Wzory skróconego mnożenia

Odpowiedź: B

1. To jest wzorzec, który wraca niemal co sesję: kwadrat sumy minus kwadrat różnicy tych samych składników. Warto go raz rozpisać do końca, żeby potem rozpoznawać go od razu.
2. Rozwijamy oba kwadraty, traktując $\textcolor{#16A06A}{2a}$ i $\textcolor{#16A06A}{b}$ jako składniki:
3. $(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
4. $(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$
5. Odejmujemy — i tu dzieje się cała rzecz. Składniki $4a^2$ oraz $b^2$ występują w obu nawiasach z tym samym znakiem, więc znikają. Zostaje tylko podwójny iloczyn, i to dwa razy, bo w drugim nawiasie miał minus:
6. $(4a^2 + \textcolor{#E0453A}{4ab} + b^2) - (4a^2 \textcolor{#E0453A}{- 4ab} + b^2) = \textcolor{#E0453A}{4ab + 4ab} = \textcolor{#E0453A}{8ab}$
7. Odpowiedź: B.
8. Kontrola liczbowa — najprostszy sposób, żeby sprawdzić każdą tożsamość z literami. Podstawiamy $a = 1$, $b = 1$: lewa strona to $(2+1)^2 - (2-1)^2 = 9 - 1 = 8$, a $8ab = 8$ ✓. Dla pewności druga para, $a = 2$, $b = 3$: $(4+3)^2 - (4-3)^2 = 49 - 1 = 48$, a $8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ ✓. Odpowiedź $A$ dałaby $32$, a $D$ — $18$.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj sam wynik, a nie drogę: kwadrat sumy minus kwadrat różnicy to poczwórny iloczyn składników, czyli $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$. Tutaj $p = 2a$ i $q = b$, więc od razu $4 \cdot 2a \cdot b = 8ab$. Ta jedna tożsamość rozwiązuje w tym dziale połowę zadań i oszczędza całe rozwijanie.

⚠ Odpowiedź $A$ albo $D$ — czyli policzenie różnicy kwadratów składników zamiast różnicy kwadratów całych nawiasów. Kusi to, bo $4a^2$ i $b^2$ rzeczywiście się w rachunku pojawiają, tylko że się skracają. Drugi błąd: podanie $4ab$ zamiast $8ab$ — zapomnienie, że podwójny iloczyn występuje dwa razy: raz z plusem z pierwszego nawiasu i drugi raz z plusem po opuszczeniu minusa przed drugim.

Odpowiedź: A

1. Ten sam wzorzec co w poprzednim zadaniu, tylko z innymi literami — więc korzystamy z gotowej tożsamości $(p+q)^2 - (p-q)^2 = \textcolor{#16A06A}{4pq}$.
2. Tutaj $p = \textcolor{#16A06A}{3x}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{y}$, zatem:
3. $(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3x} \cdot \textcolor{#16A06A}{y} = \textcolor{#E0453A}{12xy}$
4. Odpowiedź: A.
5. Kontrola przez pełne rozwinięcie, dla pewności: $(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$, a $(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$. Po odjęciu zostaje $6xy + 6xy = \textcolor{#E0453A}{12xy}$ ✓.
6. Kontrola liczbowa: dla $x = 1$, $y = 1$ mamy $(3+1)^2 - (3-1)^2 = 16 - 4 = 12$, a $12xy = 12$ ✓. Ten jeden rachunek odrzuca wszystkie trzy pozostałe odpowiedzi naraz: $B$ dałoby $-12$, $C$ dałoby $2$, $D$ dałoby $4$.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, sprawdź znak. Odjęcie kwadratu różnicy od kwadratu sumy daje zawsze wynik o znaku iloczynu $pq$ — a więc dodatni, gdy oba czynniki są dodatnie. Odpowiedź $B$ różni się od $A$ tylko znakiem i jest przygotowana dla tych, którzy pomylą kolejność odejmowania.

⚠ Odpowiedź $B$ — z odjęcia w odwrotnej kolejności, czyli policzenia $(3x-y)^2 - (3x+y)^2$. Kolejność ma tu znaczenie: pierwszy jest ten nawias, który stoi przed minusem. Drugi błąd: odpowiedzi $C$ i $D$, w których zostaje samo $y^2$ — wtedy skróciło się to, co nie powinno, a przetrwało to, co miało zniknąć.

Odpowiedź: C

1. Znowu ten sam wzorzec, tylko składniki są zapisane w odwrotnej kolejności: liczba najpierw, litera potem. Na wynik to nie wpływa — dodawanie jest przemienne.
2. Podstawiamy do tożsamości $(p+q)^2 - (p-q)^2 = \textcolor{#16A06A}{4pq}$, gdzie $p = \textcolor{#16A06A}{3}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{4a}$:
3. $(3+4a)^2 - (3-4a)^2 = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4a} = \textcolor{#E0453A}{48a}$
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola liczbowa dla $a = 1$: $(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$, a $48a = 48$ ✓. Warto sprawdzić jeszcze $a = 2$, żeby odróżnić wynik liniowy od kwadratowego: lewa strona daje $(3+8)^2 - (3-8)^2 = 121 - 25 = 96$, czyli dwa razy tyle co dla $a=1$ ✓. Odpowiedź $A$ dałaby czterokrotność ($128$), bo zależy od $a^2$ — sam ten test ją wyklucza.

💡 Wskazówka: Wynik takiego odejmowania jest zawsze iloczynem obu składników, więc jeśli jeden z nich jest liczbą, a drugi zawiera literę w pierwszej potędze, to wynik też ma literę w pierwszej potędze. Odpowiedzi z $a^2$ można odrzucić bez liczenia — po samej postaci.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli zero — z przekonania, że skoro nawiasy różnią się tylko znakiem w środku, to ich kwadraty są równe. To prawda tylko wtedy, gdy całe nawiasy są liczbami przeciwnymi, a $3+4a$ i $3-4a$ przeciwne nie są. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $32a^2$ — policzenie różnicy kwadratów samych składników, $(4a)^2 \cdot 2$, zamiast kwadratów całych nawiasów.

Odpowiedź: A

1. Uwaga na kolejność: tym razem najpierw stoi kwadrat różnicy, a dopiero potem odejmujemy kwadrat sumy. To odwrotnie niż w poprzednich zadaniach, więc wynik zmieni znak.
2. Tożsamość ma teraz postać $(p-q)^2 - (p+q)^2 = \textcolor{#16A06A}{-4pq}$, gdzie $p = \textcolor{#16A06A}{2a}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{3}$:
3. $(2a-3)^2 - (2a+3)^2 = -4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2a} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-24a}$
4. Odpowiedź: A.
5. Kontrola przez pełne rozwinięcie: $(2a-3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$, a $(2a+3)^2 = 4a^2 + 12a + 9$. Po odjęciu $4a^2$ i $9$ znikają, a zostaje $-12a - 12a = \textcolor{#E0453A}{-24a}$ ✓.
6. Kontrola liczbowa dla $a = 1$: $(2-3)^2 - (2+3)^2 = 1 - 25 = -24$ ✓. Ta jedna liczba rozstrzyga wszystko: odpowiedź $B$ dałaby $0$, $C$ dałoby $18$, a $D$ dałoby $16 - 24 = -8$.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, ustal znak wyniku. Pierwszy nawias, $2a-3$, ma mniejszą wartość bezwzględną niż drugi dla dodatnich $a$, więc jego kwadrat jest mniejszy — a skoro odejmujemy od mniejszego większy, wynik dla dodatnich $a$ musi wyjść ujemny. To od razu zostawia tylko odpowiedź $A$.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $16a^2 - 24a$ — z podniesienia $2a$ do kwadratu jako $(4a)^2 = 16a^2$ i zatrzymania się na jednym podwójnym iloczynie; samo rozwinięcie pierwszego nawiasu daje $4a^2 - 12a + 9$. Widać to po kontroli liczbowej: dla $a = 1$ wychodzi $-8$ zamiast $-24$. Drugi błąd: podanie $24a$ bez minusa, czyli zignorowanie kolejności odejmowania — pierwszy jest ten nawias, który stoi przed znakiem minus.

Odpowiedź: B

1. Tym razem nie ma czego rozwijać — i o to właśnie chodzi w tym zadaniu. Porównajmy oba nawiasy:
2. $\textcolor{#16A06A}{2 - \sqrt3}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3 - 2}$
3. To są liczby przeciwne: jedna powstaje z drugiej przez zmianę znaku, bo $\sqrt3 - 2 = -(2 - \sqrt3)$.
4. A liczby przeciwne mają równe kwadraty, bo minus podniesiony do kwadratu znika: $(-t)^2 = t^2$.
5. Odejmujemy więc od siebie dwie równe liczby:
6. $\left(2-\sqrt3\right)^2 - \left(\sqrt3-2\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{0}$
7. Odpowiedź: B.
8. Kontrola rachunkiem, żeby to nie było tylko rozumowanie. $\left(2-\sqrt3\right)^2 = 4 - 4\sqrt3 + 3 = 7 - 4\sqrt3$. Oraz $\left(\sqrt3-2\right)^2 = 3 - 4\sqrt3 + 4 = 7 - 4\sqrt3$. Te same liczby ✓, więc różnica wynosi zero. Liczbowo: $7 - 4 \cdot 1{,}732 \approx 0{,}072$ — obie strony dają to samo.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po wzór, spójrz na oba nawiasy obok siebie. Jeśli różnią się wyłącznie kolejnością odejmowania, to są liczbami przeciwnymi, a ich kwadraty są równe — i całe zadanie kończy się na zerze. Ta obserwacja jest tu szybsza i pewniejsza niż jakikolwiek rachunek na pierwiastkach.

⚠ Potraktowanie tego jak poprzednich zadań, czyli jako „kwadrat sumy minus kwadrat różnicy”, i zastosowanie wzoru $4pq$. Tamten wzór wymaga, żeby oba nawiasy miały ten sam pierwszy składnik i różniły się tylko znakiem drugiego — a tutaj składniki są zamienione miejscami, co daje zupełnie inną sytuację. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $6$, z policzenia różnicy $4 - 3$ dwa razy albo z pomylenia kwadratu różnicy z różnicą kwadratów.

Odpowiedź: C

1. Tu skrót nie zadziała: nawiasy mają różne pierwsze składniki ($3x$ i $2x$), więc nic się nie skróci samo i trzeba rozwinąć oba kwadraty.
2. $(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = \textcolor{#16A06A}{9x^2 + 12x + 4}$
3. $(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = \textcolor{#16A06A}{4x^2 - 12x + 9}$
4. Odejmujemy — i tu trzeba uważać, bo minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku:
5. $(9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9) = 9x^2 + 12x + 4 \textcolor{#E0453A}{- 4x^2 + 12x - 9}$
6. Redukujemy wyrazy podobne:
7. $\textcolor{#E0453A}{5x^2} + \textcolor{#E0453A}{24x} \textcolor{#E0453A}{- 5}$
8. Odpowiedź: C.
9. Kontrola liczbowa dla $x = 1$: lewa strona to $(3+2)^2 - (2-3)^2 = 25 - 1 = 24$. Sprawdzamy odpowiedzi: $A$ daje $0$, $B$ daje $18$, $C$ daje $5 + 24 - 5 = 24$ ✓, $D$ daje $16$. Jedno podstawienie rozstrzyga całe zadanie.

💡 Wskazówka: Najpierw sprawdź, czy skrót jest w ogóle dostępny: czy oba nawiasy mają ten sam pierwszy składnik? Tutaj nie mają, więc rozwijasz oba i redukujesz. Największym źródłem pomyłek jest minus przed drugim nawiasem — zapisz sobie osobno całe drugie rozwinięcie ze zmienionymi znakami, zanim zaczniesz sumować.

⚠ Odpowiedź $D$ — z pomyłki w znaku przy wyrazie wolnym: zamiast $4 - 9 = -5$ liczone jest $-4 - 9 = -13$. Drugi błąd: odpowiedzi $A$ i $B$, w których w ogóle nie ma składnika $24x$ — czyli podwójne iloczyny zostały pominięte albo błędnie skrócone, jakby zadanie było tym samym typem co poprzednie.

Odpowiedź: D

1. Zwykły kwadrat różnicy, tylko z pierwiastkiem w drugim składniku. Stosujemy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ dla $a = \textcolor{#16A06A}{5}$ oraz $b = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3}$.
2. Liczymy trzy składniki osobno — to jedyny sposób, żeby się nie pomylić:
3. • $a^2 = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$
4. • $2ab = 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}$
5. • $b^2 = \left(2\sqrt3\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt3\right)^2 = 4 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{12}$
6. Składamy: $25 - 20\sqrt3 + 12 = \textcolor{#E0453A}{37 - 20\sqrt3}$
7. Odpowiedź: D.
8. Kontrola liczbowa: $\sqrt3 \approx 1{,}732$, więc $5 - 2 \cdot 1{,}732 = 1{,}536$, a jej kwadrat to $\approx 2{,}359$. Sprawdzamy $D$: $37 - 20 \cdot 1{,}732 = 37 - 34{,}64 = 2{,}36$ ✓. Odpowiedź $B$ dałaby $25 - 6{,}93 = 18{,}07$ — zupełnie nie tyle.

💡 Wskazówka: Najwięcej pomyłek bierze się z kwadratu składnika z pierwiastkiem. $\left(2\sqrt3\right)^2$ to nie $2 \cdot 3$ ani $2\sqrt3$, tylko $4 \cdot 3 = 12$ — do kwadratu idzie cały składnik, i liczba, i pierwiastek. Policz go osobno i zapisz, zanim wrócisz do reszty wzoru.

⚠ Odpowiedzi $A$ i $B$, w których wyraz wolny został jako $25$ — czyli składnik $b^2 = 12$ w ogóle nie został dodany, a podwójny iloczyn policzono jako $4\sqrt3$ zamiast $20\sqrt3$. To ślad rozwinięcia „na skróty”, w którym pomnożono tylko liczby przy pierwiastkach. Drugi błąd: odpowiedź $C$ — poprawne liczby, ale plus zamiast minusa, czyli zastosowanie wzoru na kwadrat sumy do wyrażenia z różnicą.

Odpowiedź: C

1. Kwadrat sumy, ale tym razem oba składniki mają pierwiastek. Stosujemy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ oraz $b = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3}$.
2. • $a^2 = \left(\sqrt5\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{5}$
3. • $b^2 = \left(2\sqrt3\right)^2 = 4 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{12}$
4. • $2ab = 2 \cdot \sqrt5 \cdot 2\sqrt3 = 4 \cdot \sqrt5 \cdot \sqrt3 = 4\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt{15}}$
5. Składamy: $5 + 4\sqrt{15} + 12 = \textcolor{#E0453A}{17 + 4\sqrt{15}}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola liczbowa: $\sqrt5 \approx 2{,}236$ i $2\sqrt3 \approx 3{,}464$, więc suma to $5{,}700$, a jej kwadrat $\approx 32{,}49$. Sprawdzamy $C$: $\sqrt{15} \approx 3{,}873$, czyli $17 + 4 \cdot 3{,}873 = 17 + 15{,}49 = 32{,}49$ ✓. Odpowiedź $B$ dałaby $17$, czyli o połowę za mało — to ślad pominięcia całego podwójnego iloczynu.

💡 Wskazówka: Podwójny iloczyn dwóch pierwiastków liczy się przez wymnożenie liczb pod pierwiastkami: $\sqrt5 \cdot \sqrt3 = \sqrt{15}$. Pierwiastków się nie dodaje ani nie skraca — $\sqrt5 + \sqrt3$ to nie $\sqrt8$. Ta jedna reguła rozstrzyga całe zadanie, bo pozostałe dwa składniki wychodzą liczbami całkowitymi.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli samo $17$ — z pominięcia podwójnego iloczynu i potraktowania $(a+b)^2$ jako $a^2 + b^2$. To najczęstszy błąd w całym dziale i wart osobnego sprawdzenia: dla $a = b = 1$ mamy $(1+1)^2 = 4$, a $1^2 + 1^2 = 2$ — wzór bez środkowego składnika po prostu nie działa. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $2\sqrt{15}$ zamiast $4\sqrt{15}$ — zgubienie dwójki z czynnika $2\sqrt3$ przy liczeniu podwójnego iloczynu.

Odpowiedź: B

1. Podnoszenie tych liczb do kwadratu byłoby karą, a nie zadaniem — i właśnie dlatego w treści jest różnica kwadratów. Rozkładamy ją na iloczyn wzorem $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
2. $a = \textcolor{#16A06A}{50001}$, $b = \textcolor{#16A06A}{49999}$, więc:
3. • $a - b = 50001 - 49999 = \textcolor{#E0453A}{2}$
4. • $a + b = 50001 + 49999 = \textcolor{#E0453A}{100\,000}$
5. $50001^2 - 49999^2 = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{100\,000} = \textcolor{#E0453A}{200\,000}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola na mniejszych liczbach, gdzie da się policzyć wszystko wprost: $11^2 - 9^2 = 121 - 81 = 40$, a wzór daje $(11-9)(11+9) = 2 \cdot 20 = 40$ ✓. Ta sama struktura — dwie liczby odległe o $2$, symetrycznie po obu stronach okrągłej liczby — i ten sam mechanizm.

💡 Wskazówka: Kiedy w zadaniu widzisz różnicę dwóch kwadratów dużych liczb, nigdy nie licz kwadratów. Rozłóż na iloczyn: różnica tych liczb jest maleńka, a suma okrągła, więc mnożenie robi się pamięciowe. To jedyny sens, w jakim te wzory są „skróconego mnożenia” — mają skracać rachunek, a nie zapis.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $4$ — z policzenia $(50001 - 49999)^2$ zamiast różnicy kwadratów. To dwie zupełnie różne rzeczy: $a^2 - b^2$ kontra $(a-b)^2$. Drugi błąd: pomyłka o rząd wielkości przy sumie — $50001 + 49999$ to $100\,000$, a nie $10\,000$ ani $1\,000\,000$; stąd biorą się odpowiedzi $C$ i $A$.

Odpowiedź: A

1. Kusi, żeby rozwinąć oba kwadraty i mnożyć — ale jest krótsza droga. Oba czynniki są kwadratami, więc można je najpierw połączyć w jeden kwadrat iloczynu:
2. $\left(2\sqrt7 - 5\right)^2 \cdot \left(2\sqrt7 + 5\right)^2 = \left[\left(2\sqrt7 - 5\right)\left(2\sqrt7 + 5\right)\right]^2$
3. W nawiasie kwadratowym mamy teraz różnicę i sumę tych samych składników, czyli wzór $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ z $a = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt7}$ i $b = \textcolor{#16A06A}{5}$:
4. • $a^2 = \left(2\sqrt7\right)^2 = 4 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{28}$
5. • $b^2 = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$
6. $\left(2\sqrt7 - 5\right)\left(2\sqrt7 + 5\right) = 28 - 25 = \textcolor{#E0453A}{3}$
7. Zostaje podnieść to do kwadratu: $\textcolor{#E0453A}{3}^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$
8. Odpowiedź: A.
9. Kontrola liczbowa: $2\sqrt7 \approx 5{,}2915$, więc pierwszy nawias to $0{,}2915$, a drugi $10{,}2915$. Kwadraty: $0{,}085$ oraz $105{,}91$, a ich iloczyn $\approx 9{,}00$ ✓. Warto zauważyć, że odpowiedź $B$, czyli $3$, to wynik przed ostatnim podniesieniem do kwadratu — dystraktor dla tych, którzy zapomną, że kwadraty były dwa.

💡 Wskazówka: Reguła $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$ pozwala najpierw pomnożyć podstawy, a dopiero potem podnieść do kwadratu — i to zwykle radykalnie skraca rachunek. Tutaj po pomnożeniu podstaw zostaje różnica kwadratów, czyli zwykłe $28 - 25$. Zawsze warto sprawdzić, czy czynniki nie tworzą razem takiej pary.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $3$ — poprawne pomnożenie podstaw i zapomnienie o ostatnim kroku, czyli podniesieniu wyniku do kwadratu. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $2809$ — to $53^2$, wynik pomnożenia $(28+25)$ zamiast $(28-25)$, czyli zastosowania wzoru na różnicę kwadratów z plusem.