Miejsce zerowe to argument, nie wartość — i na tym jednym rozróżnieniu opiera się większość błędów w tym temacie. Szukamy takiego x, dla którego funkcja daje zero, a odpowiedzią jest liczba z osi poziomej. Wyznaczanie sprowadza się zawsze do jednego: przyrównać wzór do zera i rozwiązać równanie.
Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 3
Krótko: Miejsce zerowe funkcji f to taki argument x, dla którego f(x) = 0 (punkt, w którym wykres przecina oś x). Na przykład dla f(x) = x² − 9 miejscami zerowymi są −3 i 3.
Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy, punkt 4: „odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby”.
Podstawa mówi o odczycie z wykresu, ale wyznaczanie miejsc zerowych ze wzoru jest krokiem w niemal każdym zadaniu o funkcjach — od liniowej po kwadratową.
x0 jest miejscem zerowym ⟺f(x0)=0
Miejscem zerowym jest x0, a nie zero. Zero to wartość, którą funkcja w tym punkcie przyjmuje — szukaną liczbą jest argument, który do tej wartości prowadzi.
pytanie
czego szukamy
z której osi
miejsce zerowe
argumentux
poziomej
wartość funkcji
wartościy
pionowej
punkt przecięcia z osią OY
wartości f(0)
pionowej
Trzeci wiersz to najczęstsza pomyłka: przecięcie z osią pionową nie jest miejscem zerowym. Tam zeruje się argument, a nie wartość — to sytuacja odwrotna.
Na wykresie miejsca zerowe to punkty, w których krzywa przecina lub dotyka osi poziomej. Odczytuje się wtedy pierwszą współrzędną takiego punktu.
Ile miejsc zerowych może mieć funkcja
Dowolnie wiele — albo żadnego.Funkcja liniowa ma jedno, chyba że jest stała. Kwadratowa ma dwa, jedno albo żadnego, zależnie od wyróżnika.
Funkcja wykładniczanie ma ani jednego, bo jej wartości są zawsze dodatnie. Sinus ma ich nieskończenie wiele.
Odpowiedź „funkcja nie ma miejsc zerowych” jest pełnym rozwiązaniem, a nie oznaką błędu.
Miejsca zerowe na wykresie — przecięcia z osią OX
2Wyznaczanie ze wzoru
Schemat jest jeden i nie zależy od tego, jak skomplikowany jest wzór: przyrównaj do zera i rozwiąż równanie.
f(x)=0⇒rozwiąz˙ to roˊwnanie względem x
Cała trudność przenosi się więc na rozwiązanie równania — a to zależy już od typu funkcji.
Czwarty wiersz wart jest osobnej uwagi. Gdy wzór jest zapisany w postaci iloczynu, miejsca zerowe odczytuje się wprost, bez żadnych rachunków — iloczyn równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik.
Dlatego rozkład na czynniki jest tak przydatny: zamienia szukanie miejsc zerowych w odczytywanie.
Uwaga na dziedzinę. Otrzymany argument musi do niej należeć. Dla f(x)=x−2x2−4 rachunek daje x=2 i x=−2, ale dwójka nie należy do dziedziny — zeruje mianownik. Miejscem zerowym jest tylko −2.
Kontrola, która zajmuje sekundę
Podstaw otrzymany argument do wyjściowego wzoru i sprawdź, czy wychodzi zero.
Dla f(x)=2x−6 i x=3: 2⋅3−6=0 ✓
Ta kontrola wyłapuje zarówno błąd rachunkowy, jak i najczęstszą pomyłkę koncepcyjną — podanie wartości zamiast argumentu. Gdybyś wstawił 0 i dostał coś różnego od zera, wiadomo, że odpowiedź jest nie z tej osi.
Liczba miejsc zerowych funkcji liniowej i kwadratowej
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcje” (liceum, klasa 1), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Odczyt z wykresu i z tabeli
Podstawa wymienia odczyt z wykresu wprost, a w arkuszach pojawia się też funkcja zadana tabelą. Obie sytuacje sprowadzają się do szukania zera w wartościach.
Z wykresu: znajdź punkty wspólne z osią poziomą i odczytaj ich pierwsze współrzędne. Jeśli krzywa oś tylko dotyka, to też jest miejsce zerowe — nie musi jej przecinać.
Z tabeli: przejrzyj wiersz wartości i wskaż te argumenty, przy których stoi zero.
x
−6
−4
−2
0
2
4
f(x)
3
0
−1
0
5
2
W tej tabeli miejscami zerowymi są −4 oraz 0 — bo tylko przy nich w dolnym wierszu stoi zero. Wartość f(−2)=−1 jest ujemna, ale to nie czyni z −2 miejsca zerowego.
Zwróć uwagę na drugie z nich:x=0 bywa miejscem zerowym i nie ma w tym sprzeczności. Znaczy to, że wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Kropka zamalowana i niezamalowana
Na wykresach z arkuszy koniec przedziału bywa oznaczony kółkiem niezamalowanym — taki punkt do wykresu nie należy.
Jeśli akurat tam wykres byłby na osi poziomej, to nie jest miejsce zerowe, bo funkcja nie przyjmuje tam żadnej wartości.
Kropka zamalowana oznacza punkt należący. Różnica jednego oznaczenia zmienia odpowiedź, więc warto ją sprawdzać, zanim się policzy miejsca zerowe.
4Do czego to jest potrzebne
Miejsca zerowe rzadko są celem samym w sobie. Zwykle są narzędziem do czegoś dalszego.
Znak funkcji. Między kolejnymi miejscami zerowymi funkcja ciągła nie zmienia znaku — dlatego wystarczy sprawdzić jeden punkt w każdym przedziale. Na tym opiera się rozwiązywanie nierówności kwadratowych.
Szkic wykresu. Miejsca zerowe wyznaczają, gdzie krzywa przecina oś — a to razem z kierunkiem ramion wystarcza do naszkicowania paraboli.
Postać iloczynowa. Znając miejsca zerowe x1 i x2 funkcji kwadratowej, można od razu zapisać f(x)=a(x−x1)(x−x2).
Oś symetrii paraboli leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi, o ile są dwa — stąd szybki sposób na współrzędną wierzchołka. Gdy miejsc zerowych nie ma, oś symetrii wyznacza się ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka.
Ostatni punkt bywa najszybszą drogą do wierzchołka. Jeśli miejsca zerowe to −1 i 5, to p=2−1+5=2 — bez liczenia wyróżnika i bez wzoru na p.
Warto też pamiętać, że miejsce zerowe funkcji to rozwiązanie równaniaf(x)=0. Te dwa pojęcia opisują to samo z dwóch stron: jedno językiem funkcji, drugie językiem równań.
5Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: odczyt z tabeli, wyznaczanie ze wzoru z parametrem i funkcja bez miejsc zerowych.
Przykład 1 Wyznaczanie parametru z miejsca zerowego
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x3−b−52 dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym tej funkcji jest x=2. Wyznacz b.
Miejsce zerowe znaczy, że f(2)=0. Podstawiam:
(2)3−b−52=0
Liczę sześcian: (2)3=(2)2⋅2=22.
22−b−52=0
Redukuję wyrazy z pierwiastkiem: 22−52=−32.
−32−b=0, więc b=−32.
Kontrola przez podstawienie: f(2)=22−(−32)−52=22+32−52=0 ✓
Kontrola bez rachunku: wszystkie trzy składniki mają wspólny czynnik 2, a współczynniki dają 2+3−5=0 ✓
Odpowiedź: b=−32.
Cały pomysł mieści się w pierwszym kroku: miejsce zerowe to informacja, że po podstawieniu wychodzi zero. Reszta jest zwykłym rozwiązywaniem równania z jedną niewiadomą.
Przykład 2 Odczyt z tabeli
Funkcja y=f(x) przyjmuje wartości: f(−6)=3, f(−4)=0, f(−2)=−1, f(0)=0, f(2)=5, f(4)=2. Podaj miejsca zerowe i największą wartość funkcji.
Miejsca zerowe to argumenty, przy których wartość wynosi zero.
Przeglądam wartości: 3, 0, −1, 0, 5, 2.
Zero stoi przy argumentach −4 oraz 0 — to są miejsca zerowe.
Największa wartość to największa liczba w dolnym wierszu: 5.
Przyjmowana jest dla argumentu 2 — ale pytanie dotyczyło wartości, więc odpowiedzią jest 5, nie 2.
Kontrola rozróżnienia: miejsca zerowe podałem z górnego wiersza, największą wartość z dolnego ✓
Kontrola pułapki: f(−2)=−1 jest wartością ujemną, ale −2nie jest miejscem zerowym ✓
Odpowiedź: Miejsca zerowe: −4 i 0. Największa wartość: 5.
Zadanie sprawdza jedną rzecz: czy odróżniasz oś argumentów od osi wartości. Miejsca zerowe czyta się z górnego wiersza, wartości z dolnego — i te dwa pytania mają odpowiedzi z różnych wierszy.
Przykład 3 Funkcja bez miejsc zerowych
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x)=x2+6x+10.
Przyrównuję do zera: x2+6x+10=0.
Liczę wyróżnik: Δ=62−4⋅1⋅10=36−40=−4.
Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Funkcja nie ma miejsc zerowych — jej wykres leży w całości nad osią poziomą.
Kwadrat jest nieujemny, więc całość jest zawsze co najmniej 1 — nigdy zero ✓
Kontrola liczbowa dla x=−3 (wierzchołek): 9−18+10=1 ✓ — to najmniejsza wartość i jest dodatnia
Odpowiedź: Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Postać kanoniczna daje tu dowód, a nie tylko wynik: skoro najmniejsza wartość wynosi 1, funkcja nigdy nie osiąga zera. Ujemny wyróżnik mówi to samo krócej, ale mniej naocznie.
6Najczęstsze błędy
Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy w całym dziale funkcji.
Podanie wartości zamiast argumentu
Skąd się bierze: Miejscem zerowym jest x, dla którego funkcja daje zero — a nie samo zero. Odpowiedź „miejscem zerowym jest 0” jest poprawna tylko wtedy, gdy wykres przechodzi przez początek układu, co zdarza się rzadko.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj: szukamy argumentu, odpowiedź jest z osi poziomej. Kontrola: podstaw swoją odpowiedź do wzoru — musi wyjść zero. Jeśli podstawiasz zero i wychodzi coś innego, pomyliłeś osie.
Mylenie z punktem przecięcia osi pionowej
Skąd się bierze: Punkt przecięcia z osią OY to f(0), czyli sytuacja odwrotna: zeruje się argument, a nie wartość. Obie liczby bywają w zadaniu podane obok siebie, więc łatwo je zamienić.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź, która współrzędna jest zerem. W miejscu zerowym zerem jest druga współrzędna punktu, w przecięciu z osią pionową — pierwsza.
Pominięcie dziedziny przy funkcji wymiernej
Skąd się bierze: Dla f(x)=x−2x2−4 licznik zeruje się dla x=2 i x=−2, ale dwójka zeruje też mianownik i nie należy do dziedziny. Uznanie jej za miejsce zerowe daje odpowiedź z jedną liczbą za dużo.
Jak zrobić dobrze: Najpierw wyznacz dziedzinę, potem przyrównaj licznik do zera, a na końcu odrzuć te argumenty, które do dziedziny nie należą.
Uznanie braku miejsc zerowych za błąd
Skąd się bierze: Wiele funkcji nie ma ani jednego miejsca zerowego — wykładnicza, kwadratowa z ujemnym wyróżnikiem, funkcja stała różna od zera. Uczeń widzi ujemny wyróżnik i zaczyna szukać pomyłki w poprawnym rachunku.
Jak zrobić dobrze: Zapisz wprost: „funkcja nie ma miejsc zerowych”, i uzasadnij — ujemnym wyróżnikiem albo tym, że wartości są zawsze dodatnie. To pełna odpowiedź.
Zadania maturalne — miejsca zerowe funkcji
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Zielone jest to, co dane albo odczytane. Czerwone — to, co z tego wynika. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero — czyli liczba z osi poziomej, a nie z pionowej. Na wykresie są to punkty, w których krzywa przecina albo dotyka osi Ox. Uwaga na końce: punkt leżący na osi, ale wykluczony z dziedziny, miejscem zerowym nie jest.
Zadania zamknięte
Zadanie 1(sierpień 2024)2 pktłatwe
Funkcja y=f(x) jest określona za pomocą tabeli
x
−6
−4
−2
0
2
4
6
y
−3
−4
4
1
5
0
2
Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E. Największa wartość funkcji f jest równa ……… , a miejsce zerowe funkcji f jest równe ……… .
A.1
B.2
C.4
D.5
E.6
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D, C
Funkcja jest tu podana tabelą, więc nie ma czego rysować ani liczyć — cała praca to uważne przeczytanie dwóch wierszy. Górny wiersz to argumentyx, dolny to wartościy.
Największa wartość. Patrzymy wyłącznie na dolny wiersz i szukamy w nim największej liczby: −3, −4, 4, 1, 5, 0, 2. Największa jest 5 — to odpowiedź D.
Miejsce zerowe. Teraz szukamy w dolnym wierszu zera, a odczytujemy liczbę stojącą nad nim w górnym wierszu. Zero stoi w szóstej kolumnie, a nad nim jest 4 — to odpowiedź C.
Odpowiedź: największa wartość D, miejsce zerowe C.
Kontrola na tym, co się z czym myli. Największa wartość to liczba z dolnego wiersza, a miejsce zerowe — z górnego. Gdyby pomylić wiersze przy pierwszym pytaniu, wyszłoby 6 (największy argument), czyli odpowiedź E. Gdyby pomylić je przy drugim, wyszłoby 0 — a takiej odpowiedzi wśród podanych w ogóle nie ma, co samo w sobie jest sygnałem, że coś poszło nie tak.
💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz szukać, powiedz sobie na głos, w którym wierszu ma być odpowiedź. Największa wartość — dolny wiersz. Miejsce zerowe — zero znajdujesz w dolnym, ale odpowiedzią jest liczba z górnego. Ta jedna decyzja rozstrzyga całe zadanie; reszta to przejrzenie siedmiu liczb.
⚠ Podanie 6 zamiast 5 jako największej wartości, czyli odczytanie największego argumentu. Tabela kusi do tego, bo górny wiersz rośnie równomiernie i wygląda „ważniej”. Drugi błąd, dokładnie odwrotny: podanie 0 jako miejsca zerowego — czyli powtórzenie wartości zamiast argumentu, przy którym ona wypada. Miejsce zerowe zawsze mieszka na osi argumentów.
Zadanie 2(wrzesień 2022)1 pkttrudniejsze
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x∈⟨−5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.
Dla każdego argumentu z przedziału (−4,−2) funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
P
F
Funkcja f ma trzy miejsca zerowe.
P
F
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: F, P
Zdanie pierwsze. Bierzemy kawałek wykresu nad przedziałem (−4,−2). Wykres schodzi z punktu (−4,0) do (−3,−2), a potem wznosi się do (−2,1).
Skoro w lewym końcu tego kawałka wartość wynosi 0, a w prawym 1, to gdzieś po drodze wykres wraca nad oś — a więc przyjmuje tam wartości dodatnie. Wystarczy jeden taki argument, żeby zdanie „dla każdego” upadło.
Znajdźmy go dokładnie. Odcinek od (−3,−2) do (−2,1) wznosi się o 3 na jednostkę, więc jego wzór to f(x)=−2+3(x+3) i zeruje się dla x=−37≈−2,33. Na prawo od tej liczby, aż do −2, wartości są dodatnie — na przykład f(−2,2)=0,4. Zdanie jest fałszywe.
Zdanie drugie. Liczymy, ile razy wykres spotyka oś poziomą. Idąc od lewej: w x=−4 (przecina), w x=−37 (przecina), w x=0 (przecina) — i wreszcie wykres dochodzi do osi w x=4.
To ostatnie miejsce się nie liczy: treść podaje dziedzinę ⟨−5,4) z nawiasem prawostronnie otwartym, a na rysunku kółko w tym punkcie jest niezamalowane. Liczba 4 nie jest argumentem funkcji, więc nie może być jej miejscem zerowym.
Miejsc zerowych jest zatem 3. Zdanie jest prawdziwe.
Odpowiedź: F, P.
Kontrola: gdyby dziedziną było ⟨−5,4⟩ z nawiasem domkniętym, miejsc zerowych byłoby cztery i drugie zdanie też okazałoby się fałszywe. Cała różnica siedzi w jednym znaku w treści i w jednym niezamalowanym kółku na rysunku.
💡 Wskazówka: Oba zdania rozstrzyga to samo: gdzie dokładnie wykres przecina oś poziomą. Zaznacz sobie te punkty, zanim zaczniesz czytać zdania. Przy pierwszym zdaniu uważaj na słowo „każdego” — wystarczy jeden argument z przedziału, dla którego wartość nie jest ujemna, żeby całe zdanie było fałszywe. Przy drugim policz punkty na osi, ale sprawdź kółka: to na końcu dziedziny bywa niezamalowane.
⚠ Uznanie pierwszego zdania za prawdziwe, bo wykres na przedziale (−4,−2) jest „głównie pod osią”. Kwantyfikator „dla każdego” nie znosi wyjątków: od −37 do −2 wartości są dodatnie. Drugi błąd: policzenie czterech miejsc zerowych razem z punktem x=4. Wykres tam faktycznie dotyka osi, ale kółko jest niezamalowane, a dziedzina kończy się nawiasem otwartym — ten punkt do funkcji nie należy.
Zadanie 3(informator CKE)1 pkttrudniejsze
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=x3−b−52 dla każdej liczby rzeczywistej x. Miejscem zerowym funkcji f jest x=2+1.
Współczynnik b we wzorze funkcji f jest równy
A.b=1
B.b=7
C.b=1−32
D.b=3−32
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
„Miejscem zerowym jest x=2+1” znaczy dokładnie tyle: po podstawieniu tej liczby wzór ma dać zero. Zapisujemy to i mamy równanie z jedną niewiadomą b.
f(2+1)=0⟹(2+1)3−b−52=0
Zostaje policzyć sześcian sumy ze wzoru (a+c)3=a3+3a2c+3ac2+c3, gdzie a=2, c=1:
(2+1)3=(2)3+3⋅(2)2⋅1+3⋅2⋅12+13
Liczymy każdy składnik osobno: (2)3=22, 3⋅(2)2=3⋅2=6, 32 oraz 1. Razem:
(2+1)3=22+6+32+1=52+7
Wracamy do równania:
52+7−b−52=0⟹7−b=0⟹b=7
Odpowiedź: B.
Kontrola liczbowa: 2+1≈2,4142, więc (2+1)3≈14,071. Z drugiej strony 52+7≈7,071+7=14,071 ✓. Sprawdzamy jeszcze cały wzór: f(2,4142)=14,071−7−7,071=0 ✓.
💡 Wskazówka: Nie licz sześcianu „w pamięci” — rozpisz wzór na sześcian sumy i policz cztery składniki osobno. Kluczowa obserwacja przychodzi na końcu: składniki z pierwiastkiem, 52, skracają się z 52 ze wzoru funkcji. To dlatego b wychodzi liczbą wymierną, a odpowiedzi z pierwiastkami można było odrzucić już po samym spojrzeniu na strukturę zadania.
⚠ Policzenie (2+1)3 jako (2)3+13=22+1, czyli podniesienie do sześcianu każdego składnika osobno. Wychodzi wtedy b=1−32, czyli odpowiedź C — przygotowana dokładnie na ten błąd. Drugi błąd daje odpowiedź A, czyli b=1 — to wzięcie z rozwinięcia samego wyrazu wolnego zamiast całej sumy wyrazów wymiernych 6+1.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. D, C
2. F, P
3. B
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Funkcja kwadratowa — test, liceum klasa 2
Wierzchołek, miejsca zerowe, nierówności, wartości skrajne.
To argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Na wykresie odpowiada mu punkt wspólny z osią poziomą, a odczytuje się wtedy pierwszą współrzędną tego punktu.
Jak wyznaczyć miejsca zerowe ze wzoru?
Trzeba przyrównać wzór funkcji do zera i rozwiązać powstałe równanie. Otrzymane argumenty należy jeszcze sprawdzić, czy mieszczą się w dziedzinie funkcji.
Czy miejscem zerowym jest liczba zero?
Tylko wtedy, gdy funkcja przyjmuje wartość zero dla argumentu zero, czyli gdy wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych. W pozostałych przypadkach miejscem zerowym jest inna liczba.
Ile miejsc zerowych może mieć funkcja?
Dowolnie wiele albo żadnego. Funkcja liniowa ma zwykle jedno, kwadratowa zero, jedno lub dwa, sinus nieskończenie wiele, a wykładnicza nie ma ani jednego.
Jak odczytać miejsca zerowe z tabeli wartości?
Należy znaleźć w wierszu wartości wszystkie zera i odczytać odpowiadające im argumenty z wiersza górnego. Wartości ujemne nie oznaczają miejsc zerowych.
Po co wyznacza się miejsca zerowe?
Służą do badania znaku funkcji, szkicowania wykresu i zapisywania funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Gdy parabola ma dwa miejsca zerowe, jej oś symetrii leży dokładnie pośrodku między nimi.
Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji?
Przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy powstałe równanie. Dla funkcji liniowej wychodzi jedno miejsce zerowe, dla kwadratowej — dwa, jedno albo żadne, zależnie od wyróżnika.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
