Przekształcanie wykresu funkcji — przesunięcia, symetrie i wartość bezwzględna

**D.** Wierzchołek ma współrzędne \((2,7)\).

Wykres funkcji \(g(x)=f(x-5)\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([5,0]\), czyli o pięć jednostek w prawo. Rzędne punktów nie ulegają zmianie, a każda odcięta rośnie o \(5\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) to \(W=(-3,7)\), więc wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne \[(-3+5,\;7)=(2,7).\] Warianty B i C odpowiadałyby przesunięciu pionowemu, a wariant A — przesunięciu w lewo. **Odpowiedź.** D: \((2,7)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. V.12) Zdający na podstawie wykresu y = f(x) szkicuje wykres y = f(x − a).

**B.** Ponieważ \(f(x-1)=(x-1)^{2}+(x-1)=x^{2}-x=g(x)\), wykres przesuwamy o wektor \([1,0]\).

Rozwiązanie B \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.8R) Zdający stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

**A.** Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo daje \(g(x)=f(x-1)=5(x-1)=5x-5\).

Przesunięcie wykresu o \(1\) jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) opisuje podstawienie \(x\mapsto x-1\), czyli \[g(x)=f(x-1).\] Podstawiamy do wzoru funkcji \(f\): \[g(x)=5(x-1)=5x-5.\] Sprawdzenie: miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(0\), a miejscem zerowym funkcji \(g\) jest \(1\) — dokładnie o jednostkę dalej w prawo. Współczynnik kierunkowy nie zmienia się, bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia prostej. **Odpowiedź.** A: \(g(x)=5x-5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 4.4) Szkicuje przesunięty wykres; 4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej.

**A.** Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo daje \(g(x)=f(x-1)=5(x-1)=5x-5\).

Przesunięcie wykresu o \(1\) jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) opisuje podstawienie \(x\mapsto x-1\), czyli \[g(x)=f(x-1).\] Podstawiamy do wzoru funkcji \(f\): \[g(x)=5(x-1)=5x-5.\] Sprawdzenie: miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(0\), a miejscem zerowym funkcji \(g\) jest \(1\) — dokładnie o jednostkę dalej w prawo. Nachylenie prostej nie zmienia się, więc współczynnik kierunkowy nadal wynosi \(5\). **Odpowiedź.** A: \(g(x)=5x-5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: V.6) Wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o wykresie.

\(29\).\(1\). **D** \(29\).\(2\). **F**

Wykres \(g(x)=f(x+2)\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(2\) jednostki w lewo, co odpowiada rysunkowi **D**. Wykres \(h(x)=f(x)+2\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(2\) jednostki w górę, co odpowiada rysunkowi **F**.

**2 pkt** – poprawne przyporządkowanie obu wykresów **1 pkt** – poprawne przyporządkowanie jednego wykresu **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Zdający szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\) i \(y=f(x)+b\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

**D.** Podstawienie \(x\mapsto x-3\) przesuwa wykres o \(3\) jednostki w prawo, więc oś \(x=1\) przechodzi w prostą \(x=4\).

Wykres funkcji \(g(x)=f(x-3)\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([3,0]\), czyli o trzy jednostki w prawo. Razem z wykresem przesuwa się jego oś symetrii. Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta \(x=1\), więc po przesunięciu otrzymujemy prostą \[x=1+3=4.\] **Odpowiedź.** D: \(x=4\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.12) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**D.** Podstawienie \(x\mapsto x-3\) przesuwa wykres o \(3\) jednostki w prawo, więc osią symetrii jest \(x=4\).

Wykres funkcji \(g(x)=f(x-3)\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([3,0]\), czyli o trzy jednostki w prawo. Przesuwa się razem z nim oś symetrii. Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta \(x=1\), więc dla funkcji \(g\) otrzymujemy prostą \[x=1+3=4.\] **Odpowiedź.** D: \(x=4\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\).

**A.** \(g(x)=f(x+4)\)

Przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(4\) jednostki w lewo otrzymujemy przez zastąpienie argumentu \(x\) wyrażeniem \(x+4\). Zatem \[g(x)=f(x+4).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.4) Na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) zdający szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x+a)\).

**\(A_{2}\).** \(g(x)=f(x+4)\), a funkcje mają takie same zbiory wartości.

Przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(4\) jednostki w lewo opisuje zależność \[g(x)=f(x+4).\] Przesunięcie poziome zmienia dziedzinę, lecz nie zmienia zbioru wartości. Poprawna para odpowiedzi to **\(A_{2}\)**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A2** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę i zbiór wartości. V.12) Na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) zdający szkicuje wykres funkcji \(y=f(x-a)\).

**\(1\). F, \(2\). P.**

Z poprzedniego podpunktu \[f(x)=-(x-3)^2.\] Zatem \[g(x)=f(x)-1=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji \(g\) jest równa \(-1\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(1\) jednostkę w dół nie zmienia osi symetrii. Nadal jest nią prosta \[x=3.\] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) zdający szkicuje wykres funkcji \(y=f(x)+b\).

\(g\): **A**, \(h\): **E**.

Wykres funkcji \[g(x)=f(x+3)\] powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(3\) jednostki w lewo. Wierzchołek przechodzi z \((1,9)\) do \((-2,9)\), co odpowiada rysunkowi **A**. Wykres funkcji \[h(x)=f(-x)\] powstaje przez odbicie wykresu \(f\) względem osi \(Oy\). Wierzchołek przechodzi z \((1,9)\) do \((-1,9)\), co odpowiada rysunkowi **E**.

**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: \(g\): **A** oraz \(h\): **E** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) zdający szkicuje wykresy funkcji uzyskanych przez przesunięcia, w szczególności \(y=f(x-a)\), oraz przez odbicie \(y=f(-x)\).

**D.**

Zależność \(g(x)=f(x-2)\) przesuwa wykres funkcji \(f\) o \(2\) jednostki w prawo, bez zmiany jego kształtu ani zwrotu ramion paraboli. Takie przesunięcie przedstawia rysunek **D**.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.12 szkicowanie wykresów funkcji \(y=f(x-a)\) i \(y=f(x)+b\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

**C. Rysunek C.**

W funkcji \[g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)\] każdemu punktowi \((u,f(u))\) wykresu funkcji \(f\) odpowiada punkt \((2u,f(u))\) wykresu funkcji \(g\). Wartości funkcji pozostają bez zmian, natomiast wszystkie współrzędne poziome są mnożone przez \(2\). Wykres funkcji \(f\) zostaje więc rozciągnięty dwukrotnie wzdłuż osi \(Ox\). Taką transformację przedstawia rysunek C.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** przekształcanie wykresu funkcji przy zastąpieniu argumentu \(x\) przez \(ax\), w szczególności poziome rozciągnięcie wykresu. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

**B.** Rysunek B.

Zależność \(g(x)=f(x+1)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(1\) jednostkę w lewo. Wierzchołek \((4,-2)\) przechodzi w punkt \((3,-2)\), a miejsca zerowe \(2\) i \(6\) przechodzą odpowiednio w \(1\) i \(5\). Taką parabolę przedstawia rysunek **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.12 szkicowanie wykresu funkcji \(y=f(x-a)\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

**\(20\).\(1\). D, \(20\).\(2\). B.**

Wykres \(g(x)=f(x+2)\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(2\) jednostki w lewo, co odpowiada rysunkowi **D**. Wykres \(h(x)=f(-x)\) jest odbiciem wykresu \(f\) względem osi \(Oy\), co odpowiada rysunkowi **B**.

**2 pkt** – prawidłowe przyporządkowanie obu wykresów **1 pkt** – prawidłowe przyporządkowanie jednego wykresu **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** V.12 szkicowanie wykresów funkcji \(f(x-a)\), \(f(x)+b\), \(-f(x)\) i \(f(-x)\) na podstawie wykresu \(f\).

**B.**

Przekształcenie \(g(x)=f(-x)\) oznacza odbicie wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\). Dziedzina jest symetryczna względem zera, więc po odbiciu pozostaje równa \([-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\). Warunki te spełnia wykres B.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - przekształcenia wykresów funkcji, odbicie względem osi \(Oy\).

**B.**

Zależność \(g(x)=f(-x)\) oznacza odbicie wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\). Po takim odbiciu każdy punkt \((x,f(x))\) przechodzi w punkt \((-x,f(x))\). Tę transformację przedstawia rysunek **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi \(Oy\).

**B.** Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\).

Mamy \[f(-x)=2(-x)^2+5(-x)=2x^2-5x=g(x).\] Zależność \(g(x)=f(-x)\) oznacza odbicie wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.4 szkicowanie wykresu funkcji \(y=f(-x)\) na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\).

**D.** \(g(x)=f(x+2)\)

Każdy charakterystyczny punkt wykresu funkcji \(f\) został przesunięty o \(2\) jednostki w lewo, np. punkt \((0,2)\) przeszedł na \((-2,2)\). Przesunięcie wykresu o \(2\) jednostki w lewo opisuje wzór \[g(x)=f(x+2).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.4 szkicowanie wykresów funkcji \(y=f(x+a)\) oraz \(y=f(x)+a\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

**B.** \(\langle-1,6)\)

Warunek \(g(x)=f(x-1)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(1\) jednostkę w prawo. Dziedzinę \(\langle-2,5)\) przesuwamy więc o \(1\): \[D_g=\langle-2+1,5+1)=\langle-1,6).\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IV.2 posługiwanie się przekształceniami wykresów funkcji i wyznaczanie dziedziny funkcji po przesunięciu.

**A.** \(f(2)+g(2)=-2\)

Z wykresu odczytujemy \(f(2)=0\). Z definicji funkcji \(g\): \[g(2)=f(2)-2=-2.\] Zatem \[f(2)+g(2)=0+(-2)=-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności i wartości funkcji.

**B.** \(g(x)=-2x\)

Przesunięcie wykresu o \(2\) jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu \(x\) przez \(x+2\): \[g(x)=f(x+2)=-2(x+2)+4=-2x.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.5 szkicowanie wykresu funkcji otrzymanego przez przesunięcie wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych.

**B.** \(f(x)=\bigl||x-1|-2\bigr|\)

Wykres ma miejsca zerowe \(x=-1\) i \(x=3\), jest symetryczny względem prostej \(x=1\), a w punkcie \(x=1\) przyjmuje wartość \(2\). Funkcja \[f(x)=\bigl||x-1|-2\bigr|\] ma dokładnie te własności: \(f(-1)=f(3)=0\) oraz \(f(1)=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** R4.1 szkicowanie na podstawie wykresu \(y=f(x)\) wykresów funkcji \(y=|f(x)|\), \(y=c\cdot f(x)\) i \(y=f(cx)\).

C. \(g\)(x) = −x − \(4\)

Z rysunku odczytujemy, że prosta \(AB\) przechodzi przez punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \[a=\frac{2-4}{2-0}=-1,\] a wyraz wolny odczytujemy z punktu \(A\): \(f(x)=-x+4\). Symetria względem początku układu współrzędnych przekształca punkt \((x,y)\) na \((-x,-y)\). Punkt \((x,y)\) leży na wykresie \(g\) dokładnie wtedy, gdy punkt \((-x,-y)\) leży na prostej \(AB\), czyli gdy \[-y=-(-x)+4=x+4,\qquad y=-x-4.\] Sprawdzenie: obrazem punktu \(A=(0,4)\) jest \((0,-4)\), a \(g(0)=-4\). **Odpowiedź.** **C.** \(g(x)=-x-4\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wersja: \(\mathrm{C}\)

Zadanie 19. (0−1) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wersja Wersja Zdający znajduje obrazy niektórych figur I II II. Wykorzystanie geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, i interpretowanie okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej reprezentacji. względem osi układu współrzędnych C A i symetrii środkowej względem początku układu (8.7).

**A.** \(g(x)=2x+2\)

Z danych wynika \(f(x)=2x-2\). Symetria wykresu względem początku układu współrzędnych daje \[g(x)=-f(-x)=-(-2x-2)=2x+2.\]

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje - symetria wykresu względem początku układu współrzędnych.

**D.** Wykres funkcji \(y=f(x+1)\).

Zastąpienie argumentu \(x\) przez \(x+1\) przesuwa wykres funkcji \(y=f(x)\) o \(1\) jednostkę w lewo, bez zmiany jego kształtu i wysokości. Takie przesunięcie przedstawiono na rysunku **D**.

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **D** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.4. Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x+a)\), \(y=f(x)+a\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\).

**B.** \((0,2)\).

Zastąpienie argumentu \(x\) przez \(x+2\) przesuwa wykres funkcji \(f\) o \(2\) jednostki w lewo. Wierzchołek \((2,2)\) przechodzi więc na \((0,2)\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, przesunięcia wykresów funkcji.

**a)** \(x\in(2,3)\). **b)** Miejscem zerowym funkcji \(g\) jest \(x=6\).

**a)** Z wykresu odczytujemy, że wartości funkcji \(f\) są dodatnie dokładnie dla \[x\in(2,3).\] **b)** Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=3\). Wykres funkcji \(g(x)=f(x-3)\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(3\) jednostki w prawo, dlatego miejsce zerowe przesuwa się z \(3\) na \[3+3=6.\]

**2 pkt** – poprawne podanie obu wyników: \(x\in(2,3)\) oraz miejsce zerowe \(x=6\) **1 pkt** – poprawne rozwiązanie tylko jednego podpunktu **0 pkt** – oba wyniki błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz opisywanie przesunięcia wykresu funkcji (IV.4.b,d).

**B.** \(g(x)=f(x)-1\)

Porównujemy położenie charakterystycznych punktów obu łamanych. Dla funkcji \(f\): lewy koniec \((-6,2)\), wierzchołek \((0,5)\), poziomy odcinek na wysokości \(3\) między \(x=2\) a \(x=3\), prawy koniec \((7,-3)\). Dla funkcji \(g\): lewy koniec \((-6,1)\), wierzchołek \((0,4)\), poziomy odcinek na wysokości \(2\) między \(x=2\) a \(x=3\), prawy koniec \((7,-4)\). Odcięte punktów charakterystycznych są identyczne, a każda rzędna jest mniejsza o \(1\). Wykres funkcji \(g\) powstał więc z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([0,-1]\), czyli o jednostkę w dół, co odpowiada wzorowi \[g(x)=f(x)-1.\] Przesunięcie poziome (warianty A i C) zmieniłoby odcięte, a przesunięcie o jednostkę w górę (wariant D) podniosłoby wykres zamiast go obniżyć. **Odpowiedź.** B: \(g(x)=f(x)-1\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(y=f(x-2)\)

Porównujemy położenie charakterystycznych punktów obu wykresów. Na rysunku \(1\): lewy koniec \((-7,1)\), maksimum \((-5,5)\), poziomy fragment na wysokości \(-2\) między \(x=-1\) a \(x=2\), prawy koniec \((4,2)\). Na rysunku \(2\): lewy koniec \((-5,1)\), maksimum \((-3,5)\), poziomy fragment na wysokości \(-2\) między \(x=1\) a \(x=4\), prawy koniec \((6,2)\). Wszystkie rzędne pozostały bez zmian, a każda odcięta wzrosła o \(2\). Wykres przesunięto więc o wektor \([2,0]\), czyli o dwie jednostki w prawo. Takie przesunięcie opisuje wzór \[y=f(x-2),\] bo funkcja \(x\mapsto f(x-2)\) przyjmuje w punkcie \(x\) tę wartość, którą funkcja \(f\) przyjmowała w punkcie \(x-2\), czyli dwie jednostki wcześniej. **Odpowiedź.** C: \(y=f(x-2)\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykorzystanie wykresu funkcji y = f(x) do wskazania wykresu funkcji typu y = f(x + a), y = f(x − a), y = −f(x), y = f(−x) (I.4.d).

**B.** \(y=f(x)-2\)

Z rysunków odczytujemy, że obie łamane mają identyczny kształt i te same odcięte punktów charakterystycznych — zmieniło się wyłącznie ich położenie w pionie. Każdy punkt wykresu z rysunku 2. leży o \(2\) jednostki niżej niż odpowiadający mu punkt z rysunku 1.: początek łamanej z poziomu \(y=3\) przeszedł na \(y=1\), wierzchołek z \(y=4\) na \(y=2\), a najniższy punkt z \(y=1\) na \(y=-1\). Przesunięcie wykresu o wektor \([0,-2]\) opisuje wzór \(y=f(x)-2\). Przesunięcia poziome (warianty C i D) zmieniłyby odcięte, czego na rysunku nie widać. **Odpowiedź.** B. \(y=f(x)-2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozpoznawanie przesunięcia wykresu funkcji na podstawie porównania dwóch rysunków Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

B

Wykres funkcji \(g(x)=f(x)+2\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([0,2]\), czyli o dwie jednostki w górę. Odcięte punktów nie zmieniają się, a każda rzędna rośnie o \(2\). Charakterystyczne punkty wykresu \(f\) to \((-4,4)\), \((-2,5)\), \((1,-2)\), plateau na poziomie \(1\) między \(x=3\) a \(x=6\) oraz koniec \((8,-1)\). Po przesunięciu powinny one przejść odpowiednio w \((-4,6)\), \((-2,7)\), \((1,0)\), plateau na poziomie \(3\) oraz \((8,1)\). Takie położenie punktów ma tylko wykres na rysunku B. Rysunek A przedstawia wykres nieprzesunięty, rysunek C — przesunięty w prawo, rysunek D — przesunięty w dół. **Odpowiedź.** B

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – interpretuje przesunięcie wykresu funkcji.

D

Wykres funkcji \(y=f(x+1)\) powstaje z wykresu funkcji \(y=f(x)\) przez przesunięcie o wektor \([-1,0]\), czyli o jedną jednostkę w lewo: argument \(x+1\) osiąga daną wartość o jednostkę wcześniej niż argument \(x\). Rzędne wszystkich punktów pozostają bez zmian. Z rysunku odczytujemy charakterystyczne punkty wykresu funkcji \(f\): lewy koniec \((-1,3)\), minimum lokalne \((0,2)\), maksimum lokalne oraz prawy koniec leżący jedną jednostkę poniżej osi \(Ox\). Po przesunięciu o jednostkę w lewo lewy koniec powinien znaleźć się w punkcie \((-2,3)\), a minimum lokalne w punkcie \((-1,2)\). Tak jest tylko na rysunku **D**. Na rysunku A wykres przesunięto o jednostkę w prawo (to wykres \(y=f(x-1)\)), na rysunku B — o jednostkę w górę (\(y=f(x)+1\)), a na rysunku C — o jednostkę w dół (\(y=f(x)-1\)). **Odpowiedź.** D

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

Wzór zapisujemy jako \(f(x)=x^2+4x\) dla \(x\lt0\) oraz \(f(x)=x^2-4x\) dla \(x\geqslant0\); wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\), ma miejsca zerowe \(-4,0,4\), wierzchołki \((-2,-4)\) i \((2,-4)\). Liczba rozwiązań równania \(f(x)=m\): \(0\) dla \(m\lt-4\); \(2\) dla \(m=-4\) oraz dla \(m\gt0\); \(3\) dla \(m=0\); \(4\) dla \(-4\lt m\lt0\).

**Krok \(1\).** Wzór zawiera \(|x|\), więc najpierw rozbijamy go na dwa przypadki i dopiero wtedy rysujemy wykres. Druga część zadania — liczba rozwiązań równania \(f(x)=m\) — to pytanie graficzne: ile punktów wspólnych ma wykres funkcji \(f\) z poziomą prostą \(y=m\). **Krok \(2\).** Dla \(x\geqslant0\) mamy \(|x|=x\), więc \(f(x)=x^2-4x\). Dla \(x\lt0\) mamy \(|x|=-x\), więc \(f(x)=x^2+4x\). Zapisujemy \[f(x)=x^2-4x\quad\text{dla }x\geqslant0,\qquad f(x)=x^2+4x\quad\text{dla }x\lt0.\] **Krok \(3\).** Prawa gałąź: parabola \(y=x^2-4x=x(x-4)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(4\) oraz wierzchołek \((2,-4)\). Lewa gałąź: parabola \(y=x^2+4x=x(x+4)\) ma miejsca zerowe \(-4\) i \(0\) oraz wierzchołek \((-2,-4)\). **Krok \(4\).** Zauważmy, że \(f(-x)=(-x)^2-4|-x|=x^2-4|x|=f(x)\), więc funkcja jest parzysta i cały wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\). Rysujemy więc krzywą przypominającą literę \(W\): przecina oś \(Ox\) w punktach \(-4\), \(0\), \(4\), ma dwa najniższe punkty \((-2,-4)\) i \((2,-4)\) oraz lokalne maksimum w \((0,0)\). **Krok \(5\).** Teraz przesuwamy poziomą prostą \(y=m\) od dołu do góry i za każdym razem liczymy punkty wspólne z wykresem. **Krok \(6\).** Gdy \(m\lt-4\), prosta biegnie poniżej obu wierzchołków i nie dotyka wykresu — brak rozwiązań, czyli \(0\) rozwiązań. **Krok \(7\).** Gdy \(m=-4\), prosta przechodzi dokładnie przez oba wierzchołki \((-2,-4)\) i \((2,-4)\) — są \(2\) rozwiązania. **Krok \(8\).** Gdy \(-4\lt m\lt0\), prosta przecina każde z czterech ramion (dwa ramiona lewej paraboli i dwa prawej) — są \(4\) rozwiązania. **Krok \(9\).** Gdy \(m=0\), prosta pokrywa się z osią \(Ox\) i przechodzi przez trzy punkty wykresu: \((-4,0)\), \((0,0)\), \((4,0)\) — są \(3\) rozwiązania. **Krok \(10\).** Gdy \(m\gt0\), prosta jest już powyżej lokalnego maksimum \((0,0)\) i trafia tylko w dwa zewnętrzne ramiona — są \(2\) rozwiązania. **Uwaga.** Najłatwiej zgubić przypadki graniczne \(m=-4\) i \(m=0\), bo to właśnie w nich liczba rozwiązań się zmienia. Warto je wypisać osobno, a nie doklejać do sąsiednich przedziałów. **Odpowiedź.** Równanie \(f(x)=m\) ma: \(0\) rozwiązań dla \(m\lt-4\); \(2\) rozwiązania dla \(m=-4\) oraz dla \(m\gt0\); \(3\) rozwiązania dla \(m=0\); \(4\) rozwiązania dla \(-4\lt m\lt0\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie funkcji \(f\) na przykład w postaci \(f(x)=x^{2}+4x\) dla \(x<0\), \(f(x)=x^{2}-4x\) dla \(x>0\), albo stwierdzenie, że wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\) lub stwierdzenie równoważne. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – narysowanie wykresu funkcji \(f\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający popełni jeden błąd w ustalaniu liczby rozwiązań równania \(f(x)=m\), albo zdający błędnie wyznaczy miejsca zerowe lub współrzędne wierzchołka paraboli, ale wykres funkcji ma trzy punkty wspólne z osią \(Ox\) i jest symetryczny względem osi \(Oy\) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda liczbę rozwiązań równania. **Rozwiązanie bezbłędne** – podanie liczby rozwiązań na przykład w postaci: \(0\) dla \(m\in(-\infty,-4)\), \(2\) dla \(m\in\{-4\}\cup(0,+\infty)\), \(3\) dla \(m=0\), \(4\) dla \(m\in(-4,0)\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: szkicowanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną i badanie liczby rozwiązań równania z parametrem.

a) \(b=2\), czyli \(f(x)=2^{x-3}-2\); b) wykres \(g=|f|\) powstaje przez odbicie względem osi \(Ox\) tej części wykresu funkcji \(f\), która leży poniżej tej osi, tj. dla \(x\lt 4\) (lewa gałąź ma asymptotę \(y=2\)); c) \(p=0\) lub \(p\geqslant 2\).

**Krok \(1\).** Metoda: wykres funkcji \(f(x)=2^{x-3}-b\) powstaje z wykresu \(y=2^{x}\) przez przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo i o \(b\) jednostek w dół. Takie przesunięcie przenosi asymptotę poziomą \(y=0\) na prostą \(y=-b\), a to pozwala odczytać \(b\) z rysunku. **Krok \(2\).** Z rysunku odczytujemy, że asymptotą poziomą narysowanego wykresu jest prosta \(y=-2\) (równoważnie: wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \(x=4\)). Stąd \(-b=-2\), czyli \[b=2,\qquad f(x)=2^{x-3}-2.\] **Krok \(3\).** Sprawdzenie: \(f(4)=2^{1}-2=0\), a dla \(x\to-\infty\) wartości \(2^{x-3}\) maleją do zera, więc \(f(x)\) dąży do \(-2\). Zgadza się z rysunkiem. **Krok \(4\).** Ustalamy, gdzie \(f\) jest ujemna: \[f(x)\lt 0\iff 2^{x-3}\lt 2\iff x-3\lt 1\iff x\lt 4.\] **Krok \(5\).** Wykres funkcji \(g(x)=\lvert f(x)\rvert\) otrzymujemy z wykresu \(f\), odbijając symetrycznie względem osi \(Ox\) tę jego część, która leży poniżej tej osi (czyli dla \(x\lt 4\)), a pozostawiając bez zmian część dla \(x\geqslant 4\). **Krok \(6\).** Opisujemy obie gałęzie wykresu \(g\). Dla \(x\lt 4\) mamy \[g(x)=2-2^{x-3},\] a dla \(x\geqslant 4\) \[g(x)=2^{x-3}-2.\] Lewa gałąź maleje, przyjmuje wartości z przedziału \((0,2)\) i ma asymptotę poziomą \(y=2\) (nigdy tej wartości nie osiąga). Prawa gałąź rośnie od \(0\) i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \(\langle 0,+\infty)\). **Krok \(7\).** Liczba rozwiązań równania \(g(x)=p\) to liczba punktów wspólnych wykresu \(g\) z prostą poziomą \(y=p\). Z opisu z kroku \(6\) wynika, że dla \(p\lt 0\) nie ma żadnego rozwiązania, dla \(p=0\) jest dokładnie jedno rozwiązanie \(x=4\), dla \(0\lt p\lt 2\) są dwa rozwiązania (po jednym na każdej gałęzi), a dla \(p\geqslant 2\) jest dokładnie jedno rozwiązanie, leżące na prawej gałęzi. **Krok \(8\).** Dokładnie jedno rozwiązanie otrzymujemy więc dla \(p=0\) oraz dla \(p\geqslant 2\). **Uwaga.** Kluczowa jest asymptota \(y=2\): lewa gałąź zbliża się do wartości \(2\), ale jej nie osiąga. Dlatego już dla \(p=2\) (a nie dopiero dla \(p\gt 2\)) zostaje tylko jeden punkt wspólny. **Odpowiedź.** **a)** \(b=2\), czyli \(f(x)=2^{x-3}-2\). **b)** Wykres \(g=\lvert f\rvert\) powstaje przez odbicie względem osi \(Ox\) tej części wykresu \(f\), która leży poniżej tej osi, czyli dla \(x\lt 4\); lewa gałąź ma wtedy asymptotę \(y=2\). **c)** \(p=0\) lub \(p\geqslant 2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – podanie wartości \(b\): \(b=2\). **1.2. (1 pkt)** – sporządzenie wykresu funkcji \(g\). […] Krzywa będąca wykresem funkcji \(g\) dla \(x<4\) nie może przecinać prostej o równaniu \(y=2\). **1.3. (1 pkt)** – zapisanie szukanych wartości parametru \(p\): \(p=0\) lub \(p\ge 2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Maksima lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\) (wartość \(1\)), minimum lokalne dla \(x=0\) (wartość \(0\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru \(f(x)=2|x|-x^2\). Ponieważ \(x^2=|x|^2\), cała funkcja zależy wyłącznie od \(|x|\), a więc jest PARZYSTA: \(f(-x)=f(x)\). Stąd metoda: rysujemy wykres dla \(x\geqslant0\) (gdzie wartość bezwzględną można opuścić), a lewą część otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi \(OY\). **Krok \(2\).** Dla \(x\geqslant0\) mamy \(|x|=x\), więc \[f(x)=2x-x^2=-x(x-2).\] To fragment paraboli o ramionach w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(2\). **Krok \(3\).** Wierzchołek tej paraboli leży pośrodku między miejscami zerowymi: \[x_w=\frac{0+2}{2}=1,\qquad f(1)=2\cdot1-1^2=1.\] Czyli dla \(x\geqslant0\) wykres wznosi się od punktu \((0,0)\) do \((1,1)\), a potem opada przez \((2,0)\) coraz niżej. **Krok \(4\).** Odbijamy tę część względem osi \(OY\). Otrzymujemy drugi łuk: wznosi się od \((-2,0)\) do wierzchołka \((-1,1)\), po czym opada do \((0,0)\). Cały wykres składa się z dwóch łuków parabol sklejonych w punkcie \((0,0)\), gdzie tworzy się charakterystyczne ostrze („dziób”) skierowany w dół. **Krok \(5\).** Odczytujemy ekstrema z wykresu. W punktach \(x=-1\) i \(x=1\) funkcja przechodzi ze wzrastania w malenie — to MAKSIMA LOKALNE, obie o wartości \(1\). W punkcie \(x=0\) funkcja przechodzi z malenia we wzrastanie — to MINIMUM LOKALNE o wartości \(0\). **Krok \(6\).** Kontrola rachunkowa: \(f(-1)=2\cdot|-1|-(-1)^2=2-1=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=2-1=1\). Dla porównania \(f(3)=6-9=-3\), co potwierdza, że poza przedziałem \(\langle-2,2\rangle\) funkcja szybko maleje. **Uwaga.** Trzy rzeczy warte podkreślenia. Po pierwsze, minimum w \(x=0\) jest tylko LOKALNE — dla dużych \(|x|\) funkcja przyjmuje wartości dowolnie małe, więc wartości najmniejszej nie ma. Po drugie, w punkcie \(x=0\) wykres ma ostrze, więc funkcja nie ma tam pochodnej — ekstremum trzeba odczytać z wykresu, a metoda „przyrównuję pochodną do zera” by go nie znalazła. Po trzecie, zadanie pyta o wartości \(x\), dla których są ekstrema, a nie o same wartości funkcji. **Odpowiedź.** Maksima lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\) (wartość \(1\)), minimum lokalne dla \(x=0\) (wartość \(0\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (2 pkt)** – […] wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji \(g(x)=2x-x^{2}\), a następnie naszkicowanie wykresu funkcji \(f(x)=g(\lvert x\rvert)\). […] – rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie osi \(Oy\), – gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która jest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części wykresu). **5.2. (1 pkt)** – wskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne funkcji \(f\) i określenie rodzaju ekstremum: minimum lokalne dla \(x=0\), maksimum lokalne dla \(x=-1\) oraz \(x=1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(-\tfrac52\).

Z rysunku odczytujemy dwa punkty wykresu funkcji \(f\): \((-2,0)\) oraz \((3,2)\). Stąd współczynnik kierunkowy \[a=\frac{2-0}{3-(-2)}=\frac25,\] a ponieważ \(f(-2)=0\), mamy \(f(x)=\tfrac25(x+2)=\tfrac25x+\tfrac45\). Przesunięcie o wektor \(\vec{u}=[2,1]\) przeprowadza wykres funkcji \(f\) na wykres funkcji \[g(x)=f(x-2)+1.\] Miejsce zerowe funkcji \(g\) spełnia \(g(x)=0\), czyli \(f(x-2)=-1\): \[\tfrac25(x-2)+\tfrac45=-1\quad\big/\cdot5,\qquad 2(x-2)+4=-5,\qquad 2x=-5.\] Stąd \(x=-\tfrac52\). Sprawdzenie: \(g\left(-\tfrac52\right)=f\left(-\tfrac92\right)+1 =\tfrac25\cdot\left(-\tfrac52\right)+1=-1+1=0\). **Odpowiedź.** Miejscem zerowym funkcji \(g\) jest \(-\tfrac52\).

**1. (2 pkt)** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}\) lub wyznaczenie współrzędnych obrazów punktów \((-2,0)\) i \((3,2)\) w przesunięciu o wektor \(\vec{u}\). Odp. \((0,1)\), \((5,3)\). Po \(1\) punkcie za wyznaczenie współrzędnych każdego z obrazów. **2. (2 pkt)** – zapisanie układu równań \(\begin{cases}x=x^{\prime}-2\\ y=y^{\prime}-1\end{cases}\) i wyznaczenie wzoru funkcji \(g\) lub wyznaczenie wzoru funkcji \(g\), której wykres przechodzi przez punkty \((0,1)\) i \((5,3)\). Odp. \(g(x)=\frac{2}{5}x+1\). Za zapisanie odpowiedniego układu równań przyznajemy \(1\) punkt. **3. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g\). Odp. \(x=-2{,}5\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\((f\circ g)(x)=2^{-x}\) oraz \((h\circ f\circ g)(x)=2^{-x}-2\) (wykresy opisane w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Wykres funkcji \(f(x)=2^{x}\) to krzywa wykładnicza rosnąca, przechodząca przez punkty \(\left(-1,\tfrac12\right)\), \((0,1)\), \((1,2)\), leżąca nad osią \(Ox\), z asymptotą poziomą \(y=0\). **Krok \(2\).** Wyznaczam wzór złożenia: \[(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(-x)=2^{-x}=\left(\tfrac12\right)^{x}.\] **Krok \(3\).** Wykres funkcji \(f\circ g\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez odbicie symetryczne względem osi \(Oy\). Jest to krzywa malejąca, przechodząca przez punkty \((-1,2)\), \((0,1)\), \(\left(1,\tfrac12\right)\), z asymptotą poziomą \(y=0\). **Krok \(4\).** Wyznaczam wzór drugiego złożenia: \[(h\circ f\circ g)(x)=h\bigl(2^{-x}\bigr)=2^{-x}-2.\] **Krok \(5\).** Wykres funkcji \(h\circ f\circ g\) powstaje z wykresu funkcji \(f\circ g\) przez przesunięcie o wektor \([0,-2]\): asymptotą poziomą jest \(y=-2\), wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-1)\), a miejsce zerowe wyznaczam z równania \(2^{-x}=2\), czyli \(x=-1\). **Odpowiedź.** \((f\circ g)(x)=2^{-x}\) oraz \((h\circ f\circ g)(x)=2^{-x}-2\); wykresy to odpowiednio krzywa wykładnicza rosnąca, jej odbicie względem osi \(Oy\) oraz to odbicie przesunięte o \(2\) jednostki w dół.

**1. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\) **2. (1 pkt)** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\circ g\). Odp. \((f\circ g)(x)=2^{-x}\) **3. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\circ g\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie wzoru funkcji \(h\circ f\circ g\). Odp. \((h\circ f\circ g)(x)=2^{-x}-2\) **5. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(h\circ f\circ g\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równanie \(f(x)=g(x)\) ma \(2\) rozwiązania ujemne.

**Krok \(1\).** Naszkicowanie wykresu funkcji y = \(2\) x **Krok \(2\).** Naszkicowanie wykresu funkcji **Krok \(3\).** y = \(2\) x +\(1\) **Krok \(4\).** x + \(1\) **Krok \(5\).** Przekształcenie wyrażenia do **Krok \(6\).** postaci \(1\) + **Krok \(7\).** Naszkicowanie wykresu funkcji y = **Krok \(8\).** Naszkicowanie wykresu funkcji **Odpowiedź.** Równanie \(f(x)=g(x)\) ma \(2\) rozwiązania ujemne.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(y=2^{x}\) **16.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(y=2^{x+1}\) **16.3. (1 pkt)** – przekształcenie wyrażenia \(\frac{x+1}{x}\) do postaci \(1+\frac{1}{x}\) **16.4. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(y=\frac{1}{x}\) **16.5. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(y=1+\frac{1}{x}\) **16.6. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(y=\frac{1}{x}+1\) **16.7. (1 pkt)** – podanie liczby ujemnych rozwiązań równania \(f(x)=g(x)\): 2 rozwiązania

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.