Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo

Statystyka — mediana, dominanta i czytanie danych

Statystyka zaczyna się od pytania: jak opisać wiele liczb jedną liczbą. Odpowiedzi są trzy — średnia, mediana i dominanta — i każda mówi co innego. Ta strona pokazuje, kiedy która jest uczciwa, a kiedy wprowadza w błąd, i jak czytać wykresy, żeby nie dać się nabrać.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: klasa 6 – matura

Krótko: Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę, mediana — wartość środkowa uporządkowanych danych, a dominanta — wartość występująca najczęściej. Dla danych 2, 3, 3, 8: średnia 4, mediana 3, dominanta 3.

1Po co opisywać dane jedną liczbą

Gdy zbiór liczb jest duży, nie da się go ogarnąć wzrokiem. Zarobki tysiąca osób to tysiąc liczb, a chcemy wiedzieć jedno: „ile się tu zarabia”.

Miary tendencji centralnej odpowiadają właśnie na to pytanie — próbują wskazać wartość typową dla zbioru.

Problem w tym, że „typowa” można rozumieć na trzy sposoby, i stąd trzy różne miary. Wybór między nimi nie jest techniczny, tylko merytoryczny.

Statystyka opisowa na tym poziomie sprowadza się do umiejętności policzenia tych trzech liczb i — co ważniejsze — do rozumienia, którą z nich warto podać w danej sytuacji.

Zbiór danych trzeba najpierw skądś wziąć. W szkole są to zwykle tabele i diagramy, więc pierwszą umiejętnością jest ich rzetelne odczytanie.

Statystyka to zwykle ostatni dział w roku i pierwszy, który się zapomina. Gdzie leży w całości materiału, pokazuje matematyka szkolna dział po dziale.

2Trzy miary: średnia, mediana, dominanta

Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę składników. Uwzględnia każdą wartość, więc pojedyncza liczba skrajna potrafi ją mocno przesunąć.

Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych od najmniejszej do największej. Przy parzystej liczbie danych bierze się średnią dwóch środkowych.

Dominanta (inaczej moda) to wartość występująca najczęściej. Zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć żadnej.

Każda odpowiada na inne pytanie. Średnia: „ile przypadałoby na każdego po równym podziale”. Mediana: „co ma ten pośrodku”. Dominanta: „co się zdarza najczęściej”.

Dominantę można wyznaczyć także dla danych nieliczbowych, na przykład dla kolorów oczu. Mediana wymaga danych, które da się uporządkować — mogą to być także opisowe rozmiary odzieży. Dla kategorii bez naturalnej kolejności mediana nie jest określona.

Średnia, mediana i dominanta na przykładzie ocen 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6: średnia 26 : 7 ≈ 3,71, mediana 3 (wartość środkowa), dominanta 3 (występuje najczęściej) — Średnia, mediana i dominanta — trzy miary na jednym przykładzie

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Statystyka i prawdopodobieństwo” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Statystyka i prawdopodobieństwo — cały dział, klasa 8 (8 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Statystyka i prawdopodobieństwo”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł~~31,20 zł~~−16,30 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Kiedy średnia myli

To najważniejsza rzecz na tej stronie i warto ją pokazać na konkretnej sytuacji.

W firmie dziewięć osób zarabia po $4000$ zł, a właściciel $50\,000$ zł. Średnia wynosi $8600$ zł — i nie opisuje nikogo. Dziewięć osób zarabia dużo mniej, jedna dużo więcej.

Mediana w tym zbiorze wynosi $4000$ zł i jest znacznie uczciwszym opisem tego, ile się tam zarabia.

Reguła praktyczna: im bardziej skrajne wartości w zbiorze, tym bardziej mediana jest wiarygodna od średniej. Dlatego przy zarobkach, cenach mieszkań i czasach oczekiwania podaje się właśnie medianę.

Odwrotnie przy danych skupionych wokół jednej wartości — wtedy średnia jest wygodniejsza i bardziej informacyjna, bo uwzględnia wszystkie liczby, a nie tylko środkową.

Warto znać oba wskaźniki jednocześnie. Duża różnica między średnią a medianą jest sama w sobie informacją: mówi, że w zbiorze siedzą wartości odstające.

Kiedy średnia myli: zarobki 4000, 4200, 4500, 5000 i 32 300 zł; średnia 10 000 zł, mediana 4500 zł — nikt nie zarabia średniej, przy wartościach skrajnych lepsza jest mediana — Średnia a mediana — wpływ wartości skrajnej

4Jak czytać diagramy

Zanim policzy się cokolwiek, dane trzeba odczytać — a to nie jest trywialne.

diagram słupkowy — porównywanie wielkości; najważniejsza jest podziałka osi pionowej,
diagram kołowy — podział całości na części; cały okrąg to zawsze sto procent,
wykres liniowy — zmiana w czasie; ważny jest kierunek nachylenia,
tabela — dane surowe; uwaga na wiersze podsumowań, żeby nie policzyć ich dwa razy.

Pierwsza czynność przy każdym wykresie: sprawdzić opisy osi i jednostki. Ten sam słupek może oznaczać tysiąc złotych albo milion.

Druga: sprawdzić, czy oś pionowa zaczyna się od zera. Jeśli nie, różnice między słupkami wyglądają na większe, niż są w rzeczywistości.

Przy diagramie kołowym warto pamiętać, że wycinek o kącie $90°$ to zawsze ćwiartka całości, niezależnie od tego, jakie liczby opisują wykres.

5Wykres, który kłamie

Umiejętność rozpoznania nieuczciwego wykresu jest praktyczniejsza niż liczenie mediany — i warto ją mieć.

Ucięta oś pionowa. Gdy oś zaczyna się od dziewięćdziesięciu trzech zamiast od zera, wzrost z $95$ do $97$ wygląda jak podwojenie. Liczby są prawdziwe, wrażenie fałszywe.

Nierówne odstępy na osi poziomej. Lata $2010$ , $2015$ , $2016$ rozmieszczone równomiernie zniekształcają tempo zmian.

Trójwymiarowe słupki i wycinki. Perspektywa sprawia, że elementy z przodu wydają się większe, choć opisane są tymi samymi liczbami.

Dobór zakresu. Pokazanie tylko tego fragmentu danych, który potwierdza tezę, i pominięcie reszty.

Wspólna obrona przed wszystkimi tymi chwytami jest jedna: czytaj liczby, nie kształty. Wykres ma pomagać w zobaczeniu danych, a nie zastępować ich odczytanie.

6W której klasie się to pojawia

Statystyka opisowa wchodzi późno i w szkole podstawowej jest stosunkowo skromna.

klasa 4–6 — odczytywanie danych z tabel i diagramów, proste zestawienia,
klasa 7 — średnia arytmetyczna, diagramy procentowe,
klasa 8 — mediana, porównywanie zestawów danych,
liceum — dominanta, odchylenie standardowe, wariancja, analiza rozkładów.

Umiejętność czytania wykresów przydaje się jednak znacznie wcześniej i znacznie szerzej niż na lekcjach matematyki — na geografii, biologii i w codziennym czytaniu wiadomości.

To także dział, w którym najłatwiej pokazać, że matematyka bywa narzędziem perswazji, a nie tylko liczenia.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — zadania z odczytywania danych oraz z obliczania średniej,
Matura — odchylenie standardowe i analiza zestawów danych,
Karta pracy PDF — osobnej karty do tego działu jeszcze nie ma; gotowe karty (m.in. o twierdzeniu Pitagorasa, kątach, wyrażeniach algebraicznych i prawdopodobieństwie) zebrane są na stronie kart pracy.

Test gotowości: dziewięć osób zarabia po cztery tysiące, jedna pięćdziesiąt tysięcy. Którą miarę podasz, żeby uczciwie opisać zarobki w tej firmie? Jeśli odpowiadasz „medianę”, materiał tej strony jest opanowany.

8Wszystkie tematy w tym dziale

Piętnaście stron. Dział łączy dwie rzeczy, które w szkole idą osobno: opis danych (średnie, rozrzut) oraz rachunek prawdopodobieństwa wraz z kombinatoryką.

Średnie i miary położenia

Rozrzut i dokładność

Kombinatoryka

Prawdopodobieństwo

9Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: wyznaczenie trzech miar dla jednego zbioru, mediana przy parzystej liczbie danych i wpływ wartości skrajnej.

Przykład 1 Trzy miary dla jednego zbioru

Wyznacz średnią, medianę i dominantę zbioru: $3, 5, 5, 7, 10$ .

Średnia: sumuję i dzielę przez liczbę danych. $(3+5+5+7+10) : 5 = 30 : 5 = 6$ .
Mediana: dane są już uporządkowane, jest ich pięć, więc środkowa to trzecia w kolejności — czyli $5$ .
Dominanta: najczęściej powtarza się piątka (dwa razy), więc dominanta to $5$ .
Kontrola średniej: wynik leży między najmniejszą a największą liczbą ✓
Zauważ, że wszystkie trzy miary dały różne albo takie same wartości nie przez przypadek — mediana i dominanta zgadzają się tu, bo zbiór jest skupiony wokół piątki.

Odpowiedź: Średnia $6$ , mediana $5$ , dominanta $5$ .

Przykład 2 Mediana przy parzystej liczbie danych

Wyznacz medianę zbioru: $8, 2, 6, 4$ .

Najpierw porządkuję dane od najmniejszej: $2, 4, 6, 8$ . Bez tego kroku mediana nie ma sensu.
Danych są cztery, czyli parzysta liczba — nie ma jednej wartości środkowej.
Biorę dwie środkowe: $4$ i $6$ .
Mediana to ich średnia: $(4+6) : 2 = 5$ .
Kontrola: dwie liczby są mniejsze od pięciu i dwie większe ✓
Zwróć uwagę, że mediana $5$ nie występuje w zbiorze — i to jest normalne.

Odpowiedź: Mediana wynosi $5$ .

Przykład 3 Jak jedna liczba psuje średnią

W firmie dziewięć osób zarabia po $4000$ zł, a właściciel $50\,000$ zł. Porównaj średnią z medianą.

Średnia: suma to $9 \cdot 4000 + 50\,000 = 36\,000 + 50\,000 = 86\,000$ zł, a osób jest dziesięć.
$86\,000 : 10 = 8600$ zł.
Mediana: po uporządkowaniu dziesięciu wartości środkowe to piąta i szósta — obie wynoszą $4000$ zł, więc mediana to $4000$ zł.
Średnia mówi $8600$ zł, choć nikt tyle nie zarabia. Dziewięć osób zarabia mniej, jedna wielokrotnie więcej.
Mediana $4000$ zł opisuje sytuację uczciwiej — połowa osób zarabia tyle lub mniej.
Sama różnica między tymi liczbami jest informacją: mówi, że w zbiorze siedzi wartość mocno odstająca.

Odpowiedź: Średnia $8600$ zł, mediana $4000$ zł — to mediana opisuje tę firmę rzetelnie.

10Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla statystyki. Pierwszy jest techniczny, trzy kolejne dotyczą interpretacji.

Wyznaczanie mediany bez uporządkowania danych

Skąd się bierze: Mediana to wartość środkowa po ustawieniu liczb w kolejności. Wzięcie środkowej liczby z zapisu w oryginalnej kolejności daje przypadkową wartość, która z medianą nie ma nic wspólnego.

Jak zrobić dobrze: Zawsze najpierw uporządkuj dane od najmniejszej do największej i dopiero wtedy szukaj środka. Przy parzystej liczbie danych policz średnią dwóch wartości środkowych.

Podawanie średniej przy danych z wartością skrajną

Skąd się bierze: Średnia uwzględnia każdą liczbę, więc jedna wartość mocno odstająca przesuwa ją w swoją stronę. Powstaje wskaźnik, który nie opisuje żadnej osoby ani żadnego przypadku ze zbioru.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy w danych nie ma wartości odstających. Jeśli są, podaj medianę albo obie miary naraz — ich rozjazd sam w sobie mówi coś ważnego o zbiorze.

Odczytywanie wykresu bez sprawdzenia osi

Skąd się bierze: Oś pionowa nie musi zaczynać się od zera, a jedna kratka nie musi oznaczać jedności. Porównywanie samych wysokości słupków daje wtedy wrażenie różnic znacznie większych niż rzeczywiste.

Jak zrobić dobrze: Zanim spojrzysz na kształty, przeczytaj opisy osi, jednostki i wartość jednej działki. Czytaj liczby, nie proporcje słupków.

Mylenie dominanty z największą wartością

Skąd się bierze: Nazwa sugeruje coś dominującego rozmiarem, a chodzi o częstość występowania. Dominantą zbioru może być liczba najmniejsza, jeśli powtarza się najczęściej.

Jak zrobić dobrze: Policz, ile razy występuje każda wartość, i wskaż tę o największej liczbie wystąpień. Pamiętaj, że zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć żadnej.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Średnia i mediana — kartkówka, klasa 8

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Statystyka i prawdopodobieństwo — sprawdzian, klasa 8

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Średnia arytmetyczna i dane w tabelach, klasy 5–7 — 10 kart z kluczem

10 kart pracy z matematyki dla klas 5–7: obliczanie średniej, brakująca liczba, tabele, ankiety w procentach, diagram słupkowy. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

Karty pracy · sklep

Statystyka i prawdopodobieństwo, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: średnia, mediana, dominanta, średnia ważona, odchylenie standardowe, losowanie…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

11Pytania i odpowiedzi

Czym różni się mediana od średniej?

Średnia powstaje z sumowania wszystkich wartości i dzielenia, mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Średnia reaguje na każdą liczbę, w tym na skrajne, a mediana prawie nie — dlatego przy zarobkach i cenach mieszkań podaje się właśnie medianę.

Co to jest dominanta?

Wartość występująca w zbiorze najczęściej, nazywana też modą. Nie chodzi o wartość największą, tylko o najczęstszą — dominantą może być liczba najmniejsza. Zbiór może mieć kilka dominant, a jeśli wszystkie wartości występują po razie, nie ma jej wcale.

Jak wyznaczyć medianę przy parzystej liczbie danych?

Uporządkuj dane i weź dwie wartości środkowe, a potem policz ich średnią. Wynik nie musi występować w zbiorze — mediana czterech liczb dwa, cztery, sześć i osiem wynosi pięć, choć piątki tam nie ma.

Którą miarę podać, żeby opisać dane uczciwie?

To zależy od tego, czy w zbiorze są wartości odstające. Przy danych skupionych wokół jednej wartości najwięcej mówi średnia. Gdy pojawiają się pojedyncze wartości skrajne, wiarygodniejsza jest mediana. Podanie obu naraz jest najuczciwsze, bo ich rozjazd sam jest informacją.

Jak rozpoznać wykres przedstawiający dane nieuczciwie?

Sprawdź, czy oś pionowa zaczyna się od zera — ucięta oś sprawia, że drobne różnice wyglądają na ogromne. Zwróć też uwagę na równomierność odstępów na osi poziomej i na trójwymiarowe efekty, które powiększają elementy z przodu. Najlepsza obrona to czytanie liczb zamiast kształtów.

Czy medianę można wyznaczyć dla danych nieliczbowych?

Tak, o ile da się je uporządkować — na przykład dla rozmiarów odzieży albo ocen opisowych. To przewaga mediany i dominanty nad średnią: dla danych, którym nie przypisano liczb, średniej policzyć się nie da.

Czytaj dalej

Odczytywanie danych — zadania z egzaminu ósmoklasistyZadania CKE z tabelami, diagramami i wykresami Średnia arytmetyczna — teoriaNajpopularniejsza z trzech miar, omówiona osobno Prawdopodobieństwo — teoriaDruga połowa działu o danych i losowości Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania Błąd bezwzględny i względny pomiaruCzym różni się błąd bezwzględny od względnego, dlaczego tylko jeden z nich pozwala…Moda (dominanta)Dominanta to wartość występująca najczęściej Średnia geometrycznaPierwiastek z iloczynu zamiast sumy przez n: kiedy ta średnia jest właściwa, jak liczyć…Wzór BayesaPrawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.