Strona główna › Ciągi › Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym do każdego wyrazu dodajemy tę samą liczbę, żeby dostać następny. Ta liczba nazywa się różnicą i oznacza literą rr. Wzór ma dokładnie tę samą budowę co w ciągu geometrycznym — z jedną zamianą: zamiast mnożyć, dodajemy. I tak samo jak tam, cała pułapka siedzi w tym, że kroków jest n−1n-1, a nie nn.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 10

Krótko: N-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r to aₙ = a₁ + (n − 1) · r; dla a₁ = 3 i r = 4 mamy a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39.

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Różnica — liczba, którą dodajemy

Różnica rr to liczba, którą dodajemy do wyrazu, żeby dostać następny. Nazwa bierze się stąd, że wyznacza się ją odejmowaniem: wystarczy odjąć od dowolnego wyrazu poprzedni.

r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n

W ciągu 4,11,18,25,…4, 11, 18, 25, \ldots różnica wynosi 77, bo 11−4=711 - 4 = 7, 18−11=718 - 11 = 7 i tak dalej. Ten sam wynik z każdej pary sąsiednich wyrazów — to definicja ciągu arytmetycznego.

Różnica czy iloraz — jak nie pomylić dwóch rodzajów ciągu

Arytmetyczny: odejmujesz. Stała jest różnica, więc sprawdzasz an+1−ana_{n+1} - a_n.

Geometryczny: dzielisz. Stały jest iloraz, więc sprawdzasz an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}.

Nazwa podpowiada działanie: różnica od odejmowania, iloraz od dzielenia. To najprostszy sposób, żeby ich nie zamienić.

Znak różnicy decyduje o kierunku ciągu — i tu, w przeciwieństwie do ciągu geometrycznego, sprawa jest prosta:

różnicaciągprzykład
r>0r > 0rosnący4,11,18,254, 11, 18, 25
r=0r = 0stały9,9,9,99, 9, 9, 9
r<0r < 0malejący20,13,6,−120, 13, 6, -1

Zero jest tu dozwolone — ciąg stały jest arytmetyczny o różnicy 00. W ciągu geometrycznym iloraz zerem być nie może, więc ta drobna różnica między definicjami bywa punktem zadania.

Znak różnicy ciągu arytmetycznego: r > 0 ciąg rosnący 4, 11, 18, 25; r = 0 stały 9, 9, 9, 9; r < 0 malejący 20, 13, 6, −1
Znak różnicy r decyduje, czy ciąg arytmetyczny rośnie, maleje, czy jest stały.

2Wzór i skąd bierze się mnożnik n−1

Wzór wygląda tak:

an=a1+(n−1) ra_n = a_1 + (n-1)\,r

Mnożnik n−1n-1 nie jest umową ani pomyłką — wynika z liczenia kroków, dokładnie tak samo jak wykładnik w ciągu geometrycznym.

Ile razy dodajemy, żeby dojść do n-tego wyrazu

Pierwszy wyraz już mamy — nie dodajemy ani razu.

Do drugiego dodajemy raz: a2=a1+ra_2 = a_1 + r.

Do trzeciego — dwa razy: a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r.

Do czwartego — trzy razy: a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r.

Żeby dojść do wyrazu numer nn, wykonujemy n−1n-1 dodawań. Stąd mnożnik.

Sprawdzenie na pierwszym wyrazie: a1+(1−1)r=a1+0=a1a_1 + (1-1)r = a_1 + 0 = a_1 ✓ — wzór zgadza się także dla n=1n = 1.

Ta sama logika działa między dowolnymi dwoma wyrazami. Żeby przejść od aka_k do ana_n, wykonujemy n−kn - k kroków:

an=ak+(n−k) ra_n = a_k + (n-k)\,r

To uogólnienie przydaje się w zadaniach maturalnych co najmniej tak często jak wzór podstawowy, bo pierwszego wyrazu często wśród danych nie ma. W zestawie zadań pod tą stroną a1a_1 pojawia się w czterech zadaniach na dziesięć; w pozostałych sześciu trzeba wyjść od wyrazu o innym numerze, od podanej różnicy albo — jak w ostatnim zadaniu — od równania wiążącego kilka wyrazów, w którym żadnej konkretnej liczby wśród danych nie ma.

Wzór na sumę początkowych wyrazów to osobny temat i opisuję go gdzie indziej; tutaj chodzi wyłącznie o pojedynczy wyraz.

Ten wzór to jeden z czterech, które w ciągach trzeba mieć w palcach — zestawienie wzorów z ciągów tłumaczy, który do czego służy.

Ciąg arytmetyczny 4, 11, 18, 25, 32 z różnicą 7: do piątego wyrazu prowadzą 4 kroki, a5 = 4 + 4 · 7 = 32; wzór an = a1 + (n − 1) · r
Skąd n − 1 we wzorze na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ciągi” (liceum, klasa 3), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ciągi — cały dział, liceum, klasa 3 (8 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ciągi”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł31,20 zł−16,30 złLiceum, klasa 3, na cały rok24 arkuszy, 1,66 zł za arkusz39,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Dwa wyrazy — jak wyznaczyć różnicę

To najczęstszy układ danych na maturze i warto mieć na niego gotowy schemat.

Jeśli znamy aka_k i ana_n, to między nimi jest n−kn - k kroków, więc:

r=an−akn−kr = \frac{a_n - a_k}{n - k}

Różnica wyrazów podzielona przez różnicę numerów. Nic więcej.

Dlaczego tu nie ma pułapki ze znakiem

W ciągu geometrycznym analogiczny rachunek prowadzi do pierwiastka, a ten przy parzystym wykładniku daje dwa rozwiązania.

Tutaj jest tylko dzielenie, więc wynik jest zawsze jeden — niezależnie od tego, ile kroków dzieli dane wyrazy.

To praktyczna różnica między dwoma rodzajami ciągów: w arytmetycznym dwa wyrazy zawsze wyznaczają ciąg jednoznacznie, w geometrycznym — nie zawsze.

Ujemna różnica wychodzi automatycznie, gdy późniejszy wyraz jest mniejszy od wcześniejszego — nie trzeba niczego dopisywać ręcznie.

Warto też znać zależność, która bywa szybszą drogą do celu: wyraz środkowy trzech kolejnych jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

an=an−1+an+12a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Działa to również dla wyrazów oddalonych symetrycznie: a7a_7 jest średnią a4a_4 i a10a_{10}, bo oba leżą o trzy kroki od niego. Ta własność bywa najszybszą drogą w zadaniach, w których trzy kolejne wyrazy zawierają niewiadomą — zamiast układać dwa równania, wystarczy jedno.

4Gdzie ciągi arytmetyczne występują naprawdę

Ciąg arytmetyczny opisuje wszystko, co zmienia się o stałą wartość — a nie o stały procent.

Różnica wobec ciągu geometrycznego jest łatwa do przeoczenia, a zmienia wszystko: tu dokładamy zawsze tyle samo, tam mnożymy przez tyle samo. Oszczędzanie „po 200200 zł miesięcznie” to ciąg arytmetyczny; lokata „na 5 %5\,\% rocznie” — geometryczny.

Konsekwencja pojawia się przy dłuższym horyzoncie: ciąg arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny — o ilorazie większym od jedynki — wykładniczo. Wtedy na krótką metę arytmetyczny bywa większy, ale na dłuższą przegrywa. Zastrzeżenie o ilorazie jest istotne: przy q=12q = \frac{1}{2} wyrazy ciągu geometrycznego dążą do zera, a przy q=1q = 1 stoją w miejscu — w obu przypadkach to arytmetyczny wychodzi na prowadzenie i już go nie oddaje. Piszę o tym przy ciągu geometrycznym.

Cały ten akapit dotyczy sytuacji, o której tu mowa — oszczędzania, czyli ciągów o wyrazach dodatnich i rosnących (a1>0a_1 > 0, r>0r > 0, q>1q > 1). Poza nią porównanie się psuje, i to w obie strony. Ciąg geometryczny −1,−2,−4,−8,…-1, -2, -4, -8, \ldots ma iloraz 22, a mimo to maleje — wykładniczo rośnie tylko wartość bezwzględna jego wyrazów. Jest mniejszy od ciągu arytmetycznego 1,2,3,4,…1, 2, 3, 4, \ldots dla każdego nn, bo jego wyrazy uciekają w minus. Podobnie ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy nie „wychodzi na prowadzenie” nawet przy q=1q = 1: dla 5,4,3,…5, 4, 3, \ldots dziesiąty wyraz to −4-4, a stały ciąg geometryczny wciąż stoi na 55. Przy porównywaniu tempa wzrostu zawsze sprawdzaj najpierw znaki — samo q>1q > 1 niczego nie przesądza.

Stąd też bierze się wykres: wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na jednej prostej. Różnica rr pełni rolę współczynnika kierunkowego, dokładnie jak w funkcji liniowej — to ten sam obiekt, tylko oglądany w punktach o całkowitych numerach.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, różnica z dwóch odległych wyrazów i ciąg malejący.

Przykład 1 Wyraz z pierwszego wyrazu i różnicy

W ciągu arytmetycznym a1=4a_1 = 4 oraz r=7r = 7. Oblicz a12a_{12}.

  1. Podstawiam do wzoru: a12=a1+(12−1) r=4+11⋅7a_{12} = a_1 + (12-1)\,r = 4 + 11 \cdot 7.
  2. Mnożę: 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77.
  3. Dodaję: a12=4+77=81a_{12} = 4 + 77 = 81.
  4. Kontrola liczby kroków: od pierwszego do dwunastego wyrazu jest jedenaście dodawań, nie dwanaście ✓
  5. Kontrola częściowa: a1=4a_1 = 4, a2=11a_2 = 11, a3=18a_3 = 18, a4=25a_4 = 25 — różnica stale 77 ✓
  6. Kontrola rzędu wielkości: wyraz rośnie o 77 na krok, więc po jedenastu krokach musi urosnąć o około 7777 — i urósł dokładnie o tyle ✓

Odpowiedź: a12=81a_{12} = 81

Kontrola z kroku czwartego wygląda na oczywistą, a jest najważniejsza w całym temacie: podstawienie 1212 zamiast 1111 daje 8888 i wynik różni się o całą jedną różnicę. Warto wypowiedzieć na głos „jedenaście kroków”, zanim się pomnoży.

Przykład 2 Różnica z dwóch odległych wyrazów

W ciągu arytmetycznym a5=−31a_5 = -31 oraz a13=9a_{13} = 9. Oblicz różnicę i pierwszy wyraz.

  1. Między piątym a trzynastym wyrazem jest 13−5=813 - 5 = 8 kroków.
  2. Różnica wyrazów: 9−(−31)=9+31=409 - (-31) = 9 + 31 = 40.
  3. Stąd r=408=5r = \frac{40}{8} = 5.
  4. Pierwszy wyraz — cofam się o cztery kroki od a5a_5: a1=a5−4r=−31−4⋅5=−31−20=−51a_1 = a_5 - 4r = -31 - 4 \cdot 5 = -31 - 20 = -51.
  5. Kontrola w przód: a5=a1+4r=−51+20=−31a_5 = a_1 + 4r = -51 + 20 = -31 ✓
  6. Kontrola drugiego wyrazu: a13=a1+12r=−51+60=9a_{13} = a_1 + 12r = -51 + 60 = 9 ✓ — zgadza się z treścią.
  7. Kontrola sensu: różnica jest dodatnia, a ciąg rośnie od −31-31 do 99 — kierunek się zgadza ✓

Odpowiedź: r=5r = 5, a1=−51a_1 = -51

Krok drugi jest miejscem, w którym gubi się najwięcej punktów: odejmowanie liczby ujemnej. 9−(−31)9 - (-31) to 4040, a nie −22-22. Warto zapisać nawias, zanim się policzy — podwójny minus staje się wtedy widoczny.

Przykład 3 Ciąg malejący

W ciągu arytmetycznym a2=4a_2 = 4 oraz a6=−12a_6 = -12. Wyznacz rr i sprawdź, który wyraz jest pierwszym ujemnym.

  1. Kroków między wyrazami: 6−2=46 - 2 = 4. Różnica wyrazów: −12−4=−16-12 - 4 = -16.
  2. r=−164=−4r = \frac{-16}{4} = -4 — ciąg maleje.
  3. Pierwszy wyraz: a1=a2−r=4−(−4)=8a_1 = a_2 - r = 4 - (-4) = 8.
  4. Wzór ogólny: an=8+(n−1)(−4)=8−4n+4=12−4na_n = 8 + (n-1)(-4) = 8 - 4n + 4 = 12 - 4n.
  5. Szukam pierwszego ujemnego: 12−4n<012 - 4n < 0, czyli 12<4n12 < 4n, czyli n>3n > 3. Pierwsza liczba naturalna większa od 33 to 44.
  6. Sprawdzam: a3=12−12=0a_3 = 12 - 12 = 0 — jeszcze nie ujemny. a4=12−16=−4a_4 = 12 - 16 = -4 ✓ pierwszy ujemny.
  7. Kontrola wypisaniem: 8,4,0,−4,−8,−128, 4, 0, -4, -8, -12 — czwarty wyraz to −4-4, a szósty −12-12, zgodnie z treścią ✓

Odpowiedź: r=−4r = -4; pierwszym ujemnym wyrazem jest a4=−4a_4 = -4.

Zwróć uwagę na a3=0a_3 = 0: zero nie jest liczbą ujemną, więc trzeci wyraz nie spełnia warunku. To najczęstsza pułapka w zadaniach typu „który wyraz jest pierwszym ujemnym” — nierówność musi być ostra.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy, drugi najbardziej kosztowny.

Mnożnik nn zamiast n−1n-1

Skąd się bierze: Zapis an=a1+n⋅r\textcolor{#9b1c14}{a_n = a_1 + n \cdot r} daje wynik większy dokładnie o jedną różnicę. Dla a1=4a_1 = 4, r=7r = 7 i n=12n = 12 wychodzi 8888 zamiast 8181. Przyczyna: pierwszego wyrazu nie zwiększamy ani razu, więc dodawań jest o jedno mniej niż numer wyrazu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wzór na n=1n = 1 — powinien dać a1a_1. Przy poprawnym mnożniku (1−1)r=0(1-1)r = 0 ✓, przy błędnym wyszłoby a1+ra_1 + r, czyli drugi wyraz.

Zgubienie podwójnego minusa przy odejmowaniu wyrazów

Skąd się bierze: Przy a5=−31a_5 = -31 i a13=9a_{13} = 9 różnica wyrazów to 9−(−31)=409 - (-31) = 40. Uczeń liczący 9−31=−229 - 31 = -22 dostaje r=−2,75r = -2{,}75 i cały dalszy rachunek jest fałszywy — w dodatku wynik wygląda wiarygodnie, bo jest liczbą.

Jak zrobić dobrze: Zapisz podstawienie w nawiasach: 9−(−31)9 - (-31). Nawias sprawia, że podwójny minus widać, zamiast liczyć go w pamięci.

Mylenie różnicy z ilorazem

Skąd się bierze: W ciągu 4,11,184, 11, 18 uczeń dzieli 114\frac{11}{4}, przenosząc nawyk z ciągu geometrycznego. W arytmetycznym stała jest różnica, więc wyznacza się ją odejmowaniem: 11−4=711 - 4 = 7.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez nazwę: różnica → odejmowanie, iloraz → dzielenie. Jeśli nie wiesz, z którym ciągiem masz do czynienia, sprawdź oba — poza ciągiem stałym stała będzie tylko jedna z tych wielkości. W ciągu 9,9,9,99, 9, 9, 9 z tabeli wyżej stałe są obie, bo należy on do obu rodzajów naraz.

Uznanie zera za wyraz ujemny

Skąd się bierze: W zadaniu „który wyraz jest pierwszym ujemnym” uczeń wskazuje wyraz równy 00. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, więc warunek an<0a_n < 0 spełnia dopiero następny wyraz.

Jak zrobić dobrze: Rozwiązuj nierówność ostrą i sprawdź wynik na konkretnych wyrazach. Jeśli wychodzi n>3n > 3, odpowiedzią jest n=4n = 4, a nie n=3n = 3.

Zadania maturalne — wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cały temat opiera się na jednym wzorze: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r. Warto go czytać nie jako formułę, a jako zdanie: żeby dojść od pierwszego wyrazu do nn-tego, dodajemy różnicę (n−1)(n-1) razy — o jeden raz mniej, niż wynosi numer wyrazu. Stąd wynika wszystko inne: między wyrazami aka_k i ama_m jest ∣m−k∣|m-k| kroków, więc am=ak+(m−k)ra_m = a_k + (m-k)r; cofanie się w ciągu to odejmowanie różnicy; a gdy szukamy numeru wyrazu, ten sam wzór staje się równaniem z niewiadomą nn.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

W ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1, dane są wyrazy: a1=7a_1 = 7 oraz a2=13a_2 = 13. Wyraz a10a_{10} jest równy
  • A. (−47)(-47)
  • B. 5252
  • C. 6161
  • D. 6767
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Różnica to po prostu odstęp między dwoma kolejnymi wyrazami:
  2. r=a2−a1=13−7=6r = a_2 - a_1 = \textcolor{#16A06A}{13} - \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{6}
  3. Dziesiąty wyraz. Od pierwszego do dziesiątego jest dziewięć kroków, nie dziesięć:
  4. a10=7+9⋅6=7+54=61a_{10} = \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#E0453A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#E0453A}{54} = 61
  5. Odpowiedź: C.
  6. Kontrola przez wypisanie: 7,13,19,25,31,37,43,49,55,617, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61 — dziesiąta liczba to 6161 ✓

💡 Wskazówka: Liczba kroków to numer wyrazu minus jeden. Najprościej sprawdzić to na małym przykładzie: do a2a_2 jest jeden krok, do a3a_3 dwa. Jeśli mylisz się w tym miejscu, wypisz kilka pierwszych wyrazów — przy dziesiątym wyrazie to nadal szybsze niż poprawianie błędu.

⚠ Dodanie różnicy dziesięć razy: 7+10⋅6=677 + 10 \cdot 6 = 67 — dokładnie odpowiedź D. To najczęstsza pomyłka w całym dziale ciągów. Odpowiedź 5252 to 7+9⋅57 + 9 \cdot 5 — poprawna liczba kroków, ale błędnie wyznaczona różnica (55 zamiast 66). Odpowiedź −47-47 to znak rr wzięty odwrotnie: 7−9⋅6=−477 - 9 \cdot 6 = -47.

Zadanie 2 (grudzień 2023)1 pktłatwe

Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. W tym ciągu a2=4a_2 = 4 oraz a3=9a_3 = 9. Szósty wyraz ciągu (an)(a_n) jest równy
  • A. 2424
  • B. 2929
  • C. 3636
  • D. 6969
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. r=a3−a2=9−4=5r = a_3 - a_2 = \textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{5}
  2. Do szóstego wyrazu nie musimy wracać do pierwszego. Od a3a_3 do a6a_6 są trzy kroki:
  3. a6=9+3⋅5=9+15=24a_6 = \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#E0453A}{15} = 24
  4. Odpowiedź: A.
  5. Kontrola przez wypisanie od a2a_2: 4,9,14,19,244, 9, 14, 19, 24 — to wyrazy a2a_2 do a6a_6, czyli szósty wynosi 2424 ✓

💡 Wskazówka: Nie ma potrzeby liczyć a1a_1, jeśli pytanie dotyczy wyrazu dalszego niż dane. Liczba kroków to różnica numerów: od a3a_3 do a6a_6 jest 6−3=36 - 3 = 3 kroki. Ta wersja wzoru — am=ak+(m−k)ra_m = a_k + (m-k)r — oszczędza jeden krok rachunku i jedną okazję do pomyłki.

⚠ Policzenie a1=−1a_1 = -1, a potem a6=−1+5⋅5=24a_6 = -1 + 5 \cdot 5 = 24 — droga dłuższa, ale poprawna. Prawdziwe pomyłki to: dodanie różnicy cztery razy od a3a_3 (bo „od trzeciego do szóstego to cztery liczby”) i wynik 2929, czyli odpowiedź B, oraz pomnożenie 9⋅4=369 \cdot 4 = 36 zamiast dodawania, czyli odpowiedź C. Ciąg arytmetyczny dodaje różnicę, nie mnoży — mnożenie to ciąg geometryczny.

Zadanie 3 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Różnica tego ciągu jest równa (−4)(-4) oraz a10=−24a_{10} = -24. Szósty wyraz ciągu (an)(a_n) jest równy
  • A. (−12)(-12)
  • B. (−8)(-8)
  • C. (−4)(-4)
  • D. 00
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Szukany wyraz jest wcześniejszy niż dany, więc cofamy się w ciągu — a cofanie się oznacza odejmowanie różnicy.
  2. Od a10a_{10} do a6a_6 są cztery kroki w tył:
  3. a6=a10−4r=−24−4⋅(−4)a_6 = a_{10} - \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#16A06A}{-24} - \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-4)}
  4. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  5. a6=−24+16=−8a_6 = \textcolor{#16A06A}{-24} + \textcolor{#E0453A}{16} = -8
  6. Odpowiedź: B.
  7. Kontrola: ciąg maleje o 44, więc idąc od a6=−8a_6 = -8 w przód dostajemy −8,−12,−16,−20,−24-8, -12, -16, -20, -24 — to wyrazy a6a_6 do a10a_{10}, a ostatni zgadza się z treścią ✓
  8. Warto zauważyć, że wcześniejsze wyrazy ciągu malejącego są większe — i faktycznie −8>−24-8 > -24.

💡 Wskazówka: Przy cofaniu się w ciągu malejącym wynik musi być większy od danego wyrazu. To najprostsza kontrola sensowności: a6a_6 musi być większe od a10=−24a_{10} = -24, więc odpowiedzi mniejsze od −24-24 można odrzucić bez rachunku. Tutaj wszystkie cztery są większe, ale w wielu zadaniach ta obserwacja od razu połowę skreśla.

⚠ Dodanie różnicy zamiast odjęcia: −24+4⋅(−4)=−40-24 + 4 \cdot (-4) = -40 — liczby spoza odpowiedzi, więc błąd się ujawnia. Groźniejsze jest pomylenie liczby kroków: od a10a_{10} do a6a_6 są cztery kroki, nie sześć. Przy sześciu wyszłoby −24+24=0-24 + 24 = 0, czyli odpowiedź D.

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

Ciąg (an)(a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 22 oraz a8=48a_8 = 48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
  • A. 22
  • B. 2424
  • C. 33
  • D. 4040
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Znowu cofamy się, tym razem w ciągu rosnącym. Od a8a_8 do a4a_4 są cztery kroki w tył:
  2. a4=a8−4r=48−4⋅2=48−8=40a_4 = a_8 - \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{48} - \textcolor{#E0453A}{8} = 40
  3. Odpowiedź: D.
  4. Kontrola: 40,42,44,46,4840, 42, 44, 46, 48 — to wyrazy a4a_4 do a8a_8 ✓

💡 Wskazówka: Ciąg rośnie (r=2>0r = 2 > 0), więc wyraz czwarty musi być mniejszy od ósmego, czyli mniejszy od 4848 — ale niewiele, bo różnica jest mała, a kroków tylko cztery. Odpowiedzi 22 i 33 są od 4848 oddalone tak bardzo, że można je odrzucić na samo spojrzenie.

⚠ Podzielenie zamiast odejmowania: 48:2=2448 : 2 = 24, czyli odpowiedź B. Ciąg arytmetyczny buduje się dodawaniem różnicy, więc cofanie się to odejmowanie, nigdy dzielenie — dzielenie należy do ciągu geometrycznego. Odpowiedzi 22 i 33 to podane w treści liczby (r=2r = 2) i numer wyrazu, wstawione jako odpowiedzi bez żadnego rachunku.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1, a5=−31a_5 = -31 oraz a10=−66a_{10} = -66. Różnica tego ciągu jest równa
  • A. (−7)(-7)
  • B. (−19,4)(-19{,}4)
  • C. 77
  • D. 19,419{,}4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Tym razem szukamy różnicy, a nie wyrazu. Zasada jest ta sama: między a5a_5 i a10a_{10} jest 10−5=510 - 5 = \textcolor{#E0453A}{5} kroków, więc
  2. a10=a5+5ra_{10} = a_5 + \textcolor{#E0453A}{5}r
  3. −66=−31+5r\textcolor{#16A06A}{-66} = \textcolor{#16A06A}{-31} + \textcolor{#E0453A}{5}r
  4. 5r=−66−(−31)=−35\textcolor{#E0453A}{5}r = \textcolor{#16A06A}{-66} - (\textcolor{#16A06A}{-31}) = \textcolor{#E0453A}{-35}
  5. r=−7r = \textcolor{#E0453A}{-7}
  6. Odpowiedź: A.
  7. Kontrola: od a5=−31a_5 = -31 odejmujemy siedem pięć razy: −31,−38,−45,−52,−59,−66-31, -38, -45, -52, -59, -66 — piąty krok daje dokładnie a10=−66a_{10} = -66 ✓

💡 Wskazówka: Liczba kroków to różnica numerów, czyli 10−5=510 - 5 = 5 — nie 1010 ani 44. Ciąg maleje (bo −66<−31-66 < -31), więc różnica musi być ujemna; to od razu skreśla odpowiedzi C i D, jeszcze przed rachunkiem.

⚠ Podzielenie różnicy wyrazów przez 1010 zamiast przez 55: −3510=−3,5\tfrac{-35}{10} = -3{,}5 — liczby spoza odpowiedzi. Za to odpowiedzi ±19,4\pm 19{,}4 pochodzą z dzielenia sumy przez liczbę kroków: −66+(−31)5=−19,4\tfrac{-66 + (-31)}{5} = -19{,}4. Trzeba odjąć wyrazy, a nie dodać — różnica ciągu mierzy odstęp, nie łączną wartość.

Zadanie 6 (sierpień 2020)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1, są dane dwa wyrazy: a1=2a_1 = 2 i a2=5a_2 = 5. Stąd wynika, że nn-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem
  • A. an=3n−1a_n = 3n - 1
  • B. an=3n+2a_n = 3n + 2
  • C. an=2n+3a_n = 2n + 3
  • D. an=2n−1a_n = 2n - 1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. r=5−2=3r = \textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}
  2. Podstawiamy do wzoru ogólnego i porządkujemy:
  3. an=2+(n−1)⋅3=2+3n−3=3n−1a_n = \textcolor{#16A06A}{2} + (n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{3}n - \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{3}n \textcolor{#E0453A}{- 1}
  4. Odpowiedź: A.
  5. Kontrola przez podstawienie — i to jest tu najszybsza droga do celu. Sprawdzamy oba dane wyrazy: a1=3⋅1−1=2a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = \textcolor{#E0453A}{2} ✓   oraz   a2=3⋅2−1=5a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = \textcolor{#E0453A}{5} ✓
  6. Dla porównania odpowiedź B daje a1=5a_1 = 5, a C daje a1=5a_1 = 5 — obie zawodzą już na pierwszym wyrazie.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedziami są gotowe wzory, nie wyprowadzaj wzoru — sprawdzaj podane. Podstaw n=1n = 1 do każdego z czterech: musi wyjść 22. To eliminuje trzy odpowiedzi w kilka sekund, bez przekształcania nawiasów. Współczynnik przy nn musi zresztą równać się różnicy, czyli 33 — co samo skreśla C i D.

⚠ Zapisanie wzoru jako an=2+3na_n = 2 + 3n (czyli 3n+23n + 2, odpowiedź B) — zgubione odjęcie różnicy. We wzorze a1+(n−1)ra_1 + (n-1)r nawias trzeba rozwinąć w całości: 3(n−1)=3n−33(n-1) = 3n - 3, a nie 3n3n. Drugi błąd: wzięcie za współczynnik przy nn pierwszego wyrazu, czyli dwójki, co daje odpowiedzi C albo D. Przy nn zawsze stoi różnica.

Zadanie 7 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Dany jest ciąg arytmetyczny (an)(a_n), określony dla n⩾1n \geqslant 1, o którym wiemy, że: a1=2a_1 = 2 i a2=9a_2 = 9. Wtedy an=79a_n = 79 dla
  • A. n=10n = 10
  • B. n=11n = 11
  • C. n=12n = 12
  • D. n=13n = 13
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Tu wzór działa w odwrotną stronę: znamy wartość wyrazu, a szukamy jego numeru. Wzór staje się równaniem z niewiadomą nn.
  2. r=9−2=7r = \textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{7}
  3. an=2+(n−1)⋅7=79a_n = \textcolor{#16A06A}{2} + (n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{79}
  4. (n−1)⋅7=77⟹n−1=11⟹n=12(n-1) \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#E0453A}{77} \qquad \Longrightarrow \qquad n - 1 = \textcolor{#E0453A}{11} \qquad \Longrightarrow \qquad n = 12
  5. Odpowiedź: C.
  6. Kontrola: a12=2+11⋅7=2+77=79a_{12} = 2 + 11 \cdot 7 = 2 + 77 = 79 ✓ Dla porównania a11=2+70=72a_{11} = 2 + 70 = 72, a a13=2+84=86a_{13} = 2 + 84 = 86 — żadna z tych liczb nie jest równa 7979.

💡 Wskazówka: Ostatni krok jest tym, na którym najłatwiej się potknąć: z równania wychodzi n−1=11n - 1 = 11, a więc n=12n = 12. Wynik równania to numer minus jeden, a nie numer. Warto od razu podstawić otrzymane nn z powrotem do wzoru — jedno mnożenie i wiadomo, czy dobrze.

⚠ Zatrzymanie się na n−1=11n - 1 = 11 i podanie odpowiedzi 1111 — dokładnie odpowiedź B, ustawiona na tę pomyłkę. Drugi błąd: podzielenie 7979 przez 77 i zaokrąglenie do 1111; nie wolno pominąć pierwszego wyrazu, bo ciąg zaczyna się od 22, a nie od zera. Odpowiedź 1313 powstaje z dodania jedynki po niewłaściwej stronie.

Zadanie 8 (maj 2016)1 pkttrudniejsze

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 88, a różnica tego ciągu jest równa (−32)\left(-\dfrac{3}{2}\right). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
  • A. 372\dfrac{37}{2}
  • B. −372-\dfrac{37}{2}
  • C. −52-\dfrac{5}{2}
  • D. 52\dfrac{5}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Cofamy się od czternastego do siódmego wyrazu, czyli o 14−7=714 - 7 = \textcolor{#E0453A}{7} kroków w tył:
  2. a7=a14−7r=8−7⋅(−32)a_7 = a_{14} - \textcolor{#E0453A}{7}r = \textcolor{#16A06A}{8} - \textcolor{#E0453A}{7} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\tfrac32}\right)
  3. Iloczyn 7⋅(−32)7 \cdot \left(-\tfrac32\right) to −212-\tfrac{21}{2}, a odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie:
  4. a7=8+212=162+212=372a_7 = \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{2}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{2}} = \dfrac{37}{2}
  5. Odpowiedź: A.
  6. Kontrola: ciąg maleje o 1,51{,}5, a a7=18,5a_7 = 18{,}5. Idąc w przód siedem razy: 18,5−7⋅1,5=18,5−10,5=818{,}5 - 7 \cdot 1{,}5 = 18{,}5 - 10{,}5 = 8 ✓ — zgadza się z a14a_{14} z treści.

💡 Wskazówka: Ciąg maleje, a szukamy wyrazu wcześniejszego — więc wynik musi być większy od 8. To od razu skreśla trzy odpowiedzi: −372-\tfrac{37}{2}, −52-\tfrac52 i 52\tfrac52 są wszystkie mniejsze od 88. Sama ta obserwacja rozwiązuje zadanie, a rachunek służy tylko do potwierdzenia.

⚠ Odjęcie zamiast dodania, czyli 8−212=−528 - \tfrac{21}{2} = -\tfrac52 — dokładnie odpowiedź C. Przy cofaniu się w ciągu odejmujemy różnicę, a ona jest tu ujemna, więc w efekcie dodajemy. Warto rozpisać to jako dwa osobne minusy: −7⋅(−32)=+212-7 \cdot \left(-\tfrac32\right) = +\tfrac{21}{2}. Drugi błąd: pomylenie liczby kroków (siedem, nie czternaście) — przy czternastu wyszłoby 8+21=298 + 21 = 29.

Zadanie 9 (marzec 2021)1 pktśrednie

Ciąg (an)(a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 55, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy (−3)(-3). Wtedy iloraz a4a2\dfrac{a_4}{a_2} jest równy
  • A. 53\dfrac{5}{3}
  • B. 22
  • C. 66
  • D. 2525
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Zadanie prosi o iloraz dwóch wyrazów, więc najpierw policzmy oba osobno. Ciąg jest arytmetyczny, a nie geometryczny — iloraz nie ma tu żadnego szczególnego znaczenia i trzeba go po prostu wyliczyć.
  2. a2=−3+5=2a_2 = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{2}
  3. a4=−3+3⋅5=−3+15=12a_4 = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#E0453A}{12}
  4. a4a2=122=6\dfrac{a_4}{a_2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = 6
  5. Odpowiedź: C.
  6. Kontrola przez wypisanie: −3, 2, 7, 12-3,\ 2,\ 7,\ 12 — to wyrazy a1a_1 do a4a_4, więc a4a2=122=6\tfrac{a_4}{a_2} = \tfrac{12}{2} = 6 ✓ Przy tak krótkim ciągu wypisanie jest zresztą najszybszą drogą.

💡 Wskazówka: Nie szukaj tu żadnego skrótu — w ciągu arytmetycznym iloraz dwóch wyrazów nie wynika z żadnego prostego wzoru, bo stała jest różnica, nie iloraz. Wypisz cztery pierwsze wyrazy i podziel; to cztery dodawania i jedno dzielenie.

⚠ Potraktowanie ciągu jak geometrycznego i przyjęcie, że a4a2=r2=25\tfrac{a_4}{a_2} = r^2 = 25 — dokładnie odpowiedź D. Ta zależność działa w ciągu geometrycznym (gdzie a4a2=q2\tfrac{a_4}{a_2} = q^2), a nie arytmetycznym. Drugi błąd: obliczenie a4a_4 z czterema krokami zamiast trzech, czyli −3+20=17-3 + 20 = 17, co daje iloraz 8,58{,}5 — liczbę spoza odpowiedzi.

Zadanie 10 (czerwiec 2017)1 pkttrudniejsze

W ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla n⩾1n \geqslant 1, spełniony jest warunek 2a3=a2+a1+12a_3 = a_2 + a_1 + 1. Różnica rr tego ciągu jest równa
  • A. 00
  • B. 13\dfrac{1}{3}
  • C. 12\dfrac{1}{2}
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. W warunku występują trzy różne wyrazy, a szukamy tylko rr. Zapisujemy więc wszystkie przez a1a_1 i rr — pierwszy wyraz powinien się skrócić sam.
  2. a2=a1+r,a3=a1+2ra_2 = a_1 + r, \qquad a_3 = a_1 + \textcolor{#E0453A}{2}r
  3. Podstawiamy do warunku 2a3=a2+a1+12a_3 = a_2 + a_1 + \textcolor{#16A06A}{1}:
  4. 2(a1+2r)=(a1+r)+a1+1\textcolor{#16A06A}{2}\left(a_1 + \textcolor{#E0453A}{2}r\right) = \left(a_1 + r\right) + a_1 + \textcolor{#16A06A}{1}
  5. 2a1+4r=2a1+r+1\textcolor{#E0453A}{2}a_1 + \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#E0453A}{2}a_1 + r + \textcolor{#16A06A}{1}
  6. Składniki 2a12a_1 skracają się po obu stronach — i to jest sedno zadania: pierwszy wyraz w ogóle nie ma znaczenia.
  7. 4r−r=1⟹3r=1⟹r=13\textcolor{#E0453A}{4}r - r = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \dfrac{1}{3}
  8. Odpowiedź: B.
  9. Kontrola na konkretnym ciągu. Weźmy a1=0a_1 = 0: wtedy a2=13a_2 = \tfrac13, a3=23a_3 = \tfrac23. Lewa strona: 2⋅23=432 \cdot \tfrac23 = \tfrac43. Prawa: 13+0+1=43\tfrac13 + 0 + 1 = \tfrac43 ✓ Sprawdźmy jeszcze dla a1=10a_1 = 10: lewa 2(10+23)=6432(10 + \tfrac23) = \tfrac{64}{3}, prawa (10+13)+10+1=643(10+\tfrac13) + 10 + 1 = \tfrac{64}{3} ✓ — warunek zachodzi niezależnie od a1a_1, dokładnie jak przewidywał rachunek.

💡 Wskazówka: Gdy w warunku występuje kilka wyrazów, a pytanie dotyczy tylko rr, zapisz wszystko przez a1a_1 i rr i spodziewaj się, że a1a_1 się skróci. Tak jest w większości takich zadań — i jeśli się nie skraca, to znak, że gdzieś jest błąd w rachunku albo że zadanie pyta o coś więcej.

⚠ Zgubienie jedynki z prawej strony i wynik 3r=03r = 0, czyli r=0r = 0 — odpowiedź A. Ta jedynka jest jedyną liczbą w całym warunku, więc bez niej równanie robi się trywialne i to samo powinno wzbudzić czujność. Drugi błąd: zapisanie a3a_3 jako a1+3ra_1 + 3r (trzy kroki zamiast dwóch), co daje 6r−r=16r - r = 1 i wynik 15\tfrac15 — liczbę spoza odpowiedzi.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. A3. B4. D5. A6. A
7. C8. A9. C10. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r, gdzie a1a_1 to pierwszy wyraz, a rr różnica. Mnożnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu, bo do wyrazu numer nn dochodzi się przez n−1n-1 dodawań — pierwszego wyrazu nie zwiększamy ani razu.

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego?

Odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni: r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n. Gdy dane wyrazy nie sąsiadują, podziel różnicę wyrazów przez różnicę numerów: r=an−akn−kr = \frac{a_n - a_k}{n-k}. Wynik jest zawsze jeden — w odróżnieniu od ciągu geometrycznego, gdzie może wyjść dwa.

Czym różni się ciąg arytmetyczny od geometrycznego?

W arytmetycznym dodajemy stałą liczbę, w geometrycznym mnożymy przez stałą liczbę. Nazwy podpowiadają działanie sprawdzające: różnica bierze się z odejmowania, iloraz z dzielenia. Arytmetyczny rośnie liniowo, a geometryczny o ilorazie większym od jedynki — wykładniczo.

Czy różnica może być ujemna albo równa zero?

Tak, oba przypadki są dozwolone. Ujemna różnica daje ciąg malejący, zerowa — ciąg stały. To różnica wobec ciągu geometrycznego, w którym iloraz zerem być nie może.

Jak wyznaczyć wyraz, gdy nie znam pierwszego?

Skorzystaj z wersji ogólnej an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r — pozwala przejść od dowolnego znanego wyrazu do szukanego, bez wracania do a1a_1. Na maturze to częstszy przypadek niż wzór podstawowy.

Czy wyraz środkowy jest średnią sąsiadów?

Tak — dla każdych trzech kolejnych wyrazów zachodzi an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}. Działa to również dla wyrazów oddalonych symetrycznie: a7a_7 jest średnią a4a_4 i a10a_{10}. To często najszybsza droga do rozwiązania.

Czytaj dalej

Ciąg geometrycznyTen sam schemat, ale z mnożeniem zamiast dodawaniaSuma ciągu arytmetycznegoOsobny wzór — tutaj chodzi o pojedynczy wyrazŚrednia arytmetycznaWyraz środkowy jest średnią sąsiadów — stąd nazwa ciąguFunkcja liniowaWyrazy ciągu leżą na prostej, a różnica to współczynnik kierunkowy
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09