Pochodna funkcji — obliczanie pochodnej, interpretacja, pochodna iloczynu i ilorazu

\(a=2\)

**Krok \(1\).** Metoda: wyznaczamy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu, a następnie podstawiamy \(x=a\) i rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą \(a\). **Krok \(2\).** Dla \(f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\), gdzie \(x\neq 1\), mamy \[f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-\left(ax^{2}+x\right)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy licznik: \[2ax^{2}-2ax+x-1-ax^{2}-x=ax^{2}-2ax-1,\qquad\text{czyli}\qquad f'(x)=\frac{ax^{2}-2ax-1}{(x-1)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(x=a\) (musi być \(a\neq 1\), bo w punkcie \(1\) funkcja nie jest określona): \[f'(a)=\frac{a\cdot a^{2}-2a\cdot a-1}{(a-1)^{2}}=\frac{a^{3}-2a^{2}-1}{(a-1)^{2}}.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy warunek \(f'(a)=-\frac{1}{2}a\) i mnożymy obie strony przez \(2(a-1)^{2}\neq 0\): \[2\left(a^{3}-2a^{2}-1\right)=-a(a-1)^{2}.\] **Krok \(6\).** Rozwijamy prawą stronę: \(-a\left(a^{2}-2a+1\right)=-a^{3}+2a^{2}-a\). Stąd \[2a^{3}-4a^{2}-2+a^{3}-2a^{2}+a=0,\qquad 3a^{3}-6a^{2}+a-2=0.\] **Krok \(7\).** Grupujemy wyrazy: \[3a^{2}(a-2)+(a-2)=0,\qquad (a-2)\left(3a^{2}+1\right)=0.\] **Krok \(8\).** Czynnik \(3a^{2}+1\) jest dodatni dla każdego \(a\), więc jedynym rozwiązaniem jest \(a=2\), a warunek \(a\neq 1\) jest spełniony. **Uwaga.** Mianownik \((a-1)^{2}\) jest dodatni, więc mnożenie przez niego jest bezpieczne, ale trzeba osobno odnotować, że dla \(a=1\) pochodna \(f'(a)\) w ogóle nie istnieje. **Odpowiedź.** \(a=2\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-(ax^{2}+x)\cdot 1}{(x-1)^{2}}\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), np. \[\frac{(2a^{2}+1)(a-1)-(a^{3}+a)\cdot 1}{(a-1)^{2}}=-\frac{1}{2}a\] **3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=2\).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej.

\(a=2\)

Dla \(x\neq1\) mamy \[f'(x)=\frac{ax^{2}-2ax-1}{(x-1)^{2}}.\] Warunek \(f'(a)=-\frac{1}{2}a\), przy \(a\neq1\), prowadzi do równania \[(3a^{2}+1)(a-2)=0.\] Ponieważ \(3a^{2}+1>0\) dla \(a\in\mathbb{R}\), jedynym rozwiązaniem jest \(a=2\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\), np. \(f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-(ax^{2}+x)\cdot 1}{(x-1)^{2}}\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a\), np. \[\frac{(2a^{2}+1)(a-1)-(a^{3}+a)\cdot 1}{(a-1)^{2}}=-\frac{1}{2}a\] **3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a=2\).

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.2R) Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.

**C.** \(3\)

Dla \(x\ne2\) rozkładamy różnicę sześcianów: \[f(x)=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4.\] Stąd \[f'(x)=2x+2,\qquad f'\left(\frac12\right)=2\cdot\frac12+2=3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R11.2 obliczanie pochodnych funkcji wymiernych.

**C.** \(f'(x)=\frac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}\)

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu: \[f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}.\] Po uporządkowaniu licznika otrzymujemy \[f'(x)=\frac{3x^2+3-6x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R11.1 obliczanie pochodnych funkcji z zastosowaniem wzoru na pochodną ilorazu.

\(f'(10)=\frac{295}{2601}\approx0{,}1134\). Z reguły różniczkowania ilorazu \(f'(x)=\frac{118x}{\left(x^2+2\right)^2}\).

**Krok \(1\).** Funkcja jest ilorazem dwóch wielomianów, więc różniczkujemy ją wzorem na pochodną ilorazu: \[\left(\frac{g}{h}\right)'=\frac{g'h-gh'}{h^2}.\] Dopiero do gotowego wzoru pochodnej wstawimy \(x=10\). **Krok \(2\).** Wypisujemy licznik i mianownik oraz ich pochodne: \[g(x)=25x^2-9,\qquad g'(x)=50x,\] \[h(x)=x^2+2,\qquad h'(x)=2x.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy do wzoru: \[f'(x)=\frac{50x\left(x^2+2\right)-\left(25x^2-9\right)\cdot2x}{\left(x^2+2\right)^2}.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy licznik: \[50x^3+100x-\left(50x^3-18x\right)=50x^3+100x-50x^3+18x=118x.\] **Krok \(5\).** Zatem \[f'(x)=\frac{118x}{\left(x^2+2\right)^2}.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy \(x=10\). Najpierw mianownik: \(10^2+2=102\), więc \(\left(x^2+2\right)^2=102^2=10404\). Licznik: \(118\cdot10=1180\). **Krok \(7\).** Otrzymujemy \[f'(10)=\frac{1180}{10404}=\frac{295}{2601}\approx0{,}1134\] (ułamek skróciliśmy przez \(4\)). **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu pomylić: kolejność wyrazów w liczniku (jest \(g'h-gh'\), odejmowanie nie jest przemienne) oraz to, że mianownik trzeba podnieść do kwadratu. Wygodnie też najpierw uprościć wzór pochodnej, a dopiero potem podstawiać liczbę. **Odpowiedź.** \(f'(10)=\dfrac{295}{2601}\approx0{,}1134\).

**1 pkt** – gdy zdający wyznaczył pochodną funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{118x}{[…]}\). **2 pkt** – gdy zdający obliczył wartość wyznaczonej pochodnej dla argumentu \(x=10\): \(f'(10)=\frac{1180}{10404}=\frac{295}{2601}\approx 0{,}113417\).

Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie pochodnej funkcji wymiernej z użyciem reguły ilorazu oraz wartości pochodnej w punkcie.

**C.** \(f'(\sqrt2+4)=-1\)

Dla \(f(x)=\frac{x}{2x-8}\) reguła ilorazu daje \[f'(x)=\frac{(2x-8)-2x}{(2x-8)^2}=\frac{-8}{(2x-8)^2}=\frac{-2}{(x-4)^2}.\] Po podstawieniu \(x=\sqrt2+4\) otrzymujemy \(f'(\sqrt2+4)=\frac{-2}{(\sqrt2)^2}=-1\).

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** rachunek różniczkowy - pochodna ilorazu i obliczanie wartości pochodnej.

**A.** \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)

**Krok \(1\).** Funkcja jest ilorazem dwóch wielomianów, więc różniczkujemy ją wzorem na pochodną ilorazu: \[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.\] Kolejność w liczniku jest istotna — to **nie** jest wyrażenie symetryczne. **Krok \(2\).** Nazywamy części i liczymy ich pochodne: \[u=3x-1,\quad u'=3,\qquad v=x^{2}+4,\quad v'=2x.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru: \[f'(x)=\frac{3\cdot(x^{2}+4)-(3x-1)\cdot 2x}{(x^{2}+4)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Porządkujemy licznik. Najpierw wymnażamy oba iloczyny: \[3(x^{2}+4)=3x^{2}+12,\qquad (3x-1)\cdot2x=6x^{2}-2x.\] Teraz odejmujemy **cały** drugi iloczyn: \[3x^{2}+12-(6x^{2}-2x)=3x^{2}+12-6x^{2}+2x=-3x^{2}+2x+12.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy pochodną: \[f'(x)=\frac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}.\] **Krok \(6\).** Szybka kontrola przez podstawienie \(x=0\): ze wzoru z Kroku \(3\) mamy \(f'(0)=\frac{3\cdot4-(-1)\cdot0}{16}=\frac{12}{16}\), a w naszym wyniku licznik dla \(x=0\) wynosi \(12\). Zgadza się, więc odpowiedzi B i C (z \(-12\)) odpadają. **Uwaga.** Minus przed drugim iloczynem dotyczy obu jego wyrazów: \(-(6x^{2}-2x)=-6x^{2}+2x\). Zgubienie tego znaku prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi B. **Odpowiedź.** A: \(f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** rachunek różniczkowy - pochodna ilorazu funkcji.

Należy zakodować cyfry \(3,5,2\).

Z reguły różniczkowania ilorazu \[f'(x)=\frac{x^2+6-2x(x-8)}{(x^2+6)^2}=\frac{-x^2+16x+6}{(x^2+6)^2}.\] Dla \(x=\frac12\) otrzymujemy \[f'\left(\frac12\right)=\frac{55/4}{(25/4)^2}=\frac{44}{125}=0{,}352.\]

**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(3,5,2\) **1 pkt** – poprawna pochodna albo wartość \(\frac{44}{125}\) z błędem kodowania **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 11.2 R - obliczanie pochodnych funkcji wymiernych.

\[f'(1)=\frac{74}{25}=2{,}96.\] Należy zakodować cyfry \(2,9,6\).

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu: \[f'(x)=\frac{8x^3(6-x^2)+2x(2x^4+15)}{(6-x^2)^2}=\frac{2x(-2x^4+24x^2+15)}{(6-x^2)^2}.\] Dla \(x=1\) otrzymujemy \[f'(1)=\frac{2(-2+24+15)}{5^2}=\frac{74}{25}=2{,}96.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna wartość \(f'(1)=2{,}96\) i kod \(296\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 11.2. R. Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.

\[f'(12)=\frac34.\]

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) dla \(u(x)=x^2\) i \(v(x)=x-4\): \[f'(x)=\frac{2x(x-4)-x^2\cdot1}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\] dla każdego \(x\neq4\). Podstawiamy \(x=12\): \[f'(12)=\frac{144-96}{8^2}=\frac{48}{64}=\frac34.\] **Odpowiedź.** \(f'(12)=\frac34\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy poprawnie poda wzór funkcji \(f'\). **2 pkt** – gdy obliczy wartość pochodnej dla \(x=12\): \(f'(12)=\frac{3}{4}\).

Zadanie 9. (0–2) x2 Funkcja f jest określona wzorem f (x)  dla każdej liczby rzeczywistej x  4 . Oblicz x  4 pochodną funkcji f w punkcie x  12 . II. Wykorzystanie i interpretowanie R11.2. Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych. reprezentacji Rozwiązanie: 2x  x  4  x2 x2  8x f (x)   ,  x  42  x  42 144  96 3 f (12)   . 64 4 Schemat oceniania Zdający otrzymuje – 1 pkt 2x  x  4  x2 gdy poprawnie poda wzór funkcji f  , np. f (x)   x  42 Zdający otrzymuje – 2 pkt 3 gdy obliczy wartość pochodnej dla x  12 : f (12) 