Strona główna › Rozumowanie

Dowód matematyczny — czym jest i po co

Matematyka jako jedyna z nauk opisujących świat pozwala udowodnić coś raz na zawsze. W fizyce teorię potwierdzają doświadczenia, w medycynie badania — i zawsze może przyjść wynik, który je obali. Twierdzenie Pitagorasa udowodniono dwa i pół tysiąca lat temu i nikt go już nie obali. Ta strona tłumaczy, na czym polega ta różnica.

Dział: RozumowaniePoziom: klasa 7 – maturaZadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dlaczego sto przykładów to nie dowód

Sprawdzenie, że coś działa dla stu liczb, mówi tylko tyle: działa dla tych stu. O pozostałych nie mówi nic.

Brzmi to jak formalna drobiazgowość, dopóki nie zobaczy się przykładu, w którym to naprawdę zawodzi.

Wyrażenie n2+n+41n^2 + n + 41 daje liczbę pierwszą dla n=0,1,2n = 0, 1, 2 i tak dalej — nieprzerwanie przez czterdzieści kolejnych wartości. Ktoś sprawdzający po kolei byłby pewny, że reguła jest prawdziwa. Przy n=40n = 40 wychodzi jednak 41241^2, czyli liczba złożona.

Historia matematyki zna hipotezy potwierdzone dla miliardów przypadków i obalone dopiero przy liczbach astronomicznych. Wielkość próby niczego nie gwarantuje.

Stąd bierze się cała potrzeba dowodzenia: pewność zamiast przekonania. Dowód mówi „dla każdego”, a sprawdzenie tylko „dla tych, które sprawdziłem”.

2Jeden kontrprzykład wystarczy

Ciekawa asymetria: żeby coś obalić, wystarczy jeden przypadek. Żeby udowodnić — trzeba argumentu obejmującego wszystkie.

Zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” obala jeden przykład: dwójka. I to koniec dyskusji, niezależnie od tego, ile innych liczb pierwszych jest nieparzystych.

Ta asymetria jest praktyczna. Gdy zadanie prosi o ocenę prawdziwości zdania, warto najpierw pomyśleć o kontrprzykładzie — bo jeśli istnieje, rozwiązanie zajmie sekundę.

Typowe miejsca, gdzie kontrprzykłady się kryją: zero, jedynka, liczby ujemne, ułamki i przypadki skrajne. Zdania fałszywe zwykle łamią się właśnie tam.

Umiejętność szukania kontrprzykładu jest równie ważna jak umiejętność dowodzenia i znacznie szybsza w użyciu.

3Twierdzenie, założenie, teza

Trzy słowa, które porządkują całe rozumowanie.

Twierdzenie to zdanie o postaci „jeżeli… to…”. Część po „jeżeli” nazywa się założeniem, część po „to” — tezą.

Przykład: „jeżeli trójkąt jest równoramienny, to kąty przy jego podstawie są równe”. Założenie: równoramienność. Teza: równość kątów.

Dowód polega na pokazaniu, że z założenia wynika teza — nie odwrotnie i nie niezależnie.

Twierdzenie odwrotne powstaje przez zamianę założenia z tezą. Bywa prawdziwe, jak przy twierdzeniu Pitagorasa, ale nie musi. Ze zdania „jeżeli pada, to jest mokro” nie wynika, że jeżeli jest mokro, to pada.

To rozróżnienie ratuje przed najczęstszym błędem logicznym w zadaniach: użyciem tezy jako argumentu.

4Dowód nie wprost

Metoda, która na pierwszy rzut oka wygląda jak sztuczka, a jest jednym z najstarszych narzędzi matematyki.

Zamiast dowodzić tezy wprost, zakłada się, że jest fałszywa, i pokazuje, że prowadzi to do sprzeczności. Skoro zaprzeczenie jest niemożliwe, teza musi być prawdziwa.

Klasyczny przykład: dowód, że 2\sqrt{2} nie jest ułamkiem. Zakłada się, że jest, i po kilku krokach wychodzi, że pewna liczba musiałaby być jednocześnie parzysta i nieparzysta. To niemożliwe, więc założenie było błędne.

Ten dowód ma dwa i pół tysiąca lat i wciąż jest w nim wszystko, co potrzebne — nie da się go poprawić ani obalić.

W szkole podstawowej dowody nie wprost nie występują, ale warto o nich wiedzieć, bo pokazują, że dowodzić można na kilka sposobów.

Podobny mechanizm działa w rozumowaniach typu „gdyby tak było, to wyszłoby coś absurdalnego” — używanych także poza matematyką.

5Po co komu dowody poza matematyką

Umiejętność odróżnienia uzasadnienia od przykładu przydaje się wszędzie tam, gdzie ktoś próbuje coś udowodnić słowami.

„Znam kogoś, kto…” — to jest właśnie sprawdzenie jednego przypadku, przedstawione jako reguła. W dyskusjach publicznych bardzo częste.

Odwracanie implikacji — z tego, że coś wynika z czegoś, nie wynika kierunek odwrotny. Ten błąd logiczny stoi za sporą częścią nieporozumień w sporach.

Ciężar dowodu — twierdzenie wymaga uzasadnienia, a nie sama jego negacja. Matematyka uczy tego wprost i jednoznacznie.

Kontrprzykład jako narzędzie — najszybszy sposób zakwestionowania zbyt ogólnego twierdzenia, w każdej dziedzinie.

To dlatego dowodzenie bywa nazywane ćwiczeniem z myślenia, a nie z matematyki. Liczby są tu tylko materiałem.

6W której klasie się to pojawia

Dowodzenie wchodzi późno i w szkole podstawowej jest w skromnym wydaniu.

Narzędziem dowodów algebraicznych jest sprawność w wyrażeniach, a geometrycznych — znajomość własności kątów i figur.

To dział, w którym najbardziej widać różnicę między umiejętnością liczenia a rozumieniem. Uczeń, który świetnie liczy, potrafi tu zupełnie utknąć — i odwrotnie.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Test gotowości — celowo inne zdanie niż w przykładach: „kwadrat każdej liczby jest większy od niej samej”. Prawdziwe czy fałszywe? Jeśli od razu sięgasz po jedynkę (12=11^2 = 1, więc nie większy) albo po ułamek (0,52=0,250{,}5^2 = 0{,}25, czyli mniej), materiał tej strony jest opanowany — bo szukasz kontrprzykładu tam, gdzie zwykle się kryje.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: obalenie zdania kontrprzykładem, dowód algebraiczny dla wszystkich przypadków i twierdzenie odwrotne.

Przykład 1 Obalanie kontrprzykładem

Oceń prawdziwość zdania: „każda liczba pierwsza jest nieparzysta”.

  1. Zdanie mówi „każda”, więc do obalenia wystarczy jeden przypadek, który mu przeczy.
  2. Szukam wśród przypadków nietypowych — najmniejszych liczb i wartości skrajnych.
  3. Liczba 22 jest pierwsza (dzieli się tylko przez 11 i przez siebie) i jednocześnie parzysta.
  4. To wystarcza: zdanie jest fałszywe.
  5. Nie muszę sprawdzać żadnych innych liczb pierwszych — jeden kontrprzykład zamyka sprawę.
  6. Poprawna wersja tego zdania brzmiałaby: każda liczba pierwsza większa od dwóch jest nieparzysta.

Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe — kontrprzykładem jest liczba 22.

Przykład 2 Dowód dla wszystkich przypadków

Wykaż, że suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 44.

  1. Założenie: liczby są kolejnymi liczbami nieparzystymi.
  2. Zapisuję je ogólnie. Dowolna liczba nieparzysta ma postać 2n+12n+1, gdzie nn jest całkowite. Następna nieparzysta to 2n+32n+3.
  3. Sumuję: (2n+1)+(2n+3)=4n+4(2n+1) + (2n+3) = 4n + 4.
  4. Wyłączam czynnik przed nawias: 4n+4=4(n+1)4n + 4 = 4(n+1).
  5. Wyrażenie n+1n+1 jest liczbą całkowitą, więc suma ma postać cztery razy liczba całkowita.
  6. Wniosek: ponieważ nn było dowolną liczbą całkowitą, teza zachodzi dla każdej pary kolejnych liczb nieparzystych.
  7. Sprawdzenie na przykładzie: 7+9=167 + 9 = 16 ✓ — ale to tylko ilustracja, nie dowód.

Odpowiedź: Suma wynosi 4(n+1)4(n+1), więc jest podzielna przez 44 zawsze.

Przykład 3 Twierdzenie odwrotne — czy zachodzi

Zdanie „jeżeli liczba jest podzielna przez 66, to jest podzielna przez 33” jest prawdziwe. Czy twierdzenie odwrotne też?

  1. Twierdzenie odwrotne powstaje przez zamianę założenia z tezą: „jeżeli liczba jest podzielna przez 33, to jest podzielna przez 66”.
  2. Sprawdzam, czy da się znaleźć kontrprzykład.
  3. Liczba 99 dzieli się przez 33, ale nie dzieli się przez 66.
  4. Zatem twierdzenie odwrotne jest fałszywe, choć wyjściowe jest prawdziwe.
  5. To pokazuje, że z prawdziwości zdania nie wynika prawdziwość jego odwrotności — trzeba ją sprawdzać osobno.
  6. Dla porównania: przy twierdzeniu Pitagorasa odwrotne jest prawdziwe i właśnie dlatego służy do sprawdzania prostokątności trójkąta.

Odpowiedź: Nie — twierdzenie odwrotne jest fałszywe, a kontrprzykładem jest liczba 99.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy w rozumowaniu, które wracają najczęściej. Wszystkie dotyczą logiki, nie rachunków.

Uznanie sprawdzonych przykładów za dowód

Skąd się bierze: Sprawdzenie kilku, a nawet stu przypadków mówi tylko o tych przypadkach. Wyrażenie n kwadrat plus n plus czterdzieści jeden daje liczby pierwsze przez czterdzieści kolejnych wartości i dopiero potem zawodzi — sama liczba prób niczego nie gwarantuje.

Jak zrobić dobrze: Zapisz rozumowanie ogólne, w którym zamiast konkretnych liczb występuje litera oznaczająca dowolną wartość. Przykłady zostaw jako ilustrację, nie jako uzasadnienie.

Użycie tezy jako argumentu

Skąd się bierze: Rozumowanie wygląda wtedy poprawnie i prowadzi do właściwego wniosku, ale jest zamknięte w kole — dowodzone zdanie służy za uzasadnienie samego siebie. To najsubtelniejszy błąd w dowodach i najłatwiej go popełnić niechcący.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym kroku sprawdź, skąd bierze się użyta informacja: z założenia, z wcześniejszego kroku czy ze znanego twierdzenia. Jeśli z tezy — rozumowanie trzeba przebudować.

Odwracanie implikacji bez sprawdzenia

Skąd się bierze: Z tego, że z jednego zdania wynika drugie, nie wynika kierunek odwrotny. Liczba podzielna przez sześć dzieli się przez trzy, ale dziewiątka dzieli się przez trzy i przez sześć już nie.

Jak zrobić dobrze: Traktuj twierdzenie odwrotne jako osobne zdanie wymagające własnego dowodu albo kontrprzykładu. Czasem jest prawdziwe, jak przy twierdzeniu Pitagorasa, ale trzeba to wykazać.

Szukanie dowodu tam, gdzie wystarczy kontrprzykład

Skąd się bierze: Gdy zdanie jest fałszywe, próba jego udowodnienia zajmuje dużo czasu i nigdy się nie powiedzie. Tymczasem obalenie wymaga jednego przypadku i zajmuje sekundy.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz dowodzić, spróbuj zdanie obalić. Sprawdź przypadki nietypowe — zero, jedynkę, liczby ujemne, ułamki. Zdania fałszywe zwykle łamią się właśnie tam.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — udowodnij, uzasadnij, wykaż (geometria)

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W dowodzie nie chodzi o wynik, tylko o łańcuszek — dlatego kolor pokazuje każde ogniwo osobno. Zielone jest to, co dane: kąty i długości z treści albo odczytane z rysunku. Czerwony jest kąt (albo długość) wyliczony po drodze — z jednej z trzech reguł: kąty przyległe dają 180°180°, kąty wierzchołkowe są równe, kąty trójkąta sumują się do 180°180°. Idąc po czerwonych ogniwach widać całą drogę od założeń do tezy.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (czerwiec 2020)2 pkttrudniejsze

Trzy proste przecinają się w punktach AA, BB i CC, tworząc trójkąt ABCABC. Odcinki ACAC i BCBC są równej długości. Kąt α\alpha to kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku BB. Kąt β\beta to kąt przy wierzchołku CC między ramieniem CACA a przedłużeniem boku BCBC poza punkt CC. Wykaż, że miara kąta α\alpha stanowi połowę miary kąta β\beta.
Trójkąt równoramienny z kątem zewnętrznym przy wierzchołku CαβABC
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: α = ½β

  1. Krok 1 — co daje równość boków. Skoro ∣AC∣=∣BC∣\textcolor{#16A06A}{|AC| = |BC|}, trójkąt ABCABC jest równoramienny o podstawie ABAB. Kąty przy podstawie są równe:
  2. ∣∠BAC∣=∣∠ABC∣=α|\angle BAC| = |\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}
  3. Krok 2 — co daje przedłużenie boku. Punkty BB, CC i punkt na przedłużeniu leżą na jednej prostej, więc kąt β\textcolor{#16A06A}{\beta} i kąt wewnętrzny ∠ACB\angle ACB są przyległe:
  4. β+∣∠ACB∣=180°\textcolor{#16A06A}{\beta} + |\angle ACB| = 180°,   czyli   ∣∠ACB∣=180°−β|\angle ACB| = \textcolor{#E0453A}{180° - \beta}
  5. Krok 3 — suma kątów trójkąta.
  6. α+α+(180°−β)=180°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#E0453A}{(180° - \beta)} = 180°
  7. 2α−β=02\textcolor{#16A06A}{\alpha} - \textcolor{#16A06A}{\beta} = 0
  8. 2α=β2\alpha = \beta,   czyli   α=12β\alpha = \tfrac12\beta. ∎
  9. Wniosek: miara kąta α\alpha stanowi połowę miary kąta β\beta — co należało wykazać.

💡 Wskazówka: To jest po prostu twierdzenie o kącie zewnętrznym: kąt zewnętrzny trójkąta równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Tu te dwa kąty są równe (bo trójkąt jest równoramienny), więc kąt zewnętrzny to 2α2\alpha.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie β\beta jako kąta wierzchołkowego do ∠ACB\angle ACB (czyli β=∠ACB\beta = \angle ACB). Kąt wierzchołkowy leży po drugiej stronie punktu CC względem obu prostych, a β\beta ma jedno ramię wspólne z trójkątem — więc jest przyległy, nie wierzchołkowy.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)2 pktśrednie

W trójkącie o kątach wewnętrznych α\alpha, β\beta, γ\gamma miara kąta α\alpha jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: β = 90°

  1. Krok 1 — zapisujemy założenie. Przyjmijmy, że β\textcolor{#16A06A}{\beta} jest większy z dwóch pozostałych kątów. Warunek z treści to:
  2. α=β−γ\textcolor{#16A06A}{\alpha} = \textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}
  3. Krok 2 — dopisujemy to, co zawsze prawdziwe. Suma kątów wewnętrznych trójkąta:
  4. α+β+γ=180°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\beta} + \textcolor{#16A06A}{\gamma} = 180°
  5. Krok 3 — podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. W miejsce α\textcolor{#16A06A}{\alpha} wpisujemy β−γ\textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}:
  6. (β−γ)+β+γ=180°(\textcolor{#16A06A}{\beta} - \textcolor{#16A06A}{\gamma}) + \textcolor{#16A06A}{\beta} + \textcolor{#16A06A}{\gamma} = 180°
  7. Kąty γ\textcolor{#16A06A}{\gamma} się redukują — i to jest sedno całego dowodu:
  8. 2β=180°2\textcolor{#16A06A}{\beta} = 180°,   czyli   β=90°\textcolor{#E0453A}{\beta} = \textcolor{#E0453A}{90°}. ∎
  9. Wniosek: jeden z kątów trójkąta ma miarę 90°90°, więc trójkąt jest prostokątny — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wynik nie zależy od konkretnych wartości α\alpha i γ\gamma — kąt prosty wychodzi zawsze. Właśnie tym dowód różni się od zwykłego zadania rachunkowego.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie przykładowych liczb (np. α=30°\alpha = 30°, γ=60°\gamma = 60°, β=90°\beta = 90°) i uznanie tego za dowód. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że tak jest dla każdego takiego trójkąta.

Zadanie 3 (marzec 2020)2 pkttrudniejsze

Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych: 2x−152x - 15,  x+5x + 5,  32x−5\tfrac{3}{2}x - 5  oraz  12x+15\tfrac{1}{2}x + 15. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.
Czworokąt o bokach opisanych wyrażeniami algebraicznymi½x + 153⁄2x − 5x + 52x − 15
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm

  1. Romb to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są równe — to trzeba pokazać.
  2. Krok 1 — zapisujemy obwód. Dodajemy wszystkie cztery wyrażenia:
  3. (2x−15)+(x+5)+(32x−5)+(12x+15)(\textcolor{#16A06A}{2x - 15}) + (\textcolor{#16A06A}{x + 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac32 x - 5}) + (\textcolor{#16A06A}{\tfrac12 x + 15})
  4. Osobno litery: 2x+x+32x+12x=5x2x + x + \tfrac32 x + \tfrac12 x = 5x.   Osobno liczby: −15+5−5+15=0-15 + 5 - 5 + 15 = 0.
  5. Obwód wynosi więc 5x5x.
  6. Krok 2 — wyznaczamy xx.
  7. 5x=1005x = 100,   czyli   x=20\textcolor{#E0453A}{x} = \textcolor{#E0453A}{20}
  8. Krok 3 — obliczamy każdy bok osobno.
  9. 2⋅20−15=40−15=252 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 15 = 40 - 15 = 25 cm
  10. 20+5=25\textcolor{#E0453A}{20} + 5 = 25 cm
  11. 32⋅20−5=30−5=25\tfrac32 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} - 5 = 30 - 5 = 25 cm
  12. 12⋅20+15=10+15=25\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} + 15 = 10 + 15 = 25 cm
  13. Wniosek: wszystkie cztery boki mają po 25 cm, więc czworokąt jest rombem. ∎
  14. Kontrola: 4⋅25=1004 \cdot 25 = 100 cm ✓ zgadza się z podanym obwodem.

💡 Wskazówka: Przy dodawaniu wyrażeń grupuj osobno litery i osobno liczby. Tutaj liczby zredukowały się do zera — dlatego obwód wyszedł tak prosty (5x5x).

⚠ Najczęstszy błąd: zakończenie na x=20x = 20 bez policzenia boków. Samo xx nie dowodzi, że czworokąt jest rombem — trzeba pokazać wszystkie cztery długości i napisać wniosek.

Zadanie 4 (czerwiec 2019)2 pkttrudniejsze

W trójkącie równoramiennym ABCABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|, poprowadzono dwie wysokości: ADAD (z wierzchołka AA na bok BCBC) i CECE (z wierzchołka CC na bok ABAB). Wysokość CECE tworzy z ramieniem CACA kąt o mierze 20°20°. Kąt α\alpha to kąt między wysokościami ADAD i CECE w punkcie ich przecięcia — ten, który jest rozwarty. Uzasadnij, że kąt α\alpha ma miarę 110°110°.
Trójkąt równoramienny z dwiema wysokościami przecinającymi się pod kątem α20°αABCED
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: α = 110°

  1. Krok 1 — kąt przy wierzchołku AA. Wysokość CECE jest prostopadła do ABAB, więc w trójkącie AECAEC mamy kąt prosty przy EE:
  2. ∣∠EAC∣=180°−90°−20°=70°|\angle EAC| = 180° - 90° - \textcolor{#16A06A}{20°} = \textcolor{#E0453A}{70°}
  3. To jest kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku AA, czyli ∣∠CAB∣=70°|\angle CAB| = \textcolor{#E0453A}{70°}.
  4. Krok 2 — kąt przy wierzchołku BB. Trójkąt jest równoramienny (∣AC∣=∣BC∣\textcolor{#16A06A}{|AC| = |BC|}), więc kąty przy podstawie ABAB są równe:
  5. ∣∠CBA∣=70°|\angle CBA| = \textcolor{#E0453A}{70°}
  6. Krok 3 — kąt, pod jakim wychodzi wysokość ADAD. Wysokość ADAD jest prostopadła do BCBC, więc w trójkącie ABDABD kąt przy DD jest prosty:
  7. ∣∠BAD∣=180°−90°−70°=20°|\angle BAD| = 180° - 90° - \textcolor{#E0453A}{70°} = \textcolor{#E0453A}{20°}
  8. Krok 4 — kąt między wysokościami. Oznaczmy przez PP punkt przecięcia ADAD i CECE. W trójkącie AEPAEP:
  9. kąt przy EE jest prosty (bo CE⊥ABCE \perp AB), a kąt przy AA to właśnie ∣∠EAP∣=∣∠BAD∣=20°|\angle EAP| = |\angle BAD| = \textcolor{#E0453A}{20°}.
  10. Szukany kąt α\alpha jest kątem zewnętrznym tego trójkąta przy wierzchołku PP, więc równa się sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych:
  11. α=90°+20°=110°\alpha = 90° + \textcolor{#E0453A}{20°} = 110° ∎
  12. Wniosek: kąt α\alpha ma miarę 110°110° — co należało uzasadnić.

💡 Wskazówka: Zamiast kąta zewnętrznego można policzyć po kolei: w trójkącie AEPAEP trzeci kąt wynosi 180°−90°−20°=70°180° - 90° - 20° = 70°, a α\alpha jest do niego przyległy, więc α=180°−70°=110°\alpha = 180° - 70° = 110° ✓ Wychodzi to samo.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 70°70° zamiast 110°110° — czyli obliczenie drugiego z dwóch kątów, jakie tworzą przecinające się proste. Treść pyta o kąt rozwarty, więc na koniec trzeba sprawdzić, który to.

Zadanie 5 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Dany jest trapez ABCDABCD o podstawach ABAB i DCDC. Punkt EE leży w połowie ramienia BCBC. Prostą poprowadzoną przez punkty DD i EE przedłużono do przecięcia z prostą ABAB w punkcie FF (leżącym poza odcinkiem ABAB, po stronie BB). Uzasadnij, że pole trapezu ABCDABCD i pole trójkąta AFDAFD są równe.
Trapez ABCD z prostą DE przecinającą przedłużenie podstawy w punkcie FABCDEF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Trójkąty DCE i FBE są przystające, więc oba pola są równe.

  1. Trójkąt AFDAFD powstaje z trapezu przez odcięcie kawałka DCEDCE i doklejenie kawałka BEFBEF. Wystarczy więc pokazać, że te dwa kawałki mają równe pola — a najprościej udowodnić, że są przystające.
  2. Porównujemy trójkąty DCEDCE i FBEFBE:
  3. (1) Bok. Punkt EE jest środkiem odcinka BCBC, więc ∣CE∣=∣EB∣\textcolor{#16A06A}{|CE| = |EB|}.
  4. (2) Kąt. Podstawy trapezu są równoległe (DC∥AB\textcolor{#16A06A}{DC \parallel AB}), a prosta DFDF je przecina. Kąty ∠DCE\angle DCE i ∠FBE\angle FBE są więc naprzemianległe, czyli równe:
  5. ∣∠DCE∣=∣∠FBE∣|\angle DCE| = \textcolor{#E0453A}{|\angle FBE|}
  6. (3) Drugi kąt. Kąty ∠DEC\angle DEC i ∠FEB\angle FEB są wierzchołkowe (proste BCBC i DFDF przecinają się w EE), więc też są równe:
  7. ∣∠DEC∣=∣∠FEB∣|\angle DEC| = \textcolor{#E0453A}{|\angle FEB|}
  8. Z cechy kąt–bok–kąt trójkąty DCEDCE i FBEFBE są przystające, a więc mają równe pola.
  9. Wniosek. Zapiszmy oba pola:
  10. PABCD=PABED+PDCEP_{ABCD} = P_{ABED} + P_{DCE}  •  PAFD=PABED+PFBEP_{AFD} = P_{ABED} + P_{FBE}
  11. Skoro PDCE=PFBEP_{DCE} = P_{FBE}, to PABCD=PAFDP_{ABCD} = P_{AFD}. ∎

💡 Wskazówka: To jest klasyczny trik „przełóż kawałek”: trapez zamienia się w trójkąt o tym samym polu. Ta sama konstrukcja wyjaśnia, skąd bierze się wzór na pole trapezu.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie obu pól ze wzorów, z literami na podstawy i wysokość. Da się tak, ale rachunek robi się długi — a wystarczy jedno przystawanie trójkątów.

Zadanie 6 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Trzy proste przecinają się tak, że tworzą trójkąt ABCABC: jedna z nich przechodzi przez AA i BB, druga przez AA i CC, trzecia przez BB i CC. Kąt między prostą ABAB a przedłużeniem boku CACA poza punkt AA ma miarę 120°120° (jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego przy AA). Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku CC oraz kąt wierzchołkowy do kąta wewnętrznego przy wierzchołku BB oznaczono tą samą literą α\alpha. Uzasadnij, że trójkąt ABCABC jest równoboczny.
Trójkąt ABC utworzony przez trzy przecinające się proste120°ααABC
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Wszystkie kąty mają po 60°

  1. Krok 1 — kąt przy wierzchołku AA. Kąt 120°\textcolor{#16A06A}{120°} i kąt wewnętrzny ∠BAC\angle BAC są przyległe (mają wspólne ramię ABAB, a pozostałe ramiona tworzą prostą CACA):
  2. ∣∠BAC∣=180°−120°=60°|\angle BAC| = 180° - \textcolor{#16A06A}{120°} = \textcolor{#E0453A}{60°}
  3. Krok 2 — kąt przy wierzchołku BB. Zaznaczony przy BB kąt α\textcolor{#16A06A}{\alpha} jest wierzchołkowy do kąta wewnętrznego ∠ABC\angle ABC, a kąty wierzchołkowe są równe:
  4. ∣∠ABC∣=α|\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}
  5. Krok 3 — kąt przy wierzchołku CC. Tu α\textcolor{#16A06A}{\alpha} jest wprost kątem wewnętrznym:
  6. ∣∠ACB∣=α|\angle ACB| = \textcolor{#16A06A}{\alpha}
  7. Krok 4 — suma kątów trójkąta.
  8. 60°+α+α=180°\textcolor{#E0453A}{60°} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} + \textcolor{#16A06A}{\alpha} = 180°
  9. 2α=120°2\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 120°,   czyli   α=60°\textcolor{#E0453A}{\alpha} = \textcolor{#E0453A}{60°}
  10. Wniosek: wszystkie trzy kąty trójkąta mają po 60°60°, więc trójkąt ABCABC jest równoboczny (a nie tylko równokątny — w trójkącie to jedno i to samo). ∎

💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie reguły przy przecinających się prostych: przyległe dają razem 180°180°, a wierzchołkowe są równe. Prawie każdy taki dowód sprowadza się do zastosowania ich po kolei.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi i przyjęcie ∠BAC=120°\angle BAC = 120°. Wtedy suma kątów przekracza 180°180° — to od razu sygnał, że coś jest nie tak.

Zadanie 7 (materiały CKE)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że dwusieczne kątów BADBAD i ABCABC równoległoboku ABCDABCD są prostopadłe.
Równoległobok ABCD z dwusiecznymi kątów przy A i przy BABCD
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°

  1. Krok 1 — kąty przy jednym boku równoległoboku. Boki ADAD i BCBC są równoległe, a bok ABAB je przecina. Kąty ∠BAD\angle BAD i ∠ABC\angle ABC są więc jednostronne wewnętrzne i sumują się do kąta półpełnego:
  2. ∣∠BAD∣+∣∠ABC∣=180°|\angle BAD| + |\angle ABC| = \textcolor{#16A06A}{180°}
  3. Krok 2 — dwusieczne dzielą te kąty na pół. Niech PP będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Wtedy:
  4. ∣∠PAB∣=12∣∠BAD∣|\angle PAB| = \tfrac12 |\angle BAD|  •  ∣∠PBA∣=12∣∠ABC∣|\angle PBA| = \tfrac12 |\angle ABC|
  5. Krok 3 — sumujemy połówki. Skoro całości dają 180°\textcolor{#16A06A}{180°}, to połówki dają połowę tego:
  6. ∣∠PAB∣+∣∠PBA∣=12⋅180°=90°|\angle PAB| + |\angle PBA| = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{180°} = \textcolor{#E0453A}{90°}
  7. Krok 4 — trzeci kąt trójkąta ABPABP.
  8. ∣∠APB∣=180°−90°=90°|\angle APB| = 180° - \textcolor{#E0453A}{90°} = 90°
  9. Wniosek: dwusieczne przecinają się pod kątem prostym, czyli są prostopadłe. ∎
  10. Warto zauważyć, że wynik nie zależy od kształtu równoległoboku — działa dla każdego, bo jedyne, czego użyliśmy, to suma 180°180°.

💡 Wskazówka: Kluczowy moment jest w kroku 3: skoro dwa kąty sumują się do 180°180°, to ich połowy sumują się do 90°90°. Ten sam chwyt działa wszędzie tam, gdzie pojawiają się dwusieczne kątów jednostronnych.

⚠ Najczęstszy błąd: rozpoczęcie od założenia konkretnych miar kątów (np. 60°60° i 120°120°). To pokazuje tylko jeden przypadek — dowód musi obejmować każdy równoległobok, więc kąty trzeba zostawić jako litery.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. α = ½β2. β = 90°3. x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm4. α = 110°5. Trójkąty DCE i FBE są przystające, więc oba pola są równe.6. Wszystkie kąty mają po 60°
7. Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Czym jest dowód matematyczny?

Ciągiem zdań, z których każde wynika z poprzednich, prowadzącym od założenia do tezy. Jego siła polega na tym, że dotyczy wszystkich przypadków naraz, a nie tylko sprawdzonych. Dlatego twierdzenie raz udowodnione pozostaje prawdziwe na zawsze.

Dlaczego sprawdzenie wielu przykładów to za mało?

Bo mówi tylko o tych przykładach. Znane są wyrażenia dające liczby pierwsze przez czterdzieści kolejnych wartości i zawodzące dopiero potem, a także hipotezy potwierdzone dla miliardów przypadków i obalone przy liczbach astronomicznych.

Ile kontrprzykładów trzeba, żeby obalić twierdzenie?

Jeden. Zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” obala sama dwójka i to zamyka sprawę. Ta asymetria jest praktyczna: gdy masz ocenić prawdziwość zdania, najpierw poszukaj kontrprzykładu, bo jeśli istnieje, rozwiązanie zajmie sekundę.

Co to jest założenie i teza?

Twierdzenie ma postać „jeżeli… to…”. Część po słowie „jeżeli” to założenie, część po „to” — teza. Dowód polega na pokazaniu, że z założenia wynika teza. Zamiana ich miejscami daje twierdzenie odwrotne, które trzeba sprawdzać osobno.

Na czym polega dowód nie wprost?

Zakłada się, że teza jest fałszywa, i pokazuje, że prowadzi to do sprzeczności. Skoro zaprzeczenie jest niemożliwe, teza musi być prawdziwa. Tak właśnie dowiedziono dwa i pół tysiąca lat temu, że pierwiastek z dwóch nie jest ułamkiem.

Czy umiejętność dowodzenia przydaje się poza matematyką?

Tak — uczy odróżniać uzasadnienie od pojedynczego przykładu. Zwrot „znam kogoś, kto…” to właśnie sprawdzenie jednego przypadku podane jako reguła. Matematyka pokazuje też wprost, że twierdzenie wymaga dowodu, a nie sama jego negacja.

Czytaj dalej

Zadania dowodowe — zadania z egzaminu ósmoklasistySiedem dowodów geometrycznych z arkuszy CKE, rozpisanych zdanie po zdaniuWyrażenia algebraiczne — teoriaNarzędzie dowodów algebraicznych: zapis ogólny i wyłączanie czynnikaTwierdzenie Pitagorasa — teoriaPrzykład twierdzenia, którego odwrotność też jest prawdziwaEgzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.