Granice funkcji — obliczanie granicy w punkcie, granicy w nieskończoności i badanie ciągłości

\(\displaystyle \frac{17}{7}=2{,}428571\ldots\), więc kolejne cyfry to \(4\), \(2\), \(8\).

Rozkładamy licznik i mianownik: \[x^{5}-2x^{4}+x^{2}-3x+2=(x-2)(x^{4}+x-1),\] \[x^{3}-2x^{2}+3x-6=(x-2)(x^{2}+3).\] Po skróceniu czynnika \(x-2\) otrzymujemy \[\lim_{x\to2}\frac{x^{4}+x-1}{x^{2}+3}=\frac{16+2-1}{4+3}=\frac{17}{7}.\]

2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.1R) Zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.

**C.** \(-1\)

Granica jest liczona przy \(x\to-\infty\), więc rozpatrujemy wyłącznie \(x<0\). Kluczowa jest tu równość \[\sqrt{x^{2}}=|x|=-x\qquad\text{dla }x<0\] — pominięcie wartości bezwzględnej prowadzi do błędnej odpowiedzi D. Wyłączamy \(x^{2}\) spod pierwiastka: \[\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac1{x^{2}}\right)}}{x} =\frac{|x|\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}}{x}=\frac{-x\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}}{x}=-\sqrt{1+\frac1{x^{2}}}.\] Gdy \(x\to-\infty\), mamy \(\frac1{x^{2}}\to0\), więc \[\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=-\sqrt{1+0}=-1.\] **Odpowiedź.** C. \(-1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 11.1R) Zdający oblicza granice funkcji.

**C.** \(\dfrac65\)

Bezpośrednie podstawienie daje symbol nieoznaczony \(\tfrac00\), więc rozkładamy licznik i mianownik na czynniki. W liczniku stosujemy wzór na różnicę sześcianów: \[x^{3}-8=(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right),\qquad 2x^{2}+2x-12=2\left(x^{2}+x-6\right)=2(x-2)(x+3).\] Dla \(x\neq2\) można skrócić czynnik \(x-2\): \[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}{2(x-2)(x+3)}=\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+2x+4}{2(x+3)}=\frac{4+4+4}{2\cdot5}=\frac{6}{5}.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.1R) Zdający oblicza granice funkcji […].

\[\lim_{x\to3^{-}}\frac{|x-3|}{x^{2}-9}=-\frac16.\]

Granica jest jednostronna: \(x\to3^{-}\), więc rozpatrujemy wyłącznie \(x<3\). Dla takich \(x\) zachodzi \(x-3<0\), a zatem z definicji wartości bezwzględnej \[|x-3|=-(x-3).\] Mianownik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów: \[x^{2}-9=(x-3)(x+3).\] Dla \(x\in(-3,3)\) mamy \(x-3\ne0\) oraz \(x+3\ne0\), więc możemy skrócić czynnik \(x-3\): \[\frac{|x-3|}{x^{2}-9}=\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}.\] Otrzymane wyrażenie jest ciągłe w punkcie \(3\), bo mianownik dąży do \(6\ne0\), więc granicę obliczamy przez podstawienie: \[\lim_{x\to3^{-}}\frac{-1}{x+3}=\frac{-1}{6}=-\frac16.\] Zauważmy, że granica prawostronna jest inna: dla \(x>3\) mamy \(|x-3|=x-3\) i wyrażenie upraszcza się do \(\frac1{x+3}\), które dąży do \(\frac16\). Granica obustronna w punkcie \(3\) zatem nie istnieje — dlatego polecenie mówi wyłącznie o granicy lewostronnej. **Odpowiedź.** \(-\frac16\)

**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: \(-\frac16\) **1 pkt** – zapisanie wyrażenia \(\frac{|x-3|}{x^{2}-9}\) w postaci \(\frac{-1}{x+3}\) dla \(x\in(-3,3)\) ALBO – zapisanie wyrażenia \(\left|\frac{|x-3|}{x^{2}-9}+\frac16\right|\) w postaci \(\frac16\cdot\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\) dla \(x\in(-3,3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymaganie ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymaganie szczegółowe:** XIII.R1) Zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne.

\[-\infty.\]

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Dla \(x\neq2\) mamy \[\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}=\frac{x^2+2x+4}{x-2}.\] Gdy \(x\to2^-\), licznik dąży do \(12>0\), a mianownik do zera od strony ujemnej. Zatem \[\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=-\infty.\]

**2 pkt** – poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: \(-\infty\) **1 pkt** – zapisanie wyrażenia w postaci \(\frac{x^2+2x+4}{x-2}\) albo poprawne zastosowanie reguły de l'Hospitala **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R1) Zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne.

**C.** \(a=15\)

Licznik i mianownik są wielomianami trzeciego stopnia, więc granica jest ilorazem współczynników przy \(x^3\): \[\lim_{x\to+\infty}\frac{1+3a+2ax+ax^3}{3+4x+5x^2+5x^3}=\frac a5.\] Z warunku \(\frac a5=3\) otrzymujemy \[a=15.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.1 R) Zdający oblicza granice funkcji.

**D.** \(1\)

Podstawienie \(x=1\) daje symbol nieoznaczony \(\frac00\), bo zeruje się zarówno licznik, jak i mianownik. Wspólny czynnik \(x-1\) trzeba więc najpierw skrócić. Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę sześcianów: \[x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right).\] Dla \(x\ne1\) skracamy czynnik \(x-1\): \[\frac{x^{3}-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^{2}+x+1}{x+2}.\] Otrzymana funkcja wymierna jest ciągła w punkcie \(1\), bo jej mianownik dąży do \(3\ne0\). Granicę obliczamy przez podstawienie: \[\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x+1}{x+2}=\frac{1+1+1}{1+2}=\frac33=1.\] **Odpowiedź.** D. \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** R11.1) Zdający oblicza granice funkcji i granice jednostronne, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.

**B.** \(\frac1{16}\)

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki: \[0{,}5x^2+3{,}5x+6=\frac12(x+3)(x+4),\] \[-x^2+2x+15=(x+3)(5-x).\] Dla \(x\ne-3\) skracamy czynnik \(x+3\), więc \[\lim_{x\to-3}\frac{0{,}5x^2+3{,}5x+6}{-x^2+2x+15}=\lim_{x\to-3}\frac{x+4}{2(5-x)}=\frac1{16}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R11.1 obliczanie granic funkcji z wykorzystaniem działań na granicach i własności funkcji ciągłych.

**C.** \(0\)

Wyrażenie \(\frac{x^3+8}{x^2-4}-x\) prowadzi przy \(x\to+\infty\) do symbolu nieoznaczonego \(\infty-\infty\), więc najpierw je upraszczamy. Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki: \[x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right),\qquad x^2-4=(x+2)(x-2).\] Dla dostatecznie dużych \(x\), w szczególności dla \(x>2\), mamy \(x+2\ne0\) i \(x-2\ne0\), więc czynnik \(x+2\) można skrócić: \[\frac{x^3+8}{x^2-4}=\frac{x^2-2x+4}{x-2}.\] Wykonujemy dzielenie z resztą: \(x^2-2x+4=(x-2)\cdot x+4\), zatem \[\frac{x^2-2x+4}{x-2}=x+\frac4{x-2},\] a stąd \[\frac{x^3+8}{x^2-4}-x=x+\frac4{x-2}-x=\frac4{x-2}.\] Otrzymaliśmy wyrażenie o stałym liczniku i mianowniku rosnącym nieograniczenie, więc \[\lim_{x\to+\infty}\frac4{x-2}=0.\] **Odpowiedź.** C. \(0\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie granic funkcji z wykorzystaniem przekształceń algebraicznych i twierdzeń o działaniach na granicach.

**D.** \(+\infty\)

Rozkładamy mianownik: \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\] Gdy \(x\to3^-\), licznik \(-x+2\) dąży do \(-1\), czynnik \(x-2\) jest dodatni, a \(x-3\) dąży do zera przez wartości ujemne. Mianownik dąży więc do \(0^-\), zatem \[\lim_{x\to3^-}\frac{-x+2}{(x-2)(x-3)}=+\infty.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R11.1 zdający oblicza granice funkcji, w tym granice jednostronne, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.

**A.** \(-\infty\).

Gdy \(x\to-3^-\), licznik \(-5x\) dąży do dodatniej liczby \(15\), natomiast mianownik \(x+3\) dąży do zera przez wartości ujemne. Iloraz dąży więc do \(-\infty\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 11.1. R. Zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych.

Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\), bo \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\); nie jest natomiast ciągła w punkcie \(x=2\), bo \(\lim_{x\to2}f(x)=2\neq3=f(2)\).

**Krok \(1\).** Funkcja jest zadana wzorem sklejanym: osobno dla \(x\neq1,2\), osobno w samych punktach \(1\) i \(2\). Ciągłość w punkcie \(x_0\) sprawdzamy zawsze tak samo: liczymy granicę \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) i porównujemy ją z wartością \(f(x_0)\). Jeśli obie liczby są równe, funkcja jest w tym punkcie ciągła. **Krok \(2\).** Zacznijmy od uproszczenia wzoru z pierwszego wiersza. Mianownik jest trójmianem, więc rozkładamy go na czynniki: \(\Delta=9-8=1\), pierwiastki to \(1\) i \(2\), czyli \[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy ten rozkład i skracamy: \[f(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=x\qquad\text{dla }x\neq1\text{ i }x\neq2.\] To skrócenie wolno wykonać właśnie dlatego, że rozważamy tylko \(x\) różne od \(1\) i od \(2\), a więc nie dzielimy przez zero. **Krok \(4\).** Granicę liczymy po wzorze z pierwszego wiersza, bo granica opisuje zachowanie funkcji w pobliżu punktu, a nie w samym punkcie. Zatem \[\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x=1.\] **Krok \(5\).** Wartość w punkcie odczytujemy z drugiego wiersza wzoru: \(f(1)=1\). Ponieważ \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\), funkcja jest ciągła w punkcie \(x=1\). **Krok \(6\).** Tak samo postępujemy w drugim punkcie: \[\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}x=2,\qquad f(2)=3.\] Liczby \(2\) i \(3\) są różne, więc warunek ciągłości nie jest spełniony. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to wstawienie \(x=2\) do skróconego wzoru \(f(x)=x\) i uznanie, że \(f(2)=2\). Skrócony wzór obowiązuje tylko poza punktami \(1\) i \(2\); wartości w tych punktach są narzucone osobno i to one decydują o ciągłości. **Odpowiedź.** Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\) (bo \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\)), a nie jest ciągła w punkcie \(x=2\) (bo \(\lim_{x\to2}f(x)=2\neq3=f(2)\)).

**1. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(\frac{x(x-1)(x-2)}{x^{2}-3x+2}\) w prostszej postaci. Odp. \(x\) **2. (1 pkt)** – obliczenie granicy funkcji \(f\) w punkcie \(x=1\). Odp. \(1\) **3. (1 pkt)** – obliczenie granicy funkcji \(f\) w punkcie \(x=2\). Odp. \(2\) **4. (2 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi. Odp. Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\); funkcja \(f\) nie jest ciągła w punkcie \(x=2\). Za każdą część odpowiedzi – \(1\) punkt.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a=-4\) i \(b=4\).

Funkcja \(g\) jest ciągła w punkcie \(x=2\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica \(\lim\limits_{x\to2}g(x)\) i jest ona równa \(g(2)=b\). Mianownik \(x-2\) dąży do zera, więc granica ilorazu może być skończona tylko wtedy, gdy licznik również dąży do zera: \[\lim_{x\to2}\left(x^2+a\right)=4+a=0,\qquad a=-4.\] Dla \(a=-4\) i \(x\neq2\) \[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\] więc \(\lim\limits_{x\to2}g(x)=4\). Warunek ciągłości daje \(b=4\). Gdyby \(a\neq-4\), licznik w punkcie \(x=2\) byłby różny od zera, a granica nie istniałaby (funkcja byłaby nieograniczona w otoczeniu \(2\)). **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=4\).

**[…] ([…] pkt)** – […] \(a=-4\) bez uzasadnienia) **10. (1 pkt)** – obliczenie granicy danej funkcji w punkcie \(x=2\): \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=4\). **11. (1 pkt)** – porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji \(g\) w punkcie \(x=2\): \(\lim\limits_{x\to 2}g(x)=4=g(2)=b\) oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(g\) jest ciągła w punkcie \(x=2\) gdy \(a=-4\) oraz \(b=4\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.