Wyznaczanie różnicy r w zadaniach z ciągu arytmetycznego

C. −\(22\)

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów, więc \(r=a_3-a_2=-6\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_5=2+4\cdot(-6)=2-24=-22.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_5=-22\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

Niech r będzie różnicą ciągu. Z równania \(7\) + (\(7\) + r) + (\(7\) + \(2r\)) + (\(7\) + \(3r\)) = \(54\) otrzymujemy \(28\) + \(6r\) = \(54\), więc r = \(\frac{13}{3}\). Zatem \(a_{2}\) = \(\frac{7 + 13}{3 = 34}\)/\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Kolejne wyrazy to \(7\), \(7+r\), \(7+2r\) oraz \(7+3r\), więc warunek na sumę daje \[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54,\qquad 28+6r=54,\qquad 6r=26,\qquad r=\frac{13}3.\] Drugi wyraz jest zatem równy \[a_2=7+\frac{13}3=\frac{21+13}{3}=\frac{34}3.\] **Odpowiedź.** \(a_2=\frac{34}3\)

1 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą albo obliczenie a₃ = 47/3 lub a₄ = 20. 2 pkt: poprawna metoda i wynik a₂ = 34/3.

IV. Rozumowanie i argumentacja. VI.5) Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów. Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\). Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni: \[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\] Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania. Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\] **Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO – obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO – obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO – obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\] **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\). **Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\): \[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\] **Krok \(3\).** Warunek geometryczności: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\): \[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\] Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony. **Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego: \[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\] **Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\). **Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). 4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

B. \(33\)

W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)r\). Z warunku \(a_5=17\) otrzymujemy \[1+4r=17,\qquad 4r=16,\qquad r=4.\] Zatem \(a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_9=33\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

**A.** \(a_{25}=a_1+24r\), więc \(2=52+24r\). Stąd \(r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}\).

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{25}=a_1+24r\), więc \[2=52+24r,\qquad 24r=-50,\qquad r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}.\] **Odpowiedź.** **A.** \(r=-\frac{25}{12}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.5) Stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Warunek arytmetyczności daje \[2(m^{2}+3)=(2m+11)+(5-m),\] \[2m^{2}-m-10=0,\qquad (2m-5)(m+2)=0.\] Stąd \(m=\frac52\) lub \(m=-2\). Dla \(m=-2\) ciąg jest stały: \((7,7,7)\). Dla \(m=\frac52\) otrzymujemy ciąg malejący, więc \(m=\frac52\).

**Krok \(1\).** Zadanie stawia dwa warunki naraz: ciąg ma być arytmetyczny i ma być malejący. Zaczynamy od arytmetyczności, bo daje ona równanie, a warunek malejącości wykorzystamy na końcu do odsiania niepasujących wartości \(m\). **Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli podwojony wyraz środkowy równa się sumie skrajnych: \[2\left(m^2+3\right)=(2m+11)+(5-m).\] **Krok \(3\).** Porządkujemy prawą stronę: \((2m+11)+(5-m)=m+16\). Zatem \[2m^2+6=m+16.\] **Krok \(4\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[2m^2-m-10=0.\] **Krok \(5\).** Obliczamy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1+80=81,\qquad\sqrt{\Delta}=9,\] \[m=\frac{1-9}{4}=-2\qquad\text{lub}\qquad m=\frac{1+9}{4}=\frac52.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy pierwszą wartość. Dla \(m=-2\) wyrazy ciągu to \(2\cdot(-2)+11=7\), \((-2)^2+3=7\) oraz \(5-(-2)=7\), czyli ciąg \((7,7,7)\). Jest arytmetyczny (różnica \(0\)), ale stały, a więc nie jest malejący — tę wartość odrzucamy. **Krok \(7\).** Sprawdzamy drugą wartość. Dla \(m=\frac52\) wyrazy to \[2\cdot\tfrac52+11=16,\qquad \left(\tfrac52\right)^2+3=\tfrac{25}{4}+3=\tfrac{37}{4},\qquad 5-\tfrac52=\tfrac52.\] Różnica ciągu wynosi \(\frac{37}{4}-16=-\frac{27}{4}\) i tyle samo \(\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}\). Jest ujemna, więc ciąg \(\left(16,\ \frac{37}{4},\ \frac52\right)\) jest arytmetyczny i malejący. **Krok \(8\).** Ponieważ równanie z kroku \(4\) miało tylko dwa pierwiastki, a jeden odpadł, jedyną szukaną wartością jest \(m=\frac52\). **Uwaga.** Sam warunek arytmetyczności nie wystarcza — daje dwie wartości \(m\). Ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący (malejący wymaga różnicy ujemnej, a nie zerowej), dlatego \(m=-2\) trzeba wyraźnie odrzucić, pokazując wyrazy ciągu. **Odpowiedź.** \(m=\frac52\).

**3 pkt** – obliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością \(m\), dla której ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący jest \(\tfrac{5}{2}\). **2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np.: \(\tfrac{2m+11+5-m}{2}\) […], \((m^2+3)-(2m+11)=(5-m)-(m^2+3)\), oraz rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: \(2m+11>m^2+3\), \(2m+11>5-m\), […], ALBO – obliczenie wszystkich wartości \(r\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(r=-\tfrac{27}{4}\) lub \(r=0\), ALBO – obliczenie wartości \(r\), dla której ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący: \(r=-\tfrac{27}{4}\). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np.: \(\tfrac{2m+11+5-m}{2}\) […], \((m^2+3)-(2m+11)=(5-m)-(m^2+3)\) ALBO – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć \(m\) i \(r\), np. \(m^2+3=2m+11+r\) oraz \(5-m=2m+11+2r\), ALBO – rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: \(2m+11>m^2+3\), \(2m+11>5-m\), […], \(m\in(-2,4)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności \(2m+11>m^2+3\)). 2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci \((m^2+3)-2m+11=(5-m)-m^2+3\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności \(2m+11>m^2+3\)). 3. Jeżeli zdający zapisze tylko \(m=\tfrac{5}{2}\), to otrzymuje 0 punktów. Natomiast jeżeli zdający dodatkowo sprawdzi, zapisując odpowiednie obliczenia, że dla tej wartości \(m\) spełnione są warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\), i zapisze, że dla \(m=-2\) ciąg nie jest malejący, to otrzymuje 3 punkty. 5. Jeżeli zdający wyznaczy wartości \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny: \(m=-2\) oraz \(m=\tfrac{5}{2}\), a następnie obliczy dla każdej z tych wartości \(m\) wyrazy ciągu i nie wskaże, że \(m=\tfrac{5}{2}\) jest jedyną szukaną wartością, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, równiež w sytuacjach nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.7) wykorzystuje własności ciągów [. . ] arytmetycznych do rozwiązywania zadań

Najpierw \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1.\] Warunek arytmetyczności ciągu \((x,1,2x+10)\) daje \(2=x+(2x+10)\), więc \(x=-\frac83\). Różnica wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}{3}.\]

Najpierw wyznaczamy szósty wyraz ciągu \((a_n)\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc \((-1)^{6}=1\): \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^{6}}{2^{5}}=\frac{32}{32}=1.\] W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc dla trójki \((x,1,2x+10)\) \[2\cdot1=x+(2x+10),\qquad 2=3x+10,\qquad 3x=-8,\qquad x=-\frac83.\] Różnica tego ciągu arytmetycznego wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}3.\] **Odpowiedź.** \(x=-\frac83\), \(r=\frac{11}3\)

1 pkt: obliczenie a₆ = 1 albo zapisanie poprawnej zależności wynikającej z arytmetyczności. 2 pkt: obliczenie a₆ = 1 i zapisanie równania, np. (x + 2x + 10)/2 = a₆. 3 pkt: obliczenie x = −8/3 albo r = 11/3. 4 pkt: poprawna metoda i oba wyniki: x = −8/3 oraz r = 11/3.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\): \[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\] Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać \[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\] czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\) \[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\] Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\). Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\] Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\): \[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z warunków ciągu arytmetycznego otrzymujemy różnicę \(r=4\). Wtedy \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), więc \(q=\frac{3}{7}\). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

**Krok \(1\).** Metoda: wszystkie potrzebne wyrazy ciągu arytmetycznego wyrażamy przez znany wyraz \(a_{6}\) i różnicę \(r\), korzystając ze wzoru \(a_{k}=a_{6}+(k-6)r\). **Krok \(2\).** Mamy \(a_{6}=15\), a ponadto \[a_{3}=15-3r,\qquad a_{8}=15+2r,\qquad a_{15}=15+9r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy do warunku \(a_{15}=a_{3}\cdot(a_{8}-6)\): \[15+9r=(15-3r)(15+2r-6)=(15-3r)(2r+9).\] **Krok \(4\).** Rozwijamy prawą stronę: \((15-3r)(2r+9)=30r+135-6r^{2}-27r=-6r^{2}+3r+135\). Stąd \[6r^{2}+6r-120=0,\qquad r^{2}+r-20=0.\] **Krok \(5\).** \(\Delta=1+80=81\), więc \(r=\frac{-1-9}{2}=-5\) lub \(r=\frac{-1+9}{2}=4\). Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i zostaje \(r=4\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego: \[b_{1}=a_{11}=a_{6}+5r=15+20=35,\qquad b_{2}=a_{6}=15,\qquad q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.\] **Krok \(7\).** Ponieważ \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\), szereg geometryczny jest zbieżny i suma wszystkich wyrazów istnieje: \[S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}.\] **Uwaga.** Sformułowanie o sumie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego ma sens tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\) — sprawdzenie tego warunku jest częścią rozwiązania, a nie formalnością. Gdyby odrzucona wartość \(r=-5\) została przyjęta, otrzymalibyśmy \(q=-\frac{3}{2}\) i szereg rozbieżny. **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}{4}\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

C. \(61\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=13-7=6\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_{10}=7+9\cdot6=7+54=61.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_{10}=61\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

\[\left(32,4,\frac12\right).\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Z warunku \[a_3+a_5=10\] otrzymujemy \[(a_1+2r)+(a_1+4r)=10,\] \[2a_1+6r=10,\qquad a_1=5-3r.\] Ponieważ \((2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7)\) jest ciągiem geometrycznym, zachodzi \[(a_4-1)^2=\left(2a_1+4\right)\left(-\frac18a_7\right).\] Mamy \[a_4=a_1+3r=5,\qquad a_7=a_1+6r=5+3r.\] Zatem \[4^2=-\frac18(5+3r)(14-6r),\] \[16=-\frac18(3r+5)(14-6r),\] \[18r^2-12r-198=0.\] Po rozwiązaniu równania: \[r=-3\quad\text{lub}\quad r=\frac{11}{3}.\] Ciąg arytmetyczny jest malejący, więc \(r<0\), a zatem \(r=-3\). Wtedy \[a_1=5-3(-3)=14,\qquad a_4=5,\qquad a_7=-4.\] Szukany ciąg geometryczny ma wyrazy \[\left(2a_1+4,a_4-1,-\frac18a_7\right)=\left(32,4,\frac12\right).\]

**5 pkt** – odrzucenie przypadku \(r=\frac{11}{3}\) z uwagi na malejący ciąg arytmetyczny i obliczenie wyrazów ciągu geometrycznego \((32,4,\frac12)\) **4 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą: \(r=-3\) oraz \(r=\frac{11}{3}\); albo równoważnie \(a_1=14\) oraz \(a_1=-6\) **3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą \(a_1\) lub \(r\) **2 pkt** – zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \(a_1\), \(r\); albo zapisanie związku \(4^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\) **1 pkt** – zastosowanie własności ciągu geometrycznego \((a_4-1)^2=-\frac18a_7(2a_1+4)\); albo zastosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego; albo obliczenie \(a_4=5\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań.

r = −\(2\). Z równań \(a_{1}\) + \(2r\) = −\(1\) oraz \(a_{1}\) + \(7r\) = −\(11\) otrzymujemy \(5r\) = −\(10\).

**Krok \(1\).** Ciąg arytmetyczny jest w pełni opisany przez dwie liczby: pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). W treści są dokładnie dwie informacje, więc plan jest jasny: zapisujemy je jako dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) i rozwiązujemy układ. **Krok \(2\).** Pierwsza informacja dotyczy trzeciego wyrazu. Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) mamy \[a_3=a_1+2r=-1.\] **Krok \(3\).** Druga informacja dotyczy sumy piętnastu początkowych wyrazów. Ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) dla \(n=15\): \[S_{15}=\frac{2a_1+14r}{2}\cdot 15=15\left(a_1+7r\right).\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez \(15\): \[15\left(a_1+7r\right)=-165,\qquad a_1+7r=-11.\] **Krok \(5\).** Mamy układ \[\begin{cases}a_1+2r=-1\\ a_1+7r=-11\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(a_1\): \[5r=-10.\] **Krok \(6\).** Stąd \[r=-2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Z pierwszego równania \(a_1=-1-2r=-1+4=3\), więc ciąg to \(3,1,-1,-3,\ldots\). Wtedy \(a_3=-1\), a \(a_1+7r=3-14=-11\), czyli \(S_{15}=15\cdot(-11)=-165\). Zgadza się. **Uwaga.** Liczba \(-165\) to suma piętnastu wyrazów, a nie piętnasty wyraz. Warto też zauważyć wygodny skrót: \(a_1+7r\) to po prostu \(a_8\), czyli środkowy z piętnastu wyrazów, więc \(S_{15}=15a_8\) i od razu \(a_8=-11\). Wtedy z różnicy \(a_8-a_3=5r=-11-(-1)=-10\) dostajemy \(r=-2\) w jednym rachunku. **Odpowiedź.** Różnica tego ciągu jest równa \(r=-2\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: \(r=-2\). **1 pkt** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(r\), np.: \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]+14r}{2}\cdot 15\), \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(a_{15}=a_{1}+14r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]}{2}\cdot 15\), \(a_{3}=-1\) oraz \(-165=\frac{(a_{3}-2r)+(a_{3}+12r)}{2}\cdot 15\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np.: \(\frac{2(-1-2r)+14r}{2}\cdot 15=-165\), \(\frac{(-1-2r)+(-1+12r)}{2}\cdot 15=-165\) ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu \((a_{n})\) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: \(a_{8}=-11\) (dla sposobów IV oraz V) ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(3\), \(1\), \(-1\), \(-3\), \(-5\), \(-7\), \(-9\), \(-11\), \(-13\), \(-15\), \(-17\), \(-19\), \(-21\), \(-23\), \(-25\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko \(r=-2\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę \((-165)\) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach n początkowych wyrazów ciągu nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę arytmetycznego.

Niech r oznacza różnicę ciągu. Mamy \(a_{2}\)=\(a_{1}\)+r, \(a_{3}\)=\(a_{1}\)+\(2r\) i \(a_{4}\)=\(a_{1}\)+\(3r\). Z warunku \(a_{1}\)+\(a_{2}\)=\(a_{3}\)+\(a_{4}\)+\(12\) wynika −\(4r\)=\(12\), więc r=−\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Wtedy \(a_2=a_1+r\), \(a_3=a_1+2r\) oraz \(a_4=a_1+3r\). Warunek zadania zapisujemy jako \[a_1+a_2=(a_3+a_4)+12.\] Po podstawieniu \[2a_1+r=2a_1+5r+12,\qquad -4r=12,\qquad r=-3.\] Pierwszy wyraz się skrócił, więc warunek wyznacza samą różnicę. **Odpowiedź.** \(r=-3\)

1 pkt: zapisanie równania, z którego można obliczyć różnicę ciągu. 2 pkt: poprawna metoda i r=−3.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Z własności ciągów wynika x+y+z=\(105\), \(y^{2}\)=xz oraz \(4\)(y−x)=z−y. Drugie rozwiązanie x=y=z=\(35\) odrzucamy, ponieważ ciąg ma być rosnący.

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc \[y=x+r,\qquad z=x+5r.\] Z warunku na sumę \[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\] Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\] Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\) \[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\] Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\). Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący. **Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)

**(dla sposobu I i II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^2=(35-2r)\cdot(35+3r)\) ALBO – poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^2=x(x+5r)\): \(r=3x\). **2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\) ALBO – zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^2=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\) **1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\) ALBO – zapisanie równania \((x+r)^2=x(x+5r)\), ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^2=(2y-35)\cdot(140-3y)\). **2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^2=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu IV)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\), oraz zapisanie równania \(q^2-5q+4=0\). **2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\) i \(q\neq1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_1+a_1+5r}{2}\cdot6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].

x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Jeśli r jest różnicą ciągu arytmetycznego, to y=x+r, z=x+\(5r\). Warunki x+y+z=\(105\) i \(y^{2}\)=xz dają r=\(0\) lub r=\(15\); przypadek stały odpada, ponieważ ciąg geometryczny ma być rosnący.

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc \[y=x+r,\qquad z=x+5r.\] Z warunku na sumę \[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\] Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\] Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\) \[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\] Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\). Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący. **Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)

**Zasady oceniania (dla sposobu I i II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^{2}=(35-2r)\cdot(35+3r)\) ALBO – poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\): \(r=3x\). **2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\) ALBO – zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^{2}=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\) **1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\) ALBO – zapisanie równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\), ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^{2}=(2y-35)\cdot(140-3y)\). **2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^{2}=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu IV)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\), oraz zapisanie równania \(q^{2}-5q+4=0\). **2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\) i \(q\ne 1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_{1}+a_{1}+5r}{2}\cdot 6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**A.** \(a_6=24\)

Różnica ciągu arytmetycznego wynosi \[r=a_3-a_2=9-4=5.\] Od wyrazu \(a_3\) do \(a_6\) wykonujemy trzy kroki, więc \[a_6=a_3+3r=9+3\cdot5=24.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

**P, F**

Obliczamy początkowe wyrazy: \[a_1=-3+5=2,\quad a_2=-6+5=-1,\quad a_3=-9+5=-4.\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Różnica ciągu wynosi \[a_{n+1}-a_n=-3,\] a nie \(5\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; dobieranie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym oraz sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.

**D.** \(40\)

Od wyrazu \(a_4\) do wyrazu \(a_8\) wykonujemy cztery kroki o różnicy \(r=2\), więc \[a_4=a_8-4r=48-4\cdot2=40.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

A. −\(7\)

Wyrazy \(a_5\) i \(a_{10}\) dzieli pięć kroków, więc \(a_{10}=a_5+5r\): \[-66=-31+5r,\qquad 5r=-35,\qquad r=-7.\] **Odpowiedź.** **A.** \(r=-7\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu arytmetycznego.

\(S_{100}=14750\). Z równania \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\), otrzymujemy \(r=3\), a następnie \(S_{100}=\dfrac{2a_1+99r}{2}\cdot100=(-2+297)\cdot50=14750\).

**Krok \(1\).** Aby policzyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy. Pierwszy wyraz jest dany, a różnicę wyliczymy ze wzoru na wyraz ogólny, bo znamy \(a_4\). **Krok \(2\).** Wzór na wyraz ogólny: \(a_n=a_1+(n-1)r\), więc dla \(n=4\): \[a_4=a_1+3r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_1=-1\) i \(a_4=8\): \[8=-1+3r\ \Longrightarrow\ 3r=9\ \Longrightarrow\ r=3.\] **Krok \(4\).** Wzór na sumę stu początkowych wyrazów: \[S_{100}=\frac{2a_1+99r}{2}\cdot100=\left(2a_1+99r\right)\cdot50.\] **Krok \(5\).** Liczymy nawias: \[2\cdot(-1)+99\cdot3=-2+297=295.\] **Krok \(6\).** Stąd \[S_{100}=295\cdot50=14750.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie inną drogą: \(a_{100}=-1+99\cdot3=296\), więc \(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{2}\cdot100=\dfrac{-1+296}{2}\cdot100=\dfrac{295}{2}\cdot100=14750\). Wyniki się zgadzają. **Odpowiedź.** \(S_{100}=14750\).

• zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n—ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np. a4=a1+3r i = 100 ¯ž¯ lub ał+ałoo . 100 = ał + 3r i ałoo = ał + 99r i Słoo = ALBO • podałobliczy różnicę r ciągu arytmetycznego (an): r = 3 lub przyjmuje adanie 30. (0—2) Wymagania egzaminacyjne 2022 Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt 100 = 14 750 Wymaganie ogólne III. Modelowanie matematyczne. Zasady oceniania gdy: Wymaganie szczegółowe Zdający: 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. w rozwiązaniu, że r = 3. Zdający otrzymuje ............................................ gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an): Słoo = Uwagi: 2 pkt 14 750. 1. Jeśli zdający błędnie obliczy r i konsekwentnie do otrzymanej wartości r obliczy sumę stu początkowych wyrazów ciągu (an), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje O punktów za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób 1. Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na [14: Zatem 8 = —1 + 3r, więc r = 3. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy Słoo: 2a1 + 1) r -2 + 297 S 100 2 CENTRALNA KOMISJA Sposób 2. 100 - 2 Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty wyraz tego ciągu: gdzie r oznacza różnicę ciągu. Podstawiamy ał = —1 oraz = 8 i otrzymujemy równanie 8 = —1 + 3r, skąd r = 3 Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru 2 Obliczamy setny wyraz ciągu (an): ałoo = ał + 99 . r = _ I + 99 • 3 — - 296 Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S 100 -1 + 296 • 100 = 295 50 = 14 750 2

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[r=-\frac{31}{105}.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu. Korzystamy ze wzoru na sumę \(20\) początkowych wyrazów: \[S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20.\] Ponieważ \[a_{20}=a_1+19r,\qquad a_{21}=a_1+20r,\] warunek z zadania daje \[\frac{a_1+(a_1+19r)}{2}\cdot20=20(a_1+20r)+62.\] Stąd \[20a_1+190r=20a_1+400r+62,\] \[-210r=62,\qquad r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}.\]

**2 pkt** – obliczenie różnicy \(r=-\frac{31}{105}\) **1 pkt** – poprawne użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego lub zapisanie \(a_{21}=a_1+20r\) i utworzenie równania prowadzącego do wyniku **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**C.** \(6\)

Korzystamy ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\): \[a_2=-3+5=2,\qquad a_4=-3+3\cdot5=12.\] Zatem \[\frac{a_4}{a_2}=\frac{12}{2}=6.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[(a,b,c,d)=(-36,144,324,504).\]

Niech \(r>0\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy \[b=a+r,\qquad c=a+2r,\qquad d=a+3r.\] Warunek dotyczący kwadratów daje \[(a+3r)^2=2\bigl(a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2\bigr).\] Po uporządkowaniu: \[5a^2+6ar+r^2=0,\qquad(5a+r)(a+r)=0.\] Zatem \(a=-r\) albo \(a=-\frac15r\). Dla \(a=-r\) mamy \(b=0\), \(c=r\). Warunek geometryczności trójki \((a+100,b,c)\) daje \[0^2=(100-r)r.\] Ponieważ \(r>0\), musiałoby być \(r=100\), lecz trójka \((0,0,100)\) nie jest geometryczna. Ten przypadek odrzucamy. Dla \(a=-\frac15r\) mamy \[b=\frac45r,\qquad c=\frac95r,\qquad d=\frac{14}{5}r.\] Warunek geometryczności daje \[\left(\frac45r\right)^2=\left(100-\frac15r\right)\frac95r.\] Dla \(r>0\) równanie upraszcza się do \(r=180\). Stąd \[a=-36,\qquad b=144,\qquad c=324,\qquad d=504.\]

**5 pkt** – obliczenie wszystkich wyrazów: \((-36,144,324,504)\) **4 pkt** – wyznaczenie \(r=180\) i odrzucenie przypadków niespełniających warunków zadania **3 pkt** – wyrażenie jednego z wyrazów przez \(r\), np. \(a=-r\) lub \(a=-\frac15r\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego równania po podstawieniu wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego **1 pkt** – zapisanie \(d^2=2(a^2+b^2+c^2)\) albo \(b^2=(a+100)c\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.2, 5.3 i 5.4 badanie ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz stosowanie wzorów na ich wyrazy.

\[a_n=3n-7.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Suma pięciu początkowych wyrazów jest pięciokrotnością wyrazu środkowego, zatem \[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\] Mamy więc \[a_5=a_3+2r=2+2r,\qquad a_{13}=a_3+10r=2+10r.\] Liczby \(a_3,a_5,a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, dlatego \[a_5^2=a_3a_{13}.\] Stąd \[(2+2r)^2=2(2+10r),\] \[4+8r+4r^2=4+20r,\] \[4r^2-12r=0,\qquad 4r(r-3)=0.\] Otrzymujemy \(r=0\) lub \(r=3\). Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\), a zatem \(r=3\). Ponieważ \(a_3=a_1+2r\), mamy \[a_1=2-2\cdot3=-4.\] Wobec tego \[a_n=a_1+(n-1)r=-4+3(n-1)=3n-7.\]

**5 pkt** – wyznaczenie wzoru \(a_n=3n-7\) **4 pkt** – rozwiązanie równania i otrzymanie \(r=0\) lub \(r=3\) **3 pkt** – ułożenie równania jednej niewiadomej \((2+2r)^2=2(2+10r)\) **2 pkt** – wyznaczenie \(a_3=2\) oraz zapisanie warunku \(a_5^2=a_3a_{13}\) **1 pkt** – zapisanie \(S_5=5a_3\) albo warunku geometryczności trzech wskazanych wyrazów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 i 5.4 stosowanie wzoru na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz własności wyrazów ciągu geometrycznego.

P(A|B)=\(\frac{1}{5}\). Wśród liczb czterocyfrowych jest \(500\) wielokrotności \(18\). Liczby podzielne jednocześnie przez \(15\) i \(18\) są wielokrotnościami \(90\); jest ich \(100\). Zatem P(A|B)=\(\frac{100}{500}\).

Niech \(A\) oznacza zdarzenie „wylosowana liczba jest podzielna przez \(15\)", a \(B\) — „jest podzielna przez \(18\)". Szukamy \(P(A\mid B)\). Warunek zawęża przestrzeń do czterocyfrowych wielokrotności \(18\). Są to \(1008,1026,\ldots,9990\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(18\), więc \[|B|=\frac{9990-1008}{18}+1=\frac{8982}{18}+1=499+1=500.\] Liczba podzielna jednocześnie przez \(15\) i \(18\) jest podzielna przez \(\operatorname{NWW}(15,18)=90\). Czterocyfrowe wielokrotności \(90\) to \(1080,1170,\ldots,9990\), zatem \[|A\cap B|=\frac{9990-1080}{90}+1=\frac{8910}{90}+1=99+1=100.\] Wszystkie liczby czterocyfrowe są jednakowo prawdopodobne, więc \[P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{100}{500}=\frac15.\] **Odpowiedź.** \(P(A\mid B)=\frac15\)

**1 pkt** – gdy: • zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\lvert\Omega\rvert=9000\) ALBO • zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru \(B\), zawierającego wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez \(18\) (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych) ALBO • zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru \(A\cap B\) (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych) ALBO • zapisze, że jeżeli \(A\) jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(15\), to iloczyn zdarzeń \(A\cap B\) oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez \(90\) **2 pkt** – gdy: • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(B\): \(\lvert B\rvert=500\) ALBO • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\cap B\): \(\lvert A\cap B\rvert=100\) **3 pkt** – gdy obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(B\) oraz obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\cap B\): \(\lvert B\rvert=500\), \(\lvert A\cap B\rvert=100\) **4 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe: \(P(A|B)=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\). **Uwagi:** 1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek \(1\le x\le 9999\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez \(18\) lub \(15\), rozważa, że są one mniejsze niż \(9000\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Ignorujemy zapis \(P(A|B)=\frac{\lvert A\cup B\rvert}{\lvert B\rvert}\), jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika, że zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń. 4. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru \(\lvert B\rvert\) (lub \(\lvert A\cap B\rvert\)) opartym na kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu oraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli natomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób uznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych czterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez \(18\) (lub \(90\)) w każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni błąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R10.2) Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.

C. −\(18\)

Z warunku \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy pierwszy wyraz: \[a_1=a_4-3r=3-3\cdot5=-12.\] Sumę czterech początkowych wyrazów obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_4=\frac{(-12+3)\cdot4}{2}=2\cdot(-9)=-18.\] **Odpowiedź.** **C.** \(-18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

D. \(4040\)

W ciągu arytmetycznym \(a_2=a_4-2r\) oraz \(a_6=a_4+2r\), więc \[a_2+a_6=2a_4=2\cdot2020=4040.\] Różnica ciągu nie jest potrzebna — skraca się. **Odpowiedź.** **D.** \(4040\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(a_n=3n-1\)

**Krok \(1\).** Ciąg jest arytmetyczny, więc jego wyraz ogólny ma postać \[a_n=a_1+(n-1)r,\] gdzie \(r\) to różnica ciągu. Pierwszy wyraz znamy, więc brakuje nam tylko \(r\). **Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym różnica to odległość między dwoma kolejnymi wyrazami: \[r=a_2-a_1=5-2=3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(a_1=2\) i \(r=3\) do wzoru ogólnego: \[a_n=2+(n-1)\cdot 3.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy, wymnażając nawias: \[a_n=2+3n-3=3n-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na danych z treści: \(a_1=3\cdot 1-1=2\) oraz \(a_2=3\cdot 2-1=5\). Oba wyrazy się zgadzają. **Uwaga.** Jeśli nie pamiętasz wzoru, wystarczy podstawić \(n=1\) i \(n=2\) do każdej z czterech odpowiedzi i sprawdzić, która daje \(2\) i \(5\). Uwaga na odpowiedź C: \(2\cdot 1+3=5\) - pasuje do drugiego wyrazu, ale nie do pierwszego, więc trzeba sprawdzić oba. **Odpowiedź.** A: \(a_n=3n-1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.

D. \(18\)

Oba wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=2n^{2}\): \[a_5=2\cdot5^{2}=50,\qquad a_4=2\cdot4^{2}=32.\] Zatem \(a_5-a_4=50-32=18\). Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny — różnica kolejnych wyrazów \(a_{n+1}-a_n=2(2n+1)\) zależy od \(n\), więc nie wolno tu mówić o „różnicy ciągu”. **Odpowiedź.** **D.** \(18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […]

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym (5.1).

a) \(a_1=26\); b) \(k=27\). Ze średniej mamy \(S_6=96\), a ponieważ \(S_6=6a_1+15r\) i \(r=-4\), otrzymujemy \(6a_1-60=96\), czyli \(a_1=26\). Następnie z równania \(26-4(k-1)=-78\) wynika \(k=27\).

**Krok \(1\).** Dane są: różnica ciągu i średnia arytmetyczna sześciu pierwszych wyrazów. Średnia to suma podzielona przez liczbę wyrazów, więc informację o średniej zamieniamy na informację o sumie \(S_6\), a sumę wyrażamy wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zostanie równanie z jedną niewiadomą \(a_1\). **Krok \(2\).** Ze średniej: \[\frac{S_6}{6}=16\ \Longrightarrow\ S_6=96.\] **Krok \(3\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\), więc dla \(n=6\): \[S_6=\frac{2a_1+5r}{2}\cdot6=3\left(2a_1+5r\right)=6a_1+15r.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(r=-4\) i \(S_6=96\): \[6a_1+15\cdot(-4)=96\ \Longrightarrow\ 6a_1-60=96\ \Longrightarrow\ 6a_1=156.\] **Krok \(5\).** Stąd \(a_1=26\). To odpowiedź do podpunktu a). **Krok \(6\).** b) Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny \(a_k=a_1+(k-1)r\): \[a_k=26+(k-1)\cdot(-4)=26-4(k-1).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy równanie \(a_k=-78\): \[26-4(k-1)=-78\ \Longrightarrow\ -4(k-1)=-104\ \Longrightarrow\ k-1=26\ \Longrightarrow\ k=27.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(a_{27}=26-4\cdot26=26-104=-78\). Zgadza się, a \(k=27\) jest liczbą naturalną, więc wynik ma sens. **Uwaga.** We wzorze na \(a_k\) mnożymy różnicę przez \((k-1)\), a nie przez \(k\) — pierwszy wyraz osiągamy przy zerowej liczbie kroków. Pomyłka w tym miejscu daje \(k=26\). **Odpowiedź.** a) \(a_1=26\); b) \(k=27\).

**[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(k\): \(k=27\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(k\), które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu arytmetycznego […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_1=26\) i na tym zakończy lub w dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze równanie […], albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\), albo zapisze, że \(S_6=6\cdot 16\), albo zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczy \(S_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B

Ciąg jest określony wzorem \(a_n=16-\tfrac12 n\). Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów: \[r=a_{n+1}-a_n=\left(16-\tfrac12(n+1)\right)-\left(16-\tfrac12 n\right)=-\tfrac12.\] **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\(a_{1}\)=−\(\frac{3}{4}\), r=\(\frac{1}{4}\)

Z warunku \(a_6=2a_5\) oraz \(a_6=a_5+r\) otrzymujemy \(a_5+r=2a_5\), czyli \(r=a_5\). Ponieważ \(a_5=a_1+4r\), mamy \[r=a_1+4r,\qquad a_1=-3r.\] Sumę dziesięciu początkowych wyrazów zapisujemy wzorem \(S_{10}=\frac{(2a_1+9r)\cdot10}{2}=5(2a_1+9r)\) i podstawiamy \(a_1=-3r\): \[S_{10}=5(-6r+9r)=15r=\frac{15}4.\] Stąd \(r=\frac14\), a \(a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\). **Odpowiedź.** \(a_1=-\frac34\), \(r=\frac14\)

**1–3 pkt** – poprawne równania z warunków \(a_6=2a_5\) i \(S_{10}=\tfrac{15}{4}\). **4 pkt** – \(a_1=-\tfrac{3}{4}\), \(r=\tfrac{1}{4}\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{1}\) = −\(3\). Korzystamy ze wzoru \(S_{12}\) = \(12\)(\(a_{1}\) + \(a_{12}\))/\(2\). Zatem \(162 = 6\)(\(a_{1}\) + \(30\)), skąd \(a_{1}\) + \(30 = 27\) i \(a_{1}\) = −\(3\).

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\), w którym znamy \(n=12\), \(a_{12}=30\) oraz \(S_{12}=162\): \[162=\frac{(a_1+30)\cdot12}{2}=6(a_1+30).\] Stąd \(a_1+30=27\), czyli \(a_1=-3\). **Odpowiedź.** \(a_1=-3\)

**1 pkt** – gdy zdający zapisze dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego […] albo zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) wynikające z zastosowania poprawnego wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania różnicy ciągu […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) i obliczy pierwszy wyraz ciągu: \(a_1=-3\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

\(a_{1}\)=−\(2\), r=\(\frac{9}{2}\)

Zapisujemy dane za pomocą \(a_1\) i różnicy \(r\): \[a_9=a_1+8r=34,\qquad S_8=\frac{\left(2a_1+7r\right)\cdot8}{2}=4(2a_1+7r)=110.\] Z drugiego równania \(2a_1+7r=\frac{110}4=\frac{55}2\). Z pierwszego \(a_1=34-8r\); po podstawieniu \[2(34-8r)+7r=\frac{55}2,\qquad 68-9r=\frac{55}2,\qquad 9r=\frac{81}2,\qquad r=\frac92.\] Stąd \(a_1=34-8\cdot\frac92=34-36=-2\). **Odpowiedź.** \(a_1=-2\), \(r=\frac92\)

1 pkt: poprawny układ równań. 2 pkt: a₁=−2, r=9/2.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Ciąg arytmetyczny ma wzór an=\(3n\)+\(2\), a geometryczny bn=\(3\cdot 5\)^(n−\(1\)). Niech q będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego i zarazem ilorazem ciągu geometrycznego, a r jego różnicą i zarazem pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Warunki dają r+rq=\(18\) oraz \(4\)(\(2q\)+\(7r\))=\(124\). Po rozwiązaniu i odrzuceniu pary niespełniającej całkowitości wyrazów otrzymujemy q=\(5\) i r=\(3\).

Oznaczmy przez \(q\) pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (jest on jednocześnie ilorazem ciągu geometrycznego), a przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego (jest ona jednocześnie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego). Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to \(q,\ q+r,\ q+2r,\ldots\), a ciągu geometrycznego \(r,\ rq,\ rq^{2},\ldots\) Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: \[r+rq=18,\qquad \frac{2q+7r}{2}\cdot8=124.\] Drugie równanie to wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; upraszcza się do \(2q+7r=31\). Z niego \(q=\dfrac{31-7r}{2}\). Po podstawieniu do pierwszego równania \[r\left(1+\frac{31-7r}{2}\right)=18,\qquad r(33-7r)=36,\qquad 7r^{2}-33r+36=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1089-1008=81\), \(\sqrt{\Delta}=9\), więc \[r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{33+9}{14}=3.\] Dla \(r=\tfrac{12}{7}\) otrzymujemy \(q=\tfrac{19}{2}\); wyrazy ciągu arytmetycznego nie są wtedy całkowite, więc tę parę odrzucamy. Dla \(r=3\) otrzymujemy \(q=\tfrac{31-21}{2}=5\). Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(5\) i różnicę \(3\), a ciąg geometryczny pierwszy wyraz \(3\) i iloraz \(5\): \[a_n=5+(n-1)\cdot3=3n+2,\qquad b_n=3\cdot5^{\,n-1}.\] Sprawdzenie: \(S_8=\frac{2\cdot5+7\cdot3}{2}\cdot8=124\) oraz \(b_1+b_2=3+15=18\). **Odpowiedź.** \(a_n=3n+2\) oraz \(b_n=3\cdot5^{\,n-1}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający albo zapisze kolejne wyrazy ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą \(r\) i \(q\) (lub \(a_1\) i \(b_1\), lub \(a_1\) i \(r\), lub \(b_1\) i \(q\)), albo zapisze koniunkcję zależności […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z jedną niewiadomą \(r\) lub \(q\), np. \(7r^2-33r+36=0\) lub \(2q^2-29q+95=0\). **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający albo popełni błąd rachunkowy na etapie rozwiązywania układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, albo poda jako rozwiązanie dwie pary ciągów: ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{19}{2}\) i różnicy \(\tfrac{12}{7}\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{12}{7}\) i ilorazie \(\tfrac{19}{2}\), oraz ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\). **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający albo wyznaczy wzory ogólne ciągów \(a_n=3n+2\) i \(b_n=3\cdot5^{n-1}\), albo wyznaczy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie wzorów na wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązywanie układu warunków.

r = \(2\)

Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=30\) otrzymujemy \[30=\frac{(a_1+30)\cdot30}{2}=15(a_1+30),\] skąd \(a_1+30=2\), czyli \(a_1=-28\). Teraz ze wzoru \(a_{30}=a_1+29r\): \[30=-28+29r,\qquad 29r=58,\qquad r=2.\] **Odpowiedź.** \(r=2\)

1 pkt: obliczenie a₁ = −28. 2 pkt: obliczenie różnicy r = 2.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B. \(a_{12}\) = \(71\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=11-5=6\), więc \[a_n=5+(n-1)\cdot6=6n-1.\] Z równania \(6n-1=71\) otrzymujemy \(6n=72\), czyli \(n=12\). Wyraz \(a_{12}\) jest równy \(71\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_{12}=71\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). B C

\(a_{16}\) − \(a_{13}\) = \(9\). Z \(a_{1}\) = \(8\) i \(S_{3}\) = \(33\) mamy \(3\)\(a_{1}\) + \(3r\) = \(33\), czyli \(24\) + \(3r\) = \(33\) i r = \(3\). Różnica wyrazów oddalonych o trzy miejsca jest równa \(3r\) = \(9\).

Sumę trzech początkowych wyrazów zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\): \[S_3=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)=3a_1+3r=33.\] Po podstawieniu \(a_1=8\) otrzymujemy \(24+3r=33\), czyli \(r=3\). Wyrazy \(a_{16}\) i \(a_{13}\) dzielą trzy kroki, więc \[a_{16}-a_{13}=3r=9.\] **Odpowiedź.** \(a_{16}-a_{13}=9\)

**1 pkt** – gdy zdający obliczy różnicę ciągu \(r=3\) (lub \(3r=9\)), lub obliczy wartość \(a_1+r=11\), lub obliczy wartość \(a_2=11\), lub zapisze, że \(a_{16}-a_{13}\) […], lub obliczy \(a_{13}=14\), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy obliczy różnicę \(a_{16}-a_{13}=9\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

C

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=9-2=7\), więc \[a_n=2+(n-1)\cdot7=7n-5.\] Z równania \(7n-5=79\) otrzymujemy \(7n=84\), czyli \(n=12\). **Odpowiedź.** **C.** \(n=12\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{25}\) + \(a_{26}\) = \(50\)

W ciągu arytmetycznym suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów, bo \(a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r\). Numery w danym warunku łączymy w pary o jednakowej sumie: \[21+30=24+27=51,\] więc \(a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}\). Skoro suma czterech wyrazów wynosi \(100\), każda z tych par jest równa \(50\). Numery \(25\) i \(26\) także sumują się do \(51\), zatem \[a_{25}+a_{26}=50.\] **Odpowiedź.** \(a_{25}+a_{26}=50\)

1 pkt: poprawne przekształcenie warunku z użyciem różnicy ciągu. 2 pkt: wynik 50.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[(a,b,c)=(5,9,13)\quad\text{lub}\quad(a,b,c)=\left(\frac{31}{2},9,\frac52\right).\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy \(a=b-r\), \(c=b+r\), a z \(a+b+c=27\) wynika \(b=9\). Warunek geometryczności ciągu \((a-2,b,2c+1)\) daje \[81=(7-r)(2r+19).\] Stąd \(r=4\) lub \(r=-\frac{13}{2}\). Otrzymujemy odpowiednio \((a,b,c)=(5,9,13)\) oraz \((a,b,c)=(\frac{31}{2},9,\frac52)\).

**6 pkt** – podanie obu zestawów **5 pkt** – poprawne wyznaczenie jednego zestawu **4 pkt** – poprawne rozwiązanie otrzymanego równania kwadratowego **3 pkt** – sprowadzenie warunków do równania z jedną niewiadomą, np. \(81=(7-r)(2r+19)\) **2 pkt** – zapisanie zależności wynikających z obu ciągów **1 pkt** – poprawna parametryzacja ciągu arytmetycznego albo jedna poprawna zależność **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i równania kwadratowe.

A. \(\frac{37}{2}\)

Wyrazy \(a_7\) i \(a_{14}\) dzieli siedem kroków, więc \(a_7=a_{14}-7r\): \[a_7=8-7\cdot\left(-\frac32\right)=8+\frac{21}2=\frac{37}2.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_7=\frac{37}2\)

Zadanie 14. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A B

\[x=7.\]

Mamy \(a_1=2\) oraz \(a_2=x-3\), więc różnica ciągu wynosi \[r=a_2-a_1=x-5.\] Ponieważ \(a_4=8\), to \[8=a_1+3r=2+3(x-5).\] Stąd \(6=3(x-5)\), zatem \(x=7\).

**2 pkt** – poprawny wynik \(x=7\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie różnicy \(r=x-5\) i zapisanie równania \(8=2+3r\), lecz błąd w dalszych obliczeniach **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[a_{15}=72.\]

Kolejne liczby naturalne dające przy dzieleniu przez \(5\) resztę \(2\) różnią się o \(5\), więc różnica ciągu wynosi \(r=5\). Między wyrazami \(a_3\) i \(a_{15}\) są \(15-3=12\) kroki. Zatem \[a_{15}=a_3+12r=12+12\cdot5=72.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(a_{15}=72\) **1 pkt** – poprawne ustalenie różnicy \(r=5\) i użycie wzoru na wyraz ciągu **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**C.** \(91\).

Pierwszym dwucyfrowym wielokrotnością \(7\) jest \(a_1=14\), a różnica ciągu wynosi \(r=7\). Zatem \[a_{12}=14+11\cdot7=91.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

A. a_n = −\(3n\) + \(5\)

Różnica ciągu jest równa \(r=-1-2=-3\), a pierwszy wyraz \(a_1=2\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_n=2+(n-1)\cdot(-3)=2-3n+3=-3n+5.\] Sprawdzenie: \(a_1=2\), \(a_2=-1\), \(a_3=-4\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_n=-3n+5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a).

B. \(a_{1}\) = \(2\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_4-a_3=14-10=4\). Z zależności \(a_3=a_1+2r\) otrzymujemy \[a_1=10-2\cdot4=2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_1=2\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (II.5.c).

\(S_{6}\) = \(78\)

Z zależności \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy różnicę: \[15=3+3r,\qquad 3r=12,\qquad r=4.\] Szósty wyraz jest równy \(a_6=3+5\cdot4=23\), a sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_6=\frac{(3+23)\cdot6}{2}=3\cdot26=78.\] **Odpowiedź.** \(S_6=78\)

1 pkt: różnica r=4 albo kolejny poprawny wyraz. 2 pkt: S₆=78.

Zadanie 28. (0–2) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wykorzystanie Oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu i interpretowanie reprezentacji arytmetycznego. Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy:  obliczy różnicę ciągu arytmetycznego ( r  4 ) i na tym poprzestanie lub błędnie wyznaczy S 6 albo  obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy S . 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy obliczy S  78 . 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga: Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:  błędnie zapisze związek między a , a i r, np. a  4r  15 i konsekwentnie do tego błędu 1 4 1 wyznaczy S , 6 2a  5r  zacytuje odpowiednie wzory, np. a  a  3r lub S  1  6 i na tym poprzestanie. 4 1 6 2

**C.** \(2\)

Różnicę odczytujemy bezpośrednio ze wzoru ogólnego: \[r=a_{n+1}-a_n=\left(2(n+1)-1\right)-(2n-1)=2.\] **Odpowiedź.** **C.** \(r=2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza różnicę ciągu arytmetycznego.

(a, b, c) = (\(3\), \(15\), \(75\)) lub (\(31\), \(31\), \(31\))

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego. Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są jego pierwszym, drugim i siódmym wyrazem, więc \[b=a+r,\qquad c=a+6r.\] Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(a+r)^{2}=a(a+6r),\qquad a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar,\qquad r^{2}-4ar=0,\qquad r(r-4a)=0.\] Rozważamy oba przypadki. Gdy \(r=0\), wszystkie trzy liczby są równe, a z warunku \(3a=93\) otrzymujemy \(a=b=c=31\). Ciąg stały o wyrazie różnym od zera jest geometryczny o ilorazie \(q=1\), więc ten przypadek spełnia warunki zadania. Gdy \(r=4a\), mamy \(b=5a\) oraz \(c=25a\), a suma daje \[a+5a+25a=31a=93,\qquad a=3,\] czyli \((a,b,c)=(3,15,75)\) i iloraz \(q=5\). **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(3,15,75)\) albo \((a,b,c)=(31,31,31)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \((a,\,b,\,c)=(3,\,15,\,75)\) lub \((31,\,31,\,31)\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

\((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\). Z warunku \(2b=a+c=10\) wynika \(b=5\), a z warunku \(9^{2}=(a+1)(c+19)\) po podstawieniu \(c=10-a\) otrzymujemy \(a^{2}-28a+52=0\), czyli \(a=2\) lub \(a=26\).

**Krok \(1\).** Mamy trzy liczby i dwa warunki na ciągi trzywyrazowe. Dla takich zadań najwygodniejsze są warunki na wyraz środkowy: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli \(2b=a+c\), a w ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi sąsiadów. **Krok \(2\).** Z arytmetyczności ciągu \((a,b,c)\) mamy \(2b=a+c\), a z treści \(a+c=10\). Stąd od razu \[2b=10,\qquad b=5.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(b=5\) do drugiego ciągu. Ciąg \((a+1,\;b+4,\;c+19)\) to teraz \[(a+1,\;9,\;c+19).\] **Krok \(4\).** Warunek na ciąg geometryczny daje równanie \[9^2=(a+1)(c+19),\qquad\text{czyli}\qquad (a+1)(c+19)=81.\] **Krok \(5\).** Aby zostać z jedną niewiadomą, z warunku \(a+c=10\) wyznaczamy \(c=10-a\). Wtedy \(c+19=29-a\) i równanie przyjmuje postać \[(a+1)(29-a)=81.\] **Krok \(6\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[29a-a^2+29-a=81,\] \[-a^2+28a-52=0,\] \[a^2-28a+52=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=784-208=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\] \[a_1=\frac{28-24}{2}=2,\qquad a_2=\frac{28+24}{2}=26.\] **Krok \(8\).** Do każdej wartości \(a\) dobieramy \(c=10-a\): dla \(a=2\) mamy \(c=8\), dla \(a=26\) mamy \(c=-16\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy obie trójki. Dla \((a,b,c)=(2,5,8)\) drugi ciąg to \((3,9,27)\), czyli geometryczny o ilorazie \(3\). Dla \((a,b,c)=(26,5,-16)\) drugi ciąg to \((27,9,3)\), czyli geometryczny o ilorazie \(\frac13\). Żaden wyraz nie jest zerem, więc oba rozwiązania są poprawne. **Uwaga.** Częsty błąd to odrzucenie drugiego rozwiązania dlatego, że pojawia się w nim liczba ujemna. Nic tego nie zabrania: wyrazy ciągu geometrycznego mogą być dowolne, byle żaden nie był równy zeru. Warto to sprawdzić właśnie po to, żeby mieć pewność. **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\).

Zadanie 5. 0—5 Obszar standardów Modelowanie matematyczne I sposób rozwiązania Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego Z własności ciągu arytmetycznego mamy: 2b = a + c . Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : 2b = 10 czyli b = 5 . Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: (b + Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Zatem otrzymujemy układ równań, np. a + c = 10 ¯ 19) Z drugiego równania wyznaczamy a = 10 — c lub c = 10—a i wstawiamy do trzeciego równanła. Otrzymujemy równanie, np. 92 lub 92 Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O. Rozwiązaniem równania są --16 lub =26. Zatem szukanymi liczbami są: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16. Schemat oceniania do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiednie{ równanła, np. • 2b = a + c albo • (b +4)2 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie ukłac równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np. 2b = a + c a+c=lO Pokonanie zasadniczych trudności zadania Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p] • poprawne rozwiązanie równama kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywanil i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne 5 p] Wyznaczenie szukanych liczb: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r — różnicę tego ciągu Wówczas b = a + r, c=a+2r. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy 2a + 2r = 10 , stąd a + r = 5 Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np. a następnie zapisujemy układ równań: (a 19) Z pierwszego równania wyznaczamy a = 5 — r i podstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: lub R +18-63=0. Rozwiązaniami tego równania są: = 3 lub — -21. Następnie obliczamy a, b, c. Warunki zadania spełniają liczby: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania . .... 1 pkt Wprowadzenie oznaczeń: a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r — różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np. 2a+2r=lO lub a +r=5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . .... 2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np. 19) Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................3 pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np. lub +18-63=0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)....................................................... 4 pkt • poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np. r < O i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a = 2, b = 5, c = 8 lub Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony .....5 pkt

III. Modelowanie matematyczne. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego.

**B.** \(r=\frac52\)

Wyrazy \(a_3\) i \(a_{11}\) dzieli osiem kroków, więc \(a_{11}=a_3+8r\): \[34=14+8r,\qquad 8r=20,\qquad r=\frac{20}8=\frac52.\] **Odpowiedź.** **B.** \(r=\frac52\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{B}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[r=\frac97.\]

Sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego liczymy ze wzoru \(S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(b_1=\frac34\) i \(q=-2\): \[S_7^{(b)}=\frac34\cdot\frac{1-(-2)^7}{1-(-2)}=\frac34\cdot\frac{1+128}{3}=\frac34\cdot43=\frac{129}{4}.\] Ciąg arytmetyczny ma ten sam wyraz pierwszy \(a_1=\frac34\), więc \[S_7^{(a)}=\frac{2a_1+6r}{2}\cdot7=\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7.\] Porównujemy obie sumy: \[\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7=\frac{129}{4},\qquad \frac32+6r=\frac{129}{14},\] \[6r=\frac{129}{14}-\frac{21}{14}=\frac{108}{14}=\frac{54}{7},\qquad r=\frac97.\] **Odpowiedź.** Różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(\frac97\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […]: \(S_{7}=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)=\frac{129}{4}\). […] występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3). Zdający nie musi obliczyć wartości sumy \(S_{7}\). **4.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy \(7\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zależności od \(r\): \(S_{7}=\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7\). Nie musi to być oddzielny zapis, może występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3. **4.3. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(r\): \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)\). Może też być: \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{129}{4}\). **4.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(r=\frac{9}{7}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie różne sprawy. Podpunkt a) to zwykłe równanie: pytamy, dla jakiego \(n\) wyraz \(a_n\) równa się danej liczbie. Podpunkt b) jest ciekawszy — wyrazy całkowite pojawiają się REGULARNIE (co pewną stałą liczbę kroków), więc same tworzą ciąg arytmetyczny, a ich sumę policzymy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. **Krok \(2\).** Podpunkt a): zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \(37\tfrac34=\dfrac{151}{4}\). Zapisujemy równanie: \[\frac{1}{4}(3n+1)=\frac{151}{4}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(4\): \[3n+1=151\quad\Longrightarrow\quad 3n=150\quad\Longrightarrow\quad n=50.\] Liczba \(37\tfrac34\) jest więc pięćdziesiątym wyrazem ciągu. **Krok \(4\).** Podpunkt b): wyraz \(a_n=\dfrac{3n+1}{4}\) jest liczbą całkowitą dokładnie wtedy, gdy licznik \(3n+1\) dzieli się przez \(4\). Sprawdzamy kilka pierwszych wyrazów: \[a_1=\tfrac44=1,\quad a_2=\tfrac74,\quad a_3=\tfrac{10}{4},\quad a_4=\tfrac{13}{4},\quad a_5=\tfrac{16}{4}=4.\] Widać, że całkowite są wyrazy o numerach \(1, 5, 9, \ldots\), czyli co czwarty. **Krok \(5\).** Uzasadniamy tę regularność: zwiększenie \(n\) o \(4\) zwiększa licznik \(3n+1\) o \(12\), czyli o wielokrotność \(4\) — reszta z dzielenia przez \(4\) się nie zmienia. Natomiast zwiększenie \(n\) o \(1\), \(2\) lub \(3\) zmienia licznik o \(3\), \(6\) lub \(9\), co daje inną resztę. Numery wyrazów całkowitych to więc dokładnie \(n=1,5,9,13,\ldots\), czyli \(n=1+4k\). **Krok \(6\).** Zliczamy te numery wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów: \[1+4k\leqslant50\quad\Longrightarrow\quad 4k\leqslant49\quad\Longrightarrow\quad k\leqslant12{,}25,\] czyli \(k=0,1,\ldots,12\) — razem \(13\) wyrazów. Ostatni z nich ma numer \(n=1+4\cdot12=49\), a jego wartość to \[a_{49}=\frac{3\cdot49+1}{4}=\frac{148}{4}=37.\] **Krok \(7\).** Same te wyrazy \(1, 4, 7, \ldots, 37\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\) (bo przeskok o cztery wyrazy ciągu o różnicy \(\tfrac34\) daje przyrost \(4\cdot\tfrac34=3\)). Stosujemy wzór na sumę: \[S=\frac{a_{\text{pierwszy}}+a_{\text{ostatni}}}{2}\cdot(\text{liczba wyrazów})=\frac{1+37}{2}\cdot13=19\cdot13=247.\] **Uwaga.** Ograniczenie „wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów” jest istotne — kolejny wyraz całkowity miałby numer \(53\) i już się nie liczy. Warto też zauważyć, że sam wyraz \(a_{50}=\tfrac{151}{4}=37\tfrac34\) z podpunktu a) NIE jest liczbą całkowitą, więc granica \(n\leqslant50\) w praktyce wypada na \(n=49\). Uwaga na liczbę składników: między \(1\) a \(49\) co cztery kroki jest \(13\), a nie \(12\) wyrazów (\(\tfrac{49-1}{4}+1=13\)). **Odpowiedź.** a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3n+1}{4}=37\frac{3}{4}\). **8.2. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(n=50\). **8.3. (1 pkt)** – zauważenie, że wartości wyrazów \(a_{1}\), \(a_{5}\), \(a_{9}\), \(a_{13}\), \(a_{17}\), \(a_{21}\), \(a_{25}\),… są liczbami całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu ciągu \(a_{1}=1\) i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od poprzedniego o \(3\). Wystarczy, że zdający zapisze sumę \(1+4+7+10+\ldots\) bez jej ostatniego składnika. Obliczenie różnicy ciągu nie jest konieczne. **8.4. (1 pkt)** – obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: \(a_{49}=37\). **8.5. (1 pkt)** – obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: \(13\). **8.6. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{13}=\frac{a_{1}+a_{49}}{2}\cdot 13=\frac{1+37}{2}\cdot 13=247\). Jeżeli zdający od razu zapisze \(\frac{1+37}{2}\cdot 13\), to otrzymuje punkty w czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=10\,150\). b) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^{2}-2}=\frac23\).

Najpierw wyznaczamy wzór ogólny: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\), a więc \[a_n=\left(2n^{2}+n\right)-\left(2(n-1)^{2}+(n-1)\right)=4n-1.\] Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\), więc wzór obowiązuje od początku. **a)** Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\); tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(8\), pierwszym wyrazie \(a_2=7\) i ostatnim \(a_{100}=399\). Zatem \[a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\frac{(7+399)\cdot50}{2}=406\cdot25=10\,150.\] **b)** W granicy ilorazu wielomianów tego samego stopnia decydują współczynniki przy najwyższej potędze: \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac1n}{3-\frac2{n^{2}}}=\frac23.\] **Odpowiedź.** a) \(10\,150\); b) \(\frac23\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu \((a_{n})\), korzystając z własności sum częściowych ciągów: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\), \(a_{n}=2n^{2}+n-2(n-1)^{2}-n+1=4n-1\). Wyznaczam wartość wyrazu \(a_{2}=7\) i różnicy ciągu \((a_{2},a_{4},\ldots,a_{100})\), \(r=8\). Obliczam sumę \(n=50\) początkowych wyrazów ciągu o numerach parzystych: \(S_{50}=\frac{2\cdot 7+(50-1)\cdot 8}{2}\cdot 50=10150\). b) Obliczam granicę ciągu \(\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}\): \(\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\frac{2}{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) tak, ciąg jest arytmetyczny, bo \(a_{n+1}-a_{n}=-\frac{3}{7}\) dla każdego \(n\); b) \(x=0\), bo wtedy \(-1,\ 2,\ -4\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(-2\).

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x = \(0\). \(7\).\(6\). \(1\) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=\) […] lub \(a_{n+1}=\) […]. **7.2. (1 pkt)** – wyznaczenie różnicy ciągu: \(a_{n+1}-a_{n}=-\frac{3}{7}\) oraz zapisanie wniosku: ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. **7.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(a_{4}=-1\); \(a_{11}=-4\). **7.4. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego do zapisania warunków zadania. **7.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (alternatywy równań) z jedną niewiadomą \(x\). **7.6. (1 pkt)** – rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: \(x=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pierwsza rata: \(a_{1}=1000\ \text{zł}\); ostatnia rata: \(a_{12}=450\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o stałą kwotę \(50\) zł, więc raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-50\). Jest ich \(12\), a ich suma to cała pożyczka, czyli \(8700\) zł. Wystarczy więc zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczyć \(a_1\). **Krok \(2\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\). Dla \(n=12\): \[S_{12}=\frac{2a_1+11r}{2}\cdot12=6\left(2a_1+11r\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(r=-50\) i \(S_{12}=8700\): \[6\left(2a_1-550\right)=8700.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(6\): \[2a_1-550=1450.\] **Krok \(5\).** Stąd \(2a_1=2000\), czyli \[a_1=1000.\] **Krok \(6\).** Ostatnia rata to dwunasty wyraz ciągu: \[a_{12}=a_1+11r=1000-550=450.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: suma ciągu arytmetycznego to średnia wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożona przez ich liczbę: \[\frac{1000+450}{2}\cdot12=725\cdot12=8700.\] Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Różnica ciągu jest ujemna, bo raty maleją. Wstawienie \(r=50\) daje bezsensowny wynik (raty rosnące), więc znak trzeba ustalić już na starcie. **Odpowiedź.** Pierwsza rata wynosi \(1000\) zł, a ostatnia \(450\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] daną sytuację: \(S_{12}=8700\). **2.2. (1 pkt)** – zapisanie równania z wykorzystaniem wzoru na sumę \(12\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \((2x-550)\cdot 6=8700\). **2.3. (2 pkt)** – rozwiązanie równania i wyznaczenie pierwszej i ostatniej raty (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(a_{1}=1000\), \(a_{12}=450\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne o ciągu arytmetycznym. Mamy jeden konkretny wyraz (\(a_{51}=1\)) i nieznaną różnicę \(r\). Pomysł: wszystkie potrzebne wyrazy wyrazimy przez \(r\), badane wyrażenie stanie się funkcją jednej zmiennej, a najmniejszej wartości poszukamy przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Korzystamy z zależności \(a_n=a_{51}+(n-51)r\), czyli \(a_n=1+(n-51)r\). Stąd \[a_1=1-50r,\qquad a_{49}=1-2r,\qquad a_{50}=1-r.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy badane wyrażenie jako funkcję \(r\): \[f(r)=\frac{a_1\cdot a_{49}}{a_{50}}=\frac{(1-50r)(1-2r)}{1-r}.\] Z treści wiemy, że \(r\lt1\); przy tym założeniu \(1-r\gt0\), więc mianownik nigdy się nie zeruje i dziedziną jest przedział \((-\infty,1)\). **Krok \(4\).** Rozwijamy licznik: \[(1-50r)(1-2r)=1-2r-50r+100r^2=100r^2-52r+1,\] więc \(f(r)=\dfrac{100r^2-52r+1}{1-r}\). **Krok \(5\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu, pamiętając, że pochodna mianownika to \(-1\): \[f'(r)=\frac{(200r-52)(1-r)-\bigl(100r^2-52r+1\bigr)\cdot(-1)}{(1-r)^2}.\] Licznik to \[-200r^2+252r-52+100r^2-52r+1=-100r^2+200r-51,\] zatem \(f'(r)=\dfrac{-100r^2+200r-51}{(1-r)^2}\). **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc rozwiązujemy \(100r^2-200r+51=0\): \(\Delta=40\,000-20\,400=19\,600\), \(\sqrt{\Delta}=140\), \[r=\frac{200-140}{200}=\frac{3}{10}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{200+140}{200}=\frac{17}{10}.\] Drugi pierwiastek odrzucamy, bo \(1{,}7\gt1\), czyli leży poza dziedziną. **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej. Licznik można zapisać jako \(-100\left(r-\frac{3}{10}\right)\left(r-\frac{17}{10}\right)\). Dla \(r\lt\frac{3}{10}\) oba nawiasy są ujemne, ich iloczyn dodatni, więc po pomnożeniu przez \(-100\) licznik jest ujemny i funkcja maleje. Dla \(\frac{3}{10}\lt r\lt1\) pierwszy nawias jest dodatni, drugi ujemny, iloczyn ujemny, więc licznik jest dodatni i funkcja rośnie. W punkcie \(r=\frac{3}{10}\) funkcja ma zatem minimum. **Krok \(8\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[f\!\left(\tfrac{3}{10}\right)=\frac{\bigl(1-50\cdot0{,}3\bigr)\bigl(1-2\cdot0{,}3\bigr)}{1-0{,}3}=\frac{(-14)\cdot0{,}4}{0{,}7}=\frac{-5{,}6}{0{,}7}=-8.\] **Uwaga.** Warunek z treści, że różnica jest mniejsza od \(1\), pełni tu podwójną rolę: wyznacza dziedzinę \((-\infty,1)\) i jednocześnie gwarantuje, że \(a_{50}=1-r\neq0\), więc dzielenie jest wykonalne. Bez tego warunku drugie miejsce zerowe pochodnej, \(r=1{,}7\), byłoby kandydatem i zadanie miałoby inną odpowiedź. Pamiętaj też, że pytanie dotyczy najmniejszej wartości wyrażenia (\(-8\)), a nie różnicy ciągu, przy której ta wartość jest przyjmowana. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(-8\) i jest przyjmowana dla różnicy ciągu \(r=\dfrac{3}{10}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **20.1. (1 pkt)** – […] oznaczeń: \(a_{1}=1-50x\). **20.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a_{49}\), \(a_{50}\) w zależności od \(x\): \(a_{49}=1-2x\), \(a_{50}=1-x\). **20.3. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(\frac{a_{1}\cdot a_{49}}{a_{50}}\) jako funkcji jednej zmiennej i podanie jej dziedziny: \(f(x)=\frac{(1-50x)(1-2x)}{1-x}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.4. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=\frac{-100x^{2}+200x-51}{(1-x)^{2}}\), \(x\in(-\infty;1)\). **20.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(f'(x)=0\): \(x=\frac{3}{10}\). **20.6. (1 pkt)** – uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(f\) (zbadanie monotoniczności funkcji \(f\) w przedziale \((-\infty;1)\)): Funkcja \(f\): maleje dla \(x\in\left(-\infty;\frac{3}{10}\right)\), rośnie dla \(x\in\left(\frac{3}{10};1\right)\), dla \(x=\frac{3}{10}\) przyjmuje najmniejszą wartość. **20.7. (1 pkt)** – wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\): \(f\left(\frac{3}{10}\right)=-8\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_n=3n+99\) oraz \(a_{81}=342\).

Kolejne wyrazy różnią się o \(3\), więc ciąg jest arytmetyczny o \(a_1=102\) i \(r=3\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_n=102+3(n-1)=3n+99.\] Podstawiamy \(n=81\): \[a_{81}=3\cdot81+99=243+99=342.\] **Odpowiedź.** \(a_n=3n+99\), \(a_{81}=342\)

**1. (2 pkt)** – zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu \((a_{n})\): \(a_{n}=102+3(n-1)=3n+99\), \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\). Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu – \(1\) punkt. **2. (1 pkt)** – obliczenie wyrazu \(a_{81}\). Odp. \(a_{81}=342\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie. Znamy sumę \(n\) początkowych wyrazów, a szukamy wzoru na pojedynczy wyraz. Służy do tego zależność: suma \(n\) wyrazów minus suma \(n-1\) wyrazów zostawia dokładnie \(n\)-ty wyraz, czyli \[a_n=S_n-S_{n-1}\qquad\text{dla }n\geqslant 2,\] a pierwszy wyraz liczymy osobno jako \(a_1=S_1\). **Krok \(2\).** Liczymy pierwszy wyraz: \[a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy \(S_{n-1}\), wstawiając \(n-1\) w miejsce \(n\): \[S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)=n^2-2n+1+3n-3=n^2+n-2.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[a_n=S_n-S_{n-1}=\left(n^2+3n\right)-\left(n^2+n-2\right)=n^2+3n-n^2-n+2=2n+2.\] Wzór ten wyprowadziliśmy dla \(n\geqslant 2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy działa też dla \(n=1\): \(2\cdot 1+2=4=a_1\) — zgadza się, więc wzór \[a_n=2n+2\] obowiązuje dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}^{+}\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do dowodu. Ciąg jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica dwóch dowolnych kolejnych wyrazów jest stała (nie zależy od \(n\)). Zapisujemy więc \(a_{n+1}-a_n\). **Krok \(7\).** Liczymy \(a_{n+1}\), wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=2(n+1)+2=2n+4.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy: \[a_{n+1}-a_n=(2n+4)-(2n+2)=2.\] Otrzymana różnica jest liczbą stałą, niezależną od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=2\), co należało wykazać. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to zastosowanie wzoru \(a_n=S_n-S_{n-1}\) już dla \(n=1\) — wtedy pojawia się \(S_0\), które nie jest zdefiniowane. Dlatego wzór wyprowadzamy dla \(n\geqslant 2\), a przypadek \(a_1\) sprawdzamy osobno. W dowodzie arytmetyczności nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów — trzeba policzyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dla dowolnego \(n\) i pokazać, że nie zależy ona od \(n\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**13. (1 pkt)** – obliczenie \(n\)-tego wyrazu ciągu: \(a_{n}=2n+2\). **14. (1 pkt)** – zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu: \(r=a_{n+1}-a_{n}\). **15. (1 pkt)** – obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.