Zadania z ciągiem zadanym wzorem ogólnym

\[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]

Obliczamy \[a_5=\frac{3\cdot5+9}{5+1}=4.\] Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: \[2x^2=\frac{4+(3x^2+5)}{2}.\] Stąd \(4x^2=3x^2+9\), więc \(x^2=9\). Zatem \[x=-3\quad\text{lub}\quad x=3.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik: \(x=-3\) oraz \(x=3\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego równania wynikającego z własności ciągu arytmetycznego **1 pkt** – obliczenie \(a_5=4\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych do rozwiązywania zadań.

Najpierw \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^5}=1.\] Warunek arytmetyczności ciągu \((x,1,2x+10)\) daje \(2=x+(2x+10)\), więc \(x=-\frac83\). Różnica wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}{3}.\]

Najpierw wyznaczamy szósty wyraz ciągu \((a_n)\). Wykładnik \(6\) jest parzysty, więc \((-1)^{6}=1\): \[a_6=\frac{32\cdot(-1)^{6}}{2^{5}}=\frac{32}{32}=1.\] W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, więc dla trójki \((x,1,2x+10)\) \[2\cdot1=x+(2x+10),\qquad 2=3x+10,\qquad 3x=-8,\qquad x=-\frac83.\] Różnica tego ciągu arytmetycznego wynosi \[r=1-x=1+\frac83=\frac{11}3.\] **Odpowiedź.** \(x=-\frac83\), \(r=\frac{11}3\)

1 pkt: obliczenie a₆ = 1 albo zapisanie poprawnej zależności wynikającej z arytmetyczności. 2 pkt: obliczenie a₆ = 1 i zapisanie równania, np. (x + 2x + 10)/2 = a₆. 3 pkt: obliczenie x = −8/3 albo r = 11/3. 4 pkt: poprawna metoda i oba wyniki: x = −8/3 oraz r = 11/3.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 5.3) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.1) Oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n>0\).

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n.\] Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) zachodzi \(2n>0\), więc \(a_{n+1}-a_n>0\). Ciąg \((a_n)\) jest zatem rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź **A3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie obiektów pomocniczych do argumentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.3) W prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

C. \(50\)

Czynnik \((-1)^{n+1}\) przyjmuje na przemian wartości \(1\) i \(-1\), więc ciąg ma tylko dwa różne wyrazy: \[a_n=7\ \text{dla nieparzystych }n,\qquad a_n=3\ \text{dla parzystych }n.\] Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\), zatem \[S_{10}=5\cdot7+5\cdot3=35+15=50.\] **Odpowiedź.** **C.** \(S_{10}=50\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Kolejne wyrazy ciągu są równe \[a_1=3\cdot(-1)+10=7,\qquad a_2=3\cdot1+10=13,\qquad a_3=7.\] Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Wyrazy występują parami \(7,13\), a suma każdej pary wynosi \(20\). Pierwszych osiem wyrazów tworzy cztery takie pary, zatem \[S_8=4\cdot20=80.\] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[a_{n+1}-a_n=\bigl(4(n+1)-9\bigr)-(4n-9)=4.\] Różnica jest stała i nie zależy od \(n\), więc ciąg jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi \(r=4\).

**2 pkt** – pełne rozumowanie: obliczenie stałej różnicy kolejnych wyrazów albo sprawdzenie własności trzech kolejnych wyrazów **1 pkt** – zapisanie \(a_{n+1}-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)\) albo odpowiedniego związku dla trzech kolejnych wyrazów **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.1 tworzenie obiektów pomocniczych i przeprowadzanie rozumowań. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 i VI.7 sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny, oraz wykorzystywanie własności ciągów.

**P, F**

Obliczamy początkowe wyrazy: \[a_1=-3+5=2,\quad a_2=-6+5=-1,\quad a_3=-9+5=-4.\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Różnica ciągu wynosi \[a_{n+1}-a_n=-3,\] a nie \(5\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; dobieranie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym oraz sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.

**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n>0\).

Obliczamy \[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n.\] Dla każdego \(n\ge1\) zachodzi \(2n>0\), więc ciąg \((a_n)\) jest rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź **A3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1-III.2 i IV.1 operowanie obiektami, tworzenie obiektów pomocniczych i przeprowadzanie rozumowania. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego oraz badanie monotoniczności.

\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]

Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek: \[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\] Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\). Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę: \[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\] Podstawiamy \(q=\frac25\): \[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\] Wzór ogólny ma zatem postać \[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\] **Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)

**4 pkt** – obliczenie ilorazu i pierwszego wyrazu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu **3 pkt** – obliczenie ilorazu albo pierwszego wyrazu ciągu **2 pkt** – zapisanie dwóch równań z niewiadomymi \(q\) i \(a_1\), które pozwalają obliczyć iloraz i pierwszy wyraz **1 pkt** – zapisanie jednego równania z niewiadomymi \(q\) lub \(a_1\), wynikającego z treści zadania **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** VI.2R rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

**A.** \(n=6\)

Początkowe wyrazy ciągu to \[a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11,\quad a_5=14,\quad a_6=17.\] Ich suma wynosi \[2+5+8+11+14+17=57.\] Zatem suma \(57\) obejmuje sześć początkowych wyrazów, czyli \(n=6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1, VI.3 i VI.4 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, rozpoznawanie ciągu arytmetycznego oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**D.** \(31\)

Mamy \(a_2=a_1q=2\) oraz \(q=2\), więc \(a_1=1\). Pięć pierwszych wyrazów to \(1,2,4,8,16\), a ich suma wynosi \(31\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.3 stosowanie wzoru ogólnego i wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**B.** \(\frac3{50}\)

Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ogólnego: \[a_5=\frac{5-2}{2\cdot5^2}=\frac3{50}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1 wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

D. −\(16\)

Wzór ogólny upraszczamy, pamiętając, że \(n\geq1\), więc dzielenie przez \(n\) jest dozwolone: \[a_n=\frac{2n^{2}-30n}{n}=2n-30.\] Zatem \(a_7=2\cdot7-30=14-30=-16\). **Odpowiedź.** **D.** \(a_7=-16\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**C.** Liczba \(10\) nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\), ale jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

Równanie \(3n=10\) daje \(n=\frac{10}{3}\), które nie jest liczbą naturalną. Natomiast z równania \(4n-2=10\) otrzymujemy \(n=3\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.1 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym i sprawdzanie, czy dana liczba jest jego wyrazem.

**A.** \(\frac{7^{49}}{3}\)

Podstawiamy \(n=50\) do wzoru ogólnego ciągu: \[a_{50}=\frac{7^{50}}{21}=\frac{7^{50}}{3\cdot7}=\frac{7^{49}}{3}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(a_1=q\)

Dla ciągu geometrycznego \[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2.\] Warunek \(a_3=a_1a_2\) daje \[a_1q^2=a_1^2q.\] Ciąg jest dodatni i rosnący, więc \(a_1>0\) oraz \(q>1\). Możemy podzielić przez \(a_1q\), otrzymując \(a_1=q\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** posługiwanie się wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i jego ilorazem.

**B.** \((b_n)\)

Obliczamy dziesiąte wyrazy: \[a_{10}=203,\qquad b_{10}=2\cdot10^2-3=197,\] \[c_{10}=198,\qquad d_{10}=\frac{197}{10}.\] Liczba \(197\) jest więc dziesiątym wyrazem ciągu \((b_n)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie wyrazów ciągu danego wzorem ogólnym.

**D.** \(-23\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego, pamiętając o nawiasie przy podstawie potęgi: \[a_3=(-2)^{3}\cdot3+1=-8\cdot3+1=-24+1=-23.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_3=-23\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1 wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym.

D. \(8\)

Wyraz jest niedodatni, gdy \(b_n\leq0\). Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej: \[b_n=3n^{2}-25n=n(3n-25).\] Dla \(n\geq1\) czynnik \(n\) jest dodatni, więc nierówność \(n(3n-25)\leq0\) sprowadza się do \(3n-25\leq0\), czyli \(n\leq\frac{25}3=8\tfrac13\). Warunek spełniają liczby naturalne \(n=1,2,\ldots,8\), czyli osiem wyrazów. **Odpowiedź.** **D.** \(8\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zasady oceniania rozwiązań zadań

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**A.** \(a_n=3n-1\)

**Krok \(1\).** Ciąg jest arytmetyczny, więc jego wyraz ogólny ma postać \[a_n=a_1+(n-1)r,\] gdzie \(r\) to różnica ciągu. Pierwszy wyraz znamy, więc brakuje nam tylko \(r\). **Krok \(2\).** W ciągu arytmetycznym różnica to odległość między dwoma kolejnymi wyrazami: \[r=a_2-a_1=5-2=3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(a_1=2\) i \(r=3\) do wzoru ogólnego: \[a_n=2+(n-1)\cdot 3.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy, wymnażając nawias: \[a_n=2+3n-3=3n-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na danych z treści: \(a_1=3\cdot 1-1=2\) oraz \(a_2=3\cdot 2-1=5\). Oba wyrazy się zgadzają. **Uwaga.** Jeśli nie pamiętasz wzoru, wystarczy podstawić \(n=1\) i \(n=2\) do każdej z czterech odpowiedzi i sprawdzić, która daje \(2\) i \(5\). Uwaga na odpowiedź C: \(2\cdot 1+3=5\) - pasuje do drugiego wyrazu, ale nie do pierwszego, więc trzeba sprawdzić oba. **Odpowiedź.** A: \(a_n=3n-1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.

D. \(18\)

Oba wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=2n^{2}\): \[a_5=2\cdot5^{2}=50,\qquad a_4=2\cdot4^{2}=32.\] Zatem \(a_5-a_4=50-32=18\). Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny — różnica kolejnych wyrazów \(a_{n+1}-a_n=2(2n+1)\) zależy od \(n\), więc nie wolno tu mówić o „różnicy ciągu”. **Odpowiedź.** **D.** \(18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […]

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym (5.1).

Ciąg arytmetyczny ma wzór an=\(3n\)+\(2\), a geometryczny bn=\(3\cdot 5\)^(n−\(1\)). Niech q będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego i zarazem ilorazem ciągu geometrycznego, a r jego różnicą i zarazem pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Warunki dają r+rq=\(18\) oraz \(4\)(\(2q\)+\(7r\))=\(124\). Po rozwiązaniu i odrzuceniu pary niespełniającej całkowitości wyrazów otrzymujemy q=\(5\) i r=\(3\).

Oznaczmy przez \(q\) pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (jest on jednocześnie ilorazem ciągu geometrycznego), a przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego (jest ona jednocześnie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego). Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to \(q,\ q+r,\ q+2r,\ldots\), a ciągu geometrycznego \(r,\ rq,\ rq^{2},\ldots\) Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: \[r+rq=18,\qquad \frac{2q+7r}{2}\cdot8=124.\] Drugie równanie to wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; upraszcza się do \(2q+7r=31\). Z niego \(q=\dfrac{31-7r}{2}\). Po podstawieniu do pierwszego równania \[r\left(1+\frac{31-7r}{2}\right)=18,\qquad r(33-7r)=36,\qquad 7r^{2}-33r+36=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1089-1008=81\), \(\sqrt{\Delta}=9\), więc \[r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{33+9}{14}=3.\] Dla \(r=\tfrac{12}{7}\) otrzymujemy \(q=\tfrac{19}{2}\); wyrazy ciągu arytmetycznego nie są wtedy całkowite, więc tę parę odrzucamy. Dla \(r=3\) otrzymujemy \(q=\tfrac{31-21}{2}=5\). Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(5\) i różnicę \(3\), a ciąg geometryczny pierwszy wyraz \(3\) i iloraz \(5\): \[a_n=5+(n-1)\cdot3=3n+2,\qquad b_n=3\cdot5^{\,n-1}.\] Sprawdzenie: \(S_8=\frac{2\cdot5+7\cdot3}{2}\cdot8=124\) oraz \(b_1+b_2=3+15=18\). **Odpowiedź.** \(a_n=3n+2\) oraz \(b_n=3\cdot5^{\,n-1}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający albo zapisze kolejne wyrazy ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą \(r\) i \(q\) (lub \(a_1\) i \(b_1\), lub \(a_1\) i \(r\), lub \(b_1\) i \(q\)), albo zapisze koniunkcję zależności […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z jedną niewiadomą \(r\) lub \(q\), np. \(7r^2-33r+36=0\) lub \(2q^2-29q+95=0\). **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający albo popełni błąd rachunkowy na etapie rozwiązywania układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, albo poda jako rozwiązanie dwie pary ciągów: ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{19}{2}\) i różnicy \(\tfrac{12}{7}\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{12}{7}\) i ilorazie \(\tfrac{19}{2}\), oraz ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\). **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający albo wyznaczy wzory ogólne ciągów \(a_n=3n+2\) i \(b_n=3\cdot5^{n-1}\), albo wyznaczy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie wzorów na wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązywanie układu warunków.

**C.** \(a_3=0\).

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=(-3)^3\left(9-3^2\right)=-27\cdot(9-9)=0.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których \[n^2-2n-24<0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[(n-6)(n+4)<0.\] Nierówność zachodzi dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy \[n\in\{1,2,3,4,5\}.\] Ciąg ma zatem \(5\) wyrazów ujemnych.

**2 pkt** – poprawna odpowiedź: \(5\) wyrazów ujemnych, wraz z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(-4<n<6\) lub wskazanie poprawnych indeksów, lecz brak poprawnej odpowiedzi końcowej **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których \[n^2-2n-24<0.\] Rozkładamy trójmian: \[n^2-2n-24=(n-6)(n+4).\] Iloczyn jest ujemny dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy \[n\in\{1,2,3,4,5\}.\] Są to dokładnie \(5\) wartości indeksu.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna liczba pięciu wyrazów z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(n^2-2n-24<0\) przed uwzględnieniem naturalnych indeksów **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

A. a_n = −\(3n\) + \(5\)

Różnica ciągu jest równa \(r=-1-2=-3\), a pierwszy wyraz \(a_1=2\). Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) otrzymujemy \[a_n=2+(n-1)\cdot(-3)=2-3n+3=-3n+5.\] Sprawdzenie: \(a_1=2\), \(a_2=-1\), \(a_3=-4\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_n=-3n+5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a).

**A.** \(a_8=2\sqrt5\)

Podstawiamy \(n=8\) do wzoru ogólnego: \[a_8=\sqrt{2\cdot8+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_8=2\sqrt5\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Obliczenie wyrazu ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym (I.5.a).

B. \(\frac{3}{25}\)

Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ogólnego. Wykładnik jest nieparzysty, więc \((-1)^{5}=-1\): \[a_5=(-1)\cdot\frac{2-5}{5^{2}}=(-1)\cdot\frac{-3}{25}=\frac3{25}.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_5=\frac3{25}\)

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym (I.5.a).

**D.** \(a_3=-\frac38\)

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ogólnego: \[a_3=\frac{3}{(-2)^{3}}=\frac{3}{-8}=-\frac38.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_3=-\frac38\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym.

a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę. Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) ustawione rosnąco różnią się o \(6\) (kolejna wielokrotność szóstki), więc tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=6\). Do wzoru ogólnego potrzebujemy jeszcze pierwszego wyrazu, a do policzenia liczby wyrazów — ostatniego. **Krok \(2\).** Znajdujemy pierwszy wyraz. Najmniejsza liczba dwucyfrowa to \(10\), ale \(10\) nie dzieli się przez \(6\); pierwszą taką liczbą jest \(12=6\cdot 2\). Zatem \(a_1=12\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Wstawiamy do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n=a_1+(n-1)r=12+(n-1)\cdot 6=12+6n-6=6n+6.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy ostatni wyraz. Największa liczba dwucyfrowa to \(99\); szukamy największej wielokrotności \(6\), która jej nie przekracza: \(96=6\cdot 16\) (kolejna, \(102\), jest już trzycyfrowa). Zatem ostatnim wyrazem jest \(96\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, którym z kolei wyrazem jest \(96\): \[6n+6=96,\qquad 6n=90,\qquad n=15.\] Ciąg ma więc \(15\) wyrazów. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Skoro ciąg ma \(15\) wyrazów, to suma piętnastu początkowych wyrazów jest sumą wszystkich. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy \(a_1=12\) i \(a_{15}=96\): \[S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=\frac{108}{2}\cdot 15=54\cdot 15=810.\] **Uwaga.** Uważaj przy szukaniu skrajnych wyrazów: pierwsza dwucyfrowa wielokrotność \(6\) to \(12\), a nie \(10\) czy \(6\); ostatnia to \(96\), a nie \(99\). Zauważ też, że nie trzeba dzielić \(96\) przez \(6\) i „coś dodawać” — bezpieczniej wstawić \(96\) do wzoru \(a_n=6n+6\) i rozwiązać równanie. **Odpowiedź.** a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**[…] ([…] pkt)** – […] \(a_n=12+(n-1)\cdot 6=6n+6\). **38. (1 pkt)** – wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez \(6\): \(96\). **39. (1 pkt)** – rozwiązanie równania liniowego: \(6n+6=96\Rightarrow n=15\). **40. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=810\). Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.