Strona główna › Równania i nierówności › Nierówności liniowe
Nierówności liniowe
Nierówność liniową rozwiązuje się dokładnie tak jak równanie — przenosi się wyrazy, redukuje, dzieli. Różnica jest jedna, ale zmienia wszystko: mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Kto o tym zapomni, dostanie odpowiedź lustrzanie odbitą względem poprawnej. Druga rzecz warta uwagi to przypadki, w których nierówność nie ma rozwiązań albo spełnia ją każda liczba.
Przejdź od razu do zadań (24) ↓
1Jedna różnica wobec równań
To jest w podstawie programowej
Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 3: „rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą”.
Punkt 1 dodaje: „przekształca równania i nierówności w sposób równoważny”, a punkt 2: „interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe”. Ta strona obejmuje wszystkie trzy.
Nierówność liniowa to nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie w pierwszej potędze — na przykład .
Przekształcenia równoważne, czyli takie, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, są prawie te same co przy równaniach:
| działanie na obu stronach | przy równaniu | przy nierówności |
|---|---|---|
| dodanie liczby | wolno | wolno, znak bez zmian |
| odjęcie liczby | wolno | wolno, znak bez zmian |
| mnożenie przez liczbę dodatnią | wolno | wolno, znak bez zmian |
| mnożenie przez liczbę ujemną | wolno | wolno, ale znak się ODWRACA |
| mnożenie przez zero | traci sens | traci sens |
Skąd bierze się odwrócenie znaku? Wystarczy jeden przykład na liczbach. Wiadomo, że . Pomnóżmy obie strony przez :
Na osi liczbowej leży na prawo od , więc . Znak się odwrócił — i nie jest to umowa, tylko fakt o liczbach ujemnych: im większa liczba, tym mniejsza jej liczba przeciwna.
Kiedy dokładnie odwracać
Znak odwraca się tylko przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną.
Nie odwraca się przy dodawaniu ani odejmowaniu — nawet liczby ujemnej. Zapis przekształca się na bez żadnej zmiany znaku.
Najbezpieczniejsza technika: unikać dzielenia przez liczbę ujemną i zamiast tego przenieść niewiadomą na tę stronę, gdzie współczynnik jest dodatni.
Od nierówności liniowych zaczyna się cała reszta tematu, a kolejność tematów w dziale pokazuje, co przychodzi zaraz po nich.
2Rozwiązywanie krok po kroku
Schemat jest zawsze ten sam i różni się od równań tylko czujnością przy ostatnim dzieleniu.
- Usuń nawiasy i ułamki — pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, jeśli trzeba.
- Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, liczby na drugą.
- Zredukuj wyrazy podobne.
- Podziel przez współczynnik przy niewiadomej — i jeśli jest ujemny, odwróć znak.
- Zapisz zbiór rozwiązań jako przedział.
Prześledźmy to na :
Dzieliliśmy przez , czyli liczbę dodatnią — znak został bez zmian. Zbiór rozwiązań to .
Teraz przykład z odwróceniem. Weźmy :
Dzieliliśmy przez , więc znak zmienił się na . Zbiór: .
Ten sam wynik bez odwracania: można było przenieść na prawo, a na lewo. Wtedy , czyli — to samo, ale bez dzielenia przez liczbę ujemną. Warto znać ten sposób, bo eliminuje najczęstszy błąd.
3Zapis zbioru rozwiązań
Odpowiedzią jest zbiór, nie liczba — tak samo jak przy nierównościach kwadratowych.
| wynik | przedział | nawias przy liczbie |
|---|---|---|
| okrągły — czwórka nie należy | ||
| ostrokątny — czwórka należy | ||
| okrągły | ||
| ostrokątny |
Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.
Zapis nierównościowy () i przedziałowy () są równoważne. W zadaniach maturalnych częściej wymagany jest przedziałowy, bo jednoznacznie pokazuje, czy końce należą.
Kontrola przez podstawienie
Weź jedną liczbę z wnętrza otrzymanego zbioru i wstaw do wyjściowej nierówności. Dla sprawdź : ✓
Potem liczbę spoza zbioru, na przykład : , a jest fałszem ✓
Dwa podstawienia wystarczą, żeby wykryć odwrócony znak — a to najczęstszy błąd w tym dziale.
4Nierówności sprzeczne i tożsamościowe
Czasem po redukcji niewiadoma znika z obu stron. To nie znaczy, że coś poszło źle — to jeden z dwóch szczególnych przypadków, które podstawa wymienia osobno.
Przypadek pierwszy: nierówność sprzeczna. Weźmy :
Po odjęciu od obu stron zostaje zdanie , które jest fałszywe niezależnie od . Nierówność nie ma rozwiązań, więc zbiór rozwiązań jest pusty.
Przypadek drugi: nierówność tożsamościowa. Weźmy :
Zostaje zdanie prawdziwe, i to dla każdego . Rozwiązaniem jest więc cały zbiór liczb rzeczywistych: .
| co zostało po redukcji | nazwa | zbiór rozwiązań |
|---|---|---|
| zdanie fałszywe (np. ) | sprzeczna | zbiór pusty |
| zdanie prawdziwe (np. ) | tożsamościowa | |
| nierówność z | zwykła | przedział |
Nie wolno tu zapisać, że „nie da się rozwiązać”. Odpowiedź „zbiór pusty” albo „wszystkie liczby rzeczywiste” jest pełnym rozwiązaniem — zadanie zostało dokończone, tylko wynik ma nietypową postać.
Warto zauważyć, kiedy takie przypadki powstają: gdy współczynniki przy po obu stronach są równe. Wtedy niewiadoma redukuje się w całości i o wyniku decydują same liczby.
5Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: odwrócenie znaku, ułamki i przypadek tożsamościowy.
Przykład 1 Nierówność z odwróceniem znaku
Rozwiąż nierówność .
- Przenoszę liczbę na prawą stronę: .
- Dzielę obie strony przez — liczba ujemna, więc znak zmieniam na .
- Zbiór rozwiązań: — nawias ostrokątny, bo znak jest nieostry.
- Kontrola wewnątrz: dla mamy ✓
- Kontrola końca: dla mamy ✓ — równość spełnia
- Kontrola na zewnątrz: dla mamy — fałsz ✓, czyli zero słusznie nie należy
Odpowiedź: .
Sprawdzenie samego końca przedziału jest przy znaku nieostrym najlepszą kontrolą — jeśli wychodzi równość, nawias musi być ostrokątny. A trzecie podstawienie wykrywa odwrócony znak.
Przykład 2 Nierówność z ułamkami
Rozwiąż nierówność .
- Najpierw pozbywam się ułamków — mnożę obie strony przez wspólny mianownik, czyli .
- Mnożnik jest dodatni, więc znak zostaje bez zmian.
- Przenoszę na lewo, a na prawo: .
- , czyli .
- Kontrola wewnątrz: dla mamy oraz ; ✓
- Kontrola granicy: dla mamy oraz ; jest fałszem ✓ — szóstka słusznie nie należy
- Kontrola na zewnątrz: dla mamy — fałsz ✓
Odpowiedź: .
Mnożenie przez wspólny mianownik to najszybsza droga, ale trzeba pomnożyć każdy składnik, także ten bez ułamka. Pominięcie jedynki jest tu najczęstszym błędem.
Przykład 3 Nierówność tożsamościowa
Rozwiąż nierówność .
- Rozwijam nawias: .
- Odejmuję od obu stron — niewiadoma znika z obu.
- Zostało zdanie prawdziwe, i to niezależnie od .
- Zatem nierówność spełnia każda liczba rzeczywista: .
- Kontrola dla : ✓
- Kontrola dla : ✓
- Kontrola dla : ✓ — działa też dla ujemnych
- Kontrola sensu: współczynniki przy były po obu stronach równe ( i ), więc redukcja niewiadomej była do przewidzenia ✓
Odpowiedź: — nierówność tożsamościowa.
Zniknięcie niewiadomej nie oznacza błędu. Gdyby po redukcji zostało zdanie fałszywe, na przykład , odpowiedzią byłby zbiór pusty — i to też jest pełne rozwiązanie.
6Najczęstsze błędy
Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość złych odpowiedzi.
Niezmienianie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną
Skąd się bierze: To jedyna różnica wobec równań, więc odruch wyrobiony na równaniach działa tu przeciwko. Dla pominięcie odwrócenia daje zamiast — zbiór lustrzanie odbity, czyli całkowicie błędny.
Jak zrobić dobrze: Zanim podzielisz, spójrz na znak dzielnika. Jeszcze bezpieczniej: przenieś niewiadomą na stronę, gdzie współczynnik jest dodatni, i wtedy dzielenie przez liczbę ujemną w ogóle nie wystąpi.
Odwracanie znaku przy dodawaniu liczby ujemnej
Skąd się bierze: Reguła dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Dodanie albo odjęcie liczby ujemnej znaku nie zmienia — ale uczeń, który zapamiętał „minus odwraca”, stosuje ją za szeroko.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj precyzyjnie: odwraca mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną. Kontrola liczbowa: z po odjęciu zostaje — znak bez zmian ✓
Podawanie liczby zamiast zbioru
Skąd się bierze: Po dojściu do kusi, żeby zapisać „” albo samą czwórkę. Ale rozwiązaniem nierówności jest cały przedział, a czwórka jest tylko jego granicą i przy znaku ostrym nawet do niego nie należy.
Jak zrobić dobrze: Zapisuj odpowiedź jako przedział: . Nawias okrągły przy znaku ostrym, ostrokątny przy nieostrym, a przy nieskończoności zawsze okrągły.
Uznanie zniknięcia niewiadomej za błąd rachunkowy
Skąd się bierze: Gdy redukuje się z obu stron, uczeń zwykle szuka pomyłki i przelicza od nowa. Tymczasem to poprawny wynik: nierówność jest sprzeczna albo tożsamościowa, w zależności od tego, co zostało.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pozostałe zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Prawdziwe → , fałszywe → zbiór pusty. Obie odpowiedzi są pełnymi rozwiązaniami, a nie brakiem rozwiązania.
Zadania maturalne — nierówności liniowe, zbiór rozwiązań i przedziały
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 23 zadania, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.
Zadania zamknięte
Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktłatwe
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez . Lewa strona to całe wyrażenie , więc mnożymy oba jej składniki:
- Krok 2 — porządkowanie. Iksy na prawo, liczby na lewo:
- Krok 3 — dzielenie. Dzielimy przez , czyli przez liczbę dodatnią — znak nierówności zostaje:
- , czyli
- Odpowiedź: , czyli A. Nawias przy jedynce jest ostrokątny, bo nierówność jest nieostra () i też jest rozwiązaniem.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa — równość, więc należy do zbioru ✓ Dla : lewa , prawa , i jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zapis warto uprościć przed wyborem odpowiedzi, a nie po. Uczniowie często zatrzymują się na i szukają w odpowiedziach siódemki — a odpowiedź jest zapisana jako .
⚠ Przy przenoszeniu na prawą stronę powstaje , więc po prawej mamy , a nie . Ta pomyłka daje , czyli granicę — i dokładnie ta liczba stoi w odpowiedziach B i D. Drugi typowy błąd: pomnożenie przez tylko ułamka i pozostawienie lewej strony bez zmian.
Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Wszystkie cztery odpowiedzi mają tę samą liczbę — różnią się wyłącznie kierunkiem przedziału i rodzajem nawiasu. To znaczy, że zadanie sprawdza dokładnie dwie rzeczy: czy pamiętasz o odwróceniu znaku i czy dopasujesz nawias do rodzaju nierówności.
- Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez :
- Krok 2 — nawias i porządkowanie.
- Krok 3 — dzielenie przez liczbę ujemną. Dzielimy przez , więc znak nierówności się odwraca:
- Odpowiedź: , czyli D.
- Kontrola na dwóch liczbach. Dla : , a jest prawdą ✓ (więc nawias musi być ostrokątny). Dla : , a to nie jest ✗ — czyli liczby mniejsze od do zbioru nie należą i przedział idzie w prawo.
💡 Wskazówka: Zamiast mnożyć nawias, można od razu podzielić obie strony przez : nierówność staje się , potem . Mniej mnożeń, mniej okazji do pomyłki — a przy dzieleniu przez (liczbę dodatnią) znak zostaje bez zmian.
⚠ Pozostawienie znaku bez zmiany po podzieleniu przez — wtedy wychodzi i wybiera się odpowiedź A albo B. To jedyny prawdziwy błąd możliwy w tym zadaniu i dlatego wszystkie cztery odpowiedzi kręcą się wokół tej samej liczby. Drugi, subtelniejszy: poprawne , ale wybór odpowiedzi C z nawiasem okrągłym. Znak w treści oznacza, że równość jest dozwolona, więc należy do zbioru i nawias musi być ostrokątny.
Zadanie 3 (maj 2024)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Krok 1 — mianowniki. Występują i , więc mnożymy obie strony przez i mnożymy każdy składnik:
- Krok 2 — porządkowanie. Iksy na lewo, liczby na prawo:
- Krok 3 — dzielenie przez liczbę ujemną, znak się odwraca:
- Odpowiedź: , czyli D. Nawias okrągły, bo nierówność jest ostra () — sama liczba do zbioru nie należy.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , i jest prawdą ✓
💡 Wskazówka: Wspólny mianownik trzeba przemnożyć przez wszystkie cztery składniki, także przez te bez ułamka ( i ). Najczęstsza strata punktu w takich zadaniach to pomnożenie tylko tego, co miało mianownik — a wtedy nierówność przestaje być równoważna.
⚠ Odpowiedzi A i C podają liczbę : taki wynik wychodzi, gdy przy przenoszeniu pomyli się znak przy liczbach ( zamienione na ). Odpowiedzi A i B mają dodatkowo odwrócony kierunek przedziału, czyli zapomniane odwrócenie znaku przy dzieleniu przez . Zestaw czterech odpowiedzi to wszystkie kombinacje tych dwóch pomyłek — poprawna jest tylko ta bez żadnej.
Zadanie 4 (maj 2023)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez :
- Krok 2 — nawias. Mnożymy przez oba składniki nawiasu:
- Iksy na lewo, liczby na prawo:
- Krok 3 — dzielenie przez , znak się odwraca:
- Odpowiedź: , czyli C.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa — równość, więc należy do zbioru ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Ujemny czynnik przed nawiasem to najczęstsze źródło pomyłek w tym typie zadań. Warto rozpisać mnożenie osobno dla każdego składnika: oraz . Skrót „w pamięci” kosztuje tu więcej czasu niż zapisanie dwóch iloczynów.
⚠ Pomnożenie tylko pierwszego składnika nawiasu, czyli zapis albo zamiast . Drugi błąd to znak przy dzieleniu przez — bez odwrócenia wychodzi , czyli odpowiedź A. Odpowiedzi B i D pilnują jeszcze jednej rzeczy: znaku samego wyniku. Granica jest ujemna, bo przeniesione na prawą stronę daje , a .
Zadanie 5 (sierpień 2022)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez . Uwaga: prawa strona też, więc staje się :
- Krok 2 — porządkowanie. Przenosimy na prawo:
- Krok 3 — dzielenie przez , czyli liczbę dodatnią — znak zostaje:
- , czyli
- Odpowiedź: , czyli C.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , i jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że po przeniesieniu -ów po lewej nie ma już żadnego — zostaje sama liczba . To normalna sytuacja i wcale nie znaczy, że coś poszło źle; wystarczy pamiętać, że nierówność czyta się „ jest mniejsze od ”, więc po odwróceniu zapisu strzałka też się odwraca.
⚠ Podzielenie przez tylko pierwszego wyrazu licznika, czyli zapis . Wtedy wychodzi , granica i odpowiedź A. Ułamek ma wspólną kreskę dla całego licznika, więc dzieli się przez i , i — albo, prościej, mnoży się przez obie strony i mianownik znika w całości. Drugi błąd: przepisanie jako bez odwrócenia strzałki, co prowadzi do odpowiedzi D.
Zadanie 6 (maj 2021)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Krok 1 — mianownik. Mnożymy przez wszystkie trzy składniki, także i jedynkę po prawej:
- Krok 2 — porządkowanie.
- Dwójki się skróciły i po prawej stronie zostało zero. To wygląda podejrzanie, ale jest w porządku — i właśnie tu zadanie zastawia pułapkę.
- Krok 3 — dzielenie przez . Zero po prawej stronie nie zwalnia z odwrócenia znaku: dzielimy przez liczbę ujemną, więc strzałka się obraca.
- Odpowiedź: , czyli B.
- Kontrola: dla lewa strona daje , a jest prawdą ✓ Dla : , a jest fałszem ✓ Dla : — prawda ✓ Czyli zbiór rzeczywiście idzie w lewo.
💡 Wskazówka: Zero po prawej stronie niczego nie upraszcza w kwestii znaku. Reguła brzmi: znak odwraca się przy dzieleniu przez liczbę ujemną, i nie ma w niej żadnego wyjątku dla zera. Jeśli masz wątpliwość, sprawdź jedną konkretną liczbę — tutaj rozstrzyga w dwóch działaniach.
⚠ Nieodwrócenie znaku „bo po prawej jest zero” — wtedy wychodzi , czyli odpowiedź A. To najczęstszy błąd w tym zadaniu i dlatego A jest tu podstawione jako lustrzane odbicie poprawnej odpowiedzi. Odpowiedź D wychodzi z pomnożenia przez tylko ułamka: z dostajemy , czyli . Mnożenie musi objąć każdy składnik po obu stronach.
Zadanie 7 (maj 2018)1 pktłatwe
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Krok 1 — mianowniki. Wspólnym mianownikiem i jest :
- Krok 2 — porządkowanie.
- Krok 3 — dzielenie przez (liczba dodatnia, znak zostaje):
- , czyli
- Odpowiedź: , czyli A.
- Kontrola: dla lewa strona daje , a jest prawdą ✓ Dla : , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamiast szukać wspólnego mianownika, można pomnożyć obie strony po prostu przez : nierówność staje się , a stąd i . Wynik ten sam, o jedno mnożenie mniej — wystarczy nie bać się ułamka po prawej stronie.
⚠ Liczba w odpowiedziach B i D to prawa strona po pomnożeniu przez — czyli wynik zatrzymania rachunku o dwa kroki za wcześnie, na etapie . To nie jest jeszcze rozwiązanie, bo nie stoi samo. Drugi błąd: przepisanie jako bez obrócenia strzałki, co prowadzi do odpowiedzi C.
Zadanie 8 (grudzień 2013)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Krok 1 — mianowniki. Wspólnym mianownikiem i jest . Każdy ułamek mnożymy przez , czyli pierwszy przez , drugi przez — a prawą stronę przez :
- Krok 2 — nawiasy. Drugi nawias ma minus przed sobą, więc oba jego składniki zmieniają znak: oraz .
- Krok 3 — porządkowanie i dzielenie. Iksy na prawo:
- Dzielimy przez (liczba dodatnia, znak zostaje):
- , czyli
- Odpowiedź: , czyli D.
- Kontrola: dla lewa strona daje , a jest prawdą ✓ Dla : , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zanim pomnożysz, zapisz nierówność z nawiasami wokół obu liczników: . Kreska ułamkowa działa jak nawias, ale gdy zniknie, nawias musi się pojawić na papierze — inaczej minus przed drugim ułamkiem obejmie tylko pierwszy składnik.
⚠ Zgubienie zmiany znaku przy : zapis zamiast . Wtedy lewa strona daje , dalej i granica — czyli dokładnie liczba z odpowiedzi B i C. To najlepszy przykład tego, po co warto skracać do : wynik z błędem nie skraca się do niczego ładnego, co samo w sobie jest ostrzeżeniem.
Zadanie 10 (sierpień 2013)1 pktłatwe
- A. rysunek A
- B. rysunek B
- C. rysunek C
- D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Najpierw rozwiązujemy nierówność, a dopiero potem szukamy jej obrazu na osi.
- Zbiorem rozwiązań jest — wszystkie liczby mniejsze od .
- Teraz dopasowanie do rysunku. Sprawdzamy dwie cechy: gdzie jest zaznaczony zbiór i jaka jest kropka na jego końcu.
- Zbiór biegnie w lewo od liczby — to wyklucza panele B (odcinek między i ) i C (liczby większe od ).
- Zostają A i D. Panel A ma zaznaczone dwie części — na lewo od i na prawo od — a nasz zbiór to jedna półprosta. Panel D pokazuje dokładnie .
- Kropka w jest niezamalowana, i tak być musi: nierówność jest ostra (), więc sama liczba nie jest rozwiązaniem.
- Odpowiedź: D.
- Kontrola na liczbie: dla lewa strona daje , prawa , a jest fałszem ✓ Dla : — prawda ✓
💡 Wskazówka: W zadaniach „wskaż rysunek” liczba w panelach nie pochodzi z żadnego sensownego rachunku — to po prostu druga liczba wpisana, żeby paneli było cztery. Rozwiąż nierówność do końca, a potem szukaj na osi tylko jednej rzeczy: swojej granicy i swojego kierunku.
⚠ Wybór panelu z zamalowaną kropką (gdyby taki był) albo — częściej — pominięcie tego, że zbiór ma być jedną półprostą. Panel A wygląda przekonująco, bo zawiera właściwą część na lewo od , ale dokłada do niej jeszcze liczby większe od , które nierówności nie spełniają: dla mamy , a jest fałszem.
Zadanie 11 (maj 2025)1 pktśrednie
- A. rysunek A
- B. rysunek B
- C. rysunek C
- D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Nawias z minusem przed nim. Mnożymy przez oba składniki: oraz .
- Iksy na lewo, liczby na prawo:
- Dzielimy przez — liczbę dodatnią, więc znak zostaje:
- Zbiorem rozwiązań jest .
- Dopasowanie do rysunku: granica to (nie ), więc odpadają panele A i B. Zbiór biegnie w prawo, więc z pozostałych dwóch wybieramy D. Kropka w jest zamalowana, bo nierówność jest nieostra () i też jest rozwiązaniem.
- Odpowiedź: D.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa — równość, więc należy do zbioru ✓
💡 Wskazówka: Liczba w panelach A i B to pułapka dla kogoś, kto pomnoży tylko przez jedynkę: z wychodzi , czyli — nie , ale też coś dodatniego i „prawie” pasującego. Najpewniej jest sprawdzić wynik podstawieniem samej granicy: jeśli po obu stronach wyjdzie równość, granica jest poprawna.
⚠ Zgubienie zmiany znaku w nawiasie: zapis zamiast . Drugi błąd dotyczy już samego rysunku — wybranie właściwej granicy, ale złego kierunku (panel C zamiast D). Warto wtedy podstawić jedną liczbę z zaznaczonego obszaru: dla z panelu C lewa strona to , prawa , a jest fałszem — czyli panel C zaznacza liczby, które nierówności nie spełniają.
Zadanie 12 (maj 2015)1 pktłatwe
- A. rysunek A
- B. rysunek B
- C. rysunek C
- D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- To nierówność podwójna — dwa warunki zapisane w jednej linii. Nie trzeba ich rozdzielać: wystarczy wykonać to samo działanie na wszystkich trzech częściach naraz.
- Chcemy zostawić samo w środku, więc do każdej części dodajemy :
- Zbiorem rozwiązań jest przedział — domknięty z obu stron, bo oba znaki w treści są nieostre.
- Dopasowanie do rysunku wymaga sprawdzenia dwóch rzeczy. Końce: i , a nie i — to wyklucza panele A i D. Kropki: oba końce należą do zbioru, więc muszą być zamalowane — to wyklucza panel B, w którym kropki są puste.
- Odpowiedź: C.
- Kontrola obu końców: dla mamy , a jest prawdą ✓ Dla : , a też prawdą ✓ Oba końce należą do zbioru.
💡 Wskazówka: Przy nierówności podwójnej najczęstszym błędem jest odjęcie zamiast dodania. Zapytaj wprost: żeby z zostało samo , trzeba dodać jedynkę — a więc dodajemy ją wszędzie, także po obu brzegach. Wtedy końce przesuwają się w prawo, z na .
⚠ Odjęcie jedynki zamiast dodania — wtedy końce przesuwają się w lewo i wychodzi , czyli panele A albo D. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego obie te wersje są podstawione. Drugi błąd: poprawne końce, ale wybór panelu B z kropkami niezamalowanymi. Znaki w treści oznaczają, że oba końce należą do zbioru.
Zadanie 13 (sierpień 2017)1 pktśrednie
- A. rysunek A
- B. rysunek B
- C. rysunek C
- D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
- Znowu nierówność podwójna, tylko z dodatkowym krokiem — przy stoi współczynnik. Działamy na wszystkich trzech częściach jednocześnie.
- Krok 1 — dodajemy , żeby pozbyć się wyrazu wolnego:
- Krok 2 — dzielimy przez . To liczba dodatnia, więc oba znaki zostają bez zmian:
- Zbiorem rozwiązań jest przedział — ograniczony z obu stron.
- Dopasowanie do rysunku. Znaki końców: i są dodatnie, więc odpadają panele A i C, gdzie liczby są ujemne. Rodzaj zbioru: nasz zbiór to jeden odcinek, a panel B zaznacza dwie części — wszystko poza odcinkiem. Zostaje D.
- Odpowiedź: D.
- Kontrola: dla mamy ✓ (dolny koniec), dla mamy ✓ (górny koniec), a dla wychodzi — liczba leżąca między i ✓
💡 Wskazówka: Nie rozdzielaj tego na dwie osobne nierówności — to podwaja pracę. Nierówność podwójna działa jak jedna: dodaj do trzech części, podziel trzy części przez , gotowe. Rozdzielanie ma sens tylko wtedy, gdy występuje w więcej niż jednej części.
⚠ Panel B jest tu głównym dystraktorem, bo ma poprawne liczby i , ale zaznacza zbiór na zewnątrz przedziału. Nierówność podwójna zawsze opisuje to, co jest między końcami — dopełnienie oznaczałoby „ lub ”, czyli zupełnie inny warunek. Drugi błąd: odjęcie zamiast dodania, co daje końce i , albo pominięcie dzielenia przez , co zostawia i — żadna z tych par nie występuje w panelach, więc taki błąd sam się ujawnia.
Zadanie 14 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze
- A. rysunek A
- B. rysunek B
- C. rysunek C
- D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Słowo jednocześnie jest tu najważniejsze: szukamy liczb spełniających oba warunki, czyli części wspólnej dwóch zbiorów. Każdą nierówność rozwiązujemy osobno.
- Pierwsza nierówność:
- Znak jest ostry, więc do zbioru nie należy — kropka niezamalowana.
- Druga nierówność:
- Znak jest nieostry, więc do zbioru należy — kropka zamalowana.
- Część wspólna. Pierwszy warunek daje , drugi . Oba naraz spełniają liczby z przedziału:
- Ten przedział jest domknięty z lewej i otwarty z prawej — i to właśnie odróżnia go od paneli C i D, które pokazują pojedyncze warunki, a nie ich część wspólną.
- Odpowiedź: B.
- Kontrola: dla pierwsza nierówność daje ✓, druga — równość ✓ Czyli należy do zbioru. Dla : ✓ oraz ✓
💡 Wskazówka: Rozwiąż obie nierówności, zapisz oba wyniki jeden pod drugim, a potem zaznacz je na jednej osi — część wspólna zobaczy się sama. Rodzaj kropki bierze się z tej nierówności, która daje dany koniec: lewy koniec pochodzi z warunku z , więc jest domknięty, prawy z warunku z , więc otwarty. Dlatego jeden przedział może mieć dwa różne rodzaje nawiasu.
⚠ Wzięcie sumy zamiast części wspólnej — panel A pokazuje dokładnie to: wszystko na lewo od i wszystko na prawo od , czyli liczby spełniające co najwyżej jeden z warunków. Panele C i D to z kolei pojedyncze nierówności, każda osobno: C to samo , D to samo . Wszystkie trzy błędne odpowiedzi wynikają z niedoczytania słowa „jednocześnie”.
Zadanie 15 (grudzień 2022)1 pktłatwe
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Rozwiązujemy nierówność. Wspólny mianownik i to — mnożymy przez niego wszystkie cztery składniki:
- Teraz drugie pytanie: największa liczba całkowita w zbiorze .
- Granica sama jest liczbą całkowitą i należy do zbioru, bo nierówność jest nieostra (). Nie trzeba więc niczego zaokrąglać — szukana liczba to po prostu .
- Odpowiedź: A.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa — równość, czyli spełnia nierówność ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Gdy granica wychodzi liczbą całkowitą, wszystko zależy od rodzaju nierówności. Przy granica należy do zbioru i jest szukaną liczbą; przy trzeba zejść o jeden. To jedno spojrzenie na znak decyduje o odpowiedzi — i dlatego odpowiedzi A i B różnią się dokładnie o jedynkę.
⚠ Odjęcie jedynki „na wszelki wypadek” i odpowiedź — to poprawne postępowanie przy nierówności ostrej, ale tutaj znak jest nieostry i szóstka do zbioru należy. Odpowiedź wychodzi z pomylenia stron przy przenoszeniu: z wynika , a nie .
Zadanie 16 (czerwiec 2025)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Mnożymy przez . Ułamek ma minus przed sobą, więc po pozbyciu się mianownika oba składniki licznika zmieniają znak:
- Największa liczba całkowita nie większa od . Tym razem granica nie jest liczbą całkowitą, więc schodzimy do najbliższej całkowitej poniżej niej:
- szukana liczba to .
- Odpowiedź: C.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , a jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamień granicę na postać dziesiętną, zanim wybierzesz odpowiedź: . W tej postaci nie ma jak się pomylić co do tego, która liczba całkowita jest największa poniżej — a w postaci ułamkowej łatwo wziąć licznik albo mianownik za wynik.
⚠ Zgubienie zmiany znaku w liczniku: zapis zamiast . Wtedy wychodzi , czyli i odpowiedź . Drugi błąd: zaokrąglenie „w górę” do — zaokrąglanie tu nie obowiązuje, bo szukamy największej liczby spełniającej nierówność, a jej nie spełnia.
Zadanie 17 (sierpień 2020)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Mnożymy przez i rozwijamy nawias:
- Zamieniamy na postać dziesiętną, żeby móc porównać z liczbami całkowitymi: .
- Najmniejsza liczba całkowita większa od to — bo jest za małe, a już spełnia warunek.
- Odpowiedź: C.
- Kontrola: dla lewa strona daje , a jest prawdą ✓ Dla : , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Przy pytaniu o najmniejszą liczbę całkowitą w zbiorze typu idziemy w górę od , przy pytaniu o największą w zbiorze — w dół. Warto zawsze sprawdzić kandydata i jego sąsiada: jeśli jeden spełnia nierówność, a drugi nie, wybór jest pewny.
⚠ Podzielenie przez tylko liczby i zapis jako — czyli pominięcie mnożenia przy drugim składniku. Drugi błąd: potraktowanie jako liczby bliskiej i wybór z niewłaściwego powodu; gdyby granica wyszła , odpowiedź byłaby już , bo nierówność jest ostra i sama trójka by jej nie spełniała.
Zadanie 18 (maj 2011)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Wspólny mianownik. Mianowniki , i mają najmniejszą wspólną wielokrotność :
- Najmniejsza liczba całkowita większa od to .
- Odpowiedź: B.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , a jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Nie mnóż przez iloczyn wszystkich mianowników () — wystarczy najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli . Liczby zostają wtedy małe i cały rachunek mieści się w dwóch linijkach.
⚠ Skrócenie do i wzięcie licznika albo mianownika za odpowiedź — stąd dystraktory i leżą tak blisko siebie. Postać dziesiętna nie pozostawia tu wątpliwości. Gdyby ktoś odwrócił znak nierówności przy dzieleniu przez , dostałby — a w takim zbiorze najmniejszej liczby całkowitej nie ma wcale. Brak odpowiedzi jest sygnałem, że znak poszedł w złą stronę.
Zadanie 19 (maj 2013)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Wspólny mianownik liczb , i to :
- Dzielimy przez — liczbę ujemną, więc znak nierówności się odwraca:
- Najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od . Tu trzeba uważać: idziemy w prawo od , a pierwsza liczba całkowita po prawej stronie to , nie .
- Odpowiedź: B.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , a jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Na liczbach ujemnych intuicja „najmniejsza znaczy bardziej ujemna” działa przeciwnie do potrzeby. Zbiór to , więc najmniejszy element to ten najbliżej lewego końca — a leży już poza zbiorem. Najprościej narysować sobie oś: zaznacz i zamaluj w prawo.
⚠ Wybór , czyli pierwszej liczby całkowitej na lewo od granicy. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego odpowiedź A jest podstawiona. Drugi błąd: nieodwrócenie znaku przy dzieleniu przez , co daje — a wtedy pytanie o najmniejszą liczbę całkowitą nie ma odpowiedzi w ogóle, bo zbiór jest nieograniczony z lewej. Brak odpowiedzi jest tu sygnałem, że znak poszedł w złą stronę.
Zadanie 20 (sierpień 2015)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
- Rozwijamy oba nawiasy:
- Po prawej stronie zwijamy liczby: .
- Dzielimy przez — liczbę dodatnią, znak zostaje:
- Najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od to — bo leży już poza zbiorem, a zero mieści się w nim jako pierwsza liczba całkowita po prawej stronie granicy.
- Odpowiedź: C.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , a jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zero jest pełnoprawną liczbą całkowitą i bardzo często bywa poprawną odpowiedzią w tego typu zadaniach — a bywa pomijane, bo „nie wygląda na wynik”. Gdy granica wypada między i , najmniejszą liczbą całkowitą w zbiorze jest właśnie zero.
⚠ Wybór jako „najbliższej liczby całkowitej” — ale , więc leży poza zbiorem. Zaokrąglanie granicy do najbliższej liczby całkowitej nie jest tu właściwą operacją; trzeba sprawdzić, po której stronie granicy leży kandydat. Drugi błąd: pominięcie po prawej stronie, co daje , czyli — przypadkiem ta sama odpowiedź, ale z niepełnego rachunku.
Zadanie 21 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Wspólny mianownik liczb i to — mnożymy wszystkie cztery składniki:
- Dzielimy przez — liczbę dodatnią, znak zostaje:
- Największa liczba całkowita nie większa od . Idziemy w lewo od : pierwsza liczba całkowita po tej stronie to .
- Odpowiedź: A.
- Kontrola: dla lewa strona daje , prawa , a jest prawdą ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: To zadanie łączy dwie osobne trudności: liczby ujemne i pytanie o największą. Zbiór to , więc największy element leży przy prawym końcu — ale prawy koniec to , a najbliższa liczba całkowita w środku zbioru to . Rysunek osi rozstrzyga to w jednej sekundzie.
⚠ Wybór , czyli liczby po niewłaściwej stronie granicy: , więc do zbioru nie należy. Odpowiedź B jest podstawiona dokładnie na to. Odpowiedzi dodatnie ( i ) wychodzą z pomylenia stron przy przenoszeniu — jeśli po lewej zostawimy zamiast , granica wyjdzie dodatnia; kontrola na jednej liczbie natychmiast to wyłapuje, bo dla lewa strona jest ujemna, a prawa większa od .
Zadanie 22 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
- Rozwiązujemy nierówność. Pierwiastek jest tu zwykłą liczbą, więc przenosimy go na prawą stronę:
- Szacujemy . Wiemy, że leży między i , a dokładniej . Zatem
- Najmniejsza liczba całkowita większa od . Idziemy w prawo od — pierwsza liczba całkowita to .
- Odpowiedź: B.
- Kontrola bez kalkulatora: dla nierówność brzmi , czyli . Podnosimy obie strony do kwadratu: ✓ Dla : , czyli — fałsz ✓ Ta kontrola nie wymaga znania z dokładnością do czterech cyfr.
- Wystarczy więc wiedzieć, że mieści się między i — a to sprawdza się dwoma mnożeniami.
💡 Wskazówka: Nie musisz pamiętać . Wystarczy porównać kwadraty: żeby rozstrzygnąć między i , sprawdź, czy jest większe od ( — tak) i czy jest większe od ( — nie). Dwa mnożenia zamiast tablic.
⚠ Wybór , czyli liczby na lewo od granicy — a , więc nierówności nie spełnia. Odpowiedź A jest podstawiona na tę pomyłkę, bo intuicja przy liczbach ujemnych podpowiada „najmniejsza = bardziej ujemna”. Odpowiedzi dodatnie wychodzą z pominięcia minusa przy przenoszeniu : zbiór rozwiązań jest nieograniczony z prawej, więc gdyby granica była dodatnia, pytanie o najmniejszą liczbę całkowitą wskazywałoby — ale wtedy nie spełniałoby nierówności, a spełnia ().
Zadanie 23 (czerwiec 2024)1 pktśrednie
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Rozwiązujemy nierówność. Mnożymy obie strony przez :
- Zbiorem wszystkich rozwiązań jest — zbiór nieskończony. Ale zadanie pyta o coś węższego.
- Wypisujemy rozwiązania całkowite dodatnie. Muszą spełniać dwa warunki naraz: być mniejsze od i być dodatnie.
- Kandydaci: i . Liczba odpada, bo nierówność jest ostra. Zero i liczby ujemne odpadają, bo nie są dodatnie.
- Takich liczb jest zatem .
- Odpowiedź: A.
- Kontrola: dla lewa strona daje , a ✓ Dla : ✓ Dla : , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa warunki i drugi jest podkreślony w treści: rozwiązania mają być całkowite i dodatnie. Po rozwiązaniu nierówności najprościej wypisać kandydatów na palcach — przy tak małym zakresie liczenie ich jest pewniejsze niż jakikolwiek wzór.
⚠ Zaliczenie zera do liczb dodatnich i odpowiedź . Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — a odpowiedź B jest podstawiona dokładnie na tę pomyłkę. Drugi błąd: włączenie trójki, mimo że nierówność jest ostra; wtedy również wychodzi . Warto zauważyć, że dwa różne błędy prowadzą tu do tej samej odpowiedzi B, co czyni ją najbardziej kuszącym dystraktorem w zadaniu.
Zadanie 24 (maj 2015)1 pkttrudniejsze
- A.
- B.
- C.
- D.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
- Nierówność podwójna — mnożymy wszystkie trzy części przez , żeby zostało samo w środku:
- Wypisujemy zakres liczb całkowitych. Oba znaki są ostre, więc czwórka nie wchodzi, a górny koniec nie jest całkowity, więc największa dopuszczalna liczba to .
- Liczby całkowite spełniające warunek to .
- Liczymy je. Liczba wyrazów od do to:
- Odpowiedź: A.
- Kontrola na końcach: dla mamy , a i — liczba mieści się między nimi ✓ Dla : , czyli równość z lewym końcem, a nierówność jest ostra ✗ Dla : ✗
💡 Wskazówka: Najważniejszy jest plus jeden we wzorze na liczbę wyrazów. Liczb całkowitych od do nie jest , bo trzeba doliczyć jeszcze pierwszą z nich. Łatwo to sprawdzić na małym przykładzie: od do są trzy liczby (, , ), a .
⚠ Pominięcie „plus jeden” daje — liczby, której nie ma wśród odpowiedzi, więc ten błąd się ujawnia. Groźniejsze są dwa inne: włączenie czwórki, mimo że lewy znak jest ostry i równa się dokładnie (wtedy wychodzi , odpowiedź B), oraz włączenie dziewiętnastki przez zaokrąglenie w górę (również ). Wszystkie trzy podane błędne odpowiedzi to powiększone o jeden, dwa albo trzy — czyli dokładnie skutki takich pojedynczych przeoczeń.
Zadania otwarte
Zadanie 9 (zbiór zadań CKE)2 pkttrudniejsze
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: , największa liczba całkowita:
- Nierówność jest liniowa — występuje w pierwszej potędze, a jest tylko liczbą. Postępujemy więc jak zawsze: iksy na jedną stronę, liczby na drugą.
- Po lewej wyłączamy przed nawias:
- Teraz najważniejsze spostrzeżenie. Prawą stronę można zapisać tak, żeby zawierała ten sam nawias co lewa:
- Nierówność wygląda więc tak:
- Dzielimy obie strony przez — i trzeba wiedzieć, jaki to znak. Ponieważ , liczba jest ujemna, więc znak nierówności się odwraca:
- Odpowiedź: , a największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest .
- Kontrola dla : lewa strona , prawa — równość, więc należy do zbioru ✓ Dla : lewa , prawa , a jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamiast dzielić przez i usuwać niewymierność z mianownika, poszukaj wspólnego czynnika. Prawa strona to , czyli ten sam nawias co po lewej, tylko z przeciwnym znakiem. Cały rachunek sprowadza się wtedy do jednego dzielenia i wynik wychodzi całkowity, bez żadnego pierwiastka.
⚠ Podzielenie przez bez sprawdzenia znaku tej liczby. Wygląda niewinnie, bo to „tylko liczba”, ale , więc nawias jest ujemny i znak nierówności musi się obrócić. Bez tego wychodzi i odpowiedź „największa liczba całkowita” traci sens — bo w przedziale największej liczby nie ma wcale. To dobra kontrola samego siebie: jeśli pytanie o największą liczbę całkowitą nie ma odpowiedzi, znak poszedł w złą stronę.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
| 1. A | 2. D | 3. D | 4. C | 5. C | 6. B |
| 7. A | 8. D | 9. , największa liczba całkowita: | 10. D | 11. D | 12. C |
| 13. D | 14. B | 15. A | 16. C | 17. C | 18. B |
| 19. B | 20. C | 21. A | 22. B | 23. A | 24. A |
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
7Pytania i odpowiedzi
Czym różni się rozwiązywanie nierówności od równania?
Tylko jedną rzeczą: przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Wszystkie pozostałe przekształcenia — przenoszenie wyrazów, redukcja, mnożenie przez liczbę dodatnią — działają identycznie.
Dlaczego mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak?
Bo im większa liczba, tym mniejsza jest liczba do niej przeciwna. Z prawdziwej nierówności po pomnożeniu przez otrzymujemy i , a na osi liczbowej leży na prawo od , czyli jest większe.
Czy dodanie liczby ujemnej też odwraca znak?
Nie. Reguła dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Odjęcie dziesiątki od obu stron nierówności daje — znak pozostaje bez zmian, mimo że wyniki są ujemne.
Co znaczy, że nierówność jest sprzeczna?
Że po redukcji zostaje zdanie fałszywe, na przykład , niezależne od niewiadomej. Taka nierówność nie ma rozwiązań, a odpowiedzią jest zbiór pusty — i to jest pełne rozwiązanie, nie brak rozwiązania.
Kiedy nierówność jest tożsamościowa?
Gdy po redukcji zostaje zdanie prawdziwe, na przykład . Spełnia ją wtedy każda liczba rzeczywista. Dzieje się tak, gdy współczynniki przy niewiadomej są po obu stronach równe — wtedy niewiadoma znika i zostaje samo zdanie o liczbach. Jeśli jest ono prawdziwe, nierówność jest tożsamościowa; jeśli fałszywe — sprzeczna.
Jak sprawdzić poprawność rozwiązania?
Podstawić jedną liczbę z wnętrza otrzymanego przedziału i jedną spoza niego. Pierwsza powinna dawać zdanie prawdziwe, druga fałszywe. Ta kontrola wykrywa odwrócony znak, czyli najczęstszy błąd w tym dziale.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
