Kula i sfera w zadaniach maturalnych

**B.** \(30\,\mathrm{cm}^{3}\)

Oba stożki mają wspólną podstawę, więc ich objętości \(V=\frac13\pi r^{2}h\) różnią się wyłącznie wysokością — są do niej wprost proporcjonalne. Stosunek wysokości wynosi \(3:2\), więc taki sam jest stosunek objętości. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\,\mathrm{cm}^{3}\), zatem \[\frac{V_{\text{dłuższy}}}{12}=\frac32\quad\Longrightarrow\quad V_{\text{dłuższy}}=18\,\mathrm{cm}^{3}.\] Objętość całej bryły: \[V=12+18=30\,\mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=30\,\mathrm{cm}^{3}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11. Bryły — zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli, także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym (G11.2).

**D.** \(12\)

Pole powierzchni kuli o promieniu \(4\) jest równe \(4\pi\cdot16=64\pi\). Pole całkowite stożka o promieniu podstawy \(4\) i tworzącej \(l\) wynosi \[P_c=\pi\cdot16+\pi\cdot4l=16\pi+4\pi l.\] Z równości pól \(16\pi+4\pi l=64\pi\), więc \(l=12\). **Odpowiedź.** \(l=12\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni I II i interpretowanie i objętość walca, stożka, kuli (G11.2). reprezentacji. D C

**D.** \(22\)

Pole powierzchni kuli o promieniu \(2\) wynosi \(P_k=4\pi\cdot4=16\pi\), więc pole całkowite stożka jest równe \(3\cdot16\pi=48\pi\). Dla stożka o promieniu \(r=2\) i tworzącej \(l\) \[P_c=\pi r^{2}+\pi rl=4\pi+2\pi l=48\pi\quad\Longrightarrow\quad l=22.\] **Odpowiedź.** \(l=22\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(4\)

Z równości objętości stożka i kuli o tym samym promieniu \(r\): \[\frac13\pi r^{2}H=\frac43\pi r^{3}\quad\Longrightarrow\quad H=4r.\] Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\) i \(r\), więc \[\tan\alpha=\frac{H}{r}=4.\] **Odpowiedź.** \(\tan\alpha=4\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(\frac53\pi r^3\)

**Krok \(1\).** Bryła jest złożona z dwóch znanych brył, a jej objętość to po prostu suma objętości części: \[V=V_{\text{walca}}+V_{\text{półkuli}}.\] Kluczowa informacja z treści: promień podstawy walca, wysokość walca i promień półkuli to ta sama liczba \(r\). **Krok \(2\).** Objętość walca liczymy ze wzoru \(V=\pi r^2 H\). Tu wysokość \(H=r\), więc \[V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3.\] **Krok \(3\).** Objętość całej kuli o promieniu \(r\) to \(\frac43\pi r^3\). Półkula to dokładnie połowa kuli: \[V_{\text{półkuli}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3.\] **Krok \(4\).** Dodajemy obie objętości, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac33\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac53\pi r^3.\] **Uwaga.** Połowa kuli oznacza połowę **objętości**, a nie połowę promienia. Gdyby ktoś zmniejszył promień, wynik byłby zupełnie inny. **Odpowiedź.** A: \(\dfrac53\pi r^3\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **G11.2:** zdający oblicza pole powierzchni i objętość walca, stożka i kuli.

\[d=\frac{\sqrt6}{6}.\]

Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi \(6\) jest równa \(H=2\sqrt6\). Promień kuli wpisanej to \(R=\frac14H=\frac{\sqrt6}{2}\). Stosunek objętości podobnych czworościanów wynosi \(\frac8{27}\), więc skala podobieństwa jest równa \(\frac23\). Płaszczyzna leży zatem na wysokości \(\frac13H\) nad podstawą. Szukana odległość wynosi \[d=\frac13H-R=\frac{2\sqrt6}{3}-\frac{\sqrt6}{2}=\frac{\sqrt6}{6}.\]

**4 pkt** – obliczenie \(d=\frac{\sqrt6}{6}\) **3 pkt** – wyznaczenie zależności \(d=\frac13H-\frac14H\) albo wszystkich wielkości \(H=2\sqrt6\), wysokości odciętego czworościanu i \(R=\frac{\sqrt6}{2}\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie dwóch kluczowych wielkości spośród wysokości, skali \(\frac23\) i promienia kuli **1 pkt** – poprawne wyznaczenie jednej z nich albo poprawna interpretacja odległości **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** stereometria, podobieństwo brył i twierdzenie Pitagorasa.

**D.** \(5\) razy.

Z rysunku odczytujemy, że odcięty ostrosłup \(ABDE\) ma wierzchołek w narożu \(A\) sześcianu, a trzy jego krawędzie wychodzące z \(A\) — czyli \(AB\), \(AD\) i \(AE\) — są krawędziami sześcianu i są parami prostopadłe. Podstawą jest trójkąt prostokątny \(ABD\) o polu \(\frac12a^2\), a wysokością krawędź \(AE\) długości \(a\), więc \[V_{ABDE}=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot a=\frac{a^3}{6}.\] Pozostała część sześcianu ma objętość \[a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6},\] czyli \(5\) razy większą od objętości ostrosłupa. **Odpowiedź.** D. \(5\) razy.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli — także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.

**A.** \(6\)

Ze wzoru na objętość kuli \[\frac43\pi r^{3}=288\pi\quad\Longrightarrow\quad r^{3}=216\quad\Longrightarrow\quad r=6.\] **Odpowiedź.** \(r=6\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – wyznacza promień kuli z jej objętości.

\[V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3.\]

Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy stożka (równy promieniowi półkuli), a przez \(h\) wysokość stożka. Z treści zadania \[h=r+1.\] Objętości obu części kapsuły wynoszą \[V_{\text{st}}=\frac13\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{pk}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^{3}=\frac23\pi r^{3},\] a objętość całej kapsuły to \(V=V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\). Warunek zadania \(V_{\text{st}}=\frac23V\) przekształcamy: \[V_{\text{st}}=\frac23\left(V_{\text{st}}+V_{\text{pk}}\right),\qquad 3V_{\text{st}}=2V_{\text{st}}+2V_{\text{pk}},\qquad V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}.\] Podstawiamy wzory i \(h=r+1\): \[\frac13\pi r^{2}(r+1)=2\cdot\frac23\pi r^{3}=\frac43\pi r^{3}.\] Ponieważ \(r>0\), dzielimy obie strony przez \(\frac13\pi r^{2}\): \[r+1=4r,\qquad 3r=1,\qquad r=\frac13.\] Wtedy \(h=\frac13+1=\frac43\). Obliczamy objętość kapsuły: \[V_{\text{st}}=\frac13\pi\cdot\frac19\cdot\frac43=\frac{4\pi}{81},\qquad V_{\text{pk}}=\frac23\pi\cdot\frac1{27}=\frac{2\pi}{81},\] \[V=\frac{4\pi}{81}+\frac{2\pi}{81}=\frac{6\pi}{81}=\frac{2\pi}{27}.\] Sprawdzenie warunku: \(\frac{V_{\text{st}}}{V}=\frac{4/81}{6/81}=\frac23\). **Odpowiedź.** \(V=\frac{2\pi}{27}\ \mathrm{m}^3\approx0{,}23\ \mathrm{m}^3\)

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **1 pkt** – zapisanie zależności między promieniem a wysokością stożka: \(h=r+1\) **1 pkt** – zapisanie wzorów na objętość stożka i półkuli **1 pkt** – przekształcenie warunku \(V_{\text{st}}=\frac23V\) do postaci \(V_{\text{st}}=2V_{\text{pk}}\) **1 pkt** – obliczenie promienia: \(r=\frac13\) **1 pkt** – obliczenie objętości kapsuły: \(V=\frac{2\pi}{27}\)

**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu matematycznego bryły złożonej, zapisywanie i przekształcanie warunku dotyczącego stosunku objętości oraz obliczanie objętości stożka i półkuli.

\(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na przetapianie brył. Kluczowa idea: przy przetopieniu ilość metalu się nie zmienia, więc objętość walca jest równa sumie objętości kuli i stożka. Wystarczy policzyć trzy objętości i rozwiązać równanie z niewiadomą wysokością. **Krok \(2\).** Objętość kuli o promieniu \(10\ \mathrm{cm}\) liczymy ze wzoru \(V=\frac43\pi R^3\): \[V_k=\frac43\pi\cdot10^3=\frac{4000}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(3\).** Stożek ma średnicę \(16\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \(8\ \mathrm{cm}\), a wysokość \(12\ \mathrm{cm}\). Ze wzoru \(V=\frac13\pi r^2h\): \[V_s=\frac13\pi\cdot8^2\cdot12=\frac13\pi\cdot64\cdot12=256\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(4\).** Sumujemy, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\frac{4000}{3}\pi+256\pi=\frac{4000}{3}\pi+\frac{768}{3}\pi=\frac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(5\).** Walec ma średnicę \(\frac{8\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \[r_w=\frac12\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm},\qquad r_w^2=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\ \mathrm{cm^2}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy równanie na objętość walca \(V=\pi r_w^2h_w\): \[\pi\cdot\frac{16}{3}\cdot h_w=\frac{4768}{3}\pi.\] **Krok \(7\).** Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(3\): \[16h_w=4768,\qquad h_w=\frac{4768}{16}=298\ \mathrm{cm}.\] **Uwaga.** Aż dwa razy w tym zadaniu podano średnicę, a wzory wymagają promienia — i w stożku, i w walcu trzeba pamiętać o podzieleniu przez \(2\). Warto też podnieść \(\frac{4\sqrt3}{3}\) do kwadratu ostrożnie: \(\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{4^2\cdot(\sqrt3)^2}{3^2}=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{16}{3}\), a nie \(\frac{4\cdot3}{3}\). Liczby dobrano tak, aby \(\pi\) skróciło się w równaniu, więc nie ma potrzeby liczenia przybliżeń. **Odpowiedź.** \(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] niami lub opis oznaczeń: \(2r_{W}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm – średnica walca. **8.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzorów na objętość kuli, stożka do obliczenia objętości walca: \(V_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.3. (1 pkt)** – ułożenie równania na objętość walca z niewiadomą \(h_{W}\) (\(h_{W}\) – wysokość walca): \(\frac{16}{3}\pi h_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(h_{W}=298\) cm.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Wykresem jest siedem punktów: \((1,2)\), \((2,5)\), \((3,10)\), \((4,17)\), \((5,26)\), \((6,37)\), \((7,50)\); zbiór wartości: \(\{2,5,10,17,26,37,50\}\). b) \(x=6\).

**Krok \(1\).** Sporządzenie wykresu funkcji. \(1\) **Krok \(2\).** Określenie zbioru wartości funkcji. Y={\(2\),\(5\),\(10\),\(17\),\(26\),\(37\),\(50\)} \(1\) **Krok \(3\).** Wyznaczenie argumentu dla którego wartość **Krok \(4\).** x = \(6\) \(1\) **Krok \(5\).** funkcji wynosi \(37\). **Krok \(6\).** R = \(10\) cm – promień kuli **Krok \(7\).** \(2r\) = \(16\) cm, \(h\) = \(12\) cm – średnica **Krok \(8\).** Sporządzenie odpowiednich rysunków z oznacze- **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – sporządzenie wykresu funkcji. **7.2. (1 pkt)** – określenie zbioru wartości funkcji: \(Y=\{2,5,10,17,26,37,50\}\). **7.3. (1 pkt)** – wyznaczenie argumentu, dla którego wartość funkcji wynosi \(37\): \(x=6\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\)

**Krok \(1\).** Oznaczamy przez \(r\) promień podstawy stożka, przez \(H\) jego wysokość, a przez \(R=4\) promień kuli wpisanej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i wysokości \(H\), w który wpisano okrąg o promieniu \(R\). **Krok \(2\).** Z podobieństwa trójkątów w przekroju osiowym otrzymujemy związek między \(r\) i \(H\): \[r^{2}=\frac{R^{2}H}{H-2R}=\frac{16H}{H-8},\qquad H>8.\] Warunek \(H>2R\) jest istotny: stożek opisany na kuli musi być wyższy niż jej średnica. **Krok \(3\).** Zapisujemy objętość jako funkcję jednej zmiennej \(H\): \[V(H)=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H^{2}}{H-8},\qquad H\in(8,+\infty).\] **Krok \(4\).** Liczymy pochodną: \[V'(H)=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{2H(H-8)-H^{2}}{(H-8)^{2}}=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{H(H-16)}{(H-8)^{2}}.\] **Krok \(5\).** W dziedzinie \((8,+\infty)\) mianownik i czynnik \(H\) są dodatnie, więc o znaku decyduje \(H-16\). Pochodna jest ujemna na \((8,16)\) i dodatnia na \((16,+\infty)\), zatem w \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga minimum lokalne, a wobec zachowania na krańcach dziedziny — także najmniejszą wartość. **Krok \(6\).** Wyznaczamy promień i objętość dla \(H=16\): \[r^{2}=\frac{16\cdot 16}{16-8}=32,\qquad r=4\sqrt{2},\] \[V=\frac{16\pi}{3}\cdot\frac{16^{2}}{8}=\frac{512\pi}{3}.\] **Uwaga.** Zadanie pyta o objętość najmniejszą, nie największą — i minimum faktycznie istnieje: przy \(H o 8^{+}\) oraz przy \(H o+\infty\) objętość rośnie nieograniczenie. **Odpowiedź.** \(H=16\ \mathrm{cm}\), \(r=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}\), \(V=\dfrac{512\pi}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\approx 536{,}17\ \mathrm{cm}^{3}\)

**[…]. ([…] pkt)** – […] \(DV'=DV\). **50. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości: \(H=16\). **51. (1 pkt)** – zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: \(V'(H)>0\Leftrightarrow H\in(16;\infty)\) oraz \(V'(H)<0\Leftrightarrow H\in(8;16)\). **52. (1 pkt)** – stwierdzenie i zapisanie, że dla \(H=16\) funkcja \(V\) osiąga lokalne minimum równe \(V(16)=\frac{512\pi}{3}\). **53. (1 pkt)** – uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty: \(\lim\limits_{H\to 8^{+}}V(H)=+\infty\) oraz \(\lim\limits_{H\to\infty}V(H)=+\infty\). **54. (1 pkt)** – podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu \(R=4\) cm: wysokość stożka, \(H=16\) cm, promień podstawy stożka \(r=4\sqrt{2}\) cm. Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.