Zadania z sumy nieskończonego ciągu geometrycznego

Niech r będzie różnicą ciągu. Z równania \(7\) + (\(7\) + r) + (\(7\) + \(2r\)) + (\(7\) + \(3r\)) = \(54\) otrzymujemy \(28\) + \(6r\) = \(54\), więc r = \(\frac{13}{3}\). Zatem \(a_{2}\) = \(\frac{7 + 13}{3 = 34}\)/\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Kolejne wyrazy to \(7\), \(7+r\), \(7+2r\) oraz \(7+3r\), więc warunek na sumę daje \[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54,\qquad 28+6r=54,\qquad 6r=26,\qquad r=\frac{13}3.\] Drugi wyraz jest zatem równy \[a_2=7+\frac{13}3=\frac{21+13}{3}=\frac{34}3.\] **Odpowiedź.** \(a_2=\frac{34}3\)

1 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą albo obliczenie a₃ = 47/3 lub a₄ = 20. 2 pkt: poprawna metoda i wynik a₂ = 34/3.

IV. Rozumowanie i argumentacja. VI.5) Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów. Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\). Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni: \[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\] Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania. Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\] **Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO – obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO – obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO – obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\] **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\). **Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\): \[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\] **Krok \(3\).** Warunek geometryczności: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\): \[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\] Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony. **Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego: \[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\] **Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\). **Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). 4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**A.** \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\sqrt{3}-1\), zatem \(\lvert q\rvert<1\). Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy \[S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{2-\sqrt{3}}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}.\]

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_{n}=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\]

Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego suma wszystkich wyrazów istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q|<1\); dopiero przy tym założeniu wolno pisać \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Zatem \[\frac{a_1}{1-q}=14,\qquad a_1=14(1-q).\] Sześciany wyrazów, czyli \(a_1^{3},a_1^{3}q^{3},a_1^{3}q^{6},\ldots\), też tworzą ciąg geometryczny — o pierwszym wyrazie \(a_1^{3}\) i ilorazie \(q^{3}\). Z \(|q|<1\) wynika \(|q^{3}|<1\), więc i ten szereg jest zbieżny: \[\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392.\] Podstawiamy \(a_1=14(1-q)\) i korzystamy z \(1-q^{3}=(1-q)(1+q+q^{2})\): \[\frac{2744(1-q)^{3}}{(1-q)(1+q+q^{2})}=392,\qquad \frac{7(1-q)^{2}}{1+q+q^{2}}=1.\] Stąd \(7-14q+7q^{2}=1+q+q^{2}\), czyli \(6q^{2}-15q+6=0\), a po podzieleniu przez \(3\) \[2q^{2}-5q+2=0,\qquad q=2\ \text{albo}\ q=\frac12.\] Wartość \(q=2\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Dla \(q=\frac12\) otrzymujemy \(a_1=14\cdot\frac12=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie \(a_1\) w zależności od \(q\): \(a_1=14(1-q)\) ALBO zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) oraz \(q\), które wynikają z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów wszystkich wyrazów ciągu, np. \(\frac{a_1}{1-q}=14\) oraz \(\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)), np. \(\frac{\left[14\cdot(1-q)\right]^{3}}{1-q^{3}}=392\), \(\frac{a_1^{3}}{1-\left(1-\frac{a_1}{14}\right)^{3}}=392\). **3 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_n=7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_n=14\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje równanie z jedną niewiadomą \(q\), które nie ma rozwiązań spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jako sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

**A.** \(\displaystyle \frac{3}{4}\)

Iloraz \(q=\frac23\) spełnia warunek \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma wyraża się wzorem \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Podstawiamy dane: \[\frac94=\frac{a_1}{1-\frac23}=\frac{a_1}{\frac13}=3a_1.\] Stąd \(a_1=\frac{9}{4\cdot3}=\frac34\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_1=\frac34\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]

Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek: \[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\] Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\). Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę: \[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\] Podstawiamy \(q=\frac25\): \[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\] Wzór ogólny ma zatem postać \[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\] **Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **3 pkt** – obliczenie ilorazu oraz zapisanie równania \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\) **2 pkt** – zapisanie dwóch równań pozwalających obliczyć \(q\) i \(a_1\) albo poprawne obliczenie \(q\) **1 pkt** – zapisanie równania \(q^2+1=\frac{29}{25}\) albo \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\): \[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\] Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać \[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\] czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\) \[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\] Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\). Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\] Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\): \[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z warunków ciągu arytmetycznego otrzymujemy różnicę \(r=4\). Wtedy \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), więc \(q=\frac{3}{7}\). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

**Krok \(1\).** Metoda: wszystkie potrzebne wyrazy ciągu arytmetycznego wyrażamy przez znany wyraz \(a_{6}\) i różnicę \(r\), korzystając ze wzoru \(a_{k}=a_{6}+(k-6)r\). **Krok \(2\).** Mamy \(a_{6}=15\), a ponadto \[a_{3}=15-3r,\qquad a_{8}=15+2r,\qquad a_{15}=15+9r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy do warunku \(a_{15}=a_{3}\cdot(a_{8}-6)\): \[15+9r=(15-3r)(15+2r-6)=(15-3r)(2r+9).\] **Krok \(4\).** Rozwijamy prawą stronę: \((15-3r)(2r+9)=30r+135-6r^{2}-27r=-6r^{2}+3r+135\). Stąd \[6r^{2}+6r-120=0,\qquad r^{2}+r-20=0.\] **Krok \(5\).** \(\Delta=1+80=81\), więc \(r=\frac{-1-9}{2}=-5\) lub \(r=\frac{-1+9}{2}=4\). Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i zostaje \(r=4\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego: \[b_{1}=a_{11}=a_{6}+5r=15+20=35,\qquad b_{2}=a_{6}=15,\qquad q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.\] **Krok \(7\).** Ponieważ \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\), szereg geometryczny jest zbieżny i suma wszystkich wyrazów istnieje: \[S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}.\] **Uwaga.** Sformułowanie o sumie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego ma sens tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\) — sprawdzenie tego warunku jest częścią rozwiązania, a nie formalnością. Gdyby odrzucona wartość \(r=-5\) została przyjęta, otrzymalibyśmy \(q=-\frac{3}{2}\) i szereg rozbieżny. **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}{4}\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(27\) oraz \(\frac{27}{2}\).

Z warunków zadania wyznaczamy iloczyn \(a_1a_3\). Podnosimy pierwszą równość do kwadratu: \[(a_1+a_3)^{2}=a_1^{2}+2a_1a_3+a_3^{2},\qquad 400=328+2a_1a_3,\qquad a_1a_3=36.\] Liczby \(a_1\) i \(a_3\) są więc pierwiastkami równania \(t^{2}-20t+36=0\), skąd \[\{a_1,a_3\}=\{2,18\}.\] **Przypadek 1: \(a_1=2\), \(a_3=18\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=9\), czyli \(q=3\) albo \(q=-3\). W obu przypadkach \(|q|\geq1\), więc ciąg nie jest zbieżny i warunki zadania nie są spełnione. Ten przypadek odrzucamy. **Przypadek 2: \(a_1=18\), \(a_3=2\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{2}{18}=\frac19\), czyli \(q=\frac13\) albo \(q=-\frac13\). Dla obu wartości \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Dla \(q=\frac13\): \[S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.\] Dla \(q=-\frac13\): \[S=\frac{18}{1+\frac13}=\frac{18}{\frac43}=\frac{27}2.\] **Odpowiedź.** \(S=27\) albo \(S=\frac{27}2\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^{2}+(20-a_1)^{2}=328\), \((20-a_3)^{2}+a_3^{2}=328\), \(\frac{400}{(q^{2}+1)^{2}}\cdot(1+q^{4})=328\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^{2}=36\), \(20^{2}-2a_2^{2}=328\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO obliczenie \(q^{2}\): \(q^{2}=9\) oraz \(q^{2}=\frac{1}{9}\), ALBO zapisanie alternatywy równań \(-\frac{6}{q}-6q=20\) lub \(\frac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie równania \(\frac{36}{q^{2}}+36q^{2}=328\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{27}{2}\) lub \(27\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(S=\frac{18}{1-1/3}=27\) oraz \(S=\frac{18}{1+1/3}=\frac{27}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: z sumy i sumy kwadratów wyznaczamy iloczyn \(a_{1}a_{3}\) (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia), a potem obie liczby jako pierwiastki równania kwadratowego. Na końcu sprawdzamy, dla których ilorazów szereg jest zbieżny. **Krok \(2\).** Ze wzoru \((a_{1}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}\) otrzymujemy \[2a_{1}a_{3}=(a_{1}+a_{3})^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\right)=400-328=72,\qquad a_{1}a_{3}=36.\] **Krok \(3\).** Liczby \(a_{1}\) i \(a_{3}\) mają sumę \(20\) i iloczyn \(36\), więc są pierwiastkami równania \[t^{2}-20t+36=0,\qquad \Delta=400-144=256,\qquad t=\frac{20-16}{2}=2\ \ \text{lub}\ \ t=\frac{20+16}{2}=18.\] **Krok \(4\).** W ciągu geometrycznym \(a_{3}=a_{1}q^{2}\), a ponieważ \(a_{1}\neq 0\), mamy \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). **Krok \(5\).** Przypadek \(a_{1}=2\), \(a_{3}=18\). Wtedy \(q^{2}=9\), czyli \(q=3\) lub \(q=-3\). Ponieważ \(\lvert q\rvert\gt 1\) i \(a_{1}\neq 0\), ciąg nie jest zbieżny — ten przypadek odrzucamy. **Krok \(6\).** Przypadek \(a_{1}=18\), \(a_{3}=2\). Wtedy \(q^{2}=\frac{1}{9}\), czyli \(q=\frac{1}{3}\) lub \(q=-\frac{1}{3}\). W obu sytuacjach \(\lvert q\rvert\lt 1\), więc ciąg jest zbieżny (do zera) i suma wszystkich wyrazów istnieje. Liczymy ją ze wzoru \(S=\frac{a_{1}}{1-q}\). **Krok \(7\).** Dla \(q=\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27.\] **Krok \(8\).** Dla \(q=-\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{18}{\frac{4}{3}}=\frac{27}{2}.\] **Uwaga.** Warunek zbieżności ciągu (a więc i istnienia sumy szeregu) to \(\lvert q\rvert\lt 1\). To on eliminuje przypadek \(a_{1}=2\) — bez tego warunku otrzymalibyśmy cztery pary \((a_{1},q)\), z których dwie są bezużyteczne. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(27\) (gdy \(q=\frac{1}{3}\)) albo \(\frac{27}{2}\) (gdy \(q=-\frac{1}{3}\)).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{27}{2}\) lub \(27\). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO – obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO – obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO – obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO – obliczenie \(q^2\): \(q^2=9\) oraz \(q^2=\tfrac{1}{9}\), ALBO – zapisanie alternatywy równań \(-\tfrac{6}{q}-6q=20\) lub \(\tfrac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie równania \(\tfrac{36}{q^2}+36q^2=328\) (dla sposobu III). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^2+(20-a_1)^2=328\), \((20-a_3)^2+a_3^2=328\), \(\frac{400}{(q^2+1)^2}\cdot(1+q^4)=328\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^2=36\), \(20^2-2a_2^2=328\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}.\] Warunek zbieżności \(|q^{2}|<1\) odrzuca \(q=2\) i pozostawia \(q=\frac12\). Suma wyrazów o numerach nieparzystych daje \(\frac{a_1}{1-q^{2}}=16\), więc \(a_1=12\).

Wyrazy o numerach nieparzystych \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^{2}\). Suma tego szeregu istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q^{2}|<1\); ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę: \[\frac{a_1}{1-q^{2}}=16.\] Drugi warunek zadania przekształcamy, korzystając z \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\): \[a_1+a_1q^{2}=\frac52a_1q,\qquad a_1\left(q^{2}-\frac52q+1\right)=0.\] Ponieważ \(a_1\ne0\), otrzymujemy \(2q^{2}-5q+2=0\), czyli \(q=2\) albo \(q=\frac12\). Dla \(q=2\) mamy \(q^{2}=4\) i warunek \(|q^{2}|<1\) nie jest spełniony — ten przypadek odpada. Dla \(q=\frac12\) mamy \(q^{2}=\frac14<1\), więc \[\frac{a_1}{1-\frac14}=16,\qquad a_1=16\cdot\frac34=12.\] **Odpowiedź.** \(a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_{n}=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). **3 pkt** – odrzucenie wartości \(q=2\) oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_{1}\): \(\frac{a_{1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=16\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(16(1-q^{2})+16(1-q^{2})\cdot q^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16(1-q^{2})\cdot q\) i \(q=1\) oraz \(q=-1\), oraz \(q=\frac{1}{2}\), oraz \(q=2\), oraz odrzucenie tych wartości \(q\), dla których nie jest spełniony warunek zbieżności \(\lvert q^{2}\rvert<1\) (dla sposobu II). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(2q^{2}-5q+2=0\) i \(q=\frac{1}{2}\) oraz \(q=2\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równań \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) oraz \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **1 pkt** – zapisanie równania \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) (dla sposobu I) ALBO – poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu o wyrazach nieparzystych jako \(\frac{a_{1}}{1-q}\) i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[n>9,\qquad n\in\mathbb N.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Ponieważ suma szeregu istnieje i jest różna od zera, mamy \(a_1\neq0\) oraz \(|q|<1\). Korzystamy ze wzorów na sumę początkowych wyrazów i sumę szeregu: \[a_1+a_2+a_3=S(1-q^3).\] Z danych: \[7=8(1-q^3),\] \[q^3=\frac18,\qquad q=\frac12.\] Dla \(q=\frac12\): \[S=2a_1,\qquad S_n=2a_1\left[1-\left(\frac12\right)^n\right].\] Stąd \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}.\] Mianownik jest dodatni, więc nierówność ma postać \[\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}<0{,}001.\] Mnożymy obie strony przez dodatni mianownik i przez \(2^n\): \[1<0{,}001(2^n-1),\] \[2^n>1001.\] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), otrzymujemy \[n>9.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu ciągu, rozwiązanie nierówności w zbiorze dodatnich liczb naturalnych i wynik \(n>9\) **3 pkt** – wykorzystanie dodatniości \(1-q^n\) i przekształcenie nierówności do poprawnej nierówności wymiernej z \(q^n\) **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu \(q=\frac12\) **1 pkt** – zastosowanie wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i sumę szeregu, np. zapisanie \(a_1+a_2+a_3=S(1-q^3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[x=6.\]

Pierwszy wyraz szeregu i jego iloraz są równe \[a_1=2x,\qquad q=-\frac3{x-1}.\] Suma szeregu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|-\frac3{x-1}\right|<1,\] \[|x-1|>3.\] Zatem \[x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty).\] Dla takich \(x\) suma wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac3{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x+2}.\] Rozwiązujemy równanie \[\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}:\] \[4x(x-1)=15(x+2),\] \[4x^2-19x-30=0.\] Stąd \[x=-\frac54\quad\text{lub}\quad x=6.\] Pierwsza wartość nie należy do zbioru zbieżności, natomiast \(6\in(4,+\infty)\). Ostatecznie \[x=6.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru zbieżności \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) oraz wartości \(x=6\) **3 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności, zastosowanie wzoru na sumę i zapisanie poprawnego równania; albo zapisanie warunku \(|q|<1\), rozwiązanie równania sumy i otrzymanie kandydatów \(-\frac54\), \(6\) **2 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności; albo zapisanie warunku zbieżności, wzoru na sumę i poprawnego równania **1 pkt** – zapisanie \(q=-\frac3{x-1}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[x=6.\]

Pierwszy wyraz szeregu i jego iloraz są równe \[a_1=2x,\qquad q=-\frac3{x-1}.\] Suma szeregu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|-\frac3{x-1}\right|<1,\] \[|x-1|>3.\] Zatem \[x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty).\] Dla takich \(x\) suma wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac3{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x+2}.\] Rozwiązujemy równanie \[\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}:\] \[4x(x-1)=15(x+2),\] \[4x^2-19x-30=0.\] Stąd \[x=-\frac54\quad\text{lub}\quad x=6.\] Pierwsza wartość nie należy do zbioru zbieżności, natomiast \(6\in(4,+\infty)\). Ostatecznie \[x=6.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru zbieżności \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) oraz jedynej dopuszczalnej wartości \(x=6\) **3 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności, zastosowanie wzoru na sumę szeregu i zapisanie poprawnego równania z \(x\); albo zapisanie warunku \(|q|<1\), rozwiązanie równania sumy i otrzymanie kandydatów \(-\frac54\), \(6\) **2 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności; albo zapisanie warunku zbieżności, wzoru na sumę i poprawnego równania **1 pkt** – zapisanie ilorazu \(q=-\frac3{x-1}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** wyznaczanie ilorazu, badanie zbieżności i obliczanie sumy nieskończonego szeregu geometrycznego. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]

Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek: \[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\] Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\). Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę: \[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\] Podstawiamy \(q=\frac25\): \[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\] Wzór ogólny ma zatem postać \[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\] **Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)

**4 pkt** – obliczenie ilorazu i pierwszego wyrazu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu **3 pkt** – obliczenie ilorazu albo pierwszego wyrazu ciągu **2 pkt** – zapisanie dwóch równań z niewiadomymi \(q\) i \(a_1\), które pozwalają obliczyć iloraz i pierwszy wyraz **1 pkt** – zapisanie jednego równania z niewiadomymi \(q\) lub \(a_1\), wynikającego z treści zadania **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** VI.2R rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

\[S=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(\frac14a\) i \(\frac34a\), zatem \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Stosunek długości boków kolejnych kwadratów, a więc także ich obwodów, jest równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(0<q<1\), suma obwodów istnieje. Pierwszy wyraz ciągu obwodów jest równy \(4a\), więc \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}a\) **3 pkt** – zapisanie szeregu obwodów, np. \(4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}4+\frac58+\ldots\right)\), i zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego **2 pkt** – wyznaczenie ilorazu ciągu obwodów \(q=\frac{\sqrt{10}}4\) **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu \(a_2=\frac{\sqrt{10}}4a\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; oblicza sumę szeregu geometrycznego.

Suma obwodów wynosi \(\displaystyle \frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}\). Iloraz szeregu obwodów jest równy \(\displaystyle q=\frac{\sqrt{10}}{4}\), a pierwszy wyraz to \(4a\).

Wierzchołek kwadratu \(K_2\) dzieli bok kwadratu \(K_1\) w stosunku \(1:3\), więc odcina od niego części o długościach \(\frac a4\) i \(\frac{3a}4\). Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o takich przyprostokątnych: \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^{2}+\left(\frac{3a}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10a^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Ten sam rachunek stosuje się do każdej kolejnej pary kwadratów, więc stosunek długości boków — a zatem także obwodów — jest stały i równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(\sqrt{10}<4\), zachodzi \(|q|<1\), więc szereg geometryczny obwodów jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{L_1}{1-q}\). Pierwszy obwód wynosi \(L_1=4a\), zatem \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{16a\left(4+\sqrt{10}\right)}{16-10}=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(L=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\) (lub \(L=\frac{8\cdot(4+\sqrt{10})a}{3}\)). **3 pkt** – zapisanie: \(L=4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{5}{8}+\ldots\right)\). **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: \(a_{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu \(q\) ciągu, o ile \(q\in(0,\,1)\), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu \(K_{1}\) i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz \(q\) ciągu, który jest liczbą spoza przedziału \((0,\,1)\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie \(a_{2}\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

Wyrazy ciągu są równe \(-2\), \(2\), \(6\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc \[2(y-4)=x+y,\qquad y-x=8.\] Z warunku dotyczącego sumy: \[x+(y-4)+y=6,\qquad x+2y=10.\] Podstawiając \(y=x+8\), otrzymujemy \(3x+16=10\), czyli \(x=-2\) i \(y=6\). Szukany ciąg ma postać \[(-2,2,6).\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wyrazów ciągu: \((-2,2,6)\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z arytmetyczności ciągu lub z warunku jego sumy **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. tworzenie i stosowanie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** V.2 i III.1 stosowanie własności ciągu arytmetycznego i rozwiązywanie układów równań liniowych.

\[q=\frac{1-\sqrt5}{2}.\]

Ciągi wyrazów o numerach nieparzystych i parzystych są geometryczne o ilorazie \(q^2\). Ponieważ \(a_1=q\) i \(a_2=q^2\), mamy \[S_N=\frac{q}{1-q^2},\qquad S_P=\frac{q^2}{1-q^2}.\] Warunek zadania daje \[\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P,\] czyli \[\frac1q=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q}{1+q}.\] Stąd \[q^2-q-1=0,\] więc \[q=\frac{1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad q=\frac{1+\sqrt5}{2}.\] Druga wartość nie spełnia warunku \(|q|<1\), dlatego \(q=\frac{1-\sqrt5}{2}\).

**4 pkt** – rozwiązanie równania i odrzucenie wartości niespełniającej \(|q|<1\) **3 pkt** – otrzymanie równania \(q^2-q-1=0\) **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) wynikającego z warunku zadania **1 pkt** – poprawne zapisanie sum \(S_N\) i \(S_P\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.

\[b_1=129.\]

Niech \(q\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(a_{21}\ne0\) i po podzieleniu warunku \(a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}\) przez \(a_{21}\) otrzymujemy \[q=\frac54q^{2}+\frac15,\qquad 25q^{2}-20q+4=0,\qquad (5q-2)^{2}=0,\qquad q=\frac25.\] Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) istnieje, bo \(|q|=\frac25<1\) — ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru \(S=\frac{a_1}{1-q}\): \[S=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.\] Ponadto \[a_3=675\left(\frac25\right)^{2}=675\cdot\frac4{25}=108=b_4.\] Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \((b_n)\). Z dwóch warunków otrzymujemy układ: \[b_1+3r=108,\qquad S_{25}=\frac{(2b_1+24r)\cdot25}{2}=25(b_1+12r)=1125,\] czyli \(b_1+12r=45\). Odejmując równania stronami, dostajemy \(9r=45-108=-63\), więc \(r=-7\), a stąd \[b_1=108-3\cdot(-7)=129.\] **Odpowiedź.** \(b_1=129\)

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(b_1=129\) **3 pkt** – wyznaczenie \(q=\frac25\), sumy \(1125\) i zależności dla ciągu arytmetycznego **2 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu oraz sumy szeregu geometrycznego **1 pkt** – poprawne ułożenie równania dla ilorazu \(q\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P5.3 i R5.2 stosowanie wzorów na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy zbieżnego szeregu geometrycznego.

**B.** \(\sqrt3\)

Korzystamy ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Dla \(q=\frac1{\sqrt3}\): \[x=\frac1{1-1/\sqrt3}.\] Dla \(q=-\frac1{\sqrt3}\): \[y=\frac1{1+1/\sqrt3}.\] Zatem \[x-y=\frac1{1-q}-\frac1{1+q}=\frac{2q}{1-q^2}\] \[=\frac{2/\sqrt3}{1-1/3}=\frac{2/\sqrt3}{2/3}=\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.

q=\(\frac{1}{7=0}\),(\(142857\)), więc w kratki należy wpisać \(0\), \(1\), \(4\). Z równań \(a_{1}\)/(\(1\)−q)=\(2\) i \(a_{1}\)\(2\)/(\(1\)−\(q^{2}\))=\(3\) wynika \(7\)\(q^{2}\)−\(8q\)+\(1=0\); wartość q=\(1\) odrzucamy.

Szereg geometryczny jest zbieżny, więc \(|q|<1\) — ten warunek trzeba zapisać przed użyciem wzorów na sumę. Suma wyrazów ciągu \((a_n)\) oraz suma kwadratów (ciąg \((a_n^2)\) jest geometryczny o ilorazie \(q^2\)) dają układ \[\frac{a_1}{1-q}=2,\qquad \frac{a_1^2}{1-q^2}=3.\] Z pierwszego równania \(a_1=2(1-q)\). Po podstawieniu do drugiego \[\frac{4(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=3,\qquad \frac{4(1-q)}{1+q}=3,\] czyli \(4-4q=3+3q\), skąd \(7q=1\) i \(q=\tfrac17\). Równoważnie: po uporządkowaniu otrzymuje się \(7q^2-8q+1=0\), czyli \((7q-1)(q-1)=0\); pierwiastek \(q=1\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Rozwinięcie dziesiętne \(\tfrac17=0{,}(142857)\), więc cyfra jedności to \(0\), cyfra części dziesiętnych \(1\), a cyfra części setnych \(4\). **Odpowiedź.** \(q=\tfrac17\); w kratki wpisujemy \(0\), \(1\), \(4\).

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający stosuje wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wraz z warunkiem zbieżności \(|q|<1\). Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut rozwiązania wzorcowego CKE wraz z wynikiem — usunięto go, bo ujawniał odpowiedź przed próbą. Kryteria oceniania są w panelu „Klucz i zasady oceniania”.

**D.** \(\frac95\)

Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(a_1=\frac35\), a jego iloraz \(q=\frac23\). Ponieważ \(|q|<1\), suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac35}{1-\frac23}=\frac{\frac35}{\frac13}=\frac95.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - suma nieskończonego ciągu geometrycznego.

\[S=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]

Z równania \(o_n\) wynika, że \(r_n^2=2^{11-n}\). Pole pierścienia \(P_k\) jest więc równe \[P_k=\pi r_{2k-1}^2-\pi r_{2k}^2=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\,2^{11-2k}.\] Pola tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \[P_1=2^9\pi\] i ilorazie \(q=\frac14\). Ponieważ \(|q|<1\), suma wszystkich pól istnieje i wynosi \[S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]

**4 pkt** – obliczenie sumy \(S=\frac{2^{11}\pi}{3}\) i zaznaczenie, że istnieje ona, ponieważ \(|q|<1\) **3 pkt** – zastosowanie wzoru \(S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}\) **2 pkt** – zauważenie, że pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=\frac14\) **1 pkt** – obliczenie pola pierwszego pierścienia \(P_1=2^9\pi\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna i ciągi - równanie okręgu, pole pierścienia oraz suma nieskończonego szeregu geometrycznego.

**B.** \(a_1=\frac17\)

Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1=a\). Wtedy iloraz \(q=3a\), a z warunku sumy szeregu geometrycznego mamy \[\frac{a}{1-3a}=\frac14.\] Stąd \(4a=1-3a\), więc \(a=\frac17\). Otrzymane \(q=\frac37\) spełnia warunek \(|q|<1\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - suma nieskończonego szeregu geometrycznego i warunek jego zbieżności.

Pierwszy wyraz wynosi \(\frac{12}{13=0,923076}\)..., więc należy zakodować cyfry \(9\), \(2\), \(3\). Jeśli \(a_{1}\)=q=a, to a/(\(1\)−a)=\(12\), skąd \(13a\)=\(12\); warunek |q|<\(1\) jest spełniony.

Oznaczmy \(a_1=q=a\). Szereg jest zbieżny, więc \(|a|<1\). Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego \[\frac{a_1}{1-q}=\frac{a}{1-a}=12.\] Stąd \(a=12-12a\), czyli \(13a=12\) i \(a=\tfrac{12}{13}\). Warunek \(|q|<1\) jest spełniony, bo \(\tfrac{12}{13}<1\). Dzieląc pisemnie, \(\tfrac{12}{13}=0{,}923076\ldots\), więc trzy pierwsze cyfry po przecinku to \(9\), \(2\), \(3\). **Odpowiedź.** \(a_1=\tfrac{12}{13}\); kodujemy \(9\), \(2\), \(3\).

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego i warunku jego zbieżności.

Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(7\). (\(0-2\)) **Krok \(2\).** III. Modelowanie **Krok \(3\).** matematyczne. **Krok \(4\).** \(5\). Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza **Krok \(5\).** ich sumy (\(R_{5}\).\(3\)). **Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązania **Krok \(7\).** I sposób **Krok \(8\).** Pierwszym wyrazem ciągu (an) jest ał = **Odpowiedź.** Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze \(q=\tfrac{1}{2x-371}\) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – gdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg jest zbieżny, liczbę \(187\), o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy (R5.3).

**D.** \(\frac3{\sqrt2-1}\).

Pierwszy wyraz i iloraz ciągu są równe \[a_1=\frac3{\sqrt2},\qquad q=\frac1{\sqrt2}.\] Ponieważ \(|q|<1\), suma szeregu wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/\sqrt2}{1-1/\sqrt2}=\frac3{\sqrt2-1}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 R - rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

\[S=\frac94.\]

Z zależności \(a_3=a_1q^2\) otrzymujemy \[q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{1/3}{3/4}=\frac49.\] Stąd \(q=-\frac23\) lub \(q=\frac23\). Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(q=\frac23\). Ponieważ \(\lvert q\rvert<1\), szereg jest zbieżny i \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/4}{1-2/3}=\frac94.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac23\) i sumy \(S=\frac94\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q^2=\frac49\) albo ilorazu \(q=\frac23\) **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. R. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_1=10^{100}.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Suma wyrazów nieparzystych ma postać \[a_1(1+q^2+\ldots+q^{98}),\] a suma wyrazów parzystych \[a_1q(1+q^2+\ldots+q^{98}).\] Ich iloraz jest równy \(\frac1q=100\), więc \[q=\frac1{100}=10^{-2}.\] Warunek z logarytmami oznacza \[\log(a_1a_2\cdots a_{100})=100,\] czyli \(a_1a_2\cdots a_{100}=10^{100}\). Iloczyn stu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy \[a_1^{100}q^{0+1+\ldots+99}=a_1^{100}q^{4950}.\] Stąd \[a_1^{100}10^{-9900}=10^{100},\qquad a_1^{100}=10^{10000}.\] Ponieważ wyrazy są dodatnie, otrzymujemy \(a_1=10^{100}\).

**6 pkt** – poprawne obliczenie \(a_1=10^{100}\) **5 pkt** – poprawne równanie \(a_1^{100}(10^{-2})^{4950}=10^{100}\), lecz usterka rachunkowa na końcu **4 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą \(a_1\) po wyznaczeniu \(q\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac1{100}\) **2 pkt** – poprawne porównanie sum wyrazów parzystych i nieparzystych **1 pkt** – zapisanie obu sum z wspólnym czynnikiem \(1+q^2+\ldots+q^{98}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje własności ciągu geometrycznego, wzór na sumę jego wyrazów oraz własności logarytmu iloczynu.

\[S=\frac{\pi}{3}.\]

Pole koła o promieniu \(r_n=\frac1{2^n}\) wynosi \[P_n=\pi r_n^2=\pi\cdot\frac1{4^n}.\] Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{4^n}{4^{n+1}}=\frac14,\] więc \((P_n)\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(P_1=\frac{\pi}{4}\) i ilorazie \(q=\frac14\). Warunek zbieżności szeregu geometrycznego jest spełniony, bo \(|q|=\frac14<1\) — bez tego wzoru na sumę nie wolno użyć. Zatem \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac14}=\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac34}=\frac{\pi}{3}.\] **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\) jest równa \(\frac{\pi}{3}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu \((P_n)\): \(P_1=\) […], \(q=\) […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), np.: \(\lvert q\rvert<1\). **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie sumy \(S\) wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\): \(S=\) […]. **Uwaga:** Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), ale nie stwierdzi, że \(\lvert q\rvert<1\), to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 12. (0–3) 1 Niech P oznacza pole koła o promieniu , dla n  1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów n 2n ciągu  P  . n IV. Użycie i tworzenie R5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne strategii i oblicza ich sumy. Rozwiązanie: 2 1  1    Pole koła o promieniu r  jest równe   , czyli P  . Dla n  1 zachodzi n 2n   2n   4n n 4n P 1 1 równość n1  . Wynika stąd, że  P  jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q  n P 4 4 n  1 i pierwszym wyrazie P  . Ponieważ 1   1 , więc suma S wszystkich wyrazów ciągu 1 4 4  P  jest skończona i jest równa n  P  4 S  1   1 q 1 3 1 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ........................................................................ 1 p.  1 Obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu  P  : P  , q  n 1 4 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................... 2 p. 1 Stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu  P  , np.: q   1 n 4 Rozwiązanie pełne ................................................................................................................ 3 p.  Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu  P  : S  n 3 Uwaga: Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu  P  , ale nie stwierdzi, że q  1 , to n otrzymuje 2 punkty.

\[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\]

Z wzoru rekurencyjnego \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\) wynika, że ilorazem ciągu jest \[q=\log_2(k-2).\] Zapisujemy wszystkie warunki, zanim zaczniemy rachować. Po pierwsze, logarytm musi istnieć: \(k-2>0\), czyli \(k>2\). Po drugie, wszystkie wyrazy mają być różne od zera. Ponieważ \(a_1=2\neq0\), wystarczy \(q\neq0\), czyli \(\log_2(k-2)\neq0\), a stąd \(k-2\neq1\), czyli \(k\neq3\). Po trzecie, suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|\log_2(k-2)\right|<1,\qquad -1<\log_2(k-2)<1.\] Funkcja \(\log_2\) jest rosnąca, więc \[2^{-1}<k-2<2^{1},\qquad \frac12<k-2<2,\qquad \frac52<k<4.\] Uwzględniając \(k\neq3\), otrzymujemy \[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\] **Odpowiedź.** \(k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 19.** (\(7\) pkt) Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_{1}=2\), \(a_{n+1}=a_{n}\cdot\log_{2}(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_{n})\). Wyrażenie: \(\log_{2}(k-2)\) jest określone, gdy \(k-2>0\Leftrightarrow k>2\). Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że iloraz \(q=\log_{2}(k-2)\). \(q\ne 0\Leftrightarrow\log_{2}(k-2)\ne 0\) czyli \(k\ne 3\). Aby istniała suma wszystkich wyrazów danego ciągu geometrycznego, iloraz ciągu musi spełniać warunek \(\lvert q\rvert<1\Leftrightarrow\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\). Rozwiązuję nierówność: \(\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\), \(\log_{2}(k-2)>-1\) i \(\log_{2}(k-2)<1\) \(\log_{2}(k-2)>\log_{2}\frac{1}{2}\) i \(\log_{2}(k-2)<\log_{2}2\) \(k-2>\frac{1}{2}\) i \(k-2<2\) \(k>\frac{5}{2}\) i \(k<4\) Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{5}{2},4\right)\). Odp.: Suma wszystkich wyrazów danego ciągu o wszystkich wyrazach różnych od zera istnieje dla \(k\in\left(\frac{5}{2},3\right)\cup(3,4)\). | Nr czynności | 19.1. | 19.2. | 19.3. | 19.4. | 19.5. | 19.6. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy schemat. Konstrukcja jest nieskończona i za każdym razem powtarza się ta sama operacja, więc kolejne trójkąty są do siebie PODOBNE, a ich pola tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Suma pól to suma szeregu geometrycznego, którą policzymy ze wzoru \(S=\frac{P_1}{1-q}\) — o ile sprawdzimy, że \(|q|\lt 1\). **Krok \(2\).** Zapisujemy związek między kolejnymi bokami. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), a to właśnie ona jest bokiem następnego trójkąta: \[a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n.\] Boki tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie \(k=\frac{\sqrt3}{2}\). **Krok \(3\).** Liczymy pole pierwszego trójkąta ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: \[P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy iloraz pól. Kolejne trójkąty są podobne w skali \(k=\frac{\sqrt3}{2}\), a stosunek pól figur podobnych to KWADRAT skali podobieństwa: \[q=k^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy warunek zbieżności: \(|q|=\frac34\lt 1\), więc szereg jest zbieżny i wolno zastosować wzór na sumę. **Krok \(6\).** Podstawiamy do wzoru: \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{1-\frac34}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac14}.\] **Krok \(7\).** Dzielenie przez \(\frac14\) to mnożenie przez \(4\): \[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot 4=a^2\sqrt3.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to przyjęcie \(q=\frac{\sqrt3}{2}\), czyli ilorazu BOKÓW, zamiast ilorazu PÓL. Pola figur podobnych mają się do siebie jak kwadrat skali, więc \(q=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34\). Zwróć też uwagę, że wynik \(S=a^2\sqrt3\) jest równy poczwórnemu polu pierwszego trójkąta — co jest wiarygodne, bo suma nieskończenie wielu malejących pól musi być większa od \(P_1\), ale skończona. **Odpowiedź.** \(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – […] i liczby \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). **14.2. (2 pkt)** – zapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym \(P_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\frac{3}{4}\). **14.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól wszystkich trójkątów: \(S=a^{2}\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(p\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\). b) \(p=2\).

**Krok \(1\).** Pytanie dotyczy granicy ciągu geometrycznego, a ta zależy wyłącznie od ilorazu \(q\): dla \(\lvert q\rvert\lt1\) ciąg dąży do \(0\), dla \(q=1\) jest stały i dąży do pierwszego wyrazu, a dla \(q=-1\) oraz \(\lvert q\rvert\gt1\) granicy (skończonej) nie ma. Dlatego najpierw wyznaczamy \(q\). **Krok \(2\).** Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów: \[q=\frac{\frac{2}{p-1}}{2}=\frac1{p-1},\] przy czym musi być \(p\neq1\), aby wyrazy w ogóle istniały. Pierwszy wyraz to \(a_1=2\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Granica jest równa \(0\) dokładnie wtedy, gdy \[\left\lvert\frac1{p-1}\right\rvert\lt1.\] **Krok \(4\).** Ponieważ \(\left\lvert\frac1{p-1}\right\rvert=\frac1{\lvert p-1\rvert}\), nierówność ta jest równoważna \(\lvert p-1\rvert\gt1\). **Krok \(5\).** Nierówność \(\lvert p-1\rvert\gt1\) oznacza, że liczba \(p\) jest odległa od \(1\) o więcej niż \(1\), czyli \[p-1\gt1\quad\text{lub}\quad p-1\lt-1,\qquad\text{a więc}\qquad p\gt2\quad\text{lub}\quad p\lt0.\] **Krok \(6\).** Podpunkt b). Granica ma być równa \(2\), czyli pierwszemu wyrazowi. Dla \(\lvert q\rvert\lt1\) granica wynosi \(0\), a dla \(\lvert q\rvert\gt1\) lub \(q=-1\) granicy nie ma, więc jedyna możliwość to ciąg stały, czyli \(q=1\). **Krok \(7\).** Rozwiązujemy \( \frac1{p-1}=1\): stąd \(p-1=1\), czyli \(p=2\). Wtedy ciąg ma postać \(2,2,2,\ldots\) i jego granicą jest \(2\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy granicy ciągu, a nie sumy szeregu geometrycznego — to zupełnie inne warunki. Zauważ też, że \(p=2\) nie należy do odpowiedzi z podpunktu a), bo wtedy granicą jest \(2\), a nie \(0\). **Odpowiedź.** a) \(p\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\); b) \(p=2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] \(p-1\) […] i \(p\neq 1\). **15.2. (2 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(\left|\frac{1}{p-1}\right|<1\): \(p\in(-\infty;0)\cup(2;\infty)\), w tym: • 1 punkt za metodę rozwiązania • 1 punkt za napisanie rozwiązania nierówności **15.3. (1 pkt)** – Zapisanie warunku zbieżności ciągu do liczby \(2\): \(\frac{1}{p-1}=1\) **15.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania \(\frac{1}{p-1}=1\) i podanie wartości parametru \(p\): \(p=2\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\); jedynym rozwiązaniem jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**Krok \(1\).** Po lewej stronie równania \(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2\) stoi suma nieskończenie wielu wyrazów, z których każdy powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \(x\). To jest szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1=1\) i ilorazie \(q=x\). Dla takich zadań schemat jest zawsze ten sam: najpierw dziedzina z warunku zbieżności, potem wzór na sumę. **Krok \(2\).** Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\). Tutaj \(q=x\), więc musi być \(|x|\lt 1\), czyli \[x\in(-1,1).\] To jest dziedzina naszego równania. **Krok \(3\).** Postępujemy tak jak w przykładzie z treści zadania. Z sumy wyłączamy pierwszy wyraz, a z reszty wyłączamy przed nawias \(x\): \[1+x+x^2+x^3+\ldots=1+x\left(1+x+x^2+\ldots\right)=2.\] **Krok \(4\).** Zauważmy, że w nawiasie stoi dokładnie ta sama suma, która z założenia jest równa \(2\). Możemy więc w miejsce nawiasu wstawić liczbę \(2\): \[1+x\cdot 2=2.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to proste równanie liniowe: \[2x=1,\qquad x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny: \(\frac12\in(-1,1)\), więc jest to rozwiązanie. Kontrolnie można też skorzystać ze wzoru na sumę \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-x}\): równanie \(\dfrac{1}{1-x}=2\) daje \(1-x=\dfrac12\), czyli \(x=\dfrac12\). **Uwaga.** Dziedziny nie wolno tu pominąć. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego obowiązuje wyłącznie dla \(|q|\lt 1\); gdyby otrzymana liczba wypadła poza przedziałem \((-1,1)\), trzeba by ją odrzucić, bo wtedy lewa strona w ogóle nie ma sumy. **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((-1,1)\), a jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \((-1,1)\). Dopuszczamy zapis \(\lvert x\rvert<1\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+x(1+x+x^{2}+\ldots)=2\) **3. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+2x=2\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązania równania. Odp. \(x=0{,}5\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in(0,1)\).

Lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1=2^{-x}\) i ilorazie \(q=2^{-x}\). Szereg ten jest zbieżny tylko wtedy, gdy \(|q|<1\), a ponieważ \(2^{-x}>0\), warunek ten sprowadza się do \(2^{-x}<1\), czyli \(x>0\). To założenie zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę. Podstawmy \(t=2^{x}\); wtedy \(t>1\) i \[L=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac1t}{1-\frac1t}=\frac1{t-1}.\] Ponadto \(0{,}(9)=1\), więc prawa strona jest równa \(t-1\). Nierówność przybiera postać \[\frac1{t-1}>t-1.\] Ponieważ \(t-1>0\), mnożymy obie strony przez \(t-1\) bez zmiany znaku: \[1>(t-1)^{2},\qquad 0<t-1<1,\qquad 1<t<2.\] Wracamy do zmiennej \(x\): \(1<2^{x}<2\), a funkcja wykładnicza o podstawie \(2\) jest rosnąca, więc \(0<x<1\). **Odpowiedź.** \(x\in(0,1)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] stroną danej nierówności: \(a_{1}=q=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) **18.2. (1 pkt)** – podanie warunku zbieżności i wyznaczenie tych wartości \(x\), dla których ciąg, który jest lewą stroną danej nierówności, jest zbieżny: \(x\gt 0\) **18.3. (1 pkt)** – wyznaczenie sumy \(S\) ciągu, który jest lewą stroną danej nierówności: \(S=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}\) **18.4. (1 pkt)** – zamiana ułamka okresowego \(0{,}(9)\) na zwykły: \(0{,}(9)=1\) **18.5. (1 pkt)** – wykonanie podstawienia pomocniczej niewiadomej \(t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) i zapisanie danej nierówności za pomocą zmiennej \(t\) (1): \((1)\quad\frac{t}{1-t}\gt\frac{1}{t}-1\) **18.6. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności (1) do postaci (2): \((2)\quad -2t\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-1)\gt 0\) **18.7. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności (2): \(t\in(-\infty,\,0)\cup\left(\frac{1}{2},\,1\right)\) **18.8. (1 pkt)** – zapisanie warunku (3): \((3)\quad\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 0\;\lor\;\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\gt\frac{1}{2}\;\land\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 1\right)\) **18.9. (1 pkt)** – wyznaczenie \(x\) z warunku (3): \(x\in(0,\,1)\) **18.10. (1 pkt)** – sprawdzenie, czy otrzymane wartości \(x\) należą do dziedziny nierówności, i odpowiedź

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.