Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5 - 2n/6 dla n ≥ 1. Ciąg ten jest

arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -1/3

arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -2

geometryczny i jego iloraz jest równy q = -1/3

geometryczny i jego iloraz jest równy q = 5/6

Ciągi (a_n), (b_n) oraz (c_n) są określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 następująco: a_n = 6n^2 - n^3, b_n = 2n + 13, c_n = 2^n. Wskaż zdanie prawdziwe.

Wśród ciągów (a_n), (b_n), (c_n) nie ma ciągu arytmetycznego.

Wykaż, że dla każdego m ciąg (m + 1/4, m + 3/6, m + 9/12 ) jest arytmetyczny.

warunek 2b = a + c sprowadza obie strony do m+3/3, więc jest spełniony dla każdego m

Strona główna › Ciągi › Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Q: Czy różnica ciągu arytmetycznego może być ujemna?

Tak — wtedy ciąg maleje, na przykład 40, 33, 26, 19 przy r = -7. Może też wynosić zero i wtedy ciąg jest stały.

Q: Jak szybko poznać po wzorze ogólnym, że ciąg jest arytmetyczny?

Wzór musi dać się sprowadzić do postaci An + B, czyli być liniowy względem n. Obecność n^2, pierwiastka albo potęgi o wykładniku n wyklucza ciąg arytmetyczny — ale dopiero wtedy, gdy zostaną tam po uproszczeniu. Wyrażenie √(4n^2) to 2n, więc ciąg jest arytmetyczny mimo pierwiastka we wzorze.

Q: Dlaczego wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na prostej?

Bo wzór a_n = a_1 + (n-1)r da się przekształcić do a_n = rn + (a_1 - r), czyli do wzoru funkcji liniowej. Różnica r jest wtedy współczynnikiem kierunkowym.

Q: Ile rozwiązań ma warunek na trzy kolejne wyrazy?

Dokładnie jedno, bo równanie 2x = a + b jest liniowe. To zasadnicza różnica wobec ciągu geometrycznego, gdzie analogiczne równanie jest kwadratowe.

Q: Skąd wiadomo, czy zadanie z treścią prowadzi do ciągu arytmetycznego?

Rozstrzyga to, czy zmiana jest podana jako liczba jednostek, czy jako procent. „Co miesiąc o 10 zł więcej” to stała różnica, czyli ciąg arytmetyczny. „Co miesiąc o 10% więcej” to stały mnożnik, czyli ciąg geometryczny. Ta sama liczba w treści może więc oznaczać dwa zupełnie różne ciągi — decyduje obecność znaku procenta.

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym do każdego wyrazu dodajemy tę samą liczbę, żeby dostać następny. Ta jedna reguła ma niespodziewanie mocną konsekwencję: wyrazy takiego ciągu leżą na jednej prostej, więc wszystko, co wiadomo o funkcji liniowej, przenosi się na ciągi arytmetyczne. Ta strona jest o rozpoznawaniu i badaniu takich ciągów — wzory na wyraz i sumę mają własne miejsca.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 29

Krótko: Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r = aₙ₊₁ − aₙ, a jego n-ty wyraz to aₙ = a₁ + (n − 1) · r.

Przejdź od razu do zadań (29) ↓

1Definicja i różnica ciągu

Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli różnica każdego wyrazu i poprzedniego jest stała. Oznaczamy ją literą $r$ :

r = a_{n+1} - a_n \qquad \text{dla każdego } n

Warunek dotyczy wszystkich sąsiednich par, nie pierwszej z brzegu. Trzy liczby zawsze da się opisać dwiema różnicami; dopiero ich równość coś znaczy.

W odróżnieniu od ciągu geometrycznego tutaj nie ma żadnych zakazów: różnica może być dodatnia, ujemna albo zerowa, a wyrazy mogą przyjmować dowolne wartości, w tym zero. To dlatego, że definicja opiera się na odejmowaniu, a nie na dzieleniu — a odejmować wolno zawsze.

różnica	jak zachowuje się ciąg	przykład
$r > 0$	rośnie miarowo, o tyle samo na każdym kroku	$11, 18, 25, 32$
$r < 0$	maleje miarowo	$40, 33, 26, 19$
$r = 0$	jest stały	$6, 6, 6, 6$

Zwróć uwagę, że w tej tabeli nie ma wiersza o skakaniu między znakami — a w analogicznej tabeli dla ciągu geometrycznego jest. To jedna z ważniejszych różnic praktycznych: ciąg arytmetyczny o niezerowej różnicy jest zawsze monotoniczny, więc pytanie o monotoniczność sprowadza się do sprawdzenia znaku $r$ .

2Wyrazy leżą na prostej

Wzór na $n$ -ty wyraz, $a_n = a_1 + (n-1)r$ , można rozpisać inaczej:

a_n = rn + (a_1 - r)

To jest wzór funkcji liniowej zmiennej $n$ — ze współczynnikiem kierunkowym $r$ i wyrazem wolnym $a_1 - r$ . Ciąg arytmetyczny jest więc funkcją liniową obciętą do liczb naturalnych.

Co z tego wynika w praktyce

Punkty $(n, a_n)$ leżą na jednej prostej — nie na krzywej. Wykres ciągu to ciąg kropek na prostej, nie linia ciągła, bo $n$ przyjmuje tylko wartości naturalne.

Różnica $r$ pełni rolę współczynnika kierunkowego. Dodatnie $r$ to prosta rosnąca, ujemne — malejąca. Dokładnie tak samo jak na wykresie funkcji liniowej.

Dlatego z dwóch dowolnych wyrazów da się wyznaczyć cały ciąg — tak samo jak dwa punkty wyznaczają prostą.

Ta obserwacja tłumaczy też, dlaczego różnicę z dwóch odległych wyrazów liczy się ilorazem przyrostów: $r = \frac{a_m - a_k}{m - k}$ . To ten sam rachunek co współczynnik kierunkowy prostej, z numerami wyrazów w roli argumentów.

Ciąg geometryczny zwykle nie tworzy prostej: przy dodatnim ilorazie różnym od 1 jego wyrazy leżą na krzywej wykładniczej, a przy ujemnym zmieniają znak. Przy ilorazie 1 ciąg jest stały.

Ciąg arytmetyczny jest jednym z dwóch przypadków szczególnych, wokół których zbudowany jest cały dział — przewodnik po ciągach ustawia go obok pozostałych tematów.

Wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na prostej: 11, 18, 25, 32 (r = 7, aₙ = 7n + 4) oraz 40, 33, 26, 19 (r = −7, aₙ = −7n + 47); różnica r = (a₄ − a₁) : (4 − 1) jak nachylenie prostej — Ciąg arytmetyczny na wykresie — wyrazy na prostej

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ciągi” (liceum, klasa 3), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ciągi — cały dział, liceum, klasa 3 (8 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ciągi”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł~~31,20 zł~~−16,30 zł Liceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny

Podstawa programowa wymienia to jako osobną umiejętność (dział VI, punkt 4 zakresu podstawowego: „sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny”). Sposób zależy od formy zapisu ciągu.

Wypisane wyrazy — policz wszystkie różnice sąsiednich par. Jedna niezgodna kończy sprawę.
Wzór ogólny — wyznacz $a_{n+1} - a_n$ na literach. Jeśli po redukcji zostanie liczba bez $n$ , ciąg jest arytmetyczny, a ta liczba jest różnicą.
Zapis rekurencyjny — reguła „dodaję do poprzedniego stałą” to definicja wprost.

Rachunek na literach jest tu dowodem, a wypisanie kilku wyrazów tylko poszlaką. Różnica bywa bolesna: ciąg $a_n = n^2$ daje początkowe wyrazy $1, 4, 9, 16$ , a jego różnice to $3, 5, 7$ — rosną, więc arytmetyczny nie jest, choć „przyrasta regularnie”.

Skrót, który działa zawsze

Jeżeli wzór ogólny ma postać $a_n = An + B$ dla pewnych liczb $A$ i $B$ , ciąg jest arytmetyczny o różnicy $A$ — bez żadnych rachunków.

Jeżeli po uproszczeniu wzoru zostaje $n^2$ , $\sqrt{n}$ , potęga o wykładniku $n$ albo $n$ w mianowniku, ciąg arytmetyczny nie jest. Uproszczenie jest tu istotne: $a_n = \sqrt{4n^2}$ wygląda groźnie, a to po prostu $2n$ — ciąg arytmetyczny o różnicy $2$ . Tak samo $a_n = \frac{n^2+n}{n}$ to $n + 1$ .

To nie jest reguła do zapamiętania obok definicji, tylko jej bezpośrednia konsekwencja: arytmetyczny znaczy liniowy względem $n$ .

4Warunek na trzy kolejne wyrazy

Zadania często pytają: *dla jakiego $x$ liczby $a$ , $x$ , $b$ tworzą ciąg arytmetyczny?* Warunek wynika wprost z definicji — obie różnice muszą być równe, więc $x - a = b - x$ :

2x = a + b \qquad \text{czyli} \qquad x = \frac{a + b}{2}

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów. To zdanie warto umieć w obie strony: nie tylko „jeśli ciąg jest arytmetyczny, to środkowy jest średnią”, ale też „jeśli środkowy jest średnią, to te trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny”.

Równanie jest liniowe, więc ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie. To zasadnicza różnica wobec warunku geometrycznego $x^2 = ab$ , który bywa spełniony przez dwie liczby albo przez żadną. Pośredniego przypadku nie ma: równanie $x^2 = 0$ miałoby wprawdzie jeden pierwiastek, ale zerem byłaby wtedy któraś z danych liczb, a w ciągu geometrycznym zero jest zabronione — więc zadanie po prostu nie ma rozwiązania.

	ciąg arytmetyczny	ciąg geometryczny
warunek	$2x = a + b$	$x^2 = a \cdot b$
rodzaj równania	liniowe	kwadratowe
liczba rozwiązań	zawsze jedno	dwa albo żadne
czy zero wolno	tak	nie

W trudniejszej wersji zadania wszystkie trzy wyrazy zależą od $x$ . Metoda się nie zmienia: podstawiamy do warunku i rozwiązujemy równanie — tyle że po obu stronach jest wtedy niewiadoma. Zmienia się natomiast liczba rozwiązań, bo niewiadome mogą się zredukować: trójka $2x,\ 3x,\ 4x$ tworzy ciąg arytmetyczny dla każdego $x$ , a $x,\ x+1,\ x+3$ — dla żadnego, bo $2(x+1)$ nigdy nie zrówna się z $2x+3$ .

Warto na koniec sprawdzić wynik, wypisując otrzymany ciąg. Jeżeli różnice się zgadzają, rozwiązanie jest pewne; ta kontrola zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje każdy błąd znaku.

Warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: środkowy wyraz to średnia sąsiadów, 2b = a + c; dla 5, x, 17 wychodzi x = 11, bo różnice to 6 i 6 — Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego — 2b = a + c

5Ciąg arytmetyczny w praktyce

Dział VI podstawy programowej, punkt 7 zakresu podstawowego: „wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym”. Rozpoznanie jest proste: ciąg jest arytmetyczny wszędzie tam, gdzie wielkość zmienia się o stałą liczbę jednostek, a nie o stały procent.

sytuacja	co się powtarza	różnica $r$
rzędy w amfiteatrze, każdy o 3 miejsca dłuższy	dokładanie tych samych 3 miejsc	$3$
odkładanie co miesiąc o $10$ zł więcej	stały przyrost wpłaty	$10$
maszyna tracąca $2500$ zł wartości rocznie	stały ubytek kwoty	$-2500$
temperatura spadająca o $2$ stopnie na godzinę	stały spadek	$-2$

W każdym z tych przypadków działają dwa wzory: $a_n = a_1 + (n-1)r$ na pojedynczy wyraz oraz $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ na sumę. Pierwszy odpowiada na pytanie „ile w n-tym kroku”, drugi — „ile razem”.

Najczęstsza pułapka to pomylenie tych dwóch pytań. „Ile miejsc ma piętnasty rząd” to wyraz ciągu, a „ile miejsc ma cały amfiteatr” to suma — i różnica jest ogromna: $62$ kontra $615$ .

Kiedy arytmetyczny, a kiedy geometryczny

Rozstrzyga jedno pytanie: czy zmiana jest kwotą, czy procentem. Weźmy maszynę wartą na starcie $30\,000$ zł. Jeśli traci $2500$ zł rocznie, jej wartości tworzą ciąg arytmetyczny i dojdą do zera po dwunastu latach. Jeśli traci $15\%$ wartości rocznie, jest to ciąg geometryczny — po pięćdziesięciu latach zostaje jeszcze niecałe $9$ zł, bo taki ciąg nigdy nie osiąga zera.

6Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: sprawdzenie z wypisanych wyrazów, sprawdzenie ze wzoru ogólnego, trzy kolejne wyrazy z niewiadomą we wszystkich trzech, wyznaczanie ciągu z dwóch odległych wyrazów i amfiteatr, w którym trzeba rozstrzygnąć, czy pytają o wyraz, czy o sumę.

Przykład 1 Czy to ciąg arytmetyczny

Sprawdź, czy ciąg $11, 18, 25, 32$ jest arytmetyczny, i podaj jego różnicę.

Liczę kolejne różnice: $18 - 11 = 7$ .
$25 - 18 = 7$ .
$32 - 25 = 7$ .
Wszystkie trzy są równe, więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 7$ .
Kontrola wzorem ogólnym: $a_4 = 11 + 3 \cdot 7 = 32$ ✓

Odpowiedź: Tak, ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 7$ .

Trzy wyrazy nie wystarczą do rozstrzygnięcia — dwie pierwsze różnice mogą być zgodne przypadkiem. Sprawdzamy wszystkie pary, jakie są dostępne.

Przykład 2 Ciąg zadany wzorem ogólnym

Sprawdź, czy ciąg $a_n = 4n + 1$ jest arytmetyczny.

Wyznaczam następny wyraz: $a_{n+1} = 4(n+1) + 1 = 4n + 5$ .
Odejmuję: $a_{n+1} - a_n = (4n + 5) - (4n + 1)$ .
Składniki z $n$ się redukują: zostaje $4$ .
Wynik nie zależy od $n$ , więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 4$ .
Kontrola liczbowa: $a_1 = 5$ , $a_2 = 9$ , $a_3 = 13$ , a różnice wynoszą $4$ i $4$ ✓
Kontrola skrótem: wzór ma postać $An + B$ , więc różnicą jest współczynnik przy $n$ , czyli $4$ ✓

Odpowiedź: Tak, $r = 4$ .

Zauważ, że pierwszy wyraz to $5$ , a nie $1$ — wyraz wolny wzoru nie jest pierwszym wyrazem ciągu. Pierwszy wyraz otrzymujemy dopiero po podstawieniu $n = 1$ .

Przykład 3 Trzy kolejne wyrazy z niewiadomą

Dla jakiej wartości $x$ liczby $x - 3$ , $2x$ , $x + 11$ tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny?

Środkowy wyraz musi być średnią sąsiadów: $2 \cdot 2x = (x - 3) + (x + 11)$ .
Lewa strona: $4x$ . Prawa: $2x + 8$ .
$4x = 2x + 8$ , czyli $2x = 8$ , a stąd $x = 4$ .
Wypisuję ciąg dla $x = 4$ : $1$ , $8$ , $15$ .
Kontrola różnic: $8 - 1 = 7$ oraz $15 - 8 = 7$ ✓ — różnice równe, więc rozwiązanie poprawne.

Odpowiedź: $x = 4$ ; ciąg to $1, 8, 15$ o różnicy $7$ .

Po redukcji zostało równanie liniowe $2x = 8$ , więc rozwiązanie jest jedno. Gdy niewiadoma stoi we wszystkich trzech wyrazach, może się zredukować całkiem — wtedy warunek spełnia każde $x$ albo żadne. W wersji geometrycznej to samo zadanie mogłoby mieć dwie odpowiedzi albo żadnej.

Przykład 4 Ciąg z dwóch odległych wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_4 = 19$ oraz $a_{10} = 43$ . Wyznacz różnicę i pierwszy wyraz.

Od czwartego do dziesiątego wyrazu jest sześć kroków, bo $10 - 4 = 6$ .
$r = \frac{43 - 19}{6} = \frac{24}{6} = 4$ .
Cofam się od czwartego wyrazu o trzy kroki: $a_1 = 19 - 3 \cdot 4 = 7$ .
Kontrola: $a_{10} = 7 + 9 \cdot 4 = 43$ ✓
Kontrola prostą: punkty $(4, 19)$ i $(10, 43)$ wyznaczają prostą o współczynniku kierunkowym $\frac{43-19}{10-4} = 4$ — ta sama liczba ✓

Odpowiedź: $r = 4$ , $a_1 = 7$

Ostatnia kontrola nie jest ozdobnikiem: różnica ciągu jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty $(n, a_n)$ . Jeśli umiesz jedno, umiesz drugie.

Przykład 5 Amfiteatr — wyraz czy suma

W pierwszym rzędzie amfiteatru jest $20$ miejsc, a każdy następny rząd ma o $3$ miejsca więcej. Ile miejsc ma piętnasty rząd, a ile cały amfiteatr o piętnastu rzędach?

To ciąg arytmetyczny o $a_1 = \textcolor{#16A06A}{20}$ i $r = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Piętnasty rząd — wzór na wyraz, a nie na sumę:
$a_{15} = 20 + (15-1) \cdot 3 = 20 + 42 = \textcolor{#E0453A}{62}$
Cały amfiteatr — dopiero teraz suma:
$S_{15} = \frac{15 \cdot (20 + 62)}{2} = \frac{15 \cdot 82}{2} = \textcolor{#E0453A}{615}$

Odpowiedź: piętnasty rząd ma $62$ miejsca, cały amfiteatr $615$

Sprawdziłem sumę drugą drogą — dodając piętnaście rzędów po kolei — i wychodzi tyle samo. Warto zauważyć, jak daleko od siebie są obie odpowiedzi: pomylenie wyrazu z sumą to nie drobna pomyłka, tylko zupełnie inny rząd wielkości.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą sprawdzania, dwa ostatnie — liczenia kroków między wyrazami.

Uznanie ciągu za arytmetyczny po sprawdzeniu jednej różnicy.

Skąd się bierze: Pierwsza różnica zawsze „wychodzi”, bo jest po prostu odejmowaniem dwóch liczb.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wszystkie dostępne pary, a przy wzorze ogólnym policz $a_{n+1} - a_n$ na literach. Dopiero brak $n$ w wyniku jest dowodem.

Uznanie wyrazu wolnego ze wzoru za pierwszy wyraz ciągu.

Skąd się bierze: We wzorze $a_n = 4n + 1$ jedynka wygląda na wartość początkową.

Jak zrobić dobrze: Pierwszy wyraz to $a_1$ , czyli wynik podstawienia $n = 1$ . Tutaj $a_1 = 5$ , a jedynka jest wyrazem wolnym prostej, na której leżą punkty ciągu.

Mylenie różnicy z ilorazem przy badaniu rodzaju ciągu.

Skąd się bierze: Oba pytania pojawiają się w tym samym zadaniu i brzmią podobnie.

Jak zrobić dobrze: Arytmetyczny sprawdzamy odejmowaniem, geometryczny dzieleniem. Ciąg $3, 6, 12$ ma stały iloraz, ale różnice $3$ i $6$ — arytmetyczny nie jest.

Liczenie kroków jako różnicy numerów powiększonej o jeden.

Skąd się bierze: Odruch „od czwartego do dziesiątego jest siedem wyrazów” przenosi się na liczbę kroków.

Jak zrobić dobrze: Wyrazów jest siedem, ale kroków sześć — dokładnie $10 - 4$ . Kroków jest zawsze o jeden mniej niż wyrazów.

Cofanie się do pierwszego wyrazu z niewłaściwą liczbą kroków.

Skąd się bierze: Od $a_4$ do $a_1$ intuicyjnie „są cztery wyrazy”, więc odejmuje się $4r$ .

Jak zrobić dobrze: Kroków jest $4 - 1 = 3$ , więc $a_1 = a_4 - 3r$ . To ta sama jedynka, co we wzorze $a_n = a_1 + (n-1)r$ .

Zadania maturalne — ciąg arytmetyczny: rozpoznawanie i liczenie wyrazów

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała:

a_{n+1} - a_n = r

dla każdego

n

. Ze wzoru ogólnego widać to natychmiast — ciąg jest arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy wzór jest liniowy względem $n$ , czyli postaci

rn + c

; wtedy różnicą jest współczynnik przy

n

. Do liczenia wyrazów służy

a_n = a_1 + (n-1)r

, a przekształcone: liczba wyrazów od $a_1$ do $a_n$ to $\dfrac{a_n - a_1}{r} + 1$ — i ta jedynka na końcu jest najczęściej gubioną liczbą w całym dziale.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2018)1 pktłatwe

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_n)

określony wzorem

a_n = 16 - \dfrac{1}{2} \cdot n

dla każdej liczby całkowitej

n \geqslant 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

A. $r = -16$
B. $r = -\dfrac{1}{2}$
C. $r = -\dfrac{1}{32}$
D. $r = 15\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór jest liniowy względem $n$ , więc ciąg jest arytmetyczny, a różnicą jest współczynnik stojący przy $n$ — czyli $\textcolor{#16A06A}{-\tfrac12}$ . Można to odczytać wprost, ale warto zobaczyć, skąd się bierze.
$a_{n+1} - a_n = \left(\textcolor{#16A06A}{16} - \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}(n+1)\right) - \left(\textcolor{#16A06A}{16} - \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}n\right)$
Szesnastki się skracają, a z reszty zostaje:
$-\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}(n+1) + \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}n = -\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}n - \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} + \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}n = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na konkretnych wyrazach: $a_1 = 16 - \tfrac12 = \textcolor{#E0453A}{15{,}5}$ , $a_2 = 16 - 1 = \textcolor{#E0453A}{15}$ , $a_3 = 16 - 1{,}5 = \textcolor{#E0453A}{14{,}5}$ . Kolejne wyrazy maleją co $0{,}5$ ✓

💡 Wskazówka: Ze wzoru postaci $rn + c$ różnicę odczytuje się bez żadnego rachunku — to liczba przy $n$ . Wyraz wolny mówi tylko, gdzie ciąg „startuje”, i na różnicę nie wpływa. Warto to rozpoznawać od razu, bo takie zadania pojawiają się w arkuszach co roku.

⚠ Podanie $15\tfrac12$ , czyli pierwszego wyrazu zamiast różnicy — to liczba, która faktycznie wychodzi z podstawienia $n = 1$ , więc łatwo ją wziąć za odpowiedź. Odpowiedź $-16$ to wyraz wolny ze zmienionym znakiem; szesnastka w tym wzorze nie ma z różnicą nic wspólnego. Najprostsza kontrola: policz $a_1$ i $a_2$ i odejmij — dwie sekundy, a rozstrzyga wszystko.

Zadanie 2 (maj 2018)1 pktśrednie

Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = \dfrac{5 - 2n}{6}

dla

n \geqslant 1

. Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = -\dfrac{1}{3}$
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = -2$
C. geometryczny i jego iloraz jest równy $q = -\dfrac{1}{3}$
D. geometryczny i jego iloraz jest równy $q = \dfrac{5}{6}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw rozstrzygnijmy, jaki to ciąg. Rozbijmy wzór na dwa składniki:
$a_n = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2}n}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{5}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}}n$
Wzór jest liniowy względem $n$ , czyli postaci $rn + c$ — a to znaczy, że ciąg jest arytmetyczny. Odpowiedzi C i D odpadają.
Różnicą jest współczynnik przy $n$ :
$r = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac13}$
Odpowiedź: A.
Kontrola na wyrazach: $a_1 = \tfrac{3}{6} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ , $a_2 = \tfrac{1}{6} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac16}$ , $a_3 = \tfrac{-1}{6} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac16}$ .
Różnice: $\tfrac16 - \tfrac12 = -\tfrac13$ ✓ oraz $-\tfrac16 - \tfrac16 = -\tfrac13$ ✓ — stałe, więc ciąg jest arytmetyczny.
Sprawdźmy jeszcze, że nie jest geometryczny: iloraz $\tfrac{a_2}{a_1} = \tfrac{1/6}{1/2} = \tfrac13$ , ale $\tfrac{a_3}{a_2} = \tfrac{-1/6}{1/6} = -1$ — ilorazy różne, więc ciąg geometryczny nie jest.

💡 Wskazówka: Cały pomysł polega na rozbiciu ułamka na dwa składniki: $\tfrac{5-2n}{6} = \tfrac56 - \tfrac13 n$ . Dopóki wzór wygląda jak jeden ułamek, trudno cokolwiek odczytać; po rozbiciu widać zarówno rodzaj ciągu, jak i jego różnicę. Liczba $\tfrac56$ to pierwszy składnik i pojawia się w odpowiedzi D jako fałszywy „iloraz” — właśnie dlatego, że kusi.

⚠ Wzięcie za różnicę liczby $-2$ z licznika (odpowiedź B) — to współczynnik przy $n$ przed podzieleniem przez $6$ . Trzeba podzielić: $-\tfrac26 = -\tfrac13$ . Drugi błąd: uznanie ciągu za geometryczny, bo we wzorze jest ułamek. O rodzaju ciągu decyduje struktura wzoru, nie obecność kreski ułamkowej: liniowy względem $n$ to arytmetyczny, a wykładniczy (z $n$ w wykładniku) to geometryczny.

Zadanie 3 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = -3n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.

Liczby $2$ , $(-1)$ , $(-4)$ są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $(a_n)$ .	P	F
$(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej $5$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1 — liczymy trzy pierwsze wyrazy. Wystarczy podstawić $n = 1, 2, 3$ :
$a_1 = -\textcolor{#16A06A}{3} \cdot 1 + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $a_2 = -\textcolor{#16A06A}{3} \cdot 2 + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-1}$ , $a_3 = -\textcolor{#16A06A}{3} \cdot 3 + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Zgadza się z podanymi liczbami ✓ P
Zdanie 2 — różnica. Wzór jest liniowy, więc różnicą jest współczynnik przy $n$ :
$r = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Ciąg jest arytmetyczny, ale jego różnica wynosi $-3$ , a nie $5$ ✗ F
Odpowiedź: P, F.
Warto zauważyć, że zdanie drugie jest w połowie prawdziwe — i właśnie na tym polega jego trudność. Ciąg faktycznie jest arytmetyczny; fałszywa jest tylko podana wartość różnicy. Przy ocenie takiego zdania trzeba sprawdzić oba twierdzenia w nim zawarte.

💡 Wskazówka: Liczba $5$ z drugiego zdania to wyraz wolny wzoru, czyli $a_0$ gdyby ciąg zaczynał się od zera — nie różnica. Różnicę zawsze bierzemy spod $n$ . Kontrola jest natychmiastowa: różnice policzone z wypisanych wyrazów to $-1 - 2 = -3$ oraz $-4 - (-1) = -3$ .

⚠ Ocena drugiego zdania jako prawdziwego, bo „ciąg jest arytmetyczny” — i tak jest, ale zdanie mówi też o wartości różnicy, a ta się nie zgadza. Zdanie złożone jest fałszywe, gdy fałszywa jest choćby jego część. Drugi błąd: liczenie wyrazów od $n = 0$ , czyli $a_1 = 5$ ; treść mówi wprost „dla $n \geqslant 1$ ”, więc pierwszym wyrazem jest $2$ .

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Ciągi

(a_n)

(b_n)

oraz

(c_n)

są określone dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

następująco:

a_n = 6n^2 - n^3

b_n = 2n + 13

c_n = 2^n

. Wskaż zdanie prawdziwe.

A. Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.
B. Ciąg $(b_n)$ jest arytmetyczny.
C. Ciąg $(c_n)$ jest arytmetyczny.
D. Wśród ciągów $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ nie ma ciągu arytmetycznego.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ciąg jest arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy jego wzór ogólny jest liniowy względem $n$ — czyli gdy $n$ występuje tylko w pierwszej potędze i nie w wykładniku. Sprawdźmy wszystkie trzy.
$b_n = \textcolor{#16A06A}{2}n + \textcolor{#16A06A}{13}$ — liniowy, więc arytmetyczny z różnicą $\textcolor{#E0453A}{2}$ . To już wystarczy, by wskazać odpowiedź, ale warto obejrzeć pozostałe dwa.
$c_n = \textcolor{#16A06A}{2}^n$ — $n$ jest w wykładniku, więc ciąg jest geometryczny ( $q = 2$ ), a nie arytmetyczny: $c_1 = 2$ , $c_2 = 4$ , $c_3 = 8$ , a różnice to $2$ i $4$ — nie są stałe.
$a_n = \textcolor{#16A06A}{6}n^2 - n^3$ — występuje $n^2$ i $n^3$ , więc na pewno nie jest liniowy. Ale tu czai się pułapka warta zobaczenia:
$a_1 = 6 - 1 = \textcolor{#E0453A}{5}$ , $a_2 = 24 - 8 = \textcolor{#E0453A}{16}$ , $a_3 = 54 - 27 = \textcolor{#E0453A}{27}$ , $a_4 = 96 - 64 = \textcolor{#E0453A}{32}$
Pierwsze dwie różnice są równe: $16 - 5 = \textcolor{#E0453A}{11}$ i $27 - 16 = \textcolor{#E0453A}{11}$ . Kto sprawdzi tylko trzy pierwsze wyrazy, uzna ciąg za arytmetyczny! Trzecia różnica to jednak $32 - 27 = \textcolor{#E0453A}{5}$ — i ciąg arytmetyczny nie jest.
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Rodzaj ciągu rozpoznaje się ze struktury wzoru, a nie ze sprawdzania kilku wyrazów. Wzór liniowy ( $rn + c$ ) to ciąg arytmetyczny, wzór z $n$ w wykładniku ( $a \cdot q^n$ ) to geometryczny, a wszystko inne — ani jedno, ani drugie. To jedno spojrzenie zastępuje wszystkie rachunki.

⚠ Uznanie ciągu $(a_n)$ za arytmetyczny po sprawdzeniu trzech pierwszych wyrazów — bo dwie pierwsze różnice faktycznie są równe $11$ . To najlepiej zbudowana pułapka w tym zadaniu: sprawdzenie kilku wyrazów nigdy nie dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny; dowodzi tego wyłącznie stała różnica dla każdego $n$ , a to widać po strukturze wzoru. Drugi błąd: wybór ciągu $(c_n)$ , bo jego wyrazy „regularnie rosną” — rosną, ale mnożąc się przez $2$ , a nie dodając stałą.

Zadanie 5 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez

3

A. $12$
B. $24$
C. $29$
D. $30$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Liczby dwucyfrowe podzielne przez $3$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$ . Trzeba znaleźć jego pierwszy i ostatni wyraz, a potem policzyć, ile jest wyrazów.
Pierwszy wyraz: najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez $3$ . Dwucyfrowe zaczynają się od $\textcolor{#16A06A}{10}$ , a pierwszą podzielną przez $3$ jest $\textcolor{#E0453A}{12}$ .
Ostatni wyraz: największa liczba dwucyfrowa to $\textcolor{#16A06A}{99}$ , a ona sama dzieli się przez $3$ ( $9+9 = 18$ ), więc $a_n = \textcolor{#E0453A}{99}$ .
Liczba wyrazów. Ze wzoru $a_n = a_1 + (n-1)r$ :
$\textcolor{#E0453A}{99} = \textcolor{#E0453A}{12} + (n-1) \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{87} = (n-1) \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad n - 1 = \textcolor{#E0453A}{29}$
$n = \textcolor{#E0453A}{30}$
Odpowiedź: D.
Kontrola inną drogą: liczb podzielnych przez $3$ od $1$ do $99$ jest $\tfrac{99}{3} = 33$ , a od $1$ do $9$ jest ich $3$ (czyli $3$ , $6$ , $9$ ). Zostaje $33 - 3 = 30$ ✓

💡 Wskazówka: Wzór na liczbę wyrazów warto zapamiętać w postaci „różnica skrajnych przez krok, plus jeden”: $\tfrac{99-12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$ . Ta jedynka bierze się z tego, że liczymy wyrazy, a nie odstępy między nimi — odstępów jest zawsze o jeden mniej.

⚠ Pominięcie „plus jeden” i odpowiedź $29$ — najczęstsza pomyłka w tego typu zadaniach i dlatego $29$ stoi wśród odpowiedzi. Łatwo to sobie potwierdzić na małym przykładzie: liczb podzielnych przez $3$ od $12$ do $18$ jest trzy ( $12$ , $15$ , $18$ ), a $\tfrac{18-12}{3} = 2$ . Drugi błąd: odpowiedź $12$ , czyli podanie pierwszego wyrazu zamiast liczby wyrazów.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez

6

jest

A. $60$
B. $45$
C. $30$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Ten sam schemat co poprzednio, tylko z krokiem $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
Pierwszy wyraz: najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez $6$ to $\textcolor{#E0453A}{12}$ (bo $6$ jest jednocyfrowe).
Ostatni wyraz: największa dwucyfrowa podzielna przez $6$ . Liczba $99$ nie dzieli się przez $6$ (jest nieparzysta), $98$ też nie ( $98 : 6$ nie wychodzi), a $\textcolor{#E0453A}{96} = 6 \cdot 16$ — tak.
Liczba wyrazów:
$n = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{96} - \textcolor{#E0453A}{12}}{\textcolor{#16A06A}{6}} + 1 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{84}}{\textcolor{#16A06A}{6}} + 1 = \textcolor{#E0453A}{14} + 1 = 15$
Odpowiedź: D.
Kontrola: liczby podzielne przez $6$ to $6 \cdot 1, 6 \cdot 2, \ldots$ Dwucyfrowe są te od $6 \cdot 2 = 12$ do $6 \cdot 16 = 96$ , czyli mnożniki od $2$ do $16$ — a takich jest $16 - 2 + 1 = 15$ ✓

💡 Wskazówka: Warto zauważyć zależność między tym zadaniem a poprzednim: liczb dwucyfrowych podzielnych przez $3$ jest $30$ , a przez $6$ — dokładnie połowa z nich, czyli $15$ . Ma to sens: co druga wielokrotność trójki jest wielokrotnością szóstki. Takie sprawdzenie „na sens” zajmuje sekundę i wyłapuje grube pomyłki.

⚠ Odpowiedzi $60$ , $45$ i $30$ są coraz bliższe poprawnej, więc trzeba policzyć dokładnie. Najczęstszy błąd merytoryczny to przyjęcie za pierwszy wyraz liczby $6$ — ale $6$ nie jest dwucyfrowa, więc ciąg zaczyna się od $12$ . Drugi: przyjęcie za ostatni wyraz liczby $99$ albo $98$ ; trzeba cofnąć się do $96$ , bo tylko ona dzieli się przez $6$ .

Zadanie 7 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez

7

tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A. $77$
B. $84$
C. $91$
D. $98$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tym razem nie liczymy, ile jest wyrazów, a który wyraz stoi na dwunastym miejscu. Potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy.
Pierwszy wyraz: najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez $7$ . Mamy $7 \cdot 1 = 7$ (jednocyfrowe), $7 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{14}$ — to nasz $a_1$ .
Różnica: $r = \textcolor{#16A06A}{7}$ .
Dwunasty wyraz — od pierwszego do dwunastego jest jedenaście kroków:
$a_{12} = \textcolor{#E0453A}{14} + \textcolor{#16A06A}{11} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{14} + \textcolor{#E0453A}{77} = 91$
Odpowiedź: C.
Kontrola prościej: dwucyfrowe wielokrotności siódemki to $7 \cdot 2, 7 \cdot 3, \ldots$ , więc $n$ -ty wyraz to $7 \cdot (n+1)$ . Dla $n = 12$ daje to $7 \cdot 13 = 91$ ✓ Warto też sprawdzić, że $91$ jest dwucyfrowa — a kolejny wyraz, $98$ , jest ostatnim w tym ciągu.

💡 Wskazówka: Kluczowa jest liczba kroków: do dwunastego wyrazu jest ich jedenaście, nie dwanaście. Prościej jednak zauważyć, że dwucyfrowe wielokrotności siódemki to $7 \cdot 2$ , $7 \cdot 3$ , …, czyli $n$ -ty wyraz jest równy $7(n+1)$ — wtedy nie ma gdzie pomylić kroków, a rachunek to jedno mnożenie.

⚠ Policzenie $a_{12}$ jako $7 \cdot 12 = 84$ (odpowiedź B) — czyli potraktowanie ciągu jako $7, 14, 21, \ldots$ , w którym $n$ -tym wyrazem jest $7n$ . Siódemka nie jest jednak dwucyfrowa, więc ciąg jest przesunięty o jeden. Drugi błąd: dodanie $12 \cdot 7$ do pierwszego wyrazu, czyli $14 + 84 = 98$ — to już trzynasty wyraz, a jednocześnie ostatni w ciągu, co czyni tę odpowiedź szczególnie kuszącą.

Zadanie 8 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od

2018

i podzielnych przez

5

A. $402$
B. $403$
C. $203$
D. $204$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Trzeba spełnić trzy warunki naraz: liczba ma być czterocyfrowa, mniejsza od $2018$ i podzielna przez $5$ . Każdy z nich wyznacza jeden koniec ciągu.
Pierwszy wyraz: najmniejsza liczba czterocyfrowa to $\textcolor{#16A06A}{1000}$ — i akurat dzieli się przez $5$ , więc $a_1 = \textcolor{#E0453A}{1000}$ .
Ostatni wyraz: największa liczba mniejsza od $\textcolor{#16A06A}{2018}$ i podzielna przez $5$ . Liczba $2018$ się nie dzieli, $2017$ , $2016$ też nie — pierwsza w dół to $\textcolor{#E0453A}{2015}$ .
Różnica: $r = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
Liczba wyrazów:
$n = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2015} - \textcolor{#E0453A}{1000}}{\textcolor{#16A06A}{5}} + 1 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1015}}{\textcolor{#16A06A}{5}} + 1 = \textcolor{#E0453A}{203} + 1 = 204$
Odpowiedź: D.
Kontrola inną drogą: wielokrotności piątki od $1000$ do $2015$ to $5 \cdot 200$ aż do $5 \cdot 403$ , czyli mnożniki od $200$ do $403$ . Takich mnożników jest $403 - 200 + 1 = 204$ ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na słowo „mniejszych od” — $2018$ do zakresu nie należy. Gdyby zadanie mówiło „nie większych od $2018$ ”, ostatnim wyrazem byłby nadal $2015$ (bo $2018$ nie dzieli się przez $5$ ), ale przy innej granicy różnica bywa istotna. Zawsze warto sprawdzić, czy sama granica spełnia warunek podzielności.

⚠ Pominięcie „plus jeden” i odpowiedź $203$ — ten sam błąd co w zadaniu 5, tu tylko trudniej go wyłapać, bo liczby są duże. Odpowiedzi $402$ i $403$ pochodzą z innej pomyłki: to liczba wszystkich wielokrotności piątki od $1$ do $2015$ (czyli $403$ ) albo od $1$ do $2010$ . Warunek „czterocyfrowa” odcina wszystko poniżej $1000$ , a o tym łatwo zapomnieć, gdy skupimy się na granicy górnej.

Zadanie 9 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości

1

m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o

10

cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości

5{,}9

m. Ile trójkątów przedstawia mural?

A. $49$
B. $50$
C. $59$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Długości boków tworzą ciąg arytmetyczny: każdy kolejny bok jest o tyle samo dłuższy. Pytanie „ile trójkątów” to pytanie o liczbę wyrazów tego ciągu.
Najpierw jednostki — i to jest w tym zadaniu najważniejsze. W treści występują metry i centymetry, więc trzeba je ujednolicić:
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{1}\ \text{m} = \textcolor{#E0453A}{100}\ \text{cm}, \qquad r = \textcolor{#16A06A}{10}\ \text{cm}, \qquad a_n = \textcolor{#16A06A}{5{,}9}\ \text{m} = \textcolor{#E0453A}{590}\ \text{cm}$
Liczba wyrazów:
$n = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{590} - \textcolor{#E0453A}{100}}{\textcolor{#16A06A}{10}} + 1 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{490}}{\textcolor{#16A06A}{10}} + 1 = \textcolor{#E0453A}{49} + 1 = 50$
Odpowiedź: B.
Kontrola: pięćdziesiąty trójkąt ma bok $100 + 49 \cdot 10 = 100 + 490 = 590$ cm $= 5{,}9$ m ✓ Gdyby trójkątów było $49$ , ostatni bok wynosiłby $100 + 48 \cdot 10 = 580$ cm, czyli $5{,}8$ m — a treść mówi $5{,}9$ m.

💡 Wskazówka: Zamień wszystko na centymetry, zanim cokolwiek policzysz — wtedy wszystkie liczby są całkowite i nie ma ułamków. Zamiana na metry też działa ( $a_1 = 1$ , $r = 0{,}1$ , $a_n = 5{,}9$ ), ale rachunek na dziesiętnych jest bardziej podatny na błąd. Ilość „o $10$ cm dłuższy” to gotowa różnica ciągu, więc nie trzeba jej z niczego wyliczać.

⚠ Pominięcie „plus jeden” i odpowiedź $49$ — najczęstsza pomyłka, tak samo jak w zadaniach 5 i 8, i dlatego ta strona pokazuje ten sam błąd trzy razy w różnych kontekstach. Odpowiedzi $59$ i $60$ pochodzą z niezamienionych jednostek: kto potraktuje $5{,}9$ m jako „ $59$ kroków po $10$ cm”, zapomni, że ciąg startuje od $100$ cm, a nie od zera. Warto sprawdzić wynik podstawieniem: przy $60$ trójkątach ostatni bok miałby $690$ cm.

Zadanie 10 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Informacja do zadań 10–12. Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = 3n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe — wybierz odpowiedź

A

B

albo

C

oraz jej uzasadnienie

1

2

albo

3

.
Ciąg

(a_n)

jest ………, ponieważ dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

……… .

A. rosnący
B. malejący
C. stały
1. $a_{n+1} - a_n = -1$
2. $a_{n+1} - a_n = 0$
3. $a_{n+1} - a_n = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 3

Uzasadnienia podpowiadają, co policzyć: wszystkie trzy dotyczą różnicy kolejnych wyrazów. Wyznaczmy ją wprost z definicji.
$a_{n+1} = \textcolor{#16A06A}{3}(n+1) - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}n + \textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}n + \textcolor{#E0453A}{2}$
$a_{n+1} - a_n = \left(\textcolor{#E0453A}{3}n + \textcolor{#E0453A}{2}\right) - \left(\textcolor{#16A06A}{3}n - \textcolor{#16A06A}{1}\right) = \textcolor{#E0453A}{3}$
Różnica jest stała i dodatnia, więc każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego — ciąg rośnie.
Odpowiedź: $A$ oraz $3$ .
Kontrola na liczbach: $a_1 = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $a_2 = \textcolor{#E0453A}{5}$ , $a_3 = \textcolor{#E0453A}{8}$ — kolejne wyrazy rosną co $3$ ✓
Zwróć uwagę, że różnicę można było odczytać bez rachunku: wzór $3n - 1$ jest liniowy, a różnicą jest współczynnik przy $n$ , czyli $3$ . Rozpisanie $a_{n+1} - a_n$ jest jednak tym, czego wymaga uzasadnienie — zadanie prosi nie tylko o odpowiedź, ale o powód.

💡 Wskazówka: W zadaniach z uzasadnieniem przeczytaj najpierw listę uzasadnień — mówi ona, jaką wielkość trzeba policzyć. Tutaj wszystkie trzy dotyczą $a_{n+1} - a_n$ , więc od razu wiadomo, że chodzi o różnicę, a nie na przykład o iloraz. Zostaje policzyć ją i porównać z trzema wartościami.

⚠ Wybór uzasadnienia $1$ ( $a_{n+1} - a_n = -1$ ), bo we wzorze widać $-1$ . Ta jedynka z minusem jest wyrazem wolnym, a nie różnicą — różnica to liczba przy $n$ . Drugi błąd: wybór odpowiedzi $C$ („stały”) z uzasadnieniem $2$ ; różnica równa zero oznaczałaby ciąg stały, ale tu wynosi $3$ . Warto policzyć dwa pierwsze wyrazy i je odjąć — dwie sekundy, a rozstrzyga i odpowiedź, i uzasadnienie.

Zadanie 11 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Informacja do zadań 10–12. Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = 3n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

.

Najmniejszą wartością

n

, dla której wyraz

a_n

jest większy od

25

, jest

A. $8$
B. $9$
C. $7$
D. $26$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zapisujemy warunek jako nierówność i rozwiązujemy ją względem $n$ :
$\textcolor{#16A06A}{3}n - \textcolor{#16A06A}{1} > \textcolor{#16A06A}{25}$
$\textcolor{#16A06A}{3}n > \textcolor{#E0453A}{26} \qquad \Longrightarrow \qquad n > \textcolor{#E0453A}{\dfrac{26}{3}} \approx \textcolor{#E0453A}{8{,}67}$
Numer wyrazu musi być liczbą naturalną, a najmniejszą naturalną większą od $8{,}67$ jest $\textcolor{#E0453A}{9}$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola na dwóch wyrazach — obowiązkowa, bo granica nie jest liczbą całkowitą:
$a_8 = 3 \cdot 8 - 1 = \textcolor{#E0453A}{23}$ , a $23 > 25$ jest fałszem ✗
$a_9 = 3 \cdot 9 - 1 = \textcolor{#E0453A}{26}$ , a $26 > 25$ jest prawdą ✓
Ósmy wyraz jest więc jeszcze za mały, a dziewiąty już wystarcza.

💡 Wskazówka: Po rozwiązaniu nierówności zawsze sprawdź dwa sąsiednie wyrazy — ten, który wskazałeś, i poprzedni. Jeśli pierwszy spełnia warunek, a drugi nie, odpowiedź jest pewna. To zajmuje dwa mnożenia i całkowicie zabezpiecza przed pomyłką w zaokrągleniu.

⚠ Zaokrąglenie $\tfrac{26}{3} \approx 8{,}67$ w dół i odpowiedź $8$ — szukamy $n$ większego od tej liczby, więc idziemy w górę. Odpowiedź A jest podstawiona dokładnie na to. Odpowiedź $26$ to liczba $3n$ z drugiego kroku, czyli wynik pośredni podany jako końcowy — częsty odruch przy nierównościach: po przeniesieniu wyrazu wolnego przestaje się dzielić przez współczynnik. Zarówno $7$ , jak i $8$ odpada w jednym mnożeniu: $a_7 = 20$ i $a_8 = 23$ , a obie liczby są mniejsze od $25$ .

Zadanie 12 (wrzesień 2022)1 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 10–12. Dany jest ciąg

(a_n)

określony wzorem

a_n = 3n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

.

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_n)

jest równa

57

dla

n

równego

A. $6$
B. $23$
C. $5$
D. $11$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ponieważ odpowiedziami są konkretne liczby, najszybciej jest sprawdzać — ale pokażę też drogę rachunkową, bo warto wiedzieć, że prowadzi do równania kwadratowego.
Droga najszybsza — dodawanie wyrazów. Wypisujemy je ze wzoru: $\textcolor{#E0453A}{2}, \textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{8}, \textcolor{#E0453A}{11}, \textcolor{#E0453A}{14}, \textcolor{#E0453A}{17}, \ldots$
Sumujemy narastająco: $2$ , $7$ , $15$ , $26$ , $40$ , $\textcolor{#E0453A}{57}$ — szósta suma to dokładnie $\textcolor{#16A06A}{57}$ .
Odpowiedź: A, czyli $n = 6$ .
Droga rachunkowa. Ze wzoru na sumę, z $a_1 = \textcolor{#E0453A}{2}$ i $a_n = \textcolor{#16A06A}{3}n - \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$S_n = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2} + \left(\textcolor{#16A06A}{3}n - \textcolor{#16A06A}{1}\right)}{2} \cdot n = \dfrac{\left(\textcolor{#E0453A}{3}n + \textcolor{#E0453A}{1}\right) \cdot n}{2}$
$\dfrac{n\left(\textcolor{#E0453A}{3}n + \textcolor{#E0453A}{1}\right)}{2} = \textcolor{#16A06A}{57} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{3}n^2 + n - \textcolor{#E0453A}{114} = 0$
$\Delta = 1 + 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{114} = \textcolor{#E0453A}{1369}, \qquad \sqrt{\Delta} = \textcolor{#E0453A}{37}$
$n = \dfrac{-1 + \textcolor{#E0453A}{37}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{6}$ — drugi pierwiastek, $\dfrac{-1-37}{6}$ , jest ujemny, a numer wyrazu ujemny być nie może.
Oba sposoby dają $n = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedziami są małe liczby naturalne, dodawanie wyrazów po kolei jest szybsze niż wzór — przy sześciu wyrazach to pięć dodawań w głowie. Drogę przez równanie kwadratowe warto znać na wypadek, gdyby odpowiedzi były duże, ale tutaj kosztuje ona liczenie delty z liczby $1369$ .

⚠ Podanie $23$ , czyli wartości wyrazu zamiast jego numeru — $a_8 = 23$ . Pytanie brzmi „dla $n$ równego”, więc odpowiedzią jest zawsze numer, a nie liczba z samego ciągu. Drugi błąd: zatrzymanie się na piątej sumie ( $40$ ) i podanie $5$ — dlatego wśród odpowiedzi są zarówno $5$ , jak i $6$ . Przy dodawaniu narastającym warto zapisywać sumy w kolumnie obok numerów, a nie liczyć w pamięci.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. P, F	4. B	5. D	6. D
7. C	8. D	9. B	10. A, 3	11. B	12. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, wyraz środkowy jako średnia

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Cała ta strona stoi na jednej własności: jeśli

a

b

c

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to $2b = a + c$ — wyraz środkowy jest średnią sąsiadów. Bierze się to z definicji: skoro

b - a = c - b

, to po przeniesieniu

2b = a+c

. Z tej samej własności wynika reguła ogólniejsza, która obsługuje połowę zadań tej strony: suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów, czyli

a_i + a_j = a_k + a_l

zawsze, gdy

i + j = k + l

. Stąd

a_3 + a_5 = 2a_4

, a także

a_1 + a_6 = a_3 + a_4

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 9 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 9 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Trzywyrazowy ciąg

(1,\ 4,\ a + 5)

jest arytmetyczny. Liczba

a

jest równa

A. $0$
B. $7$
C. $2$
D. $11$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają warunek wyraz środkowy = średnia sąsiadów, czyli podwojony środkowy równa się sumie skrajnych:
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{1} + (\textcolor{#16A06A}{a + 5})$
$\textcolor{#E0453A}{8} = a + \textcolor{#E0453A}{6} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: C.
Kontrola: dla $a = 2$ trzeci wyraz to $2 + 5 = \textcolor{#E0453A}{7}$ , a ciąg to $1,\ 4,\ 7$ — kolejne wyrazy różnią się o $3$ ✓
Można też prościej: skoro pierwsze dwa wyrazy to $1$ i $4$ , to różnica wynosi $\textcolor{#E0453A}{3}$ , a trzeci wyraz musi być równy $4 + 3 = \textcolor{#E0453A}{7}$ . Stąd $a + 5 = 7$ , czyli $a = 2$ .

💡 Wskazówka: Gdy dwa z trzech wyrazów są liczbami, najszybciej policzyć różnicę z tych dwóch i dopisać trzeci. Warunek $2b = a+c$ przydaje się dopiero wtedy, gdy niewiadoma siedzi w więcej niż jednym wyrazie — jak w następnych zadaniach.

⚠ Podanie $7$ , czyli wartości trzeciego wyrazu zamiast liczby $a$ . Trzeci wyraz to $a + 5$ , więc po znalezieniu, że wynosi $7$ , trzeba jeszcze odjąć piątkę. Odpowiedź B jest podstawiona dokładnie na to zatrzymanie się o krok za wcześnie. Drugi błąd: potraktowanie ciągu jak geometrycznego i szukanie $\tfrac{4}{1} = \tfrac{a+5}{4}$ , co daje $a = 11$ — odpowiedź D.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(5m,\ 4 + 2m,\ m)

jest arytmetyczny, gdy liczba

m

jest równa

A. $(-4)$
B. $(-1)$
C. $1$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tu parametr $m$ występuje we wszystkich trzech wyrazach, więc licząc różnicę „z dwóch pierwszych” niczego nie ułatwimy. Warunek $2b = a + c$ jest jedyną sensowną drogą.
$2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{4 + 2m}) = \textcolor{#16A06A}{5m} + \textcolor{#16A06A}{m}$
$\textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{4}m = \textcolor{#E0453A}{6}m$
$\textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{6}m - \textcolor{#E0453A}{4}m = \textcolor{#E0453A}{2}m \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: D.
Kontrola: dla $m = 4$ ciąg to $(5 \cdot 4,\ 4 + 8,\ 4) = (\textcolor{#E0453A}{20},\ \textcolor{#E0453A}{12},\ \textcolor{#E0453A}{4})$ — kolejne wyrazy różnią się o $-8$ ✓ Ciąg jest malejący, ale to nie przeszkadza: warunek dotyczy stałości różnicy, nie jej znaku.

💡 Wskazówka: Zapisz warunek przed jakimkolwiek liczeniem: „podwójny środkowy = suma skrajnych”. Wtedy zadanie sprowadza się do jednego równania liniowego, w którym po lewej stronie masz $8 + 4m$ , a po prawej $6m$ — bez żadnych nawiasów do rozwijania po prawej, bo $5m + m$ to po prostu $6m$ .

⚠ Zapisanie warunku jako $2 \cdot (4+2m) = 5m \cdot m$ albo pomnożenie skrajnych wyrazów zamiast dodania — to warunek dla ciągu geometrycznego (gdzie $b^2 = ac$ ), a nie arytmetycznego. Drugi błąd: pomnożenie tylko pierwszego składnika nawiasu, czyli $8 + 2m = 6m$ , co daje $m = 2$ — liczbę spoza odpowiedzi, więc pomyłka się ujawnia.

Zadanie 3 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Trzywyrazowy ciąg

(2m - 5,\ 4,\ 9)

jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie — wybierz odpowiedź

A

albo

B

oraz odpowiedź

1

2

albo

3

.
Ten ciąg jest ……… oraz ……… .

A. rosnący
B. malejący
1. $m = -1$
2. $m = 2$
3. $m = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 2

Najpierw monotoniczność — bez żadnego rachunku. Drugi i trzeci wyraz są liczbami: $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{9}$ . Skoro $9 > 4$ , to ciąg rośnie, a znak $m$ nie ma z tym nic wspólnego.
Ciąg jest zatem rosnący — odpowiedź $A$ . To warto zauważyć od razu, bo połowa zadania jest gotowa przed policzeniem $m$ .
Teraz parametr. Warunek na trzy kolejne wyrazy:
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = (\textcolor{#16A06A}{2m - 5}) + \textcolor{#16A06A}{9}$
$\textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{2}m + \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2}m = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: $A$ oraz $2$ .
Kontrola: dla $m = 2$ pierwszy wyraz to $2 \cdot 2 - 5 = \textcolor{#E0453A}{-1}$ , a ciąg to $(-1,\ 4,\ 9)$ — różnica $\textcolor{#E0453A}{5}$ , stała i dodatnia ✓ Ciąg rzeczywiście rośnie.

💡 Wskazówka: Monotoniczność da się tu ustalić z dwóch ostatnich wyrazów, które są zwykłymi liczbami — $4$ i $9$ , więc ciąg rośnie. To jedna z niewielu okazji, gdy połowę odpowiedzi dostaje się bez rachunku. Liczbę $m$ trzeba dopiero wyznaczyć, ale ona już na monotoniczność nie wpływa.

⚠ Wybór odpowiedzi $1$ ( $m = -1$ ), bo $-1$ jest pierwszym wyrazem gotowego ciągu — a pytanie dotyczy $m$ , nie wyrazu. To bardzo dobrze zastawiona pułapka: liczba $-1$ faktycznie pojawia się w rozwiązaniu, tylko w innej roli. Drugi błąd: uznanie ciągu za malejący, bo $2m - 5$ „wygląda na ujemne” — ciąg czyta się od pierwszego wyrazu do trzeciego, a od $-1$ przez $4$ do $9$ wartości rosną.

Zadanie 4 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Pięciowyrazowy ciąg

\left(-3,\ \dfrac{1}{2},\ x,\ y,\ 11\right)

jest arytmetyczny. Liczby

x

oraz

y

są równe

A. $x = 4$ oraz $y = \dfrac{15}{2}$
B. $x = \dfrac{15}{2}$ oraz $y = 4$
C. $x = -4$ oraz $y = \dfrac{15}{2}$
D. $x = -\dfrac{15}{2}$ oraz $y = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Dwa pierwsze wyrazy są liczbami, więc różnicę mamy natychmiast — i to najkrótsza droga, mimo dwóch niewiadomych.
$r = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} - (\textcolor{#16A06A}{-3}) = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac72}$
Kolejne wyrazy dostajemy przez dodawanie $r$ :
$x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac72} = \textcolor{#E0453A}{4}$
$y = \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac72} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{15}{2}}$
Odpowiedź: A.
Kontrola na piątym wyrazie, którego jeszcze nie użyliśmy: $y + r = \tfrac{15}{2} + \tfrac72 = \tfrac{22}{2} = \textcolor{#E0453A}{11}$ ✓ — zgadza się z treścią. To najlepsze możliwe sprawdzenie, bo używa danej, która nie brała udziału w rachunku.
Cały ciąg wygląda więc tak: $-3,\ \tfrac12,\ 4,\ \tfrac{15}{2},\ 11$ — pięć wyrazów rosnących co $3{,}5$ .

💡 Wskazówka: Zauważ, że piąty wyraz jest daną nadmiarową — do wyliczenia $x$ i $y$ wystarczają dwa pierwsze. Nie oznacza to, że jest zbędny: to gotowa kontrola. W zadaniach z dwiema niewiadomymi zawsze warto sprawdzić, czy jakaś dana została niewykorzystana, i użyć jej właśnie do sprawdzenia.

⚠ Zamiana $x$ i $y$ miejscami (odpowiedź B) — ciąg jest rosnący, więc $x$ musi być mniejsze od $y$ . Wystarczy porównać $4$ i $\tfrac{15}{2} = 7{,}5$ , żeby to rozstrzygnąć. Odpowiedzi C i D podają wartości ujemne, mimo że ciąg rośnie od $-3$ do $11$ , więc trzeci i czwarty wyraz muszą leżeć między tymi liczbami — i to samo je wyklucza.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek

a_3 + a_5 = 58

. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. $28$
B. $29$
C. $33$
D. $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wyrazy $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu, więc środkowy z nich jest średnią skrajnych:
$\textcolor{#16A06A}{a_3} + \textcolor{#16A06A}{a_5} = 2a_4$
$\textcolor{#16A06A}{58} = 2a_4 \qquad \Longrightarrow \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{29}$
Odpowiedź: B.
Zwróć uwagę, że nie znamy ani $a_1$ , ani $r$ — i wcale ich nie potrzebujemy. Wynik jest ten sam dla każdego ciągu arytmetycznego spełniającego warunek z treści.
Kontrola na dwóch różnych ciągach. Weźmy $r = 1$ : wtedy $a_4 = 29$ , $a_3 = 28$ , $a_5 = 30$ , a suma skrajnych to $58$ ✓ Weźmy $r = 10$ : $a_3 = 19$ , $a_5 = 39$ , suma znowu $58$ ✓ — w obu przypadkach $a_4 = 29$ .

💡 Wskazówka: Nie próbuj rozpisywać $a_3$ i $a_5$ przez $a_1$ i $r$ — to działa, ale jest dłuższe: $(a_1+2r) + (a_1+4r) = 2a_1 + 6r = 2(a_1+3r) = 2a_4$ . Wynik ten sam, tylko trzy linijki później. Wystarczy zauważyć, że $a_3$ i $a_5$ leżą symetrycznie wokół $a_4$ .

⚠ Podzielenie $58$ przez liczbę wyrazów, czyli przez $3$ (bo „trzy wyrazy: trzeci, czwarty, piąty”) — wychodzi $19{,}33$ , liczba spoza odpowiedzi. Suma dotyczy dwóch wyrazów, nie trzech. Drugi błąd: odpowiedź $28$ albo $33$ — to liczby bliskie poprawnej, ale wynikające z prób odgadnięcia $a_1$ i $r$ ; przy tym zadaniu żadne konkretne $a_1$ nie jest potrzebne.

Zadanie 6 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

a_4 = 2020

. Suma

a_2 + a_6

jest równa

A. $505$
B. $1010$
C. $2020$
D. $4040$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Ta sama własność, tylko użyta w drugą stronę: znamy wyraz środkowy, a szukamy sumy skrajnych.
Wyrazy $a_2$ i $a_6$ leżą symetrycznie wokół $a_4$ — o dwa kroki w każdą stronę. Zatem
$a_2 + a_6 = 2a_4 = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2020} = 4040$
Odpowiedź: D.
Dlaczego to działa? Bo $a_2 = a_4 - \textcolor{#E0453A}{2}r$ oraz $a_6 = a_4 + \textcolor{#E0453A}{2}r$ , więc dodając je, składniki z $r$ znoszą się:
$(a_4 - 2r) + (a_4 + 2r) = \textcolor{#E0453A}{2}a_4$
Kontrola na konkretnym ciągu: dla $r = 100$ mamy $a_2 = 1820$ i $a_6 = 2220$ , a ich suma to $4040$ ✓ Dla $r = -5$ : $a_2 = 2030$ , $a_6 = 2010$ , suma znowu $4040$ ✓

💡 Wskazówka: Ogólna zasada, która obsługuje to i cztery następne zadania: suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów. Tutaj $2 + 6 = 8$ i $4 + 4 = 8$ , więc $a_2 + a_6 = a_4 + a_4 = 2a_4$ . Nie trzeba nawet myśleć o symetrii — wystarczy dodać indeksy.

⚠ Odpowiedź $2020$ , czyli przepisanie danej — kto pomyśli „środkowy jest średnią, więc suma też wynosi $2020$ ”, pomyli średnią z sumą. Średnia $a_2$ i $a_6$ faktycznie równa się $2020$ , ale ich suma jest dwa razy większa. Odpowiedzi $505$ i $1010$ to $2020$ podzielone przez $4$ i przez $2$ — czyli dzielenie zamiast mnożenia.

Zadanie 7 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

, określony dla

n \geqslant 1

, spełnia warunek

a_3 + a_4 + a_5 = 15

. Wtedy

A. $a_4 = 5$
B. $a_4 = 6$
C. $a_4 = 3$
D. $a_4 = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Teraz sumujemy trzy kolejne wyrazy — i tu własność wyrazu środkowego daje jeszcze prostszy wniosek.
$a_3 = a_4 - r, \qquad a_5 = a_4 + r$
Dodajemy wszystkie trzy; składniki z $r$ znoszą się:
$a_3 + a_4 + a_5 = (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r) = \textcolor{#E0453A}{3}a_4$
$\textcolor{#E0453A}{3}a_4 = \textcolor{#16A06A}{15} \qquad \Longrightarrow \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{5}$
Odpowiedź: A.
Reguła warta zapamiętania: suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa potrojonemu wyrazowi środkowemu. Odwrotnie: wyraz środkowy to suma podzielona przez trzy. Ta sama zasada działa dla pięciu, siedmiu i każdej nieparzystej liczby kolejnych wyrazów.
Kontrola: dla $r = 2$ ciąg wokół $a_4 = 5$ to $3, 5, 7$ , a suma to $15$ ✓ Dla $r = -1$ : $6, 5, 4$ , suma znowu $15$ ✓

💡 Wskazówka: Przy nieparzystej liczbie kolejnych wyrazów zawsze dziel sumę przez ich liczbę — dostajesz wyraz środkowy. To działa, bo odchylenia od środka znoszą się parami. Przy parzystej liczbie wyrazów środkowego nie ma, więc ta sztuczka nie zadziała i trzeba wrócić do $a_1$ i $r$ .

⚠ Dzielenie $15$ przez $2$ (bo „suma dwóch skrajnych”) albo przez $5$ (bo w treści występuje $a_5$ ) — oba dają liczby spoza odpowiedzi. Prawdziwa pułapka to podzielenie przez trzy, ale przypisanie wyniku niewłaściwemu wyrazowi: $5$ jest wartością $a_4$ , a nie $a_3$ czy $a_5$ . Wyraz środkowy z trójki $a_3, a_4, a_5$ to $a_4$ .

Zadanie 8 (maj 2018)1 pktłatwe

Dla ciągu arytmetycznego

(a_n)

określonego dla

n \geqslant 1

jest spełniony warunek

a_4 + a_5 + a_6 = 12

. Wtedy

A. $a_5 = 4$
B. $a_5 = 3$
C. $a_5 = 6$
D. $a_5 = 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, tylko trójka wyrazów jest przesunięta o jeden. Wyrazem środkowym jest teraz $a_5$ .
$a_4 + a_5 + a_6 = \textcolor{#E0453A}{3}a_5$
$\textcolor{#E0453A}{3}a_5 = \textcolor{#16A06A}{12} \qquad \Longrightarrow \qquad a_5 = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla $r = 3$ ciąg wokół $a_5 = 4$ to $1, 4, 7$ , a suma to $12$ ✓
Warto porównać oba zadania: w poprzednim sumowaliśmy $a_3 + a_4 + a_5$ i wyszedł $a_4$ , tutaj $a_4 + a_5 + a_6$ i wychodzi $a_5$ . Numer wyrazu środkowego to zawsze średnia numerów skrajnych — tu $\tfrac{4+6}{2} = 5$ .

💡 Wskazówka: Zanim podzielisz sumę przez trzy, upewnij się, który wyraz jest środkowy — jego numer to średnia numerów skrajnych. W tym zadaniu odpowiedzi zawierają zarówno $4$ (poprawne $a_5$ ), jak i $5$ oraz $6$ , czyli liczby będące numerami wyrazów z treści. Łatwo pomylić numer z wartością.

⚠ Odpowiedź $a_5 = 5$ — czyli podanie numeru wyrazu jako jego wartości. Liczby $4$ , $5$ i $6$ występują w treści jako indeksy, a jednocześnie trzy z nich stoją w odpowiedziach jako wartości; to nie przypadek. Drugi błąd: podzielenie $12$ przez $2$ i odpowiedź $6$ , czyli traktowanie sumy jak sumy dwóch wyrazów.

Zadanie 9 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa

13

. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

A. $13$
B. $12$
C. $7$
D. $6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tu nie ma wyrazu środkowego — mamy dwie pary wyrazów. Działa jednak reguła ogólniejsza: suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów.
Sprawdzamy sumy indeksów: $\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{7}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{7}$ — równe, więc obie sumy wyrazów też są równe:
$a_3 + a_4 = a_1 + a_6 = 13$
Odpowiedź: A.
Rachunek, który to potwierdza. Zapiszmy wszystko przez $a_1$ i $r$ :
$a_1 + a_6 = a_1 + (a_1 + \textcolor{#E0453A}{5}r) = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{5}r$
$a_3 + a_4 = (a_1 + \textcolor{#E0453A}{2}r) + (a_1 + \textcolor{#E0453A}{3}r) = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{5}r$
Oba wyrażenia są identyczne — i to jest cały dowód. Liczba $5$ przy $r$ bierze się w obu przypadkach z sumy indeksów pomniejszonej o dwa.
Kontrola na konkretnym ciągu: dla $a_1 = 1$ , $r = 2$ mamy $a_6 = 11$ , więc $a_1 + a_6 = 12$ … to nie $13$ , więc dobierzmy inny: dla $a_1 = 4$ , $r = 1$ mamy $a_6 = 9$ , suma $13$ ✓ Wtedy $a_3 = 6$ , $a_4 = 7$ , a ich suma to $13$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć cokolwiek, dodaj indeksy. Jeśli sumy numerów są równe, sumy wyrazów też — i wynik przepisuje się wprost z treści. Ta reguła obsługuje wszystkie zadania typu „skoro $a_i + a_j = c$ , to ile wynosi $a_k + a_l$ ”, a jest ich w arkuszach dużo.

⚠ Próba wyznaczenia $a_1$ i $r$ z jednego równania — nie da się, bo jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań. To zresztą podpowiedź, że zadania nie trzeba rozwiązywać tą drogą: wynik musi być taki sam dla wszystkich takich ciągów. Odpowiedź $7$ jest podstawiona na inną pomyłkę — to suma indeksów ( $1+6$ ), a nie suma wyrazów.

Zadanie 10 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_n)

, określony dla liczb naturalnych

n \geqslant 1

, o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_2 + a_9 = a_4 + a_k

, to

k

jest równe

A. $8$
B. $7$
C. $6$
D. $5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ta sama reguła, ale rozwiązana względem indeksu: równe sumy numerów dają równe sumy wyrazów. W drugą stronę wnioskujemy tylko przy $r \neq 0$ , a to zapewnia słowo „rosnący” z treści.
$\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{9} = \textcolor{#16A06A}{4} + k$
$\textcolor{#E0453A}{11} = \textcolor{#16A06A}{4} + k \qquad \Longrightarrow \qquad k = \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: B.
Sprawdzenie rachunkiem — obie strony przez $a_1$ i $r$ :
$a_2 + a_9 = (a_1 + r) + (a_1 + \textcolor{#E0453A}{8}r) = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{9}r$
$a_4 + a_7 = (a_1 + \textcolor{#E0453A}{3}r) + (a_1 + \textcolor{#E0453A}{6}r) = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{9}r$ ✓ — identyczne.
Kontrola na liczbach: weźmy $a_1 = 1$ , $r = 1$ , czyli ciąg $1, 2, 3, \ldots$ (rosnący, o wyrazach dodatnich, jak w treści). Wtedy $a_2 + a_9 = 2 + 9 = 11$ oraz $a_4 + a_7 = 4 + 7 = 11$ ✓
Zwróć uwagę, że założenia „rosnący” i „o wyrazach dodatnich” nie są potrzebne do samego rachunku — równość zachodzi w każdym ciągu arytmetycznym. Słowo „rosnący” jest tu jednak istotne: daje $r \neq 0$ , a bez tego równość spełniałoby każde $k$ i zadanie nie miałoby jednej odpowiedzi. Warunek o wyrazach dodatnich jest w treści po to, żeby sprawdzić, czy uczeń nie zacznie go bez potrzeby wykorzystywać.

💡 Wskazówka: Całe zadanie to jedno dodawanie i jedno odejmowanie na indeksach: $2 + 9 = 4 + k$ . Nie ma tu żadnych wyrazów do liczenia. Gdy w zadaniu stoi równość dwóch sum wyrazów, zawsze najpierw sprawdź, czy nie chodzi po prostu o sumy numerów.

⚠ Przesunięcie indeksu w złą stronę. Rozumowanie jest takie: numer $4$ jest o dwa większy od $2$ , więc żeby suma się nie zmieniła, drugi numer musi być o dwa mniejszy od $9$ — czyli $7$ . Kto przesunie oba w tę samą stronę, zapisze $k = 9 + 2 = 11$ ; taka liczba nie występuje wśród odpowiedzi, więc ten błąd sam się ujawnia. Groźniejsze jest wciągnięcie do rachunku założeń z treści: „rosnący” i „o wyrazach dodatnich” nie są potrzebne do rachunku — równość zachodzi w każdym ciągu arytmetycznym, a próba wykorzystania tych warunków prowadzi do szukania konkretnego $a_1$ , którego wyznaczyć się nie da.

Zadania otwarte

Zadanie 11 (sierpień 2011)2 pktłatwe

Liczby

2x + 1

6

16x + 2

są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz

x

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $x = \dfrac{1}{2}$

Wyraz środkowy jest średnią skrajnych, więc zapisujemy warunek $2b = a + c$ :
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = (\textcolor{#16A06A}{2x + 1}) + (\textcolor{#16A06A}{16x + 2})$
$\textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{18}x + \textcolor{#E0453A}{3}$
$\textcolor{#E0453A}{18}x = \textcolor{#E0453A}{9} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
Odpowiedź: $x = \tfrac12$ .
Sprawdzenie — obowiązkowe w zadaniu otwartym. Dla $x = \tfrac12$ wyrazy to:
$2 \cdot \tfrac12 + 1 = \textcolor{#E0453A}{2}, \qquad \textcolor{#E0453A}{6}, \qquad 16 \cdot \tfrac12 + 2 = \textcolor{#E0453A}{10}$
Ciąg $2,\ 6,\ 10$ ma stałą różnicę $\textcolor{#E0453A}{4}$ ✓

💡 Wskazówka: Nie licz różnicy z pierwszych dwóch wyrazów — jeden z nich zawiera $x$ , więc dostaniesz wyrażenie, nie liczbę. Warunek $2b = a+c$ jest tu naturalny, bo środkowy wyraz jest znany, a niewiadoma siedzi w obu skrajnych. Po dodaniu ich $x$ -y łączą się w jeden składnik.

⚠ Zapisanie warunku jako $6 - (2x+1) = (16x+2) - 6$ — to też poprawne równanie i prowadzi do tego samego wyniku, ale wymaga uważności przy dwóch odejmowaniach. Realny błąd to pomnożenie skrajnych zamiast dodania: warunek $b^2 = ac$ dotyczy ciągu geometrycznego. W zadaniu otwartym nie ma odpowiedzi do porównania, więc sprawdzenie przez wypisanie trzech wyrazów jest częścią rozwiązania — bez niego łatwo oddać wynik z błędem znaku.

Zadanie 12 (czerwiec 2014)2 pktłatwe

Liczby

6

2x + 4

x + 26

w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę

r

tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $r = 14$

Zadanie ma dwa etapy: najpierw wyznaczamy $x$ , a dopiero potem różnicę. O tym drugim łatwo zapomnieć.
Etap 1 — warunek na trzy kolejne wyrazy:
$2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{2x + 4}) = \textcolor{#16A06A}{6} + (\textcolor{#16A06A}{x + 26})$
$\textcolor{#E0453A}{4}x + \textcolor{#E0453A}{8} = x + \textcolor{#E0453A}{32}$
$\textcolor{#E0453A}{3}x = \textcolor{#E0453A}{24} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{8}$
Etap 2 — wyrazy i różnica. Podstawiamy $x = \textcolor{#E0453A}{8}$ :
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{6}, \qquad a_2 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} + 4 = \textcolor{#E0453A}{20}, \qquad a_3 = \textcolor{#E0453A}{8} + 26 = \textcolor{#E0453A}{34}$
$r = a_2 - a_1 = \textcolor{#E0453A}{20} - \textcolor{#16A06A}{6} = 14$
Odpowiedź: $r = 14$ .
Sprawdzenie: $a_3 - a_2 = 34 - 20 = 14$ ✓ — obie różnice równe, więc ciąg jest arytmetyczny i wynik jest poprawny.

💡 Wskazówka: Po wyznaczeniu $x$ wypisz wszystkie trzy wyrazy jako liczby — wtedy różnicę odczytasz wprost, a przy okazji dostaniesz darmowe sprawdzenie, bo obie różnice muszą być równe. Próba wyliczenia $r$ „symbolicznie”, jako $2x+4-6 = 2x-2$ , też działa, ale wymaga jeszcze jednego podstawienia i łatwiej w niej pomylić się o znak.

⚠ Zatrzymanie się na $x = 8$ i podanie tej liczby jako odpowiedzi — zadanie pyta o różnicę, nie o $x$ . To najczęstszy błąd w zadaniach otwartych tego typu: rachunek jest poprawny, ale odpowiada na inne pytanie. Warto podkreślić sobie w treści, o co pytają, przed rozpoczęciem liczenia.

Zadanie 13 (maj 2011)2 pktśrednie

Liczby

x

y

19

w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym

x + y = 8

. Oblicz

x

y

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $x = -1$ , $y = 9$

Mamy dwie niewiadome, więc potrzebujemy dwóch równań. Jedno daje warunek arytmetyczności, drugie jest podane w treści.
Równanie 1 — wyraz środkowy: $2y = x + \textcolor{#16A06A}{19}$
Równanie 2 — z treści: $x + y = \textcolor{#16A06A}{8}$ , czyli $x = \textcolor{#16A06A}{8} - y$
Podstawiamy drugie do pierwszego:
$2y = (\textcolor{#16A06A}{8} - y) + \textcolor{#16A06A}{19} = \textcolor{#E0453A}{27} - y$
$\textcolor{#E0453A}{3}y = \textcolor{#E0453A}{27} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{9}$
$x = \textcolor{#16A06A}{8} - \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Odpowiedź: $x = -1$ , $y = 9$ .
Sprawdzenie obu warunków. Ciąg: $-1,\ 9,\ 19$ — różnice $10$ i $10$ , więc arytmetyczny ✓ Suma: $-1 + 9 = 8$ ✓

💡 Wskazówka: Zauważ, że liczba $19$ jest trzecim wyrazem, a nie sumą czy różnicą — warto to sobie zapisać, zanim ułożysz równanie. Z warunku arytmetyczności wygodniej wyznaczyć $x$ (bo stoi samotnie po prawej), a z warunku na sumę podstawić za $x$ ; wtedy zostaje jedno równanie z jednym $y$ .

⚠ Ułożenie tylko jednego równania i próba odgadnięcia drugiej niewiadomej. Dwie niewiadome wymagają dwóch warunków, a treść daje je oba — trzeba tylko zauważyć, że „tworzą ciąg arytmetyczny” jest równaniem tak samo jak „ $x+y=8$ ”. Drugi błąd: potraktowanie $x+y=8$ jako sumy wszystkich trzech wyrazów; wtedy wychodzi $x+y = 8-19 = -11$ i cały rachunek się rozjeżdża.

Zadanie 14 (sierpień 2023)2 pktśrednie

Ciąg

\left(3x^2 + 5x,\ x^2,\ 20 - x^2\right)

jest arytmetyczny. Oblicz

x

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $x = -4$

Wyrazy zawierają $x^2$ , więc równanie wygląda na kwadratowe. Zapiszmy warunek i zobaczmy, co się stanie.
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{x^2} = (\textcolor{#16A06A}{3x^2 + 5x}) + (\textcolor{#16A06A}{20 - x^2})$
Po prawej stronie zbieramy składniki z $x^2$ : $3x^2 - x^2 = \textcolor{#E0453A}{2x^2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{2}x^2 = \textcolor{#E0453A}{2}x^2 + \textcolor{#16A06A}{5}x + \textcolor{#16A06A}{20}$
Składniki $2x^2$ skracają się po obu stronach — i to jest cały pomysł tego zadania. Zostaje równanie liniowe:
$0 = \textcolor{#16A06A}{5}x + \textcolor{#16A06A}{20} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Odpowiedź: $x = -4$ .
Sprawdzenie: dla $x = -4$ mamy $x^2 = 16$ , więc wyrazy to
$3 \cdot 16 + 5 \cdot (-4) = \textcolor{#E0453A}{28}, \qquad \textcolor{#E0453A}{16}, \qquad 20 - 16 = \textcolor{#E0453A}{4}$
Ciąg $28,\ 16,\ 4$ ma stałą różnicę $\textcolor{#E0453A}{-12}$ ✓ Ciąg jest malejący, ale warunek dotyczy stałości różnicy, nie jej znaku.

💡 Wskazówka: Nie sięgaj po deltę, dopóki nie uporządkujesz obu stron. Tutaj po zebraniu wyrazów okazuje się, że przy $x^2$ stoi to samo po lewej i po prawej, więc równanie jest liniowe i ma jedno rozwiązanie. Ta konstrukcja pojawia się w arkuszach regularnie — i cała jej trudność polega na tym, żeby się nie przestraszyć kwadratów.

⚠ Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę, policzenie delty i zdziwienie, że przy $x^2$ zostało zero. To nie błąd rachunkowy, tylko zmarnowany czas — ale bywa też groźniejszy skutek: kto „poprawi” to, dopisując brakujący składnik, dostanie równanie kwadratowe z dwoma rozwiązaniami, z których żadne nie spełnia warunku. Sprawdzenie przez wypisanie trzech wyrazów wyłapuje to natychmiast.

Zadanie 15 (sierpień 2022)2 pktśrednie

Trójwyrazowy ciąg

(x,\ y - 4,\ y)

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

6

. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $(-2,\ 2,\ 6)$

Dwie niewiadome i dwa warunki. Drugi z nich da się jednak wykorzystać sprytniej — przez własność wyrazu środkowego.
Warunek na sumę. Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to potrojony wyraz środkowy:
$3 \cdot (\textcolor{#16A06A}{y - 4}) = \textcolor{#16A06A}{6} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#16A06A}{y} - \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \textcolor{#E0453A}{6}$
To jedno spostrzeżenie rozwiązuje pół zadania bez żadnego układu równań.
Warunek arytmetyczności daje pierwszy wyraz:
$2(\textcolor{#16A06A}{y - 4}) = x + \textcolor{#16A06A}{y} \qquad \Longrightarrow \qquad 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = x + \textcolor{#E0453A}{6} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Wyrazy ciągu: $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ , $y - 4 = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $y = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Odpowiedź: ciąg to $(-2,\ 2,\ 6)$ .
Sprawdzenie obu warunków: różnice $2 - (-2) = 4$ oraz $6 - 2 = 4$ — równe ✓ Suma: $-2 + 2 + 6 = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast układać układ dwóch równań, wykorzystaj to, że suma trzech kolejnych wyrazów to potrojony środkowy. Wyraz środkowy jest tu podany jako $y-4$ , więc od razu wychodzi $y - 4 = 2$ . Dopiero potem, i tylko po to, żeby dostać $x$ , przydaje się warunek arytmetyczności.

⚠ Zapisanie sumy jako $x + y - 4 + y = 6$ i rozwiązywanie tego razem z warunkiem arytmetyczności — droga poprawna, ale dłuższa i z dwiema okazjami do pomyłki. Prawdziwy błąd to podanie w odpowiedzi $x$ i $y$ zamiast wyrazów ciągu: zadanie prosi o „wszystkie wyrazy”, a drugim wyrazem jest $y-4 = 2$ , nie $y = 6$ . Kto odda „ $x = -2$ , $y = 6$ ”, nie odpowie na postawione pytanie.

Zadanie 16 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Wyznacz wartość

m

, dla której trzywyrazowy ciąg

\left(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m\right)

jest arytmetyczny i malejący.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $m = \dfrac{5}{2}$

Treść stawia dwa warunki: ciąg ma być arytmetyczny i malejący. Pierwszy da nam kandydatów, drugi jednego z nich odrzuci — i to jest sedno tego zadania.
Warunek arytmetyczności:
$2\left(\textcolor{#16A06A}{m^2 + 3}\right) = (\textcolor{#16A06A}{2m + 11}) + (\textcolor{#16A06A}{5 - m})$
$\textcolor{#E0453A}{2}m^2 + \textcolor{#E0453A}{6} = m + \textcolor{#E0453A}{16}$
$\textcolor{#E0453A}{2}m^2 - m - \textcolor{#E0453A}{10} = 0$
Tu równanie naprawdę jest kwadratowe — składniki z $m^2$ występują tylko po jednej stronie.
$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-10}) = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{80} = \textcolor{#E0453A}{81}, \qquad \sqrt{\Delta} = \textcolor{#E0453A}{9}$
$m = \dfrac{1 \pm \textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{4}} \qquad \Longrightarrow \qquad m_1 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac52}, \qquad m_2 = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Warunek malejący — sprawdzamy oba kandydaty.
Dla $m = \textcolor{#E0453A}{-2}$ wyrazy to $2(-2)+11 = \textcolor{#E0453A}{7}$ , $(-2)^2+3 = \textcolor{#E0453A}{7}$ , $5-(-2) = \textcolor{#E0453A}{7}$ . Ciąg $7,\ 7,\ 7$ jest stały, a nie malejący — odpada ✗
Dla $m = \textcolor{#E0453A}{\tfrac52}$ wyrazy to $\textcolor{#E0453A}{16}$ , $\tfrac{25}{4}+3 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{37}{4}}$ , $\textcolor{#E0453A}{\tfrac52}$ . Różnica: $\tfrac{37}{4} - 16 = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{27}{4}}$ oraz $\tfrac52 - \tfrac{37}{4} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{27}{4}}$ — stała i ujemna, więc ciąg maleje ✓
Odpowiedź: $m = \tfrac52$ .
Warto zauważyć, że dla $m = -2$ ciąg jest arytmetyczny (o różnicy zero) — więc pierwszy warunek spełnia. Odrzuca go dopiero słowo „malejący”: ciąg stały nie maleje.

💡 Wskazówka: Zadanie jest za trzy punkty właśnie dlatego, że ma dwa etapy: rozwiązanie równania i odrzucenie jednego pierwiastka. Zawsze sprawdzaj oba rozwiązania w warunku dodatkowym z treści — a jeśli treść zawiera przymiotnik w rodzaju „malejący”, „rosnący”, „o wyrazach dodatnich”, to niemal pewny znak, że jeden kandydat ma wypaść.

⚠ Podanie obu wartości $m$ jako odpowiedzi — czyli pominięcie warunku „malejący”. Za to zadanie traci się wtedy punkt, mimo poprawnego równania kwadratowego. Drugi błąd, subtelniejszy: odrzucenie $m = -2$ z niewłaściwego powodu, na przykład „bo różnica wychodzi zero, więc ciąg nie jest arytmetyczny”. Ciąg stały jest arytmetyczny (różnica $r = 0$ jest dozwolona) — nie jest tylko malejący, i to trzeba napisać precyzyjnie.

Zadanie 17 (listopad 2009)2 pkttrudniejsze

Wykaż, że dla każdego

m

ciąg

\left(\dfrac{m + 1}{4},\ \dfrac{m + 3}{6},\ \dfrac{m + 9}{12}\right)

jest arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: warunek $2b = a + c$ sprowadza obie strony do $\dfrac{m+3}{3}$ , więc jest spełniony dla każdego $m$

To zadanie na dowód, więc nie szukamy żadnej liczby — mamy pokazać, że warunek zachodzi dla każdego $m$ . Wystarczy sprawdzić, że $2b = a + c$ jest tożsamością.
Lewa strona — podwojony wyraz środkowy:
$2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{m+3}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{m+3}{3}}$
Prawa strona — suma skrajnych. Wspólnym mianownikiem $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{12}$ jest $\textcolor{#E0453A}{12}$ :
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{m+1}{4}} + \textcolor{#16A06A}{\dfrac{m+9}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3(m+1)}{12}} + \textcolor{#16A06A}{\dfrac{m+9}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3m + 3 + m + 9}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4m + 12}{12}}$
Skracamy przez $\textcolor{#E0453A}{4}$ :
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4m+12}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{m+3}{3}}$
Obie strony są równe — i to dla dowolnego $m$ , bo w żadnym miejscu nie zakładaliśmy o nim niczego. Warunek $2b = a+c$ jest zatem spełniony zawsze, czyli ciąg jest arytmetyczny dla każdego $m$ . ∎
Dla ilustracji: dla $m = 0$ ciąg to $\tfrac14,\ \tfrac12,\ \tfrac34$ (różnica $\tfrac14$ ), a dla $m = 9$ to $\tfrac{10}{4},\ 2,\ \tfrac{18}{12}$ , czyli $2{,}5;\ 2;\ 1{,}5$ (różnica $-\tfrac12$ ). Różnica zależy od $m$ , ale stałość różnicy — nie.
Można też policzyć różnicę ogólnie: $b - a = \tfrac{m+3}{6} - \tfrac{m+1}{4} = \tfrac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \tfrac{-m + 3}{12}$ , a $c - b = \tfrac{m+9}{12} - \tfrac{2(m+3)}{12} = \tfrac{-m+3}{12}$ — te same wyrażenia, co jest drugim, równoważnym dowodem.

💡 Wskazówka: W zadaniu „wykaż” nie wolno sprawdzić kilku wartości $m$ i uznać sprawy za zamkniętą — to nie dowód. Trzeba przekształcić obie strony warunku i pokazać, że dają to samo wyrażenie z $m$ w środku. Najwygodniej liczyć każdą stronę osobno i porównać wyniki na końcu, niż przenosić wszystko na jedną stronę.

⚠ Podstawienie dwóch–trzech konkretnych $m$ i napisanie „więc ciąg jest arytmetyczny dla każdego $m$ ” — za to nie ma punktów, bo przykłady nie dowodzą twierdzenia ogólnego. Drugi błąd, techniczny: pomnożenie licznika $m+1$ przez $3$ tylko częściowo, czyli zapis $\tfrac{3m+1}{12}$ zamiast $\tfrac{3m+3}{12}$ . Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika mnoży się cały licznik, więc nawias jest tu konieczny.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. D	3. A, 2	4. A	5. B	6. D
7. A	8. A	9. A	10. B	11. $x = \dfrac{1}{2}$	12. $r = 14$
13. $x = -1$ , $y = 9$	14. $x = -4$	15. $(-2,\ 2,\ 6)$	16. $m = \dfrac{5}{2}$	17. warunek $2b = a + c$ sprowadza obie strony do $\dfrac{m+3}{3}$ , więc jest spełniony dla każdego $m$

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Ciąg arytmetyczny — sprawdzian, liceum klasa 3

Wyraz i różnica, suma n wyrazów, trzy wyrazy z parametrem.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Ciągi arytmetyczne i geometryczne, matura — 10 kart PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: wzór ogólny, ciąg arytmetyczny i geometryczny, n-ty wyraz, sumy, zadania z treścią. Na…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Czy różnica ciągu arytmetycznego może być ujemna?

Tak — wtedy ciąg maleje, na przykład $40, 33, 26, 19$ przy $r = -7$ . Może też wynosić zero i wtedy ciąg jest stały.

Czy wyraz ciągu arytmetycznego może być zerem?

Tak, i to bez żadnych konsekwencji — w odróżnieniu od ciągu geometrycznego, gdzie zero jest zabronione, bo przez zero nie da się dzielić przy wyznaczaniu ilorazu.

Jak szybko poznać po wzorze ogólnym, że ciąg jest arytmetyczny?

Wzór musi dać się sprowadzić do postaci $An + B$ , czyli być liniowy względem $n$ . Obecność $n^2$ , pierwiastka albo potęgi o wykładniku $n$ wyklucza ciąg arytmetyczny — ale dopiero wtedy, gdy zostaną tam po uproszczeniu. Wyrażenie $\sqrt{4n^2}$ to $2n$ , więc ciąg jest arytmetyczny mimo pierwiastka we wzorze.

Dlaczego wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na prostej?

Bo wzór $a_n = a_1 + (n-1)r$ da się przekształcić do $a_n = rn + (a_1 - r)$ , czyli do wzoru funkcji liniowej. Różnica $r$ jest wtedy współczynnikiem kierunkowym.

Ile rozwiązań ma warunek na trzy kolejne wyrazy?

Gdy szukamy tylko wyrazu środkowego między dwiema danymi liczbami — dokładnie jedno, bo $2x = a + b$ jest liniowe. Gdy niewiadoma stoi w kilku wyrazach naraz, równanie może wyjść kwadratowe albo zredukować się całkiem. W ciągu geometrycznym analogiczne równanie jest kwadratowe zawsze.

Skąd wiadomo, czy zadanie z treścią prowadzi do ciągu arytmetycznego?

Rozstrzyga to, czy zmiana jest podana jako liczba jednostek, czy jako procent. „Co miesiąc o $10$ zł więcej” to stała różnica, czyli ciąg arytmetyczny. „Co miesiąc o $10\%$ więcej” to stały mnożnik, czyli ciąg geometryczny. Ta sama liczba w treści może więc oznaczać dwa zupełnie różne ciągi — decyduje obecność znaku procenta.

Ciągi — wszystkie tematy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzory na wyraz ogólny i sumę, szeregi i granice — cały dział w jednym miejscu.

Ciągi — podstawy

Arytmetyczny i geometryczny

Szeregi i zastosowania

Czytaj dalej

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoNarzędzie do liczenia dowolnego wyrazu, gdy już wiadomo, że ciąg jest arytmetyczny.Suma ciągu arytmetycznegoSztuczka z parowaniem końców i wzór, który z niej wynika.Ciąg geometrycznyDrugi rodzaj ciągu: mnożenie zamiast dodawania i zupełnie inny warunek na trzy wyrazy.Wykres funkcji liniowejProsta, na której leżą wyrazy ciągu arytmetycznego — różnica jest jej współczynnikiem kierunkowym.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.