42 ,  x4 2  h2  42 . 2 stąd h  16   x4 2  16  x28x16  64x28x16  1 x2  8x  48 2 4 4 2 Pole trapezu, w zależności od zmiennej x, jest określone wzorem: x  4 1 1 P  x   x2  8x  48   x  42  x2  8x  48   2 2 4 1 1   x2  8x 16   x2  8x  48   x4  96x2  512x  768 4 4 gdzie 4  x  12 . Należy obliczyć, dla jakiego x spełniającego nierówność 4  x  12 , funkcja P określona 1 wzorem P  x  x4  96x2  512x  768 przyjmuje wartość największą. 4 Funkcja P osiąga wartość największą, gdy funkcja f  x  x4  96x2  512x  768 osiąga w przedziale 4,12 wartość największą. Wystarczy więc zbadać funkcję f. Wyznaczmy pochodną tej funkcji f  x  4x3 192x  512 Następnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej: x  x  4 , x  8 . 1 2 3 Ponadto:  f  x  0 w przedziale 4,8  f  x  0 w przedziale 8,12 Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale 4 ,8 i malejąca w przedziale 8,12 . 1 Ponieważ P  x  f  x dla x 4,12 , więc funkcja P jest rosnąca w przedziale 4 ,8 , 4 a malejąca w przedziale 8,12 . Stąd wynika, że w punkcie x  8 funkcja P przyjmuje wartość największą. Dla x  8 pole tego trapezu jest równe 4  8 1 P 8   82  88  48  3 48  12 3 2 2 Odpowiedź.: Największe pole, równe 12 3 dm2, ma szyba w kształcie trapezu, którego dłuższa podstawa ma długość 8 dm. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z trzech części: a) wybór zmiennej x (długość dłuższej podstawy trapezu) i zapisanie za pomocą tej zmiennej wysokości trapezu: h  16   x4 2 2 x  4 b) zapisanie pola trapezu w zależności od zmiennej x: P  x   x2  8x  48 4 c) określenie dziedziny funkcji P: 4, 12 . Zdający może otrzymać maksymalnie po 1 punkcie za realizację każdej z części tego etapu, przy czym dziedziną funkcji nie może wynikać jedynie z wyznaczonego wzoru funkcji, ale z geometrycznych warunków zadania. Drugi etap składa się z trzech części: a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej f  x  x4  96x2  512x  768 : f  x  4x3 192x  512 , b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x  x  4 , x  8 , 1 2 3 c) uzasadnienie (np. przez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja P osiąga wartość największą w punkcie x  8 . Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Trzeci etap. Obliczenie pola trapezu dla x  8 : P 8  12 3 . Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga: Punkt za trzeci etap przyznajemy tylko w przypadku, gdy zdający wyznaczył poprawnie x  8 .

**A.** \(\langle-10,2\rangle\)

Współczynnik kierunkowy \(3\) jest dodatni, więc funkcja \(f(x)=3x-4\) jest rosnąca. Na przedziale domkniętym funkcja rosnąca przyjmuje wartość najmniejszą w lewym końcu, a największą w prawym, i — jako funkcja ciągła — wszystkie wartości pośrednie. Obliczamy wartości na końcach: \[f(-2)=3\cdot(-2)-4=-10,\qquad f(2)=3\cdot2-4=2.\] Oba końce dziedziny należą do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc obie te wartości są przyjmowane i zbiór wartości jest przedziałem domkniętym: \[ZW_f=\langle-10,2\rangle.\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-10,2\rangle\)

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\[P(A)=\frac16.\]

Wszystkich jednakowo prawdopodobnych trzyelementowych podzbiorów zbioru \(\{1,2,\ldots,10\}\) jest \[|\Omega|=\binom{10}{3}=120.\] Zdarzeniu sprzyja trójka postaci \(\{a,b,a+b\}\), gdzie \(1\leq a<b\) oraz \(a+b\leq10\). Dla kolejnych wartości największej liczby od \(3\) do \(10\) liczby takich rozkładów wynoszą \[1,1,2,2,3,3,4,4.\] Zatem \[|A|=1+1+2+2+3+3+4+4=20.\] Wobec tego \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{20}{120}=\frac16.\]

**4 pkt** – poprawne prawdopodobieństwo \(\frac16\) **3 pkt** – poprawne obliczenie \(|A|=20\) oraz \(|\Omega|=120\), lecz usterka w wyniku końcowym **2 pkt** – poprawne zliczenie \(20\) zdarzeń sprzyjających **1 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=\binom{10}{3}\) albo poprawny opis trójki \(\{a,b,a+b\}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa i wykorzystuje kombinacje do zliczania wyników losowania.

**A.** \(3\)

Największą wartością funkcji jest rzędna najwyżej położonego punktu wykresu. Z rysunku odczytujemy, że wykres najwyżej wznosi się na poziom \(3\): najpierw na poziomym odcinku między punktami \((-1,3)\) i \((2,3)\), a następnie w prawym końcu, zaznaczonym kropką pełną w punkcie \((8,3)\). Wartość \(3\) jest więc osiągana i żadna wartość funkcji jej nie przekracza. Liczba \(8\) z wariantu D jest największym **argumentem**, a nie wartością — to typowe pomylenie osi. **Odpowiedź.** A: \(3\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Najmniejsza wartość wynosi \(20\). Niech a+b=\(4\), a kąt między tymi bokami ma \(120\)°. Z twierdzenia cosinusów \(c^{2}\)=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+ab. Suma S=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\) po podstawieniu b=\(4\)−a ma postać S(a)=\(3\)\(a^{2}\)−\(12a\)+\(32\) i osiąga minimum dla a=\(2\).

**Krok \(1\).** Dane są dwa boki (a właściwie ich suma) i kąt między nimi — to wprost sytuacja z twierdzenia cosinusów, które pozwoli wyrazić trzeci bok przez dwa pierwsze. Warunek \(a+b=4\) pozwoli potem zejść do jednej zmiennej, a szukanie najmniejszej wartości sprowadzi się do wierzchołka paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) i \(b\) długości boków tworzących kąt \(120^\circ\), a przez \(c\) długość trzeciego boku. Z treści \(a+b=4\). **Krok \(3\).** Twierdzenie cosinusów dla kąta \(120^\circ\), przy czym \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab.\] **Krok \(4\).** Suma kwadratów wszystkich boków wynosi więc \[S=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a^2+b^2+ab)=2(a^2+b^2)+ab.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b=4-a\). Liczymy osobno oba składniki: \[a^2+b^2=a^2+(4-a)^2=a^2+16-8a+a^2=2a^2-8a+16,\] \[ab=a(4-a)=4a-a^2.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy do wzoru na \(S\): \[S(a)=2\big(2a^2-8a+16\big)+4a-a^2=4a^2-16a+32+4a-a^2=3a^2-12a+32.\] **Krok \(7\).** Dziedziną są te \(a\), dla których trójkąt istnieje: \(a\gt 0\) oraz \(b=4-a\gt 0\), czyli \(a\in(0,4)\). **Krok \(8\).** Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[a_w=\frac{12}{2\cdot3}=2,\] a liczba \(2\) należy do przedziału \((0,4)\). **Krok \(9\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[S(2)=3\cdot4-12\cdot2+32=12-24+32=20.\] (Wtedy \(a=b=2\), \(c^2=4+4+4=12\), czyli \(c=2\sqrt3\) — taki trójkąt rzeczywiście istnieje.) **Uwaga.** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny i po podstawieniu do twierdzenia cosinusów minus zamienia się w plus: \(c^2=a^2+b^2+ab\). Trzeba też sprawdzić, czy wierzchołek paraboli mieści się w dziedzinie — tu mieści się, więc odpowiedź jest po prostu wartością w wierzchołku. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków wynosi \(20\).

**1 pkt** – zdający wyznaczy kwadrat długości trzeciego boku tego trójkąta i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej: \(S(a)=3a^{2}-12a+32\) lub \(S(b)=3b^{2}-12b+32\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków tego trójkąta jest równa \(20\). Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje \(2\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: twierdzenie cosinusów i minimum funkcji kwadratowej.

a) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(7\). b) \(f(x)<0\) dla \(x\in(-3,5)\).

Odczytu dokonujemy z wykresu funkcji określonej na przedziale \(\langle-7,8\rangle\); oba końce wykresu zaznaczono kropkami pełnymi. **a)** Najwyżej położony punkt wykresu to wierzchołek prawego garbu: dla \(x=6\) wykres sięga poziomu \(y=7\). Żaden inny fragment nie wznosi się wyżej — lewy koniec leży na poziomie \(6\), a prawy na poziomie \(4\). Największa wartość funkcji jest więc równa \[f(6)=7.\] **b)** Nierówność \(f(x)<0\) spełniają te argumenty, dla których wykres leży poniżej osi \(Ox\). Wykres przecina oś \(Ox\) dokładnie dwa razy: opadając dla \(x=-3\) i wznosząc się dla \(x=5\). Między tymi argumentami cały wykres leży pod osią, poza nimi nad osią. Same miejsca zerowe wykluczamy, bo nierówność jest ostra: \[f(x)<0\iff x\in(-3,5).\] **Odpowiedź.** a) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(7\). b) \(f(x)<0\) dla \(x\in(-3,5)\).

1 pkt: poprawne podanie największej wartości 7 albo poprawne podanie przedziału (−3, 5). 2 pkt: poprawne podanie obu odpowiedzi.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne (II.4.b).

**B.** \(3\)

Szukamy najwyżej położonego punktu wykresu, ale tylko na fragmencie odpowiadającym przedziałowi \(\langle-1,1\rangle\); wartości poza tym przedziałem nie mają znaczenia. Z rysunku odczytujemy, że dla \(x=-1\) wykres osiąga lokalne minimum \(f(-1)=1\), a następnie rośnie aż do punktu \((1,3)\). Na całym przedziale \(\langle-1,1\rangle\) funkcja jest więc rosnąca i największą wartość przyjmuje w prawym końcu: \[f(1)=3.\] Wartość \(4\) wykres osiąga w punkcie \((-3,4)\), który leży poza rozważanym przedziałem, więc odpowiedź A jest błędna. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 25. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\(P=(-1,2)\). Punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\), a suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest funkcją \(f(x)=130x^2+260x+310\), która najmniejszą wartość osiąga dla \(x=-1\).

**Krok \(1\).** Szukany punkt ma leżeć na danej prostej, więc opiszmy go jedną zmienną. Wtedy suma \(|AP|^2+|BP|^2\) stanie się funkcją tej zmiennej, a że w odległościach występują kwadraty, będzie to funkcja kwadratowa — a najmniejszą wartość funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku przy \(x^2\) znajdujemy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Punkt prostej \(y=8x+10\) ma postać \[P=(x,\ 8x+10).\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwszy składnik, korzystając ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(A=(3,-2)\): \[|AP|^2=(x-3)^2+\big(8x+10-(-2)\big)^2=(x-3)^2+(8x+12)^2.\] **Krok \(4\).** Podobnie dla \(B=(11,4)\): \[|BP|^2=(x-11)^2+(8x+10-4)^2=(x-11)^2+(8x+6)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty: \[(x-3)^2=x^2-6x+9,\qquad (8x+12)^2=64x^2+192x+144,\] \[(x-11)^2=x^2-22x+121,\qquad (8x+6)^2=64x^2+96x+36.\] **Krok \(6\).** Dodajemy stronami i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=130x^2+(-6+192-22+96)x+(9+144+121+36)=130x^2+260x+310.\] **Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(130\gt 0\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-260}{2\cdot130}=-1.\] **Krok \(8\).** Wracamy do równania prostej: \(y=8\cdot(-1)+10=2\), więc \(P=(-1,2)\). **Uwaga.** Nie liczymy tu miejsc zerowych funkcji \(f\) (parabola leży w całości nad osią \(OX\)) ani nie szukamy pierwiastków — interesuje nas wyłącznie wierzchołek. Warto też sprawdzić, że otrzymany punkt faktycznie leży na prostej, bo drugą współrzędną wyznaczamy właśnie z jej równania. **Odpowiedź.** \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=130-260+310=180\).

**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie za pomocą niewiadomej \(x\) współrzędnych punktu \(P\): \(P=(x,8x+10)\). **2 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=130x^{2}+260x+310\). **3 pkt** – obliczenie \(x\), dla którego funkcja \(f(x)=130x^{2}+260x+310\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Rozwiązanie pełne** – podanie współrzędnych punktu \(P\), dla którego suma \(\lvert AP\rvert^{2}+\lvert BP\rvert^{2}\) przyjmuje najmniejszą wartość: \(P=(-1,2)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV.8.e, 4.k).

Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) to \(511{,}25\), a największa \(651{,}25\). Mamy \(|PQ|^2=\left(25-\frac m2\right)^2+m^2=\frac54\left(m^2-20m+500\right)\); wierzchołek paraboli wypada dla \(m=10\), czyli poza przedziałem \(\langle-1,7\rangle\), więc wartości skrajne przyjmowane są na jego końcach.

**Krok \(1\).** Punkt \(P\) zależy od jednego parametru \(m\), więc \(|PQ|^2\) będzie funkcją zmiennej \(m\) — i to funkcją kwadratową. Szukamy jej wartości najmniejszej i największej, ale nie na całej prostej, tylko na przedziale domkniętym \(\langle-1,7\rangle\); dlatego po wyznaczeniu wierzchołka trzeba sprawdzić, czy w ogóle do tego przedziału należy. **Krok \(2\).** Ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(P=\left(\tfrac12m+\tfrac52,\ m\right)\) i \(Q=\left(\tfrac{55}{2},0\right)\): \[|PQ|^2=\left(\frac{55}{2}-\frac12m-\frac52\right)^2+(0-m)^2.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy pierwszy nawias: \(\frac{55}{2}-\frac52=\frac{50}{2}=25\), więc \[|PQ|^2=\left(25-\frac{m}{2}\right)^2+m^2.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat: \[\left(25-\frac{m}{2}\right)^2=625-25m+\frac{m^2}{4},\] zatem \[f(m)=625-25m+\frac{m^2}{4}+m^2=\frac54m^2-25m+625.\] **Krok \(5\).** Wygodnie wyłączyć \(\frac54\) przed nawias: \[f(m)=\frac54\left(m^2-20m+500\right),\qquad m\in\langle-1,7\rangle.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[m_w=\frac{20}{2}=10.\] **Krok \(7\).** Liczba \(10\) nie należy do przedziału \(\langle-1,7\rangle\) — cały przedział leży na lewo od wierzchołka, a tam parabola o ramionach skierowanych w górę maleje. Wartości skrajne funkcja przyjmuje więc na końcach przedziału: największą w \(m=-1\), najmniejszą w \(m=7\). **Krok \(8\).** Liczymy obie wartości: \[f(-1)=\frac54\big(1+20+500\big)=\frac54\cdot521=651{,}25,\] \[f(7)=\frac54\big(49-140+500\big)=\frac54\cdot409=511{,}25.\] **Uwaga.** Gdyby bezmyślnie wstawić \(m_w=10\), otrzymalibyśmy wartość \(f(10)=125\), która w tym zadaniu w ogóle nie występuje, bo dla \(m=10\) punkt \(P\) nie istnieje. Za każdym razem, gdy szukamy wartości ekstremalnych na przedziale, najpierw sprawdzamy położenie wierzchołka względem tego przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) wynosi \(511{,}25\) (dla \(m=7\)), a największa \(651{,}25\) (dla \(m=-1\)).

**1 pkt** – wyznaczenie odległości między punktami \(P\) i \(Q\): \(\lvert PQ\rvert=[…]\) lub \(\lvert PQ\rvert^{2}=[…]\). **2 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci, np.: \(f(m)=\tfrac{5}{4}\left(m^{2}-20m+500\right)\) lub \(f(m)=\tfrac{5}{4}m^{2}-25m+625\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału \((-1,7)\): \(m_{w}=10\) i \(10\notin(-1,7)\); albo obliczenie \(f(-1)\) i \(f(7)\), zapisanie bez uzasadnienia, że \(f(-1)\) jest wartością największą, a \(f(7)\) wartością najmniejszą. **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**. **Rozwiązanie pełne** – podanie najmniejszej i największej wartości \(\lvert PQ\rvert^{2}\), odpowiednio \(511{,}25\) oraz \(651{,}25\), z uzasadnieniem, np. powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że […] współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału. Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli zdający obliczy \(f(10)=500\), \(f(-1)=651{,}25\) i \(f(7)=511{,}25\) i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji \(f\) jest \(500\), a największą \(651{,}25\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(4\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji. (III.8.e; 4.k)

B

Zbiór wartości \(\langle-2,+\infty)\) jest ograniczony z dołu, a nieograniczony z góry. Parabola musi więc mieć ramiona skierowane w górę, a jej najmniejsza wartość — druga współrzędna wierzchołka — ma być równa \(-2\). Sam koniec przedziału jest domknięty, co potwierdza, że wartość \(-2\) jest osiągana (w wierzchołku). Z rysunków odczytujemy: na A ramiona są skierowane w górę, ale wierzchołek leży w punkcie \((-2,2)\), więc zbiorem wartości jest \(\langle2,+\infty)\). Na C i D ramiona są skierowane w dół, więc zbiory wartości są postaci \((-\infty,q\rangle\). Tylko na rysunku B parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek leży na wysokości \(-2\). **Odpowiedź.** B

Zadanie 8. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Odczytuje z wykresu zbiór wartości funkcji.

\(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi \(\dfrac32\). Odejmując od pola kwadratu pola trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\), otrzymujemy \(P(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+2\) dla \(x\in(0,2)\); wierzchołek tej paraboli ma odciętą \(x=1\), a \(P(1)=\dfrac32\).

**Krok \(1\).** Trójkąt \(AEF\) ma wierzchołki na trzech różnych bokach kwadratu, więc jego pola nie policzymy jednym prostym wzorem. Odejmiemy od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych przylegających do jego wierzchołków: \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy funkcję kwadratową zmiennej \(x\) i znajdziemy jej wierzchołek. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Bok kwadratu ma długość \(2\), a \(|CE|=|DF|=x\), więc \[|CF|=|CD|-|DF|=2-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=2-x.\] Ponieważ punkty \(E\) i \(F\) są różne od wierzchołków, mamy \(x\in(0,2)\). **Krok \(3\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych: \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot2\cdot x=x,\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12\cdot2\cdot(2-x)=2-x,\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\,x(2-x)=x-\tfrac{x^2}{2}.\] **Krok \(4\).** Pole kwadratu wynosi \(2^2=4\), więc \[P(x)=4-x-(2-x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right).\] **Krok \(5\).** Porządkujemy: \[P(x)=4-x-2+x-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+2.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(\tfrac12\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot\tfrac12}=1.\] Liczba \(1\) należy do przedziału \((0,2)\), więc jest dopuszczalna. **Krok \(7\).** Obliczamy najmniejsze pole: \[P(1)=\frac{1}{2}-1+2=\frac32.\] **Uwaga.** Zadanie prosi o dwie rzeczy: o wartość \(x\) oraz o samo pole. Podanie tylko \(x=1\) nie jest pełną odpowiedzią. **Odpowiedź.** \(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) jest równe \(\dfrac32\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-\left(P_{ADF}+P_{CEF}+P_{ABE}\right)\) lub \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(CEF\) i \(ABE\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) jako funkcji \(x\): \(P(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2\). **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=1\); obliczenie pola trójkąta \(AEF\): \(P=1\frac{1}{2}\). Uwagi: jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\) i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta \(AEF\), to otrzymuje \(4\) punkty. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości \(x=1\) funkcja przyjmuje minimum. Jeżeli zdający wyznaczy wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie pola figury funkcją kwadratową i wyznaczenie minimum.

Krawędź podstawy ma długość \(1\). Jeśli a oznacza krawędź podstawy, a \(h\) krawędź boczną, to \(12a\)+\(6h\)=\(24\), czyli \(h\)=\(4\)−\(2a\). Pole powierzchni bocznej jest równe P(a)=\(6ah\)=−\(12\)\(a^{2}\)+\(24a\) dla a∈(\(0\),\(2\)). Funkcja osiąga maksimum w wierzchołku paraboli, dla a=\(1\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne: mamy dwie zmienne (krawędź podstawy i krawędź boczna) związane jednym warunkiem, a szukamy największej wartości pola. Schemat jest stały: oznaczyć zmienne, z warunku wyznaczyć jedną przez drugą, zapisać pole jako funkcję jednej zmiennej i znaleźć jej maksimum. Tu funkcja okaże się kwadratowa, więc wystarczy wierzchołek paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) długość krawędzi bocznej. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi (razem \(12\) krawędzi długości \(a\)) oraz \(6\) krawędzi bocznych długości \(h\). **Krok \(3\).** Warunek na sumę długości wszystkich krawędzi: \[12a+6h=24,\qquad\text{czyli}\qquad 2a+h=4,\qquad h=4-2a.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Musi być \(a\gt0\) oraz \(h\gt0\), czyli \(4-2a\gt0\), a stąd \(a\lt2\). Zatem \(a\in(0,2)\). **Krok \(5\).** Powierzchnia boczna składa się z sześciu prostokątów o wymiarach \(a\times h\), więc \[P=6ah.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(h=4-2a\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=6a(4-2a)=24a-12a^2.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(-12\lt0\), więc jej wykresem jest parabola ramionami w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[a=-\frac{24}{2\cdot(-12)}=1.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(a=1\) należy do dziedziny \((0,2)\) — należy. Wtedy \(h=4-2\cdot1=2\), a największe pole boczne wynosi \(P=6\cdot1\cdot2=12\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy długości krawędzi podstawy, a nie największego pola ani krawędzi bocznej — odpowiedzią jest liczba \(1\). Pamiętaj też, że podstawy są dwie, więc krawędzi podstawy jest \(12\), a nie \(6\). **Odpowiedź.** Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(a=1\).

**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń i zapisanie, że \(12a+6h=24\). **2 pkt** – zapisanie pola \(P\) powierzchni bocznej graniastosłupa oraz wyznaczenie \(a\) lub \(h\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(P=6ah\) oraz \(a=2-\frac{h}{2}\) lub \(h=4-2a\). **3 pkt** – zapisanie pola powierzchni bocznej w zależności od jednej zmiennej. **4 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe: \(a=1\). Uwaga: jeżeli zdający wyznaczy tylko wartość \(h=2\), dla której pole powierzchni bocznej jest największe, to otrzymuje \(3\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji.

**A.** \(\langle-4,+\infty)\)

Wzór \(f(x)=x^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej \(f(x)=(x-0)^2+(-4)\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((0,-4)\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a druga współrzędna wierzchołka jest najmniejszą wartością funkcji. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze od \(-4\): \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-4,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza zbiór wartości funkcji kwadratowej.

**A.** \(y=-3\)

Wzór \(f(x)=(x-3)^2-2\) jest postacią kanoniczną funkcji kwadratowej o wierzchołku \((3,-2)\) i ramionach skierowanych w górę (bo \(a=1>0\)). Najmniejszą wartością funkcji jest zatem \(-2\), a zbiorem wartości przedział \(\langle-2,+\infty)\). Prosta pozioma \(y=c\) nie ma punktów wspólnych z wykresem dokładnie wtedy, gdy \(c<-2\). Spośród podanych liczb warunek ten spełnia tylko \(c=-3\). **Odpowiedź.** A. \(y=-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie zbioru wartości funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej i badanie liczby punktów wspólnych z prostą poziomą Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(f(x)=-(x-2)^2+3\)

Zbiór wartości \((-\infty,3\rangle\) jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu, więc ramiona paraboli muszą być skierowane w dół (\(a<0\)), a największa wartość — druga współrzędna wierzchołka — ma być równa \(3\). Sprawdzamy wzory zapisane w postaci kanonicznej: - \(f(x)=-(x-2)^2+3\): \(a=-1<0\) i \(q=3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2+3\): \((2-x)^2=(x-2)^2\), więc \(a=1>0\) i \(ZW_f=\langle3,+\infty)\); - \(f(x)=-(x+2)^2-3\): \(a<0\), ale \(q=-3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,-3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2-3\): \(a>0\), czyli \(ZW_f=\langle-3,+\infty)\). **Odpowiedź.** A: \(f(x)=-(x-2)^2+3\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

**D.** \(y=-5\)

Wzór \(f(x)=3(x+1)^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc bezpośrednio odczytujemy wierzchołek paraboli: \(W=(-1,-4)\). Współczynnik przy kwadracie jest dodatni (\(a=3>0\)), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę, a najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest więc \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] Prosta pozioma o równaniu \(y=c\) ma punkt wspólny z wykresem dokładnie wtedy, gdy liczba \(c\) należy do zbioru wartości, czyli gdy \(c\geqslant-4\). Warunek ten spełniają liczby \(1\), \(-1\) i \(-3\). Natomiast \(-5<-4\), więc prosta \(y=-5\) przebiega w całości poniżej wierzchołka paraboli i punktów wspólnych z wykresem nie ma. **Odpowiedź.** D: \(y=-5\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

\(x=\dfrac14\). Pole trójkąta \(AEF\) jako funkcja \(x\) wynosi \(P(x)=x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac12\) dla \(x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\); parabola ma ramiona skierowane w górę, więc minimum jest w wierzchołku \(x=\dfrac14\), a najmniejsze pole to \(\dfrac{7}{16}\).

**Krok \(1\).** Pole trójkąta \(AEF\) trudno policzyć wprost, bo żaden jego bok nie leży na boku kwadratu. Standardowy chwyt: od pola całego kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych, które zostają w rogach, czyli \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy wzór na pole jako funkcję zmiennej \(x\), a jej najmniejszej wartości poszukamy jak dla funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Oznaczenia i odcinki. Skoro \(|DF|=x\) oraz \(|CE|=2|DF|=2x\), to \[|CF|=|CD|-|DF|=1-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=1-2x.\] **Krok \(3\).** Dziedzina. Punkt \(F\) leży na boku \(CD\), więc \(x\geqslant0\) i \(x\leqslant1\); punkt \(E\) leży na boku \(BC\), więc \(2x\leqslant1\). Mocniejszy jest drugi warunek, zatem \[x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle.\] **Krok \(4\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych (każdy ma kąt prosty w wierzchołku kwadratu): \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot1\cdot x=\tfrac{x}{2},\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12(1-2x),\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\cdot2x(1-x)=x-x^2.\] **Krok \(5\).** Pole kwadratu wynosi \(1\), więc \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac{1-2x}{2}-\left(x-x^2\right).\] **Krok \(6\).** Porządkujemy: \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac12+x-x+x^2=x^2-\frac{x}{2}+\frac12.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=1\gt0\), więc jej ramiona są skierowane w górę i najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\tfrac12}{2}=\frac14.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(\tfrac14\) należy do dziedziny \(\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\) — tak. Dla porządku obliczmy jeszcze to najmniejsze pole: \[P\!\left(\tfrac14\right)=\frac1{16}-\frac18+\frac12=\frac{1-2+8}{16}=\frac{7}{16}.\] **Uwaga.** Dziedzina bierze się z warunku \(2x\leqslant1\), a nie z \(x\leqslant1\) — to punkt \(E\), a nie \(F\), pierwszy dobiega do wierzchołka kwadratu. Gdyby wierzchołek paraboli wypadł poza dziedziną, najmniejszej wartości trzeba by szukać na jej końcu. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac14\) (najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi wtedy \(\dfrac{7}{16}\)).

Schemat oceniania **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania: zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\). Schemat oceniania – II sposób rozwiązania (geometria analityczna) **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wyznaczenie pola trójkąta \(AFE\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej.

\(C=(4,5)\). Punkt \(C\) ma postać \((x,x+1)\), a suma kwadratów odległości wynosi \(f(x)=(x-1)^{2}+(x-4)^{2}+(x-9)^{2}+(x-2)^{2}=4x^{2}-32x+102\); jej najmniejsza wartość przypada dla \(x=4\), skąd \(y=5\).

**Krok \(1\).** Punkt \(C\) nie jest dowolny: leży na prostej \(k\), więc ma tylko jeden stopień swobody. Jeśli oznaczymy jego pierwszą współrzędną przez \(x\), to druga jest już wyznaczona. Wtedy suma \(|AC|^2+|BC|^2\) stanie się funkcją jednej zmiennej, i to funkcją kwadratową, a najmniejszej wartości funkcji kwadratowej szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Skoro \(C\) leży na prostej \(y=x+1\), to \[C=(x,\;x+1).\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat odległości od \(A=(1,5)\) ze wzoru \(|AC|^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\): \[|AC|^2=(x-1)^2+(x+1-5)^2=(x-1)^2+(x-4)^2.\] **Krok \(4\).** Tak samo dla \(B=(9,3)\): \[|BC|^2=(x-9)^2+(x+1-3)^2=(x-9)^2+(x-2)^2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy i rozwijamy wszystkie kwadraty: \[f(x)=(x^2-2x+1)+(x^2-8x+16)+(x^2-18x+81)+(x^2-4x+4).\] Po redukcji wyrazów podobnych \[f(x)=4x^2-32x+102.\] **Krok \(6\).** To parabola o współczynniku \(a=4\gt 0\), więc ramiona są skierowane do góry i w wierzchołku funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{32}{2\cdot 4}=4.\] **Krok \(7\).** Wracamy do prostej i obliczamy drugą współrzędną punktu \(C\): \[y=x+1=4+1=5,\qquad C=(4,5).\] **Krok \(8\).** Kontrolnie: \(f(4)=4\cdot 16-32\cdot 4+102=64-128+102=38\), więc najmniejsza możliwa suma kwadratów odległości wynosi \(38\). **Uwaga.** Zadanie pyta o współrzędne punktu, a nie o najmniejszą wartość sumy, więc samo \(x_w=4\) to jeszcze nie koniec. Trzeba dopisać drugą współrzędną, korzystając z równania prostej. **Odpowiedź.** \(C=(4,5)\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie współrzędnych punktu \(C\) leżącego na prostej \(k\): \(C=(x,x+1)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie zależności z jedną niewiadomą określającej kwadraty odległości punktu \(A\) od \(C\) lub odległości punktu \(B\) od \(C\) (lub odległości): \(\lvert AC\rvert^{2}\) lub \(\lvert BC\rvert^{2}\) […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – określenie wzoru funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu \(C\) od punktów \(A\) i \(B\): \(f(x)=4x^{2}-32x+102\). Uwagi: **2 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i na tym poprzestanie. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(4,5)\). **4 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i rozwiązanie doprowadzi do końca. **4 pkt** – jeżeli zdający obliczy odciętą wierzchołka paraboli o równaniu \(y=4x^{2}-32x+102\) […] pierwszą współrzędną punktu \(C\) i na tym zakończy lub błędnie obliczy jego […] współrzędną.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie odległości w układzie współrzędnych funkcją kwadratową i wyznaczenie jej minimum.

B

Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od znaku współczynnika \(a\) i od drugiej współrzędnej wierzchołka. Jeśli \(ZW_f=(-\infty,3\rangle\), to zbiór wartości jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu — ramiona paraboli muszą być skierowane w dół (\(a<0\)), a największa wartość, czyli druga współrzędna wierzchołka, ma być równa \(3\). Z rysunków odczytujemy: na rysunku A parabola ma ramiona skierowane w górę i wierzchołek \((-3,3)\), więc jej zbiorem wartości jest \(\langle3,+\infty)\). Na rysunku C ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek leży w punkcie \((3,-3)\). Na rysunku D ramiona są skierowane w dół, ale wierzchołek leży w punkcie \((3,-3)\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,-3\rangle\). Tylko na rysunku B parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek na wysokości \(3\) — w punkcie \((-3,3)\). **Odpowiedź.** B

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – rozpoznaje wykres z danego zbioru wartości.

**C.** \(\langle-1,4\rangle\)

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich drugich współrzędnych punktów jej wykresu. Z rysunku odczytujemy, że wykres jest łamaną ciągłą określoną na \(\langle-1,8\rangle\): zaczyna się w punkcie \((-1,-1)\), rośnie do poziomu \(y=1\), przebiega poziomo, następnie rośnie do najwyższego punktu o rzędnej \(4\) i opada do punktu \((8,1)\). Najmniejszą wartością jest \(-1\), największą \(4\), a wykres jest linią ciągłą, więc przyjmowane są wszystkie wartości pośrednie — także niecałkowite. To wyklucza wariant A. Końce należą do zbioru wartości, więc przedział jest domknięty. **Odpowiedź.** C. \(\langle-1,4\rangle\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie z wykresu zbioru wartości funkcji, wraz z rozróżnieniem przedziału i zbioru skończonego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Liczby monet dokładanych w kolejne poranki: \(25\), \(27\), \(29\), \(\ldots\) — każdego dnia o \(2\) więcej, czyli jest to ciąg arytmetyczny o \(a_1=25\) i różnicy \(r=2\). Stan skarbca po \(n\)-tym dniu to liczba początkowa plus wszystko, co dołożono przez \(n\) dni, minus wszystko, co zabrano. Ponieważ suma ciągu arytmetycznego jest funkcją kwadratową zmiennej \(n\), całość sprowadzi się do badania funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Liczymy, ile monet dołożono łącznie przez \(n\) dni. Wyraz ogólny to \(a_n=25+(n-1)\cdot 2=2n+23\), więc \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{25+2n+23}{2}\cdot n=\frac{2n+48}{2}\cdot n=n^2+24n.\] **Krok \(3\).** Król zabiera \(50\) monet dziennie, czyli przez \(n\) dni łącznie \(50n\). Stan skarbca po południu \(n\)-tego dnia: \[M(n)=k+\left(n^2+24n\right)-50n=n^2-26n+k.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści. „W każdym dniu była co najmniej jedna moneta” oznacza \[M(n)\geqslant 1\qquad\text{dla każdego }n=1,2,3,\ldots\] Wystarczy więc, aby najmniejsza z liczb \(M(n)\) była co najmniej równa \(1\). **Krok \(5\).** Szukamy tej najmniejszej wartości. Doprowadzamy \(M\) do postaci kanonicznej — odcięta wierzchołka to \(n_w=\frac{-b}{2a}=\frac{26}{2}=13\), więc \[M(n)=(n-13)^2+k-169.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(13\) jest liczbą naturalną, wierzchołek naprawdę jest osiągany i najmniejszy stan skarbca to \[M(13)=k-169.\] **Krok \(7\).** Wstawiamy do warunku: \[k-169\geqslant 1,\qquad k\geqslant 170.\] Najmniejszą liczbą \(k\) spełniającą warunek jest \(k=170\). **Krok \(8\).** Dla \(k=170\) mamy \(M(n)=(n-13)^2+1\), więc najmniejsza liczba monet, równa \(1\), pojawia się dokładnie dla \(n=13\), czyli trzynastego dnia. (Sprawdzenie: \(M(12)=M(14)=2\), \(M(1)=145\).) **Uwaga.** Pułapką jest to, że \(n\) przebiega tylko liczby NATURALNE. Tutaj odcięta wierzchołka \(n_w=13\) sama jest liczbą naturalną, więc minimum funkcji kwadratowej jest jednocześnie minimum ciągu. Gdyby wierzchołek wypadł na przykład w \(n_w=13{,}5\), trzeba by porównać \(M(13)\) i \(M(14)\). Zwróć też uwagę, że warunek to \(M(n)\geqslant 1\) (co najmniej jedna moneta), a nie \(M(n)\gt 0\) w sensie rzeczywistym — dla liczb całkowitych daje to ten sam wynik. **Odpowiedź.** Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**1 pkt** – jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowiedź: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym \(25\) i różnicy równej \(2\). **1 pkt** – jeśli zapisze wzór na \(M(n)\) – liczbę monet w \(n\)-tym dniu po południu. Poprawna odpowiedź: \(M(n)=k+\frac{25+\left(25+(n-1)\cdot 2\right)}{2}\cdot n-50n=n^{2}-26n+k\) **2 pkt** – jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\), albo \(\Delta<0\) (bo \(n\in N\)), czyli \(26^{2}-4k<0\), stąd \(k>169\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\). **1 pkt** – jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\) lub \(\Delta<0\), bo \(n\in N\), stąd \(26^{2}-4k<0\). **1 pkt** – jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowiedź: \(n=13\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_1=-11\), \(r=2\); b) tak, ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\); c) suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i wynosi \(-36\).

**a)** W ciągu arytmetycznym \(a_{11}-a_7=4r\), więc \[9-1=4r,\qquad r=2.\] Dalej \(a_1=a_7-6r=1-12=-11\). **b)** Obliczamy \(a_8=a_7+r=3\). Ciąg \((a_7,a_8,a_{11})=(1,3,9)\) jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_8^{2}=a_7\cdot a_{11}\): \[3^{2}=1\cdot9.\] Równość zachodzi, a żaden wyraz nie jest zerem, więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(3\). **c)** Wyraz ogólny: \(a_n=-11+(n-1)\cdot2=2n-13\). Suma \(S_n\) maleje dopóty, dopóki dokładane wyrazy są ujemne: \[2n-13<0\iff n\leq6.\] Wyraz \(a_7=1\) jest już dodatni, więc \(S_n\) jest najmniejsza dla \(n=6\): \[S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\frac{-11+(-1)}{2}\cdot6=-36.\] **Odpowiedź.** \(a_1=-11\), \(r=2\); ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny; suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i równa \(-36\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z trzech niezależnych części. W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — przenosimy wszystko na jedną stronę i badamy znak trójmianu. Podpunkty b) i c) opierają się na przesunięciu wykresu: przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo i \(8\) w górę oznacza przejście od \(f(x)=-2x^2\) do \(g(x)=-2(x-3)^2+8\), czyli do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Podstawiamy wzór funkcji \(f\): \[-2x^2+5\lt3x.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę, żeby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni (łatwiej wtedy o wykres): \[0\lt2x^2+3x-5,\qquad\text{czyli}\qquad2x^2+3x-5\gt0.\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(2x^2+3x-5\): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49,\qquad\sqrt{\Delta}=7,\] \[x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki. Nierówność jest ostra, więc pierwiastków nie dołączamy: \[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Przesuwamy wykres funkcji \(f(x)=-2x^2\) o wektor \([3,8]\). Wierzchołek paraboli, który był w punkcie \((0,0)\), trafia do punktu \((3,8)\), a kształt (w szczególności współczynnik \(-2\)) się nie zmienia. Zatem \[g(x)=-2(x-3)^2+8.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(-2\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek jest punktem najwyższym i największą wartością funkcji \(g\) jest \(8\). Zbiorem wartości jest \[(-\infty,8\rangle.\] **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zamieniamy postać kanoniczną na ogólną: \[g(x)=-2\left(x^2-6x+9\right)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10.\] Porównując ze wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\), odczytujemy \(b=12\) oraz \(c=-10\). **Uwaga.** Przy przesuwaniu w prawo o \(3\) we wzorze pojawia się \((x-3)\), a nie \((x+3)\) — to jest najczęstsza pomyłka w tym typie zadań. Przy podnoszeniu do kwadratu w kroku \(7\) pamiętaj, że \(-2\) mnoży cały nawias \(x^2-6x+9\), więc wyraz \(-18\) trzeba jeszcze dodać do \(8\). **Odpowiedź.** a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza możliwa długość odcinka wynosi \(\sqrt5\).

Niech \(P=(t,t^{2})\) będzie punktem paraboli. Najkrótszy odcinek łączący \(P\) z prostą \(y=2x-6\) to odcinek prostopadły, więc jego długość jest odległością punktu \(P\) od tej prostej. Zapisujemy prostą w postaci ogólnej: \(2x-y-6=0\). Wtedy \[d(t)=\frac{|2t-t^{2}-6|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|-(t^{2}-2t+6)|}{\sqrt5} =\frac{t^{2}-2t+6}{\sqrt5},\] przy czym opuszczenie wartości bezwzględnej jest uprawnione, bo trójmian \(t^{2}-2t+6\) ma wyróżnik \(\Delta=4-24=-20<0\) i dodatni współczynnik przy \(t^{2}\), więc jest dodatni dla każdego \(t\). W szczególności parabola i prosta nie mają punktów wspólnych. Trójmian przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku, dla \(t=1\): \[t^{2}-2t+6=(t-1)^{2}+5\geq5.\] Stąd \[d(t)\geq\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5,\] a równość zachodzi dla \(t=1\), czyli dla punktu \((1,1)\). Każdy odcinek o końcach na paraboli i na prostej jest nie krótszy od odcinka prostopadłego, więc jego długość jest nie mniejsza niż \(\sqrt5\). Rysunek pomocniczy: parabola \(y=x^{2}\) o wierzchołku w początku układu oraz prosta \(y=2x-6\) przecinająca oś \(Oy\) w punkcie \((0,-6)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((3,0)\); prosta przebiega pod parabolą i nie ma z nią punktów wspólnych. **Odpowiedź.** Długość odcinka jest nie mniejsza od \(\sqrt5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […]. […] obu funkcji podanych w zadaniu. **3.2. (1 pkt)** – zapisanie współrzędnych dowolnego punktu paraboli w zależności od jednej zmiennej: np. \(P=(x,x^{2})\). **3.3. (1 pkt)** – wyznaczenie odległości punktu \(P\) od danej prostej: \(d=\frac{\lvert 2x-x^{2}-6\rvert}{\sqrt{5}}\). **3.4. (1 pkt)** – zapisanie odległości bez wartości bezwzględnej: \(d=\frac{(x-1)^{2}+5}{\sqrt{5}}\) lub \(d=\frac{x^{2}-2x+6}{\sqrt{5}}\). **3.5. (1 pkt)** – oszacowanie najmniejszej wartości: \(d\ge\sqrt{5}\). **II sposób rozwiązania: (czynności 3.4 i 3.5)** **3.4. (1 pkt)** – wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(d(x)=\frac{\lvert 2x-x^{2}-6\rvert}{\sqrt{5}}\): \(d_{\min}=\sqrt{5}\). Zdający może wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej prostej, stycznej do paraboli i obliczyć odległość między tymi prostymi równoległymi. **3.5. (1 pkt)** – zapisanie wniosku: \(d\ge\sqrt{5}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Wierzchołek \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\) c) \(f(x)\geqslant0\) dla \(x\in\langle1,5\rangle\)

**a)** Aby narysować parabolę, wyznaczamy jej punkty charakterystyczne. Współczynniki wynoszą \(a=-1\), \(b=6\), \(c=-5\), więc współrzędne wierzchołka to \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3,\qquad q=f(3)=-9+18-5=4,\] czyli \(W=(3,4)\). Miejsca zerowe wyznaczamy z równania \(-x^2+6x-5=0\), czyli \(x^2-6x+5=0\): \[\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt{\Delta}=4,\qquad x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5.\] Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0,f(0))=(0,-5)\). Parabola ma ramiona skierowane w dół (\(a=-1<0\)) i przechodzi przez punkty \((1,0)\), \((5,0)\), \((0,-5)\) oraz wierzchołek \((3,4)\). **b)** Ramiona są skierowane w dół, więc druga współrzędna wierzchołka jest największą wartością funkcji, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od niej mniejsze: \[ZW_f=(-\infty,4\rangle.\] **c)** Nierówność \(f(x)\geqslant0\) spełniają te argumenty, dla których wykres leży nad osią \(Ox\) lub na niej. Dla paraboli o ramionach skierowanych w dół jest to przedział między miejscami zerowymi, wraz z końcami (nierówność jest nieostra): \[x\in\langle1,5\rangle.\] **Odpowiedź.** a) \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), przecięcie z osią \(Oy\) w punkcie \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\). c) \(x\in\langle1,5\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wierzchołka paraboli: \(W=(3,4)\). **9.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\). **9.3. (1 pkt)** – podanie zbioru wartości funkcji: \((-\infty,4\) […] **9.4. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsc zerowych funkcji: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=5\). **9.5. (1 pkt)** – podanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\) […] \(1,5\) […]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM. Kandydaci są tylko trzej: wierzchołek paraboli (o ile jego odcięta należy do przedziału) oraz dwa końce przedziału. Zaczynamy od doprowadzenia wzoru do postaci ogólnej, bo z niej odczytamy współczynniki \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Wymnażamy nawiasy: \[f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2.\] Zatem \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). **Krok \(3\).** Ponieważ \(a=2\gt 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Wierzchołek jest więc punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ, a wartości największych szukamy na końcach przedziału. **Krok \(4\).** Liczymy odciętą wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy \(x_w\) należy do przedziału: \(\frac34\in\langle-2,2\rangle\) — tak. Wobec tego minimum funkcji w tym przedziale jest osiągane właśnie w wierzchołku. **Krok \(6\).** Liczymy rzędną wierzchołka. Najpierw \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\), a stąd \[y_w=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-25}{8}.\] (Można też podstawić bezpośrednio: \(f\left(\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{25}{8}\).) **Krok \(7\).** Liczymy wartości na końcach przedziału — najwygodniej z postaci iloczynowej: \[f(-2)=(2\cdot(-2)+1)(-2-2)=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(2)=(2\cdot 2+1)(2-2)=5\cdot 0=0.\] **Krok \(8\).** Porównujemy kandydatów: \(-\frac{25}{8}=-3{,}125\), \(12\) oraz \(0\). Najmniejsza wartość to \(-\frac{25}{8}\) (dla \(x=\frac34\)), największa to \(12\) (dla \(x=-2\)). **Uwaga.** Dwie rzeczy decydują tu o punktach. Po pierwsze, trzeba SPRAWDZIĆ, czy \(x_w\) należy do przedziału — gdyby wypadł poza nim, obie skrajne wartości byłyby na końcach przedziału. Po drugie, przy ramionach skierowanych w górę wierzchołek nigdy nie daje wartości największej — tej trzeba szukać na końcach, i to na obu, bo wierzchołek nie leży w środku przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=2x^{2}-3x-2\). Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli: \(x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest druga współrzędna wierzchołka: \(y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{25}{8}\). Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-2)=12\), \(f(2)=0\). Największą wartością funkcji \(f\) w podanym przedziale jest \(f(-2)=12\). Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest \(y_{w}=-\frac{25}{8}\), a największą \(f(-2)=12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: optymalizacja z warunkami. Warunki z treści (suma równa \(13\), druga liczba trzy razy większa od pierwszej) pozwalają wyrazić WSZYSTKIE trzy liczby za pomocą jednej zmiennej. Wtedy suma ich kwadratów staje się funkcją kwadratową jednej zmiennej, a jej najmniejszej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) pierwszą liczbę. Wtedy druga to \(3x\), a trzecia — jako dopełnienie do sumy \(13\) — wynosi \[13-x-3x=13-4x.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy dziedzinę. Wszystkie trzy liczby mają być dodatnie: \[x\gt 0,\qquad 3x\gt 0,\qquad 13-4x\gt 0\ \Rightarrow\ x\lt\frac{13}{4},\] czyli \(x\in\left(0,\frac{13}{4}\right)\). **Krok \(4\).** Zapisujemy sumę kwadratów jako funkcję zmiennej \(x\): \[S(x)=x^2+(3x)^2+(13-4x)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy i redukujemy. Mamy \((3x)^2=9x^2\) oraz \((13-4x)^2=169-104x+16x^2\), więc \[S(x)=x^2+9x^2+16x^2-104x+169=26x^2-104x+169.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(26\gt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ w wierzchołku: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{104}{2\cdot 26}=\frac{104}{52}=2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy dziedzinę: \(2\in\left(0;\,3{,}25\right)\) — wierzchołek leży wewnątrz dopuszczalnego przedziału, więc rzeczywiście daje najmniejszą wartość. **Krok \(8\).** Wyznaczamy szukane liczby: \[x=2,\qquad 3x=6,\qquad 13-4x=13-8=5.\] **Krok \(9\).** Liczymy najmniejszą sumę kwadratów: \[S(2)=2^2+6^2+5^2=4+36+25=65.\] (Kontrola sumy: \(2+6+5=13\ \checkmark\); dla porównania dla \(x=1\) mamy liczby \(1,3,9\) i sumę kwadratów \(91\), a dla \(x=3\) liczby \(3,9,1\) i sumę \(91\).) **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo pominąć. Po pierwsze, warunek DODATNIOŚCI liczb — bez niego zadanie miałoby inną, formalnie „szerszą” dziedzinę; trzeba wyznaczyć przedział \(\left(0,\frac{13}{4}\right)\) i sprawdzić, że \(x_w=2\) do niego należy. Po drugie, pytano o TRZY LICZBY, a nie o samo \(x\) ani o wartość \(S\) — odpowiedzią jest trójka \(2\), \(6\), \(5\). **Odpowiedź.** Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(4x+y=13\) lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: \(x\), \(3x\), \(13-4x\). **1.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: \(S=x^{2}+(3x)^{2}+y^{2}\) lub \(S=x^{2}+(3x)^{2}+(13-4x)^{2}\) **1.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej: \(S(x)=2x^{2}-8x+13\) gdy \(x\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\). Zdający nie musi wyznaczyć dziedziny funkcji, o ile przeprowadzi rozwiązanie do końca i otrzyma trzy dodatnie liczby. **1.4. (1 pkt)** – obliczenie argumentu, dla którego funkcja \(S\) przyjmuje wartość najmniejszą: \(x_{w}=2\) i \(x_{w}\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\) więc funkcja \(S\) osiąga najmniejszą wartość dla \(x=2\). **1.5. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to: \(2\), \(6\), \(5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(2-x)^2\). Ponieważ \((2-x)^2=(x-2)^2\), jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej z wierzchołkiem \(W=(2,0)\) i ramionami skierowanymi W GÓRĘ. Na przedziale domkniętym wartości ekstremalne szukamy wśród trzech liczb: wartości w wierzchołku (o ile należy on do przedziału) i wartości na obu końcach. **Krok \(2\).** Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału: \(x_w=2\in\langle0,5\rangle\) — tak. Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest wartość NAJMNIEJSZA: \[f(2)=(2-2)^2=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartości na końcach: \[f(0)=(2-0)^2=4,\qquad f(5)=(2-5)^2=(-3)^2=9.\] **Krok \(4\).** Największą wartością jest większa z tych dwóch, czyli \(f(5)=9\). (Ma to sens: \(5\) leży dalej od wierzchołka \(x=2\) niż \(0\), a przy ramionach w górę im dalej od wierzchołka, tym większa wartość.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): zapisujemy nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\), czyli \[(2-x)^2-(2-x)\geqslant0.\] Zamiast wymnażać, zauważamy wspólny czynnik \((2-x)\) i wyłączamy go przed nawias: \[(2-x)\left[(2-x)-1\right]\geqslant0\quad\Longrightarrow\quad (2-x)(1-x)\geqslant0.\] **Krok \(6\).** Wygodniej pracuje się z dodatnimi współczynnikami przy \(x\). Mnożymy KAŻDY z dwóch nawiasów przez \(-1\); ponieważ robimy to dwukrotnie, znaki się znoszą i zwrot nierówności pozostaje bez zmian: \[(x-2)(x-1)\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych \(1\) oraz \(2\). Wartości nieujemne przyjmuje POZA przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami (nierówność jest nieostra): \[x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** W kroku \(5\) nie wolno SKRACAĆ obu stron przez \((2-x)\) — dla \(x=2\) dzielilibyśmy przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie \(x=2\), które akurat należy do zbioru rozwiązań. Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, zamiast dzielić przez wyrażenie z niewiadomą. Ponieważ nierówność jest NIEOSTRA, liczby \(1\) i \(2\) należą do odpowiedzi — nawiasy przy nich są domknięte. **Odpowiedź.** a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] funkcji \(f\) jest równa \(2\) i należy do przedziału \(\langle 0,\,5\rangle\). […] zdający zapisze \(x_{w}=2\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(2)=0\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(5)=9\). **2.4. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej \((2-x)\cdot(1-x)\geq 0\) i podanie miejsc zerowych: \(x=1\) lub \(x=2\), (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(y=x^{2}-3x+2\)). **2.5. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \((-\infty,1\rangle\cup\langle 2,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Wysokość kamienia opisuje funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(t^2\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wynika stąd od razu plan: „z jakiej wysokości podrzucono” to wartość dla \(t=0\), a „największa wysokość” i „po jakim czasie” to współrzędne WIERZCHOŁKA paraboli. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Moment podrzucenia to chwila \(t=0\), więc liczymy \[h(0)=-5\cdot 0^2+5\cdot 0+10=10.\] Kamień podrzucono z wysokości \(10\) m nad ziemią (to poziom krawędzi dachu). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Odczytujemy współczynniki: \(a=-5\), \(b=5\), \(c=10\). Ponieważ \(a=-5\lt 0\), ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. **Krok \(4\).** Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[t_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-5)}=\frac{-5}{-10}=\frac12.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy ta chwila należy do rozważanego przedziału: \(\frac12\in\langle0,2\rangle\) — tak. Kamień osiągnął największą wysokość po \(\frac12\) sekundy, czyli po pół sekundy od podrzucenia. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Liczymy wysokość w tej chwili: \[h\left(\frac12\right)=-5\cdot\left(\frac12\right)^2+5\cdot\frac12+10=-5\cdot\frac14+\frac52+10=-1{,}25+2{,}5+10=11{,}25.\] **Krok \(7\).** Kontrola sensu wyniku: kamień wzniósł się o \(11{,}25-10=1{,}25\) m ponad krawędź dachu, a po \(2\) sekundach mamy \(h(2)=-20+10+10=0\), czyli spada dokładnie na ziemię — zgadza się z treścią zadania. **Uwaga.** Podpunkt c) pyta o wysokość NAD ZIEMIĄ, a nie o to, o ile kamień wzniósł się ponad dach. Odpowiedzią jest więc \(11{,}25\) m, a nie \(1{,}25\) m. Nie pomyl też podpunktów b) i c): \(t_w=\frac12\) to CZAS (w sekundach), a \(h(t_w)=11{,}25\) to WYSOKOŚĆ (w metrach). **Odpowiedź.** a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: \(h(0)=10\) m. **7.2. (1 pkt)** – obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi: \(t_{w}=\frac{1}{2}\), np. „po upływie pół sekundy”. **7.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień: \(h_{\max}\left(\frac{1}{2}\right)=11{,}25\) m. Zdający może pominąć jednostki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedzina: \(x\in(0,8)\). Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).

Argument logarytmu musi być dodatni, więc dziedzinę wyznacza nierówność \[8x-x^2>0,\qquad x(8-x)>0,\] skąd \(x\in(0,8)\). Podstawa logarytmu jest równa \(\frac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) i jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna o tej podstawie jest **malejąca**. Wobec tego \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą dla **największej** wartości argumentu. Wyrażenie \(8x-x^2\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość osiąga w wierzchołku: \[x=\frac{0+8}{2}=4,\qquad 8\cdot4-4^2=16.\] Punkt \(x=4\) należy do dziedziny, zatem najmniejsza wartość funkcji wynosi \[f(4)=\log_{2^{-\frac12}}16=\frac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\frac{4}{-\frac12}=-8.\] **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-8\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Korzystam z faktu, że funkcja logarytmiczna dla podstawy równej \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) jest malejąca. Oznacza to, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość dla największego argumentu. Wyznaczam dziedzinę funkcji \(f\): \[8x-x^{2}>0\] \[x\cdot(8-x)>0\] \[x\in(0,8)\] Wyrażenie \(8x-x^{2}\) osiąga największą wartość dla \(x=4\) i jest ona równa \(16\). Najmniejszą wartością funkcji \(f(x)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(8x-x^{2}\right)\) jest liczba \(\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)\). Obliczam wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(16\), korzystając z definicji logarytmu: \[\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)=y\] \[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{y}=16\] \[\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^{y}=2^{4}\] \[\frac{-y}{2}=4,\ \text{więc}\ y=-8\] Odpowiedź: Liczba \((-8)\) jest najmniejszą wartością funkcji \(f\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) hiperbola \(y=\frac{3}{x}\) przesunięta o \(2\) jednostki w górę, o asymptotach \(x=0\) i \(y=2\); b) największa wartość to \(g(21)=\frac{15}{7}=2\frac17\); c) o \(\frac32\) jednostki w prawo wzdłuż osi \(Ox\).

**Krok \(1\).** Funkcja \(g\) powstaje z hiperboli \(y=\frac3x\) przez przesunięcie o \(2\) jednostki w górę. To od razu daje jej asymptoty: pionową \(x=0\) (bez zmian) oraz poziomą \(y=2\) (przesuniętą razem z wykresem). Wszystkie trzy podpunkty rozwiążemy, opierając się na tym obrazie. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Wykres \(g\) to dwie gałęzie hiperboli. Wygodne punkty do zaznaczenia: \(g(1)=3+2=5\), \(g(3)=1+2=3\), \(g(-1)=-3+2=-1\), \(g(-3)=-1+2=1\). Prawa gałąź leży nad prostą \(y=2\), lewa pod nią, a wykres nigdy tej prostej nie dotyka. **Krok \(3\).** Podpunkt b). Dla \(x\gt0\) wartość \(\frac3x\) maleje, gdy \(x\) rośnie (dzielimy stałą przez coraz większą liczbę), więc funkcja \(g\) jest malejąca w całym przedziale \(\langle21,31\rangle\). **Krok \(4\).** Funkcja malejąca przyjmuje największą wartość na lewym końcu przedziału, czyli dla \(x=21\). **Krok \(5\).** Obliczamy tę wartość: \[g(21)=\frac{3}{21}+2=\frac17+2=\frac{15}{7}=2\tfrac17.\] Dla porównania \(g(31)=\frac{3}{31}+2\approx2{,}097\), czyli mniej — potwierdza to nasz wybór końca przedziału. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Przesuwamy wykres tylko wzdłuż osi \(Ox\), więc żaden punkt nie zmienia rzędnej. Aby po przesunięciu wykres przechodził przez początek układu, przed przesunięciem musi mieć punkt o rzędnej \(0\) — czyli miejsce zerowe. **Krok \(7\).** Szukamy miejsca zerowego funkcji \(g\): \[\frac3x+2=0,\qquad \frac3x=-2,\qquad 3=-2x,\qquad x=-\frac32.\] **Krok \(8\).** Punkt \(\left(-\frac32,0\right)\) ma trafić w punkt \((0,0)\), więc wykres trzeba przesunąć o \(\frac32\) jednostki w prawo. **Uwaga.** Funkcja \(g\) nie ma wartości największej w całej swojej dziedzinie — pytanie dotyczy wyłącznie przedziału \(\langle21,31\rangle\), w którym \(g\) jest malejąca. Gdyby przedział zawierał liczby ujemne, rozumowanie o monotoniczności trzeba by prowadzić osobno dla każdej gałęzi. **Odpowiedź.** a) Wykres \(g\) to hiperbola \(y=\frac3x\) przesunięta o \(2\) w górę, o asymptotach \(x=0\) i \(y=2\). b) Największa wartość w przedziale \(\langle21,31\rangle\) to \(g(21)=\frac{15}{7}=2\frac17\). c) Należy przesunąć wykres o \(\frac32\) jednostki w prawo.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] \(y=\frac{3}{x}\). **8.2. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(g\) w przedziale \(\langle 21,\,31\rangle\): \(g(21)=2\tfrac{1}{7}\). **8.3. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3}{x}+2=0\). **8.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi: \(x=-\frac{3}{2}\), o \(\frac{3}{2}\) jednostki w prawo (albo o \(\frac{3}{2}\) wzdłuż osi \(Ox\)). Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie, o ile należy przesunąć wykres, to otrzymuje punkt także w czynności 8.3.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy \(f\) wyłącznie przez \(\cos x\): \[f(x)=\sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x.\] **a)** Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać \[1-\cos^2x+\cos x=1,\qquad -\cos^2x+\cos x=0,\qquad \cos x\,(1-\cos x)=0.\] Stąd \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \[x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=0,\quad x=2\pi.\] **b)** Podstawiamy \(t=\cos x\); zbiorem wartości cosinusa jest przedział \([-1,1]\), więc szukamy największej wartości funkcji kwadratowej \[g(t)=-t^2+t+1\qquad\text{dla }t\in[-1,1].\] Współczynnik przy \(t^2\) jest ujemny, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[t_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12\in[-1,1],\] więc wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku: \[g\!\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54.\] **Odpowiedź.** a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie równania \(f(x)=1\) w postaci: \(-\cos^{2}x+\cos x=0\). **7.2. (1 pkt)** – zapisanie równań: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). **7.3. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(f(x)=1\) należących do przedziału \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=0\vee x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}\vee x=2\pi\). **7.4. (1 pkt)** – przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie pomocniczej niewiadomej \(t=\cos x\) i \(t\in\langle -1,\,1\rangle\) i zapisanie funkcji \(f(t)=-t^{2}+t+1\) dla \(t\in\langle -1,\,1\rangle\). Punkt otrzymuje też zdający, który pominął dziedzinę funkcji \(f\). **7.5. (1 pkt)** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego \(f(t)=-t^{2}+t+1\): \(t_{w}=\frac{1}{2}\). Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci kanonicznej: \(f(t)=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\). **7.6. (1 pkt)** – uwzględnienie faktu, że \(\frac{1}{2}\in\langle -1,\,1\rangle\) i współczynnik przy \(t^{2}\) jest ujemny, i obliczenie największej wartości funkcji \(f\): \(f_{\max}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\). Zdający nie musi analizować znaku współczynnika przy \(t^{2}\), o ile oblicza \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) i wybiera największą z nich.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dla \(m<3\) równanie nie ma rozwiązań, dla \(m=3\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\), a dla \(m>3\) ma dwa rozwiązania.

**Krok \(1\).** Wzór \(f(x)=|x-1|+3\) to przesunięty wykres funkcji \(y=|x|\), czyli litera V. Aby narysować go pewnie i żeby móc potem czytać z niego liczbę rozwiązań, opuszczamy wartość bezwzględną, rozbijając dziedzinę na dwa przypadki. **Krok \(2\).** Dla \(x\ge 1\) wyrażenie \(x-1\) jest nieujemne, więc \(|x-1|=x-1\) i \[f(x)=x-1+3=x+2.\] Dla \(x\lt 1\) wyrażenie \(x-1\) jest ujemne, więc \(|x-1|=1-x\) i \[f(x)=1-x+3=-x+4.\] **Krok \(3\).** Wykres składa się więc z dwóch półprostych o początku w punkcie \((1,3)\): lewej o współczynniku kierunkowym \(-1\) i prawej o współczynniku \(1\). Punkt \((1,3)\) to wierzchołek litery V, a \(3\) to najmniejsza wartość funkcji. Do rysunku wystarczy nanieść wierzchołek i po jednym dodatkowym punkcie z każdej strony, na przykład \((0,4)\) i \((3,5)\). **Krok \(4\).** Równanie \(f(x)=m\) ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma wykres funkcji \(f\) z poziomą prostą \(y=m\). Wystarczy teraz przesuwać taką prostą w górę i patrzeć, co się dzieje. **Krok \(5\).** Dla \(m\lt 3\) prosta \(y=m\) przebiega poniżej wierzchołka, a cały wykres leży na wysokości co najmniej \(3\). Nie ma punktów wspólnych, więc równanie nie ma rozwiązań. **Krok \(6\).** Dla \(m=3\) prosta przechodzi dokładnie przez wierzchołek i dotyka wykresu w jednym punkcie. Równanie ma jedno rozwiązanie \(x=1\). **Krok \(7\).** Dla \(m\gt 3\) prosta przecina obie półproste, po jednym razie każdą. Równanie ma dwa rozwiązania, które można nawet wypisać: z lewego ramienia \(-x+4=m\), czyli \(x=4-m\), a z prawego \(x+2=m\), czyli \(x=m-2\). **Uwaga.** Warto powiązać wynik ze zbiorem wartości: \(f\) przyjmuje wyłącznie wartości z przedziału \(\langle 3,\infty)\), i właśnie dlatego dla \(m\lt 3\) rozwiązań nie ma. Granicznym przypadkiem jest \(m=3\), którego nie wolno dołączyć do żadnego z pozostałych przedziałów. **Odpowiedź.** Dla \(m\lt 3\) równanie nie ma rozwiązań, dla \(m=3\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=1\), a dla \(m\gt 3\) ma dwa rozwiązania.

5.1 Zapisanie wzoru funkcji f w postaci : f ( x) = ⎨ . 1 ⎩−x + 4 dla x < 1 Sporządzenie wykresu funkcji f : y 9 8 7 6 5 Jeśli zdający od razu 4 poprawnie naszkicuje wykres 5 5.2 3 1 funkcji f, to przyznajemy 2 punkty w czynności 5.1 oraz 1 5.2. x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 6 Podanie liczby rozwiązań równania f ( x) = m : zero rozwiązań dla m < 3 , jedno 5.3 1 rozwiązanie dla m = 3 , dwa rozwiązania dla m > 3 . [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

**Krok \(1\).** Zadanie ma dwie części i dwa różne narzędzia. Najpierw rozwiązujemy układ z parametrem \(m\) metodą podstawiania — otrzymamy \(x\) i \(y\) jako wyrażenia zależne od \(m\). Potem suma \(x+y\) stanie się funkcją jednej zmiennej \(m\), a najmniejszej wartości funkcji na przedziale domkniętym szukamy przy użyciu pochodnej. **Krok \(2\).** Z pierwszego równania \(mx-y=2\) wyznaczamy \(y=mx-2\). **Krok \(3\).** Podstawiamy do drugiego równania: \[x+m(mx-2)=m,\qquad x+m^2x-2m=m,\qquad x(m^2+1)=3m.\] Ponieważ \(m^2+1\gt0\) dla każdego \(m\), możemy podzielić i otrzymujemy \[x=\frac{3m}{m^2+1}.\] **Krok \(4\).** Wracamy do \(y=mx-2\): \[y=\frac{3m^2}{m^2+1}-2=\frac{3m^2-2(m^2+1)}{m^2+1}=\frac{m^2-2}{m^2+1}.\] Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej wartości \(m\). **Krok \(5\).** Zapisujemy sumę jako funkcję parametru: \[f(m)=x+y=\frac{3m+m^2-2}{m^2+1}=\frac{m^2+3m-2}{m^2+1}.\] **Krok \(6\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu: \[f'(m)=\frac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}.\] Licznik to \[2m^3+2m+3m^2+3-2m^3-6m^2+4m=-3m^2+6m+3,\] więc \(f'(m)=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\). **Krok \(7\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc wystarczy \(-3m^2+6m+3=0\), czyli \(m^2-2m-1=0\). Stąd \(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt{\Delta}=2\sqrt2\) i \(m=1-\sqrt2\) lub \(m=1+\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m=1+\sqrt2\approx2{,}41\). **Krok \(8\).** Badamy znak pochodnej. Trójmian \(-3m^2+6m+3\) ma ujemny współczynnik przy \(m^2\), więc jest dodatni między pierwiastkami i ujemny poza nimi. Zatem \(f\) rośnie na \(\langle2,\,1+\sqrt2\rangle\) i maleje na \(\langle1+\sqrt2,\,4\rangle\). Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana w jednym z końców przedziału. **Krok \(9\).** Liczymy wartości na końcach: \[f(2)=\frac{4+6-2}{4+1}=\frac{8}{5},\qquad f(4)=\frac{16+12-2}{16+1}=\frac{26}{17}.\] **Krok \(10\).** Porównujemy je, mnożąc na krzyż: \(8\cdot17=136\) oraz \(26\cdot5=130\), a \(130\lt136\), więc \(\frac{26}{17}\lt\frac85\). Najmniejszą wartością sumy jest \(f(4)=\frac{26}{17}\). **Uwaga.** Pułapka jest w tym, że punkt \(m=1+\sqrt2\) to miejsce zerowe pochodnej, ale funkcja ma tam maksimum, a nie minimum. Gdy szukamy najmniejszej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kandydatami są zarówno punkty krytyczne wewnątrz przedziału, jak i oba jego końce — i tutaj wygrywa koniec. Nie wolno więc odruchowo podstawić miejsca zerowego pochodnej do wzoru funkcji. **Odpowiedź.** \(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}mx-y=2\\ x+my=m\end{cases}\) dla każdego \(m\in R\) jest para liczb \(\begin{cases}x=\frac{3m}{m^{2}+1}\\ y=\frac{m^{2}-2}{m^{2}+1}\end{cases}\) Sumę \(x+y\) zapisuję w postaci funkcji \(f(m)=\frac{m^{2}+3m-2}{m^{2}+1}\), \(m\in R\). Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=\frac{-3m^{2}+6m+3}{\left(m^{2}+1\right)^{2}}\), \(m\in R\). Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=0\) gdy \(-3m^{2}+6m+3=0\). Rozwiązaniami równania są liczby: \(m_{1}=1-\sqrt{2}\), \(m_{2}=1+\sqrt{2}\), przy czym \(m_{1}\notin\langle 2,4\rangle\). Badam znak pochodnej w przedziale \(\langle 2,4\rangle\): Ponieważ \(f^{\prime}(m)>0\) dla \(m\in\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\), więc funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \(\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\). Ponieważ \(f^{\prime}(m)<0\) dla \(m\in\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\), więc funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\). Stąd wnioskuję, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców przedziału \(\langle 2,4\rangle\). Obliczam wartość funkcji \(f\) na końcach przedziału: \(f(2)=\frac{8}{5}\) oraz \(f(4)=\frac{26}{17}\) i porównuję otrzymane liczby. Najmniejszą wartością sumy \(x+y\) jest \(f(4)=\frac{26}{17}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa zadania w jednym. Najpierw trzeba przetłumaczyć opis słowny na wzór funkcji, a potem znaleźć najmniejszą wartość funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym — a to zawsze wymaga sprawdzenia, czy wierzchołek paraboli leży w tym przedziale. **Krok \(2\).** Tłumaczymy opis. Kwadrat liczby \(x\) to \(x^2\), jego połowa to \(\frac12x^2\), a pomniejszenie o \(8\) daje \[f(x)=\frac12x^2-8,\qquad x\in\langle-4,-2\rangle.\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=\frac12\), \(b=0\), \(c=-8\). Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo \(a\gt0\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{1}=0.\] Sprawdzamy: \(0\notin\langle-4,-2\rangle\), czyli wierzchołek leży poza rozważanym przedziałem. **Krok \(5\).** Skoro w przedziale nie ma wierzchołka, funkcja jest tam monotoniczna. Cały przedział \(\langle-4,-2\rangle\) leży na lewo od \(x_w=0\), a na lewo od wierzchołka parabola o ramionach do góry maleje. Zatem najmniejszą wartość funkcja przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla \(x=-2\). **Krok \(6\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(-4)=\frac12\cdot(-4)^2-8=\frac12\cdot16-8=8-8=0,\] \[f(-2)=\frac12\cdot(-2)^2-8=\frac12\cdot4-8=2-8=-6.\] **Krok \(7\).** Porównujemy: \(-6\lt0\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\) jest \(-6\) i jest ona przyjmowana dla \(x=-2\). **Uwaga.** Największa pułapka to odruchowe podanie wartości \(-8\), czyli drugiej współrzędnej wierzchołka. Wierzchołek \((0,-8)\) leży poza przedziałem, więc wartość \(-8\) w ogóle nie jest przez tę funkcję przyjmowana. Zawsze sprawdzaj, czy \(x_w\) należy do przedziału: jeśli tak, to tam jest ekstremum, jeśli nie — najmniejszej i największej wartości szukamy na końcach przedziału. **Odpowiedź.** a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-8\). **11.2. (1 pkt)** – Podanie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: \(x_{w}=0\) i \(x_{w}\notin\langle-4,-2\rangle\). **11.3. (1 pkt)** – Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-4)=0\), \(f(-2)=-6\). Zdający może narysować wykres funkcji i na jego podstawie rozwiązać podpunkt b). **11.4. (1 pkt)** – Sformułowanie wniosku dotyczącego wartości najmniejszej. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sposób pracy. Wszystkie informacje mamy odczytać z wykresu paraboli. Do podpunktu c) potrzebne będą miejsca zerowe (bo one wchodzą do postaci iloczynowej \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)) oraz jeden dodatkowy punkt wykresu, z którego wyliczymy współczynnik \(a\). **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: ramiona skierowane w dół, wierzchołek \(W=(1,4)\), miejsca zerowe \(x_1=-1\) i \(x_2=3\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,3)\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Rysujemy (choćby w wyobraźni) prostą poziomą \(y=3\). Przecina ona parabolę w punkcie \((0,3)\), a ponieważ wykres jest symetryczny względem prostej \(x=1\) (pionowej osi przechodzącej przez wierzchołek), drugim punktem przecięcia jest punkt oddalony od \(x=1\) o tyle samo z drugiej strony, czyli \((2,3)\). **Krok \(4\).** Ramiona są skierowane w dół, więc wykres leży NIE WYŻEJ niż prosta \(y=3\) na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez punkty przecięcia: \[f(x)\leqslant 3\iff x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, czy wierzchołek leży w przedziale \(\langle0,3\rangle\): tak, \(x_w=1\in\langle0,3\rangle\). Ponieważ ramiona są w dół, wierzchołek daje wartość NAJWIĘKSZĄ, równą \(4\). **Krok \(6\).** Wartość najmniejszą w tym przedziale odczytujemy na jego końcach: \(f(0)=3\) oraz \(f(3)=0\). Mniejsza jest \(0\), więc najmniejsza wartość funkcji \(f\) w \(\langle0,3\rangle\) wynosi \(0\) (dla \(x=3\)). **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zapisujemy postać iloczynową z odczytanymi miejscami zerowymi: \[f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-3)=a(x+1)(x-3).\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy \(a\), wstawiając punkt \((0,3)\): \[3=a\cdot(0+1)\cdot(0-3)=-3a,\qquad a=-1.\] **Krok \(9\).** Zapisujemy wzór i sprawdzamy go na wierzchołku: \[f(x)=-(x+1)(x-3),\qquad f(1)=-(1+1)(1-3)=-2\cdot(-2)=4\ \checkmark\] Zgadza się z odczytanym wierzchołkiem \((1,4)\); ujemne \(a\) potwierdza też ramiona skierowane w dół. **Uwaga.** W podpunkcie a) nierówność jest NIEOSTRA (\(\leqslant\)), więc końce \(0\) i \(2\) należą do zbioru rozwiązań — zapisujemy nawiasy kwadratowe. Zauważ też, że drugiego punktu przecięcia z prostą \(y=3\) nie trzeba zgadywać z rysunku „na oko” — wynika on z symetrii paraboli względem prostej \(x=1\). W podpunkcie c) współczynnika \(a\) nie wolno pominąć: sam iloczyn \((x+1)(x-3)\) opisywałby parabolę o ramionach skierowanych w górę. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)\leq 3\): \((-\infty,\,0\rangle\cup\langle 2,\,+\infty)\). **6.2. (2 pkt)** – zapisanie najmniejszej i największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,3\rangle\): najmniejsza wartość jest równa \(0\), a największa jest równa \(4\). **6.3. (1 pkt)** – odczytanie z wykresu miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=3\) oraz współrzędnych punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika \(a\): \(a=-1\). **6.5. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci iloczynowej: \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne: wśród nieskończenie wielu brył o ustalonej objętości szukamy tej o najmniejszym polu. Schemat postępowania jest zawsze taki sam: wprowadzamy oznaczenia, zapisujemy wzory na wielkość daną (objętość) i badaną (pole), z warunku o objętości rugujemy jedną zmienną, otrzymujemy funkcję JEDNEJ zmiennej i szukamy jej minimum przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Niech \(a\) będzie krawędzią podstawy, a \(h\) krawędzią boczną (wysokością bryły). Pole trójkąta równobocznego to \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\), a obwód podstawy to \(3a\), więc \[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot h,\qquad P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3ah.\] **Krok \(3\).** Wykorzystujemy warunek \(V=2\), aby wyznaczyć \(h\): \[\frac{a^2\sqrt3}{4}h=2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{8}{a^2\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3a^2}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(h\) do wzoru na pole i dostajemy funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt3}{3a^2}=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a},\qquad a\in(0,+\infty).\] Dziedzina to liczby dodatnie, bo \(a\) jest długością krawędzi. **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[P^{\prime}(a)=a\sqrt3-\frac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\cdot\frac{a^3-8}{a^2}.\] **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik \(a^2\) i czynnik \(\sqrt3\) są dodatnie, więc o znaku decyduje licznik: \[a^3-8=0\quad\Longrightarrow\quad a^3=8\quad\Longrightarrow\quad a=2.\] **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej, żeby wykazać, że to naprawdę minimum. Dla \(a\in(0,2)\) mamy \(a^3\lt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\lt0\) i funkcja maleje. Dla \(a\gt2\) mamy \(a^3\gt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\gt0\) i funkcja rośnie. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, więc w punkcie \(a=2\) osiąga minimum, i to minimum globalne w całej dziedzinie. **Krok \(8\).** Obliczamy odpowiadającą wysokość, podstawiając \(a=2\): \[h=\frac{8\sqrt3}{3\cdot2^2}=\frac{8\sqrt3}{12}=\frac{2\sqrt3}{3}.\] Dla porządku: najmniejsze pole wynosi \(P(2)=\dfrac{4\sqrt3}{2}+\dfrac{8\sqrt3}{2}=6\sqrt3\ \mathrm{m}^2\). **Uwaga.** Samo rozwiązanie równania \(P^{\prime}(a)=0\) NIE wystarcza do pełnej odpowiedzi — trzeba jeszcze uzasadnić (badając znak pochodnej albo monotoniczność), że w tym punkcie jest minimum, a nie maksimum czy punkt przegięcia. Trzeba też pamiętać o dziedzinie \(a\gt0\): równanie \(a^3=8\) ma w liczbach rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie, ale gdyby pojawiły się inne, ujemne trzeba by odrzucić. **Odpowiedź.** Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 18.** (\(7\) pkt) Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(2\,\mathrm{m}^{3}\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa. Wprowadzam następujące oznaczenia: \(a\) – długość krawędzi podstawy, \(h\) – wysokość graniastosłupa. Dla tak wprowadzonych oznaczeń wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa są następujące: \(V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h\), \(P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3ah\). Z równania \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h=2\) wyznaczam niewiadomą \(h\): \(h=\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}\). Po podstawieniu \(h\) do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa otrzymuję funkcję: \(P(a)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{3}+16\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a^{2}+\frac{16}{a}\right)\), \(a\in(0,\infty)\). Obliczam pochodną funkcji: \(P'(a)=\sqrt{3}\cdot\frac{a^{3}-8}{a^{2}}\), \(a\in(0,\infty)\). Dla \(a=2\) pochodna funkcji przyjmuje wartość \(0\). \(P'(a)\le 0\) dla \(a\in(0,2\rangle\) i \(P'(a)\ge 0\) dla \(a\in\langle 2,\infty)\), więc w punkcie \(a=2\) funkcja \(P\) osiąga minimum i jednocześnie wartość najmniejszą, bo funkcja \(P\) w przedziale \((0,2\rangle\) jest malejąca i w przedziale \(\langle 2,\infty)\) jest rosnąca. Dla \(a=2\) wysokość \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Odp.: Wymiary graniastosłupa o objętości \(2\,\mathrm{m}^{3}\), dla którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze są następujące: \(a=2\,\mathrm{m}\), \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{m}\). | Nr czynności | 18.1. | 18.2. | 18.3. | 18.4. | 18.5. | 18.6. | 18.7. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Maksima lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\) (wartość \(1\)), minimum lokalne dla \(x=0\) (wartość \(0\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru \(f(x)=2|x|-x^2\). Ponieważ \(x^2=|x|^2\), cała funkcja zależy wyłącznie od \(|x|\), a więc jest PARZYSTA: \(f(-x)=f(x)\). Stąd metoda: rysujemy wykres dla \(x\geqslant0\) (gdzie wartość bezwzględną można opuścić), a lewą część otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi \(OY\). **Krok \(2\).** Dla \(x\geqslant0\) mamy \(|x|=x\), więc \[f(x)=2x-x^2=-x(x-2).\] To fragment paraboli o ramionach w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(2\). **Krok \(3\).** Wierzchołek tej paraboli leży pośrodku między miejscami zerowymi: \[x_w=\frac{0+2}{2}=1,\qquad f(1)=2\cdot1-1^2=1.\] Czyli dla \(x\geqslant0\) wykres wznosi się od punktu \((0,0)\) do \((1,1)\), a potem opada przez \((2,0)\) coraz niżej. **Krok \(4\).** Odbijamy tę część względem osi \(OY\). Otrzymujemy drugi łuk: wznosi się od \((-2,0)\) do wierzchołka \((-1,1)\), po czym opada do \((0,0)\). Cały wykres składa się z dwóch łuków parabol sklejonych w punkcie \((0,0)\), gdzie tworzy się charakterystyczne ostrze („dziób”) skierowany w dół. **Krok \(5\).** Odczytujemy ekstrema z wykresu. W punktach \(x=-1\) i \(x=1\) funkcja przechodzi ze wzrastania w malenie — to MAKSIMA LOKALNE, obie o wartości \(1\). W punkcie \(x=0\) funkcja przechodzi z malenia we wzrastanie — to MINIMUM LOKALNE o wartości \(0\). **Krok \(6\).** Kontrola rachunkowa: \(f(-1)=2\cdot|-1|-(-1)^2=2-1=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=2-1=1\). Dla porównania \(f(3)=6-9=-3\), co potwierdza, że poza przedziałem \(\langle-2,2\rangle\) funkcja szybko maleje. **Uwaga.** Trzy rzeczy warte podkreślenia. Po pierwsze, minimum w \(x=0\) jest tylko LOKALNE — dla dużych \(|x|\) funkcja przyjmuje wartości dowolnie małe, więc wartości najmniejszej nie ma. Po drugie, w punkcie \(x=0\) wykres ma ostrze, więc funkcja nie ma tam pochodnej — ekstremum trzeba odczytać z wykresu, a metoda „przyrównuję pochodną do zera” by go nie znalazła. Po trzecie, zadanie pyta o wartości \(x\), dla których są ekstrema, a nie o same wartości funkcji. **Odpowiedź.** Maksima lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\) (wartość \(1\)), minimum lokalne dla \(x=0\) (wartość \(0\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (2 pkt)** – […] wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji \(g(x)=2x-x^{2}\), a następnie naszkicowanie wykresu funkcji \(f(x)=g(\lvert x\rvert)\). […] – rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie osi \(Oy\), – gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która jest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części wykresu). **5.2. (1 pkt)** – wskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne funkcji \(f\) i określenie rodzaju ekstremum: minimum lokalne dla \(x=0\), maksimum lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, czego wymaga zadanie. Podpunkty a), b) i c) to czysty odczyt z wykresu, natomiast d) i e) dotyczą wykresów PRZESUNIĘTYCH: \(g(x)=f(x-1)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(1\) jednostkę w prawo, a \(h(x)=f(x)+2\) to wykres \(f\) przesunięty o \(2\) jednostki w górę. Warto zacząć od wypisania z wykresu punktów charakterystycznych. **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: dziedziną jest \(\langle-6,6\rangle\); wykres startuje w \((-6,2)\), opada do minimum \((-3,-4)\), rośnie do maksimum lokalnego \((0,1)\), znów opada do minimum \((3,-4)\) i rośnie aż do końca dziedziny w \(x=6\). Miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią \(Ox\)) to \(-5\), \(-1\), \(1\), \(5\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wykres — idąc od lewej do prawej — wznosi się: od minimum \((-3,-4)\) do maksimum \((0,1)\) oraz od minimum \((3,-4)\) do końca dziedziny. Maksymalne przedziały to \[\langle-3,0\rangle\quad\text{oraz}\quad\langle3,6\rangle.\] **Krok \(4\).** Podpunkt b). Wartości dodatnie to te argumenty, dla których wykres leży NAD osią \(Ox\). Korzystając z miejsc zerowych i przebiegu wykresu: \[x\in\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle.\] (Końce dziedziny \(-6\) i \(6\) należą do zbioru, bo tam wykres jest nad osią, natomiast same miejsca zerowe nie należą, bo wartość funkcji jest tam równa \(0\).) **Krok \(5\).** Podpunkt c). Ograniczamy się tylko do fragmentu wykresu nad przedziałem \(\langle-5,5\rangle\). Najwyżej położony punkt tego fragmentu to maksimum lokalne \((0,1)\), więc największa wartość wynosi \[1\quad\text{(dla }x=0\text{)}.\] **Krok \(6\).** Podpunkt d). Miejsca zerowe \(g\) to takie \(x\), dla których \(g(x)=f(x-1)=0\), czyli takie, że \(x-1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\): \[x-1\in\{-5,-1,1,5\}.\] **Krok \(7\).** Dodajemy \(1\) do każdej z tych liczb (to samo widać jako przesunięcie wykresu o \(1\) w prawo): \[x\in\{-4,\,0,\,2,\,6\}.\] **Krok \(8\).** Podpunkt e). Przesunięcie wykresu o \(2\) w górę zwiększa każdą wartość o \(2\), więc najmniejsza wartość \(h\) to najmniejsza wartość \(f\) powiększona o \(2\). Najniższe punkty wykresu \(f\) to minima \((-3,-4)\) i \((3,-4)\), więc najmniejsza wartość \(f\) jest równa \(-4\), a stąd \[-4+2=-2.\] **Uwaga.** W podpunkcie c) łatwo zapomnieć, że przedział \(\langle-5,5\rangle\) jest WĘŻSZY niż dziedzina \(\langle-6,6\rangle\) — patrzymy tylko na fragment wykresu nad tym przedziałem, ignorując to, co dzieje się poza nim. W podpunkcie d) uważaj na kierunek przesunięcia: \(f(x-1)\) przesuwa wykres w PRAWO (a nie w lewo), więc miejsca zerowe rosną o \(1\). **Odpowiedź.** a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – Podanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca: \(\langle-3,0\rangle\) i \(\langle 3,6\rangle\). Przyjmujemy również odpowiedzi, w których zdający podaje przedziały \((-3,0)\) i \((3,6)\) (również jednostronnie domknięte). **8.2. (1 pkt)** – Podanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). Zdający może zapisać odpowiedzi w postaci nierówności. **8.3. (1 pkt)** – Podanie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-5,5\rangle\): \(1\). Możemy przyjąć jako poprawne odpowiedzi: \(f(0)\) lub „dla \(x=0\)”. **8.4. (1 pkt)** – Podanie miejsc zerowych funkcji \(g\): \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). **8.5. (1 pkt)** – Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(h\): \(-2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(c=8\), więc \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa to \(f(0)=8\), a najmniejsza to \(f(3)=-19\). b) Funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).

**Krok \(1\).** Z warunku \(f(0)=8\) mam \(0^{3}-6\cdot0^{2}+c=8\), czyli \(c=8\). Zatem \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\). **Krok \(2\).** Obliczam pochodną: \[f'(x)=3x^{2}-12x=3x(x-4).\] Miejsca zerowe pochodnej to \(x=0\) oraz \(x=4\). **Krok \(3\).** W przedziale \(\langle-1,3\rangle\) leży tylko jedno miejsce zerowe pochodnej: \(x=0\). Wartość największą i najmniejszą wybieram spośród wartości funkcji na końcach przedziału oraz w tym punkcie. **Krok \(4\).** Obliczam: \(f(-1)=-1-6+8=1\), \(f(0)=8\), \(f(3)=27-54+8=-19\). **Krok \(5\).** Największą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) jest \(8\) (dla \(x=0\)), a najmniejszą \(-19\) (dla \(x=3\)). **Krok \(6\).** Badam znak pochodnej w całym zbiorze \(\mathbb{R}\): \(f'(x)\gt0\) dla \(x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\) oraz \(f'(x)\lt0\) dla \(x\in(0,4)\). **Odpowiedź.** \(c=8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa wynosi \(f(0)=8\), a najmniejsza \(f(3)=-19\). Funkcja \(f\) rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).

**1. (1 pkt)** – Badanie znaku pochodnej: \(f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,0)\cup(4,\infty)\), \(f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(0,4)\) (wystarczy gdy zdający poda zbiór, w którym pochodna jest dodatnia albo ujemna). **2. (1 pkt)** – Podanie przedziałów monotoniczności funkcji: funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0)\) oraz w przedziale \((4,\infty)\), funkcja maleje w przedziale \((0,4)\). (nie przyznajemy punktu w przypadku stwierdzenia, że funkcja rośnie w sumie przedziałów).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania. Mamy do czynienia z optymalizacją: zysk zależy od tego, o ile obniżymy cenę. Wprowadzamy więc jedną zmienną — wielkość obniżki — i zapisujemy zysk jako funkcję tej zmiennej. Ponieważ zarówno zysk z jednej sztuki, jak i liczba sztuk zależą od niej liniowo, ich iloczyn będzie funkcją kwadratową, a największej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy: niech \(x\) będzie obniżką ceny (w złotych). Nowa cena sprzedaży to \(160-x\) zł. **Krok \(3\).** Zysk ze sprzedaży JEDNEJ kurtki to cena sprzedaży minus cena zakupu: \[(160-x)-100=60-x.\] **Krok \(4\).** Liczba sprzedanych kurtek. Każda złotówka obniżki to jedna sztuka więcej, więc przy obniżce o \(x\) zł sprzedaż wynosi \[40+x\ \text{sztuk}.\] **Krok \(5\).** Miesięczny zysk to iloczyn zysku jednostkowego i liczby sztuk: \[f(x)=(60-x)(40+x)=2400+60x-40x-x^2=-x^2+20x+2400.\] Sensowne wartości to \(x\in\langle 0,60)\) — przy większej obniżce sklep sprzedawałby poniżej ceny zakupu. **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-1\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. Liczymy jego pierwszą współrzędną: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10.\] Liczba \(10\) należy do przedziału \(\langle 0,60)\). **Krok \(7\).** Wracamy do pytania z treści — pytano o CENĘ, a \(x\) to obniżka. Cena wynosi \[160-10=150\ \text{zł}.\] **Krok \(8\).** Dla kontroli liczymy zysk: \(f(10)=(60-10)(40+10)=50\cdot 50=2500\) zł (dla porównania przy cenie \(160\) zł zysk wynosił \(60\cdot 40=2400\) zł). **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na wyniku \(x_w=10\) i wpisanie go jako odpowiedzi. Liczba \(10\) to obniżka, a nie cena — trzeba jeszcze wykonać odejmowanie \(160-10\). **Odpowiedź.** Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] \((60-x)\) – zysk ze sprzedaży jednej kurtki, \((40+x)\) – liczba sprzedanych kurtek **5.2. (1 pkt)** – określenie funkcji \(f\) opisującej miesięczny zysk: \(f(x)=(60-x)(40+x)\) lub \(f(x)=-x^{2}+20x+2400\) **5.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości argumentu \(x_{w}\), dla której funkcja przyjmuje największą wartość: \(x_{w}=10\) **5.4. (1 pkt)** – wyznaczenie szukanej ceny: \(150\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Stosunek ten, czyli \(f(m)=\dfrac{-m+5}{\left(m+\frac12\right)^{2}}\) dla \(m\in\left\langle-6,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,\frac43\right\rangle\), przyjmuje wartość najmniejszą dla \(m=-6\), a wartość ta jest równa \(\frac{4}{11}\).

**Krok \(1\).** W zadaniu występuje równanie kwadratowe z parametrem \(m\), a pytamy o stosunek sumy pierwiastków do ich iloczynu. Sumę i iloczyn pierwiastków dają wzory Viete'a, więc ten stosunek będzie funkcją zmiennej \(m\). Plan jest zatem taki: (1) ustalić, dla jakich \(m\) pierwiastki rzeczywiste w ogóle istnieją, (2) zapisać wzór funkcji \(f(m)\) wraz z jej dziedziną, (3) znaleźć wartość najmniejszą tej funkcji — a do tego użyjemy pochodnej. **Krok \(2\).** Pierwiastki rzeczywiste istnieją, gdy \(\Delta\geqslant0\). Tutaj \(a=1\), \(b=m-5\), \(c=m^2+m+\frac14\), więc \[\Delta=(m-5)^2-4\left(m^2+m+\tfrac14\right)=m^2-10m+25-4m^2-4m-1=-3m^2-14m+24.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(-3m^2-14m+24\geqslant0\), czyli \(3m^2+14m-24\leqslant0\). Wyróżnik tego trójmianu: \(14^2+4\cdot3\cdot24=196+288=484=22^2\), więc \[m=\frac{-14\pm22}{6}:\qquad m_1=\frac{-36}{6}=-6,\qquad m_2=\frac{8}{6}=\frac43.\] Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc \(m\in\left\langle-6,\frac43\right\rangle\). **Krok \(4\).** Wzory Viete'a: \[x_1+x_2=-\frac ba=-(m-5)=5-m,\qquad x_1x_2=\frac ca=m^2+m+\frac14=\left(m+\frac12\right)^2.\] W iloczynie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia — to bardzo ułatwi dalszy rachunek. **Krok \(5\).** Stosunek sumy do iloczynu ma sens tylko wtedy, gdy iloczyn jest różny od zera, czyli \(\left(m+\frac12\right)^2\ne0\), a więc \(m\ne-\frac12\). Ostatecznie \[f(m)=\frac{5-m}{\left(m+\frac12\right)^{2}},\qquad m\in\left\langle-6,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,\frac43\right\rangle.\] **Krok \(6\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), gdzie \(u=5-m\) i \(v=\left(m+\frac12\right)^2\), a więc \(u'=-1\) i \(v'=2\left(m+\frac12\right)\): \[f'(m)=\frac{-\left(m+\frac12\right)^2-(5-m)\cdot2\left(m+\frac12\right)}{\left(m+\frac12\right)^4}.\] **Krok \(7\).** Skracamy jeden czynnik \(\left(m+\frac12\right)\): \[f'(m)=\frac{-\left(m+\frac12\right)-2(5-m)}{\left(m+\frac12\right)^3}=\frac{-m-\frac12-10+2m}{\left(m+\frac12\right)^3}=\frac{m-\frac{21}{2}}{\left(m+\frac12\right)^3}.\] **Krok \(8\).** Miejscem zerowym pochodnej jest \(m=\frac{21}{2}=10\frac12\), ale ta liczba nie należy do dziedziny (bo \(\frac{21}{2}\gt\frac43\)). Wewnątrz dziedziny pochodna nigdzie się nie zeruje, więc funkcja nie ma tam ekstremów lokalnych — wartości najmniejszej trzeba szukać na końcach przedziałów. **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej. Licznik \(m-\frac{21}{2}\) jest ujemny dla każdego \(m\) z dziedziny (bo \(m\leqslant\frac43\)). Mianownik \(\left(m+\frac12\right)^3\) ma taki sam znak jak \(m+\frac12\). Zatem: dla \(m\in\left\langle-6,-\frac12\right)\) mamy \(f'(m)=\frac{\text{liczba ujemna}}{\text{liczba ujemna}}\gt0\), czyli funkcja rośnie; dla \(m\in\left(-\frac12,\frac43\right\rangle\) mamy \(f'(m)=\frac{\text{liczba ujemna}}{\text{liczba dodatnia}}\lt0\), czyli funkcja maleje. **Krok \(10\).** Skoro na pierwszym przedziale \(f\) rośnie, to najmniejszą wartość przyjmuje na jego lewym końcu, czyli dla \(m=-6\). Na drugim przedziale \(f\) maleje, więc najmniejszą wartość przyjmuje na prawym końcu, czyli dla \(m=\frac43\). W pobliżu \(m=-\frac12\) mianownik dąży do zera, a licznik do \(\frac{11}{2}\gt0\), więc \(f(m)\to+\infty\) — tam minimum na pewno nie leży. **Krok \(11\).** Obliczamy obie wartości: \[f(-6)=\frac{5-(-6)}{\left(-6+\frac12\right)^2}=\frac{11}{\left(-\frac{11}{2}\right)^2}=\frac{11}{\frac{121}{4}}=\frac{44}{121}=\frac{4}{11},\] \[f\!\left(\tfrac43\right)=\frac{5-\frac43}{\left(\frac43+\frac12\right)^2}=\frac{\frac{11}{3}}{\left(\frac{11}{6}\right)^2}=\frac{\frac{11}{3}}{\frac{121}{36}}=\frac{11}{3}\cdot\frac{36}{121}=\frac{12}{11}.\] Ponieważ \(\frac{4}{11}\lt\frac{12}{11}\), wartością najmniejszą jest \(\frac{4}{11}\) i jest ona przyjmowana dla \(m=-6\). **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, dziedziny funkcji \(f\) nie wyznacza sam warunek \(\Delta\geqslant0\) — trzeba jeszcze wykluczyć \(m=-\frac12\), bo wtedy iloczyn pierwiastków jest zerem i stosunek nie istnieje. Po drugie, miejsce zerowe pochodnej \(m=\frac{21}{2}\) leży poza dziedziną, więc nie wolno go traktować jako kandydata na ekstremum: o wartości najmniejszej decydują tu wyłącznie końce przedziałów. **Odpowiedź.** Stosunek ten, czyli \(f(m)=\frac{-m+5}{\left(m+\frac12\right)^{2}}\) dla \(m\in\left\langle-6,-\frac12\right)\cup\left(-\frac12,\frac43\right\rangle\), przyjmuje wartość najmniejszą dla \(m=-6\), a wartość ta jest równa \(\frac{4}{11}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **19.1. (1 pkt)** – […] równania: \(\Delta\ge 0\) dla \(m\in\left\langle-6;\frac{4}{3}\right\rangle\) **19.2. (1 pkt)** – określenie wzoru funkcji \(m\to f(m)=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\): \(f(m)=\frac{-m+5}{\left(m+\frac{1}{2}\right)^{2}}\) **19.3. (1 pkt)** – określenie dziedziny funkcji \(f\): \(m\in\left\langle-6;-\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right\rangle\) **19.4. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu **19.5. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) **19.6. (1 pkt)** – określenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\): \(m=10\tfrac{1}{2}\) **19.7. (2 pkt)** – obliczenie wartości \(f(-6)\) i \(f\left(\frac{4}{3}\right)\): \(f(-6)=\frac{4}{11}\), \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{12}{11}\) **19.8. (1 pkt)** – zbadanie znaku pochodnej funkcji: \(f'(m)>0\) dla \(m\in\left\langle-6;-\frac{1}{2}\right)\), \(f'(m)<0\) dla \(m\in\left(-\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right\rangle\) **19.9. (1 pkt)** – uzasadnienie, że \(f(-6)=\frac{4}{11}\) jest najmniejszą wartością funkcji (\(m=\frac{21}{2}\) leży poza przedziałem określoności). Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne o ciągu arytmetycznym. Mamy jeden konkretny wyraz (\(a_{51}=1\)) i nieznaną różnicę \(r\). Pomysł: wszystkie potrzebne wyrazy wyrazimy przez \(r\), badane wyrażenie stanie się funkcją jednej zmiennej, a najmniejszej wartości poszukamy przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Korzystamy z zależności \(a_n=a_{51}+(n-51)r\), czyli \(a_n=1+(n-51)r\). Stąd \[a_1=1-50r,\qquad a_{49}=1-2r,\qquad a_{50}=1-r.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy badane wyrażenie jako funkcję \(r\): \[f(r)=\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}}=\frac{(1-50r)(1-2r)}{1-r}.\] Z treści wiemy, że \(r\lt1\); przy tym założeniu \(1-r\gt0\), więc mianownik nigdy się nie zeruje i dziedziną jest przedział \((-\infty,1)\). **Krok \(4\).** Rozwijamy licznik: \[(1-50r)(1-2r)=1-2r-50r+100r^2=100r^2-52r+1,\] więc \(f(r)=\dfrac{100r^2-52r+1}{1-r}\). **Krok \(5\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu, pamiętając, że pochodna mianownika to \(-1\): \[f'(r)=\frac{(200r-52)(1-r)-\bigl(100r^2-52r+1\bigr)\cdot(-1)}{(1-r)^2}.\] Licznik to \[-200r^2+252r-52+100r^2-52r+1=-100r^2+200r-51,\] zatem \(f'(r)=\dfrac{-100r^2+200r-51}{(1-r)^2}\). **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc rozwiązujemy \(100r^2-200r+51=0\): \(\Delta=40\,000-20\,400=19\,600\), \(\sqrt{\Delta}=140\), \[r=\frac{200-140}{200}=\frac{3}{10}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{200+140}{200}=\frac{17}{10}.\] Drugi pierwiastek odrzucamy, bo \(1{,}7\gt1\), czyli leży poza dziedziną. **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej. Licznik można zapisać jako \(-100\left(r-\frac{3}{10}\right)\left(r-\frac{17}{10}\right)\). Dla \(r\lt\frac{3}{10}\) oba nawiasy są ujemne, ich iloczyn dodatni, więc po pomnożeniu przez \(-100\) licznik jest ujemny i funkcja maleje. Dla \(\frac{3}{10}\lt r\lt1\) pierwszy nawias jest dodatni, drugi ujemny, iloczyn ujemny, więc licznik jest dodatni i funkcja rośnie. W punkcie \(r=\frac{3}{10}\) funkcja ma zatem minimum. **Krok \(8\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[f\!\left(\tfrac{3}{10}\right)=\frac{\bigl(1-50\cdot0{,}3\bigr)\bigl(1-2\cdot0{,}3\bigr)}{1-0{,}3}=\frac{(-14)\cdot0{,}4}{0{,}7}=\frac{-5{,}6}{0{,}7}=-8.\] **Uwaga.** Warunek z treści, że różnica jest mniejsza od \(1\), pełni tu podwójną rolę: wyznacza dziedzinę \((-\infty,1)\) i jednocześnie gwarantuje, że \(a_{50}=1-r\neq0\), więc dzielenie jest wykonalne. Bez tego warunku drugie miejsce zerowe pochodnej, \(r=1{,}7\), byłoby kandydatem i zadanie miałoby inną odpowiedź. Pamiętaj też, że pytanie dotyczy najmniejszej wartości wyrażenia (\(-8\)), a nie różnicy ciągu, przy której ta wartość jest przyjmowana. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **20.1. (1 pkt)** – […] oznaczeń: \(a_{1}=1-50x\). **20.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a_{49}\), \(a_{50}\) w zależności od \(x\): \(a_{49}=1-2x\), \(a_{50}=1-x\). **20.3. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(\frac{a_{1}\cdot a_{49}}{a_{50}}\) jako funkcji jednej zmiennej i podanie jej dziedziny: \(f(x)=\frac{(1-50x)(1-2x)}{1-x}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.4. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{-100x^{2}+200x-51}{(1-x)^{2}}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(f'(x)=0\): \(x=\frac{3}{10}\). **20.6. (1 pkt)** – uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(f\) (zbadanie monotoniczności funkcji \(f\) w przedziale \((-\infty;1)\)): Funkcja \(f\): maleje dla \(x\in\left(-\infty;\frac{3}{10}\right)\), rośnie dla \(x\in\left(\frac{3}{10};1\right)\), dla \(x=\frac{3}{10}\) przyjmuje najmniejszą wartość. **20.7. (1 pkt)** – wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\): \(f\left(\frac{3}{10}\right)=-8\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie: pytamy o ZBIÓR WARTOŚCI funkcji. Wzór wygląda na iloczyn, ale po wymnożeniu okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową. A dla funkcji kwadratowej zbiór wartości odczytujemy z rzędnej wierzchołka \(q\): przy ramionach w dół (\(a\lt0\)) jest to \((-\infty,q\rangle\), a przy ramionach w górę \(\langle q,+\infty)\). Plan: doprowadzić wzór do postaci ogólnej i policzyć \(q\). **Krok \(2\).** Wymnażamy. W pierwszym składniku rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((1-x)(1+x)=1-x^2\): \[f(x)=(1-x)(x+1)+2x=1-x^2+2x.\] Po uporządkowaniu: \[f(x)=-x^2+2x+1.\] **Krok \(3\).** Odczytujemy współczynniki: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=1\). Ponieważ \(a=-1\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja ma wartość NAJWIĘKSZĄ (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. **Krok \(4\).** Obliczamy odciętą wierzchołka: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.\] **Krok \(5\).** Obliczamy rzędną wierzchołka, podstawiając \(x=1\) do wzoru: \[q=f(1)=-1^2+2\cdot1+1=-1+2+1=2.\] (Można też ze wzoru \(q=-\frac{\Delta}{4a}\): \(\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot1=8\), \(q=-\frac{8}{-4}=2\).) **Krok \(6\).** Największą wartością funkcji jest \(2\), a wszystkie wartości mniejsze też są przyjmowane (parabola schodzi w dół do \(-\infty\)). Zatem zbiorem wartości jest \((-\infty,2\rangle\). **Uwaga.** Liczba \(2\) NALEŻY do zbioru wartości — jest przyjmowana dokładnie dla \(x=1\) — więc nawias przy \(2\) musi być domknięty. Częstym błędem jest też podanie \(x_w=1\) jako odpowiedzi: pytamy o WARTOŚCI funkcji, czyli o \(y\), a nie o argumenty. **Odpowiedź.** \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej: \(f(x)=-x^{2}+2x+1\). **(1 pkt)** – obliczenie rzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\): \(y_{w}=2\). **(1 pkt)** – wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\): \((-\infty,\,2]\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru. Oba składniki są funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu \(2x\) (drugi tylko przesuniętego o \(\frac{\pi}{6}\)). Standardowa metoda: rozwinąć drugi składnik wzorem na cosinus różnicy, sprowadzić wszystko do postaci \(A\sin 2x+B\cos 2x\), a następnie zwinąć to do jednej funkcji \(R\sin(2x+\varphi)\), której zbiór wartości znamy od ręki. **Krok \(2\).** Rozwijamy wzorem na cosinus różnicy \(\cos(\beta-\gamma)=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\): \[\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru funkcji i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=\sin 2x+\frac12\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x=\frac32\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x.\] **Krok \(4\).** Liczymy „amplitudę”, czyli liczbę \(R=\sqrt{A^2+B^2}\) dla \(A=\frac32\), \(B=\frac{\sqrt3}{2}\): \[R=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Wyłączamy \(\sqrt3\) przed nawias: \[f(x)=\sqrt3\left(\frac{3}{2\sqrt3}\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}\cos 2x\right)=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\frac12\cos 2x\right).\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) i \(\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\), więc nawias jest rozwinięciem sinusa sumy: \[f(x)=\sqrt3\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).\] **Krok \(7\).** Uzasadniamy wartości skrajne. Dla dowolnego argumentu \(\sin\) przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\), a wyrażenie \(2x+\frac{\pi}{6}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, gdy \(x\) przebiega \(\mathbb{R}\). Zatem \[-\sqrt3\leqslant f(x)\leqslant\sqrt3\] i obie skrajne wartości są osiągane. **Krok \(8\).** Wskazujemy konkretne argumenty. Największą wartość dostajemy, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=\frac{\pi}{6}\): \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\). Najmniejszą, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=-\frac{\pi}{3}\): \(f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3\). (Ten sam wzór można zapisać przy pomocy cosinusa: ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), więc \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\) — obie postacie są równoważne.) **Uwaga.** Polecenie brzmi „odpowiedź uzasadnij” — samo podanie liczb \(\pm\sqrt3\) nie wystarczy. Trzeba pokazać przekształcenie do jednej funkcji trygonometrycznej i zaznaczyć, że wartości skrajne są rzeczywiście OSIĄGANE (najlepiej podając przykładowe \(x\)). Uwaga też na częsty błąd: amplituda sumy \(A\sin t+B\cos t\) to \(\sqrt{A^2+B^2}\), a nie \(A+B\) — tutaj \(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}\approx 2{,}37\), a poprawna wartość to \(\sqrt3\approx 1{,}73\). **Odpowiedź.** Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] zastosowaniu wzorów redukcyjnych: \(f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\). **15.2. (1 pkt)** – przekształcenie wzoru funkcji po zastosowaniu wzoru na sumę sinusów lub kosinusów: \(f(x)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)\) lub \(f(x)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\). **15.3. (2 pkt)** – wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (w tym \(1\) p. za podanie wartości oraz \(1\) p. za uzasadnienie): Najmniejsza wartość: \(m=-\sqrt{3}\). Największa wartość: \(M=\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Styczna ma równanie \(y=\frac58\). b) Funkcja \(f\) osiąga minimum dla \(x=3\) i \(f_{\min}=f(3)=-1\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

**Krok \(1\).** Zadanie łączy dwa źródła informacji: tabelę z trzema wartościami funkcji \(f\) i wykres jej pochodnej. Kluczowa myśl jest taka, że wykres pochodnej nie mówi nam nic o wartościach \(f\) — te bierzemy wyłącznie z tabeli — natomiast mówi wszystko o nachyleniu wykresu \(f\) i o monotoniczności. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Styczna do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) ma równanie \[y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0).\] Potrzebujemy więc dwóch liczb: \(f(0)\) oraz \(f^{\prime}(0)\). **Krok \(3\).** Wartość \(f(0)=\frac58\) odczytujemy z tabeli. Wartość \(f^{\prime}(0)\) odczytujemy z wykresu pochodnej: dla \(x=0\) wykres pochodnej przechodzi przez oś \(Ox\), czyli \(f^{\prime}(0)=0\). **Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na styczną: \[y=\tfrac58+0\cdot(x-0)=\tfrac58.\] Styczna jest prostą poziomą — to naturalne, skoro nachylenie wykresu w tym punkcie jest zerowe. **Krok \(5\).** Podpunkt b). Funkcja ma ekstremum tam, gdzie jej pochodna zmienia znak. Patrzymy więc na wykres pochodnej i szukamy miejsc, w których przechodzi ona z jednej strony osi \(Ox\) na drugą. **Krok \(6\).** Z wykresu widać, że \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-3,3)\) oraz \(f^{\prime}(x)\gt0\) dla \(x\in(3,4)\). Pochodna zmienia znak z minusa na plus tylko w punkcie \(x=3\), więc \(f\) ma tam minimum lokalne (i jest to jedyne ekstremum tej funkcji). **Krok \(7\).** Wartości minimum nie odczytamy z wykresu pochodnej — bierzemy ją z tabeli: \(f(3)=-1\). Zatem \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla argumentu \(x=3\). **Krok \(8\).** Podpunkt c). Skoro \(f^{\prime}(x)\leqslant0\) na \((-3,3\rangle\), to funkcja jest tam malejąca, a skoro \(f^{\prime}(x)\gt0\) na \(\langle3,4)\), to dalej rośnie. Najmniejszą wartość przyjmuje więc dokładnie w punkcie zwrotnym, czyli w \(x=3\), i jest ona równa \(-1\). **Uwaga.** To, że \(f^{\prime}(0)=0\), nie oznacza jeszcze ekstremum w zerze. Warunek \(f^{\prime}(x_0)=0\) jest tylko konieczny — potrzebna jest jeszcze zmiana znaku pochodnej. Tutaj pochodna dotyka osi w \(x=0\), ale znaku nie zmienia (podobnie jak dla funkcji \(y=x^3\) w zerze), więc funkcja cały czas maleje i ekstremum tam nie ma. **Odpowiedź.** a) \(y=\frac58\). b) Minimum \(f_{\min}=f(3)=-1\) dla \(x=3\). c) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

**1. (2 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(y=\frac{5}{8}\). Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub wartości pochodnej funkcji \(f\) dla \(x=0\) przyznajemy \(1\) punkt. **2. (1 pkt)** – podanie argumentu, dla którego funkcja \(f\) osiąga minimum. Odp. \(x=3\) **3. (1 pkt)** – podanie minimum funkcji \(f\). Odp. \(f_{\min}(3)=-1\) **4. (1 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\)

**Krok \(1\).** Oznaczamy przez \(r\) promień podstawy stożka, przez \(H\) jego wysokość, a przez \(R=4\) promień kuli wpisanej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i wysokości \(H\), w który wpisano okrąg o promieniu \(R\). **Krok \(2\).** Z podobieństwa trójkątów w przekroju osiowym otrzymujemy związek między \(r\) i \(H\): \[r^{2}=\frac{R^{2}H}{H-2R}=\frac{16H}{H-8},\qquad H>8.\] Warunek \(H>2R\) jest istotny: stożek opisany na kuli musi być wyższy niż jej średnica. **Krok \(3\).** Zapisujemy objętość jako funkcję jednej zmiennej \(H\): \[V(H)=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H^{2}}{H-8},\qquad H\in(8,+\infty).\] **Krok \(4\).** Liczymy pochodną: \[V'(H)=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{2H(H-8)-H^{2}}{(H-8)^{2}}=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H(H-16)}{(H-8)^{2}}.\] **Krok \(5\).** W dziedzinie \((8,+\infty)\) mianownik i czynnik \(H\) są dodatnie, więc o znaku decyduje \(H-16\). Pochodna jest ujemna na \((8,16)\) i dodatnia na \((16,+\infty)\), zatem w \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga minimum lokalne, a wobec zachowania na krańcach dziedziny — także najmniejszą wartość. **Krok \(6\).** Wyznaczamy promień i objętość dla \(H=16\): \[r^{2}=\frac{16\cdot 16}{16-8}=32,\qquad r=4\sqrt{2},\] \[V=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{16^{2}}{8}=\frac{512\pi}{3}.\] **Uwaga.** Zadanie pyta o objętość najmniejszą, nie największą — i minimum faktycznie istnieje: przy \(H o 8^{+}\) oraz przy \(H o+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie. **Odpowiedź.** \(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\approx 536{,}17\ \mathrm{cm}^{3}\)

**[…]. ([…] pkt)** – […] \(DV'=DV\). **50. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości: \(H=16\). **51. (1 pkt)** – zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: \(V'(H)>0\Leftrightarrow H\in(16;\infty)\) oraz \(V'(H)<0\Leftrightarrow H\in(8;16)\). **52. (1 pkt)** – stwierdzenie i zapisanie, że dla \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga lokalne minimum równe \(V(16)=\frac{512\pi}{3}\). **53. (1 pkt)** – uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty: \(\lim\limits_{H\to 8^{+}}V(H)=+\infty\) oraz \(\lim\limits_{H\to\infty}V(H)=+\infty\). **54. (1 pkt)** – podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu \(R=4\) cm: wysokość stożka, \(H=16\) cm, promień podstawy stożka \(r=4\sqrt{2}\) cm. Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(x-1)(5-x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Kluczowa własność: funkcja kwadratowa na przedziale DOMKNIĘTYM przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo w wierzchołku paraboli, albo na końcach przedziału. Wystarczy więc porównać trzy liczby: \(f\) w wierzchołku (o ile wierzchołek należy do przedziału) oraz \(f\) na obu końcach. **Krok \(2\).** Ustalamy kierunek ramion. Wymnażamy: \[f(x)=(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5.\] Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\lt0\), więc ramiona paraboli są skierowane W DÓŁ. To znaczy, że w wierzchołku jest wartość NAJWIĘKSZA, a najmniejsza musi wypaść na końcu przedziału. **Krok \(3\).** Wyznaczamy wierzchołek. Najprościej z postaci iloczynowej: miejsca zerowe to \(1\) i \(5\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku: \[x_w=\frac{1+5}{2}=3\qquad(\text{lub ze wzoru } x_w=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{6}{-2}=3).\] Wartość: \(f(3)=(3-1)(5-3)=2\cdot2=4\). **Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy \(x_w=3\) należy do przedziału \(\langle0,7\rangle\). Tak, należy, więc największą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest \(f(3)=4\). **Krok \(5\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(0)=(0-1)(5-0)=(-1)\cdot5=-5,\] \[f(7)=(7-1)(5-7)=6\cdot(-2)=-12.\] **Krok \(6\).** Porównujemy: \(-12\lt-5\), więc najmniejszą wartością jest \(f(7)=-12\). **Uwaga.** Pułapką jest odruch „skoro ramiona w dół, to najmniejszej wartości nie ma”. Na całej prostej rzeczywiście jej nie ma, ale na przedziale DOMKNIĘTYM już tak — jest przyjmowana na jednym z końców. Trzeba sprawdzić OBA końce, bo przedział \(\langle0,7\rangle\) nie jest symetryczny względem \(x_w=3\): punkt \(7\) leży dalej od wierzchołka niż \(0\), i to on daje mniejszą wartość. **Odpowiedź.** Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**2. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(0)=-5\). **3. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(7)=-12\). **4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(f\) w przedziale \(0;7\) osiąga największą wartość równą \(4\), zaś najmniejszą równą \((-12)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\), dziedzina: \(r\in(0,+\infty)\). Pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).

**Krok \(1\).** Objętość walca o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\) wyraża się wzorem \(V=\pi r^{2}h\). Z warunku \(\pi r^{2}h=250\pi\) otrzymuję \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\). **Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej walca: \[P=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{250}{r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{500\pi}{r}=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}.\] **Krok \(3\).** Promień podstawy jest liczbą dodatnią i dla każdego \(r\gt0\) istnieje odpowiadająca mu wysokość \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\gt0\), zatem dziedziną funkcji \(P\) jest zbiór \(r\in(0,+\infty)\). **Krok \(4\).** Wyznaczam pochodną: \[P'(r)=4\pi r-\frac{500\pi}{r^{2}}=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązuję równanie \(P'(r)=0\): \(4\pi r^{3}-500\pi=0\), czyli \(r^{3}=125\), a stąd \(r=5\). **Krok \(6\).** Badam znak pochodnej: dla \(r\in(0,5)\) mamy \(P'(r)\lt0\) (funkcja maleje), a dla \(r\in(5,+\infty)\) mamy \(P'(r)\gt0\) (funkcja rośnie). Zatem dla \(r=5\) funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą, równą \(P(5)=2\pi\cdot5^{2}+\dfrac{500\pi}{5}=50\pi+100\pi=150\pi\). **Odpowiedź.** \(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\) dla \(r\in(0,+\infty)\); pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla promienia \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] w zależności od długości \(r\) promienia podstawy: \(h=\frac{250}{r^{2}}\) **15.2. (1 pkt)** – wyznaczenie pola powierzchni całkowitej walca jako funkcji zmiennej \(r\): \(P(r)=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}\) **15.3. (1 pkt)** – określenie dziedziny funkcji \(P(r)\): \(r\in(0,+\infty)\) **15.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(P^{\prime}(r)\): \(P^{\prime}(r)=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}\) **15.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(P^{\prime}(r)=0\): \(r=5\) **15.6. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(r=5\) funkcja przyjmuje wartość najmniejszą

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=1\), \(b=2\), czyli \(f(x)=x^{2}+2x-3\); b) \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).

**Krok \(1\).** Ze wzorów Viety iloczyn miejsc zerowych jest równy \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{a}\). Z warunku \(x_{1}x_{2}=-3\) otrzymujemy \(\frac{-3}{a}=-3\), zatem \(a=1\). **Krok \(2\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą drugiej współrzędnej wierzchołka: \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-4\quad\Longrightarrow\quad \Delta=16a=16.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=b^{2}-4a\cdot(-3)=b^{2}+12\). Stąd \(b^{2}+12=16\), czyli \(b^{2}=4\), a wobec warunku \(b\gt 0\) mamy \(b=2\). Ponadto \(\Delta=16\gt 0\), więc funkcja rzeczywiście ma dwa różne miejsca zerowe. **Krok \(4\).** Zatem \(f(x)=x^{2}+2x-3\) oraz \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{2},\] czyli \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\). Sprawdzenie: \(x_{1}x_{2}=-3\), a wartość najmniejsza to \(f(-1)=-4\). **Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=2\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(a\): \(-\frac{3}{a}=-3\) **8.2. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(-\frac{\Delta}{4a}=-4\) **8.3. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a\): \(a=1\) **8.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(b\): \(b=2\) **8.5. (1 pkt)** – obliczenie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-3,\; x_{2}=1\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.