Zadanie 32, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki: - punkt \(E\) leży na boku \(AB\)…
Typ zadania
Optymalizacja
Wyznaczanie wartości największej lub najmniejszej — pola, objętości, kosztu, odległości. Ten sam rodzaj pracy niezależnie od działu — zebrany w jednym miejscu, pogrupowany działami.
100zadań tego typu
36 zadań
Funkcje
Zadanie 33.2, maj 2026, poziom podstawowy
Wysokość piłeczki w chwili \(t\) jest określona wzorem \(h(t)=-4{,}9t^{2}+14{,}7t\). Piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili **A.** \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\) **B.**…
Zadanie 11, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([0,14]\) jest równa **A.** \(f(3)\) **B.**…
Zadanie 31, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki \(L_{25}\) na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek…
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\), gdzie \(|AB|=15\) km, \(|AC|=20\) km oraz \(AB\perp AC\). O godzinie \(9{:}00\) z miejscowości \(A\)…
Zadanie 38, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy
Dwie jednakowe prostokątne działki magazynowe mają wspólny bok. Całość jest ogrodzona, a wspólny bok także stanowi ogrodzenie. W płocie znajdują się dwie bramy o…
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki…
Zadanie 32.2, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy
Tor ruchu środka rzuconej piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W chwili początkowej środek piłki znajdował się w punkcie \((0,2{,}50)\). Sytuację…
Zadanie 31, maj 2025, poziom podstawowy
Rozważamy prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\)…
Zadanie 31, sierpień 2025, poziom podstawowy
Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Przy wyjściowej cenie \(120\) zł za dobę wszystkie pokoje są wynajęte, a każdy wzrost ceny za dobę o \(5\) zł…
Zadanie 32, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że…
Zadanie 30, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi…
Zadanie 31, maj 2024, poziom podstawowy
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą…
Zadanie 30, sierpień 2024, poziom podstawowy
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\). **Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest najmniejsza…
Zadanie 29, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\). **Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego…
Zadanie 33, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\text{ m}\) oraz \(|CD|=100\text{ m}\). Wysokość trapezu jest równa…
Zadanie 30, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość…
Zadanie 19, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(AB\) i \(AC\) są prostopadłe oraz \[|AB|=15\,\mathrm{km},\qquad |AC|=20\,\mathrm{km}.\] O…
Zadanie 28, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Każda działka ma wymiary \(x\) i \(y\). Całość ma być…
Zadanie 28, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach mających jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem, a działki rozdzieli wspólny…
Zadanie 22.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] **Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego…
Zadanie 22.2, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy
Środek piłki porusza się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Sytuację i tor ruchu przedstawiono na rysunku w treści zadania. **Oblicz wysokość maksymalną, na…
Zadanie 31.2, maj 2023, poziom podstawowy
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego…
Zadanie 33, sierpień 2023, poziom podstawowy
Zakład sprzedaje krzesła po \(196\text{ zł}\) za sztukę. Przychód ze sprzedaży \(x\) krzeseł określa funkcja \[P(x)=196x,\] a koszt produkcji funkcja…
Zadanie 20, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200\text{ m}\). Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z…
Zadanie 23, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: - przychód \(P\) (w złotych) z…
Zadanie 33, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7xz\) przyjmuje największą…
Zadanie 11, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się \(4\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków…
Zadanie 10, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Na płaszczyźnie dane są punkty \[A=(3,-2)\qquad\text{i}\qquad B=(11,4).\] Na prostej o równaniu \[y=8x+10\] znajdź punkt \(P\), dla którego suma \[|AP|^2+|BP|^2\] jest…
Zadanie 6, maj 2012, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty \(P\) postaci: \[P=\left(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m\right),\] gdzie \[m\in\langle-1,7\rangle.\] Oblicz najmniejszą i…
Zadanie 10, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku równym \(2\). Na bokach \(BC\) i \(CD\) wybrano odpowiednio punkty \(E\) i \(F\), różne od wierzchołków kwadratu, takie że…
Zadanie 8, maj 2011, poziom rozszerzony
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(24\), jest taki, który ma największe pole…
Zadanie 3, maj 2010, poziom rozszerzony
Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(1\). Na bokach \(BC\) i \(CD\) wybrano odpowiednio punkty \(E\) i \(F\) umieszczone tak, by \(|CE|=2|DF|\). Oblicz wartość \(x=|DF|\)…
Zadanie 3, sierpień 2010, poziom rozszerzony
Dane są punkty \(A=(1,5)\), \(B=(9,3)\) i prosta \(k\) o równaniu \(y=x+1\). Oblicz współrzędne punktu \(C\) leżącego na prostej \(k\), dla którego suma \(|AC|^2+|BC|^2\)…
Zadanie 1, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony
Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa \(13\). Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby…
Zadanie 5, maj 2005, poziom podstawowy
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki, płacąc po \(100\) zł za sztukę, i sprzedaje średnio \(40\) sztuk miesięcznie po \(160\) zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka…
36 zadań
Analiza matematyczna
Zadanie 13.2, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C=(0,0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi…
Zadanie 15, maj 2026, poziom rozszerzony
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów, nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma…
Zadanie 12.2, maj 2026, poziom rozszerzony
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów, nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma…
Zadanie 12.2, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). Objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od długości \(a\)…
Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną kulę na szczyt góry. Próbę zaczyna w chwili \(t=0\) od punktu \(O\) oddalonego od szczytu o \(4\) km. Położenie \(s\)…
Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są wierzchołkami kwadratu o boku długości \(300\) km. Sieć dróg między miastami ma łączyć każde dwa z tych miast, mieć dwa węzły, a…
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Firma X wytwarza produkt D. Związek między ilością \(Q\) produktu, jaką firma może zbyć, a ceną \(P\) jest opisany wzorem \[P(Q)=90-0{,}1Q\qquad\text{dla }Q\in[0,900],\]…
Zadanie 18.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
**Informacja do zadań \(18\).\(1\)–\(18\).\(2\).** Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole…
Zadanie 12.2, maj 2025, poziom rozszerzony
Objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem \[V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\] dla \(h\in(5,+\infty)\). Wyznacz…
Zadanie 13.2, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest…
Zadanie 13.2, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{12x-84}{x-8}\] dla każdego \(x\in(-\infty,8)\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie…
Zadanie 13.2, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\). **Zadanie \(13\).\(2\).**…
Zadanie 6.2, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Linię brzegową wymodelowano w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) za…
Zadanie 13, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z…
Zadanie 14, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z…
Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t=0\) znajduje się w punkcie \(O\), oddalonym od szczytu o…
Zadanie 9, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Syzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną kulę na szczyt pewnej góry. Pracę zaczyna w chwili \(t=0\) od punktu \(O\) oddalonego od szczytu o \(4\,\mathrm{km}\)…
Zadanie 10, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie czterech miast \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) oraz przykładową sieć dróg między nimi. Sieć trzeba tak zaprojektować, aby łączyła każde dwa…
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Firma X wytwarza produkt D. Związek między ilością \(Q\) produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć, a ceną \(P\) produktu opisuje wzór…
Zadanie 18.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i żadna z krawędzi…
Zadanie 16, maj 2023, poziom rozszerzony
Rozważamy trójkąty \(ABC\), w których \(A=(0,0)\), \(B=(m,0)\), \(m\in(4,+\infty)\), wierzchołek \(C\) leży na prostej \(y=-2x\), a punkt \(D=(3,2)\) leży na boku \(BC\)…
Zadanie 12.2, maj 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\cdot x^2-6x\] dla każdej liczby dodatniej \(x\). **Oblicz najmniejszą…
Zadanie 15, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne \(ABC\), gdzie \(|AC|=|BC|\), na których opisano okrąg o promieniu \(R=1\). Niech \(x\) oznacza odległość środka…
Zadanie 7, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej \(480\) litrów i nie może przekroczyć \(530\)…
Zadanie 15, maj 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\). **a)** Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża…
Zadanie 15, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x=|AC|\). **a)** Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\)…
Zadanie 15, maj 2021, poziom rozszerzony
Zakład ma wykonać otwarty od góry prostopadłościenny zbiornik o pojemności \(144\,\mathrm{m}^{3}\) i kwadratowym dnie. Żaden wymiar nie może przekraczać…
Zadanie 15, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(ABC\), których wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na wykresie funkcji \(f\) określonej wzorem \[f(x)=\frac9{x^4}\qquad\text{dla }x\neq0.\]…
Zadanie 15, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe po \(0{,}5\,\mathrm{cm}\) każda, a…
Zadanie 15, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Dany jest okrąg o środku \(S\) i promieniu \(18\). Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku \(S_1\) i promieniu \(x\) oraz drugi o środku \(S_2\) i promieniu \(2x\), o…
Zadanie 15, maj 2019, poziom rozszerzony
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(2\). Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa, dla których jego pole powierzchni całkowitej jest…
Zadanie 15, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o…
Zadanie 15, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy prostopadłościany o objętości \(8\), w których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka wynosi \(1:2\), a suma długości…
Zadanie 18, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości \(80\,\text{cm}\) i szerokości \(50\,\text{cm}\). W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz…
Zadanie 4, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom mieszany
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości \(80\,\text{cm}\) i szerokości \(50\,\text{cm}\). W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (na rysunku…
Zadanie 4, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości \(80\,\text{cm}\) i szerokości \(50\,\text{cm}\). W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz…
13 zadań
Stereometria
Zadanie 15, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). a) Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od…
Zadanie 27, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Góra ma kształt stożka o kącie rozwarcia \(\alpha\). Tomek i Marek rozpoczynają wyprawę w punkcie \(P\), położonym dokładnie na północ od szczytu \(S\), na wysokości…
Zadanie 15, maj 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\). a) Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako…
Zadanie 16, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\). **a)** Wykaż, że pole \(P\)…
Zadanie 15, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość krawędzi…
Zadanie 15, maj 2017, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej \(P\). Oblicz wysokość i promień podstawy walca o największej objętości oraz tę największą objętość.
Zadanie 17, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe \(2\pi \). Oblicz promień podstawy walca o największej objętości i podaj tę największą objętość.
Zadanie 16, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa \(2\). Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego…
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa \(24\)…
Zadanie 16, maj 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie \(20\). Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest…
Zadanie 18, maj 2006, poziom rozszerzony
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(2\,\mathrm{m}^3\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze…
Zadanie 21, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Na kuli o promieniu \(R=4\,\mathrm{cm}\) opisujemy stożki o promieniu \(r\) i wysokości \(H\). Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą…
Zadanie 15, maj 2002, poziom rozszerzony
Objętość walca jest równa \(250\pi\,\mathrm{cm}^{3}\). Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę…
6 zadań
Geometria płaska
Zadanie 15, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy trapezy równoramienne, których przekątne mają długość \(10\). Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość \(x\). **a)** Wykaż, że pole trapezu opisuje…
Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Cztery miasta \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku \(300\,\mathrm{km}\). Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg…
Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(AB\) i \(AC\) są prostopadłe oraz \[|AB|=15\,\mathrm{km},\qquad |AC|=20\,\mathrm{km}.\] O…
Zadanie 15, maj 2018, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy \(a\) i wysokości trapezu jest równa \(2\)…
Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość \(5\) i każde z ramion też ma długość \(5\). Oblicz długość dłuższej podstawy tego z…
Zadanie 18, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po \(4\,\mathrm{dm}\). Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa…
4 zadania
Geometria analityczna
Zadanie 16, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
W układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C=(0,0)\), punkt \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), punkt \(A\) leży…
Zadanie 16, maj 2016, poziom rozszerzony
Parabola o równaniu \[y=2-\frac12x^2\] przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(-2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne…
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku \(AB\), gdzie \(A=(-1,4)\) i \(B=(1,4)\), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu \(y=2x^2+2\)…
Zadanie 3, próbna styczeń 2009, poziom rozszerzony
Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu \(y=x^2\), a drugi na prostej o równaniu \(y=2x-6\). Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od \(5\)…
3 zadania
Ciągi
Zadanie 4, maj 2009, poziom rozszerzony
W skarbcu królewskim było \(k\) monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił \(25\) monet, a każdego następnego ranka dorzucał o \(2\) monety więcej niż dnia…
Zadanie 7, maj 2009, poziom podstawowy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\geqslant1\), w którym \(a_7=1\), \(a_{11}=9\). a) Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\) ciągu \((a_n)\). b) Sprawdź…
Zadanie 20, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
Różnica ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest liczbą mniejszą od \(1\). Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia \[\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}},\] wiedząc, że \(a_{51}=1\).
2 zadania
Równania i nierówności
Zadanie 7, maj 2007, poziom rozszerzony
Dany jest układ równań \[\begin{cases}mx-y=2,\\x+my=m.\end{cases}\] Dla każdej wartości parametru \(m\) wyznacz parę liczb \((x,y)\), która jest rozwiązaniem tego układu…
Zadanie 19, maj 2005, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[x^2+(m-5)x+m^2+m+\frac14=0.\] Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(m\) stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje…