Mediana i dominanta — zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

**C.** Mediana jest równa \(4\).

Rozwiązanie C ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. \(3\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G9.4) Zdający wyznacza […] medianę zestawu danych.

**B.** \(1{,}5\)

W \(50\) meczach: w \(4\) strzelono \(0\) goli, w \(21\) strzelono \(1\) gola, a w \(16\) strzelono \(2\) gole. Po uporządkowaniu \(25\). wynik to \(1\), a \(26\). wynik to \(2\). Zatem \[\operatorname{Me}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.\] Poprawna jest odpowiedź **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający znajduje medianę zestawu danych.

**\(C_{1}\).** Dominantą jest \(4\) tys. zł, ponieważ tę wartość osiąga najwięcej osób.

Największa liczebność w rozkładzie wynosi \(14\) i odpowiada zarobkom \(4\) tys. zł. Dominanta to wartość występująca najczęściej, więc wynosi \(4\) tys. zł.

**1 pkt** – odpowiedź **C1** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający znajduje dominantę.

Mediana wynosi \(4{,}5\) tys. zł.

W firmie pracuje \(75\) osób, więc mediana jest wartością na pozycji \(38.\) w szeregu uporządkowanym. Do zarobków \(4\) tys. zł włącznie przypada \(1+1+4+7+10+14=37\) osób. Pozycje od \(38.\) do \(50.\) odpowiadają zarobkom \(4{,}5\) tys. zł, zatem mediana wynosi \(4{,}5\) tys. zł.

**1 pkt** – wynik \(4{,}5\) tys. zł **0 pkt** – wynik niepoprawny albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający znajduje medianę.

W uporządkowanym szeregu \(12.\) ocena jest równa \(4\), a \(13.\) ocena jest równa \(5\), zatem mediana wynosi \(\frac{4+5}{2}=4{,}5\). Najczęściej występuje ocena \(6\), więc dominanta jest równa \(6\).

Rozwiązanie \(1\). Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(4\),\(5\). \(2\). Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(6\). **Odpowiedź.** W uporządkowanym szeregu \(12.\) ocena jest równa \(4\), a \(13.\) ocena jest równa \(5\), zatem mediana wynosi \(\frac{4+5}{2}=4{,}5\). Najczęściej występuje ocena \(6\), więc dominanta jest równa \(6\).

adanie 30. (0-2) Wymaganie ogólne II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Zasady oceniania 2 pkt— poprawne uzupełnienie dwóch zdań. Wymaganie szczegółowe Zdający: XII.2) znajduje medianę i dominantę. 1 pkt— poprawne uzupełnienie jednego zdania. O pkt— brak spełnienia powyższych kryteriów. Uwaga: Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników. Rozwiązanie 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 4,5. 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 6.

Zadanie 30. Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

**C.** \(3{,}5\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pojęcie: mediana to wartość **środkowa** zestawu danych uporządkowanego niemalejąco. Diagram nie podaje jednak listy ocen, tylko ich liczebności, więc plan jest taki: policzyć wszystkich uczniów, ustalić, które miejsce (lub miejsca) jest środkowe, i sprawdzić, jaka ocena tam wypada. **Krok \(2\).** Liczba wszystkich uczniów: \[2+7+4+3+6+4=26.\] **Krok \(3\).** Liczba danych jest parzysta, więc mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: \(\frac{26}{2}=13\), czyli wyrazu \(13\)-go i \(14\)-go. **Krok \(4\).** Ustawiamy oceny niemalejąco i liczymy liczebności skumulowane, czyli sprawdzamy, które miejsca zajmuje każda ocena: ocena \(1\) — miejsca \(1\)–\(2\) (jest ich \(2\)); ocena \(2\) — miejsca \(3\)–\(9\) (bo \(2+7=9\)); ocena \(3\) — miejsca \(10\)–\(13\) (bo \(9+4=13\)); ocena \(4\) — miejsca \(14\)–\(16\) (bo \(13+3=16\)). **Krok \(5\).** Odczytujemy: na miejscu \(13\)-tym stoi ocena \(3\), a na miejscu \(14\)-tym ocena \(4\). **Krok \(6\).** Liczymy medianę: \[\text{mediana}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\] **Uwaga.** Mediany nie liczy się jako średniej wszystkich ocen ani jako oceny najczęstszej (tą jest tu \(2\), która wystąpiła \(7\) razy). Liczy się wyłącznie pozycja środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych mediana może nie być żadną z występujących ocen — tak jak tutaj. **Odpowiedź.** C: \(3{,}5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający […] znajduje medianę […].

**P, P**

Skumulowana liczebność dla czasów nie większych niż \(2\) godziny wynosi \(5+21+24=50\). Pięćdziesiąta obserwacja ma wartość \(2\), a pięćdziesiąta pierwsza \(2{,}5\), więc \[Me=\frac{2+2{,}5}{2}=2{,}25.\] Dokładnie \(50\) ze \(100\) uczniów korzysta z komputera krócej niż \(2{,}5\) godziny. Oba stwierdzenia są prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie danych przedstawionych na diagramie. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej oraz znajdowanie mediany i dominanty.

**B.** \(2{,}50\) godziny

Największa liczebność wynosi \(26\) i odpowiada czasowi \(2{,}5\) godziny. Dominanta jest więc równa \(2{,}5\) godziny.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie danych przedstawionych na diagramie. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej oraz znajdowanie mediany i dominanty.

**\(A_{3}\).** Dominanta jest równa \(20\,\mathrm{dag}\), ponieważ ta masa występuje najliczniej w próbie.

Najwyższy słupek wykresu odpowiada masie \(20\,\mathrm{dag}\) i liczbie \(17\) jabłek. Dominanta to wartość występująca najczęściej, dlatego poprawny wybór to **\(A_{3}\)**.

**1 pkt** – odpowiedź **A3** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i IV interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie oraz dobieranie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 znajdowanie dominanty zestawu danych.

**\(C_{1}\).** Dominantą jest \(4\) tys. zł, ponieważ tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób.

Najwyższy słupek wykresu odpowiada zarobkom \(4\) tys. zł i liczbie \(14\) pracowników. Dominanta to wartość występująca najczęściej, więc poprawny zestaw odpowiedzi to **\(C_{1}\)**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C1** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.1 interpretowanie danych z wykresu i stosowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.3 wyznaczanie dominanty.

Mediana miesięcznych zarobków jest równa \(4{,}5\) tys. zł.

W firmie pracuje \(75\) osób, więc mediana jest \(38.\) wartością w szeregu uporządkowanym rosnąco. Zarobki nie większe niż \(4\) tys. zł osiąga \[1+1+4+7+10+14=37\] osób. Kolejne \(13\) osób zarabia \(4{,}5\) tys. zł, więc \(38.\) obserwacja ma wartość \(4{,}5\) tys. zł.

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne: \(4{,}5\) tys. zł **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.1 interpretowanie danych z wykresu i stosowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.3 wyznaczanie mediany.

**C.** \(1\)

W ankiecie uczestniczyło \(9+5+3+4+1+3=25\) uczniów, więc medianą jest trzynasty element uporządkowanego zestawu. Pozycje od \(1\) do \(9\) zajmują zera, a pozycje od \(10\) do \(14\) jedynki. Trzynasty element jest więc równy \(1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G9.3 wyznaczanie mediany zestawu danych.

**B.** \(4800\text{ zł}\)

Przy \(160\) pracownikach mediana jest średnią płac pracowników zajmujących po uporządkowaniu pozycje \(80\) i \(81\). Pierwszych \(75\) osób zarabia \(4000\text{ zł}\), a osoby od pozycji \(76\) do \(125\) zarabiają \(4800\text{ zł}\). Obie środkowe płace wynoszą więc \(4800\text{ zł}\), zatem taka jest mediana.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i III interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie oraz stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 znajdowanie mediany i dominanty.

C. x = \(2\)

Rozwiązanie Wersja A: C Wersja B: B ZADANIA OTWARTE \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. \(3\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G9.3) Zdający wyznacza […] medianę zestawu danych.

**A.** \(x=6\)

Ponieważ \(x>0\), liczby są uporządkowane następująco: \[1<1+x<1+2x<4+3x.\] Mediana czterech liczb jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych, więc \[\frac{(1+x)+(1+2x)}2=10.\] Stąd \(2+3x=20\), zatem \(x=6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G9.3 obliczanie mediany zestawu danych.

A. \(7\)

Najpierw mediana drugiego zestawu. Porządkujemy rosnąco liczby \(5,3,6,8,2\): \[2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 8.\] Danych jest pięć, więc medianą jest wyraz środkowy, czyli \(5\). Zestaw \(2,3,a,8\) jest uporządkowany rosnąco i liczy cztery elementy, więc jego mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów: \[\frac{3+a}{2}=5,\qquad 3+a=10,\qquad a=7.\] Wartość \(a=7\) spełnia warunek uporządkowania, bo \(3\leq7\leq8\). **Odpowiedź.** **A.** \(a=7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […]

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych (G9.4).

B. a = \(12\)

Zestaw liczy sześć danych, więc mediana jest średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej danej po uporządkowaniu rosnąco. Znane liczby uporządkowane to \[4,\ 8,\ 16,\ 21,\ 25.\] Sprawdzamy wariant \(a=12\): po uporządkowaniu otrzymujemy \(4,8,12,16,21,25\), więc \[\text{mediana}=\frac{12+16}{2}=14,\] zgodnie z warunkiem zadania. Dla \(a=7\) mediana wyniosłaby \(\frac{8+16}2=12\), dla \(a=14\) — \(\frac{14+16}2=15\), a dla \(a=20\) — \(\frac{16+20}2=18\). **Odpowiedź.** **B.** \(a=12\)

Zadanie 23. (0−1) G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do Wersja Wersja II. Wykorzystanie rachunku prawdopodobieństwa. Zdający I II i interpretowanie wyznacza średnią arytmetyczną i medianę reprezentacji. zestawu danych (G9.4). B C

A

Najpierw wyznaczamy \(x\) z warunku o średniej. Suma dziesięciu liczb musi być równa \(10\cdot12=120\), a liczba \(x\) występuje cztery razy: \[3+10+5+4x+12+19+7=120.\] Stąd \(56+4x=120\), czyli \(4x=64\) i \(x=16\). Teraz porządkujemy zestaw niemalejąco: \[3,\ 5,\ 7,\ 10,\ 12,\ 16,\ 16,\ 16,\ 16,\ 19.\] Liczb jest \(10\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(5.\) i \(6.\): \[\operatorname{Me}=\frac{12+16}{2}=14.\] **Odpowiedź.** A. \(14\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

C

Z tabeli odczytujemy liczebności ocen: ocenę \(6\) postawiono \(2\) razy, \(5\) — \(3\) razy, \(4\) — \(5\) razy, \(3\) — \(5\) razy, \(2\) — \(1\) raz. Wszystkich ocen jest \[2+3+5+5+1=16.\] Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(8.\) i \(9.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Porządkujemy oceny rosnąco i liczymy liczebności skumulowane: ocena \(2\) zajmuje pozycję \(1\), oceny \(3\) — pozycje od \(2\) do \(6\), oceny \(4\) — pozycje od \(7\) do \(11\). Zarówno pozycja \(8.\), jak i \(9.\) przypada więc na ocenę \(4\), zatem \[\operatorname{Me}=\frac{4+4}{2}=4.\] **Odpowiedź.** C. \(4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

B

Zestaw ma osiem liczb, więc z warunku o średniej suma wynosi \(8\cdot9=72\): \[x+2+4+6+8+10+12+14=72.\] Stąd \(x+56=72\), czyli \(x=16\). Porządkujemy zestaw niemalejąco: \[2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16.\] Liczb jest \(8\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią wyrazu \(4.\) i \(5.\): \[\operatorname{Me}=\frac{8+10}{2}=9.\] **Odpowiedź.** B. \(9\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

C. \(28\)

Z warunku o średniej arytmetycznej sześciu liczb otrzymujemy równanie \[\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2},\qquad \frac{128+x}{6}=\frac{x}{2}.\] Mnożymy obie strony przez \(6\): \(128+x=3x\), skąd \(2x=128\) i \(x=64\). Porządkujemy dane rosnąco: \(16,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31,\ 64\). Danych jest sześć, więc mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych: \[\frac{27+29}{2}=28.\] **Odpowiedź.** **C.** \(28\)

Zadanie 25. (0−1) G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do Wersja Wersja II. Wykorzystanie rachunku prawdopodobieństwa. Zdający I II i interpretowanie wyznacza średnią arytmetyczną i medianę reprezentacji. zestawu danych (G9.4). C D

**A.** \(5\)

Z warunku na średnią arytmetyczną ośmiu liczb: \[\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6,\] czyli \(41+x=48\), skąd \(x=7\). Porządkujemy zestaw niemalejąco: \[3,\;3,\;3,\;3,\;7,\;8,\;10,\;11.\] Liczb jest osiem, więc medianą jest średnia czwartej i piątej wartości: \[\text{Me}=\frac{3+7}{2}=5.\] **Odpowiedź.** A. \(5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie brakującej danej z warunku na średnią arytmetyczną oraz obliczanie mediany zestawu o parzystej liczbie danych Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

D. a = \(9\)

Danych jest \(6\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(3.\) i \(4.\) zestawu uporządkowanego niemalejąco. Pozostałe pięć liczb uporządkowane to \(2,3,5,10,12\). Sprawdzamy, gdzie musi trafić \(a\), aby mediana wyniosła \(7\). Gdyby \(a\leq5\), wyrazami środkowymi byłyby liczby nie większe niż \(5\) i \(5\), więc mediana nie przekroczyłaby \(5\). Zatem \(a>5\), a wtedy wyrazami \(3.\) i \(4.\) są \(5\) oraz mniejsza z liczb \(a\) i \(10\). Zakładając \(5<a\leq10\), otrzymujemy \[\frac{5+a}{2}=7,\qquad a=9,\] co jest zgodne z założeniem. Sprawdzenie: dla \(a=9\) zestaw uporządkowany to \(2,3,5,9,10,12\), a mediana wynosi \(\frac{5+9}{2}=7\). **Odpowiedź.** D. \(a=9\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Modelowanie matematyczne. Obliczanie mediany danych (III.2.e).

**A.** \(6\)

Zestaw ma osiem liczb, więc z warunku o średniej suma wynosi \(8\cdot7=56\): \[x+13+7+5+5+3+2+11=56.\] Stąd \(x+46=56\), czyli \(x=10\). Porządkujemy zestaw niemalejąco: \[2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 7,\ 10,\ 11,\ 13.\] Liczb jest parzyście wiele, więc mediana jest średnią wyrazu \(4.\) i \(5.\): \[\operatorname{Me}=\frac{5+7}{2}=6.\] **Odpowiedź.** A. \(6\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 25. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

D. x = \(5\)

Zestaw jest już uporządkowany niemalejąco i ma \(6\) wyrazów, czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(3.\) i \(4.\), to jest liczb \(3\) oraz \(x\): \[\frac{3+x}{2}=4.\] Stąd \(3+x=8\), czyli \(x=5\). Sprawdzenie: dla \(x=5\) zestaw \(1,2,3,5,5,8\) rzeczywiście jest uporządkowany niemalejąco, więc założenie z treści jest spełnione. **Odpowiedź.** D. \(x=5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie mediany uporządkowanego zestawu danych (II.10.a).

**C.** \(4\)

Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco: \[1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6.\] Wyników jest \(6\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(3.\) i \(4.\): \[\operatorname{Me}=\frac{3+5}{2}=4.\] **Odpowiedź.** C. \(4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Wyznaczanie mediany zestawu danych (II.10.a).

**B.** \(3500\,\mathrm{zł}\)

Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco. Pensje to \(8000\), \(2000\), \(2800\), \(3400\), \(3600\), \(4200\) zł, a po uporządkowaniu \[2000,\ 2800,\ 3400,\ 3600,\ 4200,\ 8000.\] Danych jest \(6\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(3.\) i \(4.\): \[\operatorname{Me}=\frac{3400+3600}{2}=3500.\] Pensja dyrektora, choć znacznie odbiega od pozostałych, nie wpływa na medianę — to typowa różnica między medianą a średnią. **Odpowiedź.** B. \(3500\) zł

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający oblicza medianę podanych danych liczbowych.

mediana = \(3\), średnia = \(3\),\(25\)

Z tabeli odczytujemy liczebności ocen: ocenę \(6\) ma \(1\) uczeń, \(5\) — \(2\) uczniów, \(4\) — \(6\), \(3\) — \(5\), \(2\) — \(4\), \(1\) — \(2\). Wszystkich uczniów jest \[1+2+6+5+4+2=20.\] **Średnia.** Liczymy ją jako średnią ważoną, w której wagami są liczebności: \[\overline{x}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot4+1\cdot2}{20}=\frac{6+10+24+15+8+2}{20}=\frac{65}{20}=3{,}25.\] **Mediana.** Liczba danych jest parzysta, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(10.\) i \(11.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Porządkując oceny rosnąco, otrzymujemy liczebności skumulowane \(2\), \(6\), \(11\), \(17\), \(19\), \(20\) dla ocen \(1,2,3,4,5,6\). Pozycje od \(7\) do \(11\) zajmuje ocena \(3\), więc oba wyrazy środkowe są równe \(3\) i \[\operatorname{Me}=\frac{3+3}{2}=3.\] **Odpowiedź.** Mediana jest równa \(3\), a średnia arytmetyczna \(3{,}25\).

1 pkt: poprawna mediana albo poprawna suma ważona. 2 pkt: mediana 3 i średnia 3,25.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Prawdopodobieństwo i statystyka – oblicza medianę i średnią ważoną z tabeli liczebności.

**B.** \(5\)

Z diagramu odczytujemy liczby uczniów dla kolejnych ocen: \[1\to1,\quad 2\to4,\quad 3\to2,\quad 4\to4,\quad 5\to4,\quad 6\to8.\] Łącznie ocen jest \[1+4+2+4+4+8=23.\] Liczba ocen jest nieparzysta, więc medianą jest wartość dwunasta w kolejności niemalejącej. Liczymy skumulowane liczebności: do oceny \(4\) włącznie jest \(1+4+2+4=11\) ocen, a do oceny \(5\) włącznie — \(15\). Dwunasta ocena mieści się więc w grupie piątek. **Odpowiedź.** B. \(5\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie mediany zestawu danych przedstawionego na diagramie słupkowym Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**D.** \(3{,}5\)

Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco: \[1,\ 3,\ 4,\ 6.\] Danych jest \(4\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(2.\) i \(3.\): \[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\] **Odpowiedź.** D. \(3{,}5\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Prawdopodobieństwo i statystyka – oblicza medianę.

**A.** \(1\)

Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco: \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3.\] Danych jest \(6\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(3.\) i \(4.\): \[\operatorname{Me}=\frac{1+1}{2}=1.\] **Odpowiedź.** A. \(1\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

**A.** \(0\)

Z tabeli odczytujemy liczebności: wartość \(0\) występuje \(5\) razy, \(1\) — \(2\) razy, \(2\) — \(1\) raz, \(3\) — \(1\) raz. Wszystkich danych jest \[5+2+1+1=9.\] Liczba danych jest nieparzysta, więc medianą jest wyraz środkowy, czyli \(5.\) w zestawie uporządkowanym niemalejąco. Pozycje od \(1\) do \(5\) zajmuje wartość \(0\), więc piąty wyraz jest równy \(0\). **Odpowiedź.** A. \(0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(1\)

Medianę wyznaczamy z zestawu uporządkowanego niemalejąco: \[0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 3.\] Danych jest \(8\), czyli parzyście wiele, więc mediana jest średnią arytmetyczną wyrazu \(4.\) i \(5.\): \[\operatorname{Me}=\frac{1+1}{2}=1.\] **Odpowiedź.** \(\operatorname{Me}=1\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(1\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(1\)

Z tabeli odczytujemy liczebności: wartość \(0\) występuje \(4\) razy, \(1\) — \(3\) razy, \(2\) — \(1\) raz, \(3\) — \(1\) raz. Wszystkich danych jest \[4+3+1+1=9.\] Liczba danych jest nieparzysta, więc medianą jest wyraz środkowy zestawu uporządkowanego niemalejąco — tutaj wyraz \(5.\) Liczebności skumulowane wynoszą \(4\), \(7\), \(8\), \(9\), więc pozycje od \(1\) do \(4\) zajmuje wartość \(0\), a pozycje od \(5\) do \(7\) — wartość \(1\). Piąty wyraz jest zatem równy \(1\). **Odpowiedź.** \(\operatorname{Me}=1\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(1\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.