Wierzchołek, oś symetrii i przechodzenie między postaciami

\[P(x)=x^{2}-2x+8\quad\text{dla }x\in(0,2);\qquad \text{pole jest najmniejsze dla }x=1.\]

Z rysunku odczytujemy położenie punktów: \(E\) leży na boku \(AB\), przy czym odcinek \(EB\) ma długość \(2x\), a \(F\) leży na boku \(BC\), przy czym \(CF=x\). Kwadrat \(ABCD\) ma bok \(4\). **Wyrażenie pozostałych odcinków.** Z warunku \(|CF|=\frac12|EB|=x\) mamy \(|EB|=2x\), więc \[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=|BC|-|CF|=4-x.\] Warunek \(x\in(0,2)\) zapewnia, że oba te odcinki są dodatnie, a punkty \(E\) i \(F\) leżą wewnątrz odpowiednich boków. **Pole trójkąta \(DEF\).** Trójkąt \(DEF\) powstaje z kwadratu przez odcięcie trzech trójkątów prostokątnych o wierzchołkach w narożach \(A\), \(B\) i \(C\): \[P_{DAE}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|AE|=\tfrac12\cdot4\cdot(4-2x)=8-4x,\] \[P_{EBF}=\tfrac12\cdot|EB|\cdot|BF|=\tfrac12\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x),\] \[P_{FCD}=\tfrac12\cdot|CF|\cdot|CD|=\tfrac12\cdot x\cdot4=2x.\] Zatem \[P(x)=16-\bigl[(8-4x)+x(4-x)+2x\bigr]=16-\left(-x^{2}+2x+8\right)=x^{2}-2x+8.\] **Najmniejsza wartość.** Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej: \[P(x)=(x-1)^{2}+7.\] Dla każdego \(x\) zachodzi \((x-1)^{2}\geq0\), więc \(P(x)\geq7\), a równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\). Liczba \(1\) należy do dziedziny \((0,2)\), więc jest to minimum przyjmowane na całym rozważanym przedziale, a nie tylko lokalnie. **Odpowiedź.** \(P(x)=x^{2}-2x+8\) dla \(x\in(0,2)\); pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze dla \(|CF|=x=1\) i wynosi wtedy \(7\).

**3 pkt** – poprawny wzór funkcji \(P\) oraz poprawne wyznaczenie \(x=1\) **2 pkt** – wyznaczenie poprawnego wzoru \(P(x)=x^{2}-2x+8\) **1 pkt** – zapisanie pola trójkąta \(DEF\) przez pola trzech trójkątów pomocniczych albo zapisanie co najmniej dwóch z tych pól w zależności od \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]

Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych). Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-8).\] Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+8}{2}=3.\] Z warunku \(f(3)=100\): \[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\] Warunek \(a<0\) jest spełniony. Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\) **1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Ponieważ \(g(0)=f(1)=0\), liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Zatem \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i \(0=4a-2\), więc \(a=\frac{1}{2}\). Ostatecznie \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}\).

Z definicji funkcji \(g\) wynika, że \(g(0)=f(0+1)=f(1)\). Skoro \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), to \(f(1)=0\), czyli miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem \(f\) jest \(W=(3,-2)\), więc w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-3)^2-2.\] Warunek \(f(1)=0\) daje \[a(1-3)^2-2=0,\qquad 4a=2,\qquad a=\tfrac12.\] Po rozwinięciu kwadratu \[f(x)=\tfrac12(x-3)^2-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac92-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52.\] Sprawdzenie: \(f(1)=\tfrac12-3+\tfrac52=0\), a wierzchołek ma odciętą \(-\frac{-3}{2\cdot\frac12}=3\). **Odpowiedź.** \(f(x)=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52\).

2 pkt – zapisanie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_1=1\), \(x_2=5\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=a(x-2)^2-2\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=ax(x-4)\), ALBO – zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji \(g\) jest punkt o współrzędnych \((2,-2)\), oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba 4. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-p)^2+q\) oraz zapisanie \(p=3\) oraz \(q=-2\) ALBO – zapisanie jednego z równań: • \(\frac{-b}{2a}=3\) • \(\frac{-\Delta}{4a}=-2\) • \(a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2\) • \(a+b+c=0\)

Drugie miejsce zerowe, symetryczne do \(1\) względem osi \(x=-1\), jest równe \(-3\). Zatem \(f(x)=a(x-1)(x+3)\). Ponieważ \(f(2)=15\), mamy \(5a=15\), czyli \(a=3\). Stąd \[f(x)=3(x+1)^{2}-12.\]

Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3),\] a współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej: pierwszą współrzędną wierzchołka jest \(p=-1\), a drugą \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12.\] Zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot9-12=15\) oraz \(f(1)=3\cdot4-12=0\). **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\)

1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu równań. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: poprawna metoda i f(x)=3(x+1)²−12.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: V.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

\(f(x)=3(x+1)^2-12\), a zbiorem wartości jest \(\langle-12,+\infty)\).

Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej. Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p=-1\), a druga \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12,\] zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Ponieważ \(a=3>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę i \(-12\) jest najmniejszą wartością funkcji, osiąganą w wierzchołku. Zbiorem wartości jest więc \[ZW_f=\langle-12,+\infty).\] **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\), \(ZW_f=\langle-12,+\infty)\).

1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: zapisanie f(x)=3(x+1)²−12 albo obliczenie q=−12 i podanie zbioru wartości. 4 pkt: poprawny wzór i zbiór wartości [−12,+∞).

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli i prawidłowe podstawienie danych albo zapisanie funkcji w postaci kanonicznej oraz rozpoznanie rzędnej wierzchołka jako maksymalnej wysokości **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. V.11) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\): \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na wierzchołek albo zapis funkcji w postaci kanonicznej i rozpoznanie rzędnej wierzchołka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej. V.11) Interpretuje funkcję kwadratową w zagadnieniu praktycznym.

Postać kanoniczna ma postać \(f(x)=a(x-3)^{2}+6\). Ponieważ punkt \((0,3)\) należy do wykresu, \[3=a(0-3)^{2}+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Zatem \(f(x)=-\frac13(x-3)^{2}+6\).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \((p,q)\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Z treści zadania i z rysunku odczytujemy wierzchołek \((3,6)\), więc \[f(x)=a(x-3)^2+6.\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\): \[3=a(0-3)^2+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Znak ujemny zgadza się z rysunkiem — ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=-\frac13(x-3)^2+6.\] Sprawdzenie: \(f(0)=-\frac13\cdot9+6=-3+6=3\) oraz \(f(3)=6\). **Odpowiedź.** \(f(x)=-\frac13(x-3)^2+6\)

**2 pkt** – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej: \(f(x)=\) […]. **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia \(a\), np.: […] ALBO – obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika \(a\): \(a=\) […]. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze \(f(x)=\) […] \((x-\) […] \()+6\) i nie obliczy (ani nie uzasadni), że […], to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) oraz poprawnie obliczy współczynnik \(a\), to otrzymuje 2 punkty.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymaganie szczegółowe:** V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

**P, P**

**Krok \(1\).** Równanie okręgu podano w postaci kanonicznej \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), więc od razu odczytujemy środek i promień. Liczbę punktów wspólnych okręgu z prostą (tu: z osią układu) rozstrzyga porównanie promienia z odległością środka od tej prostej. **Krok \(2\).** Porównujemy z wzorcem: \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4\), więc \(a=1\), \(b=-3\) (bo \(y+3=y-(-3)\)) oraz \(r^{2}=4\), czyli \(r=2\). Środek to \(S=(1,-3)\). **Krok \(3\).** Reguła: jeżeli odległość środka od prostej jest większa od \(r\), punktów wspólnych nie ma; jeżeli równa \(r\) — jest jeden (styczna); jeżeli mniejsza od \(r\) — są dwa. **Krok \(4\).** Odległość środka od osi \(Ox\) to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej: \(|-3|=3\). Ponieważ \(3\gt 2\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. **Krok \(5\).** Odległość środka od osi \(Oy\) to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej: \(|1|=1\). Ponieważ \(1\lt 2\), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach — drugie stwierdzenie także jest prawdziwe. **Krok \(6\).** Sprawdzamy rachunkiem. Dla osi \(Ox\) podstawiamy \(y=0\): \[(x-1)^{2}+9=4,\qquad (x-1)^{2}=-5,\] co jest niemożliwe — brak punktów wspólnych. **Krok \(7\).** Dla osi \(Oy\) podstawiamy \(x=0\): \[1+(y+3)^{2}=4,\qquad (y+3)^{2}=3,\qquad y=-3\pm\sqrt{3},\] czyli dwa punkty wspólne. **Uwaga.** Łatwo pomylić osie: odległość środka od osi \(Ox\) mierzymy wzdłuż osi \(Oy\), więc bierzemy współrzędną \(y\) środka (tu \(3\)), a nie \(x\). Uwagi wymaga też znak w równaniu: \((y+3)^{2}\) oznacza \(b=-3\), a nie \(b=3\). **Odpowiedź.** Prawda, Prawda (P, P)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

**B.**

Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej. Jej wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół, o wierzchołku \[W=(-1,4).\] Takie własności ma wykres przedstawiony na rysunku **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.7) Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem.

**B.** \(f(x)=-(x-1)^2+9\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,9)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2+9.\] Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem \(a<0\). Spośród podanych odpowiedzi warunki te spełnia \[f(x)=-(x-1)^2+9.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

**C.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] więc \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

\[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]

Z warunku \[x+y=12\] otrzymujemy \(y=12-x\). Ponieważ \(x\geq0\) i \(y\geq0\), mamy \(x\in[0,12]\). Wyrażenie zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej: \[f(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144.\] Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej: \[f(x)=3(x^2-8x)+144=3\bigl((x-4)^2-16\bigr)+144=3(x-4)^2+96.\] Ponieważ \(3(x-4)^2\geq0\), najmniejsza wartość funkcji jest równa \(96\) i jest przyjmowana dla \(x=4\). Wtedy \[y=12-4=8.\] Zatem \[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest równa \(96\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\), oraz obliczenie argumentu minimum \(x=4\) albo wartości minimum \(96\); równoważnie: zapisanie \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) oraz obliczenie \(y=8\) albo wartości \(96\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru opisującego \(2x^2+y^2\) jako funkcję jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\) albo \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwagi CKE:** argument minimum musi należeć do przedziału \([0,12]\). Samo sprawdzenie kilku par \((x,y)\), bez poprawnego modelu funkcji jednej zmiennej i bez odwołania do własności funkcji kwadratowej, nie uzasadnia pełnego wyniku.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**C.** \(f(x)=\frac12(x-1)^2-2\).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc jej wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] skąd \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac12(x-1)^2-2.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji [...] o jej wykresie.

\(f(x)=-2(x-1)^2+8\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,8)\), więc \[f(x)=a(x-1)^2+8.\] Jednym z miejsc zerowych jest \(x=-1\). Podstawiamy \(f(-1)=0\): \[0=a(-1-1)^2+8=4a+8,\] stąd \(a=-2\). Ostatecznie \[f(x)=-2(x-1)^2+8.\]

**3 pkt** – poprawny wzór \(f(x)=-2(x-1)^2+8\) **2 pkt** – poprawne odczytanie punktu przecięcia paraboli z osią i podstawienie go do \(f(x)=a(x-1)^2+8\), np. \(0=a(-1-1)^2+8\) **1 pkt** – odczytanie wierzchołka \((1,8)\) i zapisanie \(f(x)=a(x-1)^2+8\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników postaci kanonicznej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z informacji o wykresie.

\(f(x)=-\frac34x^2+3\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(A=(0,3)\), więc zapisujemy wzór w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3.\] Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie, zatem \[0=4a+3,\] \[a=-\frac34.\] Ostatecznie \[f(x)=-\frac34x^2+3.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie \(f(x)=-\frac34x^2+3\) albo równoważnej postaci **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=ax^2+3\), albo innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w zasadach CKE **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** funkcja kwadratowa; zdający korzysta z postaci kanonicznej i wyznacza wzór funkcji na podstawie wierzchołka oraz punktu wykresu.

**B.** \(y=-(x+5)^2+6\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek \((-5,6)\) i ramiona skierowane w dół. Postać kanoniczna musi więc mieć postać \(y=a(x+5)^2+6\) z \(a<0\). Spośród podanych wzorów warunki spełnia odpowiedź B.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.8-V.9 interpretacja postaci kanonicznej i wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykresu.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm m.\]

Maksymalna wysokość jest współrzędną \(y\) wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) otrzymujemy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – prawidłowe podstawienie danych do wzoru na wierzchołek albo zapis postaci kanonicznej i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie i interpretowanie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej i zastosowanie jej w kontekście praktycznym.

Jedenastego dnia; \(400\) klientów.

Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a \(11\in\{1,2,\ldots,30\}\). Funkcja przyjmuje więc największą wartość dla \(n=11\), a wartość ta wynosi \[L(11)=400.\] Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia i było to \(400\) osób.

**2 pkt** – poprawna metoda oraz poprawne wyniki: \(11\) i \(400\) **1 pkt** – wyznaczenie postaci kanonicznej \(L(n)=-(n-11)^2+400\), obliczenie dnia maksimum lub największej liczby klientów albo wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**D.** \(29\)

Warunek \(f(x)=0\) prowadzi do równania \[(x-13)^2=256=16^2.\] Zatem \(x-13=-16\) albo \(x-13=16\), czyli \(x=-3\) albo \(x=29\). Drugim miejscem zerowym jest \(29\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - miejsca zerowe funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.

**A i F**

Dla funkcji **A** ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek ma współrzędne \((3,2)\), więc jej zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\). Funkcję **F** zapisujemy w postaci kanonicznej: \[F(x)=-2x^2+4x=-2(x-1)^2+2.\] Jej największa wartość także wynosi \(2\), więc zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\).

**2 pkt** – wybranie obu poprawnych odpowiedzi: **A** i **F** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\)

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[(x-19)^2+(y+11)^2=578=(17\sqrt2)^2,\] zatem promień ma długość \(R=17\sqrt2\). Punkty \(A\) i \(C\) są punktami przecięcia okręgu z prostą \(y=x\). Po podstawieniu otrzymujemy \[2x^2-16x-96=0,\] więc \(x=-4\) lub \(x=12\). Ponieważ \(A\) ma obie współrzędne ujemne, \[A=(-4,-4),\qquad C=(12,12).\] Stąd \[|AC|=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt2.\] Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\): \[\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}=2R,\] a zatem \[\sin\angle ABC=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]

**4 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i wynik \(\frac8{17}\) **3 pkt** – obliczenie \(R=17\sqrt2\) i \(|AC|=16\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie promienia oraz punktów \(A=(-4,-4)\), \(C=(12,12)\) albo punktów i długości \(AC\) **1 pkt** – obliczenie promienia albo współrzędnych \(A\) i \(C\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. stosowanie i tworzenie strategii w zadaniach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.1R i VII.5 stosowanie równania okręgu w postaci ogólnej oraz twierdzenia sinusów.

\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\)

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[(x-19)^2+(y+11)^2=578=(17\sqrt2)^2,\] zatem promień ma długość \(R=17\sqrt2\). Punkty \(A\) i \(C\) są punktami przecięcia okręgu z prostą \(y=x\). Po podstawieniu otrzymujemy \[2x^2-16x-96=0,\] więc \(x=-4\) lub \(x=12\). Ponieważ \(A\) ma obie współrzędne ujemne, \[A=(-4,-4),\qquad C=(12,12).\] Stąd \[|AC|=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt2.\] Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\): \[\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}=2R,\] a zatem \[\sin\angle ABC=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]

**4 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i wynik \(\frac8{17}\) **3 pkt** – obliczenie \(R=17\sqrt2\) i \(|AC|=16\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie promienia oraz punktów \(A=(-4,-4)\), \(C=(12,12)\) albo punktów i długości \(AC\) **1 pkt** – obliczenie promienia albo współrzędnych \(A\) i \(C\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii w zadaniach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.1R i VII.5 stosowanie równania okręgu w postaci ogólnej oraz twierdzenia sinusów.

**A, F.** \(S=(2,-3)\) oraz \(r=4\).

Porównujemy równanie \[(x-2)^2+(y+3)^2=16\] z postacią kanoniczną okręgu \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Otrzymujemy \(a=2\), \(b=-3\) i \(r=\sqrt{16}=4\). Zatem poprawny zestaw odpowiedzi to **AF**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **AF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\[f(x)=3(x-5)^2-3.\]

Z wierzchołka \((5,-3)\) otrzymujemy postać kanoniczną \[f(x)=a(x-5)^2-3,\qquad a\neq0.\] Wykres przechodzi przez punkt \((4,0)\), więc \[0=a(4-5)^2-3=a-3.\] Stąd \(a=3\), a zatem \[f(x)=3(x-5)^2-3.\]

**2 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji \(f\) oraz zapisanie wzoru \(f(x)=3(x-5)^2-3\) **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-5)^2-3\), iloczynowej \(f(x)=a(x-4)(x-6)\) albo ogólnej \(f(x)=3x^2-30x+72\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

**B.** \(f(x)=3(x+3)^2+2\)

Postać kanoniczna funkcji o wierzchołku \(W=(p,q)\) ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Tutaj \(a=3\), \(p=-3\) i \(q=2\), zatem \[f(x)=3(x-(-3))^2+2=3(x+3)^2+2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, ogólnej i iloczynowej.

**A.** \((1,2)\)

Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-p)^2+q.\] Ze wzoru \(f(x)=-(x-1)^2+2\) odczytujemy \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołek paraboli ma więc współrzędne \[W=(1,2).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

**B.** \(m=-5\)

Wzór jest zapisany w postaci kanonicznej. Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne \((-9,m)\). Największą wartością funkcji jest więc \(m\), a jej zbiór wartości ma postać \[(-\infty,m].\] Porównując z \((-\infty,-5]\), otrzymujemy \(m=-5\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z postaci kanonicznej.

Obraz ma równanie (x−\(10\))\(2\)+(y−\(9\))\(2=153\). Okrąg wyjściowy ma środek P=(\(4\),\(3\)) i promień √\(17\). Środek cięciwy to S=(\(\frac{11}{2}\),\(\frac{9}{2}\)); jednokładność o skali −\(3\) przenosi P na P′=(\(10\),\(9\)), a promień na \(3\sqrt{17}\).

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[x^2+y^2-8x-6y+8=0,\qquad (x-4)^2+(y-3)^2=17,\] więc środek to \(P=(4,3)\), a promień \(R=\sqrt{17}\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy, czyli spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(P\) do prostej \(x+y-10=0\). Prosta przez \(P\) prostopadła do niej ma wektor kierunkowy \([1,1]\): \[(4+t,\ 3+t),\qquad (4+t)+(3+t)-10=0,\qquad t=\tfrac32,\] \[S=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right).\] Jednokładność o środku \(S\) i skali \(k=-3\) przeprowadza środek okręgu na \[P'=S+k\left(P-S\right)=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right)-3\left(-\tfrac32,-\tfrac32\right)=(10,9),\] a promień mnoży przez \(\lvert k\rvert=3\): \[R'=3\sqrt{17},\qquad R'^2=153.\] **Odpowiedź.** \((x-10)^2+(y-9)^2=153\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(P=(4,3)\) i promienia \(R=\sqrt{17}\). **3 pkt** – wyznaczenie \(S=\left(\frac{11}{2},\frac92\right)\). **4–5 pkt** – wyznaczenie obrazu środka i promienia oraz zapisanie równania obrazu.

Zadanie 12. (0–5) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe IV. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.) (R7.3). 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności (R8.5).

\[a\in\{6-6\sqrt3,\ 6,\ 6+6\sqrt3\}.\]

Sprowadzamy równania do postaci kanonicznej: \[(x-6)^2+(y-4)^2=9,\qquad (x-a)^2+(y+2)^2=81.\] Okręgi mają środki \(S_1=(6,4)\), \(S_2=(a,-2)\) i promienie odpowiednio \(3\) oraz \(9\). Odległość środków wynosi \[d=\sqrt{(a-6)^2+36}.\] Dokładnie jeden punkt wspólny występuje przy styczności zewnętrznej lub wewnętrznej. Dla styczności zewnętrznej \(d=3+9=12\), więc \[(a-6)^2+36=144,\qquad a=6\pm6\sqrt3.\] Dla styczności wewnętrznej \(d=9-3=6\), zatem \[(a-6)^2+36=36,\qquad a=6.\] Wszystkie szukane wartości to \(6-6\sqrt3\), \(6\) i \(6+6\sqrt3\).

**6 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech wartości parametru **5 pkt** – poprawne rozwiązanie obu przypadków styczności z jedną drobną usterką rachunkową **4 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego przypadku styczności oraz zapisanie warunku dla drugiego **3 pkt** – wyznaczenie środków i promieni obu okręgów oraz zapisanie obu warunków: \(d=12\) i \(d=6\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla styczności zewnętrznej albo wewnętrznej **1 pkt** – poprawne wyznaczenie środków i promieni obu okręgów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R8.5 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisywanie wzajemnego położenia okręgów za pomocą odległości ich środków i promieni.

B

Wzór \(y=-(x-2)^2+4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((2,4)\), a ramiona są skierowane w dół (\(a=-1<0\)). Funkcja jest zatem malejąca dla \(x\geqslant2\). Cały przedział \(\langle3,5\rangle\) leży na prawo od wierzchołka, więc na tym przedziale funkcja maleje i największą wartość przyjmuje w lewym końcu: \[y(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3.\] Wartość \(4\) z wariantu A jest największą wartością funkcji w całej dziedzinie, ale osiąganą dla \(x=2\), czyli poza rozważanym przedziałem. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

D

Funkcja \(y=-(x-2)^{2}+4\) jest zapisana w postaci kanonicznej: jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku \((2,4)\). Na prawo od wierzchołka funkcja maleje, a przedział \(\langle3,5\rangle\) leży w całości na prawo od \(x=2\). Największą wartość funkcja przyjmuje więc na lewym końcu przedziału: \[y(3)=-(3-2)^{2}+4=-1+4=3.\] **Odpowiedź.** **D.** \(3\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**C.** \(c=3\)

Współczynnik \(c\) we wzorze \(f(x)=ax^2+bx+c\) jest wartością funkcji dla argumentu \(0\), bo \(f(0)=c\). Geometrycznie jest to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), zatem \(c=3\). Wynik można potwierdzić rachunkiem. Z miejsc zerowych \(-3\) i \(1\) zapisujemy postać iloczynową \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). Z rysunku wierzchołkiem jest \(W=(-1,4)\), więc \[f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a=4,\qquad a=-1.\] Stąd \(f(x)=-(x+3)(x-1)\) oraz \(c=f(0)=-3\cdot(-1)=3\). **Odpowiedź.** C: \(c=3\)

Zadanie 10. (0−1) **Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) (4.10).

\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=-\frac{121}{4}.\]

Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{11}{2}.\] Ponieważ \(\frac{11}{2}\in[-6,6]\) i ramiona paraboli są skierowane w górę, najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi \[f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\frac{11}{2}=-\frac{121}{4}.\]

**2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-\frac{121}{4}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(x_w=\frac{11}{2}\) lub równoważnej postaci kanonicznej funkcji **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** funkcja kwadratowa - wyznaczanie najmniejszej wartości w przedziale domkniętym.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4.\]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((-3,4)\), więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x+3)^2+4.\] Punkt \(A=(-1,3)\) należy do wykresu, zatem \[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\] skąd \(a=-\frac14\).

**1 pkt** – zapisanie postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) i wykorzystanie punktu \(A\) **2 pkt** – podanie poprawnego wzoru \(f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

**C.** \(x=2\).

Dla funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=-1\) i \(b=4\), więc \[x=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

**C.** \(a=-1\).

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej: \[f(x)=-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji wynosi \(-1\). Prosta pozioma \(y=a\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek. Zatem \(a=-1\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

\[b=-16,\qquad c=32.\]

Ponieważ wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(4,0)\), funkcję można zapisać w postaci kanonicznej \[f(x)=2(x-4)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[f(x)=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32.\] Porównanie z \(f(x)=2x^2+bx+c\) daje \[b=-16,\qquad c=32.\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie obu współczynników: \(b=-16\) i \(c=32\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=2(x-4)^2\), wyznaczenie \(b=-16\) albo ułożenie poprawnego układu równań dla \(b\) i \(c\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i).

C

Zbiór wartości \((-\infty,-3\rangle\) jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu. Ramiona paraboli muszą więc być skierowane w dół (\(a<0\)), a druga współrzędna wierzchołka ma być równa \(-3\). Sprawdzamy kolejne wzory w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\): - \(y=(x+2)^2-3\): \(a=1>0\), zbiorem wartości jest \(\langle-3,+\infty)\); - \(y=-(x+3)^2\): \(a=-1<0\), ale \(q=0\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,0\rangle\); - \(y=-(x-2)^2-3\): \(a=-1<0\) oraz \(q=-3\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,-3\rangle\); - \(y=-x^2+3\): \(a=-1<0\), ale \(q=3\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,3\rangle\). Warunek spełnia tylko trzeci wzór. **Odpowiedź.** C: \(y=-(x-2)^2-3\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \((2,4)\)

Równanie \(y=-3(x-2)^2+4\) jest zapisane w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), z której współrzędne wierzchołka odczytujemy bezpośrednio: \[p=2,\qquad q=4,\] czyli wierzchołkiem jest punkt \((2,4)\). Uwaga na znak: w nawiasie stoi \(x-2\), więc \(p=2\), a nie \(-2\) — to źródło wariantów A i B. **Odpowiedź.** D: \((2,4)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II.4.b).

**C.** \(c=3\)

Równanie \(y=(x-1)^2+2c\) jest zapisane w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((1,2c)\). Wierzchołek leży na prostej \(y=6\), czyli jego druga współrzędna jest równa \(6\): \[2c=6,\qquad c=3.\] **Odpowiedź.** C: \(c=3\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Warunki zadania spełniają dwa okręgi: \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1\) oraz \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\).

**Krok \(1\).** Kluczowa jest tu styczność do osi układu. Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy, gdy odległość jego środka od tej prostej jest równa promieniowi. Odległość punktu \((p,q)\) od osi \(Oy\) wynosi \(|p|\), a od osi \(Ox\) wynosi \(|q|\). Zatem środek musi spełniać \(|p|=|q|=r\). **Krok \(2\).** Ustalmy jeszcze ćwiartkę. Okrąg styczny do obu osi ich nie przecina, więc leży w całości w jednej ćwiartce. Ponieważ przechodzi przez punkt \(A=(2,1)\) leżący w pierwszej ćwiartce, cały okrąg (a więc i jego środek) leży w pierwszej ćwiartce. Stąd \(p=q=r\) i środek ma współrzędne \[S=(r,r),\qquad r\gt 0.\] **Krok \(3\).** Równanie okręgu o środku \((r,r)\) i promieniu \(r\) to \[(x-r)^2+(y-r)^2=r^2.\] **Krok \(4\).** Punkt \(A=(2,1)\) leży na okręgu, więc jego współrzędne spełniają to równanie: \[(2-r)^2+(1-r)^2=r^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy kwadraty: \[4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2.\] **Krok \(6\).** Redukujemy i porządkujemy (jedno \(r^2\) skraca się z prawą stroną): \[r^2-6r+5=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt{\Delta}=4,\] \[r_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad r_2=\frac{6+4}{2}=5.\] Oba wyniki są dodatnie, więc obu odpowiadają istniejące okręgi. **Krok \(8\).** Zapisujemy oba równania i sprawdzamy je: dla \(r=1\): \((x-1)^2+(y-1)^2=1\), bo \((2-1)^2+(1-1)^2=1\), dla \(r=5\): \((x-5)^2+(y-5)^2=25\), bo \((2-5)^2+(1-5)^2=9+16=25\). **Uwaga.** Treść wprost każe rozważyć wszystkie przypadki, więc odrzucenie jednego z pierwiastków byłoby błędem. Mniejszy okrąg przechodzi przez \(A\) niejako od dołu (punkt \(A\) leży na nim), a większy obejmuje ten punkt od góry. Odrzucamy natomiast ewentualne rozwiązania niedodatnie, bo promień musi być liczbą dodatnią. **Odpowiedź.** Warunki zadania spełniają dwa okręgi: \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) oraz \((x-5)^2+(y-5)^2=25\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie współrzędnych środka \(S\) szukanego okręgu w zależności od promienia \(r\) okręgu: \(S=(r,r)\) lub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu \(y=x\). **[…] pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą: […] \(=r^2\), czyli \(r^2-6r+5=0\). **3 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie równań obu okręgów w postaci kanonicznej: […] i \((x-5)^2\) […], lub w postaci ogólnej: \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) i \(x^2+y^2-10x-10y+25=0\). **Uwagi** 1. Jeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje \(2\) punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**A.** \(\langle-4,+\infty)\)

Wzór \(f(x)=x^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej \(f(x)=(x-0)^2+(-4)\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((0,-4)\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a druga współrzędna wierzchołka jest najmniejszą wartością funkcji. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze od \(-4\): \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-4,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza zbiór wartości funkcji kwadratowej.

**C.** \((-2,3)\)

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), gdzie \((a,b)\) jest środkiem. Zapisując dane równanie jako \(\left(x-(-2)\right)^{2}+(y-3)^{2}=5\), odczytujemy środek \((-2,3)\). **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – odczytuje środek okręgu z jego równania.

Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[x^2+y^2+2x-2y-3=0,\qquad (x+1)^2+(y-1)^2=5,\] więc \(S=(-1,1)\) i \(r=\sqrt5\). Odległość punktu \(A=(2,0)\) od środka: \[\lvert SA\rvert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}>\sqrt5,\] więc \(A\) leży na zewnątrz okręgu i istnieją dwie styczne. Niech \(B\) będzie punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt \(ABS\) jest prostokątny przy \(B\) i \[\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \lvert\angle BAS\rvert=45^\circ.\] Prosta \(AS\) zawiera dwusieczną kąta między stycznymi, zatem szukany kąt ma miarę \[2\cdot45^\circ=90^\circ.\] Kontrola drugą metodą: styczne przechodzące przez \(A\) mają równania \(y=a(x-2)\); warunek styczności prowadzi do równania \(2a^2+3a-2=0\) o pierwiastkach \(a_1=-2\) i \(a_2=\frac12\). Ponieważ \(a_1a_2=-1\), proste są prostopadłe. **Odpowiedź.** Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(S=(-1,1)\) i promienia \(r=\sqrt5\) oraz odległości \(\lvert SA\rvert=\sqrt{10}\). **3 pkt** – zapisanie zależności pozwalającej wyznaczyć kąt, np. \(\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}\). **4 pkt** – obliczenie miary kąta równej \(90^\circ\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu.

**D.** \(y=(x+1)^2-2\)

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) ma zbiór wartości \(\langle q,+\infty)\), gdy \(a>0\), oraz \((-\infty,q\rangle\), gdy \(a<0\). Szukany zbiór wartości to \(\langle-2,+\infty)\), więc potrzebujemy \(a>0\) i \(q=-2\). Warianty A i B mają \(a<0\), wariant C ma \(q=2\). Warunki spełnia tylko \(y=(x+1)^2-2\). **Odpowiedź.** D. \(y=(x+1)^2-2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie zbioru wartości funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(y=-3\)

Wzór \(f(x)=(x-3)^2-2\) jest postacią kanoniczną funkcji kwadratowej o wierzchołku \((3,-2)\) i ramionach skierowanych w górę (bo \(a=1>0\)). Najmniejszą wartością funkcji jest zatem \(-2\), a zbiorem wartości przedział \(\langle-2,+\infty)\). Prosta pozioma \(y=c\) nie ma punktów wspólnych z wykresem dokładnie wtedy, gdy \(c<-2\). Spośród podanych liczb warunek ten spełnia tylko \(c=-3\). **Odpowiedź.** A. \(y=-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie zbioru wartości funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej i badanie liczby punktów wspólnych z prostą poziomą Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(f(x)=-(x-2)^2+3\)

Zbiór wartości \((-\infty,3\rangle\) jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu, więc ramiona paraboli muszą być skierowane w dół (\(a<0\)), a największa wartość — druga współrzędna wierzchołka — ma być równa \(3\). Sprawdzamy wzory zapisane w postaci kanonicznej: - \(f(x)=-(x-2)^2+3\): \(a=-1<0\) i \(q=3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2+3\): \((2-x)^2=(x-2)^2\), więc \(a=1>0\) i \(ZW_f=\langle3,+\infty)\); - \(f(x)=-(x+2)^2-3\): \(a<0\), ale \(q=-3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,-3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2-3\): \(a>0\), czyli \(ZW_f=\langle-3,+\infty)\). **Odpowiedź.** A: \(f(x)=-(x-2)^2+3\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

**D.** \(y=-5\)

Wzór \(f(x)=3(x+1)^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc bezpośrednio odczytujemy wierzchołek paraboli: \(W=(-1,-4)\). Współczynnik przy kwadracie jest dodatni (\(a=3>0\)), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę, a najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest więc \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] Prosta pozioma o równaniu \(y=c\) ma punkt wspólny z wykresem dokładnie wtedy, gdy liczba \(c\) należy do zbioru wartości, czyli gdy \(c\geqslant-4\). Warunek ten spełniają liczby \(1\), \(-1\) i \(-3\). Natomiast \(-5<-4\), więc prosta \(y=-5\) przebiega w całości poniżej wierzchołka paraboli i punktów wspólnych z wykresem nie ma. **Odpowiedź.** D: \(y=-5\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

B. (\(0\), \(3\))

Wzór \(f(x)=-3x^2+3\) można zapisać w postaci kanonicznej jako \(f(x)=-3(x-0)^2+3\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(0,3)\). Ten sam wynik daje rachunek ze wzorów. We wzorze ogólnym mamy \(a=-3\), \(b=0\), \(c=3\), zatem \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{-6}=0,\qquad q=f(0)=-3\cdot0^2+3=3.\] **Odpowiedź.** B: \((0,3)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

**A.** \(S=(-2,3)\)

Doprowadzamy równanie do postaci kanonicznej, uzupełniając wyrażenia do kwadratów: \[x^{2}+4x+y^{2}-6y=221,\]\[(x+2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9=221,\]\[(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=234.\] Środkiem jest zatem punkt \((-2,3)\). **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Liczby monet dokładanych w kolejne poranki: \(25\), \(27\), \(29\), \(\ldots\) — każdego dnia o \(2\) więcej, czyli jest to ciąg arytmetyczny o \(a_1=25\) i różnicy \(r=2\). Stan skarbca po \(n\)-tym dniu to liczba początkowa plus wszystko, co dołożono przez \(n\) dni, minus wszystko, co zabrano. Ponieważ suma ciągu arytmetycznego jest funkcją kwadratową zmiennej \(n\), całość sprowadzi się do badania funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Liczymy, ile monet dołożono łącznie przez \(n\) dni. Wyraz ogólny to \(a_n=25+(n-1)\cdot 2=2n+23\), więc \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{25+2n+23}{2}\cdot n=\frac{2n+48}{2}\cdot n=n^2+24n.\] **Krok \(3\).** Król zabiera \(50\) monet dziennie, czyli przez \(n\) dni łącznie \(50n\). Stan skarbca po południu \(n\)-tego dnia: \[M(n)=k+\left(n^2+24n\right)-50n=n^2-26n+k.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści. „W każdym dniu była co najmniej jedna moneta” oznacza \[M(n)\geqslant 1\qquad\text{dla każdego }n=1,2,3,\ldots\] Wystarczy więc, aby najmniejsza z liczb \(M(n)\) była co najmniej równa \(1\). **Krok \(5\).** Szukamy tej najmniejszej wartości. Doprowadzamy \(M\) do postaci kanonicznej — odcięta wierzchołka to \(n_w=\frac{-b}{2a}=\frac{26}{2}=13\), więc \[M(n)=(n-13)^2+k-169.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(13\) jest liczbą naturalną, wierzchołek naprawdę jest osiągany i najmniejszy stan skarbca to \[M(13)=k-169.\] **Krok \(7\).** Wstawiamy do warunku: \[k-169\geqslant 1,\qquad k\geqslant 170.\] Najmniejszą liczbą \(k\) spełniającą warunek jest \(k=170\). **Krok \(8\).** Dla \(k=170\) mamy \(M(n)=(n-13)^2+1\), więc najmniejsza liczba monet, równa \(1\), pojawia się dokładnie dla \(n=13\), czyli trzynastego dnia. (Sprawdzenie: \(M(12)=M(14)=2\), \(M(1)=145\).) **Uwaga.** Pułapką jest to, że \(n\) przebiega tylko liczby NATURALNE. Tutaj odcięta wierzchołka \(n_w=13\) sama jest liczbą naturalną, więc minimum funkcji kwadratowej jest jednocześnie minimum ciągu. Gdyby wierzchołek wypadł na przykład w \(n_w=13{,}5\), trzeba by porównać \(M(13)\) i \(M(14)\). Zwróć też uwagę, że warunek to \(M(n)\geqslant 1\) (co najmniej jedna moneta), a nie \(M(n)\gt 0\) w sensie rzeczywistym — dla liczb całkowitych daje to ten sam wynik. **Odpowiedź.** Najmniejsza liczba początkowa to \(k=170\) monet; przy tej wartości najmniej monet, dokładnie \(1\), było w skarbcu w dniu \(n=13\).

**1 pkt** – jeśli rozpozna, że ciąg liczb monet wkładanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowiedź: Liczby monet wkładanych przez kolejne dni przez skarbnika tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym \(25\) i różnicy równej \(2\). **1 pkt** – jeśli zapisze wzór na \(M(n)\) – liczbę monet w \(n\)-tym dniu po południu. Poprawna odpowiedź: \(M(n)=k+\frac{25+\left(25+(n-1)\cdot 2\right)}{2}\cdot n-50n=n^{2}-26n+k\) **2 pkt** – jeśli zapisze warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i wyznaczy najmniejszą liczbę \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\), albo \(\Delta<0\) (bo \(n\in N\)), czyli \(26^{2}-4k<0\), stąd \(k>169\), więc najmniejszą liczbą \(k\) jest \(170\). **1 pkt** – jeśli zapisze tylko warunek wystarczający na to, aby w skarbcu zawsze były monety i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby \(k\). Poprawna odpowiedź: np. \(M(n)=(n-13)^{2}+k-169>0\) lub \(\Delta<0\), bo \(n\in N\), stąd \(26^{2}-4k<0\). **1 pkt** – jeśli obliczy, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowiedź: \(n=13\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**A.** \((-1,0)\)

Wzór \(y=-3(x+1)^2\) jest postacią kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\) z \(a=-3\), \(p=-1\) i \(q=0\). Wierzchołkiem paraboli jest punkt \((p,q)\). **Odpowiedź.** \((-1,0)\), czyli odpowiedź **A**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z trzech niezależnych części. W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — przenosimy wszystko na jedną stronę i badamy znak trójmianu. Podpunkty b) i c) opierają się na przesunięciu wykresu: przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo i \(8\) w górę oznacza przejście od \(f(x)=-2x^2\) do \(g(x)=-2(x-3)^2+8\), czyli do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Podstawiamy wzór funkcji \(f\): \[-2x^2+5\lt3x.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę, żeby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni (łatwiej wtedy o wykres): \[0\lt2x^2+3x-5,\qquad\text{czyli}\qquad2x^2+3x-5\gt0.\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(2x^2+3x-5\): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49,\qquad\sqrt{\Delta}=7,\] \[x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki. Nierówność jest ostra, więc pierwiastków nie dołączamy: \[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Przesuwamy wykres funkcji \(f(x)=-2x^2\) o wektor \([3,8]\). Wierzchołek paraboli, który był w punkcie \((0,0)\), trafia do punktu \((3,8)\), a kształt (w szczególności współczynnik \(-2\)) się nie zmienia. Zatem \[g(x)=-2(x-3)^2+8.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(-2\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek jest punktem najwyższym i największą wartością funkcji \(g\) jest \(8\). Zbiorem wartości jest \[(-\infty,8\rangle.\] **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zamieniamy postać kanoniczną na ogólną: \[g(x)=-2\left(x^2-6x+9\right)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10.\] Porównując ze wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\), odczytujemy \(b=12\) oraz \(c=-10\). **Uwaga.** Przy przesuwaniu w prawo o \(3\) we wzorze pojawia się \((x-3)\), a nie \((x+3)\) — to jest najczęstsza pomyłka w tym typie zadań. Przy podnoszeniu do kwadratu w kroku \(7\) pamiętaj, że \(-2\) mnoży cały nawias \(x^2-6x+9\), więc wyraz \(-18\) trzeba jeszcze dodać do \(8\). **Odpowiedź.** a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(2-x)^2\). Ponieważ \((2-x)^2=(x-2)^2\), jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej z wierzchołkiem \(W=(2,0)\) i ramionami skierowanymi W GÓRĘ. Na przedziale domkniętym wartości ekstremalne szukamy wśród trzech liczb: wartości w wierzchołku (o ile należy on do przedziału) i wartości na obu końcach. **Krok \(2\).** Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału: \(x_w=2\in\langle0,5\rangle\) — tak. Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest wartość NAJMNIEJSZA: \[f(2)=(2-2)^2=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartości na końcach: \[f(0)=(2-0)^2=4,\qquad f(5)=(2-5)^2=(-3)^2=9.\] **Krok \(4\).** Największą wartością jest większa z tych dwóch, czyli \(f(5)=9\). (Ma to sens: \(5\) leży dalej od wierzchołka \(x=2\) niż \(0\), a przy ramionach w górę im dalej od wierzchołka, tym większa wartość.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): zapisujemy nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\), czyli \[(2-x)^2-(2-x)\geqslant0.\] Zamiast wymnażać, zauważamy wspólny czynnik \((2-x)\) i wyłączamy go przed nawias: \[(2-x)\left[(2-x)-1\right]\geqslant0\quad\Longrightarrow\quad (2-x)(1-x)\geqslant0.\] **Krok \(6\).** Wygodniej pracuje się z dodatnimi współczynnikami przy \(x\). Mnożymy KAŻDY z dwóch nawiasów przez \(-1\); ponieważ robimy to dwukrotnie, znaki się znoszą i zwrot nierówności pozostaje bez zmian: \[(x-2)(x-1)\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych \(1\) oraz \(2\). Wartości nieujemne przyjmuje POZA przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami (nierówność jest nieostra): \[x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** W kroku \(5\) nie wolno SKRACAĆ obu stron przez \((2-x)\) — dla \(x=2\) dzielilibyśmy przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie \(x=2\), które akurat należy do zbioru rozwiązań. Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, zamiast dzielić przez wyrażenie z niewiadomą. Ponieważ nierówność jest NIEOSTRA, liczby \(1\) i \(2\) należą do odpowiedzi — nawiasy przy nich są domknięte. **Odpowiedź.** a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] funkcji \(f\) jest równa \(2\) i należy do przedziału \(\langle 0,\,5\rangle\). […] zdający zapisze \(x_{w}=2\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(2)=0\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(5)=9\). **2.4. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej \((2-x)\cdot(1-x)\geq 0\) i podanie miejsc zerowych: \(x=1\) lub \(x=2\), (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(y=x^{2}-3x+2\)). **2.5. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \((-\infty,1\rangle\cup\langle 2,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy \(f\) wyłącznie przez \(\cos x\): \[f(x)=\sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x.\] **a)** Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać \[1-\cos^2x+\cos x=1,\qquad -\cos^2x+\cos x=0,\qquad \cos x\,(1-\cos x)=0.\] Stąd \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \[x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=0,\quad x=2\pi.\] **b)** Podstawiamy \(t=\cos x\); zbiorem wartości cosinusa jest przedział \([-1,1]\), więc szukamy największej wartości funkcji kwadratowej \[g(t)=-t^2+t+1\qquad\text{dla }t\in[-1,1].\] Współczynnik przy \(t^2\) jest ujemny, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[t_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12\in[-1,1],\] więc wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku: \[g\!\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54.\] **Odpowiedź.** a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie równania \(f(x)=1\) w postaci: \(-\cos^{2}x+\cos x=0\). **7.2. (1 pkt)** – zapisanie równań: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). **7.3. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(f(x)=1\) należących do przedziału \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=0\vee x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}\vee x=2\pi\). **7.4. (1 pkt)** – przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie pomocniczej niewiadomej \(t=\cos x\) i \(t\in\langle -1,\,1\rangle\) i zapisanie funkcji \(f(t)=-t^{2}+t+1\) dla \(t\in\langle -1,\,1\rangle\). Punkt otrzymuje też zdający, który pominął dziedzinę funkcji \(f\). **7.5. (1 pkt)** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego \(f(t)=-t^{2}+t+1\): \(t_{w}=\frac{1}{2}\). Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci kanonicznej: \(f(t)=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\). **7.6. (1 pkt)** – uwzględnienie faktu, że \(\frac{1}{2}\in\langle -1,\,1\rangle\) i współczynnik przy \(t^{2}\) jest ujemny, i obliczenie największej wartości funkcji \(f\): \(f_{\max}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\). Zdający nie musi analizować znaku współczynnika przy \(t^{2}\), o ile oblicza \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) i wybiera największą z nich.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(x)=(x-1)^{2}-9\) (postać kanoniczna), czyli \(f(x)=x^{2}-2x-8\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-2\), \(x_{2}=4\). Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku \((1,-9)\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(1\). (\(5\) pkt) **Krok \(2\).** Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = \(f\) ( x) , której wykresem jest parabola o wierzchołku **Krok \(3\).** (\(1\),–\(9\)) przechodząca przez punkt o współrzędnych (\(2\),–\(8\)). Otrzymaną funkcję przedstaw **Krok \(4\).** w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. **Krok \(5\).** Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej **Krok \(6\).** wierzchołka: y = a ( x − \(1\))\(2\) − \(9\) . **Krok \(7\).** Wyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez **Krok \(8\).** punkt o współrzędnych (\(2\),–\(8\)): **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 1.** (\(5\) pkt) Znajdź wzór funkcji kwadratowej \(y=f(x)\), której wykresem jest parabola o wierzchołku \((1,-9)\) przechodząca przez punkt o współrzędnych \((2,-8)\). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej wierzchołka: \(y=a(x-1)^{2}-9\). Wyznaczam współczynnik \(a\), korzystając z tego, że parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-8)\): \(-8=a(2-1)^{2}-9\) stąd \(a=1\). Wzór funkcji w postaci kanonicznej: \(f(x)=(x-1)^{2}-9\). Wyznaczam miejsca zerowe funkcji \(f\): \((x-1)^{2}-9=0\), stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia otrzymuję \((x-1-3)\cdot(x-1+3)=0\) i po redukcji \((x-4)\cdot(x+2)=0\). Miejscami zerowymi funkcji są liczby: \(x_{1}=-2\), \(x_{2}=4\). Szkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka. (wykres funkcji \(f\))

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).

**Krok \(1\).** Okrąg \(o_1\) dany jest w postaci ogólnej, więc najpierw sprowadzamy jego równanie do postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) przez uzupełnianie do kwadratów — tylko z niej odczytamy środek i promień. Słowo współśrodkowy oznacza, że \(o_2\) ma ten sam środek, a skoro przechodzi przez znany punkt, to jego promień jest po prostu odległością tego punktu od środka. **Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratów w równaniu okręgu \(o_1\): \[x^2-4x=(x-2)^2-4,\qquad y^2+6y=(y+3)^2-9.\] Podstawiamy: \[(x-2)^2-4+(y+3)^2-9+9=0,\] \[(x-2)^2+(y+3)^2=4.\] **Krok \(3\).** Odczytujemy: środek \(S=(2,-3)\), a promień \(r=\sqrt{4}=2\). **Krok \(4\).** Podpunkt a). Okrąg \(o_2\) ma ten sam środek \(S\), a jego promień \(R\) to odległość \(|AS|\), gdzie \(A=(6,0)\): \[R=|AS|=\sqrt{(6-2)^2+\left(0-(-3)\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy równanie okręgu \(o_2\): \[(x-2)^2+(y+3)^2=25.\] **Krok \(6\).** Podpunkt b). Pierścień kołowy to obszar między dwoma okręgami współśrodkowymi, więc jego pole to różnica pól kół: \[P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).\] **Krok \(7\).** Podstawiamy \(R^2=25\) i \(r^2=4\): \[P=\pi(25-4)=21\pi.\] **Uwaga.** Częsty błąd to pomylenie \(r^2\) z \(r\): z równania \((x-2)^2+(y+3)^2=4\) odczytujemy \(r^2=4\), czyli \(r=2\), a nie \(r=4\). Zwróć też uwagę na znaki we współrzędnych środka: z zapisu \((y+3)^2\) wynika \(q=-3\), bo \(y+3=y-(-3)\). W polu pierścienia wygodnie jest w ogóle nie pierwiastkować — potrzebne są przecież kwadraty promieni. **Odpowiedź.** a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).

**1. (1 pkt)** – Obliczenie długości promienia okręgu \(o_{2}\) (np. jako \(|AS|\)): \(R=5\) **2. (1 pkt)** – Zapisanie równania okręgu \(o_{2}\): \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25\) **3. (2 pkt)** – Obliczenie pola pierścienia (1 punkt przyznajemy za metodę, a jeden za obliczenia): \(P=21\pi\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Równanie ma postać \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\). Takie równanie przedstawia okrąg dokładnie wtedy, gdy da się je zapisać w postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\), w której prawa strona jest liczbą dodatnią. Metoda jest jedna: uzupełniamy wyrażenia z \(x\) i z \(y\) do pełnych kwadratów. **Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratu wyrażenie z \(x\). Skoro \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}\), to \[x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}.\] Analogicznie dla \(y\): \[y^2+by=\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy to do danego równania: \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+\frac{ab}{2}=0,\] a po przeniesieniu liczb na prawą stronę: \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy prawą stronę, sprowadzając ją do wspólnego mianownika \(4\) i rozpoznając wzór skróconego mnożenia: \[\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\] Równanie ma więc postać \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\] **Krok \(5\).** Teraz korzystamy z założenia. Skoro \(a\neq b\), to \(a-b\neq0\), a zatem \((a-b)^2\gt0\) i prawa strona jest liczbą dodatnią. Otrzymana postać kanoniczna przedstawia więc okrąg — to kończy dowód. **Krok \(6\).** Odczytujemy z postaci kanonicznej środek. Zapisując lewą stronę jako \(\left(x-\left(-\frac{a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(-\frac{b}{2}\right)\right)^2\), widzimy, że \[S=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy promień. Z \(r^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\) otrzymujemy \[r=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}=\left|\frac{a-b}{2}\right|=\frac{|a-b|}{2}.\] **Uwaga.** Dwa szczegóły decydują tu o kompletności rozwiązania. Po pierwsze, założenie \(a\neq b\) nie jest ozdobnikiem — gdyby \(a=b\), prawa strona byłaby zerem i równanie opisywałoby jeden punkt, a nie okrąg. Po drugie, w promieniu konieczna jest wartość bezwzględna: promień jest dodatni, a różnica \(a-b\) może być ujemna, więc zapis \(r=\frac{a-b}{2}\) bez modułu jest błędny. **Odpowiedź.** Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – przekształcenie podanego równania: \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\). **14.2. (1 pkt)** – uzasadnienie, że otrzymane równanie jest równaniem okręgu: Ponieważ \(a\ne b\), to \(\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}>0\). Otrzymane równanie przedstawia okrąg. **14.3. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka i długości promienia okręgu: \(S=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)\), \(r=\frac{a-b}{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\). b) Wierzchołkiem paraboli \(y=x^{2}-6x+12\) jest \(W=(3,3)\), a jego obrazem w symetrii względem prostej \(x=6\) jest \(W^{\prime}=(9,3)\); parabola \(y=(x-9)^{2}+6\) ma zaś wierzchołek \((9,6)\neq(9,3)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — wystarczy przenieść \(19\) na lewą stronę. W podpunkcie b) trzeba pokazać, że pewna parabola nie jest obrazem innej w symetrii osiowej. Najprościej porównać wierzchołki: symetria osiowa przeprowadza wierzchołek paraboli na wierzchołek jej obrazu, więc jeśli te punkty się nie zgadzają, teza jest udowodniona. **Krok \(2\).** a) Zapisujemy nierówność: \[x^2-6x+12-19\gt0\ \Longrightarrow\ x^2-6x-7\gt0.\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe trójmianu: \(\Delta=36+28=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \[x=\frac{6-8}{2}=-1\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{6+8}{2}=7.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wartości dodatnie trójmian przyjmuje poza przedziałem między pierwiastkami: \[x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty).\] **Krok \(5\).** b) Ustalmy, jak działa symetria względem prostej pionowej \(x=6\). Punkt \((x,y)\) przechodzi na punkt o tej samej drugiej współrzędnej i o pierwszej odbitej względem \(6\), czyli na \((12-x,\ y)\) — bo \(6\) jest środkiem odcinka o końcach \(x\) i \(12-x\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy wierzchołek wykresu \(f\), zapisując wzór w postaci kanonicznej: \[x^2-6x+12=\left(x^2-6x+9\right)+3=(x-3)^2+3,\] więc \(W=(3,3)\). **Krok \(7\).** Obraz wierzchołka w naszej symetrii: \[W^{\prime}=(12-3,\ 3)=(9,3).\] **Krok \(8\).** Obrazem paraboli w symetrii osiowej jest parabola, a obrazem jej wierzchołka — wierzchołek tego obrazu. Parabola o równaniu \(y=(x-9)^2+6\) ma wierzchołek \((9,6)\), a \((9,6)\neq(9,3)\). Zatem nie jest ona obrazem wykresu funkcji \(f\), co należało uzasadnić. **Krok \(9\).** Dla porządku: prawdziwym obrazem jest parabola \(y=(x-9)^2+3\) (wstawiając \(x=12-x^{\prime}\) do \(y=(x-3)^2+3\), dostajemy \(y=(9-x^{\prime})^2+3=(x^{\prime}-9)^2+3\)). **Uwaga.** Obie parabole mają tę samą oś \(x=9\) i identyczny kształt, więc na oko wyglądają podobnie. Dowód musi więc wskazać konkretną różnicę — tutaj jest nią wysokość wierzchołka. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\); b) obrazem wierzchołka \(W=(3,3)\) jest \((9,3)\), a podana parabola ma wierzchołek \((9,6)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\).

**27. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\): \(W(3,3)\). **28. (1 pkt)** – wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu \(y=(x-9)^{2}+6\) do odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: \(W(9,6)\). **29. (1 pkt)** – zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu \(y=x^{2}-6x+12\) nie jest wykres funkcji \(y=(x-9)^{2}+6\), ponieważ: np. obrazem punktu \(W\) w danej symetrii jest punkt \(W'(9,3)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Przekształcenie \(P\) jest izometrią, a obrazem danego okręgu jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-4x+3=0\).

**Izometria.** Niech \(A=(x_1,y_1)\) i \(B=(x_2,y_2)\). Wtedy \(P(A)=(x_1+1,-y_1)\) oraz \(P(B)=(x_2+1,-y_2)\), a zatem \[\left|P(A)P(B)\right|=\sqrt{\left((x_2+1)-(x_1+1)\right)^{2}+\left(-y_2+y_1\right)^{2}}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}=|AB|.\] Przekształcenie zachowuje odległość dowolnych dwóch punktów, więc jest izometrią. **Obraz okręgu.** Dany okrąg zapisujemy w postaci kanonicznej: \[x^{2}+y^{2}-2x=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1,\] więc ma środek \((1,0)\) i promień \(1\). Izometria przeprowadza okrąg na okrąg o tym samym promieniu, a obrazem środka jest \[P\left((1,0)\right)=(2,0).\] Obraz ma więc równanie \[(x-2)^{2}+y^{2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-4x+3=0.\] **Odpowiedź.** \(x^2+y^2-4x+3=0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **13.1. (1 pkt)** – powołanie się na definicję izometrii **13.2. (1 pkt)** – wybór dwóch różnych punktów \(A\) i \(B\) i wyznaczenie współrzędnych ich obrazów \(A^{\prime}\) i \(B^{\prime}\) **13.3. (1 pkt)** – sprawdzenie, że odległości \(AB\) i \(A^{\prime}B^{\prime}\) są równe **13.4. (2 pkt)** – wyznaczenie równania obrazu danego okręgu w przekształceniu \(P\): np. \(x^{2}+y^{2}-4x+3=0\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.