Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 49, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od \(1\) do \(6\). Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od \(4\), to Grzegorz daje Pawłowi \(10\) żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa \(6\), to Paweł daje Grzegorzowi \(x\) żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę \(x\) żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza.
**Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę \(x\) żetonów.**
Odpowiedź
\[x=30\text{ żetonów}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Paweł z prawdopodobieństwem \(\frac12\) zyskuje \(10\) żetonów, z prawdopodobieństwem \(\frac16\) traci \(x\) żetonów, a w pozostałych przypadkach jego zysk wynosi \(0\). Zatem
\[\mathbb E(Z_P)=10\cdot\frac12-x\cdot\frac16=5-\frac x6.\]
Gra jest o sumie zerowej, więc wartości oczekiwane zysków obu graczy są liczbami przeciwnymi. Skoro mają być równe, każda musi być równa \(0\). Stąd
\[5-\frac x6=0,\]
czyli
\[x=30.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(x=30\) żetonów
**2 pkt** – poprawne wartości oczekiwane obu graczy albo poprawna wartość oczekiwana Pawła i przyrównanie jej do zera
**1 pkt** – poprawne powiązanie prawdopodobieństw \(\frac12\) i \(\frac16\) z odpowiednimi zyskami lub stratami
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1-II.2 i III.2 interpretowanie informacji, używanie języka matematycznego i tworzenie modelu.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.1 i XII.5 prawdopodobieństwo w modelu klasycznym oraz wartość oczekiwana w prostej grze losowej.