Zadania z ilorazem ciągu geometrycznego

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów. Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\). Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni: \[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\] Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania. Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\] **Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO – obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO – obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO – obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\] **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\). **Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\): \[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\] **Krok \(3\).** Warunek geometryczności: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\): \[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\] Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony. **Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego: \[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\] **Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\). **Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). 4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**A.** \(\frac15\)

Z zależności \(a_6=25a_8\) oraz \(a_8=a_6q^2\) otrzymujemy \(25q^2=1\), więc \(q=\pm\frac15\). Ciąg jest malejący, zatem \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac15\), czyli odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\sqrt{3}-1\), zatem \(\lvert q\rvert<1\). Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy \[S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{2-\sqrt{3}}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}.\]

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

**A.** \(\displaystyle \frac{3}{4}\)

Iloraz \(q=\frac23\) spełnia warunek \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma wyraża się wzorem \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Podstawiamy dane: \[\frac94=\frac{a_1}{1-\frac23}=\frac{a_1}{\frac13}=3a_1.\] Stąd \(a_1=\frac{9}{4\cdot3}=\frac34\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_1=\frac34\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

**B.** Iloraz ciągu wynosi \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac13\), więc \(a_4=27\left(\frac13\right)^{3}=1\).

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac13.\] Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=27\cdot\left(\frac13\right)^{3}=27\cdot\frac1{27}=1.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**B.** Z zależności \(a_6=a_3q^3\) oraz \(a_3=-8a_6\) wynika \(1=-8q^3\), więc \(q^3=-\frac18\) i \(q=-\frac12\).

W ciągu geometrycznym \(a_6=a_3q^{3}\). Podstawiamy to do warunku \(a_3=-8a_6\): \[a_3=-8a_3q^{3}.\] Wszystkie wyrazy są różne od zera, więc dzielimy obie strony przez \(a_3\): \[1=-8q^{3},\qquad q^{3}=-\frac18,\qquad q=-\frac12.\] **Odpowiedź.** **B.** \(q=-\frac12\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\): \[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\] Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać \[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\] czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\) \[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\] Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\). Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\] Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\): \[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

**C.** \(\frac4{81}\)

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\frac19}{\frac16}=\frac23.\] Od trzeciego do piątego wyrazu wykonujemy dwa kroki, więc \[a_5=a_3q^2=\frac19\left(\frac23\right)^2=\frac19\cdot\frac49=\frac4{81}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(3\).

**Krok \(1\).** Znamy dwa wyrazy ciągu geometrycznego, między którymi są trzy „przeskoki” (od \(a_2\) do \(a_5\)). W ciągu geometrycznym każdy przeskok o jedno miejsce w prawo to mnożenie przez iloraz \(q\), więc trzy przeskoki to mnożenie przez \(q^3\). **Krok \(2\).** Zapiszmy to jawnie: \[a_3=a_2q,\qquad a_4=a_2q^2,\qquad a_5=a_2q^3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) i \(a_5=54\): \[54=2q^3.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^3=27.\] **Krok \(5\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^3=27\) i pierwiastek stopnia nieparzystego jest wyznaczony jednoznacznie, mamy \[q=3.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: przy \(a_2=2\) i \(q=3\) kolejne wyrazy to \(2,\;6,\;18,\;54\) — czwarty z nich, czyli \(a_5\), rzeczywiście wynosi \(54\). **Uwaga.** Nie wolno podzielić \(54:2=27\) i uznać, że to iloraz — liczba \(27\) jest równa \(q^3\), a nie \(q\). Właśnie na tej pomyłce opiera się dystraktor D. **Odpowiedź.** A: \(q=3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz [...] ciągu geometrycznego.

**A.** \(3\)

**Krok \(1\).** W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\). Od \(a_2\) do \(a_5\) wykonujemy trzy takie mnożenia (\(a_2\to a_3\to a_4\to a_5\)), więc \[a_5=a_2\cdot q^{3}.\] Wykładnik to różnica numerów wyrazów: \(5-2=3\). **Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\): \[54=2\cdot q^{3}.\] **Krok \(3\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^{3}=27.\] **Krok \(4\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\) i jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty stopnia nieparzystego, mamy \[q=3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie: \(a_3=2\cdot3=6\), \(a_4=6\cdot3=18\), \(a_5=18\cdot3=54\). Zgadza się z danymi. **Uwaga.** W ciągu geometrycznym wyrazy **mnożymy**, a nie dodajemy. Potraktowanie zadania jak ciągu arytmetycznego dałoby \(\frac{54-2}{3}=\frac{52}{3}\), czyli błędną odpowiedź C. Z kolei \(q^{3}\), a nie \(q^{2}\), bo między \(a_2\) i \(a_5\) są trzy kroki. **Odpowiedź.** A: \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

A. \(11\),\(25\)

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2,\] więc \(a_3=a_2q=-7{,}5\cdot(-2)=15\). Suma trzech początkowych wyrazów wynosi \[S_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25.\] **Odpowiedź.** **A.** \(11{,}25\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5-0{,}25\cdot2{,}5}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}.\]

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych jego wyrazów. Korzystamy z własności potęg o tej samej podstawie: \[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=\frac{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5}}{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot2{,}5}}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}.\] Zatem \[q=\sqrt{0{,}6}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5.\] **Odpowiedź.** \(q=\sqrt{\frac35}\)

1 pkt: poprawna metoda i q=(0,6)⁰·⁵=√(3/5).

Zadanie 15.2. (0–1) Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

A. −\(\frac{5}{4}\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{1}{-2}=-\frac12.\] Kolejne wyrazy to \(x=1\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac12\) oraz \(y=-\frac12\cdot\left(-\frac12\right)=\frac14\). Suma wszystkich czterech wyrazów jest równa \[-2+1-\frac12+\frac14=-\frac54.\] **Odpowiedź.** **A.** \(-\frac54\)

Zadanie 16. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[n>9,\qquad n\in\mathbb N.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Ponieważ suma szeregu istnieje i jest różna od zera, mamy \(a_1\neq0\) oraz \(|q|<1\). Korzystamy ze wzorów na sumę początkowych wyrazów i sumę szeregu: \[a_1+a_2+a_3=S(1-q^3).\] Z danych: \[7=8(1-q^3),\] \[q^3=\frac18,\qquad q=\frac12.\] Dla \(q=\frac12\): \[S=2a_1,\qquad S_n=2a_1\left[1-\left(\frac12\right)^n\right].\] Stąd \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}.\] Mianownik jest dodatni, więc nierówność ma postać \[\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}<0{,}001.\] Mnożymy obie strony przez dodatni mianownik i przez \(2^n\): \[1<0{,}001(2^n-1),\] \[2^n>1001.\] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), otrzymujemy \[n>9.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu ciągu, rozwiązanie nierówności w zbiorze dodatnich liczb naturalnych i wynik \(n>9\) **3 pkt** – wykorzystanie dodatniości \(1-q^n\) i przekształcenie nierówności do poprawnej nierówności wymiernej z \(q^n\) **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu \(q=\frac12\) **1 pkt** – zastosowanie wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i sumę szeregu, np. zapisanie \(a_1+a_2+a_3=S(1-q^3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[S=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(\frac14a\) i \(\frac34a\), zatem \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Stosunek długości boków kolejnych kwadratów, a więc także ich obwodów, jest równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(0<q<1\), suma obwodów istnieje. Pierwszy wyraz ciągu obwodów jest równy \(4a\), więc \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}a\) **3 pkt** – zapisanie szeregu obwodów, np. \(4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}4+\frac58+\ldots\right)\), i zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego **2 pkt** – wyznaczenie ilorazu ciągu obwodów \(q=\frac{\sqrt{10}}4\) **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu \(a_2=\frac{\sqrt{10}}4a\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; oblicza sumę szeregu geometrycznego.

Suma obwodów wynosi \(\displaystyle \frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}\). Iloraz szeregu obwodów jest równy \(\displaystyle q=\frac{\sqrt{10}}{4}\), a pierwszy wyraz to \(4a\).

Wierzchołek kwadratu \(K_2\) dzieli bok kwadratu \(K_1\) w stosunku \(1:3\), więc odcina od niego części o długościach \(\frac a4\) i \(\frac{3a}4\). Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o takich przyprostokątnych: \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^{2}+\left(\frac{3a}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10a^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Ten sam rachunek stosuje się do każdej kolejnej pary kwadratów, więc stosunek długości boków — a zatem także obwodów — jest stały i równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(\sqrt{10}<4\), zachodzi \(|q|<1\), więc szereg geometryczny obwodów jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{L_1}{1-q}\). Pierwszy obwód wynosi \(L_1=4a\), zatem \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{16a\left(4+\sqrt{10}\right)}{16-10}=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(L=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\) (lub \(L=\frac{8\cdot(4+\sqrt{10})a}{3}\)). **3 pkt** – zapisanie: \(L=4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{5}{8}+\ldots\right)\). **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: \(a_{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu \(q\) ciągu, o ile \(q\in(0,\,1)\), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu \(K_{1}\) i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz \(q\) ciągu, który jest liczbą spoza przedziału \((0,\,1)\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie \(a_{2}\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

**A i E.** \[a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}=5\cdot\frac{(-3)^n}{3}.\]

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{-5}=-3.\] Stąd wzór ogólny ma postać \[a_n=a_1q^{n-1}=-5\cdot(-3)^{n-1},\] czyli odpowiedź A. Ponieważ \[-5\cdot(-3)^{n-1}=\frac{-5}{-3}(-3)^n=5\cdot\frac{(-3)^n}{3},\] poprawna jest także odpowiedź E.

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: A i E **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: A albo E **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.5 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

A. \(\frac{2}{3}\)

Korzystamy z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) i podstawiamy ją do warunku \(9a_5=4a_3\): \[9a_3q^{2}=4a_3.\] Wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(a_3\ne0\) i po podzieleniu przez \(a_3\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac49,\qquad q=\frac23\ \text{lub}\ q=-\frac23.\] Gdyby \(q=-\frac23\), kolejne wyrazy zmieniałyby znak, a mają być dodatnie. Zostaje \(q=\frac23\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**D.** \(31\)

Mamy \(a_2=a_1q=2\) oraz \(q=2\), więc \(a_1=1\). Pięć pierwszych wyrazów to \(1,2,4,8,16\), a ich suma wynosi \(31\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.3 stosowanie wzoru ogólnego i wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[b_1=129.\]

Niech \(q\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(a_{21}\ne0\) i po podzieleniu warunku \(a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}\) przez \(a_{21}\) otrzymujemy \[q=\frac54q^{2}+\frac15,\qquad 25q^{2}-20q+4=0,\qquad (5q-2)^{2}=0,\qquad q=\frac25.\] Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) istnieje, bo \(|q|=\frac25<1\) — ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru \(S=\frac{a_1}{1-q}\): \[S=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.\] Ponadto \[a_3=675\left(\frac25\right)^{2}=675\cdot\frac4{25}=108=b_4.\] Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \((b_n)\). Z dwóch warunków otrzymujemy układ: \[b_1+3r=108,\qquad S_{25}=\frac{(2b_1+24r)\cdot25}{2}=25(b_1+12r)=1125,\] czyli \(b_1+12r=45\). Odejmując równania stronami, dostajemy \(9r=45-108=-63\), więc \(r=-7\), a stąd \[b_1=108-3\cdot(-7)=129.\] **Odpowiedź.** \(b_1=129\)

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(b_1=129\) **3 pkt** – wyznaczenie \(q=\frac25\), sumy \(1125\) i zależności dla ciągu arytmetycznego **2 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu oraz sumy szeregu geometrycznego **1 pkt** – poprawne ułożenie równania dla ilorazu \(q\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P5.3 i R5.2 stosowanie wzorów na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy zbieżnego szeregu geometrycznego.

**B.** \(a_1=q\)

Dla ciągu geometrycznego \[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2.\] Warunek \(a_3=a_1a_2\) daje \[a_1q^2=a_1^2q.\] Ciąg jest dodatni i rosnący, więc \(a_1>0\) oraz \(q>1\). Możemy podzielić przez \(a_1q\), otrzymując \(a_1=q\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** posługiwanie się wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i jego ilorazem.

\(a_{1}\)=\(3\). Jeśli q jest ilorazem ciągu geometrycznego, warunki ciągu arytmetycznego prowadzą do \(2\)\(q^{2}\)−\(3q\)+\(1=0\). Wartość q=\(1\) odpada, bo ciąg arytmetyczny ma być rosnący, więc q=\(\frac{1}{2}\); z \(a_{1}\)(\(1\)+q+\(q^{2}\))=\(\frac{21}{4}\) otrzymujemy \(a_{1}\)=\(3\).

Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez \(q\); wtedy \(a_2=a_1q\) oraz \(a_3=a_1q^{2}\). Liczby \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego o różnicy \(R\). Wynika stąd, że \(a_2-a_3=R\) oraz \(a_1-a_2=2R\), czyli \[a_1-a_2=2(a_2-a_3).\] Po podstawieniu i podzieleniu przez \(a_1\ne0\) \[1-q=2\left(q-q^{2}\right),\qquad 2q^{2}-3q+1=0,\qquad (2q-1)(q-1)=0.\] Dla \(q=1\) wszystkie wyrazy byłyby równe, więc \(R=0\) i ciąg arytmetyczny nie byłby rosnący. Zostaje \(q=\frac12\). Z warunku na sumę trzech wyrazów \[a_1\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{21}4,\qquad a_1\cdot\frac74=\frac{21}4,\qquad a_1=3.\] Sprawdzenie: ciąg geometryczny to \(\left(3,\tfrac32,\tfrac34\right)\), a ciąg arytmetyczny ma wyrazy \(b_1=\tfrac34\), \(b_2=\tfrac32\), \(b_4=3\), czyli \(R=\tfrac34>0\) — jest rosnący. **Odpowiedź.** \(a_1=3\)

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego lub własność ciągu geometrycznego i zapisze np. \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\), lub \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\), lub \(a_2^{2}=a_1\cdot a_3\); albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własność ciągu arytmetycznego i zapisze np. […]; i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np. \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\) i \(a_1=a_1q^{2}+3\left(a_1q-a_1q^{2}\right)\), albo zapisze równanie pozwalające wyznaczyć związek między \(a_3\) i \(r\), np. \(\left(a_3+r\right)^{2}=\left(a_3+3r\right)\cdot a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\), albo zapisze \(r=a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\): \(q=1\) lub \(q=\frac{1}{2}\), albo obliczy trzeci wyraz ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\): \(a_3=\frac{3}{4}\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1=3\).

Zadanie 10. (0–5) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe V. Rozumowanie i argumentacja. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3). Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).

A. \(\frac{1}{3}\)

W ciągu geometrycznym \(\frac{a_5}{a_3}=q^{2}\), więc \[q^{2}=\frac19,\qquad q=\frac13\ \text{lub}\ q=-\frac13.\] Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak. Zatem \(q=\frac13\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac13\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A C

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy \[q=\frac13.\]

Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem arytmetycznym, mamy \(c=2b-a\). Dla ciągu geometrycznego \[q=\frac{\frac2{3b}}{\frac1a}=\frac{2a}{3b},\] więc \(a=\frac32bq\). Z drugiej i trzeciej liczby tego ciągu otrzymujemy także \[q=\frac{\frac1{2a+2b+c}}{\frac2{3b}}=\frac{3b}{2(2a+2b+c)}.\] Po podstawieniu \(c=2b-a\) mianownik ma postać \(2a+2b+c=a+4b\), zatem \[q=\frac{3b}{2(a+4b)}=\frac3{3q+8}.\] Stąd \[3q^2+8q-3=0,\qquad q\in\left\{\frac13,-3\right\}.\] Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac13\).

**6 pkt** – obliczenie \(q=\frac13\) z odrzuceniem ujemnego pierwiastka **5 pkt** – rozwiązanie równania \(3q^2+8q-3=0\) bez pełnego uzasadnienia wyboru dodatniego pierwiastka **4 pkt** – doprowadzenie do równania \(3q^2+8q-3=0\) **2: 3 pkt** – poprawne zapisanie zależności wynikających z arytmetyczności i geometryczności oraz częściowe ich połączenie **1 pkt** – zapisanie jednej poprawnej zależności, np. \(c=2b-a\) albo \(q=\frac{2a}{3b}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. 5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz własności ciągu geometrycznego.

A

Z zależności \(a_5=a_2q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_5}{a_2}=\frac{48}{162}=\frac{8}{27},\] a stąd \(q=\sqrt[3]{\frac8{27}}=\frac23\). Wartość ta jest dodatnia, więc wszystkie wyrazy ciągu pozostają dodatnie, zgodnie z treścią. **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt2}\)

Iloraz ciągu wynosi \(q=2\), więc \[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt2\cdot2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt2}.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **5.4:** zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

Ciąg arytmetyczny ma wzór an=\(3n\)+\(2\), a geometryczny bn=\(3\cdot 5\)^(n−\(1\)). Niech q będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego i zarazem ilorazem ciągu geometrycznego, a r jego różnicą i zarazem pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Warunki dają r+rq=\(18\) oraz \(4\)(\(2q\)+\(7r\))=\(124\). Po rozwiązaniu i odrzuceniu pary niespełniającej całkowitości wyrazów otrzymujemy q=\(5\) i r=\(3\).

Oznaczmy przez \(q\) pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (jest on jednocześnie ilorazem ciągu geometrycznego), a przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego (jest ona jednocześnie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego). Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to \(q,\ q+r,\ q+2r,\ldots\), a ciągu geometrycznego \(r,\ rq,\ rq^{2},\ldots\) Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: \[r+rq=18,\qquad \frac{2q+7r}{2}\cdot8=124.\] Drugie równanie to wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; upraszcza się do \(2q+7r=31\). Z niego \(q=\dfrac{31-7r}{2}\). Po podstawieniu do pierwszego równania \[r\left(1+\frac{31-7r}{2}\right)=18,\qquad r(33-7r)=36,\qquad 7r^{2}-33r+36=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1089-1008=81\), \(\sqrt{\Delta}=9\), więc \[r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{33+9}{14}=3.\] Dla \(r=\tfrac{12}{7}\) otrzymujemy \(q=\tfrac{19}{2}\); wyrazy ciągu arytmetycznego nie są wtedy całkowite, więc tę parę odrzucamy. Dla \(r=3\) otrzymujemy \(q=\tfrac{31-21}{2}=5\). Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(5\) i różnicę \(3\), a ciąg geometryczny pierwszy wyraz \(3\) i iloraz \(5\): \[a_n=5+(n-1)\cdot3=3n+2,\qquad b_n=3\cdot5^{\,n-1}.\] Sprawdzenie: \(S_8=\frac{2\cdot5+7\cdot3}{2}\cdot8=124\) oraz \(b_1+b_2=3+15=18\). **Odpowiedź.** \(a_n=3n+2\) oraz \(b_n=3\cdot5^{\,n-1}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający albo zapisze kolejne wyrazy ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą \(r\) i \(q\) (lub \(a_1\) i \(b_1\), lub \(a_1\) i \(r\), lub \(b_1\) i \(q\)), albo zapisze koniunkcję zależności […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z jedną niewiadomą \(r\) lub \(q\), np. \(7r^2-33r+36=0\) lub \(2q^2-29q+95=0\). **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający albo popełni błąd rachunkowy na etapie rozwiązywania układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, albo poda jako rozwiązanie dwie pary ciągów: ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{19}{2}\) i różnicy \(\tfrac{12}{7}\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{12}{7}\) i ilorazie \(\tfrac{19}{2}\), oraz ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\). **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający albo wyznaczy wzory ogólne ciągów \(a_n=3n+2\) i \(b_n=3\cdot5^{n-1}\), albo wyznaczy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie wzorów na wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązywanie układu warunków.

A. a = \(\frac{5}{2}\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{6}{24}=\frac14.\] Trzeci wyraz jest równy \(a-1=6\cdot\frac14=\frac32\), skąd \[a=\frac32+1=\frac52.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a=\frac52\)

Zadanie 13. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A B

B

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{-216}{8}=-27,\] a stąd \(q=\sqrt[3]{-27}=-3\). **Odpowiedź.** **B.** \(q=-3\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**D.** \(\frac3{\sqrt2-1}\).

Pierwszy wyraz i iloraz ciągu są równe \[a_1=\frac3{\sqrt2},\qquad q=\frac1{\sqrt2}.\] Ponieważ \(|q|<1\), suma szeregu wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/\sqrt2}{1-1/\sqrt2}=\frac3{\sqrt2-1}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 R - rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

Są dwie uporządkowane trójki liczb: \[(-3,6,-12)\qquad\text{oraz}\qquad\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

Niech \(a,b,c\) będą kolejno szukanymi liczbami. Z warunków zadania otrzymujemy \[b^2=ac,\qquad 2a=b+c,\qquad a^2=(b-7)(c+3).\] Z równania \(2a=b+c\) mamy \(b=2a-c\). Po podstawieniu do \(b^2=ac\): \[(2a-c)^2=ac,\] czyli \[(4a-c)(a-c)=0.\] Przypadek \(c=a\) prowadzi do ilorazu ciągu równego \(1\), więc go odrzucamy. Zatem \(c=4a\), a następnie \(b=-2a\). Trzeci warunek daje \[a^2=(-2a-7)(4a+3),\] a po uporządkowaniu \[9a^2+34a+21=0.\] Pierwiastki tego równania to \(a=-3\) oraz \(a=-\frac79\). Dla \(a=-3\) otrzymujemy \((a,b,c)=(-3,6,-12)\), a dla \(a=-\frac79\): \[(a,b,c)=\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

**6 pkt** – wyznaczenie obu trójek i odrzucenie przypadku ciągu stałego **5 pkt** – doprowadzenie do równania \(9a^2+34a+21=0\) albo pełne rozwiązanie z drobną usterką **4 pkt** – uzyskanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, nawet w postaci nieuporządkowanej **3 pkt** – wyznaczenie zależności \(c=4a\) i \(b=-2a\), bez dokończenia obliczeń **2 pkt** – poprawny układ trzech równań wynikających z własności ciągów **1 pkt** – zapisanie co najmniej jednego z trzech kluczowych równań **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązuje wynikający układ równań.

**A.** \(32\)

Iloraz ciągu geometrycznego wyznaczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{-\sqrt2}=-\sqrt2.\] Sprawdzenie: \(a_2\cdot q=2\cdot(-\sqrt2)=-2\sqrt2=a_3\). Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz \(a_n=a_1q^{\,n-1}\): \[a_{10}=-\sqrt2\cdot\left(-\sqrt2\right)^{9}=\left(-\sqrt2\right)^{10}=\left(\sqrt2\right)^{10}=2^5=32.\] **Odpowiedź.** A. \(32\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=10^{100}.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Suma wyrazów nieparzystych ma postać \[a_1(1+q^2+\ldots+q^{98}),\] a suma wyrazów parzystych \[a_1q(1+q^2+\ldots+q^{98}).\] Ich iloraz jest równy \(\frac1q=100\), więc \[q=\frac1{100}=10^{-2}.\] Warunek z logarytmami oznacza \[\log(a_1a_2\cdots a_{100})=100,\] czyli \(a_1a_2\cdots a_{100}=10^{100}\). Iloczyn stu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy \[a_1^{100}q^{0+1+\ldots+99}=a_1^{100}q^{4950}.\] Stąd \[a_1^{100}10^{-9900}=10^{100},\qquad a_1^{100}=10^{10000}.\] Ponieważ wyrazy są dodatnie, otrzymujemy \(a_1=10^{100}\).

**6 pkt** – poprawne obliczenie \(a_1=10^{100}\) **5 pkt** – poprawne równanie \(a_1^{100}(10^{-2})^{4950}=10^{100}\), lecz usterka rachunkowa na końcu **4 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą \(a_1\) po wyznaczeniu \(q\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac1{100}\) **2 pkt** – poprawne porównanie sum wyrazów parzystych i nieparzystych **1 pkt** – zapisanie obu sum z wspólnym czynnikiem \(1+q^2+\ldots+q^{98}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje własności ciągu geometrycznego, wzór na sumę jego wyrazów oraz własności logarytmu iloczynu.

D. \(5\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch znanych sąsiednich wyrazów: \[q=\frac{12}{6}=2.\] Pierwszy wyraz spełnia więc \(6=(x-2)\cdot2\), skąd \(x-2=3\) i \(x=5\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Badanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b).

D

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych wyrazów. Dla \(a_n=-\frac{3^{n}}4\) otrzymujemy \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{3^{n+1}}4}{-\frac{3^{n}}4}=\frac{3^{n+1}}{3^{n}}=3.\] Wynik nie zależy od \(n\), więc ciąg rzeczywiście jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Odpowiedź.** **D.** \(q=3\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[S=\frac{\pi}{3}.\]

Pole koła o promieniu \(r_n=\frac1{2^n}\) wynosi \[P_n=\pi r_n^2=\pi\cdot\frac1{4^n}.\] Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{4^n}{4^{n+1}}=\frac14,\] więc \((P_n)\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(P_1=\frac{\pi}{4}\) i ilorazie \(q=\frac14\). Warunek zbieżności szeregu geometrycznego jest spełniony, bo \(|q|=\frac14<1\) — bez tego wzoru na sumę nie wolno użyć. Zatem \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac14}=\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac34}=\frac{\pi}{3}.\] **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\) jest równa \(\frac{\pi}{3}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu \((P_n)\): \(P_1=\) […], \(q=\) […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), np.: \(\lvert q\rvert<1\). **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie sumy \(S\) wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\): \(S=\) […]. **Uwaga:** Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), ale nie stwierdzi, że \(\lvert q\rvert<1\), to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 12. (0–3) 1 Niech P oznacza pole koła o promieniu , dla n  1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów n 2n ciągu  P  . n IV. Użycie i tworzenie R5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne strategii i oblicza ich sumy. Rozwiązanie: 2 1  1    Pole koła o promieniu r  jest równe   , czyli P  . Dla n  1 zachodzi n 2n   2n   4n n 4n P 1 1 równość n1  . Wynika stąd, że  P  jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q  n P 4 4 n  1 i pierwszym wyrazie P  . Ponieważ 1   1 , więc suma S wszystkich wyrazów ciągu 1 4 4  P  jest skończona i jest równa n  P  4 S  1   1 q 1 3 1 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ........................................................................ 1 p.  1 Obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu  P  : P  , q  n 1 4 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................... 2 p. 1 Stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu  P  , np.: q   1 n 4 Rozwiązanie pełne ................................................................................................................ 3 p.  Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu  P  : S  n 3 Uwaga: Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu  P  , ale nie stwierdzi, że q  1 , to n otrzymuje 2 punkty.

q = \(3\)

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych wyrazów. Ze wzoru \(a_n=7\cdot3^{n+1}\) otrzymujemy \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7\cdot3^{n+2}}{7\cdot3^{n+1}}=3.\] Wynik nie zależy od \(n\), więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Odpowiedź.** \(q=3\)

1 pkt: wyznaczenie dwóch kolejnych wyrazów lub postaci aₙ=63·3ⁿ⁻¹. 2 pkt: q=3.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

C. x = \(7\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{18}{27}=\frac23.\] Trzeci wyraz jest więc równy \(x+5=18\cdot\frac23=12\), skąd \(x=7\). **Odpowiedź.** **C.** \(x=7\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (II.5.c).

**D.** \(x=12\)

Iloraz ciągu odczytujemy z dwóch ostatnich wyrazów: \[q=\frac{2}{8}=\frac14.\] Pierwszy wyraz spełnia zatem \((3x-4)\cdot\frac14=8\), czyli \(3x-4=32\), skąd \(3x=36\) i \(x=12\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=12\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** \(a=4\sqrt2\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{4}{2\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\] Trzeci wyraz jest więc równy \(a=4\sqrt2\). **Odpowiedź.** **B.** \(a=4\sqrt2\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Obliczenie wyrazu ciągu geometrycznego z wykorzystaniem własności ciągu (II.5.c).

**A.** \(-\frac12\)

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{-\frac32}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] Ze związku \(a_2=a_1q\) wyznaczamy pierwszy wyraz: \[a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\sqrt3}=-\frac12.\] **Odpowiedź.** A. \(-\frac12\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie ilorazu i wyrazu ciągu geometrycznego na podstawie dwóch kolejnych wyrazów Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[a_5=\frac14.\]

Ze wzoru na trzeci wyraz ciągu geometrycznego \(a_3=a_1q^2\) mamy \[4=64q^2,\qquad q^2=\frac1{16},\qquad q=\frac14\ \text{lub}\ q=-\frac14.\] Ciąg ma być **malejący**, a dla \(q=-\frac14\) wyrazy zmieniałyby znak (\(64,\,-16,\,4\)) i ciąg nie byłby monotoniczny. Zostaje \(q=\frac14\), co daje \(64,\,16,\,4,\,1,\ldots\) Piąty wyraz: \[a_5=a_1q^4=64\cdot\left(\tfrac14\right)^4=\frac{64}{256}=\frac14.\] **Odpowiedź.** \(a_5=\frac14\).

**Uwaga** Zdający może obliczyć piąty wyraz ciągu, korzystając ze wzoru: […]. **Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy obliczy iloraz ciągu: \(q=\frac{1}{4}\). **2 pkt** – gdy obliczy piąty wyraz ciągu: […].

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**C.** \(a_4=4{,}5\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{18}{36}=\frac12\). Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=36\cdot\left(\frac12\right)^{3}=\frac{36}8=4{,}5.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_4=4{,}5\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(-\dfrac12\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch danych wyrazów: \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{-1}{\frac{\sqrt2}2}=-\frac{2}{\sqrt2}=-\sqrt2.\] Z zależności \(a_2=a_1q\) otrzymujemy \[a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\frac{\sqrt2}2}{-\sqrt2}=-\frac12.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_1=-\frac12\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza wyraz ciągu geometrycznego.

D. \(a_{1}\) = \(\frac{9}{4}\)

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{\frac23}{1}=\frac23.\] Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[a_1=\frac{a_3}{q^{2}}=\frac{1}{\frac49}=\frac94.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_1=\frac94\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**D.** \(45\)

Iloraz ciągu odczytujemy z dwóch danych sąsiednich wyrazów: \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{15}{5}=3.\] Zatem \(a_5=a_4q=15\cdot3=45\). **Odpowiedź.** **D.** \(a_5=45\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza kolejny wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(16\)

Iloraz ciągu geometrycznego wyznaczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{-2}{4}=-\frac12.\] Ze związku \(a_3=a_1q^2\): \[a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{\frac14}=16.\] **Odpowiedź.** A. \(16\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego na podstawie dwóch kolejnych wyrazów Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(a_4=432\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{2}=6\). Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=2\cdot6^{3}=2\cdot216=432.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=432\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza wyraz ciągu geometrycznego.

B. \(2\)

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{24}{3}=8,\qquad q=2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(q=2\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego.

**D.** \(\sqrt2\)

Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{-4}{-2}=2,\qquad q=\sqrt2\ \text{lub}\ q=-\sqrt2.\] Dla \(q=-\sqrt2\) wyrazy ciągu zmieniałyby znak, więc ciąg nie byłby malejący. Dla \(q=\sqrt2\) mamy \(a_1=-2\), \(a_2=-2\sqrt2\), \(a_3=-4\) — każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. **Odpowiedź.** **D.** \(q=\sqrt2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza iloraz malejącego ciągu geometrycznego.

**C.** \(q=-\frac12\)

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_n=a_1q^{n-1}\) mamy \[a_4=a_1q^3.\] Podstawiamy dane: \[-4=32q^3,\qquad q^3=-\frac18.\] Pierwiastek trzeciego stopnia jest jednoznaczny także dla liczb ujemnych, więc \[q=-\frac12.\] Sprawdzenie: \(32,\,-16,\,8,\,-4\) — czwarty wyraz istotnie wynosi \(-4\). **Odpowiedź.** **C.** \(-\frac12\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do \(-3<0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie osobne sprawy. Pierwsza: mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a to znaczy, że kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\) — stąd wyznaczymy \(x\). Druga: mając iloraz, skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i przekształcimy nierówność w sposób równoważny. **Krok \(2\).** Zapisujemy warunek dla wyrazów \(a_1=x-3\), \(a_2=x+3\), \(a_3=6x+2\): \[(x+3)^2=(x-3)(6x+2).\] **Krok \(3\).** Rozwijamy obie strony: \[x^2+6x+9=6x^2+2x-18x-6=6x^2-16x-6,\] a po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę \[0=5x^2-22x-15.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=(-22)^2-4\cdot5\cdot(-15)=484+300=784\), \(\sqrt{\Delta}=28\), więc \[x_1=\frac{22-28}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{22+28}{10}=5.\] **Krok \(5\).** Wybieramy właściwe \(x\), korzystając z warunku, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Dla \(x=-\frac35\) mamy \(a_1=-\frac35-3=-\frac{18}{5}\lt0\), więc ta wartość odpada. Dla \(x=5\) otrzymujemy \(a_1=2\), \(a_2=8\), \(a_3=32\), czyli same liczby dodatnie. **Krok \(6\).** Liczymy iloraz: \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac82=4\) (sprawdzenie: \(\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{32}{8}=4\)). **Krok \(7\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\), co wolno, bo \(q=4\neq1\). Przy dzieleniu sum czynniki \(a_1\) oraz \(q-1\) się skracają: \[\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{a_1\cdot\frac{4^{19}-1}{3}}{a_1\cdot\frac{4^{20}-1}{3}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}.\] **Krok \(8\).** Dowodzimy nierówności. Liczby \(4^{19}-1\) i \(4^{20}-1\) są dodatnie, więc nierówność \[\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\] jest równoważna nierówności otrzymanej po pomnożeniu na krzyż: \[4\left(4^{19}-1\right)\lt4^{20}-1.\] **Krok \(9\).** Lewa strona to \(4\cdot4^{19}-4=4^{20}-4\), więc dostajemy \(4^{20}-4\lt4^{20}-1\). Po odjęciu \(4^{20}\) od obu stron zostaje \(-4\lt-1\), a to jest prawda. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność również zachodzi, co kończy dowód. **Uwaga.** Warunek o dodatnich wyrazach nie jest ozdobnikiem — bez niego zadanie miałoby dwie odpowiedzi. Dla \(x=-\frac35\) ciąg \(-\frac{18}{5},\ \frac{12}{5},\ -\frac85\) także jest geometryczny (o ilorazie \(q=-\frac23\)), tylko jego wyrazy nie są dodatnie. To właśnie ten warunek pozwala odrzucić drugi pierwiastek. Zwróć też uwagę, że w kroku \(8\) mnożymy na krzyż wyłącznie dlatego, że mianowniki są dodatnie; przy ujemnym mianowniku trzeba by odwrócić znak nierówności. **Odpowiedź.** Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do nierówności prawdziwej.

**1 pkt** – jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. Poprawna odpowiedź: \((x+3)^{2}=(x-3)(6x+2)\). **1 pkt** – jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. Poprawna odpowiedź: \(x=-\frac{3}{5}\) lub \(x=5\). **1 pkt** – jeśli wybierze odpowiednią wartość \(x\), tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. Poprawna odpowiedź: \(x=5\). **1 pkt** – jeśli obliczy iloraz ciągu. Poprawna odpowiedź: \(q=4\). **2 pkt** – jeśli oszacuje iloraz. Poprawna odpowiedź: np. Przekształcając równoważnie nierówność \(\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac{1}{4}\) dostaje kolejno: \(4\left(4^{19}-1\right)<4^{20}-1\), \(4^{20}-4<4^{20}-1\), \(-3<0\), co jest prawdą. To kończy dowód. **1 pkt** – jeśli wykorzysta wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapisze iloraz \(\frac{S_{19}}{S_{20}}\) w postaci umożliwiającej oszacowanie. Poprawna odpowiedź: \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(q=\frac13\). b) Suma stu logarytmów jest równa \(-4950\).

**a)** Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego: \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{1-(n+1)}}{3^{1-n}}=3^{(1-n-1)-(1-n)}=3^{-1}=\frac13.\] **b)** Z definicji logarytmu \(\log_3 3^{k}=k\), więc \(\log_3 a_n=1-n\). Szukana suma jest sumą stu początkowych wyrazów ciągu **arytmetycznego** \((1-n)\) o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(-1\): \[S=\sum_{n=1}^{100}(1-n)=100-\left(1+2+\ldots+100\right)=100-\frac{100\cdot101}{2}=100-5050=-4950.\] **Odpowiedź.** a) \(q=\frac13\). b) Suma jest równa \(-4950\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=3^{-n}\). **10.2. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu \((a_{n})\): \(q=3^{-1}\) lub \(q=\frac{1}{3}\). Jeśli zdający od razu poda prawidłowo iloraz ciągu to otrzymuje również punkt w czynności 10.1 **10.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów: \(S_{100}=\log_{3}1+\log_{3}(3)^{-1}+\log_{3}3^{-2}+\ldots.+\log_{3}3^{-99}\). **10.4. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów w postaci: \(S_{100}=\log_{3}3^{-(1+2+3+\ldots 99)}=\log_{3}3^{50\cdot(-99)}\). **10.5. (1 pkt)** – obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: \(S_{100}=-4950\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\approx 1{,}272\), ponieważ \(q^{4}-q^{2}-1=0\), skąd \(q^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}\).

**Krok \(1\).** trójkąta prostokątnego, np.: a, b, c – długości boków trójkąta **Krok \(2\).** prostokątnego i a < b < c , b = a ⋅ q , c = a ⋅ \(q_{2}\) lub \(b_{2}\) = ac . **Krok \(3\).** Wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym **Krok \(4\).** występują najwyżej dwie niewiadome, np.: \(a_{2}\) + ( aq )\(2\) = ( \(aq2\) )\(2\) lub \(1\) **Krok \(5\).** \(a_{2}\) + ac = \(c_{2}\) . **Krok \(6\).** ⎛ c ⎞ c **Krok \(7\).** Zapisanie równania, np.: \(q_{4}\) − \(q_{2}\) − \(1 = 0\) lub ⎜ ⎟ − − \(1 = 0\) . \(1\) **Krok \(8\).** ⎝ a ⎠ a **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – […] trójkąta prostokątnego, np.: \(a\), \(b\), \(c\) – długości boków trójkąta prostokątnego i \(a<b<c\), \(b=a\cdot q\), \(c=a\cdot q^{2}\) lub \(b^{2}=ac\). **11.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym występują najwyżej dwie niewiadome, np.: \(a^{2}+(aq)^{2}=\left(aq^{2}\right)^{2}\) lub \(a^{2}+ac=c^{2}\). **11.3. (1 pkt)** – zapisanie równania, np.: \(q^{4}-q^{2}-1=0\) lub \(\left(\frac{c}{a}\right)^{2}-\frac{c}{a}-1=0\). **11.4. (1 pkt)** – wykonanie podstawienia \(t=q^{2}\) lub \(t=\frac{c}{a}\) i rozwiązanie równania \(t^{2}-t-1=0\): \(t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\vee t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). **11.5. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(q=\frac32\). b) \(a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}\). c) \(a_6=91{,}125\).

**a)** Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac{27}{12}=\frac94,\qquad q=\frac32\ \text{lub}\ q=-\frac32.\] Ciąg ma być rosnący, a przy \(q=-\frac32\) kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac32\). **b)** Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) \[a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}.\] **c)** Podstawiamy \(n=6\): \[a_6=12\cdot\left(\frac32\right)^{5}=12\cdot\frac{243}{32}=\frac{729}{8}=91{,}125.\] **Odpowiedź.** \(q=\frac32\), \(a_n=12\left(\frac32\right)^{n-1}\), \(a_6=91{,}125\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 4.** (\(4\) pkt) Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=12\), \(a_{3}=27\). a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). c) Oblicz wyraz \(a_{6}\). Wyznaczam iloraz ciągu geometrycznego: \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\); stąd \(q=\frac{3}{2}\) lub \(q=-\frac{3}{2}\). Odrzucam odpowiedź \(q=-\frac{3}{2}\), ponieważ \(a_{1}>0\) i ciąg jest rosnący. wniosek: ilorazem tego ciągu jest \(q=\frac{3}{2}\). Wyznaczam wzór na \(a_{n}\): \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\). Obliczam \(a_{6}\): \(a_{6}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{5}=91\tfrac{1}{8}\). | Nr czynności | 4.1. | 4.2. | 4.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(2\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\]

Z wzoru rekurencyjnego \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\) wynika, że ilorazem ciągu jest \[q=\log_2(k-2).\] Zapisujemy wszystkie warunki, zanim zaczniemy rachować. Po pierwsze, logarytm musi istnieć: \(k-2>0\), czyli \(k>2\). Po drugie, wszystkie wyrazy mają być różne od zera. Ponieważ \(a_1=2\neq0\), wystarczy \(q\neq0\), czyli \(\log_2(k-2)\neq0\), a stąd \(k-2\neq1\), czyli \(k\neq3\). Po trzecie, suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|\log_2(k-2)\right|<1,\qquad -1<\log_2(k-2)<1.\] Funkcja \(\log_2\) jest rosnąca, więc \[2^{-1}<k-2<2^{1},\qquad \frac12<k-2<2,\qquad \frac52<k<4.\] Uwzględniając \(k\neq3\), otrzymujemy \[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\] **Odpowiedź.** \(k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 19.** (\(7\) pkt) Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_{1}=2\), \(a_{n+1}=a_{n}\cdot\log_{2}(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_{n})\). Wyrażenie: \(\log_{2}(k-2)\) jest określone, gdy \(k-2>0\Leftrightarrow k>2\). Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że iloraz \(q=\log_{2}(k-2)\). \(q\ne 0\Leftrightarrow\log_{2}(k-2)\ne 0\) czyli \(k\ne 3\). Aby istniała suma wszystkich wyrazów danego ciągu geometrycznego, iloraz ciągu musi spełniać warunek \(\lvert q\rvert<1\Leftrightarrow\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\). Rozwiązuję nierówność: \(\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\), \(\log_{2}(k-2)>-1\) i \(\log_{2}(k-2)<1\) \(\log_{2}(k-2)>\log_{2}\frac{1}{2}\) i \(\log_{2}(k-2)<\log_{2}2\) \(k-2>\frac{1}{2}\) i \(k-2<2\) \(k>\frac{5}{2}\) i \(k<4\) Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{5}{2},4\right)\). Odp.: Suma wszystkich wyrazów danego ciągu o wszystkich wyrazach różnych od zera istnieje dla \(k\in\left(\frac{5}{2},3\right)\cup(3,4)\). | Nr czynności | 19.1. | 19.2. | 19.3. | 19.4. | 19.5. | 19.6. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.