Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka — sprawdzian, kartkówki i test (4 liceum)

Pierwszy dział klasy 4: reguła mnożenia, permutacje i wariacje, prawdopodobieństwo klasyczne, doświadczenia wieloetapowe i wartość oczekiwana; do tego średnie ze statystyki. Na tej stronie: 4 sprawdziany, 5 kartkówek, 1 test, 5 kart pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 4 liceum / technikumDział w podręczniku: 1. Rachunek prawdopodobieństwaPliki: 75 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Zliczanie — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Zliczanie

Liczby z dozwolonych cyfr, wielokrotności w przedziale, rozbicie na przypadki
6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · grupy A i B
wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz

Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z kombinatoryki i prawdopodobieństwa

Sprawdzian

Zliczanie

Liczby z dozwolonych cyfr, wielokrotności w przedziale, rozbicie na przypadki

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Prawdopodobieństwo klasyczne

Jedno losowanie z pudełka, losowanie liczby z przedziału, zdarzenie przeciwne

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Doświadczenia wieloetapowe

Dwa rzuty kostką, losowanie ze zwracaniem i bez zwracania, dwa zbiory

4 zadania · 1 zamkn. i 3 otw. · 7 pkt · 35 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Średnia arytmetyczna i ważona

Średnia ważona, średnia grup połączonych, niewiadoma z równania na średnią

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z kombinatoryki i prawdopodobieństwa

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Reguła mnożenia i reguła dodawania

zliczanie liczb o zadanych cyfrach, kody, rozbicie na przypadki

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Permutacje i wariacje

ustawienia bez powtórzeń i z powtórzeniami, warunki na pozycje

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Prawdopodobieństwo klasyczne

rzuty kostką i monetą, losowanie liczb i kul

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Własności prawdopodobieństwa

suma zdarzeń, zdarzenia wykluczające się, doświadczenia dwuetapowe

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Wartość oczekiwana

rozkład zmiennej losowej, gry losowe, opłacalność

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

reguła mnożenia, permutacje, prawdopodobieństwo klasyczne

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z kombinatoryki i prawdopodobieństwa — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich cyfrach nieparzystych?
Rozwiązanie
Każda pozycja: $1,3,5,7,9$ — po $5$ możliwości: $5^{3}=125$ . ( $60=5\cdot4\cdot3$ — cyfry bez powtórzeń, choć mogą się powtarzać.)
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych o sumie cyfr równej $11$ ?
Rozwiązanie
Liczby $29,38,47,56,65,74,83,92$ — jest ich $8$ . (Pierwsza cyfra co najmniej $2$ , bo druga nie przekracza $9$ .)
Na ile sposobów można ustawić $7$ osób w kolejce?
Rozwiązanie
Permutacje: $7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040$ . ( $823\ 543=7^{7}$ — z powtórzeniami; $49=7\cdot7$ ; $28=7+6+\ldots+1$ — dodawanie zamiast mnożenia.)
Na ile sposobów $10$ zawodników może zająć trzy miejsca na podium?
Rozwiązanie
Złoty — $10$ możliwości, srebrny — $9$ , brązowy — $8$ : $10\cdot9\cdot8=720$ . ( $1000=10^{3}$ — dopuszczony jeden zawodnik na kilku miejscach; $\displaystyle 120=\binom{10}{3}$ — bez kolejności medali; $30=10\cdot3$ .)
Rzucamy dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $4$ ?
Rozwiązanie
$|\Omega|=36$ , sprzyjające: $(1,3),(2,2),(3,1)$ — $3$ wyniki, $\displaystyle P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ . ( $\displaystyle \frac{1}{18}$ — pary $(1,3)$ i $(3,1)$ policzone jako jedna.)
Losujemy liczbę ze zbioru $\{1,2,\ldots,50\}$ . Jakie jest prawdopodobieństwo, że dzieli się przez $7$ ?
Rozwiązanie
Wielokrotności $7$ : $7,14,\ldots,49$ — $7$ liczb, $\displaystyle P=\frac{7}{50}$ . ( $\displaystyle \frac{1}{7}$ — przyjęte, że co siódma liczba zbioru; $\displaystyle \frac{4}{25}=\frac{8}{50}$ — doliczone $56$ .)
Dla zdarzeń $A$ , $B$ : $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}35$ , $P(A\cap B)=0{,}15$ . Ile wynosi $P(A\cup B)$ ?
Rozwiązanie
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}35-0{,}15=0{,}7$ . ( $0{,}85$ — bez odjęcia części wspólnej.)
Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najwyżej jeden orzeł?
Rozwiązanie
$|\Omega|=8$ , sprzyjające: $RRR,ORR,ROR,RRO$ — $4$ , $\displaystyle P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ . ( $\displaystyle \frac{3}{8}$ — dokładnie jeden orzeł; $\displaystyle \frac{1}{8}$ — żadnego orła.)
W urnie są $3$ kule białe i $7$ czarnych. Losujemy ze zwracaniem dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie są białe?
Rozwiązanie
Ze zwracaniem: $|\Omega|=10\cdot10=100$ , sprzyjające $3\cdot3=9$ , $\displaystyle P=\frac{9}{100}$ . ( $\displaystyle \frac{1}{15}=\frac{3\cdot2}{10\cdot9}$ — bez zwracania; $\displaystyle \frac{3}{10}$ — jedno losowanie.)
Rzucamy raz kostką. Za jedynkę lub dwójkę gracz wygrywa $12$ zł, w pozostałych przypadkach traci $3$ zł. Ile wynosi wartość oczekiwana wygranej (w zł)?
Rozwiązanie
$\displaystyle E=12\cdot\frac{2}{6}+(-3)\cdot\frac{4}{6}=4-2=2$ . ( $9=12-3$ — bez prawdopodobieństw.)

5Karty pracy z kombinatoryki i prawdopodobieństwa

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Reguła mnożenia i reguła dodawania

Zliczanie wyników doświadczeń, wybory z warunkami, zbiory rozłączne i nierozłączne

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Permutacje i wariacje

Ustawienia w rzędzie, wybór z kolejnością, kody z powtórzeniami, ustawienia z warunkiem

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Prawdopodobieństwo klasyczne

Przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenia sprzyjające, rzuty, losowania, ustawienia

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Własności prawdopodobieństwa

Suma zdarzeń, zdarzenie przeciwne, rozkład, doświadczenia wieloetapowe i drzewo

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Wartość oczekiwana

Rozkład zmiennej losowej, wartość oczekiwana, gra sprawiedliwa i opłacalność gry

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

Grupy A i B mają te same typy zadań z innymi liczbami — klucz każdej grupy jest liczony osobno.
Trzy wersje PDF. Każdy arkusz jest w trzech plikach PDF: z miejscem na obliczenia pod każdym zadaniem, same zadania (zwarte, do pracy w zeszycie) i klucz odpowiedzi dla nauczyciela.
Zadania na wzór arkuszy CKE, z liczbami zmienionymi — to arkusze ćwiczeniowe, nie są tworzone ani firmowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
Zamknięte i otwarte. Zadania zamknięte mają cztery odpowiedzi do wyboru, otwarte — miejsce na rozwiązanie i punktację w kluczu.
Druk: A4, skala 100% (bez „dopasuj do strony”). Pliki są za darmo i bez rejestracji.

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Kombinatorykateoria z przykładami Prawdopodobieństwo klasyczneteoria z przykładami Statystykateoria z przykładami Reguła mnożenia na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Prawdopodobieństwo klasyczne na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Wartość oczekiwana na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 4 liceum:

Bryły obrotowe1 sprawdzian · 2 kartkówki · 1 test · 2 karty pracy Dowody w algebrze i geometrii2 kartkówki · 2 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 4 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z kombinatoryki i prawdopodobieństwa?

Zliczanie: Liczby z dozwolonych cyfr, wielokrotności w przedziale, rozbicie na przypadki. Prawdopodobieństwo klasyczne: Jedno losowanie z pudełka, losowanie liczby z przedziału, zdarzenie przeciwne. Doświadczenia wieloetapowe: Dwa rzuty kostką, losowanie ze zwracaniem i bez zwracania, dwa zbiory. Średnia arytmetyczna i ważona: Średnia ważona, średnia grup połączonych, niewiadoma z równania na średnią.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika MATeMAtyka 4 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 1. Rachunek prawdopodobieństwa, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Zliczanie”: 6 zadań, 9 pkt, 45 minut; Sprawdzian „Prawdopodobieństwo klasyczne”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Doświadczenia wieloetapowe”: 4 zadania, 7 pkt, 35 minut; Sprawdzian „Średnia arytmetyczna i ważona”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Kartkówka „Reguła mnożenia i reguła dodawania”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Permutacje i wariacje”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Prawdopodobieństwo klasyczne”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Własności prawdopodobieństwa”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Wartość oczekiwana”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Kombinatoryka i prawdopodobieństwo”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27