Strona główna › Geometria › Dwusieczna kąta — własności i twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna kąta — własności i twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna to prosta, która dzieli kąt na dwa równe kąty. Definicja mieści się w jednym zdaniu, a cała jej użyteczność bierze się z drugiej, mniej oczywistej własności: każdy punkt dwusiecznej leży dokładnie tak samo daleko od jednego ramienia, jak od drugiego. To ona sprawia, że dwusieczne trójkąta spotykają się w środku okręgu wpisanego — i to o nią, a nie o dzielenie kąta, chodzi w większości zadań.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 7–8 (samo twierdzenie: liceum)Zadań z E8: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Dwie definicje tego samego

Dwusieczną można opisać na dwa sposoby i oba opisują ten sam zbiór punktów — to jest sedno tego tematu.

opis	co mówi	do czego służy
przez kąt	dzieli kąt na dwa równe	gdy liczysz miary kątów
przez odległość	zbiór punktów równo odległych od obu ramion	gdy szukasz punktu albo dowodzisz

Pierwszy opis jest ten, który wszyscy pamiętają. Drugi jest ten, który rozwiązuje zadania.

Odległość punktu od prostej — uwaga na pułapkę

„Równo odległy od obu ramion” znaczy: odcinki prostopadłe poprowadzone z tego punktu do jednego i do drugiego ramienia są równej długości.

Odległość punktu od prostej to zawsze odcinek prostopadły, nigdy jakikolwiek inny. Mierzenie „na ukos” daje odcinek dłuższy i cała własność przestaje działać.

To ta sama zasada, przez którą wysokość figury musi być prostopadła, a nie byle jaka.

Warto zauważyć symetrię tej konstrukcji z symetralną odcinka, którą podstawa programowa wprowadza w tym samym dziale: symetralna to zbiór punktów równo odległych od dwóch punktów, dwusieczna — od dwóch ramion kąta. Ta sama myśl, inne obiekty. (Gdyby wziąć całe proste zamiast ramion, wyszłaby para prostopadłych dwusiecznych — po jednej dla każdej z dwóch par kątów, jakie te proste tworzą.)

2Trzy dwusieczne trójkąta i okrąg wpisany

Każdy trójkąt ma trzy kąty, więc i trzy dwusieczne. Wszystkie trzy przecinają się w jednym punkcie — i to nie jest przypadek, tylko konsekwencja własności odległościowej.

punkt na dwusiecznej kąta $A$ leży równo daleko od boków $AB$ i $AC$ ,
punkt na dwusiecznej kąta $B$ leży równo daleko od boków $BA$ i $BC$ ,
punkt wspólny obu leży więc równo daleko od wszystkich trzech boków,
a skoro tak, to leży też na dwusiecznej kąta $C$ — trzecia dwusieczna musi przez niego przejść.

Ten punkt nazywa się środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Jego wspólna odległość od trzech boków to promień tego okręgu, oznaczany $r$ .

Dlaczego okrąg wpisany dotyka boków, a nie je przecina

Odległość środka od każdego boku wynosi dokładnie $r$ — czyli tyle, ile promień. Okrąg sięga więc do każdego boku i nie sięga dalej.

Punkt styczności leży na odcinku prostopadłym ze środka do boku. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej — to własność, która wraca potem w całej geometrii okręgu.

Warto to zestawić z środkowymi trójkąta, które też schodzą się w jednym punkcie — ale w innym. Środkowe dają środek ciężkości, dwusieczne środek okręgu wpisanego, a symetralne boków środek okręgu opisanego. Trzy różne konstrukcje, trzy różne punkty.

Wyjątkiem jest trójkąt równoboczny, w którym wszystkie te punkty pokrywają się w jednym miejscu — bo tam każda dwusieczna jest jednocześnie środkową i wysokością.

3Dwusieczna w zadaniach o kątach

Najczęstsze szkolne zastosowanie jest proste: dwusieczna podwaja albo połowi.

Jeśli dwusieczna odcięła kąt $28^\circ$ , to cały kąt ma $56^\circ$ . Jeśli cały kąt ma $70^\circ$ , to każda połówka ma $35^\circ$ . Cała trudność polega na zauważeniu, o który z tych dwóch kątów pyta zadanie.

W czworokątach dwusieczne bywają ukryte pod inną nazwą. W rombie przekątne są dwusiecznymi kątów. Uwaga tylko na kolejność przyczyn: to, że przekątna dzieli romb na dwa trójkąty równoramienne, wynika wprost z równości boków — odcięty trójkąt ma boki $a$ , $a$ i przekątną — a nie z podziału kąta. Obie własności biorą się z tego samego źródła, ale jedna nie wynika z drugiej.

Kąt między dwusiecznymi kątów przyległych ma zawsze 90°

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ . Ich dwusieczne odcinają po połowie każdego, czyli razem połowę ze $180^\circ$ .

Zapisując: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ .

Wynik nie zależy od tego, jakie są te kąty — zawsze wychodzi kąt prosty. To ulubiony motyw zadań na dowodzenie, bo dowód mieści się w jednej linijce.

Konstrukcja dwusiecznej cyrklem i linijką też należy do materiału szkolnego: zakreślamy łuk ze środkiem w wierzchołku, potem dwa łuki o równych promieniach ze środkami w punktach przecięcia — prosta przez wierzchołek i punkt przecięcia tych łuków jest szukaną dwusieczną.

4Samo twierdzenie o dwusiecznej

To już materiał ponadpodstawowy

Sama dwusieczna i jej własności mieszczą się w podstawie programowej klas VII–VIII — dział XV („Symetrie”), punkt 1: „rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta”, oraz punkt 2: „zna i stosuje w zadaniach podstawowe własności symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta”. Okrąg wpisany z drugiej sekcji to już jednak liceum — w wymaganiach z matematyki dla szkoły podstawowej cząstka „wpisa…” nie pada ani razu, a środek okręgu wpisanego wymienia dopiero podstawa licealna, w dziale VIII.

W podstawie szkoły podstawowej samego twierdzenia nie ma — dział „Symetrie” kończy się na rozpoznawaniu dwusiecznej i jej podstawowych własnościach. W podstawie liceum jest natomiast wymienione z nazwy, i to nie na marginesie: w części Warunki i sposób realizacji stoi lista twierdzeń, których dowody uczeń powinien poznać, a „Twierdzenie o dwusiecznej” figuruje na niej jako pozycja ósma zakresu podstawowego — tuż za twierdzeniem o odcinkach w trójkącie prostokątnym, a przed wzorem na pole trójkąta z sinusem. Dokument podaje pełne sformułowanie, tyle że przy innym oznaczeniu wierzchołków.

Poniższa sekcja jest więc ponadprogramowa dla ósmoklasisty, ale nie dla licealisty — od niego dokument oczekuje nawet znajomości dowodu. Warto ją przeczytać także wcześniej, bo pokazuje, jak z prostej własności wyrasta narzędzie rachunkowe.

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi ramion tego kąta.

\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|BC|}

gdzie $BD$ jest dwusieczną kąta $B$ , a punkt $D$ leży na boku $AC$ .

Po ludzku: dłuższe ramię „przyciąga” punkt podziału ku sobie. Jeśli jedno ramię jest dwa razy dłuższe od drugiego, to i odcinek po jego stronie jest dwa razy dłuższy.

Nazwa bywa myląca, bo mówi o dwusiecznej, a twierdzenie dotyczy boku, nie kąta. Kąt zostaje podzielony na połowy zawsze — to definicja. Twierdzenie mówi coś zupełnie innego: jak zostaje podzielony bok naprzeciwko, a ten na połowy dzieli się tylko wtedy, gdy ramiona są równe.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: kąty, kąt między dwusiecznymi i zastosowanie samego twierdzenia.

Przykład 1 Kąty przy dwusiecznej

Dwusieczna podzieliła kąt na dwie części. Jedna z nich ma $34^\circ$ . Ile ma cały kąt i jakiego jest rodzaju?

Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części, więc druga część też ma $34^\circ$ .
Cały kąt: $34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
Rodzaj: $68^\circ$ jest mniejsze od $90^\circ$ , więc to kąt ostry.
Kontrola: połowa z $68^\circ$ to $34^\circ$ ✓
Kontrola sensu: dwusieczna kąta ostrego dzieli go na dwa jeszcze mniejsze kąty ostre — i rzeczywiście $34^\circ < 68^\circ < 90^\circ$ ✓

Odpowiedź: Cały kąt ma $68^\circ$ i jest ostry.

Zadania z tej rodziny mylą się tylko w jednym miejscu: uczeń podaje $34^\circ$ , bo tę liczbę widzi w treści. Warto podkreślić w poleceniu słowo „cały” i dopiero potem liczyć.

Przykład 2 Kąt między dwusiecznymi kątów przyległych

Dwa kąty przyległe mają miary $130^\circ$ i $50^\circ$ . Jaki kąt tworzą ich dwusieczne? Sprawdź, czy odpowiedź zmieni się dla pary $100^\circ$ i $80^\circ$ .

Dwusieczna pierwszego kąta odcina połowę: $130^\circ : 2 = 65^\circ$ .
Dwusieczna drugiego odcina: $50^\circ : 2 = 25^\circ$ .
Kąt między dwusiecznymi to suma tych połówek: $65^\circ + 25^\circ = 90^\circ$ .
Sprawdzam drugą parę: $100^\circ : 2 = 50^\circ$ oraz $80^\circ : 2 = 40^\circ$ , a $50^\circ + 40^\circ = 90^\circ$ — ten sam wynik.
Dlaczego zawsze tak wychodzi: kąty przyległe dają razem $180^\circ$ , a połowa z $180^\circ$ to $90^\circ$ . Konkretne miary skracają się po drodze.
Kontrola: $130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$ ✓ oraz $100^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ ✓ — obie pary są rzeczywiście przyległe.

Odpowiedź: W obu przypadkach $90^\circ$ — kąt między dwusiecznymi kątów przyległych jest zawsze prosty.

To zadanie warto rozwiązać dwa razy: raz na liczbach, raz ogólnie. Wersja ogólna zajmuje jedną linijkę i dowodzi więcej niż dwa przykłady — pokazuje, że wynik nie zależy od danych.

Przykład 3 Twierdzenie o dwusiecznej w praktyce

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma $12$ cm, bok $BC$ ma $8$ cm, a bok $AC$ ma $15$ cm. Dwusieczna kąta $B$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ . Oblicz długości odcinków $AD$ i $DC$ . Materiał ponadpodstawowy — w liceum to twierdzenie podstawa wymienia z nazwy.

Z twierdzenia o dwusiecznej: $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ .
Oznacza to, że $AD$ i $DC$ mają się do siebie jak $3$ do $2$ — czyli bok $AC$ dzieli się na $3 + 2 = 5$ równych części.
Jedna część: $15 : 5 = 3$ cm.
Stąd $|AD| = 3 \cdot 3 = 9$ cm oraz $|DC| = 2 \cdot 3 = 6$ cm.
Kontrola sumą: $9 + 6 = 15$ cm — zgadza się z długością boku $AC$ ✓
Kontrola stosunkiem: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ , a $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ✓
Kontrola sensu: ramię $AB$ ( $12$ cm) jest dłuższe od $BC$ ( $8$ cm), więc odcinek po jego stronie musi być dłuższy — i rzeczywiście $9 > 6$ ✓

Odpowiedź: $|AD| = 9$ cm, $|DC| = 6$ cm

Metoda „ile części, taka jedna część” działa przy każdym zadaniu ze stosunkiem i jest szybsza od układania równań. Ostatnia kontrola jest najważniejsza: jeśli dłuższy odcinek wyszedł po stronie krótszego ramienia, stosunek został zapisany odwrotnie.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą samego pojęcia, dwa dalsze twierdzenia.

Mierzenie odległości od ramienia „na ukos”

Skąd się bierze: Własność dwusiecznej mówi o odległości, a odległość punktu od prostej to zawsze odcinek prostopadły. Odcinek poprowadzony pod innym kątem jest dłuższy, więc porównanie dwóch takich odcinków niczego nie dowodzi.

Jak zrobić dobrze: Rysując odległość od ramienia, zaznacz kąt prosty. Jeśli na rysunku go nie ma, odcinek nie jest odległością — jest po prostu odcinkiem.

Mylenie dwusiecznej ze środkową

Skąd się bierze: Obie wychodzą z wierzchołka i obie „dzielą na pół” — ale co innego. Dwusieczna dzieli na pół kąt, środkowa dzieli na pół przeciwległy bok. Pokrywają się tylko w trójkącie równoramiennym, i to wyłącznie ta poprowadzona z wierzchołka między ramionami.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj, co zostało podzielone na pół: kąt czy bok. Jeśli zadanie mówi „dzieli kąt”, to dwusieczna; jeśli „trafia w środek boku”, to środkowa. Więcej przy środkowych.

Uznanie, że dwusieczna dzieli przeciwległy bok na połowy

Skąd się bierze: To najczęstsze nieporozumienie w tym temacie i dokładnie ono jest powodem, dla którego twierdzenie o dwusiecznej w ogóle sformułowano. Dwusieczna dzieli bok w stosunku ramion — na połowy tylko wtedy, gdy ramiona są równe, czyli w trójkącie równoramiennym.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź długości ramion. Równe — podział na połowy. Różne — podział w ich stosunku, z dłuższym odcinkiem po stronie dłuższego ramienia.

Odwrócenie stosunku w twierdzeniu

Skąd się bierze: Zapisanie $\textcolor{#9b1c14}{\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|BC|}{|AB|}}$ zamiast $\frac{|AB|}{|BC|}$ daje odcinki zamienione miejscami — przy bokach $12$ i $8$ oraz $|AC| = 15$ wyjdzie $6$ i $9$ zamiast $9$ i $6$ .

Jak zrobić dobrze: Nie zapamiętuj układu liter, tylko sens: dłuższe ramię, dłuższy odcinek po jego stronie. Po policzeniu sprawdź, czy tak wyszło — to kontrola na jedno spojrzenie.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — kąty w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co się z czym sumuje: zielone to kąty, które już znamy albo które są sobie równe (np. przy podstawie trójkąta równoramiennego), a czerwona to suma docelowa —

180°

w trójkącie,

360°

w czworokącie,

180°

dla kątów przyległych. Prawie każde zadanie o kątach to jedno z tych trzech równań.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Trójkąty

ABC

ABD

są równoramienne i mają wspólną podstawę

AB

.
• W trójkącie

ABC

kąt między ramionami (przy wierzchołku

C

) ma miarę $80°$ .
• W trójkącie

ABD

kąt między ramionami (przy wierzchołku

B

) ma miarę $40°$ , przy czym

BA = BD

.
Punkt

S

jest punktem przecięcia odcinków

AC

BD

. Uzupełnij zdania.

Kąt

ASB

jest AB.

A. ostry
B. prosty

Miara kąta

DAC

jest równa CD.

C. $20°$
D. $40°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Trójkąt $ABC$ . Ramiona $CA = CB$ , kąt przy $C$ to $\textcolor{#16A06A}{80°}$ . Kąty przy podstawie są równe: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{80°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Zatem $\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Trójkąt $ABD$ . Ramiona $BA = BD$ , kąt przy $B$ to $\textcolor{#16A06A}{40°}$ . Kąty przy podstawie $AD$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Zatem $\angle DAB = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Pierwsze zdanie. W trójkącie $ABS$ : kąt przy $A$ to $\angle SAB = \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{50°}$ , kąt przy $B$ to $\angle ABS = \angle ABD = \textcolor{#16A06A}{40°}$ .
$\angle ASB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°} - \textcolor{#16A06A}{40°} = 90°$ — to kąt prosty, odpowiedź B.
Drugie zdanie. Kąt $DAC$ to różnica dwóch kątów przy wierzchołku $A$ : $\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{70°} - \textcolor{#16A06A}{50°} = 20°$ — odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: $(180° - \text{kąt przy wierzchołku}) : 2$ . Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie $ABD$ jest on przy wierzchołku $B$ , a nie przy $D$ — trzeba czytać, które boki są ramionami.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dane są dwa trójkąty:
• $ABC$ — bok

AC

ma długość

7

, kąt przy

A

62°

, kąt przy

C

59°

;
• $KLM$ — bok

KL

ma długość

7

, kąt przy

K

62°

, kąt przy

M

59°

.
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $KLM$ nie jest równoramienny.	P	F
Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są przystające.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Najpierw dopełniamy brakujące kąty do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Trójkąt $ABC$ : kąt przy $B$ $= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}$ .
Trójkąt $KLM$ : kąt przy $L$ $= \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{62°} - \textcolor{#16A06A}{59°} = \textcolor{#16A06A}{59°}$ .
Zdanie 1. W trójkącie $KLM$ dwa kąty są równe ( $\textcolor{#16A06A}{59°}$ przy $L$ i przy $M$ ), więc trójkąt jest równoramienny. Zdanie twierdzi, że nie jest — fałsz.
Zdanie 2. Oba trójkąty mają te same kąty: $62°$ , $59°$ , $59°$ . Bok długości $7$ leży w obu przypadkach między kątami $62°$ i $59°$ (w $ABC$ między $A$ i $C$ , w $KLM$ między $K$ i $L$ ).
To cecha kąt–bok–kąt, więc trójkąty są przystające ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Sama zgodność kątów daje tylko podobieństwo. Do przystawania potrzebny jest jeszcze bok — i musi leżeć w obu trójkątach w tym samym miejscu względem kątów.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie trójkąta za nierównoramienny, bo „boki mają różne nazwy”. Równe kąty przy podstawie zawsze oznaczają równe ramiona.

Zadanie 3 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Prostokąt podzielono na dwa identyczne trapezy równoramienne i dwa trójkąty: trapezy przylegają do dłuższych boków prostokąta (ich dłuższe podstawy to boki prostokąta, krótsze podstawy leżą wzdłuż wspólnego odcinka w środku), a trójkąty powstają przy krótszych bokach prostokąta. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąty, które powstały w sposób pokazany na rysunku, są równoramienne.	P	F
Gdyby kąty ostre trapezów miały miarę $30°$ , to powstałe trójkąty byłyby równoboczne.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Cały podział jest symetryczny względem poziomej osi prostokąta.
Każdy trójkąt ma podstawę na krótszym boku prostokąta, a jego dwa pozostałe boki to ramiona trapezów — górnego i dolnego. Trapezy są identyczne, więc te ramiona mają tę samą długość.
Trójkąt ma zatem dwa równe boki — jest równoramienny ✓ — prawda.
Zdanie 2. Przyjrzyjmy się narożnikowi prostokąta. Kąt prosty $\textcolor{#E0453A}{90°}$ dzieli się tam na kąt ostry trapezu i kąt trójkąta.
Jeśli kąt trapezu to $\textcolor{#16A06A}{30°}$ , to kąt trójkąta przy tym narożniku wynosi $\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#16A06A}{60°}$ .
To samo dzieje się przy drugim narożniku (symetria), więc oba kąty przy podstawie trójkąta mają po $\textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Trzeci kąt: $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{60°} - \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#16A06A}{60°}$ — wszystkie kąty równe, czyli trójkąt jest równoboczny ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Trójkąt o wszystkich kątach po $60°$ jest równoboczny — nie trzeba sprawdzać boków. To najszybsza droga w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: policzenie kąta trójkąta jako $30°$ (przepisanie kąta trapezu) zamiast dopełnienia do kąta prostego narożnika.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

W czworokącie

ABCD

boki

AB

CD

DA

mają równe długości, a kąt

BCD

ma miarę $131°$ . Przekątna

AC

dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny $ACD$ i trójkąt równoramienny $ABC$ . Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt $ABC$ ma miarę $60°$ .	P	F
Kąt $DAB$ ma miarę $98°$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po $\textcolor{#16A06A}{60°}$ — w tym $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{60°}$ i $\angle DAC = \textcolor{#16A06A}{60°}$ . Ponadto $AC = AD = CD$ .
Kąt $BCD$ dzieli się przekątną na dwie części: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$ .
Stąd $\angle BCA = 131° - \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#16A06A}{71°}$ .
Trójkąt $ABC$ . Skoro $AB = AD$ , a $AD = AC$ (bok trójkąta równobocznego), to $AB = AC$ — trójkąt jest równoramienny o wierzchołku $A$ .
Kąty przy podstawie $BC$ są więc równe: $\angle ABC = \angle BCA = \textcolor{#16A06A}{71°}$ .
Zdanie 1. Kąt $ABC$ ma $\textcolor{#16A06A}{71°}$ , a nie $60°$ — fałsz.
Zdanie 2. Kąt przy $A$ w trójkącie $ABC$ : $\angle BAC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{71°} - \textcolor{#16A06A}{71°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$ .
Cały kąt $DAB$ to suma: $\angle DAC + \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{60°} + \textcolor{#16A06A}{38°} = 98°$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Kluczem jest zauważenie, że $AC$ też ma długość boku trójkąta równobocznego — dzięki temu $AB = AC$ i wiadomo, gdzie w trójkącie $ABC$ leżą równe kąty.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro trójkąt $ACD$ jest równoboczny, to kąty $60°$ pojawiają się też w trójkącie $ABC$ . Ten drugi jest tylko równoramienny — jego kąty trzeba policzyć osobno.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt

ABC

, w którym kąt

BCA

ma miarę $35°$ . Punkt

D

leży na boku

BC

. Odcinek

AD

ma taką samą długość jak odcinek

BD

. Kąt

ADC

ma miarę $130°$ . Dokończ zdanie.
Kąt

CAB

ma miarę

A. $95°$
B. $75°$
C. $90°$
D. $80°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kąt $CAB$ rozbijamy na dwie części: $\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB$ . Liczymy każdą osobno.
Część pierwsza — trójkąt $ACD$ . Znamy dwa kąty: $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{35°}$ i $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{130°}$ .
$\angle CAD = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{35°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{15°}$ .
Część druga — trójkąt $ABD$ . Kąt $ADB$ jest przyległy do $\angle ADC$ (punkt $D$ leży na odcinku $BC$ ):
$\angle ADB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Skoro $AD = BD$ , trójkąt $ABD$ jest równoramienny, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe:
$\angle DAB = \angle DBA = (\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{65°}$ .
Składamy: $\angle CAB = \textcolor{#16A06A}{15°} + \textcolor{#16A06A}{65°} = 80°$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy punkt leży na boku trójkąta, kąty po obu jego stronach są przyległe — sumują się do $180°$ . To zwykle pierwszy krok w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $130°$ jako kąta $ADB$ zamiast $ADC$ . Wtedy trójkąt $ABD$ miałby kąty przy podstawie po $25°$ i cała odpowiedź byłaby błędna.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoramienny

KLM

o ramionach

KM

LM

(podstawą jest

KL

). Miara kąta

KML

jest dwa razy większa niż miara kąta

KLM

. Uzupełnij zdania.

Miara kąta

KLM

jest równa AB.

A. $40°$
B. $45°$

Trójkąt

KLM

jest CD.

C. rozwartokątny
D. prostokątny

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Ramionami są $KM$ i $LM$ , więc podstawą jest $KL$ , a kąty przy podstawie (przy $K$ i przy $L$ ) są równe.
Oznaczmy $\angle KLM = \textcolor{#16A06A}{x}$ . Wtedy również $\angle LKM = \textcolor{#16A06A}{x}$ , a kąt przy wierzchołku $\angle KML = \textcolor{#16A06A}{2x}$ .
Suma kątów trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{2x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ , czyli $4\textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 45°$ — kąt $KLM$ ma $45°$ , odpowiedź B.
Kąt przy wierzchołku: $\textcolor{#16A06A}{2x} = 90°$ — trójkąt jest więc prostokątny, odpowiedź D.
Razem: B, D. (Kąty: $45°$ , $45°$ , $90°$ — to połówka kwadratu.)

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, które boki są ramionami — to one wskazują, gdzie leży podstawa, a więc gdzie są równe kąty. Zamiana ramion z podstawą całkowicie zmienia rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że równe kąty są przy $M$ i przy $L$ . Wtedy równanie wyglądałoby inaczej i wyszłoby $x = 36°$ — odpowiedź nieobecna wśród opcji, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.

Zadanie 7 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dany jest równoległobok

ABCD

oraz trójkąt równoramienny

AED

, w którym

|DE| = |AE|

(punkt

E

leży na boku

DC

). Kąt

BCE

ma miarę $106°$ . Jaką miarę ma kąt

AEC

A. $148°$
B. $122°$
C. $74°$
D. $58°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Punkt $E$ leży na boku $DC$ , więc kąt $BCE$ to po prostu kąt $BCD$ równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{106°}$ .
W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ , więc kąt przy $D$ : $\angle ADC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{106°} = \textcolor{#16A06A}{74°}$ .
Trójkąt $AED$ . Skoro $DE = AE$ , kąty przy podstawie $AD$ są równe. Kąt $\angle ADE$ to ten sam co $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{74°}$ (bo $E$ leży na $DC$ ).
Zatem $\angle DAE = \textcolor{#16A06A}{74°}$ , a kąt przy wierzchołku $E$ : $\angle AED = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{74°} - \textcolor{#16A06A}{74°} = \textcolor{#16A06A}{32°}$ .
Ostatni krok. Punkty $D$ , $E$ , $C$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AED$ i $AEC$ są przyległe:
$\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{32°} = 148°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: $DE = AE$ oznacza, że kąty przy $D$ i przy $A$ (czyli naprzeciw tych boków) są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta $AED$ ( $32°$ ) albo zatrzymanie się na kącie $74°$ (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt $AEC$ — ten po drugiej stronie punktu $E$ .

Zadanie 8 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Przekątne prostokąta

ABCD

przecinają się pod kątem $140°$ — jest to kąt, którego ramiona biegną w stronę wierzchołków

D

C

(czyli kąt „górny”). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt $DCA$ ma miarę $40°$ .	P	F
Kąt $DAC$ ma miarę $70°$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Kluczowa własność: przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Punkt przecięcia $O$ jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków, przez co powstają cztery trójkąty równoramienne.
Zdanie 1 — trójkąt $DOC$ . Kąt przy $O$ to $\textcolor{#16A06A}{140°}$ , a boki $OD$ i $OC$ są równe.
Kąty przy podstawie $DC$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{20°}$ .
Kąt $DCA$ to właśnie kąt $DCO$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{20°}$ — a nie $40°$ — fałsz.
Zdanie 2 — trójkąt $AOD$ . Kąt $AOD$ jest przyległy do kąta $DOC$ : $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°} = \textcolor{#16A06A}{40°}$ .
Boki $OA$ i $OD$ też są równe, więc kąty przy podstawie $AD$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Kąt $DAC$ to kąt $DAO$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{70°}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P. Kontrola: $\textcolor{#16A06A}{20°} + \textcolor{#16A06A}{70°} = 90°$ — i rzeczywiście kąt $DCB$ prostokąta jest prosty ✓

💡 Wskazówka: Przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne — to najważniejsza własność w takich zadaniach. W kwadracie byłyby to dodatkowo trójkąty prostokątne.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie $180° - 140° = 40°$ i uznanie tego za szukany kąt. To kąt przy punkcie przecięcia w sąsiednim trójkącie, a nie kąt przy wierzchołku $C$ .

Zadanie 9 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Trójkąt

ABC

jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku

B

), ale nie jest równoramienny. Odcinek

BE

jest wysokością tego trójkąta (opuszczoną z

B

na przeciwprostokątną

AC

), a

BD

jest dwusieczną kąta prostego (punkt

D

leży na

AC

, za punktem

E

). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Półprosta $BD$ jest dwusieczną kąta $CBE$ .	P	F
Odcinek $BE$ jest wysokością w trójkącie $CBD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zdanie 1. Dwusieczna $BD$ dzieli kąt prosty na dwie równe części: $\angle ABD = \angle DBC = \textcolor{#16A06A}{45°}$ .
Sprawdźmy, ile wynosi kąt $CBE$ . W trójkącie $BEC$ kąt przy $E$ to $\textcolor{#E0453A}{90°}$ (bo $BE$ jest wysokością), więc $\angle CBE = \textcolor{#E0453A}{90°} - \angle BCE = \angle BAC$ .
Aby $BD$ była dwusieczną kąta $CBE$ , musiałoby zachodzić $\angle DBE = \angle DBC = \textcolor{#16A06A}{45°}$ , czyli $\angle CBE = 90°$ — a to niemożliwe wewnątrz trójkąta prostokątnego.
Dwusieczna kąta $CBE$ pokrywałaby się z $BD$ tylko wtedy, gdyby trójkąt był równoramienny — a treść wyraźnie mówi, że nie jest — fałsz.
Zdanie 2. Wysokość to odcinek z wierzchołka, prostopadły do przeciwległego boku.
W trójkącie $CBD$ bok przeciwległy do $B$ to odcinek $CD$ , który leży na prostej $AC$ . Odcinek $BE$ wychodzi z $B$ i jest prostopadły do $AC$ , a punkt $E$ leży między $C$ a $D$ .
$BE$ spełnia więc definicję wysokości trójkąta $CBD$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Wysokość, dwusieczna i środkowa pokrywają się tylko w trójkącie równoramiennym (poprowadzone z wierzchołka między ramionami). Zastrzeżenie „nie jest równoramienny” w treści to wyraźna podpowiedź.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: uznanie, że skoro $BE$ była wysokością w trójkącie $ABC$ , to w innym trójkącie już nią nie jest. Liczy się wyłącznie prostopadłość do przeciwległego boku — a ta się nie zmienia.

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W trójkącie równoramiennym

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

oraz

|\angle ABC| = 30°

, poprowadzono wysokość

CD

(na podstawę

AB

) i dwusieczną kąta

ABC

, przecinającą bok

AC

w punkcie

E

. Wysokość i dwusieczna przecinają się w punkcie

F

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

$\|\angle BEC\| = 45°$	P	F
$\|EF\| = \|EC\|$	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Najpierw wszystkie kąty trójkąta. Skoro $AC = BC$ , kąty przy podstawie są równe: $\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{30°}$ .
Kąt przy wierzchołku: $\angle ACB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{30°} - \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#16A06A}{120°}$ .
Dwusieczna dzieli kąt przy $B$ na pół: $\angle EBC = \textcolor{#16A06A}{15°}$ .
Zdanie 1 — trójkąt $BEC$ . Znamy dwa kąty: $\angle EBC = \textcolor{#16A06A}{15°}$ i $\angle BCE = \angle BCA = \textcolor{#16A06A}{120°}$ .
$\angle BEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{15°} - \textcolor{#16A06A}{120°} = 45°$ ✓ — prawda.
Zdanie 2 — trójkąt $CEF$ . Wysokość $CD$ w trójkącie równoramiennym dzieli kąt przy wierzchołku na pół, więc $\angle ECF = \textcolor{#16A06A}{120°} : 2 = \textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Kąt $\angle CEF$ to ten sam co $\angle BEC$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{45°}$ . Trzeci kąt: $\angle CFE = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{60°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = \textcolor{#16A06A}{75°}$ .
Aby zachodziło $|EF| = |EC|$ , trójkąt musiałby być równoramienny o wierzchołku $E$ , czyli kąty naprzeciw tych boków ( $\textcolor{#16A06A}{60°}$ i $\textcolor{#16A06A}{75°}$ ) musiałyby być równe. Nie są — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Reguła „równe boki leżą naprzeciw równych kątów” działa w obie strony — żeby sprawdzić równość odcinków, wystarczy porównać kąty naprzeciw nich.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: uznanie równości „na oko” z rysunku. Odcinki $EF$ i $EC$ wyglądają podobnie, ale rachunek na kątach ( $60°$ kontra $75°$ ) rozstrzyga jednoznacznie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, C	2. F, P	3. P, P	4. F, P	5. D	6. B, D
7. A	8. F, P	9. F, P	10. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest dwusieczna kąta?

Prosta, która dzieli kąt na dwa równe kąty. Równoważnie: zbiór wszystkich punktów leżących w równych odległościach od obu ramion kąta. Ten drugi opis jest w zadaniach ważniejszy, bo z niego wynika istnienie okręgu wpisanego w trójkąt.

Gdzie przecinają się dwusieczne trójkąta?

W jednym punkcie — środku okręgu wpisanego w trójkąt. Wynika to z własności odległościowej: punkt wspólny dwóch dwusiecznych leży równo daleko od wszystkich trzech boków, więc musi leżeć również na trzeciej dwusiecznej.

Czym różni się dwusieczna od środkowej?

Dwusieczna dzieli na pół kąt, środkowa dzieli na pół przeciwległy bok. Obie wychodzą z wierzchołka, ale trafiają w różne miejsca. Pokrywają się tylko w trójkącie równoramiennym — i to wyłącznie ta poprowadzona z wierzchołka między ramionami.

Jaki kąt tworzą dwusieczne kątów przyległych?

Zawsze prosty, niezależnie od miar tych kątów. Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ , a dwusieczne odcinają po połowie każdego — razem połowę ze $180^\circ$ , czyli $90^\circ$ .

Jak brzmi twierdzenie o dwusiecznej?

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi ramion tego kąta: $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|BC|}$ . Po ludzku — dłuższe ramię „przyciąga” punkt podziału ku sobie.

Czy twierdzenie o dwusiecznej jest w programie szkoły podstawowej?

Nie. Podstawa programowa klas VII–VIII wymaga rozpoznawania dwusiecznej i znajomości jej podstawowych własności (dział „Symetrie”), ale samego twierdzenia o podziale boku w niej nie ma — to materiał szkoły ponadpodstawowej. W podstawie licealnej figuruje ono już z nazwy, na liście twierdzeń, których dowody uczeń powinien poznać.

Czytaj dalej

Geometria płaskaHub działu: figury, kąty, pola i obwody Środkowe w trójkącieDrugi odcinek z wierzchołka i drugi punkt przecięcia Trójkąt równobocznyJedyny, w którym wszystkie te punkty się pokrywają RombJego przekątne są dwusiecznymi kątów Rodzaje kątówKąty przyległe i cała klasyfikacja

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.