Płatny materiał · sklep
Równania i nierówności liniowe — sprawdzian, liceum, klasa 1
Nierówność z ułamkami, skrajne rozwiązanie całkowite, zadania tekstowe.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Równania i nierówności › Równania liniowe
Równania liniowe
Równanie liniowe rozwiązuje się przez upraszczanie obu stron tak długo, aż zostanie sama niewiadoma. Technika jest znana ze szkoły podstawowej i w liceum się nie zmienia — zmienia się to, o co pyta zadanie. Zamiast „oblicz ” pojawia się „ile rozwiązań ma to równanie” albo „dla jakiej wartości parametru”, a wtedy trzeba rozumieć, dlaczego wolno robić to, co się robi.
Krótko: Równanie liniowe z jedną niewiadomą to równanie postaci ax + b = 0 (a ≠ 0); jego rozwiązaniem jest x = −b : a. Na przykład 3x − 12 = 0 daje x = 4.
Przejdź od razu do zadań (6) ↓
1Przekształcenia równoważne
Przekształcenie jest równoważne, gdy nie zmienia zbioru rozwiązań — nowe równanie ma dokładnie te same rozwiązania co poprzednie. Wolno:
- dodać lub odjąć tę samą liczbę albo to samo wyrażenie po obu stronach,
- pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera,
- uporządkować każdą ze stron z osobna (rozwinąć nawiasy, zredukować wyrazy podobne).
Zastrzeżenie „różną od zera” jest jedynym prawdziwym ograniczeniem. Mnożenie obu stron przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe i gubi całą informację.
Co mówi podstawa programowa — i czego w niej nie ma
Dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 1: „przekształca równania i nierówności w sposób równoważny […]” — punkt biegnie dalej i podaje przykład takiego przekształcenia.
Punkt 2: „interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe”.
Warto zauważyć, czego tam nie ma: osobnego punktu „rozwiązuje równania liniowe”. Punkt 3 dotyczy wyłącznie nierówności. Sama technika rozwiązywania jest więc traktowana jako umiejętność wniesiona wcześniej, a liceum dokłada do niej język równoważności i interpretację przypadków szczególnych.
To nie jest ciekawostka formalna: właśnie dlatego zadania maturalne z tej grupy rzadko każą policzyć , a często pytają o liczbę rozwiązań.
Przy nierównościach lista przekształceń wygląda prawie tak samo, ale ma jeden wyjątek, którego przy równaniach nie ma — mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Opisuje to strona o nierównościach liniowych; tutaj mnożenie przez liczbę ujemną jest całkowicie bezpieczne.
2Niewiadoma po obu stronach i ułamki
Dwie sytuacje, które w praktyce sprawiają najwięcej kłopotu, mają ten sam schemat: najpierw uprość, potem zbieraj.
Gdy niewiadoma stoi po obu stronach, przenosimy wszystkie jej wystąpienia na jedną stronę, a liczby na drugą. Którą stronę wybrać — bez znaczenia dla wyniku, ale wygodniej zostawić niewiadomą tam, gdzie jej współczynnik jest większy: unika się wtedy dzielenia przez liczbę ujemną.
Gdy w równaniu są ułamki, mnożymy obie strony przez wspólny mianownik. To najbardziej opłacalny ruch w całym temacie: jedno mnożenie usuwa wszystkie ułamki naraz.
Przy tym mnożeniu trzeba pomnożyć każdy składnik obu stron, łącznie z tymi, które ułamka nie zawierają. Pominięcie prawej strony jest tu najczęstszą pomyłką — i, podobnie jak opisany niżej błąd znaku, taką, której nie widać po samym zapisie: równanie po niej nadal wygląda sensownie. Dlatego przy ułamkach kontrola przez podstawienie do pierwotnego równania jest ważniejsza niż zwykle — obie te pomyłki wychodzą dopiero tam.
Nawias przy odejmowaniu ułamka
Wyrażenie po pomnożeniu przez daje , czyli .
Minus dotyczy całego licznika, więc po rozwinięciu zmieniają znak oba składniki.
Zapisanie jest tu najczęstszym błędem znaku w całym dziale i zwykle prowadzi do wyniku, który wygląda wiarygodnie.
Równanie liniowe jest punktem wyjścia dla wszystkiego, co dalej, a przewodnik po całym dziale układa te tematy jeden po drugim.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Równania” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Równania”7 arkuszy w jednym pliku12,90 zł27,30 zł−14,40 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Równania sprzeczne i tożsamościowe
Zdarza się, że w trakcie rozwiązywania niewiadoma znika z obu stron. To nie jest błąd rachunkowy — to wynik, tylko innego rodzaju. Rozstrzyga to, co zostało:
Zanim przejdę do dwóch nietypowych przypadków, warto nazwać ten zwyczajny. Równanie mające dokładnie jedno rozwiązanie nazywa się oznaczonym — i to właśnie z nim ma się do czynienia w większości zadań. Pełny podział jest więc trójdzielny: równanie oznaczone (jedno rozwiązanie), tożsamościowe (każda liczba jest rozwiązaniem) i sprzeczne (żadna). Nazwa oznaczone bywa w szkole pomijana — mówi się po prostu „ma jedno rozwiązanie” — ale pojawia się w poleceniach typu „określ, czy równanie jest oznaczone”.
| co zostało po redukcji | jak się nazywa | zbiór rozwiązań |
|---|---|---|
| zdanie fałszywe, np. | równanie sprzeczne | zbiór pusty |
| zdanie prawdziwe, np. | równanie tożsamościowe | wszystkie liczby rzeczywiste |
Warto rozumieć, skąd się to bierze. Równanie liniowe sprowadza się ostatecznie do postaci . Gdy , jest dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy , niewiadoma znika i wszystko zależy od : dla zostaje sprzeczność, dla — tożsamość.
Ten sam trójpodział wraca w zadaniach o parametrze: pytanie „dla jakiej wartości równanie nie ma rozwiązań” sprowadza się do wyzerowania współczynnika przy przy jednoczesnym sprawdzeniu, że wyraz wolny zerem nie jest.
To bliski krewny warunku z monotoniczności funkcji liniowej i z miejsca zerowego: w każdym z tych trzech tematów decyduje pytanie „czy współczynnik przy jest zerem”. Warto zauważyć, że to za każdym razem ten sam warunek oglądany z innej strony.
4Od treści do równania
W zadaniach tekstowych całą trudnością jest zapis, nie rachunek. Kolejność, która się sprawdza:
- Nazwij niewiadomą jednym zdaniem: „niech oznacza…”. Zapisz to, nawet jeśli wydaje się oczywiste — bez tego zdania rozwiązanie bywa uznane za niepełne.
- Przetłumacz warunek z treści na równanie, wyrażenie po wyrażeniu.
- Rozwiąż i wróć do treści — sprawdź, czy odpowiadasz na zadane pytanie, a nie na wartość .
Punkt trzeci bywa pułapką celowo: jeśli oznacza liczbę mniejszą, a pytanie dotyczy większej, samo nie jest odpowiedzią. To najczęstszy sposób tracenia punktu przy poprawnym rachunku.
Warto też sprawdzić, czy wynik ma sens w kontekście zadania. Ujemna liczba osób, ułamkowa liczba autobusów albo wiek lata oznaczają, że równanie zostało zapisane błędnie — sam rachunek może być bez zarzutu.
5Przykłady krok po kroku
Cztery zadania: niewiadoma po obu stronach, ułamki, przypadki szczególne i zadanie tekstowe.
Przykład 1 Niewiadoma po obu stronach
Rozwiąż równanie .
- Przenoszę wyrazy z na lewą stronę, liczby na prawą: .
- .
- .
- Kontrola: lewa strona , prawa ✓
Odpowiedź:
Zostawienie niewiadomej po stronie z większym współczynnikiem (, nie ) sprawiło, że po redukcji współczynnik wyszedł dodatni. To drobiazg, ale oszczędza dzielenia przez liczbę ujemną.
Przykład 2 Równanie z ułamkami
Rozwiąż równanie .
- Wspólny mianownik to — mnożę przez niego obie strony, łącznie z jedynką.
- , czyli .
- Rozwijam nawias, pilnując znaku: .
- , czyli .
- Kontrola: ✓
Odpowiedź:
Gdyby minus przed ułamkiem zastosować tylko do pierwszego składnika licznika, wyszłoby i wynik — liczba równie „ładna”, więc sam wygląd wyniku niczego nie ostrzega. Sprawdzenie w oryginalnym równaniu ostrzega.
Przykład 3 Równanie sprzeczne i tożsamościowe
Rozwiąż równania: (a) , (b) .
- (a) Rozwijam: .
- Odejmuję od obu stron: zostaje — zdanie fałszywe, więc równanie jest sprzeczne.
- (b) Rozwijam: .
- Obie strony są identyczne, więc po redukcji zostaje — równanie tożsamościowe.
- Kontrola (a): dla mamy i ; dla mamy i — różnica jedności utrzymuje się zawsze ✓
- Kontrola (b): dla obie strony dają ✓
Odpowiedź: (a) brak rozwiązań; (b) każda liczba rzeczywista
Odpowiedź „ się skrócił, więc nie da się rozwiązać” jest błędna w obu przypadkach. Zniknięcie niewiadomej jest rozwiązaniem — tylko trzeba przeczytać, co zostało.
Przykład 4 Zadanie tekstowe
Trzykrotność pewnej liczby zmniejszona o jest równa . Jaka to liczba i jaka jest jej połowa?
- Niech oznacza szukaną liczbę.
- Trzykrotność zmniejszona o osiem: . Warunek: .
- , czyli .
- Pytanie jest podwójne — połowa liczby to .
- Kontrola w treści: ✓
Odpowiedź: Liczba to , jej połowa to .
Zadanie ma dwa pytania, a rachunek jedno. Zatrzymanie się na dałoby odpowiedź niepełną mimo bezbłędnego rozwiązania równania.
6Najczęstsze błędy
Pierwsze trzy błędy dotyczą przekształceń, dwa ostatnie — czytania wyniku.
Pominięcie prawej strony przy mnożeniu przez wspólny mianownik.
Skąd się bierze: Wzrok skupia się na ułamkach, a strona bez ułamka wygląda na „gotową”.
Jak zrobić dobrze: Mnożymy każdy składnik obu stron. Jedynka po pomnożeniu przez staje się dwunastką.
Zgubienie znaku przy odejmowaniu ułamka z dwuwyrazowym licznikiem.
Skąd się bierze: Minus odnosi się do całego licznika, ale zapisany jest przed kreską ułamkową.
Jak zrobić dobrze: Traktuj licznik jak nawias: po pomnożeniu daje .
Mnożenie obu stron przez wyrażenie, które może być zerem.
Skąd się bierze: Przekształcenie wygląda tak samo jak mnożenie przez liczbę.
Jak zrobić dobrze: Mnożyć wolno przez liczbę różną od zera. Przy mnożeniu przez wyrażenie z niewiadomą trzeba osobno rozważyć przypadek, w którym się ono zeruje.
Uznanie zniknięcia niewiadomej za brak rozwiązania — także wtedy, gdy zostało zdanie prawdziwe.
Skąd się bierze: Brak w wyniku wygląda jak sytuacja bez odpowiedzi.
Jak zrobić dobrze: Przeczytaj, co zostało. Zdanie fałszywe oznacza zbiór pusty, prawdziwe — wszystkie liczby rzeczywiste.
Podanie wartości zamiast odpowiedzi na pytanie z treści.
Skąd się bierze: Rozwiązanie równania czuje się jak koniec pracy.
Jak zrobić dobrze: Wróć do treści i sprawdź, o co pytano. Jeśli oznaczało liczbę mniejszą, a pytanie dotyczy większej, trzeba wykonać jeszcze jedno działanie.
Zadania maturalne — równania liniowe z jedną niewiadomą
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Schemat jest zawsze ten sam: rozwiń nawiasy, zbierz niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej, podziel. Uwaga na dwie rzeczy, które w tych zadaniach decydują o wyniku: minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku, a gdy niewiadoma stoi w mianowniku albo równanie jest zapisane w postaci iloczynu, schemat wygląda inaczej — i te przypadki są tu osobno omówione.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.
Zadania zamknięte
Zadanie 1 (sierpień 2011)1 pktłatwe
Rozwiązaniem równania jest
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Rozwijamy nawias. Mnożymy przez oba składniki:
- Zbieramy. Niewiadome na prawo, liczby na lewo:
- Odpowiedź: A.
- Sprawdzenie: lewa strona , prawa ✓
💡 Wskazówka: Przy równaniach zamkniętych zawsze warto zrobić sprawdzenie — podstawienie wyniku zajmuje kilka sekund i wyłapuje każdy błąd rachunkowy. Tu wystarczyło jedno mnożenie po każdej stronie.
⚠ Pomnożenie tylko przez pierwszy składnik nawiasu, czyli zapis zamiast . Wtedy z równania wychodzi , czyli — liczba spoza podanych odpowiedzi, więc błąd sam się ujawnia. Drugi błąd: przeniesienie na prawą stronę jako zamiast ; wtedy zostaje i wynik jest ujemny.
Zadanie 2 (informator CKE)1 pktśrednie
Która z liczb jest rozwiązaniem równania ?
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Nawiasy są po obu stronach, więc porządkujemy najpierw każdą stronę osobno.
- Lewa strona:
- Prawa strona. Tu jest sedno zadania: przed nawiasem stoi , więc mnożymy je przez oba składniki i oba zmieniają znak: oraz .
- Równanie po uporządkowaniu:
- Odpowiedź: C.
- Sprawdzenie: lewa strona . Prawa: ✓
💡 Wskazówka: Zapisz osobno „lewa strona = …” i „prawa strona = …”, zanim zaczniesz przenosić cokolwiek między stronami. Przy dwóch nawiasach i minusie przed jednym z nich próba robienia wszystkiego naraz to najkrótsza droga do zgubienia znaku.
⚠ Dwa błędne wyniki w odpowiedziach są policzone dokładnie pod pomyłkę w znaku drugiego nawiasu. Jeśli zapiszesz jako , prawa strona staje się i wychodzi — odpowiedź B. Jeśli zapiszesz , prawa strona to i wychodzi — odpowiedź A. Mianownik w obu tych odpowiedziach jest sygnałem: poprawny rachunek daje mianownik .
Zadanie 3 (maj 2011)1 pktśrednie
Rozwiązanie równania należy do przedziału
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Równanie wygląda na kwadratowe — po obu stronach stoi iloczyn z . Ale to pozory: po rozwinięciu nawiasów składniki z pojawią się po obu stronach i się skrócą.
- Odejmujemy od obu stron — zostaje równanie liniowe:
- Teraz drugie pytanie zadania: do którego przedziału należy ?
- — nie, bo . · — nie, bo . · — nie, liczba jest dodatnia. · — tak, bo .
- Odpowiedź: D.
- Sprawdzenie w wyjściowym równaniu: lewa strona , prawa ✓
💡 Wskazówka: Nie sięgaj po deltę tylko dlatego, że widzisz iloczyn z . Najpierw rozwiń nawiasy i sprawdź, czy nie występuje po obu stronach — jeśli tak, skróci się i zostanie zwykłe równanie liniowe. Ta konstrukcja pojawia się w arkuszach regularnie i cała jej trudność polega właśnie na tym, żeby się nie przestraszyć.
⚠ Zabranie się do rozwiązywania równania kwadratowego: przeniesienie wszystkiego na jedną stronę, policzenie delty i zdziwienie, że przy zostało zero. To nie błąd rachunkowy, tylko zmarnowane dwie minuty. Drugi błąd dotyczy drugiej części zadania: samo wyliczenie to jeszcze nie odpowiedź. Przedział zawiera siódemkę, choć nie jest „najciaśniejszy” — a zadanie nie pyta o najciaśniejszy, tylko o taki, do którego rozwiązanie należy.
Zadanie 4 (maj 2020)1 pktśrednie
Suma wszystkich rozwiązań równania jest równa
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Równanie jest zapisane w postaci iloczynu, i to jest najwygodniejsza możliwa postać — nie wolno jej rozwijać. Korzystamy z zasady: iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
- Mamy trzy czynniki, więc trzy osobne równania:
- Równanie ma więc trzy rozwiązania: , i . Zadanie pyta o ich sumę:
- Odpowiedź: B.
- Sprawdzenie każdego rozwiązania osobno: ✓, ✓, ✓ — w każdym przypadku jeden czynnik zeruje cały iloczyn.
💡 Wskazówka: Znak w nawiasie i znak rozwiązania są przeciwne: z wychodzi , a z wychodzi . To jedyne miejsce w tym zadaniu, gdzie można się pomylić — i dlatego warto przepisać trzy rozwiązania obok siebie, zanim się je zsumuje.
⚠ Zatrzymanie się na pierwszym czynniku i odpowiedź — czyli przeczytanie równania jako „”. Pierwszy czynnik faktycznie daje rozwiązanie , ale nie jest ono jedynym; do sumy trzeba dodać jeszcze dwa. Drugi błąd: przepisanie znaków z nawiasów bez zmiany, czyli rozwiązania , i . Ich suma to — liczba, której nie ma wśród odpowiedzi, więc taka pomyłka sama się ujawnia.
Zadanie 5 (maj 2019)1 pktśrednie
Równość jest prawdziwa dla
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Niewiadoma stoi w mianowniku, więc od razu zakładamy, że jest różna od zera. Rozwiązanie ma dwa etapy: najpierw wyznaczamy , a potem — i to jest krok, o którym najłatwiej zapomnieć — przechodzimy od do samego .
- Etap 1 — wyznaczamy . Przenosimy dwa znane ułamki na prawą stronę:
- Wspólny mianownik i to :
- Etap 2 — od do . Skoro , to jest odwrotnością tej liczby:
- Odpowiedź: D.
- Sprawdzenie: ✓
💡 Wskazówka: Zauważ, że zachowuje się w tym równaniu jak zwykła niewiadoma — można je nawet podstawić jako i rozwiązać . Wtedy widać wyraźnie, że wynik to nie jest jeszcze odpowiedź: pytanie dotyczy , a .
⚠ Podanie jako odpowiedzi — czyli pominięcie drugiego etapu. Odpowiedź A jest podstawiona dokładnie na tę pomyłkę i jest to najczęstszy błąd w tym zadaniu, bo naprawdę wychodzi z rachunku, tylko nie jest tym, o co pytano. Prosta kontrola sensowności: trzy dodawane ułamki mają dać , a to już około , więc brakujący ułamek musi być większy od . Skoro , to — i faktycznie .
Zadanie 6 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze
Rozwiązaniem równania jest liczba
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Pierwiastek jest tu zwykłą liczbą stojącą przy — równanie jest liniowe i rozwiązujemy je normalnie.
- Iksy na jedną stronę, liczby na drugą:
- Warto teraz zmienić znaki w obu miejscach naraz — nawias razy i prawa strona razy — żeby pozbyć się minusa:
- Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone ; w mianowniku powstaje różnica kwadratów:
- Odpowiedź: A.
- Mianownik wyszedł równy — to nie przypadek, tylko cała konstrukcja zadania: . Kontrola przybliżeniem: ; lewa strona , prawa ✓
💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz usuwać niewymierność, zamień znak nawiasu tak, żeby był dodatni: z na , zmieniając jednocześnie znak prawej strony. Wyrażenie sprzężone do to , a ich iloczyn daje — mianownik znika całkowicie i nie ma czego skracać.
⚠ Zgubienie minusa przy prawej stronie. Poprawnie jest , czyli — a odpowiedź B podaje , czyli liczbę przeciwną. Warto to sprawdzić na przybliżeniu: , więc odpowiedź B jest ujemna i bliska , a z równania widać, że rozwiązanie musi być dodatnie (przy ujemnym lewa strona byłaby dużo mniejsza od prawej). Drugi błąd: pozostawienie odpowiedzi w postaci z pierwiastkiem w mianowniku i szukanie jej wśród odpowiedzi — w arkuszu wszystkie warianty są już doprowadzone do postaci bez niewymierności.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
| 1. A | 2. C | 3. D | 4. B | 5. D | 6. A |
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Układy równań liniowych — kartkówka, liceum, klasa 1
Rozwiązywanie układów, liczba rozwiązań, zadania tekstowe.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Płatny materiał · sklep
Funkcje i funkcja liniowa — test, liceum, klasa 1
Dziedzina, miejsce zerowe, monotoniczność, równanie prostej.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.
Karty pracy · sklep
Równania, nierówności i układy równań, matura — 10 kart PDF z kluczem
10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: równania z ułamkami i pierwiastkami, nierówności liniowe, przedziały, układy równań i ich…
9,90 zł
Zobacz w sklepie →7Pytania i odpowiedzi
Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe?
Jedno, żadnego albo nieskończenie wiele. Wszystko rozstrzyga postać : przy niezerowym rozwiązanie jest jedno, przy decyduje — niezerowe daje sprzeczność, zerowe tożsamość.
Czy wolno mnożyć obie strony przez liczbę ujemną?
Tak, przy równaniach jest to całkowicie bezpieczne — znak równości nie ma kierunku. Odwracanie znaku dotyczy wyłącznie nierówności.
Po co sprawdzać wynik, skoro rachunek był prosty?
Bo pomyłka znaku daje zwykle wynik wyglądający równie wiarygodnie jak poprawny. Podstawienie do pierwotnego równania zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje wszystkie błędy przekształceń.
Czym różni się równanie sprzeczne od tożsamościowego?
W obu niewiadoma znika, ale zostaje co innego: przy sprzecznym zdanie fałszywe i zbiór pusty, przy tożsamościowym zdanie prawdziwe i wszystkie liczby rzeczywiste.
Czy sposób rozwiązywania równań i nierówności liniowych jest taki sam?
Prawie. Ciąg przekształceń jest identyczny, ale przy nierówności mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Przy równaniu taki problem nie występuje.
Jak rozwiązać równanie?
Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą, zmieniając przy przenoszeniu znak. Potem podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x i sprawdź wynik. Na przykład: , więc i .
Czytaj dalej
Nierówności linioweTen sam ciąg przekształceń z jednym wyjątkiem: mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak.Miejsce zerowe funkcji liniowejTo samo równanie ax + b = 0 widziane jako pytanie o wykres.Monotoniczność funkcji liniowejTrzeci temat, w którym decyduje pytanie „czy współczynnik przy x jest zerem”.Równania i nierówności liniowe z parametremKiedy wolno podzielić przez parametr i co zrobić, gdy jego znak jest…Układy równań w zadaniach z treściąJak rozpoznać, że zadanie wymaga dwóch niewiadomych, jak przetłumaczyć treść…Układy równań: podstawianieDwie niewiadome, dwa równania.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
