Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Niech r będzie różnicą ciągu. Z równania \(7\) + (\(7\) + r) + (\(7\) + \(2r\)) + (\(7\) + \(3r\)) = \(54\) otrzymujemy \(28\) + \(6r\) = \(54\), więc r = \(\frac{13}{3}\). Zatem \(a_{2}\) = \(\frac{7 + 13}{3 = 34}\)/\(3\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu. Kolejne wyrazy to \(7\), \(7+r\), \(7+2r\) oraz \(7+3r\), więc warunek na sumę daje \[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54,\qquad 28+6r=54,\qquad 6r=26,\qquad r=\frac{13}3.\] Drugi wyraz jest zatem równy \[a_2=7+\frac{13}3=\frac{21+13}{3}=\frac{34}3.\] **Odpowiedź.** \(a_2=\frac{34}3\)

1 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą albo obliczenie a₃ = 47/3 lub a₄ = 20. 2 pkt: poprawna metoda i wynik a₂ = 34/3.

IV. Rozumowanie i argumentacja. VI.5) Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów. Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\). Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni: \[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\] Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania. Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\] **Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO – obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO – obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO – obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\] **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**Krok \(1\).** Metoda: warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (kwadrat środkowego równy iloczynowi skrajnych) zapisujemy dla wyrazów ciągu arytmetycznego wyrażonych przez \(a_{1}=1\) i różnicę \(r\). **Krok \(2\).** Ze wzoru \(a_{n}=1+(n-1)r\): \[a_{2}=1+r,\qquad a_{3}=1+2r,\qquad a_{6}=1+5r.\] **Krok \(3\).** Warunek geometryczności: \[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(r(r+2)=0\), czyli \(r=0\) lub \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\) — sprzeczność. Zostaje \(r=-2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(r=-2\) mamy \(a_{2}=-1\), \(a_{3}=-3\), \(a_{6}=-9\), a ciąg \((-1,-3,-9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy liczbę wyrazów z warunku \(a_{n}=-2025\): \[-2025=1+(n-1)\cdot(-2),\qquad -2026=-2(n-1),\qquad n-1=1013,\qquad n=1014.\] Warunek \(n\gt 6\) jest spełniony. **Krok \(7\).** Suma ciągu arytmetycznego: \[S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014.\] **Krok \(8\).** Obliczamy: \(1012\cdot 1014=1012\cdot 1000+1012\cdot 14=1\,012\,000+14\,168=1\,026\,168\). **Uwaga.** Wartość \(r=0\) formalnie spełnia równanie z Kroku \(3\) (ciąg stały jest geometryczny), ale przeczy warunkowi na ostatni wyraz — trzeba ją jawnie odrzucić. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\). **2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\) ALBO obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\), ALBO rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\), ALBO obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\), ALBO obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np. \(\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\). **3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy). 4. b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**C.** \(10\,400\)

Ciąg jest arytmetyczny: \(a_1=5\), \(r=2\), zatem \(a_{100}=203\). Stąd \[S_{100}=\frac{100(5+203)}2=10\,400.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający rozpoznaje ciąg arytmetyczny. VI.5) Zdający stosuje wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych.

\[(x,y,z)=(1,3,9)\quad\text{lub}\quad(x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right).\]

Zapisujemy trzy warunki z treści zadania. Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc \[y^{2}=xz.\qquad(1)\] Ciąg \((x,y,z-4)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: \[2y=x+z-4.\qquad(2)\] Ciąg \((x,y-1,z-5)\) jest geometryczny, więc \[(y-1)^{2}=x(z-5).\qquad(3)\] Odejmujemy \((3)\) od \((1)\), korzystając z \(y^{2}=xz\): \[y^{2}-(y-1)^{2}=xz-x(z-5),\qquad 2y-1=5x,\qquad x=\frac{2y-1}{5}.\] Z \((2)\) wyznaczamy \(z=2y+4-x\) i podstawiamy do \((1)\): \[y^{2}=x(2y+4-x)=\frac{2y-1}{5}\cdot\frac{10y+20-(2y-1)}{5}=\frac{(2y-1)(8y+21)}{25}.\] Po uporządkowaniu \[25y^{2}=16y^{2}+34y-21,\qquad 9y^{2}-34y+21=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=1156-756=400\), \(\sqrt\Delta=20\), więc \[y=\frac{34-20}{18}=\frac79\qquad\text{albo}\qquad y=\frac{34+20}{18}=3.\] Dla \(y=3\): \(x=\frac{5}{5}=1\) oraz \(z=6+4-1=9\). Dla \(y=\frac79\): \(x=\frac{\frac{14}9-1}{5}=\frac19\) oraz \(z=\frac{14}9+4-\frac19=\frac{49}9\). Sprawdzenie: \((1,3,9)\) ma iloraz \(3\), \((1,3,5)\) jest arytmetyczny, a \((1,2,4)\) geometryczny. Analogicznie \(\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\) ma iloraz \(7\), \(\left(\frac19,\frac79,\frac{13}9\right)\) jest arytmetyczny, a \(\left(\frac19,-\frac29,\frac49\right)\) geometryczny. **Odpowiedź.** \((x,y,z)=(1,3,9)\) albo \((x,y,z)=\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(r\)), np. \((x+r)^{2}=x(x+2r+4)\) oraz \((x+r-1)^{2}=x(x+2r+4-5)\) (dla sposobu I) ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(r\), np. \(x=r^{2}-2r+1\) (dla sposobu I), ALBO zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\), \(z\), np.: \(y^{2}=x\cdot z\) oraz \(y=\frac{x+z-4}{2}\) oraz \((y-1)^{2}=x\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np. \(y^{2}=x(2y+4-x)\), \((y-1)^{2}=(2y-z+4)\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(q\)), np. \(xq=\frac{x+xq^{2}-4}{2}\) oraz \((xq-1)^{2}=x\cdot(xq^{2}-5)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(q\) (lub \(q\) w zależności od \(x\)), np. \(x=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \(r^{2}=4(r^{2}-2r+1)\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np.: \(y^{2}=x(2y+4-x)\) oraz \((y-1)^{2}=x(2y-x-1)\), \(y^{2}=(2y-z+4)z\) oraz \((y-1)^{2}=(2y-z+4)(z-5)\), \(\left(\frac{x+z-4}{2}\right)^{2}=xz\) oraz \(\left(\frac{x+z-4}{2}-1\right)^{2}=x(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(x\)), np. \(\frac{1}{2q-5}=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(r\): \(r=2\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\), lub \(z\)), np.: \[\left(\frac{5x+1}{2}\right)^{2}=x\left[2\cdot\left(\frac{5x+1}{2}\right)+4-x\right],\] \[y^{2}=\left(2y-\frac{8y+21}{5}+4\right)\cdot\left(\frac{8y+21}{5}\right),\] \[\left(\frac{\frac{z-5}{4}+z-4}{2}\right)^{2}=\frac{z-5}{4}\cdot z\] (dla sposobu II), ALBO obliczenie \(q\) (lub \(x\)): \(q=3\) oraz \(q=7\) (lub: \(x=\frac{1}{9}\) oraz \(x=1\)) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że \(y=\sqrt{x\cdot z}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi \((x,y,z)\), wśród których dwa są właściwe: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_{n}=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\]

Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego suma wszystkich wyrazów istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q|<1\); dopiero przy tym założeniu wolno pisać \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Zatem \[\frac{a_1}{1-q}=14,\qquad a_1=14(1-q).\] Sześciany wyrazów, czyli \(a_1^{3},a_1^{3}q^{3},a_1^{3}q^{6},\ldots\), też tworzą ciąg geometryczny — o pierwszym wyrazie \(a_1^{3}\) i ilorazie \(q^{3}\). Z \(|q|<1\) wynika \(|q^{3}|<1\), więc i ten szereg jest zbieżny: \[\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392.\] Podstawiamy \(a_1=14(1-q)\) i korzystamy z \(1-q^{3}=(1-q)(1+q+q^{2})\): \[\frac{2744(1-q)^{3}}{(1-q)(1+q+q^{2})}=392,\qquad \frac{7(1-q)^{2}}{1+q+q^{2}}=1.\] Stąd \(7-14q+7q^{2}=1+q+q^{2}\), czyli \(6q^{2}-15q+6=0\), a po podzieleniu przez \(3\) \[2q^{2}-5q+2=0,\qquad q=2\ \text{albo}\ q=\frac12.\] Wartość \(q=2\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Dla \(q=\frac12\) otrzymujemy \(a_1=14\cdot\frac12=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie \(a_1\) w zależności od \(q\): \(a_1=14(1-q)\) ALBO zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) oraz \(q\), które wynikają z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów wszystkich wyrazów ciągu, np. \(\frac{a_1}{1-q}=14\) oraz \(\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)), np. \(\frac{\left[14\cdot(1-q)\right]^{3}}{1-q^{3}}=392\), \(\frac{a_1^{3}}{1-\left(1-\frac{a_1}{14}\right)^{3}}=392\). **3 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_n=7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_n=14\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje równanie z jedną niewiadomą \(q\), które nie ma rozwiązań spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jako sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Niech \(a_1\) będzie pierwszym, a \(a_{25}\) ostatnim wyrazem ciągu. Z warunku \(a_{25}=17a_1\) oraz wzoru na sumę otrzymujemy \[2025=S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=\frac{25\cdot18a_1}{2}=225a_1.\] Stąd \(a_1=9\).

Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1\). Z warunku \(a_{25}=17a_1\) i ze wzoru na sumę \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) otrzymujemy \[2025=S_{25}=\frac{(a_1+17a_1)\cdot25}{2}=\frac{18a_1\cdot25}{2}=225a_1.\] Stąd \[a_1=\frac{2025}{225}=9.\] **Odpowiedź.** \(a_1=9\)

1 pkt: zapisanie równania, np. 25(a₁+17a₁)/2=2025, albo równoważnego układu. 2 pkt: poprawna metoda i a₁=9.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 5.3) Stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**A.** \[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=\frac{25(52+2)}{2}=675.\]

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\). Dla \(n=25\) otrzymujemy \[S_{25}=\frac{(52+2)\cdot25}{2}=\frac{54\cdot25}{2}=27\cdot25=675.\] **Odpowiedź.** **A.** \(S_{25}=675\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.5) Stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 5.1) Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**B.** \(a_1=0\), \(a_2=6\), \(a_3=18\), zatem \(S_3=0+6+18=24\).

Wyrazy obliczamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego \(a_n=3n^{2}-3n\): \[a_1=3-3=0,\qquad a_2=12-6=6,\qquad a_3=27-9=18.\] Suma trzech początkowych wyrazów jest równa \[S_3=0+6+18=24.\] Uwaga: ciąg nie jest arytmetyczny, więc wzoru na sumę ciągu arytmetycznego użyć tu nie można — sumujemy wyrazy wprost. **Odpowiedź.** **B.** \(S_3=24\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.1) Oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

\[S_4=36.\]

Korzystamy kolejno ze wzoru rekurencyjnego: \[a_1=-2,\] \[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2,\] \[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot2+4=8,\] \[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot8+4=28.\] Zatem \[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\]

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\) oraz sumy \(S_4=36\) **1 pkt** – poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6}\right\}.\]

Sumę skrajnych cosinusów zwijamy wzorem na sumę cosinusów, a środkowy składnik zapisujemy wzorem na cosinus podwojonego argumentu: \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x,\qquad 2\cos^{2}(3x)=1+\cos(6x).\] Jednak wygodniej jest od razu użyć \(2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\cdot\cos(3x)\). Wtedy \[\cos(2x)+2\cos^{2}(3x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\left(\cos x+\cos(3x)\right).\] Ponownie stosując wzór na sumę cosinusów, \(\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x\), otrzymujemy postać iloczynową \[4\cos(3x)\cos(2x)\cos x=0.\] Równanie sprowadza się więc do alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\), lub \(\cos x=0\): \[x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3},\qquad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2},\qquad x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.\] W przedziale \([0,\pi]\) pierwsza seria daje \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6}\), druga \(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\), a trzecia \(\tfrac{\pi}{2}\) (już wypisane). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

Równanie sprowadza się do \(2\cos(3x)(\cos x+\cos(3x))=0\). W przedziale \([0,\pi]\) otrzymujemy \(x\in\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\}\).

**Krok \(1\).** Metoda: w sumie \(\cos(2x)+\cos(4x)\) rozpoznajemy wzór na sumę cosinusów \[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\] który pozwoli wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Dla \(\alpha=2x\), \(\beta=4x\) otrzymujemy \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(-x)=2\cos(3x)\cos x,\] bo cosinus jest funkcją parzystą. **Krok \(3\).** Równanie przyjmuje postać \[2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=0,\qquad 2\cos(3x)\bigl(\cos x+\cos(3x)\bigr)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\). **Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(\cos(3x)=0\): \[3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.\] W przedziale \([0,\pi]\) daje to \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Do drugiego równania stosujemy ten sam wzór na sumę cosinusów: \[\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x=0.\] **Krok \(6\).** Stąd \(\cos(2x)=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{4}\) i \(x=\frac{3\pi}{4}\), albo \(\cos x=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{2}\). **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby z przedziału \([0,\pi]\), pamiętając, że \(\frac{\pi}{2}\) pojawiło się dwukrotnie. **Uwaga.** Rozwiązania trzeba najpierw wypisać w zbiorze liczb rzeczywistych, a dopiero potem wybrać te, które leżą w \([0,\pi]\) — samo podstawienie \(k=0\) pomija na przykład \(\frac{5\pi}{6}\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\): \[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\] Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać \[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\] czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\) \[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\] Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\). Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\] Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\): \[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z warunków ciągu arytmetycznego otrzymujemy różnicę \(r=4\). Wtedy \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), więc \(q=\frac{3}{7}\). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

**Krok \(1\).** Metoda: wszystkie potrzebne wyrazy ciągu arytmetycznego wyrażamy przez znany wyraz \(a_{6}\) i różnicę \(r\), korzystając ze wzoru \(a_{k}=a_{6}+(k-6)r\). **Krok \(2\).** Mamy \(a_{6}=15\), a ponadto \[a_{3}=15-3r,\qquad a_{8}=15+2r,\qquad a_{15}=15+9r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy do warunku \(a_{15}=a_{3}\cdot(a_{8}-6)\): \[15+9r=(15-3r)(15+2r-6)=(15-3r)(2r+9).\] **Krok \(4\).** Rozwijamy prawą stronę: \((15-3r)(2r+9)=30r+135-6r^{2}-27r=-6r^{2}+3r+135\). Stąd \[6r^{2}+6r-120=0,\qquad r^{2}+r-20=0.\] **Krok \(5\).** \(\Delta=1+80=81\), więc \(r=\frac{-1-9}{2}=-5\) lub \(r=\frac{-1+9}{2}=4\). Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i zostaje \(r=4\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego: \[b_{1}=a_{11}=a_{6}+5r=15+20=35,\qquad b_{2}=a_{6}=15,\qquad q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.\] **Krok \(7\).** Ponieważ \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\), szereg geometryczny jest zbieżny i suma wszystkich wyrazów istnieje: \[S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}.\] **Uwaga.** Sformułowanie o sumie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego ma sens tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\) — sprawdzenie tego warunku jest częścią rozwiązania, a nie formalnością. Gdyby odrzucona wartość \(r=-5\) została przyjęta, otrzymalibyśmy \(q=-\frac{3}{2}\) i szereg rozbieżny. **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}{4}\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(27\) oraz \(\frac{27}{2}\).

Z warunków zadania wyznaczamy iloczyn \(a_1a_3\). Podnosimy pierwszą równość do kwadratu: \[(a_1+a_3)^{2}=a_1^{2}+2a_1a_3+a_3^{2},\qquad 400=328+2a_1a_3,\qquad a_1a_3=36.\] Liczby \(a_1\) i \(a_3\) są więc pierwiastkami równania \(t^{2}-20t+36=0\), skąd \[\{a_1,a_3\}=\{2,18\}.\] **Przypadek 1: \(a_1=2\), \(a_3=18\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=9\), czyli \(q=3\) albo \(q=-3\). W obu przypadkach \(|q|\geq1\), więc ciąg nie jest zbieżny i warunki zadania nie są spełnione. Ten przypadek odrzucamy. **Przypadek 2: \(a_1=18\), \(a_3=2\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{2}{18}=\frac19\), czyli \(q=\frac13\) albo \(q=-\frac13\). Dla obu wartości \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Dla \(q=\frac13\): \[S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.\] Dla \(q=-\frac13\): \[S=\frac{18}{1+\frac13}=\frac{18}{\frac43}=\frac{27}2.\] **Odpowiedź.** \(S=27\) albo \(S=\frac{27}2\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^{2}+(20-a_1)^{2}=328\), \((20-a_3)^{2}+a_3^{2}=328\), \(\frac{400}{(q^{2}+1)^{2}}\cdot(1+q^{4})=328\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^{2}=36\), \(20^{2}-2a_2^{2}=328\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO obliczenie \(q^{2}\): \(q^{2}=9\) oraz \(q^{2}=\frac{1}{9}\), ALBO zapisanie alternatywy równań \(-\frac{6}{q}-6q=20\) lub \(\frac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie równania \(\frac{36}{q^{2}}+36q^{2}=328\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{27}{2}\) lub \(27\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(S=\frac{18}{1-1/3}=27\) oraz \(S=\frac{18}{1+1/3}=\frac{27}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: z sumy i sumy kwadratów wyznaczamy iloczyn \(a_{1}a_{3}\) (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia), a potem obie liczby jako pierwiastki równania kwadratowego. Na końcu sprawdzamy, dla których ilorazów szereg jest zbieżny. **Krok \(2\).** Ze wzoru \((a_{1}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}\) otrzymujemy \[2a_{1}a_{3}=(a_{1}+a_{3})^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\right)=400-328=72,\qquad a_{1}a_{3}=36.\] **Krok \(3\).** Liczby \(a_{1}\) i \(a_{3}\) mają sumę \(20\) i iloczyn \(36\), więc są pierwiastkami równania \[t^{2}-20t+36=0,\qquad \Delta=400-144=256,\qquad t=\frac{20-16}{2}=2\ \ \text{lub}\ \ t=\frac{20+16}{2}=18.\] **Krok \(4\).** W ciągu geometrycznym \(a_{3}=a_{1}q^{2}\), a ponieważ \(a_{1}\neq 0\), mamy \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). **Krok \(5\).** Przypadek \(a_{1}=2\), \(a_{3}=18\). Wtedy \(q^{2}=9\), czyli \(q=3\) lub \(q=-3\). Ponieważ \(\lvert q\rvert\gt 1\) i \(a_{1}\neq 0\), ciąg nie jest zbieżny — ten przypadek odrzucamy. **Krok \(6\).** Przypadek \(a_{1}=18\), \(a_{3}=2\). Wtedy \(q^{2}=\frac{1}{9}\), czyli \(q=\frac{1}{3}\) lub \(q=-\frac{1}{3}\). W obu sytuacjach \(\lvert q\rvert\lt 1\), więc ciąg jest zbieżny (do zera) i suma wszystkich wyrazów istnieje. Liczymy ją ze wzoru \(S=\frac{a_{1}}{1-q}\). **Krok \(7\).** Dla \(q=\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27.\] **Krok \(8\).** Dla \(q=-\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{18}{\frac{4}{3}}=\frac{27}{2}.\] **Uwaga.** Warunek zbieżności ciągu (a więc i istnienia sumy szeregu) to \(\lvert q\rvert\lt 1\). To on eliminuje przypadek \(a_{1}=2\) — bez tego warunku otrzymalibyśmy cztery pary \((a_{1},q)\), z których dwie są bezużyteczne. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(27\) (gdy \(q=\frac{1}{3}\)) albo \(\frac{27}{2}\) (gdy \(q=-\frac{1}{3}\)).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{27}{2}\) lub \(27\). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO – obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO – obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO – obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO – obliczenie \(q^2\): \(q^2=9\) oraz \(q^2=\tfrac{1}{9}\), ALBO – zapisanie alternatywy równań \(-\tfrac{6}{q}-6q=20\) lub \(\tfrac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie równania \(\tfrac{36}{q^2}+36q^2=328\) (dla sposobu III). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^2+(20-a_1)^2=328\), \((20-a_3)^2+a_3^2=328\), \(\frac{400}{(q^2+1)^2}\cdot(1+q^4)=328\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^2=36\), \(20^2-2a_2^2=328\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

r = −\(2\). Z równań \(a_{1}\) + \(2r\) = −\(1\) oraz \(a_{1}\) + \(7r\) = −\(11\) otrzymujemy \(5r\) = −\(10\).

**Krok \(1\).** Ciąg arytmetyczny jest w pełni opisany przez dwie liczby: pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). W treści są dokładnie dwie informacje, więc plan jest jasny: zapisujemy je jako dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) i rozwiązujemy układ. **Krok \(2\).** Pierwsza informacja dotyczy trzeciego wyrazu. Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) mamy \[a_3=a_1+2r=-1.\] **Krok \(3\).** Druga informacja dotyczy sumy piętnastu początkowych wyrazów. Ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) dla \(n=15\): \[S_{15}=\frac{2a_1+14r}{2}\cdot 15=15\left(a_1+7r\right).\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez \(15\): \[15\left(a_1+7r\right)=-165,\qquad a_1+7r=-11.\] **Krok \(5\).** Mamy układ \[\begin{cases}a_1+2r=-1\\ a_1+7r=-11\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(a_1\): \[5r=-10.\] **Krok \(6\).** Stąd \[r=-2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Z pierwszego równania \(a_1=-1-2r=-1+4=3\), więc ciąg to \(3,1,-1,-3,\ldots\). Wtedy \(a_3=-1\), a \(a_1+7r=3-14=-11\), czyli \(S_{15}=15\cdot(-11)=-165\). Zgadza się. **Uwaga.** Liczba \(-165\) to suma piętnastu wyrazów, a nie piętnasty wyraz. Warto też zauważyć wygodny skrót: \(a_1+7r\) to po prostu \(a_8\), czyli środkowy z piętnastu wyrazów, więc \(S_{15}=15a_8\) i od razu \(a_8=-11\). Wtedy z różnicy \(a_8-a_3=5r=-11-(-1)=-10\) dostajemy \(r=-2\) w jednym rachunku. **Odpowiedź.** Różnica tego ciągu jest równa \(r=-2\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: \(r=-2\). **1 pkt** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(r\), np.: \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]+14r}{2}\cdot 15\), \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(a_{15}=a_{1}+14r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]}{2}\cdot 15\), \(a_{3}=-1\) oraz \(-165=\frac{(a_{3}-2r)+(a_{3}+12r)}{2}\cdot 15\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np.: \(\frac{2(-1-2r)+14r}{2}\cdot 15=-165\), \(\frac{(-1-2r)+(-1+12r)}{2}\cdot 15=-165\) ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu \((a_{n})\) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: \(a_{8}=-11\) (dla sposobów IV oraz V) ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(3\), \(1\), \(-1\), \(-3\), \(-5\), \(-7\), \(-9\), \(-11\), \(-13\), \(-15\), \(-17\), \(-19\), \(-21\), \(-23\), \(-25\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko \(r=-2\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę \((-165)\) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach n początkowych wyrazów ciągu nietypowych. **Wymaganie szczegółowe:** VI.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę arytmetycznego.

**B.** \(7\)

Trzeci wyraz jest różnicą sum trzech i dwóch początkowych wyrazów: \[a_3=S_3-S_2.\] Obliczamy \[S_3=3^2+2\cdot3=15,\qquad S_2=2^2+2\cdot2=8.\] Zatem \[a_3=15-8=7.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. 5.3) Zdający stosuje wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

C. \(50\)

Czynnik \((-1)^{n+1}\) przyjmuje na przemian wartości \(1\) i \(-1\), więc ciąg ma tylko dwa różne wyrazy: \[a_n=7\ \text{dla nieparzystych }n,\qquad a_n=3\ \text{dla parzystych }n.\] Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\), zatem \[S_{10}=5\cdot7+5\cdot3=35+15=50.\] **Odpowiedź.** **C.** \(S_{10}=50\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

**\(1\). F, \(2\). P.**

Kolejne wyrazy ciągu są równe \[a_1=3\cdot(-1)+10=7,\qquad a_2=3\cdot1+10=13,\qquad a_3=7.\] Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Wyrazy występują parami \(7,13\), a suma każdej pary wynosi \(20\). Pierwszych osiem wyrazów tworzy cztery takie pary, zatem \[S_8=4\cdot20=80.\] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny.

**B.** \(7\).

Trzeci wyraz ciągu jest różnicą sum trzech i dwóch początkowych wyrazów: \[a_3=S_3-S_2.\] Obliczamy \[S_3=3^2+2\cdot3=15,\qquad S_2=2^2+2\cdot2=8.\] Zatem \[a_3=15-8=7.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1) Zdający oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. VI.4) Zdający stosuje wzór [...] na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}.\] Warunek zbieżności \(|q^{2}|<1\) odrzuca \(q=2\) i pozostawia \(q=\frac12\). Suma wyrazów o numerach nieparzystych daje \(\frac{a_1}{1-q^{2}}=16\), więc \(a_1=12\).

Wyrazy o numerach nieparzystych \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^{2}\). Suma tego szeregu istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q^{2}|<1\); ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę: \[\frac{a_1}{1-q^{2}}=16.\] Drugi warunek zadania przekształcamy, korzystając z \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\): \[a_1+a_1q^{2}=\frac52a_1q,\qquad a_1\left(q^{2}-\frac52q+1\right)=0.\] Ponieważ \(a_1\ne0\), otrzymujemy \(2q^{2}-5q+2=0\), czyli \(q=2\) albo \(q=\frac12\). Dla \(q=2\) mamy \(q^{2}=4\) i warunek \(|q^{2}|<1\) nie jest spełniony — ten przypadek odpada. Dla \(q=\frac12\) mamy \(q^{2}=\frac14<1\), więc \[\frac{a_1}{1-\frac14}=16,\qquad a_1=16\cdot\frac34=12.\] **Odpowiedź.** \(a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_{n}=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). **3 pkt** – odrzucenie wartości \(q=2\) oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_{1}\): \(\frac{a_{1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=16\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(16(1-q^{2})+16(1-q^{2})\cdot q^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16(1-q^{2})\cdot q\) i \(q=1\) oraz \(q=-1\), oraz \(q=\frac{1}{2}\), oraz \(q=2\), oraz odrzucenie tych wartości \(q\), dla których nie jest spełniony warunek zbieżności \(\lvert q^{2}\rvert<1\) (dla sposobu II). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(2q^{2}-5q+2=0\) i \(q=\frac{1}{2}\) oraz \(q=2\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równań \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) oraz \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **1 pkt** – zapisanie równania \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) (dla sposobu I) ALBO – poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu o wyrazach nieparzystych jako \(\frac{a_{1}}{1-q}\) i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

C. \(2\)

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich, więc \[2\cdot4=1+(a+5),\qquad 8=a+6,\qquad a=2.\] Sprawdzenie: ciąg \((1,4,7)\) ma różnicę \(3\). **Odpowiedź.** **C.** \(a=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\(750\text{ zł}\)

Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-30\), a ich suma wynosi \(S_{18}=8910\). Ze wzoru na sumę: \[\frac{2a_1+17\cdot(-30)}{2}\cdot18=8910.\] Po przekształceniu: \[9(2a_1-510)=8910,\qquad 2a_1=1500,\qquad a_1=750.\] Pierwsza rata była równa \(750\text{ zł}\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: \(750\text{ zł}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisanie poprawnego równania z niewiadomą pierwszą lub ostatnią ratą albo innej poprawnej zależności prowadzącej do wyniku; także za podanie samego wyniku \(750\text{ zł}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4 zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\(99{,}9\text{ mg}\)

Jedenasta dawka jest przyjmowana po \(40\) dniach od pierwszej. Tuż przed jej przyjęciem z kolejnych dziesięciu dawek pozostają masy \[100\left(\frac12\right)^{10},\ 100\left(\frac12\right)^9,\ldots,100\left(\frac12\right).\] Jest to suma dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego: \[M=100\sum_{j=1}^{10}\left(\frac12\right)^j=100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\] Po uproszczeniu \[M=100\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)=99{,}90234375\text{ mg}\approx99{,}9\text{ mg}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(99{,}9\text{ mg}\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapis \[100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\] **1 pkt** – poprawne wyznaczenie mas pozostałych z poszczególnych dawek: \(100(\frac12)^{10},100(\frac12)^9,\ldots,100(\frac12)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5 stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

A. \(11\),\(25\)

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2,\] więc \(a_3=a_2q=-7{,}5\cdot(-2)=15\). Suma trzech początkowych wyrazów wynosi \[S_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25.\] **Odpowiedź.** **A.** \(11{,}25\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**P, F**

Pierwszy wyraz jest równy pierwszej sumie: \[a_1=S_1=4(2^1-1)=4.\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Dalej \[S_2=4(2^2-1)=12,\] ale drugi wyraz ciągu to \[a_2=S_2-S_1=12-4=8,\] a nie \(12\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.5 obliczanie wyrazów ciągu oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[S_4=36.\]

**Krok \(1\).** Ciąg jest dany **rekurencyjnie**: nie ma wzoru pozwalającego policzyć dowolny wyraz od razu, za to każdy kolejny wyraz obliczamy z poprzedniego. Skoro potrzebujemy czterech pierwszych wyrazów, wyznaczymy je po kolei, a na końcu je dodamy. **Krok \(2\).** Pierwszy wyraz jest dany wprost: \[a_1=-2.\] **Krok \(3\).** Aby dostać \(a_2\), we wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) bierzemy \(n=1\): \[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2.\] **Krok \(4\).** Dla \(a_3\) bierzemy \(n=2\): \[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot 2+4=8.\] **Krok \(5\).** Dla \(a_4\) bierzemy \(n=3\): \[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot 8+4=28.\] **Krok \(6\).** Dodajemy cztery początkowe wyrazy: \[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\] **Uwaga.** We wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) mnożymy przez \(n\), czyli przez numer **poprzedniego** wyrazu. Licząc \(a_4\), podstawiamy \(n=3\) (bo \(a_4=a_{3+1}\)), a nie \(n=4\). Pomyłka w tym miejscu psuje wszystkie dalsze wyrazy. **Odpowiedź.** \(S_4=36\)

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2,a_3,a_4\) oraz sumy \(S_4=36\) **1 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i I operowanie obiektami matematycznymi i sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 obliczanie początkowych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie.

**A.** \(-1\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: oba logarytmy mają tę samą podstawę \(2\), a liczby \(\frac18\) i \(4\) są potęgami dwójki. Najprościej policzyć każdy logarytm osobno wprost z definicji: \(\log_{a}b\) to wykładnik, do którego podnosimy \(a\), aby otrzymać \(b\). **Krok \(2\).** Zapisujemy \(\frac18\) jako potęgę dwójki. Skoro \(8=2^{3}\), to \[\frac18=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3}.\] **Krok \(3\).** Stąd \[\log_{2}\frac18=\log_{2}2^{-3}=-3.\] **Krok \(4\).** Podobnie \(4=2^{2}\), więc \[\log_{2}4=\log_{2}2^{2}=2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy otrzymane wartości: \[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=-3+2=-1.\] **Krok \(6\).** Ten sam wynik daje wzór na sumę logarytmów o wspólnej podstawie: \[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=\log_{2}\left(\frac18\cdot4\right)=\log_{2}\frac12=-1.\] **Uwaga.** Przy podstawie większej od \(1\) logarytm liczby mniejszej od \(1\) jest ujemny — minus przy \(3\) nie jest przypadkiem. Suma logarytmów odpowiada **iloczynowi** liczb logarytmowanych, a nie ich sumie. **Odpowiedź.** A: \(-1\)

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** logarytmy; zdający posługuje się definicją logarytmu i związkiem logarytmowania z potęgowaniem.

\[n>9,\qquad n\in\mathbb N.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Ponieważ suma szeregu istnieje i jest różna od zera, mamy \(a_1\neq0\) oraz \(|q|<1\). Korzystamy ze wzorów na sumę początkowych wyrazów i sumę szeregu: \[a_1+a_2+a_3=S(1-q^3).\] Z danych: \[7=8(1-q^3),\] \[q^3=\frac18,\qquad q=\frac12.\] Dla \(q=\frac12\): \[S=2a_1,\qquad S_n=2a_1\left[1-\left(\frac12\right)^n\right].\] Stąd \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}.\] Mianownik jest dodatni, więc nierówność ma postać \[\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}<0{,}001.\] Mnożymy obie strony przez dodatni mianownik i przez \(2^n\): \[1<0{,}001(2^n-1),\] \[2^n>1001.\] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), otrzymujemy \[n>9.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu ciągu, rozwiązanie nierówności w zbiorze dodatnich liczb naturalnych i wynik \(n>9\) **3 pkt** – wykorzystanie dodatniości \(1-q^n\) i przekształcenie nierówności do poprawnej nierówności wymiernej z \(q^n\) **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu \(q=\frac12\) **1 pkt** – zastosowanie wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i sumę szeregu, np. zapisanie \(a_1+a_2+a_3=S(1-q^3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

**D.** \(40\)

Od wyrazu \(a_4\) do wyrazu \(a_8\) wykonujemy cztery kroki o różnicy \(r=2\), więc \[a_4=a_8-4r=48-4\cdot2=40.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\(S_{100}=14750\). Z równania \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\), otrzymujemy \(r=3\), a następnie \(S_{100}=\dfrac{2a_1+99r}{2}\cdot100=(-2+297)\cdot50=14750\).

**Krok \(1\).** Aby policzyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy. Pierwszy wyraz jest dany, a różnicę wyliczymy ze wzoru na wyraz ogólny, bo znamy \(a_4\). **Krok \(2\).** Wzór na wyraz ogólny: \(a_n=a_1+(n-1)r\), więc dla \(n=4\): \[a_4=a_1+3r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_1=-1\) i \(a_4=8\): \[8=-1+3r\ \Longrightarrow\ 3r=9\ \Longrightarrow\ r=3.\] **Krok \(4\).** Wzór na sumę stu początkowych wyrazów: \[S_{100}=\frac{2a_1+99r}{2}\cdot100=\left(2a_1+99r\right)\cdot50.\] **Krok \(5\).** Liczymy nawias: \[2\cdot(-1)+99\cdot3=-2+297=295.\] **Krok \(6\).** Stąd \[S_{100}=295\cdot50=14750.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie inną drogą: \(a_{100}=-1+99\cdot3=296\), więc \(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{2}\cdot100=\dfrac{-1+296}{2}\cdot100=\dfrac{295}{2}\cdot100=14750\). Wyniki się zgadzają. **Odpowiedź.** \(S_{100}=14750\).

• zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n—ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np. a4=a1+3r i = 100 ¯ž¯ lub ał+ałoo . 100 = ał + 3r i ałoo = ał + 99r i Słoo = ALBO • podałobliczy różnicę r ciągu arytmetycznego (an): r = 3 lub przyjmuje adanie 30. (0—2) Wymagania egzaminacyjne 2022 Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt 100 = 14 750 Wymaganie ogólne III. Modelowanie matematyczne. Zasady oceniania gdy: Wymaganie szczegółowe Zdający: 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. w rozwiązaniu, że r = 3. Zdający otrzymuje ............................................ gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an): Słoo = Uwagi: 2 pkt 14 750. 1. Jeśli zdający błędnie obliczy r i konsekwentnie do otrzymanej wartości r obliczy sumę stu początkowych wyrazów ciągu (an), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje O punktów za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób 1. Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na [14: Zatem 8 = —1 + 3r, więc r = 3. Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy Słoo: 2a1 + 1) r -2 + 297 S 100 2 CENTRALNA KOMISJA Sposób 2. 100 - 2 Korzystamy ze wzoru na n —ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty wyraz tego ciągu: gdzie r oznacza różnicę ciągu. Podstawiamy ał = —1 oraz = 8 i otrzymujemy równanie 8 = —1 + 3r, skąd r = 3 Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru 2 Obliczamy setny wyraz ciągu (an): ałoo = ał + 99 . r = _ I + 99 • 3 — - 296 Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S 100 -1 + 296 • 100 = 295 50 = 14 750 2

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5.3) stosuje wzór na n—ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**A.** \(n=6\)

Początkowe wyrazy ciągu to \[a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11,\quad a_5=14,\quad a_6=17.\] Ich suma wynosi \[2+5+8+11+14+17=57.\] Zatem suma \(57\) obejmuje sześć początkowych wyrazów, czyli \(n=6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.1, VI.3 i VI.4 obliczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym, rozpoznawanie ciągu arytmetycznego oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

**D.** \(31\)

Mamy \(a_2=a_1q=2\) oraz \(q=2\), więc \(a_1=1\). Pięć pierwszych wyrazów to \(1,2,4,8,16\), a ich suma wynosi \(31\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.3 stosowanie wzoru ogólnego i wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**P, F.**

Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7^{n+1}}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7,\] więc ciąg jest geometryczny. Trzy początkowe wyrazy wynoszą \[a_1=\frac13,\qquad a_2=\frac73,\qquad a_3=\frac{49}{3}.\] Ich suma jest równa \[S_3=\frac{1+7+49}{3}=\frac{57}{3}=19,\] a nie \(20\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: P, F **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.3 i VI.5 sprawdzanie, czy ciąg jest geometryczny, oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[q=\frac{1-\sqrt5}{2}.\]

Ciągi wyrazów o numerach nieparzystych i parzystych są geometryczne o ilorazie \(q^2\). Ponieważ \(a_1=q\) i \(a_2=q^2\), mamy \[S_N=\frac{q}{1-q^2},\qquad S_P=\frac{q^2}{1-q^2}.\] Warunek zadania daje \[\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P,\] czyli \[\frac1q=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q}{1+q}.\] Stąd \[q^2-q-1=0,\] więc \[q=\frac{1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad q=\frac{1+\sqrt5}{2}.\] Druga wartość nie spełnia warunku \(|q|<1\), dlatego \(q=\frac{1-\sqrt5}{2}\).

**4 pkt** – rozwiązanie równania i odrzucenie wartości niespełniającej \(|q|<1\) **3 pkt** – otrzymanie równania \(q^2-q-1=0\) **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) wynikającego z warunku zadania **1 pkt** – poprawne zapisanie sum \(S_N\) i \(S_P\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.

\[b_1=129.\]

Niech \(q\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(a_{21}\ne0\) i po podzieleniu warunku \(a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}\) przez \(a_{21}\) otrzymujemy \[q=\frac54q^{2}+\frac15,\qquad 25q^{2}-20q+4=0,\qquad (5q-2)^{2}=0,\qquad q=\frac25.\] Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) istnieje, bo \(|q|=\frac25<1\) — ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru \(S=\frac{a_1}{1-q}\): \[S=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.\] Ponadto \[a_3=675\left(\frac25\right)^{2}=675\cdot\frac4{25}=108=b_4.\] Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \((b_n)\). Z dwóch warunków otrzymujemy układ: \[b_1+3r=108,\qquad S_{25}=\frac{(2b_1+24r)\cdot25}{2}=25(b_1+12r)=1125,\] czyli \(b_1+12r=45\). Odejmując równania stronami, dostajemy \(9r=45-108=-63\), więc \(r=-7\), a stąd \[b_1=108-3\cdot(-7)=129.\] **Odpowiedź.** \(b_1=129\)

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(b_1=129\) **3 pkt** – wyznaczenie \(q=\frac25\), sumy \(1125\) i zależności dla ciągu arytmetycznego **2 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu oraz sumy szeregu geometrycznego **1 pkt** – poprawne ułożenie równania dla ilorazu \(q\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P5.3 i R5.2 stosowanie wzorów na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy zbieżnego szeregu geometrycznego.

\[r=-\frac{31}{105}.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu. Korzystamy ze wzoru na sumę \(20\) początkowych wyrazów: \[S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20.\] Ponieważ \[a_{20}=a_1+19r,\qquad a_{21}=a_1+20r,\] warunek z zadania daje \[\frac{a_1+(a_1+19r)}{2}\cdot20=20(a_1+20r)+62.\] Stąd \[20a_1+190r=20a_1+400r+62,\] \[-210r=62,\qquad r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}.\]

**2 pkt** – obliczenie różnicy \(r=-\frac{31}{105}\) **1 pkt** – poprawne użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego lub zapisanie \(a_{21}=a_1+20r\) i utworzenie równania prowadzącego do wyniku **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

B. \(29\)

W ciągu arytmetycznym wyraz \(a_4\) jest średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_5\), bo \(a_3=a_4-r\) oraz \(a_5=a_4+r\). Zatem \[a_3+a_5=2a_4=58,\qquad a_4=29.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=29\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[a_n=3n-7.\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Suma pięciu początkowych wyrazów jest pięciokrotnością wyrazu środkowego, zatem \[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\] Mamy więc \[a_5=a_3+2r=2+2r,\qquad a_{13}=a_3+10r=2+10r.\] Liczby \(a_3,a_5,a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, dlatego \[a_5^2=a_3a_{13}.\] Stąd \[(2+2r)^2=2(2+10r),\] \[4+8r+4r^2=4+20r,\] \[4r^2-12r=0,\qquad 4r(r-3)=0.\] Otrzymujemy \(r=0\) lub \(r=3\). Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\), a zatem \(r=3\). Ponieważ \(a_3=a_1+2r\), mamy \[a_1=2-2\cdot3=-4.\] Wobec tego \[a_n=a_1+(n-1)r=-4+3(n-1)=3n-7.\]

**5 pkt** – wyznaczenie wzoru \(a_n=3n-7\) **4 pkt** – rozwiązanie równania i otrzymanie \(r=0\) lub \(r=3\) **3 pkt** – ułożenie równania jednej niewiadomej \((2+2r)^2=2(2+10r)\) **2 pkt** – wyznaczenie \(a_3=2\) oraz zapisanie warunku \(a_5^2=a_3a_{13}\) **1 pkt** – zapisanie \(S_5=5a_3\) albo warunku geometryczności trzech wskazanych wyrazów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 i 5.4 stosowanie wzoru na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz własności wyrazów ciągu geometrycznego.

B. [(\(2+1000\))/\(2\)]·\(500\)

Dodatnie liczby całkowite parzyste mniejsze od \(1001\) to \(2,4,6,\ldots,1000\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(2\), różnicy \(2\) i ostatnim wyrazie \(1000\). Liczbę wyrazów wyznaczamy ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\): \[1000=2+(n-1)\cdot2,\qquad n-1=499,\qquad n=500.\] Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{500}=\frac{(2+1000)}{2}\cdot500.\] **Odpowiedź.** **B.** \(\left[\frac{2+1000}{2}\right]\cdot500\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

C. −\(18\)

Z warunku \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy pierwszy wyraz: \[a_1=a_4-3r=3-3\cdot5=-12.\] Sumę czterech początkowych wyrazów obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_4=\frac{(-12+3)\cdot4}{2}=2\cdot(-9)=-18.\] **Odpowiedź.** **C.** \(-18\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

\(a_{1}\)=\(3\). Jeśli q jest ilorazem ciągu geometrycznego, warunki ciągu arytmetycznego prowadzą do \(2\)\(q^{2}\)−\(3q\)+\(1=0\). Wartość q=\(1\) odpada, bo ciąg arytmetyczny ma być rosnący, więc q=\(\frac{1}{2}\); z \(a_{1}\)(\(1\)+q+\(q^{2}\))=\(\frac{21}{4}\) otrzymujemy \(a_{1}\)=\(3\).

Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez \(q\); wtedy \(a_2=a_1q\) oraz \(a_3=a_1q^{2}\). Liczby \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego o różnicy \(R\). Wynika stąd, że \(a_2-a_3=R\) oraz \(a_1-a_2=2R\), czyli \[a_1-a_2=2(a_2-a_3).\] Po podstawieniu i podzieleniu przez \(a_1\ne0\) \[1-q=2\left(q-q^{2}\right),\qquad 2q^{2}-3q+1=0,\qquad (2q-1)(q-1)=0.\] Dla \(q=1\) wszystkie wyrazy byłyby równe, więc \(R=0\) i ciąg arytmetyczny nie byłby rosnący. Zostaje \(q=\frac12\). Z warunku na sumę trzech wyrazów \[a_1\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{21}4,\qquad a_1\cdot\frac74=\frac{21}4,\qquad a_1=3.\] Sprawdzenie: ciąg geometryczny to \(\left(3,\tfrac32,\tfrac34\right)\), a ciąg arytmetyczny ma wyrazy \(b_1=\tfrac34\), \(b_2=\tfrac32\), \(b_4=3\), czyli \(R=\tfrac34>0\) — jest rosnący. **Odpowiedź.** \(a_1=3\)

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego lub własność ciągu geometrycznego i zapisze np. \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\), lub \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\), lub \(a_2^{2}=a_1\cdot a_3\); albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własność ciągu arytmetycznego i zapisze np. […]; i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np. \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\) i \(a_1=a_1q^{2}+3\left(a_1q-a_1q^{2}\right)\), albo zapisze równanie pozwalające wyznaczyć związek między \(a_3\) i \(r\), np. \(\left(a_3+r\right)^{2}=\left(a_3+3r\right)\cdot a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\), albo zapisze \(r=a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\): \(q=1\) lub \(q=\frac{1}{2}\), albo obliczy trzeci wyraz ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\): \(a_3=\frac{3}{4}\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1=3\).

Zadanie 10. (0–5) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe V. Rozumowanie i argumentacja. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3). Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).

q=\(\frac{1}{7=0}\),(\(142857\)), więc w kratki należy wpisać \(0\), \(1\), \(4\). Z równań \(a_{1}\)/(\(1\)−q)=\(2\) i \(a_{1}\)\(2\)/(\(1\)−\(q^{2}\))=\(3\) wynika \(7\)\(q^{2}\)−\(8q\)+\(1=0\); wartość q=\(1\) odrzucamy.

Szereg geometryczny jest zbieżny, więc \(|q|<1\) — ten warunek trzeba zapisać przed użyciem wzorów na sumę. Suma wyrazów ciągu \((a_n)\) oraz suma kwadratów (ciąg \((a_n^2)\) jest geometryczny o ilorazie \(q^2\)) dają układ \[\frac{a_1}{1-q}=2,\qquad \frac{a_1^2}{1-q^2}=3.\] Z pierwszego równania \(a_1=2(1-q)\). Po podstawieniu do drugiego \[\frac{4(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=3,\qquad \frac{4(1-q)}{1+q}=3,\] czyli \(4-4q=3+3q\), skąd \(7q=1\) i \(q=\tfrac17\). Równoważnie: po uporządkowaniu otrzymuje się \(7q^2-8q+1=0\), czyli \((7q-1)(q-1)=0\); pierwiastek \(q=1\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Rozwinięcie dziesiętne \(\tfrac17=0{,}(142857)\), więc cyfra jedności to \(0\), cyfra części dziesiętnych \(1\), a cyfra części setnych \(4\). **Odpowiedź.** \(q=\tfrac17\); w kratki wpisujemy \(0\), \(1\), \(4\).

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający stosuje wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wraz z warunkiem zbieżności \(|q|<1\). Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut rozwiązania wzorcowego CKE wraz z wynikiem — usunięto go, bo ujawniał odpowiedź przed próbą. Kryteria oceniania są w panelu „Klucz i zasady oceniania”.

A. −\(168\)

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=8\): \[S_8=\frac{(7+(-49))\cdot8}{2}=\frac{-42\cdot8}{2}=-168.\] **Odpowiedź.** **A.** \(S_8=-168\)

Zadanie 11. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A B

a) \(a_1=26\); b) \(k=27\). Ze średniej mamy \(S_6=96\), a ponieważ \(S_6=6a_1+15r\) i \(r=-4\), otrzymujemy \(6a_1-60=96\), czyli \(a_1=26\). Następnie z równania \(26-4(k-1)=-78\) wynika \(k=27\).

**Krok \(1\).** Dane są: różnica ciągu i średnia arytmetyczna sześciu pierwszych wyrazów. Średnia to suma podzielona przez liczbę wyrazów, więc informację o średniej zamieniamy na informację o sumie \(S_6\), a sumę wyrażamy wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zostanie równanie z jedną niewiadomą \(a_1\). **Krok \(2\).** Ze średniej: \[\frac{S_6}{6}=16\ \Longrightarrow\ S_6=96.\] **Krok \(3\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\), więc dla \(n=6\): \[S_6=\frac{2a_1+5r}{2}\cdot6=3\left(2a_1+5r\right)=6a_1+15r.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(r=-4\) i \(S_6=96\): \[6a_1+15\cdot(-4)=96\ \Longrightarrow\ 6a_1-60=96\ \Longrightarrow\ 6a_1=156.\] **Krok \(5\).** Stąd \(a_1=26\). To odpowiedź do podpunktu a). **Krok \(6\).** b) Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny \(a_k=a_1+(k-1)r\): \[a_k=26+(k-1)\cdot(-4)=26-4(k-1).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy równanie \(a_k=-78\): \[26-4(k-1)=-78\ \Longrightarrow\ -4(k-1)=-104\ \Longrightarrow\ k-1=26\ \Longrightarrow\ k=27.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(a_{27}=26-4\cdot26=26-104=-78\). Zgadza się, a \(k=27\) jest liczbą naturalną, więc wynik ma sens. **Uwaga.** We wzorze na \(a_k\) mnożymy różnicę przez \((k-1)\), a nie przez \(k\) — pierwszy wyraz osiągamy przy zerowej liczbie kroków. Pomyłka w tym miejscu daje \(k=26\). **Odpowiedź.** a) \(a_1=26\); b) \(k=27\).

**[…] pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(k\): \(k=27\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(k\), które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu arytmetycznego […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_1=26\) i na tym zakończy lub w dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze równanie […], albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\), albo zapisze, że \(S_6=6\cdot 16\), albo zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczy \(S_6\) w zależności od \(a_1\) i \(r\) […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\). Podstawiamy \(a_1=-11\), \(a_9=5\), \(n=9\): \[S_9=\frac{(-11+5)\cdot9}{2}=\frac{-6\cdot9}{2}=-27.\] **Odpowiedź.** **B.** \(S_9=-27\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{40}\)=\(10\)

Wyrazów o numerach parzystych i o numerach nieparzystych jest po \(20\), a każdy wyraz o numerze parzystym jest o \(r\) większy od poprzedzającego go wyrazu o numerze nieparzystym. Odjęcie sum stronami daje więc \[20r=1340-1400=-60,\qquad r=-3.\] Suma wszystkich czterdziestu wyrazów jest równa \(1340+1400=2740\), a ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) \[2740=\frac{(a_1+a_{40})\cdot40}{2}=20(a_1+a_{40}),\qquad a_1+a_{40}=137.\] Ponadto \(a_{40}=a_1+39r=a_1-117\), więc \[2a_1-117=137,\qquad a_1=127,\qquad a_{40}=127-117=10.\] **Odpowiedź.** \(a_{40}=10\)

**1–3 pkt** – poprawne równania sum i wyznaczenie \(r=-3\), \(a_1=127\). **4 pkt** – \(a_{40}=10\)

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

q=\(5\), \(a_{5}\)=\(1250\)

Suma jednego początkowego wyrazu to po prostu pierwszy wyraz, więc \(a_1=S_1=2\). Z równości \(S_2=a_1+a_2\) otrzymujemy \[a_2=S_2-S_1=12-2=10,\] a stąd iloraz \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{2}=5.\] Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) obliczamy \[a_5=2\cdot5^{4}=2\cdot625=1250.\] **Odpowiedź.** \(q=5\), \(a_5=1250\)

1 pkt: q=5. 2 pkt: q=5 i a₅=1250.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. \(\frac{1}{3}\)

W ciągu geometrycznym \(\frac{a_5}{a_3}=q^{2}\), więc \[q^{2}=\frac19,\qquad q=\frac13\ \text{lub}\ q=-\frac13.\] Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak. Zatem \(q=\frac13\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac13\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A C

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy \[q=\frac13.\]

Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem arytmetycznym, mamy \(c=2b-a\). Dla ciągu geometrycznego \[q=\frac{\frac2{3b}}{\frac1a}=\frac{2a}{3b},\] więc \(a=\frac32bq\). Z drugiej i trzeciej liczby tego ciągu otrzymujemy także \[q=\frac{\frac1{2a+2b+c}}{\frac2{3b}}=\frac{3b}{2(2a+2b+c)}.\] Po podstawieniu \(c=2b-a\) mianownik ma postać \(2a+2b+c=a+4b\), zatem \[q=\frac{3b}{2(a+4b)}=\frac3{3q+8}.\] Stąd \[3q^2+8q-3=0,\qquad q\in\left\{\frac13,-3\right\}.\] Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac13\).

**6 pkt** – obliczenie \(q=\frac13\) z odrzuceniem ujemnego pierwiastka **5 pkt** – rozwiązanie równania \(3q^2+8q-3=0\) bez pełnego uzasadnienia wyboru dodatniego pierwiastka **4 pkt** – doprowadzenie do równania \(3q^2+8q-3=0\) **2: 3 pkt** – poprawne zapisanie zależności wynikających z arytmetyczności i geometryczności oraz częściowe ich połączenie **1 pkt** – zapisanie jednej poprawnej zależności, np. \(c=2b-a\) albo \(q=\frac{2a}{3b}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. 5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz własności ciągu geometrycznego.

\(a_{1}\)=−\(\frac{3}{4}\), r=\(\frac{1}{4}\)

Z warunku \(a_6=2a_5\) oraz \(a_6=a_5+r\) otrzymujemy \(a_5+r=2a_5\), czyli \(r=a_5\). Ponieważ \(a_5=a_1+4r\), mamy \[r=a_1+4r,\qquad a_1=-3r.\] Sumę dziesięciu początkowych wyrazów zapisujemy wzorem \(S_{10}=\frac{(2a_1+9r)\cdot10}{2}=5(2a_1+9r)\) i podstawiamy \(a_1=-3r\): \[S_{10}=5(-6r+9r)=15r=\frac{15}4.\] Stąd \(r=\frac14\), a \(a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\). **Odpowiedź.** \(a_1=-\frac34\), \(r=\frac14\)

**1–3 pkt** – poprawne równania z warunków \(a_6=2a_5\) i \(S_{10}=\tfrac{15}{4}\). **4 pkt** – \(a_1=-\tfrac{3}{4}\), \(r=\tfrac{1}{4}\).

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. \(a_{5}\) = \(4\)

W ciągu arytmetycznym \(a_4=a_5-r\) oraz \(a_6=a_5+r\), więc \[a_4+a_5+a_6=3a_5=12,\qquad a_5=4.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_5=4\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A C

\(a_{1}\) = −\(3\). Korzystamy ze wzoru \(S_{12}\) = \(12\)(\(a_{1}\) + \(a_{12}\))/\(2\). Zatem \(162 = 6\)(\(a_{1}\) + \(30\)), skąd \(a_{1}\) + \(30 = 27\) i \(a_{1}\) = −\(3\).

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\), w którym znamy \(n=12\), \(a_{12}=30\) oraz \(S_{12}=162\): \[162=\frac{(a_1+30)\cdot12}{2}=6(a_1+30).\] Stąd \(a_1+30=27\), czyli \(a_1=-3\). **Odpowiedź.** \(a_1=-3\)

**1 pkt** – gdy zdający zapisze dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego […] albo zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) wynikające z zastosowania poprawnego wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania różnicy ciągu […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(a_1\) i obliczy pierwszy wyraz ciągu: \(a_1=-3\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

\(a_{1}\)=−\(2\), r=\(\frac{9}{2}\)

Zapisujemy dane za pomocą \(a_1\) i różnicy \(r\): \[a_9=a_1+8r=34,\qquad S_8=\frac{\left(2a_1+7r\right)\cdot8}{2}=4(2a_1+7r)=110.\] Z drugiego równania \(2a_1+7r=\frac{110}4=\frac{55}2\). Z pierwszego \(a_1=34-8r\); po podstawieniu \[2(34-8r)+7r=\frac{55}2,\qquad 68-9r=\frac{55}2,\qquad 9r=\frac{81}2,\qquad r=\frac92.\] Stąd \(a_1=34-8\cdot\frac92=34-36=-2\). **Odpowiedź.** \(a_1=-2\), \(r=\frac92\)

1 pkt: poprawny układ równań. 2 pkt: a₁=−2, r=9/2.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(n=15\). Z równań \(a_3+a_6=-84\) oraz \(a_4+a_7=168\) po podzieleniu stronami otrzymujemy \(q=-2\), a następnie \(a_1=3\). Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego \[S_n=\frac{3\left(1-(-2)^{n}\right)}{1-(-2)}=1-(-2)^{n}=32769,\] skąd \((-2)^{n}=-32768=(-2)^{15}\), czyli \(n=15\).

**Krok \(1\).** Mamy ciąg geometryczny i dwa równania, w których wyrazy drugiego równania mają wskaźniki o \(1\) większe niż w pierwszym. To podpowiada sztuczkę: w ciągu geometrycznym przejście do następnego wyrazu to mnożenie przez iloraz \(q\), więc drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez \(q\). Stąd od razu wyliczymy \(q\). **Krok \(2\).** Zapisujemy wyrazy przez \(a_1\) i \(q\): \[a_3=a_1q^2,\quad a_6=a_1q^5,\quad a_4=a_1q^3,\quad a_7=a_1q^6.\] Widać, że \(a_4=q\cdot a_3\) oraz \(a_7=q\cdot a_6\), zatem \[a_4+a_7=q\left(a_3+a_6\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane: \[168=q\cdot(-84)\ \Longrightarrow\ q=-2.\] **Krok \(4\).** Wracamy do pierwszego równania: \[a_1q^2\left(1+q^3\right)=-84.\] Dla \(q=-2\) mamy \(q^2=4\) i \(q^3=-8\), więc \[a_1\cdot4\cdot(1-8)=-28a_1=-84\ \Longrightarrow\ a_1=3.\] **Krok \(5\).** Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (dla \(q\neq1\)): \[S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=3\cdot\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}=3\cdot\frac{1-(-2)^n}{3}=1-(-2)^n.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy równanie \(S_n=32769\): \[1-(-2)^n=32769\ \Longrightarrow\ (-2)^n=-32768.\] **Krok \(7\).** Wynik jest ujemny, więc \(n\) musi być nieparzyste, a co do wartości bezwzględnej \(2^n=32768\). Ponieważ \(2^{10}=1024\), \(2^{15}=32768\), otrzymujemy \[(-2)^{15}=-32768,\qquad n=15.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(S_{15}=1-(-2)^{15}=1+32768=32769\). Zgadza się. **Uwaga.** Kluczowe jest pilnowanie znaku: iloraz jest ujemny, więc potęgi \((-2)^n\) na przemian zmieniają znak. Gdyby prawa strona równania z kroku \(6\) była dodatnia, \(n\) musiałoby być parzyste. **Odpowiedź.** \(n=15\) (przy \(a_1=3\) i \(q=-2\)).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi […] albo układ równań z niewiadomymi \(q\), \(a_3\), \(a_6\) […], i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(q\) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający rozwiąże układ równań: \(q=-2\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wyznaczy szukaną liczbę \(n\): \(n=15\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).

Ciąg arytmetyczny ma wzór an=\(3n\)+\(2\), a geometryczny bn=\(3\cdot 5\)^(n−\(1\)). Niech q będzie pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego i zarazem ilorazem ciągu geometrycznego, a r jego różnicą i zarazem pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Warunki dają r+rq=\(18\) oraz \(4\)(\(2q\)+\(7r\))=\(124\). Po rozwiązaniu i odrzuceniu pary niespełniającej całkowitości wyrazów otrzymujemy q=\(5\) i r=\(3\).

Oznaczmy przez \(q\) pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (jest on jednocześnie ilorazem ciągu geometrycznego), a przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego (jest ona jednocześnie pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego). Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to \(q,\ q+r,\ q+2r,\ldots\), a ciągu geometrycznego \(r,\ rq,\ rq^{2},\ldots\) Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: \[r+rq=18,\qquad \frac{2q+7r}{2}\cdot8=124.\] Drugie równanie to wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; upraszcza się do \(2q+7r=31\). Z niego \(q=\dfrac{31-7r}{2}\). Po podstawieniu do pierwszego równania \[r\left(1+\frac{31-7r}{2}\right)=18,\qquad r(33-7r)=36,\qquad 7r^{2}-33r+36=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1089-1008=81\), \(\sqrt{\Delta}=9\), więc \[r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{33+9}{14}=3.\] Dla \(r=\tfrac{12}{7}\) otrzymujemy \(q=\tfrac{19}{2}\); wyrazy ciągu arytmetycznego nie są wtedy całkowite, więc tę parę odrzucamy. Dla \(r=3\) otrzymujemy \(q=\tfrac{31-21}{2}=5\). Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(5\) i różnicę \(3\), a ciąg geometryczny pierwszy wyraz \(3\) i iloraz \(5\): \[a_n=5+(n-1)\cdot3=3n+2,\qquad b_n=3\cdot5^{\,n-1}.\] Sprawdzenie: \(S_8=\frac{2\cdot5+7\cdot3}{2}\cdot8=124\) oraz \(b_1+b_2=3+15=18\). **Odpowiedź.** \(a_n=3n+2\) oraz \(b_n=3\cdot5^{\,n-1}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający albo zapisze kolejne wyrazy ciągów arytmetycznego i geometrycznego za pomocą \(r\) i \(q\) (lub \(a_1\) i \(b_1\), lub \(a_1\) i \(r\), lub \(b_1\) i \(q\)), albo zapisze koniunkcję zależności […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający przekształci układ równań do równania kwadratowego z jedną niewiadomą \(r\) lub \(q\), np. \(7r^2-33r+36=0\) lub \(2q^2-29q+95=0\). **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający albo popełni błąd rachunkowy na etapie rozwiązywania układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, albo poda jako rozwiązanie dwie pary ciągów: ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{19}{2}\) i różnicy \(\tfrac{12}{7}\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\tfrac{12}{7}\) i ilorazie \(\tfrac{19}{2}\), oraz ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\). **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający albo wyznaczy wzory ogólne ciągów \(a_n=3n+2\) i \(b_n=3\cdot5^{n-1}\), albo wyznaczy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(5\) i różnicy \(3\) oraz ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(3\) i ilorazie \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystywanie wzorów na wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązywanie układu warunków.

r = \(2\)

Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=30\) otrzymujemy \[30=\frac{(a_1+30)\cdot30}{2}=15(a_1+30),\] skąd \(a_1+30=2\), czyli \(a_1=-28\). Teraz ze wzoru \(a_{30}=a_1+29r\): \[30=-28+29r,\qquad 29r=58,\qquad r=2.\] **Odpowiedź.** \(r=2\)

1 pkt: obliczenie a₁ = −28. 2 pkt: obliczenie różnicy r = 2.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

B. \(a_{12}\) = \(71\)

Różnica ciągu jest równa \(r=a_2-a_1=11-5=6\), więc \[a_n=5+(n-1)\cdot6=6n-1.\] Z równania \(6n-1=71\) otrzymujemy \(6n=72\), czyli \(n=12\). Wyraz \(a_{12}\) jest równy \(71\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_{12}=71\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). B C

\(a_{16}\) − \(a_{13}\) = \(9\). Z \(a_{1}\) = \(8\) i \(S_{3}\) = \(33\) mamy \(3\)\(a_{1}\) + \(3r\) = \(33\), czyli \(24\) + \(3r\) = \(33\) i r = \(3\). Różnica wyrazów oddalonych o trzy miejsca jest równa \(3r\) = \(9\).

Sumę trzech początkowych wyrazów zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\): \[S_3=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)=3a_1+3r=33.\] Po podstawieniu \(a_1=8\) otrzymujemy \(24+3r=33\), czyli \(r=3\). Wyrazy \(a_{16}\) i \(a_{13}\) dzielą trzy kroki, więc \[a_{16}-a_{13}=3r=9.\] **Odpowiedź.** \(a_{16}-a_{13}=9\)

**1 pkt** – gdy zdający obliczy różnicę ciągu \(r=3\) (lub \(3r=9\)), lub obliczy wartość \(a_1+r=11\), lub obliczy wartość \(a_2=11\), lub zapisze, że \(a_{16}-a_{13}\) […], lub obliczy \(a_{13}=14\), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy obliczy różnicę \(a_{16}-a_{13}=9\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).

A. a = \(\frac{5}{2}\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{6}{24}=\frac14.\] Trzeci wyraz jest równy \(a-1=6\cdot\frac14=\frac32\), skąd \[a=\frac32+1=\frac52.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a=\frac52\)

Zadanie 13. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A B

C

Ciąg \(a_n=6(n-16)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=6\), a jego skrajne wyrazy spośród dziesięciu początkowych to \[a_1=6\cdot(1-16)=-90,\qquad a_{10}=6\cdot(10-16)=-36.\] Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) otrzymujemy \[S_{10}=\frac{(-90-36)\cdot10}{2}=5\cdot(-126)=-630.\] **Odpowiedź.** **C.** \(S_{10}=-630\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(a_{1}\)=\(567\), r=−\(42\), najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}\)=\(21\)

Oba warunki zapisujemy przez \(a_1\) i różnicę \(r\). Suma czterech początkowych wyrazów: \[4a_1+6r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+3r=1008.\] Suma ośmiu wyrazów od piątego do dwunastego: \[8a_1+(4+5+\ldots+11)r=8a_1+60r=2016,\qquad\text{czyli}\qquad 2a_1+15r=504.\] Odejmując równania stronami, otrzymujemy \(12r=-504\), czyli \(r=-42\), a następnie \[2a_1=1008-3\cdot(-42)=1134,\qquad a_1=567.\] Wzór ogólny to \(a_n=567-42(n-1)=609-42n\). Wyraz jest dodatni, gdy \(609-42n>0\), czyli \(n<14{,}5\); największe takie \(n\) to \(14\), a \[a_{14}=609-588=21.\] **Odpowiedź.** \(a_1=567\), \(r=-42\), najmniejszy dodatni wyraz to \(a_{14}=21\)

**1–4 pkt** – poprawne równania z sum, układ oraz \(a_{1}=567\) i \(r=-42\). **5 pkt** – także najmniejszy dodatni wyraz \(a_{14}=21\).

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. \(\frac{37}{2}\)

Wyrazy \(a_7\) i \(a_{14}\) dzieli siedem kroków, więc \(a_7=a_{14}-7r\): \[a_7=8-7\cdot\left(-\frac32\right)=8+\frac{21}2=\frac{37}2.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_7=\frac{37}2\)

Zadanie 14. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. arytmetycznego (5.3). A B

C

Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_2=S_2-S_1\). Podstawiamy dany wzór: \[S_1=2\cdot1^{2}+1=3,\qquad S_2=2\cdot2^{2}+2=10,\] więc \(a_2=10-3=7\). **Odpowiedź.** **C.** \(a_2=7\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Niech E i F będą punktami styczności okręgu o środku S odpowiednio z BD i AB, a G rzutem prostokątnym N na AB. Mamy SM=SE=SF=MA=NG oraz DE=BN. Ponieważ MN∥AB, trójkąty prostokątne BGN i NES są przystające, więc BN=NS. Zatem MN=MS+SN=MA+BN=MA+DE=MA+DM=AD.

**Krok \(1\).** W zadaniach o okręgach wpisanych działają dwa narzędzia: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej oraz odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu są równe. Oznaczmy przez \(r\) promień okręgu wpisanego w trójkąt \(ABD\) o środku \(S\), a przez \(E\) i \(F\) punkty styczności tego okręgu odpowiednio z przekątną \(BD\) i z bokiem \(AB\). Punkt \(M\) to, zgodnie z treścią, punkt styczności z bokiem \(AD\). **Krok \(2\).** Kąt \(DAB\) jest prosty, a odległości punktu \(S\) od boków \(AD\) i \(AB\) są równe \(r\). Czworokąt \(AMSF\) ma zatem trzy kąty proste i dwa boki długości \(r\), czyli jest kwadratem o boku \(r\). Stąd \[SM=SF=SE=AM=AF=r.\] **Krok \(3\).** Rozbijamy oba odcinki, które mamy porównać. Punkt \(S\) leży na odcinku \(MN\), więc \[MN=MS+SN=r+SN,\] a ponieważ \(M\) leży na boku \(AD\), to \[AD=AM+MD=r+MD.\] Wystarczy więc udowodnić jedną równość: \(SN=MD\). **Krok \(4\).** Odcinki \(DM\) i \(DE\) są odcinkami stycznych poprowadzonych z punktu \(D\) do okręgu o środku \(S\), więc \[DM=DE.\] **Krok \(5\).** Teraz wiążemy punkt \(N\) z punktem \(E\). Symetria środkowa względem środka prostokąta \(ABCD\) zamienia \(A\) z \(C\) oraz \(B\) z \(D\), więc przeprowadza trójkąt \(ABD\) na trójkąt \(CDB\), a co za tym idzie okrąg wpisany w \(ABD\) na okrąg wpisany w \(BCD\). Punkt \(E\) leży na \(BD\) w odległości \(DE\) od \(D\), więc jego obrazem jest punkt leżący na \(BD\) w odległości \(DE\) od \(B\) i będący punktem styczności drugiego okręgu z \(BD\), czyli punkt \(N\). Stąd \[BN=DE=DM.\] **Krok \(6\).** Pokażemy jeszcze, że \(SN=BN\). Poprowadźmy odcinek \(BS\). Trójkąty prostokątne \(BFS\) i \(BES\) mają wspólną przeciwprostokątną \(BS\) oraz równe przyprostokątne \(SF=SE=r\), więc są przystające. Zatem \[\sphericalangle FBS=\sphericalangle EBS,\] czyli \(BS\) jest dwusieczną kąta \(ABD\). **Krok \(7\).** Odcinek \(MS\) jest prostopadły do \(AD\), a bok \(AB\) też jest prostopadły do \(AD\), więc prosta \(MN\) jest równoległa do \(AB\). Dla prostych równoległych \(MN\) i \(AB\) przeciętych sieczną \(BS\) kąty naprzemianległe są równe: \[\sphericalangle NSB=\sphericalangle FBS.\] **Krok \(8\).** Punkt \(E\) leży na odcinku \(BD\), a więc na tej samej półprostej o początku \(B\) co punkt \(N\). Dlatego \(\sphericalangle EBS=\sphericalangle NBS\). Łącząc to z krokami \(6\) i \(7\): \[\sphericalangle NSB=\sphericalangle FBS=\sphericalangle EBS=\sphericalangle NBS.\] **Krok \(9\).** W trójkącie \(BSN\) kąty przy wierzchołkach \(S\) i \(B\) są więc równe, czyli trójkąt jest równoramienny i \[NS=NB.\] **Krok \(10\).** Zbieramy wszystko razem: \[MN=MS+SN=r+NB=r+DM=AM+MD=AD.\] To kończy dowód. **Uwaga.** Założenie, że środek \(S\) leży na odcinku \(MN\), jest istotne i korzystamy z niego dwa razy: przy rozbiciu \(MN=MS+SN\) w kroku \(3\) oraz przy stwierdzeniu, że prosta \(MN\) jest równoległa do \(AB\) w kroku \(7\). Bez tego założenia teza w ogóle nie musi być prawdziwa. **Odpowiedź.** \(MN=MS+SN=AM+MD=AD\), czyli \(MN=AD\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający albo poprowadzi odcinki \(SE\) i \(NG\), albo zapisze równość \(\lvert DM\rvert=\lvert DE\rvert\), albo zapisze równość \(\lvert DE\rvert=\lvert BN\rvert\), albo zapisze równość \(\lvert SM\rvert=\lvert SE\rvert=\lvert MA\rvert=\lvert NG\rvert\), albo zapisze, że trójkąty \(BFS\) i \(BES\) są przystające, albo zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów \(DAB\) i \(DMN\): \(\tfrac{\lvert AD\rvert}{\lvert DB\rvert}=\tfrac{\lvert MD\rvert}{\lvert DN\rvert}\), albo zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów \(MDN\) i \(ESN\): \(\tfrac{\lvert SE\rvert}{\lvert SN\rvert}=\tfrac{\lvert MD\rvert}{\lvert DN\rvert}\), albo zauważy, że odcinek \(BS\) jest dwusieczną kąta \(ABD\), albo zapisze, że trójkąt \(BNS\) jest równoramienny, i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający albo zapisze, że trójkąty \(BGN\) i \(NES\) są przystające, albo zapisze, że trójkąt \(BSN\) jest równoramienny i \(\lvert BN\rvert=\lvert DM\rvert\), albo zapisze proporcje […], albo zauważy, że \(\lvert MN\rvert=r+\lvert SN\rvert\) i […], albo zapisze proporcje […] oraz zapisze równanie […] wynikające z twierdzenia Pitagorasa w jednym z trójkątów \(BGN\) i \(ENS\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wykaże, że \(\lvert MN\rvert=\lvert AD\rvert\).

V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności (R7.4).

**B.** \(x=1\).

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Zatem \[4-(x-1)=8-4.\] Stąd \(5-x=4\), czyli \(x=1\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[x=7.\]

Mamy \(a_1=2\) oraz \(a_2=x-3\), więc różnica ciągu wynosi \[r=a_2-a_1=x-5.\] Ponieważ \(a_4=8\), to \[8=a_1+3r=2+3(x-5).\] Stąd \(6=3(x-5)\), zatem \(x=7\).

**2 pkt** – poprawny wynik \(x=7\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie różnicy \(r=x-5\) i zapisanie równania \(8=2+3r\), lecz błąd w dalszych obliczeniach **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[a_{15}=72.\]

Kolejne liczby naturalne dające przy dzieleniu przez \(5\) resztę \(2\) różnią się o \(5\), więc różnica ciągu wynosi \(r=5\). Między wyrazami \(a_3\) i \(a_{15}\) są \(15-3=12\) kroki. Zatem \[a_{15}=a_3+12r=12+12\cdot5=72.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(a_{15}=72\) **1 pkt** – poprawne ustalenie różnicy \(r=5\) i użycie wzoru na wyraz ciągu **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.

Dla ciągu arytmetycznego \[a_3=a_1+2r=4,\qquad a_6=a_1+5r=19.\] Po odjęciu równań otrzymujemy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Stąd \[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\] Warunek \(a_n\in(0,200)\) ma postać \[0<5n-11<200,\] czyli \[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\] Naturalne indeksy spełniające ten warunek to \(n=3,4,\ldots,42\). Ich liczba wynosi \[42-3+1=40.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna liczba \(40\) z pełnym rozwiązaniem nierówności dla indeksów **3 pkt** – poprawny wzór \(a_n=5n-11\) i poprawny zakres indeksów z drobną usterką końcową **2 pkt** – wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\) **1 pkt** – poprawne zapisanie równań dla \(a_3\) i \(a_6\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.

Z danych otrzymujemy układ \[\begin{cases}a_1+2r=4,\\a_1+5r=19.\end{cases}\] Po odjęciu równań mamy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Zatem \[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\] Szukamy indeksów spełniających \[0<5n-11<200.\] Stąd \[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\] Dla naturalnych \(n\) oznacza to \(3\leq n\leq42\). Liczba takich indeksów wynosi \[42-3+1=40.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wzoru ciągu, zakresu \(3\leq n\leq42\) i odpowiedzi \(40\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\), \(a_1=-6\) oraz nierówności \(0<5n-11<200\), lecz błąd w zliczeniu indeksów **2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\) albo równoważnego wzoru \(a_n=5n-11\) **1 pkt** – poprawne ułożenie układu równań z danych \(a_3=4\), \(a_6=19\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[k=11.\]

Niech \(r\) będzie różnicą ciągu. Ze wzoru na sumę \[S_{11}=\frac{11}{2}(2a_1+10r)=11(a_1+5r)=187,\] więc \(a_1+5r=17\). Warunek średniej daje \[\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=a_1+\frac{10}{3}r=12.\] Rozwiązanie układu to \(r=3\), \(a_1=2\), zatem \(a_3=8\) i \(a_k=2+3(k-1)\). Ponieważ \(a_1,a_3,a_k\) tworzą ciąg geometryczny, \[a_3^2=a_1a_k.\] Stąd \(64=2[2+3(k-1)]\), czyli \(32=3k-1\) i \(k=11\).

**1 pkt** – wykorzystanie warunku \(S_{11}=187\) **2 pkt** – zapisanie równania wynikającego ze średniej wyrazów \(a_1,a_3,a_9\) **3 pkt** – wyznaczenie \(a_1=2\) i \(r=3\) **4 pkt** – zastosowanie warunku \(a_3^2=a_1a_k\) **5 pkt** – obliczenie \(k=11\)

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 i 5.4 zdający stosuje wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

**B.** \(-2(1-2^{10})\).

Mamy \(a_1=2\) i iloraz \(q=2\). Zatem \[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10}).\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**A.** \(x=-3\).

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi zależność \(a_2^2=a_1a_3\). Zatem \[4^2=(-8)(x+1).\] Stąd \(16=-8x-8\), więc \(x=-3\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **A** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.4. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

B

Wyrazy \(a_2\) i \(a_4\) dzielą dwa kroki, więc \(a_4=a_2+2r\): \[7=11+2r,\qquad r=-2,\] a stąd \(a_1=a_2-r=11+2=13\). Sumę czterech początkowych wyrazów obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_4=\frac{(13+7)\cdot4}{2}=40.\] **Odpowiedź.** **B.** \(S_4=40\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

B

Ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\) dla \(n=10\) otrzymujemy \[35=\frac{(3+a_{10})\cdot10}{2}=5(3+a_{10}),\] skąd \(3+a_{10}=7\), czyli \(a_{10}=4\). **Odpowiedź.** **B.** \(a_{10}=4\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie \(q\ne1\) obliczamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}\). Tutaj \(q=-2\ne1\), więc \[S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=5\cdot\frac{1-1024}{3}=5\cdot\frac{-1023}{3}=5\cdot(-341)=-1705.\] **Odpowiedź.** **A.** \(-1705\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(32\)

Iloraz ciągu geometrycznego wyznaczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{-\sqrt2}=-\sqrt2.\] Sprawdzenie: \(a_2\cdot q=2\cdot(-\sqrt2)=-2\sqrt2=a_3\). Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz \(a_n=a_1q^{\,n-1}\): \[a_{10}=-\sqrt2\cdot\left(-\sqrt2\right)^{9}=\left(-\sqrt2\right)^{10}=\left(\sqrt2\right)^{10}=2^5=32.\] **Odpowiedź.** A. \(32\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=10^{100}.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Suma wyrazów nieparzystych ma postać \[a_1(1+q^2+\ldots+q^{98}),\] a suma wyrazów parzystych \[a_1q(1+q^2+\ldots+q^{98}).\] Ich iloraz jest równy \(\frac1q=100\), więc \[q=\frac1{100}=10^{-2}.\] Warunek z logarytmami oznacza \[\log(a_1a_2\cdots a_{100})=100,\] czyli \(a_1a_2\cdots a_{100}=10^{100}\). Iloczyn stu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy \[a_1^{100}q^{0+1+\ldots+99}=a_1^{100}q^{4950}.\] Stąd \[a_1^{100}10^{-9900}=10^{100},\qquad a_1^{100}=10^{10000}.\] Ponieważ wyrazy są dodatnie, otrzymujemy \(a_1=10^{100}\).

**6 pkt** – poprawne obliczenie \(a_1=10^{100}\) **5 pkt** – poprawne równanie \(a_1^{100}(10^{-2})^{4950}=10^{100}\), lecz usterka rachunkowa na końcu **4 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą \(a_1\) po wyznaczeniu \(q\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac1{100}\) **2 pkt** – poprawne porównanie sum wyrazów parzystych i nieparzystych **1 pkt** – zapisanie obu sum z wspólnym czynnikiem \(1+q^2+\ldots+q^{98}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje własności ciągu geometrycznego, wzór na sumę jego wyrazów oraz własności logarytmu iloczynu.

\[S=\frac{\pi}{3}.\]

Pole koła o promieniu \(r_n=\frac1{2^n}\) wynosi \[P_n=\pi r_n^2=\pi\cdot\frac1{4^n}.\] Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{4^n}{4^{n+1}}=\frac14,\] więc \((P_n)\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(P_1=\frac{\pi}{4}\) i ilorazie \(q=\frac14\). Warunek zbieżności szeregu geometrycznego jest spełniony, bo \(|q|=\frac14<1\) — bez tego wzoru na sumę nie wolno użyć. Zatem \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac14}=\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac34}=\frac{\pi}{3}.\] **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\) jest równa \(\frac{\pi}{3}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu \((P_n)\): \(P_1=\) […], \(q=\) […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), np.: \(\lvert q\rvert<1\). **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie sumy \(S\) wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\): \(S=\) […]. **Uwaga:** Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), ale nie stwierdzi, że \(\lvert q\rvert<1\), to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 12. (0–3) 1 Niech P oznacza pole koła o promieniu , dla n  1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów n 2n ciągu  P  . n IV. Użycie i tworzenie R5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne strategii i oblicza ich sumy. Rozwiązanie: 2 1  1    Pole koła o promieniu r  jest równe   , czyli P  . Dla n  1 zachodzi n 2n   2n   4n n 4n P 1 1 równość n1  . Wynika stąd, że  P  jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q  n P 4 4 n  1 i pierwszym wyrazie P  . Ponieważ 1   1 , więc suma S wszystkich wyrazów ciągu 1 4 4  P  jest skończona i jest równa n  P  4 S  1   1 q 1 3 1 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ........................................................................ 1 p.  1 Obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu  P  : P  , q  n 1 4 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................... 2 p. 1 Stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu  P  , np.: q   1 n 4 Rozwiązanie pełne ................................................................................................................ 3 p.  Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu  P  : S  n 3 Uwaga: Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu  P  , ale nie stwierdzi, że q  1 , to n otrzymuje 2 punkty.

Największe n wynosi \(37\). Dla \(a_{1}\)=−\(2\) i r=\(3\) suma ma postać Sn=n(\(3n\)−\(7\))/\(2\). Warunek Sn<\(2012\) daje \(3\)\(n^{2}\)−\(7n\)−\(4024<0\); dodatni pierwiastek jest równy około \(37\),\(81\).

**Krok \(1\).** Suma \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którą oznaczamy \(S_n\). Mamy więc znaleźć największą liczbę naturalną \(n\), dla której \(S_n\lt 2012\). Plan: wyliczyć \(S_n\) ze wzoru, otrzymać nierówność kwadratową i wybrać z jej rozwiązania największą liczbę naturalną. **Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) i podstawiamy \(a_1=-2\), \(r=3\): \[S_n=\frac{2\cdot(-2)+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n=\frac{-4+3n-3}{2}\cdot n=\frac{n(3n-7)}{2}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z zadania: \[\frac{n(3n-7)}{2}\lt 2012.\] Mnożymy obie strony przez \(2\) i porządkujemy: \[3n^2-7n\lt 4024,\qquad 3n^2-7n-4024\lt 0.\] **Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-4024)=49+48\,288=48\,337.\] Ponieważ \(219^2=47\,961\) i \(220^2=48\,400\), mamy \(\sqrt{48\,337}\approx 219{,}86\). **Krok \(5\).** Współczynnik przy \(n^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami. Interesuje nas pierwiastek dodatni: \[n_2=\frac{7+\sqrt{48\,337}}{6}\approx\frac{7+219{,}86}{6}=\frac{226{,}86}{6}\approx 37{,}81.\] **Krok \(6\).** Numer wyrazu \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, a warunek to \(n\lt 37{,}81\). Największą taką liczbą naturalną jest \(n=37\). **Krok \(7\).** Sprawdzamy bez przybliżeń, żeby mieć pewność: \[S_{37}=\frac{37\cdot(3\cdot 37-7)}{2}=\frac{37\cdot 104}{2}=1924\lt 2012,\] \[S_{38}=\frac{38\cdot(3\cdot 38-7)}{2}=\frac{38\cdot 107}{2}=2033\gt 2012.\] Czyli \(n=37\) spełnia warunek, a \(n=38\) już nie. **Uwaga.** Pytamy o największe \(n\), a \(n\) musi być liczbą naturalną, więc wyniku \(37{,}81\) nie wolno zaokrąglić w górę do \(38\). Zawsze warto zamknąć takie zadanie sprawdzeniem dwóch sąsiednich wartości, jak w kroku \(7\), bo wtedy przybliżenie pierwiastka nie ma już wpływu na odpowiedź. **Odpowiedź.** Największe takie \(n\) to \(n=37\).

**1 pkt** – zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą: \(\frac{-2+(3n-5)}{2}\cdot n<2012\). **2 pkt** – doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej: \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub \(3n^{2}-7n-4024=0\). **3 pkt** – rozwiązanie nierówności \(3n^{2}-7n-4024<0\) lub równania \(3n^{2}-7n-4024=0\): \(\frac{7-\sqrt{48337}}{6}\) lub \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\). **4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego, a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby \(\frac{7+\sqrt{48337}}{6}\) i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi; albo błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi. **5 pkt** – zapisanie, że największą liczbą \(n\), dla której \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}<2012\), jest \(n=37\). Uwaga: jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba \(n=37\) spełnia tę nierówność, oraz sprawdzi, że liczba \(n=38\) nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje \(5\) punktów.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV.5.c).

an = \(2n\)−\(3\)

Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\). Podstawiamy dany wzór: \[a_n=\left(n^{2}-2n\right)-\left((n-1)^{2}-2(n-1)\right)=n^{2}-2n-\left(n^{2}-4n+3\right)=2n-3.\] Sprawdzamy pierwszy wyraz osobno: \(a_1=S_1=1-2=-1\), a wzór \(2n-3\) dla \(n=1\) również daje \(-1\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n-3\)

1 pkt: wyznaczenie a₁=−1 i a₂=1. 2 pkt: wzór aₙ=2n−3.

Zadanie 30. (0–2) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego (III.5.c) I sposób rozwiązania Obliczamy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 . 2 1 2 Zatem a  0   1  1 oraz r  a  a  1 1  2 . 2 2 1 Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy: a  a   n 1 r  1 (n 1)  2  2n  3 n 1 Odpowiedź: n-ty wyraz ciągu a  wyraża się wzorem a  2n  3 . n n Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy obliczy wartości sum częściowych: S  a  1 2  1 1 1 S  a  a  4  4  0 2 1 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu a  : a  2n  3 . n n Uwagi  a  1 1. Zdający może od razu zapisać układ  1 a  a  0  1 2 a  1 2. Jeżeli zdający zapisze układ  1 , to otrzymuje 0 punktów. a  0  2 II sposób rozwiązania Zauważamy, że dla n  1 mamy a  S  S . n n n1 S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 n1 Obliczamy a  S  S  n2  2n   n2  4n  3   2n  3 oraz a  S  1. n n n1 1 1 Zauważamy ponadto, że wzór a  2n  3 dla n  1 daje otrzymaną wartość a  1 . n 1 Zatem dla każdego n  1 otrzymujemy a  2n  3 . n Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy zapisze, że a  S  S , wyznaczy S  n 12  2  n 1  n2  4n  3 i na tym n n n1 n1 poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga Przyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy a  1 . 1 III sposób rozwiązania a  a Zauważamy, że 1 n  n  n2  2n i wyznaczamy a  2n  4  a . 2 n 1 Obliczamy a  S  1 . Stąd otrzymujemy a  2n  4 1, czyli a  2n  3 . 1 1 n n Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt a  a gdy ze wzoru 1 n  n  n2  2n wyznaczy a  2n  4  a i na tym poprzestanie 2 n 1 lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu: a  2n  3 . n Uwagi 1. Zdający może od razu zapisać, że a  2n  4  a . n 1 a  a 2. Jeśli zdający zapisze, że 1 n  n  n2  2n , wyznaczy z błędem rachunkowym a np.: 2 n a  2n  2  a i z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt. n 1

\(S_{6}\) = \(78\)

Z zależności \(a_4=a_1+3r\) wyznaczamy różnicę: \[15=3+3r,\qquad 3r=12,\qquad r=4.\] Szósty wyraz jest równy \(a_6=3+5\cdot4=23\), a sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_6=\frac{(3+23)\cdot6}{2}=3\cdot26=78.\] **Odpowiedź.** \(S_6=78\)

1 pkt: różnica r=4 albo kolejny poprawny wyraz. 2 pkt: S₆=78.

Zadanie 28. (0–2) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wykorzystanie Oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu i interpretowanie reprezentacji arytmetycznego. Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy:  obliczy różnicę ciągu arytmetycznego ( r  4 ) i na tym poprzestanie lub błędnie wyznaczy S 6 albo  obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy S . 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy obliczy S  78 . 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Uwaga: Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:  błędnie zapisze związek między a , a i r, np. a  4r  15 i konsekwentnie do tego błędu 1 4 1 wyznaczy S , 6 2a  5r  zacytuje odpowiednie wzory, np. a  a  3r lub S  1  6 i na tym poprzestanie. 4 1 6 2

\(x_1=1\). Z warunku \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3\) wynika \(x_{n+1}-x_n=3\), więc \((x_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(3\); z równania \(10x_1+45\cdot3=145\) otrzymujemy \(x_1=1\).

**Krok \(1\).** Informacja, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, znaczy, że iloraz kolejnych wyrazów jest stały i równy \(27\). Skoro wyrazy są potęgami o tej samej podstawie \(3\), to iloraz zamieni się na potęgę o wykładniku będącym różnicą — i w ten sposób z ciągu geometrycznego \((a_n)\) zrobi się warunek na ciąg \((x_n)\). **Krok \(2\).** Zapisujemy iloraz dwóch kolejnych wyrazów: \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_n}}=3^{\,x_{n+1}-x_n}=27=3^3.\] **Krok \(3\).** Potęgi o tej samej podstawie \(3\) są równe dokładnie wtedy, gdy równe są wykładniki, więc dla każdego \(n\geqslant1\) \[x_{n+1}-x_n=3.\] **Krok \(4\).** Różnica kolejnych wyrazów ciągu \((x_n)\) jest stała, a to jest właśnie definicja ciągu arytmetycznego. Zatem \((x_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=3\). **Krok \(5\).** Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla \(n=10\): \[S_{10}=\frac{2x_1+9r}{2}\cdot10=10x_1+45r.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(r=3\) oraz \(S_{10}=145\): \[10x_1+45\cdot3=145,\qquad 10x_1+135=145.\] **Krok \(7\).** Stąd \(10x_1=10\), czyli \(x_1=1\). **Uwaga.** Nie należy mylić obu ciągów: geometryczny jest \((a_n)\), natomiast \((x_n)\) — czyli ciąg wykładników — jest arytmetyczny. We wzorze na sumę dziesięciu wyrazów pojawia się \(45r\), a nie \(9r\), bo \(\frac{9}{2}\cdot10=45\). **Odpowiedź.** \(x_1=1\).

Zadanie 5. (0—4) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego I sposób rozwiązania a Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równość: a Zatem 27 X Stąd xn+l —xn = 3 dla nžl Zauważamy, że jeśli dla dowolnej liczby naturalnej : xn+l — x n = 3, to ciąg (xn)je n arytmetyczny o różnicy r = 3 Z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy układ równań + (XI + +9r) 145 +45—145 Doprowadzamy układ do postaci: i podstawiamy r = 3 do pierwsze{ równania. Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą: IOXI +135 = 145 . Stąd XI = I Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełneg rozwiązania zadania 1 pl Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie odpowiedniego równania, np. 27=3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp Zapisanie zależności między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu (xn) • X —xn— (wystarczy zapis, np. x2 — XI = 3). Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p] rozwiązania 1 pkt =3145 Zapisanie układu równań lub równania XI + (XI +3)+. np.: +135=145 Obliczenie XI : XI = 1 Uwaga = 145 lub . + (XI +27) Rozwiązanie pełne 2x1 + 9r .10=145 2 lub = 145 i przekształcenie do równania Jeżeli zdający pomyli własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego, +45r = 14: w postac to za ca rozwiązanie otrzymuje O punktów. Kryteria oceniania odpowiedzi II sposób rozwiązania =3145 Z warunków zadania zapisujemy równość: Zatem .3X2 .....3 =3145 Korzystając z tego, że ciąg (an ) jest geometryczny o ilorazie q = 27 otrzymujemy .27....3XI .279 =3145 Stąd 10-rł = 3145 3 .27 I Oxł .3345 =3145 3 +135 = 3145 3 +135=145 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego Wykorzystanie warunków zadania i zapłsanie równości: 3Xl+X2* Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ......................................................................2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego .279 =3145 .27 • Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Przekształcenie równania do postaci: I Oxł +135 = 145 Rozwiązanie pełne Obliczenie XI : XI = I i zapisanie równama: 4 pkt

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego ciągu i na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.

**D.** \(100\)

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{20}=\frac{(3+7)\cdot20}{2}=10\cdot10=100.\] **Odpowiedź.** **D.** \(S_{20}=100\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – oblicza sumę ciągu arytmetycznego.

an = \(2\) lub an = \(3n\) - \(7\)

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem \[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\] Wyrazy \(a_3\), \(a_5\), \(a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(a_3+2r)^{2}=a_3(a_3+10r),\qquad (2+2r)^{2}=2(2+10r).\] Stąd \(4+8r+4r^{2}=4+20r\), czyli \(4r^{2}-12r=0\) i \(4r(r-3)=0\). Otrzymujemy \(r=0\) albo \(r=3\); oba przypadki spełniają warunki zadania, bo dla \(r=0\) trójka \((2,2,2)\) też jest ciągiem geometrycznym. Dla \(r=0\) mamy \(a_n=2\). Dla \(r=3\) mamy \(a_1=a_3-2r=2-6=-4\), więc \(a_n=-4+(n-1)\cdot3=3n-7\). **Odpowiedź.** \(a_n=2\) albo \(a_n=3n-7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

\(a_{1}\) = \(2\)

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem \[S_5=5a_3=70,\qquad a_3=14.\] Wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) dzielą dwa kroki, więc \(a_5=a_3+2r\): \[26=14+2r,\qquad r=6.\] Stąd \(a_1=a_3-2r=14-12=2\). **Odpowiedź.** \(a_1=2\)

1 pkt: zapis zależności dla a₅ i S₅. 2 pkt: a₁=2.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego z sumy.

Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Liczby monet dokładanych w kolejne poranki: \(25\), \(27\), \(29\), \(\ldots\) — każdego dnia o \(2\) więcej, czyli jest to ciąg arytmetyczny o \(a_1=25\) i różnicy \(r=2\). Stan skarbca po \(n\)-tym dniu to liczba początkowa plus wszystko, co dołożono przez \(n\) dni, minus wszystko, co zabrano. Ponieważ suma ciągu arytmetycznego jest funkcją kwadratową zmiennej \(n\), całość sprowadzi się do badania funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Liczymy, ile monet dołożono łącznie przez \(n\) dni. Wyraz ogólny to \(a_n=25+(n-1)\cdot 2=2n+23\), więc \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{25+2n+23}{2}\cdot n=\frac{2n+48}{2}\cdot n=n^2+24n.\] **Krok \(3\).** Król zabiera \(50\) monet dziennie, czyli przez \(n\) dni łącznie \(50n\). Stan skarbca po południu \(n\)-tego dnia: \[M(n)=k+\left(n^2+24n\right)-50n=n^2-26n+k.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści. „W każdym dniu była co najmniej jedna moneta” oznacza \[M(n)\geqslant 1\qquad\text{dla każdego }n=1,2,3,\ldots\] Wystarczy więc, aby najmniejsza z liczb \(M(n)\) była co najmniej równa \(1\). **Krok \(5\).** Szukamy tej najmniejszej wartości. Doprowadzamy \(M\) do postaci kanonicznej — odcięta wierzchołka to \(n_w=\frac{-b}{2a}=\frac{26}{2}=13\), więc \[M(n)=(n-13)^2+k-169.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(13\) jest liczbą naturalną, wierzchołek naprawdę jest osiągany i najmniejszy stan skarbca to \[M(13)=k-169.\] **Krok \(7\).** Wstawiamy do warunku: \[k-169\geqslant 1,\qquad k\geqslant 170.\] Najmniejszą liczbą \(k\) spełniającą warunek jest \(k=170\). **Krok \(8\).** Dla \(k=170\) mamy \(M(n)=(n-13)^2+1\), więc najmniejsza liczba monet, równa \(1\), pojawia się dokładnie dla \(n=13\), czyli trzynastego dnia. (Sprawdzenie: \(M(12)=M(14)=2\), \(M(1)=145\).) **Uwaga.** Pułapką jest to, że \(n\) przebiega tylko liczby NATURALNE. Tutaj odcięta wierzchołka \(n_w=13\) sama jest liczbą naturalną, więc minimum funkcji kwadratowej jest jednocześnie minimum ciągu. Gdyby wierzchołek wypadł na przykład w \(n_w=13{,}5\), trzeba by porównać \(M(13)\) i \(M(14)\). Zwróć też uwagę, że warunek to \(M(n)\geqslant 1\) (co najmniej jedna moneta), a nie \(M(n)\gt 0\) w sensie rzeczywistym — dla liczb całkowitych daje to ten sam wynik. **Odpowiedź.** Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**1 pkt** – jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowiedź: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym \(25\) i różnicy równej \(2\). **1 pkt** – jeśli zapisze wzór na \(M(n)\) – liczbę monet w \(n\)-tym dniu po południu. Poprawna odpowiedź: \(M(n)=k+\frac{25+\left(25+(n-1)\cdot 2\right)}{2}\cdot n-50n=n^{2}-26n+k\) **2 pkt** – jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\), albo \(\Delta<0\) (bo \(n\in N\)), czyli \(26^{2}-4k<0\), stąd \(k>169\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\). **1 pkt** – jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\) lub \(\Delta<0\), bo \(n\in N\), stąd \(26^{2}-4k<0\). **1 pkt** – jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowiedź: \(n=13\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_1=-11\), \(r=2\); b) tak, ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(3\); c) suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i wynosi \(-36\).

**a)** W ciągu arytmetycznym \(a_{11}-a_7=4r\), więc \[9-1=4r,\qquad r=2.\] Dalej \(a_1=a_7-6r=1-12=-11\). **b)** Obliczamy \(a_8=a_7+r=3\). Ciąg \((a_7,a_8,a_{11})=(1,3,9)\) jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_8^{2}=a_7\cdot a_{11}\): \[3^{2}=1\cdot9.\] Równość zachodzi, a żaden wyraz nie jest zerem, więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(3\). **c)** Wyraz ogólny: \(a_n=-11+(n-1)\cdot2=2n-13\). Suma \(S_n\) maleje dopóty, dopóki dokładane wyrazy są ujemne: \[2n-13<0\iff n\leq6.\] Wyraz \(a_7=1\) jest już dodatni, więc \(S_n\) jest najmniejsza dla \(n=6\): \[S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\frac{-11+(-1)}{2}\cdot6=-36.\] **Odpowiedź.** \(a_1=-11\), \(r=2\); ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny; suma jest najmniejsza dla \(n=6\) i równa \(-36\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[r=\frac97.\]

Sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego liczymy ze wzoru \(S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(b_1=\frac34\) i \(q=-2\): \[S_7^{(b)}=\frac34\cdot\frac{1-(-2)^7}{1-(-2)}=\frac34\cdot\frac{1+128}{3}=\frac34\cdot43=\frac{129}{4}.\] Ciąg arytmetyczny ma ten sam wyraz pierwszy \(a_1=\frac34\), więc \[S_7^{(a)}=\frac{2a_1+6r}{2}\cdot7=\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7.\] Porównujemy obie sumy: \[\frac{\frac32+6r}{2}\cdot7=\frac{129}{4},\qquad \frac32+6r=\frac{129}{14},\] \[6r=\frac{129}{14}-\frac{21}{14}=\frac{108}{14}=\frac{54}{7},\qquad r=\frac97.\] **Odpowiedź.** Różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(\frac97\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […]: \(S_{7}=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)=\frac{129}{4}\). […] występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3). Zdający nie musi obliczyć wartości sumy \(S_{7}\). **4.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy \(7\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w zależności od \(r\): \(S_{7}=\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7\). Nie musi to być oddzielny zapis, może występować, np. jako jedna ze stron równania w czynności 4.3. **4.3. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(r\): \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{1}{4}\left(1+2^{7}\right)\). Może też być: \(\frac{2\cdot\frac{3}{4}+6r}{2}\cdot 7=\frac{129}{4}\). **4.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(r=\frac{9}{7}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do \(-3<0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie osobne sprawy. Pierwsza: mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a to znaczy, że kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\) — stąd wyznaczymy \(x\). Druga: mając iloraz, skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i przekształcimy nierówność w sposób równoważny. **Krok \(2\).** Zapisujemy warunek dla wyrazów \(a_1=x-3\), \(a_2=x+3\), \(a_3=6x+2\): \[(x+3)^2=(x-3)(6x+2).\] **Krok \(3\).** Rozwijamy obie strony: \[x^2+6x+9=6x^2+2x-18x-6=6x^2-16x-6,\] a po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę \[0=5x^2-22x-15.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=(-22)^2-4\cdot5\cdot(-15)=484+300=784\), \(\sqrt{\Delta}=28\), więc \[x_1=\frac{22-28}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{22+28}{10}=5.\] **Krok \(5\).** Wybieramy właściwe \(x\), korzystając z warunku, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Dla \(x=-\frac35\) mamy \(a_1=-\frac35-3=-\frac{18}{5}\lt0\), więc ta wartość odpada. Dla \(x=5\) otrzymujemy \(a_1=2\), \(a_2=8\), \(a_3=32\), czyli same liczby dodatnie. **Krok \(6\).** Liczymy iloraz: \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac82=4\) (sprawdzenie: \(\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{32}{8}=4\)). **Krok \(7\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\), co wolno, bo \(q=4\neq1\). Przy dzieleniu sum czynniki \(a_1\) oraz \(q-1\) się skracają: \[\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{a_1\cdot\frac{4^{19}-1}{3}}{a_1\cdot\frac{4^{20}-1}{3}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}.\] **Krok \(8\).** Dowodzimy nierówności. Liczby \(4^{19}-1\) i \(4^{20}-1\) są dodatnie, więc nierówność \[\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\] jest równoważna nierówności otrzymanej po pomnożeniu na krzyż: \[4\left(4^{19}-1\right)\lt4^{20}-1.\] **Krok \(9\).** Lewa strona to \(4\cdot4^{19}-4=4^{20}-4\), więc dostajemy \(4^{20}-4\lt4^{20}-1\). Po odjęciu \(4^{20}\) od obu stron zostaje \(-4\lt-1\), a to jest prawda. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność również zachodzi, co kończy dowód. **Uwaga.** Warunek o dodatnich wyrazach nie jest ozdobnikiem — bez niego zadanie miałoby dwie odpowiedzi. Dla \(x=-\frac35\) ciąg \(-\frac{18}{5},\ \frac{12}{5},\ -\frac85\) także jest geometryczny (o ilorazie \(q=-\frac23\)), tylko jego wyrazy nie są dodatnie. To właśnie ten warunek pozwala odrzucić drugi pierwiastek. Zwróć też uwagę, że w kroku \(8\) mnożymy na krzyż wyłącznie dlatego, że mianowniki są dodatnie; przy ujemnym mianowniku trzeba by odwrócić znak nierówności. **Odpowiedź.** Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do nierówności prawdziwej.

**1 pkt** – jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. Poprawna odpowiedź: \((x+3)^{2}=(x-3)(6x+2)\). **1 pkt** – jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. Poprawna odpowiedź: \(x=-\frac{3}{5}\) lub \(x=5\). **1 pkt** – jeśli wybierze odpowiednią wartość \(x\), tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. Poprawna odpowiedź: \(x=5\). **1 pkt** – jeśli obliczy iloraz ciągu. Poprawna odpowiedź: \(q=4\). **2 pkt** – jeśli oszacuje iloraz. Poprawna odpowiedź: np. Przekształcając równoważnie nierówność \(\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac{1}{4}\) dostaje kolejno: \(4\left(4^{19}-1\right)<4^{20}-1\), \(4^{20}-4<4^{20}-1\), \(-3<0\), co jest prawdą. To kończy dowód. **1 pkt** – jeśli wykorzysta wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapisze iloraz \(\frac{S_{19}}{S_{20}}\) w postaci umożliwiającej oszacowanie. Poprawna odpowiedź: \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie różne sprawy. Podpunkt a) to zwykłe równanie: pytamy, dla jakiego \(n\) wyraz \(a_n\) równa się danej liczbie. Podpunkt b) jest ciekawszy — wyrazy całkowite pojawiają się REGULARNIE (co pewną stałą liczbę kroków), więc same tworzą ciąg arytmetyczny, a ich sumę policzymy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. **Krok \(2\).** Podpunkt a): zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: \(37\tfrac34=\dfrac{151}{4}\). Zapisujemy równanie: \[\frac{1}{4}(3n+1)=\frac{151}{4}.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(4\): \[3n+1=151\quad\Longrightarrow\quad 3n=150\quad\Longrightarrow\quad n=50.\] Liczba \(37\tfrac34\) jest więc pięćdziesiątym wyrazem ciągu. **Krok \(4\).** Podpunkt b): wyraz \(a_n=\dfrac{3n+1}{4}\) jest liczbą całkowitą dokładnie wtedy, gdy licznik \(3n+1\) dzieli się przez \(4\). Sprawdzamy kilka pierwszych wyrazów: \[a_1=\tfrac44=1,\quad a_2=\tfrac74,\quad a_3=\tfrac{10}{4},\quad a_4=\tfrac{13}{4},\quad a_5=\tfrac{16}{4}=4.\] Widać, że całkowite są wyrazy o numerach \(1, 5, 9, \ldots\), czyli co czwarty. **Krok \(5\).** Uzasadniamy tę regularność: zwiększenie \(n\) o \(4\) zwiększa licznik \(3n+1\) o \(12\), czyli o wielokrotność \(4\) — reszta z dzielenia przez \(4\) się nie zmienia. Natomiast zwiększenie \(n\) o \(1\), \(2\) lub \(3\) zmienia licznik o \(3\), \(6\) lub \(9\), co daje inną resztę. Numery wyrazów całkowitych to więc dokładnie \(n=1,5,9,13,\ldots\), czyli \(n=1+4k\). **Krok \(6\).** Zliczamy te numery wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów: \[1+4k\leqslant50\quad\Longrightarrow\quad 4k\leqslant49\quad\Longrightarrow\quad k\leqslant12{,}25,\] czyli \(k=0,1,\ldots,12\) — razem \(13\) wyrazów. Ostatni z nich ma numer \(n=1+4\cdot12=49\), a jego wartość to \[a_{49}=\frac{3\cdot49+1}{4}=\frac{148}{4}=37.\] **Krok \(7\).** Same te wyrazy \(1, 4, 7, \ldots, 37\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\) (bo przeskok o cztery wyrazy ciągu o różnicy \(\tfrac34\) daje przyrost \(4\cdot\tfrac34=3\)). Stosujemy wzór na sumę: \[S=\frac{a_{\text{pierwszy}}+a_{\text{ostatni}}}{2}\cdot(\text{liczba wyrazów})=\frac{1+37}{2}\cdot13=19\cdot13=247.\] **Uwaga.** Ograniczenie „wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów” jest istotne — kolejny wyraz całkowity miałby numer \(53\) i już się nie liczy. Warto też zauważyć, że sam wyraz \(a_{50}=\tfrac{151}{4}=37\tfrac34\) z podpunktu a) NIE jest liczbą całkowitą, więc granica \(n\leqslant50\) w praktyce wypada na \(n=49\). Uwaga na liczbę składników: między \(1\) a \(49\) co cztery kroki jest \(13\), a nie \(12\) wyrazów (\(\tfrac{49-1}{4}+1=13\)). **Odpowiedź.** a) Liczba \(37\frac34\) jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu, czyli \(a_{50}\). b) Wyrazów całkowitych jest \(13\) (są to \(a_1=1,\ a_5=4,\ \ldots,\ a_{49}=37\)), a ich suma wynosi \(247\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie równania: \(\frac{3n+1}{4}=37\frac{3}{4}\). **8.2. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(n=50\). **8.3. (1 pkt)** – zauważenie, że wartości wyrazów \(a_{1}\), \(a_{5}\), \(a_{9}\), \(a_{13}\), \(a_{17}\), \(a_{21}\), \(a_{25}\),… są liczbami całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu ciągu \(a_{1}=1\) i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od poprzedniego o \(3\). Wystarczy, że zdający zapisze sumę \(1+4+7+10+\ldots\) bez jej ostatniego składnika. Obliczenie różnicy ciągu nie jest konieczne. **8.4. (1 pkt)** – obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: \(a_{49}=37\). **8.5. (1 pkt)** – obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: \(13\). **8.6. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{13}=\frac{a_{1}+a_{49}}{2}\cdot 13=\frac{1+37}{2}\cdot 13=247\). Jeżeli zdający od razu zapisze \(\frac{1+37}{2}\cdot 13\), to otrzymuje punkty w czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(q=\frac13\). b) Suma stu logarytmów jest równa \(-4950\).

**a)** Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego: \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{1-(n+1)}}{3^{1-n}}=3^{(1-n-1)-(1-n)}=3^{-1}=\frac13.\] **b)** Z definicji logarytmu \(\log_3 3^{k}=k\), więc \(\log_3 a_n=1-n\). Szukana suma jest sumą stu początkowych wyrazów ciągu **arytmetycznego** \((1-n)\) o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(-1\): \[S=\sum_{n=1}^{100}(1-n)=100-\left(1+2+\ldots+100\right)=100-\frac{100\cdot101}{2}=100-5050=-4950.\] **Odpowiedź.** a) \(q=\frac13\). b) Suma jest równa \(-4950\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=3^{-n}\). **10.2. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu \((a_{n})\): \(q=3^{-1}\) lub \(q=\frac{1}{3}\). Jeśli zdający od razu poda prawidłowo iloraz ciągu to otrzymuje również punkt w czynności 10.1 **10.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów: \(S_{100}=\log_{3}1+\log_{3}(3)^{-1}+\log_{3}3^{-2}+\ldots.+\log_{3}3^{-99}\). **10.4. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów w postaci: \(S_{100}=\log_{3}3^{-(1+2+3+\ldots 99)}=\log_{3}3^{50\cdot(-99)}\). **10.5. (1 pkt)** – obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: \(S_{100}=-4950\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_3=2\), \(a_4=0\), \(a_5=3\), \(a_{2005}=1003\), \(a_{2006}=0\), \(a_{2007}=1004\), \(a_{2008}=0\). b) \(0\). c) \(S_{2008}=504\,510\).

**a)** Wartość wyrazu zależy od parzystości numeru. Dla \(n\) nieparzystego \(a_n=\frac{n+1}2\), dla \(n\) parzystego \(a_n=0\). Zatem \[a_3=2,\quad a_4=0,\quad a_5=3,\quad a_{2005}=1003,\quad a_{2006}=0,\quad a_{2007}=1004,\quad a_{2008}=0.\] **b)** Podstawiamy obliczone wartości. Wykładniki \(a_{2006}\) i \(a_{2008}\) są równe zeru, a podstawa \(a_{2006}\) jest równa zeru: \[(a_{2005})^{a_{2006}}\cdot(a_{2006})^{a_{2007}}\cdot(a_{2007})^{a_{2008}}=1003^{0}\cdot0^{1004}\cdot1004^{0}=1\cdot0\cdot1=0.\] **c)** Wyrazy o numerach parzystych są zerami, więc sumujemy tylko te o numerach nieparzystych: \(a_1,a_3,\ldots,a_{2007}\). Dla \(n=2k-1\) mamy \(a_{2k-1}=\frac{(2k-1)+1}{2}=k\), a numer \(2007\) odpowiada \(k=1004\). Zatem \[S_{2008}=1+2+3+\ldots+1004=\frac{(1+1004)\cdot1004}{2}=1005\cdot502=504\,510.\] **Odpowiedź.** b) \(0\); c) \(S_{2008}=504\,510\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(a_{2007}=1004\), \(a_{2008}=0\). […] \(a_{3}=2\), \(a_{4}=0\), \(a_{5}=3\). **6.2. (1 pkt)** – zapisanie wartości wyrażenia: \(\left(a_{2005}\right)^{a_{2006}}\cdot\left(a_{2006}\right)^{a_{2007}}\cdot\left(a_{2007}\right)^{a_{2008}}=0\). Wystarczy, że zdający poprawnie ustali wartości poszczególnych czynników, np. \(1\cdot 0\cdot 1\). **6.3. (1 pkt)** – stwierdzenie, że ciąg \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\) jest arytmetyczny: np. \(a_{1}=1\), \(r=1\), albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. **6.4. (1 pkt)** – określenie liczby wyrazów ciągu \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\): \(n=1004\). Jeśli zdający źle ustali liczbę wyrazów ciągu \(\left(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots,a_{2007}\right)\), to nie otrzymuje punktu także w czynności 6.5. **6.5. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru na sumę \(1004\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie sumy \(2008\) początkowych wyrazów ciągu \(\left(a_{n}\right)\): \(\frac{1+1004}{2}\cdot 1004=504510\). Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór \(1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) dla \(n=1004\), to otrzymuje wszystkie punkty za czynności 6.3, 6.4, 6.5.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Suma pól czterech prostokątów jest równa \(\frac{15}{32}\). b) \(S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)

Z rysunku odczytujemy sposób budowy prostokątów: przedział \(\langle0,1\rangle\) dzielimy na \(n\) równych części o szerokości \(\frac1n\), a wysokością \(k\)-tego prostokąta jest wartość funkcji w prawym końcu \(k\)-tej części, czyli \[f\!\left(\frac kn\right)=\left(\frac kn\right)^2.\] Górne prawe wierzchołki prostokątów leżą na paraboli, więc prostokąty pokrywają cały rozważany obszar. **a)** Dla \(n=4\) podstawy mają długość \(\frac14\), a wysokości są równe kolejno \(\left(\frac14\right)^2\), \(\left(\frac24\right)^2\), \(\left(\frac34\right)^2\), \(\left(\frac44\right)^2\). Suma pól wynosi \[S_4=\frac14\left(\frac1{16}+\frac4{16}+\frac9{16}+\frac{16}{16}\right)=\frac14\cdot\frac{30}{16}=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}.\] **b)** W przypadku ogólnym \[S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1n\cdot\left(\frac kn\right)^2=\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\right).\] Korzystamy z podanego w treści wzoru na sumę kwadratów: \[S_n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.\] Sprawdzenie: dla \(n=4\) otrzymujemy \(\frac{5\cdot9}{6\cdot16}=\frac{45}{96}=\frac{15}{32}\), czyli wynik zgodny z podpunktem a). **Odpowiedź.** a) \(S_4=\frac{15}{32}\). b) \(S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] (rysunek: oś \(y\): \(\frac{9}{16}\), \(\frac{4}{16}\), \(\frac{1}{16}\); oś \(x\): \(0\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{4}\), \(\frac{3}{4}\)) **5.2. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól czterech prostokątów: \(\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{4}{4}\right)^{2}=\frac{15}{32}\). **5.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól wszystkich \(n\) prostokątów w postaci: \(\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^{2}+\ldots+\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{n}{n}\right)^{2}=\frac{1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}}{n^{3}}\). Wystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą stronę podanej postaci. **5.4. (1 pkt)** – wykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci: \(S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}\) lub \(S_{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_n=14-2n\). b) \(a_{2007}=-4000\). c) \(a_n=0\) dla \(n=7\).

**a)** Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\). \[a_n=\left(-n^{2}+13n\right)-\left(-(n-1)^{2}+13(n-1)\right)=-2n+14.\] Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=-1+13=12\), a wzór \(-2n+14\) też daje \(12\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\). **b)** \(a_{2007}=-2\cdot2007+14=-4014+14=-4000.\) **c)** Z równania \(-2n+14=0\) otrzymujemy \(n=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=14-2n\); \(a_{2007}=-4000\); \(a_n=0\) dla \(n=7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 5.** (\(5\) pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), gdzie \(n\ge 1\). Wiadomo, że dla każdego \(n\ge 1\) suma \(n\) początkowych wyrazów \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\) wyraża się wzorem: \(S_{n}=-n^{2}+13n\). a) Wyznacz wzór na \(n\)–ty wyraz ciągu \((a_{n})\). b) Oblicz \(a_{2007}\). c) Wyznacz liczbę \(n\), dla której \(a_{n}=0\). a) Do wyznaczenia wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\) stosuję własność sum częściowych: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\). \(a_{n}=\left(-n^{2}+13n\right)-\left[-(n-1)^{2}+13(n-1)\right]\), stąd \(a_{n}=-2n+14\). b) Obliczam \(a_{2007}\): \(a_{2007}=-2\cdot 2007+14=-4000\). c) Obliczam, który wyraz ciągu przyjmuje wartość zero: \(-2n+14=0\), \(n=7\). Odpowiedź: \(a_{n}=0\) gdy \(n=7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=10\,150\). b) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^{2}-2}=\frac23\).

Najpierw wyznaczamy wzór ogólny: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\), a więc \[a_n=\left(2n^{2}+n\right)-\left(2(n-1)^{2}+(n-1)\right)=4n-1.\] Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\), więc wzór obowiązuje od początku. **a)** Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\); tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(8\), pierwszym wyrazie \(a_2=7\) i ostatnim \(a_{100}=399\). Zatem \[a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\frac{(7+399)\cdot50}{2}=406\cdot25=10\,150.\] **b)** W granicy ilorazu wielomianów tego samego stopnia decydują współczynniki przy najwyższej potędze: \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac1n}{3-\frac2{n^{2}}}=\frac23.\] **Odpowiedź.** a) \(10\,150\); b) \(\frac23\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu \((a_{n})\), korzystając z własności sum częściowych ciągów: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\), \(a_{n}=2n^{2}+n-2(n-1)^{2}-n+1=4n-1\). Wyznaczam wartość wyrazu \(a_{2}=7\) i różnicy ciągu \((a_{2},a_{4},\ldots,a_{100})\), \(r=8\). Obliczam sumę \(n=50\) początkowych wyrazów ciągu o numerach parzystych: \(S_{50}=\frac{2\cdot 7+(50-1)\cdot 8}{2}\cdot 50=10150\). b) Obliczam granicę ciągu \(\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}\): \(\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\frac{2}{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że \(1+2+\ldots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\), więc prawa strona równa się \(2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n^{2}-n+n=n^{2}\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Przyjrzyjmy się prawej stronie równości: liczby rosną od \(1\) do \(n\), a potem maleją z powrotem do \(1\). Występuje tam więc dwa razy suma \(1+2+\ldots+(n-1)\) oraz jeden raz środkowy wyraz \(n\). Wystarczy obliczyć tę sumę wzorem na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i sprawdzić, że całość daje \(n^2\). **Krok \(2\).** Oznaczmy \[S=1+2+3+\ldots+(n-1).\] Jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(a_1=1\), różnica \(r=1\), ostatni wyraz to \(n-1\), a liczba wyrazów wynosi \(n-1\). **Krok \(3\).** Stosujemy wzór na sumę \(k\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_k=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot k\), przyjmując \(k=n-1\) oraz \(a_k=n-1\): \[S=\frac{1+(n-1)}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy prawą stronę dowodzonej równości przy pomocy \(S\). Rosnąca część to \(1+2+\ldots+(n-1)=S\), potem stoi wyraz \(n\), a malejąca część \((n-1)+\ldots+2+1\) to znowu \(S\) (te same składniki, tylko w odwrotnej kolejności). Zatem \[P=S+n+S=2S+n.\] **Krok \(5\).** Wstawiamy obliczone \(S\): \[P=2\cdot\frac{n(n-1)}{2}+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2.\] **Krok \(6\).** Otrzymaliśmy \(P=n^2\), czyli dokładnie lewą stronę dowodzonej równości. To kończy uzasadnienie. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że w sumie \(1+2+\ldots+(n-1)\) jest \(n\) wyrazów. Wyrazów jest \(n-1\), bo ciąg kończy się na \(n-1\) — i to właśnie ta liczba wchodzi do wzoru na sumę. Warto też zauważyć, że w dowodzie trzeba przekształcać prawą stronę aż do postaci \(n^2\), a nie zakładać z góry, że równość zachodzi. **Odpowiedź.** Teza wynika z tego, że \(1+2+\ldots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\), więc prawa strona równa się \(2\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+n=n^{2}-n+n=n^{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (2 pkt)** – […] równości w postaci np. \(n^{2}=2\cdot S_{n-1}+n\). **5.2. (1 pkt)** – doprowadzenie prawej strony równości do postaci \(n^{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).

Oznaczmy przez \(S_n\) lewą stronę wzoru: \[S_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+2)(k!)^2.\] Dowodzimy przez indukcję, że \(S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\). **Krok początkowy.** Dla \(n=1\): \[L=1\cdot3\cdot(1!)^2=3,\qquad P=\bigl[(1+1)!\bigr]^2-1=(2!)^2-1=4-1=3.\] Zatem \(L=P\) i wzór jest prawdziwy dla \(n=1\). **Założenie indukcyjne.** Przyjmijmy, że dla pewnej liczby naturalnej \(n\geq1\) \[S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1.\] **Krok indukcyjny.** Wykażemy, że wtedy \(S_{n+1}=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\). Do sumy \(S_n\) dodajemy wyraz o numerze \(n+1\), czyli \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\): \[S_{n+1}=S_n+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2.\] Korzystamy z założenia indukcyjnego i wyłączamy \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias: \[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2 =\bigl[(n+1)!\bigr]^2\bigl(1+(n+1)(n+3)\bigr)-1.\] Upraszczamy wyrażenie w nawiasie: \[1+(n+1)(n+3)=1+n^{2}+4n+3=n^{2}+4n+4=(n+2)^{2}.\] Stąd \[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2(n+2)^{2}=\bigl[(n+1)!\,(n+2)\bigr]^2-1=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1,\] bo \((n+1)!\,(n+2)=(n+2)!\). Otrzymaliśmy tezę dla \(n+1\). Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). **Odpowiedź.** Wzór \(1\cdot3\cdot(1!)^2+2\cdot4\cdot(2!)^2+\ldots+n(n+2)(n!)^2=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), co należało wykazać.

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **1 pkt** – sprawdzenie prawdziwości wzoru dla \(n=1\) **1 pkt** – poprawne zapisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej **2 pkt** – przeprowadzenie kroku indukcyjnego: dodanie wyrazu \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) i wyłączenie \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias **1 pkt** – doprowadzenie do postaci \(\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\) i powołanie się na zasadę indukcji matematycznej

**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu metodą indukcji matematycznej — sprawdzenie kroku początkowego, poprawne sformułowanie założenia i tezy indukcyjnej oraz wykonanie kroku indukcyjnego z przekształceniem silni.

\(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy schemat. Konstrukcja jest nieskończona i za każdym razem powtarza się ta sama operacja, więc kolejne trójkąty są do siebie PODOBNE, a ich pola tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Suma pól to suma szeregu geometrycznego, którą policzymy ze wzoru \(S=\frac{P_1}{1-q}\) — o ile sprawdzimy, że \(|q|\lt 1\). **Krok \(2\).** Zapisujemy związek między kolejnymi bokami. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), a to właśnie ona jest bokiem następnego trójkąta: \[a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n.\] Boki tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie \(k=\frac{\sqrt3}{2}\). **Krok \(3\).** Liczymy pole pierwszego trójkąta ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: \[P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy iloraz pól. Kolejne trójkąty są podobne w skali \(k=\frac{\sqrt3}{2}\), a stosunek pól figur podobnych to KWADRAT skali podobieństwa: \[q=k^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy warunek zbieżności: \(|q|=\frac34\lt 1\), więc szereg jest zbieżny i wolno zastosować wzór na sumę. **Krok \(6\).** Podstawiamy do wzoru: \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{1-\frac34}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac14}.\] **Krok \(7\).** Dzielenie przez \(\frac14\) to mnożenie przez \(4\): \[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot 4=a^2\sqrt3.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to przyjęcie \(q=\frac{\sqrt3}{2}\), czyli ilorazu BOKÓW, zamiast ilorazu PÓL. Pola figur podobnych mają się do siebie jak kwadrat skali, więc \(q=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34\). Zwróć też uwagę, że wynik \(S=a^2\sqrt3\) jest równy poczwórnemu polu pierwszego trójkąta — co jest wiarygodne, bo suma nieskończenie wielu malejących pól musi być większa od \(P_1\), ale skończona. **Odpowiedź.** \(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – […] i liczby \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). **14.2. (2 pkt)** – zapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym \(P_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\frac{3}{4}\). **14.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól wszystkich trójkątów: \(S=a^{2}\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Na półce górnej stoi \(16\) płyt, a na półce dolnej \(36\) płyt.

**Krok \(1\).** W zadaniu pojawia się rosnący ciąg geometryczny o trzech wyrazach, przy czym znamy wyraz środkowy i sumę wszystkich trzech. Kluczowa własność, z której skorzystamy, brzmi: w ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\). Razem z warunkiem na sumę da to układ dwóch równań. **Krok \(2\).** Oznaczamy: \(x\) — liczba płyt na półce górnej, \(24\) — na środkowej, \(z\) — na dolnej. Z treści \(x\), \(24\), \(z\) tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny rosnący, więc \(0\lt x\lt 24\lt z\). **Krok \(3\).** Z własności ciągu geometrycznego: \[24^2=x\cdot z,\qquad\text{czyli}\qquad x\cdot z=576.\] **Krok \(4\).** Z warunku na łączną liczbę płyt: \[x+24+z=76,\qquad\text{czyli}\qquad x+z=52.\] **Krok \(5\).** Z drugiego równania wyznaczamy \(z=52-x\) i wstawiamy do pierwszego: \[x\,(52-x)=576,\] \[52x-x^2=576,\] \[x^2-52x+576=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-52)^2-4\cdot1\cdot576=2704-2304=400,\qquad\sqrt{\Delta}=20,\] \[x_1=\frac{52-20}{2}=16,\qquad x_2=\frac{52+20}{2}=36.\] **Krok \(7\).** Wybieramy rozwiązanie zgodne z warunkami zadania. Ciąg ma być rosnący, więc na górnej półce musi stać mniej płyt niż na środkowej: \(x\lt24\). Warunek ten spełnia tylko \(x=16\). Wtedy \(z=52-16=36\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(16+24+36=76\) — zgadza się, a \(\frac{24}{16}=\frac{36}{24}=\frac32\), więc ciąg \(16,\,24,\,36\) rzeczywiście jest geometryczny i rosnący. **Uwaga.** Równanie kwadratowe daje dwie liczby, \(16\) i \(36\), i obie mają sens jako liczby płyt — to nie jest tak, że jedną odrzucamy jako bezsensowną. One po prostu opisują te same trzy półki, tylko w odwrotnej kolejności. To słowo rosnący decyduje, że \(16\) stoi na górze, a \(36\) na dole. **Odpowiedź.** Na półce górnej stoi \(16\) płyt, a na półce dolnej \(36\) płyt.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczeń, np.: […] \(x<24\) i \(x\in N\), \(24\) – liczba płyt ustawionych na środkowej półce, \(24\cdot\frac{24}{x}\) – liczba płyt ustawionych na dolnej półce **4.2. (1 pkt)** – wykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geometrycznego i ułożenie równania z niewiadomą \(x\): \(x+24+\frac{576}{x}=76\) (*) **4.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania (*) do postaci (**): \(x^{2}-52x+576=0\) (**) **4.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (**): \(x_{1}=16\), \(x_{2}=36\) **4.5. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania. Na górnej półce jest \(16\) płyt, zaś na dolnej półce jest ich \(36\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}=\frac32.\]

Zarówno licznik, jak i mianownik są sumami początkowych wyrazów ciągów arytmetycznych; wyznaczamy je ze wzoru \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\] **Licznik.** Ciąg \(1,4,7,\ldots\) ma \(a_1=1\) i różnicę \(r=3\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(a_n=1+3(n-1)=3n-2\) — zgadza się z ostatnim składnikiem, więc sumujemy \(n\) wyrazów: \[S_n=\frac{1+(3n-2)}{2}\cdot n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^{2}-n}{2}.\] **Mianownik.** Ciąg \(5,7,9,\ldots\) ma \(b_1=5\) i różnicę \(r'=2\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(b_n=5+2(n-1)=2n+3\) — również zgadza się z ostatnim składnikiem, więc i tu sumujemy \(n\) wyrazów: \[S'_n=\frac{5+(2n+3)}{2}\cdot n=\frac{n(2n+8)}{2}=n^{2}+4n.\] **Granica.** Dla \(n\geq1\) mamy \(S'_n\ne0\), więc \[\frac{S_n}{S'_n}=\frac{\frac{3n^{2}-n}{2}}{n^{2}+4n}=\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}.\] Licznik i mianownik są wielomianami tego samego, drugiego stopnia, więc granica jest ilorazem współczynników przy \(n^{2}\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}=\frac32.\] **Odpowiedź.** Granica jest równa \(\frac32\).

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **2 pkt** – wyznaczenie \(a_1=1\), \(r=3\) oraz sumy licznika \(S_n=\frac{3n^{2}-n}{2}\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia) **2 pkt** – wyznaczenie \(b_1=5\), \(r'=2\) oraz sumy mianownika \(S'_n=n^{2}+4n\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia) **1 pkt** – obliczenie granicy: \(\frac32\)

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów tego samego stopnia.

Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy oddzielne zadania w jednym. Po prawej stronie równania stoi liczba (a nie wyrażenie z \(x\)), więc najpierw ją obliczamy. Potem rozwiązujemy proste równanie trygonometryczne, następnie z nierówności z wartością bezwzględną odczytujemy przedział, a na koniec sumujemy wybrane rozwiązania — a te tworzą ciąg arytmetyczny. **Krok \(2\).** Obliczamy \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\). Rozkładamy kąt: \[\frac{25\pi}{2}=\frac{24\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=12\pi+\frac{\pi}{2}.\] Funkcja \(\operatorname{ctg}\) ma okres \(\pi\), a \(12\pi\) to jego wielokrotność, więc \[\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0.\] **Krok \(3\).** Równanie sprowadza się zatem do \(\sin3x=0\). Sinus zeruje się dla wielokrotności \(\pi\), więc \[3x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność \(|x-5\pi|\leqslant5\pi\). Warunek \(|t|\leqslant a\) oznacza \(-a\leqslant t\leqslant a\), więc \[-5\pi\leqslant x-5\pi\leqslant5\pi,\qquad 0\leqslant x\leqslant10\pi.\] **Krok \(5\).** Wybieramy te rozwiązania, które leżą w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\): \[0\leqslant\frac{k\pi}{3}\leqslant10\pi\quad\Big/\cdot\frac{3}{\pi},\qquad 0\leqslant k\leqslant30.\] Liczb całkowitych \(k\) jest więc \(30-0+1=31\). **Krok \(6\).** Sumujemy te rozwiązania. Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(\frac{\pi}{3}\), a sumę można policzyć, wyłączając \(\frac{\pi}{3}\) przed nawias: \[S=\sum_{k=0}^{30}\frac{k\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\bigl(0+1+2+\dots+30\bigr)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{30\cdot31}{2}=\frac{\pi}{3}\cdot465=155\pi.\] **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu przeoczyć. Po pierwsze, \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\) to stała liczba, a nie funkcja zmiennej \(x\) — kto potraktuje ją jako coś zależnego od \(x\), utknie. Po drugie, nierówność jest nieostra, więc oba końce przedziału należą do zbioru, a zarówno \(x=0\) (dla \(k=0\)), jak i \(x=10\pi\) (dla \(k=30\)) są rozwiązaniami równania. Rozwiązań jest więc \(31\), a nie \(30\) — pominięcie któregoś z końców zmieniłoby wynik. **Odpowiedź.** Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**1. (1 pkt)** – Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym \(a_{1}=0\land r=\frac{\pi}{3}\) **2. (1 pkt)** – Ustalenie liczby rozwiązań należących do zbioru \(\langle 0;10\pi\rangle\): \(n=31\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie sumy rozwiązań równania należących do zbioru \(\langle 0,10\pi\rangle\): \(S_{31}=155\pi\) (lub sumy \(30\) początkowych wyrazów ciągu, gdy zdający przyjmie, że \(a_{1}=\frac{\pi}{3}\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Na widowni jest \(2552\) miejsca.

Liczby miejsc w kolejnych rzędach jednego sektora tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1=8\) i różnicy \(r=2\). Rzędów jest \(22\), więc ostatni z nich liczy \[a_{22}=8+21\cdot2=50\] miejsc. Liczbę miejsc w jednym sektorze obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\): \[S_{22}=\frac{(8+50)\cdot22}{2}=58\cdot11=638.\] Sektory są cztery i każdy ma taki sam układ miejsc, więc na całej widowni jest \[4\cdot638=2552\] miejsc. **Odpowiedź.** Na widowni jest \(2552\) miejsca.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie, że liczba miejsc w kolejnych rzędach sektora to wyrazy ciągu arytmetycznego, np. \((a_{n})\), gdzie \(a_{1}=8\), \(r=2\). **(1 pkt)** – obliczenie \(a_{22}=50\). **(1 pkt)** – obliczenie \(S_{22}=638\). **(1 pkt)** – obliczenie liczby wszystkich miejsc na widowni: \(2552\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pierwsza rata: \(a_{1}=1000\ \text{zł}\); ostatnia rata: \(a_{12}=450\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o stałą kwotę \(50\) zł, więc raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-50\). Jest ich \(12\), a ich suma to cała pożyczka, czyli \(8700\) zł. Wystarczy więc zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i wyznaczyć \(a_1\). **Krok \(2\).** Wzór na sumę: \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\). Dla \(n=12\): \[S_{12}=\frac{2a_1+11r}{2}\cdot12=6\left(2a_1+11r\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(r=-50\) i \(S_{12}=8700\): \[6\left(2a_1-550\right)=8700.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(6\): \[2a_1-550=1450.\] **Krok \(5\).** Stąd \(2a_1=2000\), czyli \[a_1=1000.\] **Krok \(6\).** Ostatnia rata to dwunasty wyraz ciągu: \[a_{12}=a_1+11r=1000-550=450.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: suma ciągu arytmetycznego to średnia wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożona przez ich liczbę: \[\frac{1000+450}{2}\cdot12=725\cdot12=8700.\] Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Różnica ciągu jest ujemna, bo raty maleją. Wstawienie \(r=50\) daje bezsensowny wynik (raty rosnące), więc znak trzeba ustalić już na starcie. **Odpowiedź.** Pierwsza rata wynosi \(1000\) zł, a ostatnia \(450\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] daną sytuację: \(S_{12}=8700\). **2.2. (1 pkt)** – zapisanie równania z wykorzystaniem wzoru na sumę \(12\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \((2x-550)\cdot 6=8700\). **2.3. (2 pkt)** – rozwiązanie równania i wyznaczenie pierwszej i ostatniej raty (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(a_{1}=1000\), \(a_{12}=450\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę. Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) ustawione rosnąco różnią się o \(6\) (kolejna wielokrotność szóstki), więc tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=6\). Do wzoru ogólnego potrzebujemy jeszcze pierwszego wyrazu, a do policzenia liczby wyrazów — ostatniego. **Krok \(2\).** Znajdujemy pierwszy wyraz. Najmniejsza liczba dwucyfrowa to \(10\), ale \(10\) nie dzieli się przez \(6\); pierwszą taką liczbą jest \(12=6\cdot 2\). Zatem \(a_1=12\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Wstawiamy do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n=a_1+(n-1)r=12+(n-1)\cdot 6=12+6n-6=6n+6.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy ostatni wyraz. Największa liczba dwucyfrowa to \(99\); szukamy największej wielokrotności \(6\), która jej nie przekracza: \(96=6\cdot 16\) (kolejna, \(102\), jest już trzycyfrowa). Zatem ostatnim wyrazem jest \(96\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, którym z kolei wyrazem jest \(96\): \[6n+6=96,\qquad 6n=90,\qquad n=15.\] Ciąg ma więc \(15\) wyrazów. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Skoro ciąg ma \(15\) wyrazów, to suma piętnastu początkowych wyrazów jest sumą wszystkich. Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy \(a_1=12\) i \(a_{15}=96\): \[S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=\frac{108}{2}\cdot 15=54\cdot 15=810.\] **Uwaga.** Uważaj przy szukaniu skrajnych wyrazów: pierwsza dwucyfrowa wielokrotność \(6\) to \(12\), a nie \(10\) czy \(6\); ostatnia to \(96\), a nie \(99\). Zauważ też, że nie trzeba dzielić \(96\) przez \(6\) i „coś dodawać” — bezpieczniej wstawić \(96\) do wzoru \(a_n=6n+6\) i rozwiązać równanie. **Odpowiedź.** a) \(a_n=12+(n-1)\cdot6=6n+6\). b) Ciąg ma \(15\) wyrazów. c) \(S_{15}=810\).

**[…] ([…] pkt)** – […] \(a_n=12+(n-1)\cdot 6=6n+6\). **38. (1 pkt)** – wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez \(6\): \(96\). **39. (1 pkt)** – rozwiązanie równania liniowego: \(6n+6=96\Rightarrow n=15\). **40. (1 pkt)** – obliczenie sumy: \(S_{15}=\frac{12+96}{2}\cdot 15=810\). Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie. Znamy sumę \(n\) początkowych wyrazów, a szukamy wzoru na pojedynczy wyraz. Służy do tego zależność: suma \(n\) wyrazów minus suma \(n-1\) wyrazów zostawia dokładnie \(n\)-ty wyraz, czyli \[a_n=S_n-S_{n-1}\qquad\text{dla }n\geqslant 2,\] a pierwszy wyraz liczymy osobno jako \(a_1=S_1\). **Krok \(2\).** Liczymy pierwszy wyraz: \[a_1=S_1=1^2+3\cdot 1=4.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy \(S_{n-1}\), wstawiając \(n-1\) w miejsce \(n\): \[S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)=n^2-2n+1+3n-3=n^2+n-2.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[a_n=S_n-S_{n-1}=\left(n^2+3n\right)-\left(n^2+n-2\right)=n^2+3n-n^2-n+2=2n+2.\] Wzór ten wyprowadziliśmy dla \(n\geqslant 2\). **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy działa też dla \(n=1\): \(2\cdot 1+2=4=a_1\) — zgadza się, więc wzór \[a_n=2n+2\] obowiązuje dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}^{+}\). **Krok \(6\).** Przechodzimy do dowodu. Ciąg jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica dwóch dowolnych kolejnych wyrazów jest stała (nie zależy od \(n\)). Zapisujemy więc \(a_{n+1}-a_n\). **Krok \(7\).** Liczymy \(a_{n+1}\), wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=2(n+1)+2=2n+4.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy: \[a_{n+1}-a_n=(2n+4)-(2n+2)=2.\] Otrzymana różnica jest liczbą stałą, niezależną od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=2\), co należało wykazać. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to zastosowanie wzoru \(a_n=S_n-S_{n-1}\) już dla \(n=1\) — wtedy pojawia się \(S_0\), które nie jest zdefiniowane. Dlatego wzór wyprowadzamy dla \(n\geqslant 2\), a przypadek \(a_1\) sprawdzamy osobno. W dowodzie arytmetyczności nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów — trzeba policzyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dla dowolnego \(n\) i pokazać, że nie zależy ona od \(n\). **Odpowiedź.** \(a_n=2n+2\); różnica \(a_{n+1}-a_n=2\) jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny (dowód w rozwiązaniu).

**13. (1 pkt)** – obliczenie \(n\)-tego wyrazu ciągu: \(a_{n}=2n+2\). **14. (1 pkt)** – zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu: \(r=a_{n+1}-a_{n}\). **15. (1 pkt)** – obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\); jedynym rozwiązaniem jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**Krok \(1\).** Po lewej stronie równania \(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2\) stoi suma nieskończenie wielu wyrazów, z których każdy powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \(x\). To jest szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1=1\) i ilorazie \(q=x\). Dla takich zadań schemat jest zawsze ten sam: najpierw dziedzina z warunku zbieżności, potem wzór na sumę. **Krok \(2\).** Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\). Tutaj \(q=x\), więc musi być \(|x|\lt 1\), czyli \[x\in(-1,1).\] To jest dziedzina naszego równania. **Krok \(3\).** Postępujemy tak jak w przykładzie z treści zadania. Z sumy wyłączamy pierwszy wyraz, a z reszty wyłączamy przed nawias \(x\): \[1+x+x^2+x^3+\ldots=1+x\left(1+x+x^2+\ldots\right)=2.\] **Krok \(4\).** Zauważmy, że w nawiasie stoi dokładnie ta sama suma, która z założenia jest równa \(2\). Możemy więc w miejsce nawiasu wstawić liczbę \(2\): \[1+x\cdot 2=2.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to proste równanie liniowe: \[2x=1,\qquad x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny: \(\frac12\in(-1,1)\), więc jest to rozwiązanie. Kontrolnie można też skorzystać ze wzoru na sumę \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-x}\): równanie \(\dfrac{1}{1-x}=2\) daje \(1-x=\dfrac12\), czyli \(x=\dfrac12\). **Uwaga.** Dziedziny nie wolno tu pominąć. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego obowiązuje wyłącznie dla \(|q|\lt 1\); gdyby otrzymana liczba wypadła poza przedziałem \((-1,1)\), trzeba by ją odrzucić, bo wtedy lewa strona w ogóle nie ma sumy. **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((-1,1)\), a jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \((-1,1)\). Dopuszczamy zapis \(\lvert x\rvert<1\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+x(1+x+x^{2}+\ldots)=2\) **3. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+2x=2\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązania równania. Odp. \(x=0{,}5\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.