Odczytywanie własności funkcji z wykresu — zadania maturalne z rysunkami

**C.** Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe.

Miejsca zerowe to odcięte punktów, w których wykres przecina lub dotyka osi \(Ox\). Wykres składa się z trzech fragmentów, więc przeglądamy je kolejno. Pierwszy odcinek biegnie od kropki pełnej w punkcie \((-5,-2)\) do kropki pustej w punkcie \((-2,2)\) i przecina oś \(Ox\) między \(-4\) a \(-3\) — to pierwsze miejsce zerowe. Drugi odcinek zaczyna się kropką **pełną** w punkcie \((-2,0)\), a więc \(f(-2)=0\) — to drugie miejsce zerowe. Dalej odcinek ten rośnie do punktu \((2,3)\) i osi już nie przecina. Trzeci odcinek opada od punktu \((2,3)\) do kropki pustej w punkcie \((4,-3)\) i przecina oś \(Ox\) w punkcie \((3,0)\) — to trzecie miejsce zerowe. Razem funkcja \(f\) ma dokładnie trzy miejsca zerowe. **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji ([…] miejsca zerowe […]).

**B.** Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(2\).

Szukamy najwyżej położonego punktu wykresu i odczytujemy jego odciętą. Z rysunku odczytujemy wysokości końców poszczególnych fragmentów: pierwszy odcinek rośnie od \(-2\) do wartości \(2\), której **nie osiąga** (kropka pusta w punkcie \((-2,2)\)); drugi odcinek rośnie od \(0\) do \(3\) i wartość \(3\) osiąga w punkcie \((2,3)\); trzeci odcinek zaczyna się w tym samym punkcie i opada. Najwyższym punktem wykresu jest więc \((2,3)\), a największą wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\). Liczba \(3\) z wariantu C jest największą **wartością**, a nie argumentem. **Odpowiedź.** B: \(2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji ([…] punkty, w których funkcja przyjmuje […] wartość największą […]).

**A.** Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(\langle-5,4)\).

Dziedzina to zbiór odciętych punktów wykresu; o domknięciu końców rozstrzygają kropki na rysunku. Lewym końcem wykresu jest kropka **pełna** w punkcie \((-5,-2)\), więc \(-5\) należy do dziedziny. Prawym końcem jest kropka **pusta** w punkcie \((4,-3)\), więc \(4\) do dziedziny nie należy. Między nimi nie ma luki: pierwszy fragment obejmuje argumenty od \(-5\) do \(-2\) (bez \(-2\)), drugi od \(-2\) do \(2\) włącznie, trzeci od \(2\) do \(4\) (bez \(4\)). Suma tych przedziałów to \[D_f=\langle-5,4).\] Przedziały z wariantów C i D opisują zbiór wartości, a nie dziedzinę. **Odpowiedź.** A: \(\langle-5,4)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę […]).

\(1\). Funkcja \(f\) ma dokładnie \(3\) miejsca zerowe. \(2\). Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(2\).

Wzór funkcji \(f\) składa się z trzech kawałków i każdy z nich jest funkcją liniową. Miejsca zerowe wyznaczamy osobno w każdym przedziale, za każdym razem sprawdzając, czy otrzymany argument do tego przedziału należy. Dla \(x\in[-5,-2)\): \[\frac43x+\frac{14}3=0,\qquad x=-\frac{14}{4}=-3{,}5\in[-5,-2).\] Dla \(x\in[-2,2]\): \[\frac34x+\frac32=0,\qquad x=-2\in[-2,2].\] Dla \(x\in(2,4)\): \[-3x+9=0,\qquad x=3\in(2,4).\] Rysunek potwierdza ten odczyt: wykres przecina oś \(Ox\) między \(-4\) a \(-3\), następnie zaczyna się kropką pełną w punkcie \((-2,0)\), a trzeci raz przecina oś \(Ox\) dla \(x=3\). Miejsc zerowych jest zatem trzy. Największej wartości szukamy, porównując krańce kawałków. Na przedziale \([-5,-2)\) funkcja rośnie od \(f(-5)=-2\) do wartości \(2\), której nie osiąga (na rysunku kropka pusta). Na przedziale \([-2,2]\) rośnie od \(f(-2)=0\) do \[f(2)=\frac34\cdot2+\frac32=3.\] Na przedziale \((2,4)\) funkcja maleje i wartości \(3\) już nie osiąga (kropka pusta). Największą wartością jest więc \(3\), a funkcja przyjmuje ją dla argumentu \(x=2\). **Odpowiedź.** \(1\). Funkcja \(f\) ma dokładnie \(3\) miejsca zerowe. \(2\). Największą wartość osiąga dla argumentu \(2\).

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania. 2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. V.4) Zdający odczytuje z wykresu miejsca zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości największe i najmniejsze.

\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \([-5,4)\). \(2\). Zbiorem argumentów, dla których \(f(x)\geq0\), jest przedział \([-\frac{7}{2},3]\).

Dziedzina jest sumą przedziałów, w których określono kolejne wzory: \[[-5,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4)=[-5,4).\] Lewy koniec należy do dziedziny — na rysunku kropka pełna w punkcie \((-5,-2)\); prawego brak — nad \(x=4\) jest kropka pusta. Nierówność \(f(x)\ge0\) rozwiązujemy osobno w każdym przedziale. Dla \(x\in[-5,-2)\): \[\frac43x+\frac{14}3\ge0,\qquad x\ge-\frac72,\] czyli \(x\in\left[-\frac72,-2\right)\). Dla \(x\in[-2,2]\): \[\frac34x+\frac32\ge0,\qquad x\ge-2,\] czyli cały przedział \([-2,2]\). Dla \(x\in(2,4)\): \[-3x+9\ge0,\qquad x\le3,\] czyli \(x\in(2,3]\). Sumą tych trzech zbiorów jest przedział \(\left[-\frac72,3\right]\). Na rysunku odpowiada mu ten fragment wykresu, który leży nad osią \(Ox\) lub na niej — od punktu \(\left(-\frac72,0\right)\) do punktu \((3,0)\). **Odpowiedź.** \(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \([-5,4)\). \(2\). Wartości nieujemne funkcja przyjmuje dla \(x\in\left[-\frac72,3\right]\).

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania z jednoznacznie oznaczonym domknięciem końców. 2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. V.3), V.4) i I.6) Zdający odczytuje dziedzinę i przedziały wartości nieujemnych oraz posługuje się zapisem przedziałów.

\(1\). Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(1\). \(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2,3]\) jest równa \(4\).

Funkcja jest opisana dwoma wzorami, więc każdy przypadek rozpatrujemy osobno i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do właściwego przedziału. Z rysunku odczytujemy, że wykres składa się z odcinka rosnącego na \([-4,2]\) i odcinka malejącego na \((2,5)\), a najwyższy punkt wykresu ma rzędną \(4\) i jest osiągany dla \(x=2\). **Równanie \(f(x)=3\).** Dla \(x\in[-4,2]\): \(x+2=3\), czyli \(x=1\); liczba \(1\) należy do \([-4,2]\), więc jest rozwiązaniem. Dla \(x\in(2,5)\): \(-x+5=3\), czyli \(x=2\); liczba \(2\) nie należy do \((2,5)\), więc odpada. **Największa wartość na \([2,3]\).** Przedział \([2,3]\) obejmuje punkt \(x=2\) z pierwszego wzoru oraz przedział \((2,3]\) z drugiego. Mamy \(f(2)=2+2=4\), a na \((2,3]\) funkcja \(f(x)=-x+5\) maleje i przyjmuje wartości mniejsze od \(3\). Największą wartością jest zatem \(4\). **Odpowiedź.** \(1\). \(x=1\) \(2\). \(4\)

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów i wzorów; V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym.

**F, P**

Na przedziale \([-4,-2]\) funkcja nie jest rosnąca, ponieważ dla \(x=-2\) jej wartość wynosi \(1\), a lewostronnie wartości dążą do \(3\). Na przedziale \([1,3]\) wartości funkcji maleją. Odpowiedź: **F, P**.

**1 pkt** – poprawna ocena obu stwierdzeń: **F, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji przedziały monotoniczności.

\(1\). \(4\) \(2\). \(3\) rozwiązania.

Największa wartość widoczna na wykresie jest równa \(4\). Prosta \(y=\sqrt5\) przecina wykres funkcji w trzech punktach, więc równanie \(f(x)=\sqrt5\) ma trzy rozwiązania.

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonej za pomocą wykresu lub wzoru. V.4) Zdający odczytuje z wykresu największe i najmniejsze wartości funkcji.

\(1\). \([-4,3]\) \(2\). \((2,3]\)

Z wykresu odczytujemy dziedzinę \([-4,3]\). Wartości mniejsze od \(1\) funkcja przyjmuje wyłącznie dla argumentów z przedziału \((2,3]\).

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów **Uwaga:** końce przedziałów muszą być oznaczone jednoznacznie jako otwarte lub domknięte.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu dziedzinę oraz przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od danej liczby. I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.

**A.** Lewy koniec \(x=-5\) jest wyłączony, a prawy koniec \(x=3\) należy do wykresu, zatem \(D_f=(-5,3]\).

Dziedzina to zbiór odciętych punktów wykresu. O tym, czy koniec przedziału do niej należy, rozstrzyga rodzaj kropki na rysunku. Z rysunku odczytujemy: wykres zaczyna się kropką **pustą** w punkcie \((-5,2)\), więc argument \(-5\) do dziedziny nie należy; kończy się kropką **pełną** w punkcie \((3,2)\), więc argument \(3\) do dziedziny należy. Wszystkie argumenty pomiędzy są pokryte: odcinek malejący do punktu \((-2,-1)\), odcinek poziomy do punktu \((1,-1)\) i — po skoku wartości — odcinek rosnący od \(x=1\) do \(x=3\). Zatem \[D_f=(-5,3\rangle.\] Warianty C i D podają zbiór wartości, a nie dziedzinę. **Odpowiedź.** A: \((-5,3\rangle\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.3) Odczytuje z wykresu dziedzinę funkcji.

**D.** Z wykresu \(f(-3)=0\). Wartości ujemne funkcja przyjmuje dla \(x\in(-3,1]\), ponieważ w punkcie \(x=1\) wartość funkcji wynosi \(-1\).

Najpierw odczytujemy prawą stronę nierówności. Punkt \((-3,0)\) leży na pierwszym odcinku wykresu, więc \[f(-3)=0.\] Nierówność \(f(x)<f(-3)\) sprowadza się zatem do \(f(x)<0\), czyli pytamy, dla jakich argumentów wykres leży poniżej osi \(Ox\). Z rysunku odczytujemy: - na odcinku od \((-5,2)\) do \((-2,-1)\) wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((-3,0)\); poniżej osi leży dla \(x\in(-3,-2\rangle\); - odcinek poziomy o równaniu \(y=-1\) dla \(x\in\langle-2,1\rangle\) leży w całości poniżej osi, a jego prawy koniec \((1,-1)\) zaznaczono kropką pełną, więc \(x=1\) należy do rozwiązania; - ostatni odcinek zaczyna się kropką pustą w punkcie \((1,0)\) i rośnie do \((3,2)\), więc dla \(x>1\) wartości są dodatnie. Łącząc te przedziały, otrzymujemy \[(-3,-2\rangle\cup\langle-2,1\rangle=(-3,1\rangle.\] **Odpowiedź.** D: \((-3,1\rangle\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.3) Odczytuje z wykresu przedziały, na których funkcja spełnia nierówność.

\(1\). \(D_f=(-5,3]\) \(2\). \(ZW_f=[0,3]\) \(3\). Zbiór miejsc zerowych: \([-2,1]\) \(4\). \((-3,1]\)

Wykres składa się z trzech fragmentów odpowiadających trzem wierszom wzoru. Na rysunku widać kropkę pustą w punkcie \((-5,3)\), kropkę pełną w punkcie \((1,0)\), kropkę pustą w punkcie \((1,1)\) i kropkę pełną w punkcie \((3,3)\) — to one rozstrzygają o domknięciach przedziałów. **Dziedzina.** Jest sumą przedziałów, w których określono kolejne wzory: \[(-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3].\] **Zbiór wartości.** Na przedziale \((-5,-2]\) funkcja \(f(x)=-x-2\) maleje: wartości \(3\) nie osiąga (bo \(x=-5\) nie należy do dziedziny), a w punkcie \(x=-2\) przyjmuje \(0\); daje to zbiór \([0,3)\). Na przedziale \((-2,1]\) jedyną wartością jest \(0\). Na przedziale \((1,3]\) mamy \(f(x)=x\), więc wartości tworzą zbiór \((1,3]\). Suma: \[[0,3)\cup(1,3]=[0,3].\] **Miejsca zerowe.** Na pierwszym fragmencie \(-x-2=0\) daje \(x=-2\). Na drugim \(f(x)=0\) dla każdego \(x\in(-2,1]\). Na trzecim \(f(x)=x>1\), więc miejsc zerowych tam nie ma. Razem \[\{-2\}\cup(-2,1]=[-2,1].\] **Nierówność \(f(x)<f(-3)\).** Najpierw obliczamy prawą stronę: \(f(-3)=-(-3)-2=1\). Nierówność \(f(x)<1\) rozwiązujemy w każdym fragmencie: z \(-x-2<1\) wynika \(x>-3\), czyli \(x\in(-3,-2]\); na \((-2,1]\) zachodzi \(0<1\), więc cały przedział; na \((1,3]\) nierówność \(x<1\) nie ma rozwiązań. Razem \[(-3,-2]\cup(-2,1]=(-3,1].\] **Odpowiedź.** \(1\). \((-5,3]\). \(2\). \([0,3]\). \(3\). \([-2,1]\). \(4\). \((-3,1]\).

1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie, maksymalnie 4 pkt.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: V.4) Odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały; I.6) posługuje się przedziałami.

\[[-5,-1)\cup(7,8].\]

Z wykresu odczytujemy argumenty, dla których wykres leży powyżej prostej \(y=2\): \[x\in[-5,-1)\cup(7,8].\]

**1 pkt** – poprawne podanie całego zbioru rozwiązań **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby.

\[[-5,-1)\cup(7,8].\]

Z wykresu odczytujemy wszystkie argumenty, dla których wykres funkcji leży powyżej prostej \(y=2\). Są to \[x\in[-5,-1)\cup(7,8].\]

**1 pkt** – poprawne podanie całego zbioru rozwiązań **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby.

**D.** \([-3,3]\)

Na wykresie wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentu dokładnie na przedziale \([-3,3]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu przedziały monotoniczności funkcji.

**D.** \([-3,3]\)

Z wykresu odczytujemy, że wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentu na przedziale \([-3,3]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu przedziały monotoniczności funkcji.

\(1\). \(6\) \(2\). \(0\)

Z wykresu odczytujemy, że największa rzędna punktu należącego do wykresu jest równa \(6\). Na fragmencie wykresu odpowiadającym argumentom \(x\in[6,8]\) najmniejsza wartość funkcji wynosi \(0\).

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu luk **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednej luki **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu największe i najmniejsze wartości funkcji w danym przedziale domkniętym.

\(1\). \(6\) \(2\). \(0\)

Największa rzędna punktu należącego do wykresu jest równa \(6\). Na części wykresu odpowiadającej argumentom \(x\in[6,8]\) najmniejsza wartość funkcji wynosi \(0\).

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie obu luk **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednej luki **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje największe i najmniejsze wartości funkcji w przedziale domkniętym.

\(1\). \(D_f=[-4,4)\) \(2\). \(W_f=(-3,3]\) \(3\). \(\{x:f(x)>0\}=[-4,3)\) \(4\). \(\{x:f(x)=3\}=[-2,2]\)

Funkcja jest opisana trzema wzorami; każdy z nich rozpatrujemy na swoim przedziale, a wyniki sumujemy. Z rysunku odczytujemy, które końce odcinków należą do wykresu. **Dziedzina.** Suma przedziałów z definicji: \[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4).\] **Zbiór wartości.** Na \([-4,-2]\) funkcja \(f(x)=x+5\) rośnie od \(f(-4)=1\) do \(f(-2)=3\), czyli daje \([1,3]\). Na \((-2,2]\) jest stała i równa \(3\). Na \((2,4)\) funkcja \(f(x)=-3x+9\) maleje od wartości bliskich \(3\) do wartości bliskich \(-3\), przy czym żaden z tych krańców nie jest osiągany, czyli daje \((-3,3)\). Suma: \[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\] **Wartości dodatnie.** Na \([-4,-2]\) mamy \(f(x)\geq1>0\) — cały przedział. Na \((-2,2]\) wartość \(3>0\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9>0\iff x<3\), czyli \((2,3)\). Suma: \[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3).\] **Równanie \(f(x)=3\).** Na \([-4,-2]\): \(x+5=3\), czyli \(x=-2\), i liczba ta należy do przedziału. Na \((-2,2]\) funkcja jest stale równa \(3\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9=3\), czyli \(x=2\), ale \(2\notin(2,4)\). Suma: \[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2].\] **Odpowiedź.** \(1\). \([-4,4)\) \(2\). \((-3,3]\) \(3\). \([-4,3)\) \(4\). \([-2,2]\)

**4 pkt** – poprawne uzupełnienie czterech zdań **3 pkt** – poprawne uzupełnienie trzech zdań **2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów **Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** pomylenie porządku liczb na osi przy zachowaniu poprawnych krańców, na przykład zapis \((4,-4]\) zamiast \([-4,4)\), daje \(1\) punkt za tak uzupełnione zdanie.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub mniejsze od danej liczby, oraz wartości największe i najmniejsze w danym przedziale domkniętym; I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.

**B.** Z wykresu odczytujemy \(f(-2)=-3\) i \(f(2)=1\). Zatem \(f(-2)+3f(2)=-3+3=0\).

Obie potrzebne wartości odczytujemy bezpośrednio z wykresu. Dla \(x=-2\) punkt wykresu leży na odcinku rosnącym, na wysokości \(-3\), więc \(f(-2)=-3\). Dla \(x=2\) wykres leży na wysokości \(1\), więc \(f(2)=1\). Podstawiamy: \[f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot1=-3+3=0.\] **Odpowiedź.** B: \(0\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: G8.3) Odczytuje z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu.

**C.** Najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\), a największą \(3\); obie są przyjmowane. Zbiorem wartości jest \([-4,3]\).

Zbiorem wartości jest zbiór rzędnych punktów wykresu; sprawdzamy najniższy i najwyższy punkt oraz rodzaj kropek na końcach. Z rysunku odczytujemy, że najniżej wykres schodzi w wierzchołku \((-3,-4)\) — punkt ten należy do wykresu, więc wartość \(-4\) jest przyjmowana. Najwyżej wykres wznosi się w prawym końcu, zaznaczonym kropką **pełną** w punkcie \((4,3)\), więc wartość \(3\) też jest przyjmowana. Wykres jest linią ciągłą, więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Lewy koniec, kropka pusta w punkcie \((-5,0)\), nie zmienia wyniku, bo wartość \(0\) jest przyjmowana także w miejscu zerowym \(x=1\). Zatem \[ZW_f=\langle-4,3\rangle.\] Oba końce są domknięte, co wyklucza warianty A, B i D. **Odpowiedź.** C: \(\langle-4,3\rangle\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.3) Odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym zbiór wartości.

\(1\). Miejscem zerowym jest liczba \(1\). \(2\). \(f(-2)+3\cdot f(2)=0\).

Funkcja jest opisana dwoma wzorami; przy każdym rachunku sprawdzamy, do którego przedziału należy rozpatrywany argument. Z rysunku odczytujemy, że wykres tworzą dwa odcinki: malejący na \((-5,-3]\) i rosnący na \((-3,4]\). **Miejsce zerowe.** Dla \(x\in(-5,-3]\): \(-2x-10=0\) daje \(x=-5\), ale \(-5\notin(-5,-3]\), więc ten argument odpada. Dla \(x\in(-3,4]\): \(x-1=0\) daje \(x=1\), a \(1\in(-3,4]\), więc \(x=1\) jest miejscem zerowym. **Wartość wyrażenia.** Argument \(-2\) należy do \((-3,4]\), więc \[f(-2)=-2-1=-3.\] Argument \(2\) również należy do \((-3,4]\), więc \[f(2)=2-1=1.\] Stąd \[f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot1=0.\] **Odpowiedź.** \(1\). \(x=1\) \(2\). \(0\)

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania. 2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie miejsc zerowych i obliczanie wartości funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach, z kontrolą przynależności argumentu do właściwego przedziału. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\(1\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4,3]\). \(2\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)<-2\) jest przedział \((-4,-1)\).

Funkcja składa się z dwóch odcinków prostych; każdy rozpatrujemy osobno, a wyniki sumujemy. Z rysunku odczytujemy, które końce należą do wykresu. **Zbiór wartości.** Na \((-5,-3]\) funkcja \(f(x)=-2x-10\) jest malejąca, więc gdy \(x\) rośnie od wartości bliskich \(-5\) do \(-3\), wartości maleją od bliskich \(-2\cdot(-5)-10=0\) do \(f(-3)=-4\). Daje to przedział \([-4,0)\). Na \((-3,4]\) funkcja \(f(x)=x-1\) jest rosnąca i przyjmuje wartości od bliskich \(-4\) (bez tej wartości) do \(f(4)=3\). Daje to \((-4,3]\). Suma: \[[-4,0)\cup(-4,3]=[-4,3].\] **Nierówność \(f(x)<-2\).** Na \((-5,-3]\): \(-2x-10<-2\), czyli \(-2x<8\), a po podzieleniu przez liczbę ujemną \(x>-4\); część wspólna z przedziałem daje \((-4,-3]\). Na \((-3,4]\): \(x-1<-2\), czyli \(x<-1\); część wspólna daje \((-3,-1)\). Suma: \[(-4,-3]\cup(-3,-1)=(-4,-1).\] **Odpowiedź.** \(1\). \([-4,3]\) \(2\). \((-4,-1)\)

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania z jednoznacznym domknięciem końców. 2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie z wykresu i wzoru zbioru wartości funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach oraz rozwiązywanie nierówności \(f(x)<a\) w każdym z tych przedziałów osobno, z jednoznacznym zapisem otwartości krańców. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(4\)

Z wykresu odczytujemy, że największa osiągana wartość funkcji \(f\) jest równa \(4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym wartość największą.

**A.** \([-1,1]\)

Z wykresu odczytujemy, że na przedziale \([-1,1]\) wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentu.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym maksymalne przedziały, w których funkcja maleje.

\[[0,4].\]

Z wykresu odczytujemy, że prosta \(y=2\) przecina wykres funkcji \(f\) dla \(x=0\) oraz \(x=4\). Pomiędzy tymi punktami wykres leży na wysokości nie większej niż \(2\), dlatego \[f(x)\leq2\iff x\in[0,4].\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: \([0,4]\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości nie większe od danej liczby.

\(1\). \((-4,4]\) \(2\). \([-1,3]\) \(3\). \((1,3)\) \(4\). \((-4,-2]\)

Z definicji przedziałowej funkcji odczytujemy wszystkie argumenty, dla których jest określona: \[D_f=(-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4]=(-4,4].\] Najmniejszą wartością funkcji jest \(-1\), osiągana dla \(x=2\), a największą jest \(3\), osiągana dla \(x\in(-4,-2]\). Zatem \[W_f=[-1,3].\] Na środkowym odcinku \(-x+1<0\) dla \(x>1\), co daje \((1,2]\). Na prawym odcinku \(x-3<0\) dla \(x<3\), co daje \((2,3)\). Łącznie funkcja przyjmuje wartości ujemne dla \[x\in(1,3).\] Największa wartość \(3\) jest przyjmowana dla \[x\in(-4,-2].\]

**4 pkt** – zapisanie dokładnie czterech poprawnych odpowiedzi **3 pkt** – zapisanie dokładnie trzech poprawnych odpowiedzi **2 pkt** – zapisanie dokładnie dwóch poprawnych odpowiedzi **1 pkt** – zapisanie dokładnie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub mniejsze od danej liczby, oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

\[[-2,4].\]

Parabola ma ramiona skierowane w dół i przecina oś \(Ox\) dla \(x=-2\) oraz \(x=4\). Wartości funkcji są nieujemne między miejscami zerowymi, łącznie z nimi. Zatem \[f(x)\geq0\iff x\in[-2,4].\]

**1 pkt** – wpisanie przedziału \([-2,4]\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi **Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** jeżeli zdający pomyli porządek liczb na osi i zapisze \([4,-2]\), otrzymuje 1 punkt.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe albo mniejsze lub równe od danej liczby.

**A.** \(f(-4)=f(6)\)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek, więc ma równanie \(x=1\). Argumenty \(-4\) i \(6\) leżą w jednakowej odległości od osi symetrii: \[1-(-4)=5,\qquad 6-1=5.\] Dlatego \(f(-4)=f(6)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów.

**C.** \(5\)

Z wiersza wartości \(f(x)\) odczytujemy liczby \[-3,-4,4,1,5,0,2.\] Największą z nich jest \(5\), przyjmowana dla \(x=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.3) Zdający odczytuje z reprezentacji funkcji jej wartość największą.

**\(9\).\(1\). D** - \(5\). **\(9\).\(2\). C** - \(4\).

Z tabeli odczytujemy wartości funkcji: \[-3,-4,4,1,5,0,2.\] Największą wartością jest \(5\), więc w zadaniu \(9\).\(1\) wybieramy **D**. Miejscem zerowym jest argument, dla którego \(f(x)=0\). Z tabeli odczytujemy \(f(4)=0\), więc w zadaniu \(9\).\(2\) wybieramy **C**.

**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **D** i **C** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel.

**D.** \(4\)

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\), dla którego \(f(x)=0\). Z tabeli odczytujemy \[f(4)=0.\] Miejsce zerowe jest więc równe \(4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.3) Zdający odczytuje z reprezentacji funkcji jej miejsca zerowe.

**D.** \([-2,+\infty)\)

Najmniejsza wartość funkcji jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka, czyli \(-2\). Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę, funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-2\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-2,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym jej zbiór wartości.

\(( -\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=3\). Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc wartości niedodatnie przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi. Zatem \[f(x)\leq0\iff x\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty).\]

**1 pkt** – poprawny zbiór \(( -\infty,-1]\cup[3,+\infty)\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu miejsc zerowych i przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości nie większe od danej liczby.

**C.** \((-5,-1)\cup(1,5)\)

Dziedzinę odczytujemy z rzutów wykresu na oś \(Ox\). Lewa część wykresu jest określona dla \(x\in(-5,-1)\), a prawa dla \(x\in(1,5)\). Puste kółka oznaczają, że końce przedziałów nie należą do dziedziny. Zatem \[D_f=(-5,-1)\cup(1,5).\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** funkcje i ich wykresy; zdający odczytuje dziedzinę funkcji przedstawionej za pomocą wykresu.

**B.** \([-3,-1]\cup[1,3]\)

Z lewej części wykresu funkcja przyjmuje wszystkie wartości od \(-3\) do \(-1\), a z prawej wszystkie wartości od \(1\) do \(3\). Wartości graniczne są osiągane na odcinkach wykresu, więc należą do zbioru wartości. Zatem \[W_f=[-3,-1]\cup[1,3].\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** funkcje i ich wykresy; zdający odczytuje zbiór wartości funkcji przedstawionej za pomocą wykresu.

Dziedzina: **F**, \((-5,-1)\cup(1,5)\). Zbiór wartości: **A**, \([-3,-1]\cup[1,3]\).

Z wykresu odczytujemy wartości argumentów, dla których funkcja jest określona. Otwarte końce wykresu dają \[D_f=(-5,-1)\cup(1,5),\] czyli odpowiedź **F**. Wartości osiągane przez funkcję tworzą dwa domknięte przedziały: \[W_f=[-3,-1]\cup[1,3],\] czyli odpowiedź **A**.

**2 pkt** – wybranie obu poprawnych odpowiedzi: **F** i **A** **1 pkt** – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę i zbiór wartości.

\(x\in(-5,-3)\)

Szukamy części wykresu położonej poniżej prostej \(y=-1\). Wykres spełnia ten warunek dla argumentów większych od \(-5\) i mniejszych od \(-3\). Końce nie należą do rozwiązania, ponieważ w \(x=-5\) funkcja nie jest określona, a dla \(x=-3\) ma wartość \(-1\). Zatem \[x\in(-5,-3).\]

**1 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \((-5,-3)\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od danej liczby.

\[[-5,-1)\cup(7,8].\]

Z wykresu odczytujemy przecięcia z prostą \(y=2\): \(x=-1\) i \(x=7\). Wartości większe od \(2\) funkcja przyjmuje od lewego końca dziedziny do \(-1\) bez tego punktu oraz od \(7\) bez tego punktu do prawego końca dziedziny.

**1 pkt** – poprawny zbiór \([-5,-1)\cup(7,8]\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby.

\[[-5,-1)\cup(7,8].\]

Z wykresu odczytujemy, że wartości większe od \(2\) funkcja przyjmuje dla \(x\in[-5,-1)\) oraz dla \(x\in(7,8]\). Punkty, w których \(f(x)=2\), nie należą do rozwiązania.

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby.

\[[-3,3].\]

Na wykresie funkcja maleje od punktu o argumencie \(x=-3\) do punktu o argumencie \(x=3\). Jest to maksymalny przedział malejącości.

**1 pkt** – poprawny przedział \([-3,3]\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów monotoniczności.

\[[-3,3].\]

Na wykresie funkcja maleje od punktu o argumencie \(x=-3\) do punktu o argumencie \(x=3\). Maksymalny przedział malejącości to \([-3,3]\).

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów monotoniczności funkcji.

Największa wartość: \(6\). Najmniejsza wartość: \(-6\).

Najwyższy punkt wykresu ma współrzędną \(y=6\), a najniższy punkt ma współrzędną \(y=-6\). Zatem \(\max f=6\) i \(\min f=-6\).

**1 pkt** – podanie obu wartości: \(6\) i \(-6\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\), a najmniejsza jest równa \(-6\).

Z wykresu odczytujemy najwyższą rzędną \(6\) oraz najniższą rzędną \(-6\).

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

**A.** \([-6,5]\)

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla wszystkich argumentów od \(-6\) do \(5\), a oba końce należą do dziedziny. Zatem \(D_f=[-6,5]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę.

**C.** \(2\)

Dla \(x\in[-4,1]\) najwyżej położony punkt wykresu ma rzędną \(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w tym przedziale jest więc równa \(2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu największą wartość funkcji w danym przedziale domkniętym.

**D.** \([2,5]\)

Na odcinku argumentów od \(2\) do \(5\) wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentu. Zatem funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \([2,5]\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 zdający odczytuje z wykresu przedziały monotoniczności funkcji.

**B.** \([5,7]\)

Z wykresu odczytujemy, że na przedziale \([5,7]\) wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem argumentu. Na pozostałych podanych przedziałach funkcja jest stała albo przedział obejmuje fragment malejący.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - odczytywanie przedziałów monotoniczności z wykresu.

\([-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\)

Z wykresu odczytujemy argumenty, dla których wykres leży powyżej prostej \(y=1\). Są to: - cały odcinek od \(-7\) do \(-5\), - odcinek od \(-4\) do \(2\), bez punktu \(2\), - odcinek od \(5\) do \(7\), bez punktu \(5\). Zatem szukany zbiór to \[[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7].\]

**1 pkt** – poprawny zbiór \([-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - odczytywanie z wykresu zbioru argumentów spełniających nierówność \(f(x)>1\).

**C.** Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Rozwiązania równania \(f(x)=-1\) odpowiadają punktom przecięcia wykresu z prostą poziomą \(y=-1\). W przedziale \((-4,6)\) są dwa takie punkty: jeden na parabolicznym fragmencie wykresu i jeden na fragmencie liniowym.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G8.3 odczytywanie z wykresu funkcji argumentów dla danej wartości funkcji.

**B.** \(-8\)

**Krok \(1\).** Nie mamy wzoru funkcji, tylko jej wykres — wszystkie potrzebne wartości musimy z niego **odczytać**. Zasada odczytu: \(f(a)\) to druga współrzędna (wysokość) tego punktu wykresu, którego pierwsza współrzędna jest równa \(a\). Odnajdujemy \(a\) na osi \(OX\), idziemy pionowo do wykresu i stamtąd poziomo do osi \(OY\). **Krok \(2\).** Odczyt dla \(x=-3\): punkt wykresu leży poniżej osi \(OX\), na wysokości \(-2\), więc \[f(-3)=-2.\] **Krok \(3\).** Odczyt dla \(x=0\): to punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\), leży na wysokości \(1\), więc \[f(0)=1.\] **Krok \(4\).** Odczyt dla \(x=4\): punkt wykresu leży na wysokości \(4\), więc \[f(4)=4.\] **Krok \(5\).** Mnożymy trzy odczytane wartości, pilnując znaku: \[f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)=(-2)\cdot1\cdot4=-8.\] **Uwaga.** Warto najpierw sprawdzić, czy któryś z argumentów \(-3\), \(0\), \(4\) nie jest miejscem zerowym funkcji: gdyby wykres w tym miejscu przecinał oś \(OX\), cały iloczyn byłby równy \(0\) (odpowiedź C) i nie trzeba by nic mnożyć. Tutaj tak nie jest. Pamiętajmy też, że jeden czynnik ujemny daje iloczyn ujemny. **Odpowiedź.** B: \(-8\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G8.3 odczytywanie z wykresu wartości funkcji dla danego argumentu.

\[[-4,4].\]

Najmniejsza wartość odczytana z wykresu funkcji \(f\) jest równa \(-4\), a największa jest równa \(4\). Wykres przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi, zatem zbiorem wartości jest \[[-4,4].\]

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej dziedziny i zbioru wartości.

**F, P.**

Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe, ponieważ dla argumentów z części przedziału \((-4,-2)\), położonych odpowiednio blisko \(-2\), wykres znajduje się nad osią \(Ox\). Drugie stwierdzenie jest prawdziwe: wykres przecina oś \(Ox\) dla \(x=-4\), \(x=0\) oraz jeszcze raz pomiędzy \(-3\) i \(-2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: F, P **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu miejsc zerowych oraz przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

**C.** \(-2\)

Na części wykresu odpowiadającej argumentom \(x\in[-4,0]\) najniżej położony punkt ma współrzędne \((-3,-2)\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) na tym przedziale jest więc równa \[-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym.

**D.** \(f(x)=2\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\)

Z wykresu odczytujemy amplitudę \(2\pi\), więc współczynnik przed sinusem musi być równy \(2\pi\). Kolejne maksima występują dla \(x=\pi\) i \(x=5\pi\), zatem okres funkcji wynosi \(4\pi\). Funkcja \(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\) ma właśnie okres \(4\pi\). Dlatego \[f(x)=2\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** posługiwanie się wykresami funkcji trygonometrycznych oraz rozpoznawanie amplitudy i okresu funkcji sinus.

**C.** Funkcja \(f\) osiąga wartość największą równą \(1\).

Z wykresu odczytujemy, że wartość \(1\) jest przyjmowana przez funkcję, między innymi dla wszystkich \(x\in[5,6]\), i żadna wartość funkcji nie jest większa od \(1\). Zatem funkcja osiąga maksimum równe \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** odczytywanie z wykresu miejsc zerowych, zbioru wartości, znaków i wartości największej funkcji.

**C.** \(f(x)=\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}\)

Dla \(\cos x\geq0\) wzór z odpowiedzi C daje \[f(x)=\frac{\cos x-2}{\cos x-2}=1,\] co odpowiada poziomym fragmentom wykresu. Dla \(\cos x<0\) funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(1\), a minima występują dla \(x=(2k+1)\pi\), zgodnie z rysunkiem. Wykres ma okres \(2\pi\), zatem poprawna jest odpowiedź C.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R6.4 posługiwanie się wykresami funkcji trygonometrycznych.

**D.** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \((-4,5]\).

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości większe od \(-4\) i nie większe niż \(5\). Wartość \(-4\) odpowiada punktowi niezamalowanemu, a wartość \(5\) jest osiągana w punkcie należącym do wykresu. Zatem \[W_f=(-4,5].\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności funkcji.

**D.** Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odcinek \(BC\) należy do wykresu funkcji i jest zawarty w prostej \(y=-1\). Dla każdego \(x\in[2,4]\) zachodzi więc \(f(x)=-1\). Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** odczytywanie własności funkcji z wykresu i graficzna interpretacja równania \(f(x)=c\).

**C.** \([5,6]\).

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest stała na \([-2,1]\), malejąca na \([1,5]\), rosnąca na \([5,6]\) i ponownie stała na \([6,9]\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, odczytywanie przedziałów monotoniczności z wykresu.

**D.** \((-2,2]\).

Z wykresu odczytujemy, że najmniejsza wartość \(-2\) nie jest przyjmowana, co oznaczono pustym punktem. Największa wartość \(2\) jest przyjmowana przez funkcję. Wszystkie wartości pośrednie również występują, więc zbiorem wartości jest \((-2,2]\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 zdający odczytuje z wykresu własności funkcji.

**D.** \((-3,8\rangle\)

Dziedzina to zbiór odciętych wszystkich punktów wykresu, czyli rzut wykresu na oś \(Ox\). O domknięciu końców rozstrzyga rodzaj kropki. Z rysunku odczytujemy, że wykres zaczyna się kropką **pustą** w punkcie \((-3,-3)\) — argument \(-3\) nie należy do dziedziny — i kończy kropką **pełną** w punkcie \((8,3)\), więc argument \(8\) do dziedziny należy. Między nimi wykres jest nieprzerwany. Zatem \[D_f=(-3,8\rangle.\] **Odpowiedź.** D: \((-3,8\rangle\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**A.** \(3\)

Największą wartością funkcji jest rzędna najwyżej położonego punktu wykresu. Z rysunku odczytujemy, że wykres najwyżej wznosi się na poziom \(3\): najpierw na poziomym odcinku między punktami \((-1,3)\) i \((2,3)\), a następnie w prawym końcu, zaznaczonym kropką pełną w punkcie \((8,3)\). Wartość \(3\) jest więc osiągana i żadna wartość funkcji jej nie przekracza. Liczba \(8\) z wariantu D jest największym **argumentem**, a nie wartością — to typowe pomylenie osi. **Odpowiedź.** A: \(3\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**A.** \(\langle-3,5\rangle\)

Zbiorem wartości jest zbiór rzędnych punktów wykresu. Wykres funkcji \(f\) jest łamaną ciągłą o końcach zaznaczonych kropkami pełnymi w punktach \((-6,2)\) i \((7,-3)\), więc przyjmuje wszystkie wartości między swoim najniższym a najwyższym punktem. Z rysunku odczytujemy: najwyżej wykres wznosi się w punkcie \((0,5)\), a najniżej schodzi w prawym końcu \((7,-3)\). Zatem \[ZW_f=\langle-3,5\rangle.\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-3,5\rangle\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**B.** \((5,7\rangle\)

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla tych argumentów, dla których wykres leży poniżej osi \(Ox\). Z rysunku odczytujemy, że wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Ox\) tylko raz — dla \(x=5\), na ostatnim opadającym odcinku. Na lewo od tego punktu cały wykres leży nad osią, na prawo — pod osią, aż do końca dziedziny w punkcie \((7,-3)\), zaznaczonego kropką pełną. Zbiorem argumentów o wartościach ujemnych jest więc przedział \((5,7\rangle\): lewy koniec wykluczamy, bo \(f(5)=0\), a prawy włączamy, bo \(x=7\) należy do dziedziny i \(f(7)=-3<0\). **Odpowiedź.** B: \((5,7\rangle\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

a) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(7\). b) \(f(x)<0\) dla \(x\in(-3,5)\).

Odczytu dokonujemy z wykresu funkcji określonej na przedziale \(\langle-7,8\rangle\); oba końce wykresu zaznaczono kropkami pełnymi. **a)** Najwyżej położony punkt wykresu to wierzchołek prawego garbu: dla \(x=6\) wykres sięga poziomu \(y=7\). Żaden inny fragment nie wznosi się wyżej — lewy koniec leży na poziomie \(6\), a prawy na poziomie \(4\). Największa wartość funkcji jest więc równa \[f(6)=7.\] **b)** Nierówność \(f(x)<0\) spełniają te argumenty, dla których wykres leży poniżej osi \(Ox\). Wykres przecina oś \(Ox\) dokładnie dwa razy: opadając dla \(x=-3\) i wznosząc się dla \(x=5\). Między tymi argumentami cały wykres leży pod osią, poza nimi nad osią. Same miejsca zerowe wykluczamy, bo nierówność jest ostra: \[f(x)<0\iff x\in(-3,5).\] **Odpowiedź.** a) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(7\). b) \(f(x)<0\) dla \(x\in(-3,5)\).

1 pkt: poprawne podanie największej wartości 7 albo poprawne podanie przedziału (−3, 5). 2 pkt: poprawne podanie obu odpowiedzi.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne (II.4.b).

**B.** \(3\)

Szukamy najwyżej położonego punktu wykresu, ale tylko na fragmencie odpowiadającym przedziałowi \(\langle-1,1\rangle\); wartości poza tym przedziałem nie mają znaczenia. Z rysunku odczytujemy, że dla \(x=-1\) wykres osiąga lokalne minimum \(f(-1)=1\), a następnie rośnie aż do punktu \((1,3)\). Na całym przedziale \(\langle-1,1\rangle\) funkcja jest więc rosnąca i największą wartość przyjmuje w prawym końcu: \[f(1)=3.\] Wartość \(4\) wykres osiąga w punkcie \((-3,4)\), który leży poza rozważanym przedziałem, więc odpowiedź A jest błędna. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 25. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.**

Miejsce zerowe to argument, dla którego wykres przecina lub dotyka osi \(Ox\). Liczymy punkty wspólne z osią \(Ox\) w przedziale \(\langle-4,4\rangle\) na każdym rysunku. Na rysunku A jest to parabola o ramionach skierowanych w dół, która przecina oś \(Ox\) w dwóch punktach (o odciętych \(-2\) i \(3\)) — dwa miejsca zerowe. Na rysunku B wykresem jest prosta pozioma \(y=3\), która osi \(Ox\) w ogóle nie przecina — zero miejsc zerowych. Na rysunku C wykresem jest prosta rosnąca przechodząca przez początek układu współrzędnych; przecina oś \(Ox\) dokładnie w jednym punkcie \((0,0)\) — jedno miejsce zerowe. Na rysunku D łamana przecina oś \(Ox\) dwa razy: raz na odcinku rosnącym i raz na odcinku opadającym — dwa miejsca zerowe. **Odpowiedź.** C

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych (I.4.b).

**C.** \(\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle\)

Zbiorem wartości jest zbiór rzędnych punktów wykresu. Wykres składa się z dwóch rozłącznych odcinków, więc odczytujemy go osobno dla każdego z nich, zwracając uwagę na rodzaj kropek na końcach. Dolny odcinek biegnie od kropki pełnej w punkcie \((-5,-4)\) do kropki pełnej w punkcie \((-2,-1)\) i rośnie, więc daje wszystkie wartości z przedziału domkniętego \(\langle-4,-1\rangle\). Górny odcinek zaczyna się kropką **pustą** w punkcie \((-2,1)\) — wartość \(1\) nie jest przyjmowana — rośnie do punktu \((3,3)\), a dalej biegnie poziomo do kropki pełnej w punkcie \((6,3)\). Daje więc wszystkie wartości z przedziału \((1,3\rangle\). Zbiorem wartości jest suma obu zbiorów: \[ZW_f=\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle.\] Różnica między odpowiedziami B i C polega wyłącznie na domknięciu w liczbie \(1\); rozstrzyga o niej pusta kropka na rysunku. **Odpowiedź.** C: \(\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – odczytuje zbiór wartości funkcji z wykresu.

a) \(ZW_f=\langle-2,3\rangle\) b) \(\langle-2,2\rangle\)

Wykres jest łamaną, której końce zaznaczono kropkami pełnymi w punktach \((-4,0)\) i \((8,1)\) — oba należą do wykresu. **a)** Zbiór wartości to zbiór rzędnych punktów wykresu. Najniżej wykres schodzi w punkcie \((2,-2)\), a najwyżej wznosi się w punkcie \((-2,3)\). Łamana jest linią ciągłą, więc przyjmuje też wszystkie wartości pośrednie: \[ZW_f=\langle-2,3\rangle.\] **b)** Funkcja maleje tam, gdzie wykres opada od lewej ku prawej. Jedyny opadający fragment łamanej biegnie od punktu \((-2,3)\) do punktu \((2,-2)\); poza nim wykres rośnie albo jest stały. Przedziałem maksymalnej długości, w którym funkcja \(f\) jest malejąca, jest zatem \[\langle-2,2\rangle.\] **Odpowiedź.** a) \(ZW_f=\langle-2,3\rangle\). b) Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\langle-2,2\rangle\).

1 pkt: poprawne podanie zbioru wartości [−2, 3] albo przedziału malejącego [−2, 2]. 2 pkt: poprawne podanie obu odpowiedzi.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Odczytanie z wykresu funkcji zbioru wartości oraz maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje.

**C.** \(\langle-1,4\rangle\)

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich drugich współrzędnych punktów jej wykresu. Z rysunku odczytujemy, że wykres jest łamaną ciągłą określoną na \(\langle-1,8\rangle\): zaczyna się w punkcie \((-1,-1)\), rośnie do poziomu \(y=1\), przebiega poziomo, następnie rośnie do najwyższego punktu o rzędnej \(4\) i opada do punktu \((8,1)\). Najmniejszą wartością jest \(-1\), największą \(4\), a wykres jest linią ciągłą, więc przyjmowane są wszystkie wartości pośrednie — także niecałkowite. To wyklucza wariant A. Końce należą do zbioru wartości, więc przedział jest domknięty. **Odpowiedź.** C. \(\langle-1,4\rangle\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie z wykresu zbioru wartości funkcji, wraz z rozróżnieniem przedziału i zbioru skończonego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(\langle-2,5\rangle\)

Zbiorem wartości jest zbiór wszystkich rzędnych punktów wykresu. Wykres jest łamaną o końcach zaznaczonych kropkami pełnymi w punktach \((-4,4)\) i \((8,-1)\), więc jest ciągły i przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między swoim najniższym i najwyższym punktem. Z rysunku odczytujemy: najwyżej wykres wznosi się w punkcie \((-2,5)\), a najniżej schodzi w punkcie \((1,-2)\). Zatem \[ZW_f=\langle-2,5\rangle.\] Pozostałe warianty odpowiadają odczytom z osi \(Ox\) albo wartościom, których wykres nie osiąga. **Odpowiedź.** A: \(\langle-2,5\rangle\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – odczytuje zbiór wartości funkcji z wykresu.

**B.** \(f(1)<f(3)\)

Porównanie wartości funkcji sprowadza się do porównania wysokości punktów wykresu o podanych odciętych. Z wykresu odczytujemy: dla \(x=1\) wykres osiąga najniższy punkt, czyli \(f(1)=-2\); dla \(x=3\) wykres leży na poziomie \(1\), czyli \(f(3)=1\); dla \(x=-1\) i \(x=0\) wykres leży na opadającym odcinku łączącym punkty \((-2,5)\) i \((1,-2)\), a więc powyżej osi \(Ox\): \(f(-1)>0\) i \(f(0)>0\). Sprawdzamy kolejne warianty: - \(f(-1)<f(1)\) jest fałszywe, bo \(f(-1)>0>-2=f(1)\); - \(f(1)<f(3)\) jest prawdziwe, bo \(-2<1\); - \(f(-1)<f(3)\) jest fałszywe, bo punkt wykresu dla \(x=-1\) leży wyżej niż poziom \(1\); - \(f(3)<f(0)\) jest fałszywe, bo \(f(3)=1\), a \(f(0)\) jest mniejsze od \(1\) (wykres przecina oś \(Ox\) tuż po \(x=0\)). **Odpowiedź.** B: \(f(1)<f(3)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – porównuje wartości funkcji odczytane z wykresu.

**A.** \(\langle-2,5\rangle\)

Zbiór wartości odczytujemy z wykresu jako zbiór wszystkich drugich współrzędnych jego punktów. Z rysunku odczytujemy, że wykres jest łamaną ciągłą: zaczyna się w punkcie \((-4,4)\), rośnie do najwyższego punktu \((-2,5)\), następnie opada do najniższego punktu \((1,-2)\), po czym znów rośnie i kończy się w punkcie \((8,-1)\). Najmniejsza przyjmowana wartość to \(-2\), największa \(5\), a ponieważ wykres jest linią ciągłą, przyjmowane są wszystkie wartości pośrednie. Zbiorem wartości jest więc przedział \(\langle-2,5\rangle\). **Odpowiedź.** A. \(\langle-2,5\rangle\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie z wykresu zbioru wartości funkcji Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(f(x)=2\)

Liczba rozwiązań równania \(f(x)=c\) jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu funkcji \(f\) z prostą poziomą \(y=c\). Z rysunku odczytujemy kształt wykresu: opada on od punktu \((-1,8)\) do punktu \((2,0)\), następnie wznosi się do lokalnego maksimum \((4,2)\), opada do punktu \((6,0)\) i wznosi się do prawego końca leżącego na wysokości \(8\). Prowadzimy kolejne proste poziome: - \(y=0\) — dwa punkty wspólne (\(x=2\) i \(x=6\)); - \(y=1\) — cztery punkty wspólne (po dwa na każdym „dołku”); - \(y=2\) — prosta przechodzi przez wierzchołek środkowego łuku, więc daje jeden punkt wspólny w \(x=4\), a ponadto po jednym punkcie na lewym i prawym ramieniu wykresu: razem trzy; - \(y=3\) — dwa punkty wspólne, oba na zewnętrznych ramionach. Dokładnie trzy rozwiązania ma zatem równanie \(f(x)=2\). **Odpowiedź.** C: \(f(x)=2\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytywanie wartości funkcji z jej wykresu.

a) Zbiór wartości: \(\langle-4,3\rangle\). b) \(f(1-\sqrt{10})=-4\), bo \(-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2\). c) \(y=\dfrac74x-\dfrac12\). d) \(|BC|=\sqrt{65}\).

**Krok \(1\).** Całe zadanie opiera się na jednym rysunku, a wszystkie potrzebne dane to współrzędne czterech wierzchołków łamanej. Zbiór wartości odczytujemy jako zbiór rzędnych punktów wykresu, wartość funkcji w punkcie — jako rzędną odpowiedniego punktu łamanej, a do podpunktów c) i d) używamy wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty oraz wzoru na długość odcinka. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Najniżej położone punkty wykresu to odcinek \(AB\) o rzędnej \(-4\), najwyżej — odcinek \(CD\) o rzędnej \(3\). Łamana jest linią ciągłą, więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy tymi skrajnymi. Zbiorem wartości jest przedział \(\langle-4,3\rangle\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Musimy najpierw ustalić, gdzie na osi \(Ox\) leży liczba \(1-\sqrt{10}\). Ponieważ \(9\lt10\lt16\), mamy \(3\lt\sqrt{10}\lt4\), a stąd \(-4\lt-\sqrt{10}\lt-3\) i po dodaniu \(1\): \[-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2.\] **Krok \(4\).** Argument \(1-\sqrt{10}\) leży więc między \(-3\) a \(-2\), czyli w przedziale odpowiadającym odcinkowi \(AB\). Odcinek ten jest poziomy i ma rzędną \(-4\), zatem \[f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4.\] **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(-2,-4)\) i \(C=(2,3)\). Współczynnik kierunkowy: \[a=\frac{3-(-4)}{2-(-2)}=\frac{7}{4}.\] **Krok \(6\).** Wyznaczamy wyraz wolny, podstawiając współrzędne punktu \(C\) do wzoru \(y=\frac74x+b\): \[3=\frac74\cdot2+b=\frac72+b,\qquad b=3-\frac72=-\frac12.\] Zatem prosta \(BC\) ma równanie \(y=\frac74x-\frac12\). Sprawdzenie punktem \(B\): \(\frac74\cdot(-2)-\frac12=-\frac72-\frac12=-4\) — zgadza się. **Krok \(7\).** Podpunkt d). Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: \[|BC|=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+\left(3-(-4)\right)^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}.\] **Uwaga.** W podpunkcie b) nie wolno wstawiać \(1-\sqrt{10}\) do wzoru prostej \(BC\) — ten argument leży poza odcinkiem \(BC\), na poziomej części wykresu. Cała trudność polega właśnie na oszacowaniu \(\sqrt{10}\) i ustaleniu, na którym kawałku łamanej znajduje się ten argument. **Odpowiedź.** a) Zbiór wartości: \(\langle-4,3\rangle\). b) \(f(1-\sqrt{10})=-4\), bo \(-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2\). c) \(y=\dfrac74x-\dfrac12\). d) \(|BC|=\sqrt{65}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Zbiór wartości funkcji \(f\) odczytuję z wykresu. Jest nim przedział \(\langle-4,3\rangle\). b) Zauważam, że \(-3<1-\sqrt{10}<-2\). Z wykresu odczytuję, że w przedziale \(\langle-3,-2\rangle\) funkcja \(f\) jest stała i dla każdego argumentu z tego przedziału przyjmuje wartość \((-4)\), zatem wartością funkcji \(f\) dla argumentu \(x=1-\sqrt{10}\) jest \((-4)\), co można zapisać \(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\). c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty \(B=(-2,-4)\) i \(C=(2,3)\): \(y-3=\frac{-4-3}{-2-2}(x-2)\), stąd \(y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}\). Obliczam długość odcinka \(BC\): \(\lvert BC\rvert=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^{2}+\left(3-(-4)\right)^{2}}=\sqrt{65}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(D=\langle-6,8\rangle\); b) \(x=-2\), \(x=3\), \(x=6\); c) \(f(5)=-1\); d) zbiór wartości: \(\langle-2,6\rangle\); e) \(\langle5,8\rangle\); f) \(x\in(-2,3)\cup(3,6)\).

**Krok \(1\).** Wszystkie podpunkty są odczytem z wykresu — nie ma tu żadnego wzoru do przekształcania. Warto zapamiętać dwa tłumaczenia: dziedzina to rzut wykresu na oś \(OX\) (jakie \(x\) są objęte wykresem), a zbiór wartości to rzut wykresu na oś \(OY\) (jakie wysokości wykres osiąga). **Krok \(2\).** Podpunkt a). Patrzymy, gdzie wykres się zaczyna i gdzie kończy, idąc wzrokiem po osi \(OX\): skrajnie po lewej jest \(x=-6\), skrajnie po prawej \(x=8\), a między nimi wykres nie ma przerw. Oba końce są zaznaczone kółkami zamalowanymi, więc należą do dziedziny: \(D=\langle-6,8\rangle\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Miejsca zerowe to odcięte punktów, w których wykres przecina lub dotyka osi \(OX\). Odczytujemy trzy takie punkty: \(x=-2\), \(x=3\), \(x=6\). **Krok \(4\).** Podpunkt c). Aby odczytać \(f(5)\), znajdujemy na osi \(OX\) liczbę \(5\), idziemy pionowo do wykresu, a potem poziomo do osi \(OY\). Trafiamy na wysokość \(-1\), więc \(f(5)=-1\). **Krok \(5\).** Podpunkt d). Teraz patrzymy na oś \(OY\): najniżej wykres schodzi na wysokość \(-2\), najwyżej wznosi się do \(6\), a wszystkie wartości pomiędzy są przyjmowane (wykres jest nieprzerwany). Zatem zbiorem wartości jest \(\langle-2,6\rangle\). **Krok \(6\).** Podpunkt e). Szukamy fragmentu, na którym wykres idzie w górę, czyli im dalej w prawo, tym wyżej, i który ma długość \(3\) (różnica końców przedziału ma być równa \(3\)). Takim fragmentem jest \(\langle5,8\rangle\): od punktu \((5,-1)\) wykres stale się wznosi aż do prawego końca dziedziny. **Krok \(7\).** Podpunkt f). Wartości ujemne to te fragmenty wykresu, które leżą poniżej osi \(OX\). Wykres jest pod osią między \(-2\) a \(6\), ale w \(x=3\) dotyka osi, przyjmując wartość \(0\) — a zero nie jest liczbą ujemną, więc tę liczbę trzeba wyciąć. **Krok \(8\).** Stąd zbiór argumentów o wartościach ujemnych to \((-2,3)\cup(3,6)\). **Uwaga.** Przy podpunktach a) i d) decyduje charakter końców wykresu (kółko zamalowane oznacza, że punkt należy, puste — że nie), a przy podpunkcie f) końce muszą być otwarte, bo w miejscach zerowych wartość wynosi \(0\), a nie mniej niż \(0\). Właśnie dlatego z odpowiedzi wypada pojedyncza liczba \(3\). **Odpowiedź.** a) \(D=\langle-6,8\rangle\); b) \(x=-2\), \(x=3\), \(x=6\); c) \(f(5)=-1\); d) zbiór wartości: \(\langle-2,6\rangle\); e) \(\langle5,8\rangle\); f) \(x\in(-2,3)\cup(3,6)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – podanie dziedziny funkcji \(f\): \(\langle -6,\,8\rangle\). **1.2. (1 pkt)** – podanie wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x=-2\), \(x=3\), \(x=6\). **1.3. (1 pkt)** – podanie wartości funkcji \(f\) dla argumentu \(x=5\): \(f(5)=-1\). **1.4. (1 pkt)** – podanie zbioru wartości funkcji \(f\): \(\langle -2,\,6\rangle\). **1.5. (1 pkt)** – podanie przedziału o długości \(3\), w którym funkcja \(f\) jest rosnąca: \(\langle 5,\,8\rangle\). **1.6. (1 pkt)** – zapisanie zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne: \(x\in(-2,3)\cup(3,6)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, czego wymaga zadanie. Podpunkty a), b) i c) to czysty odczyt z wykresu, natomiast d) i e) dotyczą wykresów PRZESUNIĘTYCH: \(g(x)=f(x-1)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(1\) jednostkę w prawo, a \(h(x)=f(x)+2\) to wykres \(f\) przesunięty o \(2\) jednostki w górę. Warto zacząć od wypisania z wykresu punktów charakterystycznych. **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: dziedziną jest \(\langle-6,6\rangle\); wykres startuje w \((-6,2)\), opada do minimum \((-3,-4)\), rośnie do maksimum lokalnego \((0,1)\), znów opada do minimum \((3,-4)\) i rośnie aż do końca dziedziny w \(x=6\). Miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią \(Ox\)) to \(-5\), \(-1\), \(1\), \(5\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wykres — idąc od lewej do prawej — wznosi się: od minimum \((-3,-4)\) do maksimum \((0,1)\) oraz od minimum \((3,-4)\) do końca dziedziny. Maksymalne przedziały to \[\langle-3,0\rangle\quad\text{oraz}\quad\langle3,6\rangle.\] **Krok \(4\).** Podpunkt b). Wartości dodatnie to te argumenty, dla których wykres leży NAD osią \(Ox\). Korzystając z miejsc zerowych i przebiegu wykresu: \[x\in\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle.\] (Końce dziedziny \(-6\) i \(6\) należą do zbioru, bo tam wykres jest nad osią, natomiast same miejsca zerowe nie należą, bo wartość funkcji jest tam równa \(0\).) **Krok \(5\).** Podpunkt c). Ograniczamy się tylko do fragmentu wykresu nad przedziałem \(\langle-5,5\rangle\). Najwyżej położony punkt tego fragmentu to maksimum lokalne \((0,1)\), więc największa wartość wynosi \[1\quad\text{(dla }x=0\text{)}.\] **Krok \(6\).** Podpunkt d). Miejsca zerowe \(g\) to takie \(x\), dla których \(g(x)=f(x-1)=0\), czyli takie, że \(x-1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\): \[x-1\in\{-5,-1,1,5\}.\] **Krok \(7\).** Dodajemy \(1\) do każdej z tych liczb (to samo widać jako przesunięcie wykresu o \(1\) w prawo): \[x\in\{-4,\,0,\,2,\,6\}.\] **Krok \(8\).** Podpunkt e). Przesunięcie wykresu o \(2\) w górę zwiększa każdą wartość o \(2\), więc najmniejsza wartość \(h\) to najmniejsza wartość \(f\) powiększona o \(2\). Najniższe punkty wykresu \(f\) to minima \((-3,-4)\) i \((3,-4)\), więc najmniejsza wartość \(f\) jest równa \(-4\), a stąd \[-4+2=-2.\] **Uwaga.** W podpunkcie c) łatwo zapomnieć, że przedział \(\langle-5,5\rangle\) jest WĘŻSZY niż dziedzina \(\langle-6,6\rangle\) — patrzymy tylko na fragment wykresu nad tym przedziałem, ignorując to, co dzieje się poza nim. W podpunkcie d) uważaj na kierunek przesunięcia: \(f(x-1)\) przesuwa wykres w PRAWO (a nie w lewo), więc miejsca zerowe rosną o \(1\). **Odpowiedź.** a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – Podanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca: \(\langle-3,0\rangle\) i \(\langle 3,6\rangle\). Przyjmujemy również odpowiedzi, w których zdający podaje przedziały \((-3,0)\) i \((3,6)\) (również jednostronnie domknięte). **8.2. (1 pkt)** – Podanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). Zdający może zapisać odpowiedzi w postaci nierówności. **8.3. (1 pkt)** – Podanie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-5,5\rangle\): \(1\). Możemy przyjąć jako poprawne odpowiedzi: \(f(0)\) lub „dla \(x=0\)”. **8.4. (1 pkt)** – Podanie miejsc zerowych funkcji \(g\): \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). **8.5. (1 pkt)** – Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(h\): \(-2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) oraz \(x=5\). b) \(f(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).

**Krok \(1\).** W tym zadaniu nie znamy wzoru funkcji \(f\) i wcale nie musimy go szukać — wszystkie trzy odpowiedzi odczytujemy z wykresu. Trzeba tylko wiedzieć, jak każde pytanie wygląda na rysunku: miejsca zerowe to odcięte punktów przecięcia wykresu z osią \(Ox\), nierówność \(f(x)\leqslant0\) opisuje te fragmenty wykresu, które leżą pod osią \(Ox\) lub na niej, a równanie \(f(x)=3\) to punkty wspólne wykresu z poziomą prostą \(y=3\). **Krok \(2\).** Podpunkt a). Patrzymy, w których punktach parabola przebija oś \(Ox\). Dzieje się to dla odciętych \(-1\) oraz \(5\), więc miejsca zerowe funkcji to \(x=-1\) i \(x=5\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Zauważamy kształt wykresu: ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek leży nad osią \(Ox\). Wynika stąd, że między miejscami zerowymi wykres biegnie nad osią (wartości dodatnie), a na zewnątrz miejsc zerowych — pod osią (wartości ujemne). **Krok \(4\).** Szukamy argumentów, dla których wykres jest pod osią albo jej dotyka. To wszystkie \(x\) na lewo od \(-1\) i na prawo od \(5\), razem z samymi miejscami zerowymi, bo nierówność jest nieostra: \[x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prowadzimy poziomą prostą \(y=3\) i odczytujemy odcięte jej punktów wspólnych z parabolą. Są to \(x=0\) oraz \(x=4\). **Krok \(6\).** Odczyt z rysunku zawsze warto skontrolować rachunkiem. Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka o końcach w miejscach zerowych, czyli przez \(x=\frac{-1+5}{2}=2\). Punkty \(0\) i \(4\) leżą w tej samej odległości \(2\) od osi symetrii, a więc naprawdę mają tę samą wartość funkcji — odczyt jest spójny. **Uwaga.** W podpunkcie b) nierówność jest nieostra (\(\leqslant\)), więc miejsca zerowe \(-1\) i \(5\) należą do zbioru rozwiązań — końce przedziałów muszą być domknięte. Gdyby w treści było \(f(x)\lt0\), końce trzeba by wyłączyć. **Odpowiedź.** a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) i \(x=5\). b) \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).

**1. (1 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(x=-1\), \(x=5\) **2. (1 pkt)** – wykonanie polecenia b). Odp. \(x\in(-\infty,\,-1\rangle\cup\langle 5,\,+\infty)\) **3. (2 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. \(x=0\) lub \(x=4\). Za każde z rozwiązań równania – \(1\) punkt.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.