Zadanie 11, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^{2}+mx+m=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) spełniające warunek…
Typ zadania
Zadania z parametrem
W treści występuje parametr, a szukamy warunków, jakie ma spełniać. Ten sam rodzaj pracy niezależnie od działu — zebrany w jednym miejscu, pogrupowany działami.
153zadania tego typu
83 zadania
Równania i nierówności
Zadanie 14, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^{2}+mx+m=0\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_{1}\), \(x_{2}\) spełniające nierówność…
Zadanie 8, maj 2026, poziom podstawowy
Dane jest równanie \[3(x+3)(x-m)(2x+4)=0,\] gdzie \(x\) jest niewiadomą, natomiast \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa…
Zadanie 10, maj 2026, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), gdzie \(m\neq0\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=m^{2}x^{2}-2mx-m+1\] ma dwa różne…
Zadanie 13, maj 2026, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), gdzie \(m\neq0\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=m^{2}x^{2}-2mx-m+1\] ma dwa różne…
Zadanie 3, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Zbiorem wszystkich wartości \(m\), dla których równanie \(\lvert x^{2}-x\rvert=m\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest **A.**…
Zadanie 5, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^{2}+2mx+2m-1=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek…
Zadanie 8, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^{2}+2mx+2m-1=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek…
Zadanie 1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dany jest układ równań \[\begin{cases}mx+y=m^2,\\4x+my=8,\end{cases}\tag{1}\] z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m\in\mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie wartości…
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Wielomian \(W\) jest określony wzorem \[W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1)\] dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\)…
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\] dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja…
Zadanie 22, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach \[2x+y-4m-4=0\qquad\text{oraz}\qquad x-3y+5m+5=0\] przecinają się w punkcie \(P=(x_P,y_P)\). Wyznacz…
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
**Informacja do zadań \(18\).\(1\)–\(18\).\(2\).** Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole…
Zadanie 11, maj 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(2\). Wyznacz…
Zadanie 14, maj 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(2\). Wyznacz…
Zadanie 12, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \((3-m)x^{2}+(m+1)x-(m+1)^{2}=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1},x_{2}\) spełniające warunek…
Zadanie 11, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) zmiennej rzeczywistej \(x\) jest określona wzorem \[f(x)=x^2-3x-m^2+m+3.\] **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja…
Zadanie 12, maj 2024, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(3m+1)x+2m^2+m+1=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek…
Zadanie 15, maj 2024, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(3m+1)x+2m^2+m+1=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek…
Zadanie 4, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[(x-6)\cdot\left[(m-2)x^2-4(m+3)x+m+1\right]=0\] z niewiadomą \(x\) i parametrem \(m\in\mathbb R\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla…
Zadanie 10, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie** \[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\] ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\)…
Zadanie 12, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie** \[mx^2-(m+1)x-2m+3=0\] ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\)…
Zadanie 1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozważ układ równań \[\begin{cases}mx+y=m^2,\\4x+my=8,\end{cases}\] w którym niewiadomymi są \(x\) i \(y\), natomiast \(m\) jest parametrem rzeczywistym. **Wyznacz…
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian \[W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1),\] gdzie \(m\) jest parametrem rzeczywistym. **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\) ma…
Zadanie 6, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja…
Zadanie 18.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i żadna z krawędzi…
Zadanie 11, maj 2023, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq2\), dla których równanie** \[x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające…
Zadanie 15, maj 2023, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m \neq 2\), dla których równanie \[x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\) spełniające warunek…
Zadanie 13, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie** \[(x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0\] **ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\)…
Zadanie 8, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Dana jest nierówność kwadratowa \[(3x-9)(x+k)<0\] z niewiadomą \(x\) i parametrem \(k\in\mathbb R\). Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \((-2,3)\). **Dokończ…
Zadanie 9, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie** \[x^2-(m-4)x+m^2-7m+12=0\] **ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające…
Zadanie 2.2, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \[g(x)=\left|-\frac14x^2+3x-5\right|\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie…
Zadanie 12, maj 2022, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie** \[x^2-(m+1)x+m=0\] **ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki**…
Zadanie 12, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[(x-3)\left(x^2+(m-1)x-6m^2+2m\right)=0\] ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie 11, maj 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian \(4x^{2}-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_{1},x_{2}\) spełniające…
Zadanie 14, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \[x^2-2ax+a^3-2a=0\] ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie 6, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie \(|x-5|=(a-1)^{2}-4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie 11, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[x^2-(3m+2)x+2m^2+7m-15=0.\] Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie to ma dwa różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające…
Zadanie 11, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których nierówność \[(m^2+4m-5)x^2+2x>2mx-2\] jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Zadanie 1, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Parametr \(m\) dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania \[(4-m^2)\cdot x=m^2-3m+2\] z niewiadomą \(x\). Wynika stąd, że **A.** \(m=-2\) **B.**…
Zadanie 7, czerwiec 2019, poziom podstawowy
\(2x - y = 2\) Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań dla x + my \(= 1\) A. \(m = -1 B\). \(m = 1 C\). \(m = 1 D\). \(m = - 1\) \(2\) \(2\)
Zadanie 12, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(4x^{2}+(2-4m)x+m^{2}-m-2=0\) ma dwa różne dodatnie rozwiązania \(x_{1},x_{2}\) spełniające nierówność…
Zadanie 5, maj 2019, poziom podstawowy
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \[\begin{cases}ax+y=4,\\-2x+3y=2a.\end{cases}\] dla **A.** \(a=-1\) **B.** \(a=1\) **C.** \(a=-2\) **D.**…
Zadanie 5, sierpień 2019, poziom podstawowy
\(-x +12 y = a 2\) Para liczb \(x = 3\) i \(y = 1\) jest rozwiązaniem układu równań dla \(2x\) + ay \(= 9\) \(7\) \(7\) A. \(a = B\). \(a = -3 C\). \(a = 3 D\)…
Zadanie 14, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-3mx+(m+1)(2m-1)=0\] ma dwa różne rozwiązania \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunki…
Zadanie 12, maj 2018, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^{2}+(m+1)x-m^{2}+1=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) i \(x_{2}\) spełniające warunek…
Zadanie 8, czerwiec 2017, poziom podstawowy
\(x + y = 1\) Rozwiązaniem układu równań z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. \(x - y = b\) Wynika stąd, że A. \(b < -1 B\). \(b = -1 C\)…
Zadanie 13, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-3mx+2m^2+1=0\] ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału \(( -\infty,3)\).
Zadanie 12, maj 2017, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1<x_2\) spełniające nierówność…
Zadanie 12, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania \(k^{2}x^{2}+(k-1)x+1=0\), gdzie \(k \neq 0\). Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(k)=2\)^m.
Zadanie 18, czerwiec 2016, poziom podstawowy
\(y =\) −ax + \(2a\) Układ równań b nie ma rozwiązań dla \(y = x - 2\) \(3\) A. \(a = -1\) i \(b = -3\) B. \(a =1\) i \(b = 3\) C. \(a =1\) i \(b = -3\) D…
Zadanie 10, maj 2016, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5\)−ax przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Zadanie 12, maj 2016, poziom rozszerzony
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^{2}+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki…
Zadanie 24, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Zbiorem rozwiązań nierówności \(ax+4\geq0\) z niewiadomą \(x\) jest przedział \((-\infty,2\rangle\). Wyznacz \(a\).
Zadanie 5, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \[\begin{cases}x+ay=5,\\2x-y=3,\end{cases}\] gdy: **A.** \(a=-3\) **B.** \(a=-2\) **C.** \(a=2\) **D.**…
Zadanie 15, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz całkowite wartości parametru \(m\), dla…
Zadanie 13, maj 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójmian kwadratowy \[f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4.\] Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste…
Zadanie 6, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2+(2m-5)x+2m+3=0\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że…
Zadanie 2, maj 2014, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \[f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5\] ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) takie, że suma kwadratów…
Zadanie 10, maj 2014, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru \(m\), dla których równanie \[(x^3+2x^2+2x+1)\bigl[x^2-(2m+1)x+m^2+m\bigr]=0\] ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste takie…
Zadanie 2, czerwiec 2013, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[(m+1)x^2-3mx+m+1=0\] ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż \(2{,}5\).
Zadanie 6, maj 2013, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2+2(1-m)x+m^2-m=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1,x_2\), spełniające warunek…
Zadanie 4, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[2x^2+(3-2m)x-m+1=0\] ma dwa różne pierwiastki \(x_1,x_2\) takie, że \[|x_1-x_2|=3.\]
Zadanie 4, maj 2012, poziom rozszerzony
Oblicz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(m+2)x+m+4=0\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że…
Zadanie 2, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[2x^2-(m-2)x-3m=0\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\), spełniające warunek…
Zadanie 3, maj 2011, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0\] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) takie, że…
Zadanie 4, maj 2011, poziom podstawowy
Układ równań \[ \begin{cases} 4x+2y=10,\\ 6x+ay=15 \end{cases} \] ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli **A.** \(a=-1\) **B.** \(a=0\) **C.** \(a=2\) **D.** \(a=3\)
Zadanie 6, maj 2010, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[ x^2+mx+2=0 \] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od…
Zadanie 4, sierpień 2010, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[ x^2-(m-4)x+m^2-4m=0 \] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od \(2m^3-3\).
Zadanie 7, próbna styczeń 2009, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[(x+3)\left[x^2+(p+4)x+(p+1)^2\right]=0\] z niewiadomą \(x\). a) Rozwiąż to równanie dla \(p=1\). b) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla…
Zadanie 5, maj 2008, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[\left|\frac2x+3\right|=p\] z niewiadomą \(x\). Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru \(p\).
Zadanie 3, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania \(x^{3}+m^{3}x^{2}-m^{2}x-1=0\) jest liczba \(1\).
Zadanie 5, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony
Narysuj wykres funkcji \(f(x)=|x-1|+3\) określonej dla \(x\in\mathbb{R}\), a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od…
Zadanie 1, maj 2007, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \[f(x)=|x-1|-|x+2|\qquad\text{dla }x\in\mathbb{R}.\] a) Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\) dla \(x\in(-\infty,-2)\). b) Naszkicuj wykres tej funkcji…
Zadanie 7, maj 2007, poziom rozszerzony
Dany jest układ równań \[\begin{cases}mx-y=2,\\x+my=m.\end{cases}\] Dla każdej wartości parametru \(m\) wyznacz parę liczb \((x,y)\), która jest rozwiązaniem tego układu…
Zadanie 11, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej \(n>1\) największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność \[x^2-3nx+2n^2<0\] o niewiadomej \(x\). Wyznacz wzór…
Zadanie 11, próbna styczeń 2006, poziom rozszerzony
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji \(f\) danej wzorem \[f(m)=x_1x_2,\] gdzie \(x_1\), \(x_2\) są różnymi pierwiastkami równania \[(m+2)x^2-(m+2)^2x+3m+2=0,\] w…
Zadanie 19, maj 2005, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[x^2+(m-5)x+m^2+m+\frac14=0.\] Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(m\) stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje…
Zadanie 11, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Pierwiastkiem równania \[2x^3-(3m-1)x^2+7x-m=0\] jest liczba \(-1\). Wyznacz wartość parametru \(m\) oraz pozostałe pierwiastki tego równania.
Zadanie 13, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których każda liczba spełniająca równanie \[\log_m^2(x-1)+\log_m(x-1)-2=0\] jest mniejsza od \(3\).
Zadanie 12, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Dane jest równanie postaci \(a^{2}\cdot x-1=x+a\), w którym niewiadomą jest \(x\). Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru \(a\).
Zadanie 20, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Funkcja \(h\) jest określona wzorem \(h(x)=\log_{2}(x^{2}-4)-\log_{2}(x-5)\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie \(h(x)-\log_{2}k=0\) ma dwa…
Zadanie 11, maj 2002, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(mx^{2}-3(m+1)x+m=0\) nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
37 zadań
Funkcje
Zadanie 10, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(k+2)x+(k-3)\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. **Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli…
Zadanie 9, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\)…
Zadanie 11, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\)…
Zadanie 23, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykresy funkcji liniowych \[f(x)=(2m+7)x+5\qquad\text{oraz}\qquad g(x)=3x\] nie mają punktów wspólnych dla **A.** \(m=-2\) **B.**…
Zadanie 13, maj 2025, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(3-m)x-4.\] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla…
Zadanie 12, maj 2024, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(-2k+3)x+k-1,\] gdzie \(k\in\mathbb{R}\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja…
Zadanie 11, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Wykresy funkcji \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla A. \(m=-2\) B. \(m=-1\) C. \(m=1\) D. \(m=2\)
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja…
Zadanie 8, sierpień 2022, poziom podstawowy
Punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \[f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy **A.** \(m=-4\) **B.**…
Zadanie 9, sierpień 2022, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla **A.** \(m>\frac25\) **B.** \(m>2{,}5\) **C.** \(m>0\) **D.** \(m>2\)
Zadanie 13, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Proste o równaniach \(y = (m - 2)x\) oraz \(y = (\frac{3}{4})x + 7\) są równoległe. Wtedy A. \(m = -\frac{5}{4}\) B. \(m = \frac{2}{3}\) C. \(m = \frac{11}{4}\) D…
Zadanie 12, lipiec 2020, poziom podstawowy
Proste \(y=(m-2)x\) oraz \(y=(\frac{3}{4})x+7\) są prostopadłe. Wtedy A. \(m=-\frac{5}{4}\) B. \(m=\frac{2}{3}\) C. \(m=\frac{11}{4}\) D. \(m=\frac{10}{3}\)
Zadanie 5, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f (x) = ( a +1 ) x +11\), gdzie a to pewna liczba \(3\) rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x =\) . Stąd wynika, że \(4\)…
Zadanie 6, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \[f(x)=(m\sqrt5-1)x+3.\] Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek…
Zadanie 17, maj 2019, poziom podstawowy
Proste o równaniach \[y=(2m+2)x-2019\qquad\text{oraz}\qquad y=(3m-3)x+2019\] są równoległe, gdy **A.** \(m=-1\) **B.** \(m=0\) **C.** \(m=1\) **D.** \(m=5\)
Zadanie 17, sierpień 2019, poziom podstawowy
Proste o równaniach \[y=(4m+1)x-19\qquad\text{oraz}\qquad y=(5m-4)x+20\] są równoległe, gdy **A.** \(m=5\) **B.** \(m=-\frac14\) **C.** \(m=\frac54\) **D.** \(m=-5\)
Zadanie 11, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f ( x ) = ( 1 - m^{2} ) x + m -1\) nie ma miejsc zerowych dla A. \(m = 1 B\). \(m = 0 C\). \(m = -1 D\). \(m = -2\)
Zadanie 19, maj 2018, poziom podstawowy
Proste o równaniach \(y = (m + 2)x + 3\) oraz \(y = (2m - 1)x - 3\) są równoległe, gdy A. \(m = 2\) B. \(m = 3\) C. \(m = 0\) D. \(m = 1\)
Zadanie 20, sierpień 2018, poziom podstawowy
Proste o równaniach \[y=(3m-4)x+2\qquad\text{oraz}\qquad y=(12-m)x+3m\] są równoległe, gdy **A.** \(m=4\) **B.** \(m=3\) **C.** \(m=-4\) **D.** \(m=-3\)
Zadanie 10, sierpień 2016, poziom podstawowy
Jeśli funkcja kwadratowa \(f ( x ) = x^{2} + 2x + 3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek \(1\) \(1\) A. \(a < -1 B\). \(-1 \leq a < 0 C\)…
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \[f(x)=(2-m)x+1.\] Wynika stąd, że: **A.** \(m=0\) **B.** \(m=1\) **C.** \(m=2\) **D.** \(m=3\)
Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) określona wzorem \[f(x)=(m^2-1)x^2-2(1-m)x+2\] przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby…
Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Prosta o równaniu \(y=a\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \[f(x)=-x^2+6x-10.\] Wynika stąd, że: **A.** \(a=3\) **B.** \(a=0\) **C.**…
Zadanie 6, maj 2014, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \[f(x)=(m^2-4)x+2\] jest malejąca, gdy **A.** \(m\in\{-2,2\}\) **B.** \(m\in(-2,2)\) **C.** \(m\in(-\infty,-2)\) **D.** \(m\in(2,\infty)\)
Zadanie 12, maj 2013, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej \(f\) określonej wzorem \[f(x)=\log_2(x-p).\] **a)** Podaj wartość \(p\). **b)** Narysuj wykres…
Zadanie 17, czerwiec 2012, poziom podstawowy
Wiadomo, że dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \[f(x)=\frac{x-7}{2x+a}\] jest zbiór \[(-\infty,2)\cup(2,+\infty).\] Wówczas **A.** \(a=2\) **B.** \(a=-2\) **C.**…
Zadanie 4, sierpień 2011, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f(x)=(m-2)x-11\) jest rosnąca dla **A.** \(m>2\) **B.** \(m>0\) **C.** \(m<13\) **D.** \(m<11\)
Zadanie 17, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Liczba \(x=-7\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-a)x+7\) dla **A.** \(a=-7\) **B.** \(a=2\) **C.** \(a=3\) **D.** \(a=-1\)
Zadanie 12, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Dla jakiego \(m\) funkcja liniowa określona wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) jest stała? **A.** \(m=1\) **B.** \(m=2\) **C.** \(m=3\) **D.** \(m=-1\)
Zadanie 12, próbna listopad 2010, poziom podstawowy
Wskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa określona wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) jest stała. **A.** \(m=1\) **B.** \(m=2\) **C.** \(m=3\) **D.** \(m=-1\)
Zadanie 5, sierpień 2010, poziom rozszerzony
Narysuj wykres funkcji \(f\) określonej wzorem \[ f(x)=x^2-4|x| \] i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru…
Zadanie 3, maj 2009, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej \(f(x)=a^x\) dla \(x\in\mathbb{R}\). a) Oblicz \(a\). b) Narysuj wykres funkcji \(g(x)=|f(x)-2|\) i podaj…
Zadanie 1, próbna styczeń 2009, poziom rozszerzony
Na rysunku narysowano fragment wykresu funkcji \(f(x)=2^{x-3}-b\) określonej dla \(x\in\mathbb{R}\). a) Podaj wartość \(b\). b) Naszkicuj wykres funkcji \(g(x)=|f(x)|\)…
Zadanie 1, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Funkcja homograficzna \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{px-3}{x-p},\] gdzie \(p\in\mathbb{R}\) jest parametrem i \(|p|\neq\sqrt3\). a) Dla \(p=1\) zapisz wzór…
Zadanie 11, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(k\), dla których funkcja \[f(x)=x^2-2^k\cdot x+2^k+\frac54\] przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Zadanie 13, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Sporządź wykres funkcji \[f(x)=\left|\frac{x-4}{x-2}\right|,\] a następnie, korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie…
Zadanie 19, maj 2003, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania \[f(x-1)=m\] w zależności od wartości parametru \(m\). Odpowiedź uzasadnij.
18 zadań
Geometria analityczna
Zadanie 23, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[k:\ (m-1)x+3y+5=0\] \[l:\ 6x+y+7=0\] **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą…
Zadanie 23, maj 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[k:\ y=(m-2)x+5\qquad\text{oraz}\qquad l:\ y=-4x+(m+3).\] Dokończ zdanie. Wybierz…
Zadanie 22, sierpień 2025, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[k:\ y=(3-m)x+5,\qquad l:\ y=(m+3)x-4.\] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe…
Zadanie 21, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Proste \(k\) i \(l\) są określone równaniami \[k:\ y=(3m+1)x+2,\qquad l:\ y=-4x+(2m+5).\] Proste \(k\) i \(l\) są równoległe dla **A.** \(m=-4\) **B.** \(m=-\frac53\)…
Zadanie 23, maj 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[k:\ y=(m+1)x+7,\qquad l:\ y=-2x+7.\] **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą…
Zadanie 22, sierpień 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[k:\ y=(3m-2)x-2,\] \[l:\ y=(2m+4)x+2.\] **Dokończ zdanie. Wybierz…
Zadanie 23, sierpień 2024, poziom podstawowy
Proste są określone równaniami \[y=(3m-2)x-2\qquad\text{oraz}\qquad y=(2m+4)x+2.\] **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Te proste są…
Zadanie 25, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Punkt \(S'=(3,7)\) jest obrazem punktu \(S=(3a-1,b+7)\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) układu współrzędnych, gdy **A.** \(a=\frac43\) oraz \(b=0\). **B.**…
Zadanie 19, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y=-\frac12x-7,\] \[l: y=(2m-1)x+13.\] **Dokończ zdanie. Wybierz…
Zadanie 22, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Proste o równaniach \[2x+y-4m-4=0\qquad\text{oraz}\qquad x-3y+5m+5=0\] przecinają się w punkcie \(P=(x_P,y_P)\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których…
Zadanie 29, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są punkty \[A=(1,2),\qquad B=(2m,m),\] gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta \(k\) o…
Zadanie 21, sierpień 2022, poziom podstawowy
Proste o równaniach \(y=\frac23x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy **A.** \(m=-\frac54\) **B.** \(m=-\frac14\) **C.** \(m=\frac56\) **D.** \(m=\frac54\)
Zadanie 14, maj 2021, poziom rozszerzony
Dane są parabola \(y=x^{2}\) oraz punkty \(A=(0{,}2)\) i \(B=(1{,}3)\). Rozpatrujemy trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na paraboli, a m jest pierwszą współrzędną…
Zadanie 13, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach \[y=x+b,\qquad y=x+2b,\qquad y=b,\qquad y=2,\] gdzie liczba rzeczywista \(b\) spełnia warunki…
Zadanie 11, maj 2019, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których okręgi o równaniach \[x^2+y^2-12x-8y+43=0\] oraz \[x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0\] mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Zadanie 20, maj 2016, poziom podstawowy
Proste opisane równaniami \[y=\frac2{m-1}x+m-2\qquad\text{oraz}\qquad y=mx+\frac1{m+1}\] są prostopadłe, gdy **A.** \(m=2\) **B.** \(m=\frac12\) **C.** \(m=\frac13\)…
Zadanie 13, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których prosta o równaniu \[y=mx+(2m+3)\] ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie \(S=(0,0)\) i…
Zadanie 22, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Prosta o równaniu \(y=-4x+(2m-7)\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-1)\). Wtedy A. \(m=7\) B. \(m=2\frac12\) C. \(m=-\frac12\) D. \(m=-17\)
9 zadań
Ciągi
Zadanie 17, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[a_n=(n+5)^2\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\] dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Wyznacz wszystkie…
Zadanie 15, maj 2025, poziom podstawowy
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \[(2m+11,\ m^{2}+3,\ 5-m)\] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Zadanie 17, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[a_n=(n+5)^2\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\] dla \(n\ge1\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru…
Zadanie 5, maj 2022, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) wzorem \[a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p},\] gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią…
Zadanie 2, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Granice \[\lim_{n\to\infty}\frac{an^2+bn+4}{n+1}\qquad\text{i}\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{an^2+bn+4}\] są równe. Stąd wynika, że **A.** \(a=0\) i \(b=0\) **B.**…
Zadanie 2, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości \(k\in\mathbb{R}\), dla których pierwiastki wielomianu \[W(x)=(x^2-8x+12)(x-k)\] są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Zadanie 10, próbna listopad 2006, poziom rozszerzony
Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\) wzorem \[a_n=(n-3)(2-p^2),\qquad p\in\mathbb{R}.\] a) Wykaż, że dla każdej wartości…
Zadanie 19, maj 2006, poziom rozszerzony
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym \[a_1=2,\qquad a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\] dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\)…
Zadanie 15, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci \[2,\quad\frac2{p-1},\quad\frac2{(p-1)^2},\quad\frac2{(p-1)^3},\quad\ldots.\] Wyznacz wszystkie wartości \(p\), dla…
3 zadania
Analiza matematyczna
Zadanie 3, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna…
Zadanie 7, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(1\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla…
Zadanie 4, maj 2024, poziom rozszerzony
Granica \[\lim_{x\to+\infty}\frac{1+3a+2ax+ax^3}{3+4x+5x^2+5x^3}\] jest równa \(3\). Wtedy **A.** \(a=3\) **B.** \(a=9\) **C.** \(a=15\) **D.** \(a=21\)
2 zadania
Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Dany jest wielomian \[W(x)=-3x^3-x^2+kx+1,\] gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian \(W\) można zapisać w postaci \(W(x)=(x+1)\cdot Q(x)\) dla…
Zadanie 13, maj 2019, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian \[W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1).\] Wielomian \(W\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\), a reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian…
1 zadanie
Trygonometria
Zadanie 16, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Dane jest równanie \[(\cos x-1)(\cos x+p+1)=0,\] gdzie \(p\in\mathbb{R}\) jest parametrem. a) Dla \(p=-1\) wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do…
