Nierówność liniową rozwiązuje się dokładnie tak jak równanie — przenosi się wyrazy, redukuje, dzieli. Różnica jest jedna, ale zmienia wszystko: mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Kto o tym zapomni, dostanie odpowiedź lustrzanie odbitą względem poprawnej. Druga rzecz warta uwagi to przypadki, w których nierówność nie ma rozwiązań albo spełnia ją każda liczba.
Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 24
Krótko: Nierówność liniową rozwiązujemy jak równanie, ale mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną, odwracamy znak nierówności. Na przykład −2x < 6 daje x > −3.
Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 3: „rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą”.
Punkt 1 dodaje: „przekształca równania i nierówności w sposób równoważny”, a punkt 2: „interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe”. Ta strona obejmuje wszystkie trzy.
Nierówność liniowa to nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie w pierwszej potędze — na przykład 3x−5<7.
Przekształcenia równoważne, czyli takie, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, są prawie te same co przy równaniach:
działanie na obu stronach
przy równaniu
przy nierówności
dodanie liczby
wolno
wolno, znak bez zmian
odjęcie liczby
wolno
wolno, znak bez zmian
mnożenie przez liczbę dodatnią
wolno
wolno, znak bez zmian
mnożenie przez liczbę ujemną
wolno
wolno, ale znak się ODWRACA
mnożenie przez zero
traci sens
traci sens
Skąd bierze się odwrócenie znaku? Wystarczy jeden przykład na liczbach. Wiadomo, że 2<5. Pomnóżmy obie strony przez −1:
2<5⇒−2?−5
Na osi liczbowej −2 leży na prawo od −5, więc −2>−5. Znak się odwrócił — i nie jest to umowa, tylko fakt o liczbach ujemnych: im większa liczba, tym mniejsza jej liczba przeciwna.
Kiedy dokładnie odwracać
Znak odwraca się tylko przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną.
Nie odwraca się przy dodawaniu ani odejmowaniu — nawet liczby ujemnej. Zapis x+5>3 przekształca się na x>−2 bez żadnej zmiany znaku.
Najbezpieczniejsza technika: unikać dzielenia przez liczbę ujemną i zamiast tego przenieść niewiadomą na tę stronę, gdzie współczynnik jest dodatni.
Od nierówności liniowych zaczyna się cała reszta tematu, a kolejność tematów w dziale pokazuje, co przychodzi zaraz po nich.
2Rozwiązywanie krok po kroku
Schemat jest zawsze ten sam i różni się od równań tylko czujnością przy ostatnim dzieleniu.
Usuń nawiasy i ułamki — pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, jeśli trzeba.
Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, liczby na drugą.
Zredukuj wyrazy podobne.
Podziel przez współczynnik przy niewiadomej — i jeśli jest ujemny, odwróć znak.
Zapisz zbiór rozwiązań jako przedział.
Prześledźmy to na 3x−5<7:
3x−5<7⇒3x<12⇒x<4
Dzieliliśmy przez 3, czyli liczbę dodatnią — znak został bez zmian. Zbiór rozwiązań to x∈(−∞,4).
Teraz przykład z odwróceniem. Weźmy −2x+3≥9:
−2x+3≥9⇒−2x≥6⇒x≤−3
Dzieliliśmy przez −2, więc znak ≥ zmienił się na ≤. Zbiór: x∈(−∞,−3⟩.
Ten sam wynik bez odwracania: można było przenieść −2x na prawo, a 9 na lewo. Wtedy −6≥2x, czyli −3≥x — to samo, ale bez dzielenia przez liczbę ujemną. Warto znać ten sposób, bo eliminuje najczęstszy błąd.
Nierówności liniowe — kiedy odwracamy znak
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Wyrażenia, przedziały, nierówności” (liceum, klasa 1), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.
Zapis nierównościowy (x<4) i przedziałowy ((−∞,4)) są równoważne. W zadaniach maturalnych częściej wymagany jest przedziałowy, bo jednoznacznie pokazuje, czy końce należą.
Kontrola przez podstawienie
Weź jedną liczbę z wnętrza otrzymanego zbioru i wstaw do wyjściowej nierówności. Dla x<4 sprawdź x=0: 3⋅0−5=−5<7 ✓
Potem liczbę spoza zbioru, na przykład x=10: 30−5=25, a 25<7 jest fałszem ✓
Dwa podstawienia wystarczą, żeby wykryć odwrócony znak — a to najczęstszy błąd w tym dziale.
Zbiór rozwiązań nierówności — przedziały na osi liczbowej
4Nierówności sprzeczne i tożsamościowe
Czasem po redukcji niewiadoma znika z obu stron. To nie znaczy, że coś poszło źle — to jeden z dwóch szczególnych przypadków, które podstawa wymienia osobno.
Zostaje zdanie prawdziwe, i to dla każdego x. Rozwiązaniem jest więc cały zbiór liczb rzeczywistych: x∈R.
co zostało po redukcji
nazwa
zbiór rozwiązań
zdanie fałszywe (np. −2>5)
sprzeczna
zbiór pusty
zdanie prawdziwe (np. 0≤0)
tożsamościowa
R
nierówność z x
zwykła
przedział
Nie wolno tu zapisać, że „nie da się rozwiązać”. Odpowiedź „zbiór pusty” albo „wszystkie liczby rzeczywiste” jest pełnym rozwiązaniem — zadanie zostało dokończone, tylko wynik ma nietypową postać.
Warto zauważyć, kiedy takie przypadki powstają: gdy współczynniki przy x po obu stronach są równe. Wtedy niewiadoma redukuje się w całości i o wyniku decydują same liczby.
5Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: odwrócenie znaku, ułamki i przypadek tożsamościowy.
Przykład 1 Nierówność z odwróceniem znaku
Rozwiąż nierówność 5−3x≥14.
Przenoszę liczbę na prawą stronę: −3x≥14−5.
−3x≥9
Dzielę obie strony przez −3 — liczba ujemna, więc znak ≥ zmieniam na ≤.
x≤−39=−3
Zbiór rozwiązań: x∈(−∞,−3⟩ — nawias ostrokątny, bo znak jest nieostry.
Kontrola wewnątrz: dla x=−5 mamy 5+15=20≥14 ✓
Kontrola końca: dla x=−3 mamy 5+9=14≥14 ✓ — równość spełnia ≥
Kontrola na zewnątrz: dla x=0 mamy 5≥14 — fałsz ✓, czyli zero słusznie nie należy
Odpowiedź: x∈(−∞,−3⟩.
Sprawdzenie samego końca przedziału jest przy znaku nieostrym najlepszą kontrolą — jeśli wychodzi równość, nawias musi być ostrokątny. A trzecie podstawienie wykrywa odwrócony znak.
Przykład 2 Nierówność z ułamkami
Rozwiąż nierówność 2x−1>3x.
Najpierw pozbywam się ułamków — mnożę obie strony przez wspólny mianownik, czyli 6.
Mnożnik jest dodatni, więc znak zostaje bez zmian.
6⋅2x−6⋅1>6⋅3x
3x−6>2x
Przenoszę 2x na lewo, a −6 na prawo: 3x−2x>6.
x>6, czyli x∈(6,+∞).
Kontrola wewnątrz: dla x=12 mamy 6−1=5 oraz 4; 5>4 ✓
Kontrola granicy: dla x=6 mamy 3−1=2 oraz 2; 2>2 jest fałszem ✓ — szóstka słusznie nie należy
Kontrola na zewnątrz: dla x=0 mamy −1>0 — fałsz ✓
Odpowiedź: x∈(6,+∞).
Mnożenie przez wspólny mianownik to najszybsza droga, ale trzeba pomnożyć każdy składnik, także ten bez ułamka. Pominięcie jedynki jest tu najczęstszym błędem.
Przykład 3 Nierówność tożsamościowa
Rozwiąż nierówność 4(x+1)≤4x+7.
Rozwijam nawias: 4x+4≤4x+7.
Odejmuję 4x od obu stron — niewiadoma znika z obu.
4≤7
Zostało zdanie prawdziwe, i to niezależnie od x.
Zatem nierówność spełnia każda liczba rzeczywista: x∈R.
Kontrola dla x=0: 4≤7 ✓
Kontrola dla x=1000: 4004≤4007 ✓
Kontrola dla x=−1000: −3996≤−3993 ✓ — działa też dla ujemnych
Kontrola sensu: współczynniki przy x były po obu stronach równe (4 i 4), więc redukcja niewiadomej była do przewidzenia ✓
Odpowiedź: x∈R — nierówność tożsamościowa.
Zniknięcie niewiadomej nie oznacza błędu. Gdyby po redukcji zostało zdanie fałszywe, na przykład 7≤4, odpowiedzią byłby zbiór pusty — i to też jest pełne rozwiązanie.
6Najczęstsze błędy
Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość złych odpowiedzi.
Niezmienianie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną
Skąd się bierze: To jedyna różnica wobec równań, więc odruch wyrobiony na równaniach działa tu przeciwko. Dla −2x≥6 pominięcie odwrócenia daje x≥−3 zamiast x≤−3 — zbiór lustrzanie odbity, czyli całkowicie błędny.
Jak zrobić dobrze: Zanim podzielisz, spójrz na znak dzielnika. Jeszcze bezpieczniej: przenieś niewiadomą na stronę, gdzie współczynnik jest dodatni, i wtedy dzielenie przez liczbę ujemną w ogóle nie wystąpi.
Odwracanie znaku przy dodawaniu liczby ujemnej
Skąd się bierze: Reguła dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Dodanie albo odjęcie liczby ujemnej znaku nie zmienia — ale uczeń, który zapamiętał „minus odwraca”, stosuje ją za szeroko.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj precyzyjnie: odwraca mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną. Kontrola liczbowa: z 5>3 po odjęciu 10 zostaje −5>−7 — znak bez zmian ✓
Podawanie liczby zamiast zbioru
Skąd się bierze: Po dojściu do x<4 kusi, żeby zapisać „x=4” albo samą czwórkę. Ale rozwiązaniem nierówności jest cały przedział, a czwórka jest tylko jego granicą i przy znaku ostrym nawet do niego nie należy.
Jak zrobić dobrze: Zapisuj odpowiedź jako przedział: x∈(−∞,4). Nawias okrągły przy znaku ostrym, ostrokątny przy nieostrym, a przy nieskończoności zawsze okrągły.
Uznanie zniknięcia niewiadomej za błąd rachunkowy
Skąd się bierze: Gdy x redukuje się z obu stron, uczeń zwykle szuka pomyłki i przelicza od nowa. Tymczasem to poprawny wynik: nierówność jest sprzeczna albo tożsamościowa, w zależności od tego, co zostało.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pozostałe zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Prawdziwe → R, fałszywe → zbiór pusty. Obie odpowiedzi są pełnymi rozwiązaniami, a nie brakiem rozwiązania.
Zadania maturalne — nierówności liniowe, zbiór rozwiązań i przedziały
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Każde z tych zadań rozwiązuje się tym samym ciągiem trzech kroków: pozbądź się mianowników (mnożąc obie strony przez wspólny mianownik), zbierz x-y po jednej stronie, liczby po drugiej, podziel. W kroku trzecim jest jedyne miejsce, w którym można stracić punkt bez błędu rachunkowego: dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Do tego drobiazg, który decyduje o wyborze odpowiedzi: nierówność ostra (<) daje nawias okrągły, nierówność nieostra (⩽) — ostrokątny⟨⟩.
Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 23 zadania, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.
Zadania zamknięte
Zadanie 1(sierpień 2025)1 pktłatwe
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3−x⩾25x−1 jest przedział
A.(−∞,1⟩
B.(−∞,67⟩
C.⟨1,+∞)
D.⟨67,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez 2. Lewa strona to całe wyrażenie 3−x, więc mnożymy oba jej składniki:
2⋅(3−x)⩾5x−1⟹6−2x⩾5x−1
Krok 2 — porządkowanie. Iksy na prawo, liczby na lewo:
6+1⩾5x+2x
7⩾7x
Krok 3 — dzielenie. Dzielimy przez 7, czyli przez liczbę dodatnią — znak nierówności zostaje:
1⩾x, czyli x⩽1
Odpowiedź:(−∞,1⟩, czyli A. Nawias przy jedynce jest ostrokątny, bo nierówność jest nieostra (⩾) i x=1 też jest rozwiązaniem.
Kontrola: dla x=1 lewa strona daje 2, prawa 24=2 — równość, więc 1 należy do zbioru ✓ Dla x=2: lewa 1, prawa 29=4,5, i 1⩾4,5 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zapis 77 warto uprościć przed wyborem odpowiedzi, a nie po. Uczniowie często zatrzymują się na 7⩾7x i szukają w odpowiedziach siódemki — a odpowiedź jest zapisana jako 1.
⚠ Przy przenoszeniu −2x na prawą stronę powstaje +2x, więc po prawej mamy 5x+2x=7x, a nie 5x+x=6x. Ta pomyłka daje 7⩾6x, czyli granicę 67 — i dokładnie ta liczba stoi w odpowiedziach B i D. Drugi typowy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka i pozostawienie lewej strony bez zmian.
Zadanie 2(sierpień 2024)1 pktśrednie
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 173(6−x)⩽3 jest przedział
A.(−∞,−11)
B.(−∞,−11⟩
C.(−11,+∞)
D.⟨−11,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Wszystkie cztery odpowiedzi mają tę samą liczbę −11 — różnią się wyłącznie kierunkiem przedziału i rodzajem nawiasu. To znaczy, że zadanie sprawdza dokładnie dwie rzeczy: czy pamiętasz o odwróceniu znaku i czy dopasujesz nawias do rodzaju nierówności.
Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez 17:
3(6−x)⩽3⋅17=51
Krok 2 — nawias i porządkowanie.
18−3x⩽51⟹−3x⩽33
Krok 3 — dzielenie przez liczbę ujemną. Dzielimy przez −3, więc znak nierówności się odwraca:
x⩾−11
Odpowiedź:⟨−11,+∞), czyli D.
Kontrola na dwóch liczbach. Dla x=−11: 173⋅17=3, a 3⩽3 jest prawdą ✓ (więc nawias musi być ostrokątny). Dla x=−12: 173⋅18=1754≈3,18, a to nie jest ⩽3 ✗ — czyli liczby mniejsze od −11 do zbioru nie należą i przedział idzie w prawo.
💡 Wskazówka: Zamiast mnożyć nawias, można od razu podzielić obie strony przez 3: nierówność staje się 176−x⩽1, potem 6−x⩽17. Mniej mnożeń, mniej okazji do pomyłki — a przy dzieleniu przez 3 (liczbę dodatnią) znak zostaje bez zmian.
⚠ Pozostawienie znaku bez zmiany po podzieleniu przez −3 — wtedy wychodzi x⩽−11 i wybiera się odpowiedź A albo B. To jedyny prawdziwy błąd możliwy w tym zadaniu i dlatego wszystkie cztery odpowiedzi kręcą się wokół tej samej liczby. Drugi, subtelniejszy: poprawne x⩾−11, ale wybór odpowiedzi C z nawiasem okrągłym. Znak ⩽ w treści oznacza, że równość jest dozwolona, więc −11 należy do zbioru i nawias musi być ostrokątny.
Zadanie 3(maj 2024)1 pktśrednie
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1−23x<32−x jest przedział
A.(−∞,−32)
B.(−∞,32)
C.(−32,+∞)
D.(32,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Krok 1 — mianowniki. Występują 2 i 3, więc mnożymy obie strony przez 6 i mnożymy każdy składnik:
6⋅1−6⋅23x<6⋅32−6⋅x
6−9x<4−6x
Krok 2 — porządkowanie. Iksy na lewo, liczby na prawo:
−9x+6x<4−6⟹−3x<−2
Krok 3 — dzielenie przez liczbę ujemną, znak się odwraca:
x>32
Odpowiedź:(32,+∞), czyli D. Nawias okrągły, bo nierówność jest ostra (<) — sama liczba 32 do zbioru nie należy.
Kontrola: dla x=1 lewa strona daje 1−23=−21, prawa 32−1=−31, i −21<−31 jest prawdą ✓
💡 Wskazówka: Wspólny mianownik 6 trzeba przemnożyć przez wszystkie cztery składniki, także przez te bez ułamka (1 i x). Najczęstsza strata punktu w takich zadaniach to pomnożenie tylko tego, co miało mianownik — a wtedy nierówność przestaje być równoważna.
⚠ Odpowiedzi A i C podają liczbę −32: taki wynik wychodzi, gdy przy przenoszeniu pomyli się znak przy liczbach (4−6 zamienione na 6−4). Odpowiedzi A i B mają dodatkowo odwrócony kierunek przedziału, czyli zapomniane odwrócenie znaku przy dzieleniu przez −3. Zestaw czterech odpowiedzi to wszystkie kombinacje tych dwóch pomyłek — poprawna jest tylko ta bez żadnej.
Zadanie 4(maj 2023)1 pktśrednie
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −2(x+3)⩽32−x jest przedział
A.(−∞,−4⟩
B.(−∞,4⟩
C.⟨−4,∞)
D.⟨4,∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez 3:
−6(x+3)⩽2−x
Krok 2 — nawias. Mnożymy −6 przez oba składniki nawiasu:
−6x−18⩽2−x
Iksy na lewo, liczby na prawo:
−6x+x⩽2+18⟹−5x⩽20
Krok 3 — dzielenie przez −5, znak się odwraca:
x⩾−4
Odpowiedź:⟨−4,∞), czyli C.
Kontrola: dla x=−4 lewa strona daje −2⋅(−1)=2, prawa 36=2 — równość, więc −4 należy do zbioru ✓ Dla x=−5: lewa −2⋅(−2)=4, prawa 37≈2,33, a 4⩽2,33 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Ujemny czynnik przed nawiasem to najczęstsze źródło pomyłek w tym typie zadań. Warto rozpisać mnożenie osobno dla każdego składnika: −6⋅x=−6x oraz −6⋅3=−18. Skrót „w pamięci” kosztuje tu więcej czasu niż zapisanie dwóch iloczynów.
⚠ Pomnożenie tylko pierwszego składnika nawiasu, czyli zapis −6x+3 albo −6x−3 zamiast −6x−18. Drugi błąd to znak przy dzieleniu przez −5 — bez odwrócenia wychodzi x⩽−4, czyli odpowiedź A. Odpowiedzi B i D pilnują jeszcze jednej rzeczy: znaku samego wyniku. Granica jest ujemna, bo −18 przeniesione na prawą stronę daje +18, a −520=−4.
Zadanie 5(sierpień 2022)1 pktśrednie
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 48x−3>6x jest przedział
A.(−∞,−43)
B.(−43,+∞)
C.(−∞,−163)
D.(−163,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Krok 1 — mianownik. Mnożymy obie strony przez 4. Uwaga: prawa strona też, więc 6x staje się 24x:
8x−3>24x
Krok 2 — porządkowanie. Przenosimy 8x na prawo:
−3>24x−8x⟹−3>16x
Krok 3 — dzielenie przez 16, czyli liczbę dodatnią — znak zostaje:
−163>x, czyli x<−163
Odpowiedź:(−∞,−163), czyli C.
Kontrola: dla x=−1 lewa strona daje 4−8−3=−411=−2,75, prawa −6, i −2,75>−6 jest prawdą ✓ Dla x=0: lewa −43, prawa 0, a −0,75>0 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że po przeniesieniu x-ów po lewej nie ma już żadnego — zostaje sama liczba −3. To normalna sytuacja i wcale nie znaczy, że coś poszło źle; wystarczy pamiętać, że nierówność −3>16x czyta się „16x jest mniejsze od −3”, więc po odwróceniu zapisu strzałka też się odwraca.
⚠ Podzielenie przez 4 tylko pierwszego wyrazu licznika, czyli zapis 2x−3>6x. Wtedy wychodzi −3>4x, granica −43 i odpowiedź A. Ułamek 48x−3 ma wspólną kreskę dla całego licznika, więc dzieli się przez 4 i 8x, i 3 — albo, prościej, mnoży się przez 4 obie strony i mianownik znika w całości. Drugi błąd: przepisanie −163>x jako x>−163 bez odwrócenia strzałki, co prowadzi do odpowiedzi D.
Zadanie 6(maj 2021)1 pkttrudniejsze
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 22−x−2x⩾1 jest przedział
A.⟨0,+∞)
B.(−∞,0⟩
C.(−∞,5⟩
D.(−∞,31⟩
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Krok 1 — mianownik. Mnożymy przez 2wszystkie trzy składniki, także −2x i jedynkę po prawej:
2−x−4x⩾2
Krok 2 — porządkowanie.
2−5x⩾2⟹−5x⩾2−2=0
Dwójki się skróciły i po prawej stronie zostało zero. To wygląda podejrzanie, ale jest w porządku — i właśnie tu zadanie zastawia pułapkę.
Krok 3 — dzielenie przez −5. Zero po prawej stronie nie zwalnia z odwrócenia znaku: dzielimy przez liczbę ujemną, więc strzałka się obraca.
x⩽0
Odpowiedź:(−∞,0⟩, czyli B.
Kontrola: dla x=0 lewa strona daje 22−0=1, a 1⩾1 jest prawdą ✓ Dla x=1: 21−2=−1,5, a −1,5⩾1 jest fałszem ✓ Dla x=−1: 23+2=3,5⩾1 — prawda ✓ Czyli zbiór rzeczywiście idzie w lewo.
💡 Wskazówka: Zero po prawej stronie niczego nie upraszcza w kwestii znaku. Reguła brzmi: znak odwraca się przy dzieleniu przez liczbę ujemną, i nie ma w niej żadnego wyjątku dla zera. Jeśli masz wątpliwość, sprawdź jedną konkretną liczbę — tutaj x=1 rozstrzyga w dwóch działaniach.
⚠ Nieodwrócenie znaku „bo po prawej jest zero” — wtedy wychodzi x⩾0, czyli odpowiedź A. To najczęstszy błąd w tym zadaniu i dlatego A jest tu podstawione jako lustrzane odbicie poprawnej odpowiedzi. Odpowiedź D wychodzi z pomnożenia przez 2tylko ułamka: z 2−x−2x⩾1 dostajemy −3x⩾−1, czyli x⩽31. Mnożenie musi objąć każdy składnik po obu stronach.
Zadanie 7(maj 2018)1 pktłatwe
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 21−2x>31 jest przedział
A.(−∞,61)
B.(−∞,32)
C.(61,+∞)
D.(32,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Krok 1 — mianowniki. Wspólnym mianownikiem 2 i 3 jest 6:
3(1−2x)>2⟹3−6x>2
Krok 2 — porządkowanie.
3−2>6x⟹1>6x
Krok 3 — dzielenie przez 6 (liczba dodatnia, znak zostaje):
61>x, czyli x<61
Odpowiedź:(−∞,61), czyli A.
Kontrola: dla x=0 lewa strona daje 21, a 21>31 jest prawdą ✓ Dla x=1: 2−1=−0,5, a −0,5>31 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamiast szukać wspólnego mianownika, można pomnożyć obie strony po prostu przez 2: nierówność staje się 1−2x>32, a stąd 31>2x i x<61. Wynik ten sam, o jedno mnożenie mniej — wystarczy nie bać się ułamka po prawej stronie.
⚠ Liczba 32 w odpowiedziach B i D to prawa strona po pomnożeniu przez 2 — czyli wynik zatrzymania rachunku o dwa kroki za wcześnie, na etapie 1−2x>32. To nie jest jeszcze rozwiązanie, bo x nie stoi samo. Drugi błąd: przepisanie 61>x jako x>61 bez obrócenia strzałki, co prowadzi do odpowiedzi C.
Zadanie 8(grudzień 2013)1 pkttrudniejsze
Zbiorem rozwiązań nierówności 32−x−22x−1<x jest przedział
A.(−∞,21)
B.(−∞,141)
C.(141,+∞)
D.(21,+∞)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Krok 1 — mianowniki. Wspólnym mianownikiem 3 i 2 jest 6. Każdy ułamek mnożymy przez 6, czyli pierwszy przez 2, drugi przez 3 — a prawą stronę przez 6:
2(2−x)−3(2x−1)<6x
Krok 2 — nawiasy. Drugi nawias ma minus przed sobą, więc oba jego składniki zmieniają znak: −3⋅2x=−6x oraz −3⋅(−1)=+3.
4−2x−6x+3<6x
7−8x<6x
Krok 3 — porządkowanie i dzielenie. Iksy na prawo:
7<6x+8x=14x
Dzielimy przez 14 (liczba dodatnia, znak zostaje):
147<x, czyli x>21
Odpowiedź:(21,+∞), czyli D.
Kontrola: dla x=1 lewa strona daje 31−21=−61, a −61<1 jest prawdą ✓ Dla x=0: 32+21=67≈1,17, a 1,17<0 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zanim pomnożysz, zapisz nierówność z nawiasami wokół obu liczników: 3(2−x)−2(2x−1). Kreska ułamkowa działa jak nawias, ale gdy zniknie, nawias musi się pojawić na papierze — inaczej minus przed drugim ułamkiem obejmie tylko pierwszy składnik.
⚠ Zgubienie zmiany znaku przy −1: zapis −6x−3 zamiast −6x+3. Wtedy lewa strona daje 1−8x, dalej 1<14x i granica 141 — czyli dokładnie liczba z odpowiedzi B i C. To najlepszy przykład tego, po co warto skracać 147 do 21: wynik z błędem nie skraca się do niczego ładnego, co samo w sobie jest ostrzeżeniem.
Zadanie 10(sierpień 2013)1 pktłatwe
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności 2(3−x)>x.
A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Najpierw rozwiązujemy nierówność, a dopiero potem szukamy jej obrazu na osi.
2(3−x)>x⟹6−2x>x
6>x+2x=3x⟹x<2
Zbiorem rozwiązań jest (−∞,2) — wszystkie liczby mniejsze od 2.
Teraz dopasowanie do rysunku. Sprawdzamy dwie cechy: gdzie jest zaznaczony zbiór i jaka jest kropka na jego końcu.
Zbiór biegnie w lewo od liczby 2 — to wyklucza panele B (odcinek między 2 i 4) i C (liczby większe od 4).
Zostają A i D. Panel A ma zaznaczone dwie części — na lewo od 2i na prawo od 4 — a nasz zbiór to jedna półprosta. Panel D pokazuje dokładnie (−∞,2).
Kropka w 2 jest niezamalowana, i tak być musi: nierówność jest ostra (>), więc sama liczba 2 nie jest rozwiązaniem.
Odpowiedź: D.
Kontrola na liczbie: dla x=2 lewa strona daje 2(3−2)=2, prawa 2, a 2>2 jest fałszem ✓ Dla x=0: 6>0 — prawda ✓
💡 Wskazówka: W zadaniach „wskaż rysunek” liczba 4 w panelach nie pochodzi z żadnego sensownego rachunku — to po prostu druga liczba wpisana, żeby paneli było cztery. Rozwiąż nierówność do końca, a potem szukaj na osi tylko jednej rzeczy: swojej granicy i swojego kierunku.
⚠ Wybór panelu z zamalowaną kropką (gdyby taki był) albo — częściej — pominięcie tego, że zbiór ma być jedną półprostą. Panel A wygląda przekonująco, bo zawiera właściwą część na lewo od 2, ale dokłada do niej jeszcze liczby większe od 4, które nierówności nie spełniają: dla x=5 mamy 2(3−5)=−4, a −4>5 jest fałszem.
Zadanie 11(maj 2025)1 pktśrednie
Dana jest nierówność 3−2(1−2x)⩾2x−17. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Nawias z minusem przed nim. Mnożymy −2 przez oba składniki: −2⋅1=−2 oraz −2⋅(−2x)=+4x.
3−2+4x⩾2x−17
1+4x⩾2x−17
Iksy na lewo, liczby na prawo:
4x−2x⩾−17−1⟹2x⩾−18
Dzielimy przez 2 — liczbę dodatnią, więc znak zostaje:
x⩾−9
Zbiorem rozwiązań jest ⟨−9,+∞).
Dopasowanie do rysunku: granica to −9 (nie 3), więc odpadają panele A i B. Zbiór biegnie w prawo, więc z pozostałych dwóch wybieramy D. Kropka w −9 jest zamalowana, bo nierówność jest nieostra (⩾) i −9 też jest rozwiązaniem.
Odpowiedź: D.
Kontrola: dla x=−9 lewa strona daje 3−2(1+18)=3−38=−35, prawa −18−17=−35 — równość, więc −9 należy do zbioru ✓
💡 Wskazówka: Liczba 3 w panelach A i B to pułapka dla kogoś, kto pomnoży −2 tylko przez jedynkę: z 3−2−2x⩾2x−17 wychodzi −4x⩾−18, czyli x⩽4,5 — nie 3, ale też coś dodatniego i „prawie” pasującego. Najpewniej jest sprawdzić wynik podstawieniem samej granicy: jeśli po obu stronach wyjdzie równość, granica jest poprawna.
⚠ Zgubienie zmiany znaku w nawiasie: zapis −2−2x zamiast −2+4x. Drugi błąd dotyczy już samego rysunku — wybranie właściwej granicy, ale złego kierunku (panel C zamiast D). Warto wtedy podstawić jedną liczbę z zaznaczonego obszaru: dla x=−10 z panelu C lewa strona to 3−2(21)=−39, prawa −37, a −39⩾−37 jest fałszem — czyli panel C zaznacza liczby, które nierówności nie spełniają.
Zadanie 12(maj 2015)1 pktłatwe
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −4⩽x−1⩽4.
A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
To nierówność podwójna — dwa warunki zapisane w jednej linii. Nie trzeba ich rozdzielać: wystarczy wykonać to samo działanie na wszystkich trzech częściach naraz.
Chcemy zostawić samo x w środku, więc do każdej części dodajemy 1:
−4+1⩽x−1+1⩽4+1
−3⩽x⩽5
Zbiorem rozwiązań jest przedział ⟨−3,5⟩ — domknięty z obu stron, bo oba znaki w treści są nieostre.
Dopasowanie do rysunku wymaga sprawdzenia dwóch rzeczy. Końce:−3 i 5, a nie −5 i 3 — to wyklucza panele A i D. Kropki: oba końce należą do zbioru, więc muszą być zamalowane — to wyklucza panel B, w którym kropki są puste.
Odpowiedź: C.
Kontrola obu końców: dla x=−3 mamy x−1=−4, a −4⩽−4 jest prawdą ✓ Dla x=5: x−1=4, a 4⩽4 też prawdą ✓ Oba końce należą do zbioru.
💡 Wskazówka: Przy nierówności podwójnej najczęstszym błędem jest odjęcie zamiast dodania. Zapytaj wprost: żeby z x−1 zostało samo x, trzeba dodać jedynkę — a więc dodajemy ją wszędzie, także po obu brzegach. Wtedy końce przesuwają się w prawo, z (−4,4) na (−3,5).
⚠ Odjęcie jedynki zamiast dodania — wtedy końce przesuwają się w lewo i wychodzi ⟨−5,3⟩, czyli panele A albo D. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego obie te wersje są podstawione. Drugi błąd: poprawne końce, ale wybór panelu B z kropkami niezamalowanymi. Znaki ⩽ w treści oznaczają, że oba końce należą do zbioru.
Zadanie 13(sierpień 2017)1 pktśrednie
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek 11⩽2x−7⩽15.
A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: D
Znowu nierówność podwójna, tylko z dodatkowym krokiem — przy x stoi współczynnik. Działamy na wszystkich trzech częściach jednocześnie.
Krok 1 — dodajemy 7, żeby pozbyć się wyrazu wolnego:
11+7⩽2x⩽15+7⟹18⩽2x⩽22
Krok 2 — dzielimy przez 2. To liczba dodatnia, więc oba znaki zostają bez zmian:
9⩽x⩽11
Zbiorem rozwiązań jest przedział ⟨9,11⟩ — ograniczony z obu stron.
Dopasowanie do rysunku. Znaki końców:9 i 11 są dodatnie, więc odpadają panele A i C, gdzie liczby są ujemne. Rodzaj zbioru: nasz zbiór to jeden odcinek, a panel B zaznacza dwie części — wszystko poza odcinkiem. Zostaje D.
Odpowiedź: D.
Kontrola: dla x=9 mamy 2⋅9−7=11 ✓ (dolny koniec), dla x=11 mamy 2⋅11−7=15 ✓ (górny koniec), a dla x=10 wychodzi 13 — liczba leżąca między 11 i 15 ✓
💡 Wskazówka: Nie rozdzielaj tego na dwie osobne nierówności — to podwaja pracę. Nierówność podwójna działa jak jedna: dodaj 7 do trzech części, podziel trzy części przez 2, gotowe. Rozdzielanie ma sens tylko wtedy, gdy x występuje w więcej niż jednej części.
⚠ Panel B jest tu głównym dystraktorem, bo ma poprawne liczby 9 i 11, ale zaznacza zbiór na zewnątrz przedziału. Nierówność podwójna zawsze opisuje to, co jest między końcami — dopełnienie oznaczałoby „2x−7⩽11lub2x−7⩾15”, czyli zupełnie inny warunek. Drugi błąd: odjęcie 7 zamiast dodania, co daje końce 2 i 4, albo pominięcie dzielenia przez 2, co zostawia 18 i 22 — żadna z tych par nie występuje w panelach, więc taki błąd sam się ujawnia.
Zadanie 14(czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających jednocześnie nierówności 0<7−3x oraz 7−3x⩽5x−3.
A. rysunek A
B. rysunek B
C. rysunek C
D. rysunek D
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Słowo jednocześnie jest tu najważniejsze: szukamy liczb spełniających oba warunki, czyli części wspólnej dwóch zbiorów. Każdą nierówność rozwiązujemy osobno.
Pierwsza nierówność:0<7−3x
3x<7⟹x<37
Znak jest ostry, więc 37 do zbioru nie należy — kropka niezamalowana.
Druga nierówność:7−3x⩽5x−3
7+3⩽5x+3x⟹10⩽8x⟹x⩾810=45
Znak jest nieostry, więc 45 do zbioru należy — kropka zamalowana.
Część wspólna. Pierwszy warunek daje x<37≈2,33, drugi x⩾45=1,25. Oba naraz spełniają liczby z przedziału:
x∈⟨45,37)
Ten przedział jest domknięty z lewej i otwarty z prawej — i to właśnie odróżnia go od paneli C i D, które pokazują pojedyncze warunki, a nie ich część wspólną.
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla x=45 pierwsza nierówność daje 7−415=413>0 ✓, druga 413⩽425−3=413 — równość ✓ Czyli 45 należy do zbioru. Dla x=2: 7−6=1>0 ✓ oraz 1⩽10−3=7 ✓
💡 Wskazówka: Rozwiąż obie nierówności, zapisz oba wyniki jeden pod drugim, a potem zaznacz je na jednej osi — część wspólna zobaczy się sama. Rodzaj kropki bierze się z tej nierówności, która daje dany koniec: lewy koniec pochodzi z warunku z ⩽, więc jest domknięty, prawy z warunku z <, więc otwarty. Dlatego jeden przedział może mieć dwa różne rodzaje nawiasu.
⚠ Wzięcie sumy zamiast części wspólnej — panel A pokazuje dokładnie to: wszystko na lewo od 45i wszystko na prawo od 37, czyli liczby spełniające co najwyżej jeden z warunków. Panele C i D to z kolei pojedyncze nierówności, każda osobno: C to samo x<37, D to samo x⩾45. Wszystkie trzy błędne odpowiedzi wynikają z niedoczytania słowa „jednocześnie”.
Zadanie 15(grudzień 2022)1 pktłatwe
Dana jest nierówność 2−2x⩾3x−3. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
A.6
B.5
C.7
D.(−6)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Rozwiązujemy nierówność. Wspólny mianownik 2 i 3 to 6 — mnożymy przez niego wszystkie cztery składniki:
12−3x⩾2x−18
12+18⩾2x+3x⟹30⩾5x⟹x⩽6
Teraz drugie pytanie: największa liczba całkowita w zbiorze (−∞,6⟩.
Granica 6sama jest liczbą całkowitą i należy do zbioru, bo nierówność jest nieostra (⩾). Nie trzeba więc niczego zaokrąglać — szukana liczba to po prostu 6.
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla x=6 lewa strona daje 2−3=−1, prawa 2−3=−1 — równość, czyli 6 spełnia nierówność ✓ Dla x=7: lewa 2−3,5=−1,5, prawa 37−3≈−0,67, a −1,5⩾−0,67 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Gdy granica wychodzi liczbą całkowitą, wszystko zależy od rodzaju nierówności. Przy ⩽ granica należy do zbioru i jest szukaną liczbą; przy < trzeba zejść o jeden. To jedno spojrzenie na znak decyduje o odpowiedzi — i dlatego odpowiedzi A i B różnią się dokładnie o jedynkę.
⚠ Odjęcie jedynki „na wszelki wypadek” i odpowiedź 5 — to poprawne postępowanie przy nierówności ostrej, ale tutaj znak jest nieostry i szóstka do zbioru należy. Odpowiedź (−6) wychodzi z pomylenia stron przy przenoszeniu: z 30⩾5x wynika x⩽6, a nie x⩽−6.
Zadanie 16(czerwiec 2025)1 pktśrednie
Dana jest nierówność 8−21−2x⩾3x. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
A.1
B.2
C.3
D.4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Mnożymy przez 2. Ułamek ma minus przed sobą, więc po pozbyciu się mianownika oba składniki licznika zmieniają znak:
16−(1−2x)⩾6x⟹16−1+2x⩾6x
15⩾6x−2x=4x⟹x⩽415=3,75
Największa liczba całkowita nie większa od 3,75. Tym razem granica nie jest liczbą całkowitą, więc schodzimy do najbliższej całkowitej poniżej niej:
szukana liczba to 3.
Odpowiedź: C.
Kontrola: dla x=3 lewa strona daje 8−21−6=8+2,5=10,5, prawa 9, a 10,5⩾9 jest prawdą ✓ Dla x=4: lewa 8+3,5=11,5, prawa 12, a 11,5⩾12 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamień granicę na postać dziesiętną, zanim wybierzesz odpowiedź: 415=3,75. W tej postaci nie ma jak się pomylić co do tego, która liczba całkowita jest największa poniżej — a w postaci ułamkowej łatwo wziąć licznik albo mianownik za wynik.
⚠ Zgubienie zmiany znaku w liczniku: zapis 16−1−2x zamiast 16−1+2x. Wtedy wychodzi 15⩾8x, czyli x⩽1,875 i odpowiedź 1. Drugi błąd: zaokrąglenie 3,75 „w górę” do 4 — zaokrąglanie tu nie obowiązuje, bo szukamy największej liczby spełniającej nierówność, a 4>3,75 jej nie spełnia.
Zadanie 17(sierpień 2020)1 pktśrednie
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 25(4−x)<x jest liczba
A.1
B.2
C.3
D.4
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Mnożymy przez 2 i rozwijamy nawias:
5(4−x)<2x⟹20−5x<2x
20<2x+5x=7x⟹x>720
Zamieniamy na postać dziesiętną, żeby móc porównać z liczbami całkowitymi: 720≈2,857.
Najmniejsza liczba całkowita większa od 2,857 to 3 — bo 2 jest za małe, a 3 już spełnia warunek.
Odpowiedź: C.
Kontrola: dla x=3 lewa strona daje 25⋅1=2,5, a 2,5<3 jest prawdą ✓ Dla x=2: 25⋅2=5, a 5<2 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Przy pytaniu o najmniejszą liczbę całkowitą w zbiorze typu x>c idziemy w górę od c, przy pytaniu o największą w zbiorze x<c — w dół. Warto zawsze sprawdzić kandydata i jego sąsiada: jeśli jeden spełnia nierówność, a drugi nie, wybór jest pewny.
⚠ Podzielenie przez 2 tylko liczby 5 i zapis 25(4−x)<x jako 2,5⋅4−x<x — czyli pominięcie mnożenia przy drugim składniku. Drugi błąd: potraktowanie 720 jako liczby bliskiej 3 i wybór 3z niewłaściwego powodu; gdyby granica wyszła 721=3, odpowiedź byłaby już 4, bo nierówność jest ostra i sama trójka by jej nie spełniała.
Zadanie 18(maj 2011)1 pktśrednie
Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 83+6x<125x jest
A.1
B.2
C.−1
D.−2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Wspólny mianownik. Mianowniki 8, 6 i 12 mają najmniejszą wspólną wielokrotność 24:
24⋅83+24⋅6x<24⋅125x
9+4x<10x
9<6x⟹x>69=1,5
Najmniejsza liczba całkowita większa od 1,5 to 2.
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla x=2 lewa strona daje 83+31=249+248=2417, prawa 1210=2420, a 2417<2420 jest prawdą ✓ Dla x=1: lewa 83+61=2413, prawa 125=2410, a 2413<2410 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Nie mnóż przez iloczyn wszystkich mianowników (8⋅6⋅12=576) — wystarczy najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli 24. Liczby zostają wtedy małe i cały rachunek mieści się w dwóch linijkach.
⚠ Skrócenie 69 do 23 i wzięcie licznika albo mianownika za odpowiedź — stąd dystraktory 1 i 2 leżą tak blisko siebie. Postać dziesiętna 1,5 nie pozostawia tu wątpliwości. Gdyby ktoś odwrócił znak nierówności przy dzieleniu przez 6, dostałby x<1,5 — a w takim zbiorze najmniejszej liczby całkowitej nie ma wcale. Brak odpowiedzi jest sygnałem, że znak poszedł w złą stronę.
Zadanie 19(maj 2013)1 pktśrednie
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2x⩽32x+41 jest
A.−2
B.−1
C.0
D.1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Wspólny mianownik liczb 2, 3 i 4 to 12:
6x⩽8x+3
6x−8x⩽3⟹−2x⩽3
Dzielimy przez −2 — liczbę ujemną, więc znak nierówności się odwraca:
x⩾−23=−1,5
Najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od −1,5. Tu trzeba uważać: idziemy w prawo od −1,5, a pierwsza liczba całkowita po prawej stronie to −1, nie −2.
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla x=−1 lewa strona daje −0,5, prawa −32+41≈−0,42, a −0,5⩽−0,42 jest prawdą ✓ Dla x=−2: lewa −1, prawa −34+41≈−1,08, a −1⩽−1,08 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Na liczbach ujemnych intuicja „najmniejsza znaczy bardziej ujemna” działa przeciwnie do potrzeby. Zbiór to ⟨−1,5,+∞), więc najmniejszy element to ten najbliżej lewego końca — a −2 leży już poza zbiorem. Najprościej narysować sobie oś: zaznacz −1,5 i zamaluj w prawo.
⚠ Wybór −2, czyli pierwszej liczby całkowitej na lewo od granicy. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego odpowiedź A jest podstawiona. Drugi błąd: nieodwrócenie znaku przy dzieleniu przez −2, co daje x⩽−1,5 — a wtedy pytanie o najmniejszą liczbę całkowitą nie ma odpowiedzi w ogóle, bo zbiór jest nieograniczony z lewej. Brak odpowiedzi jest tu sygnałem, że znak poszedł w złą stronę.
Zadanie 20(sierpień 2015)1 pktśrednie
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2(x−2)⩽4(x−1)+1 jest
A.−2
B.−1
C.0
D.1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Rozwijamy oba nawiasy:
2x−4⩽4x−4+1
Po prawej stronie zwijamy liczby: −4+1=−3.
2x−4⩽4x−3
−4+3⩽4x−2x⟹−1⩽2x
Dzielimy przez 2 — liczbę dodatnią, znak zostaje:
x⩾−21=−0,5
Najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od −0,5 to 0 — bo −1 leży już poza zbiorem, a zero mieści się w nim jako pierwsza liczba całkowita po prawej stronie granicy.
Odpowiedź: C.
Kontrola: dla x=0 lewa strona daje −4, prawa −3, a −4⩽−3 jest prawdą ✓ Dla x=−1: lewa −6, prawa −7, a −6⩽−7 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zero jest pełnoprawną liczbą całkowitą i bardzo często bywa poprawną odpowiedzią w tego typu zadaniach — a bywa pomijane, bo „nie wygląda na wynik”. Gdy granica wypada między −1 i 0, najmniejszą liczbą całkowitą w zbiorze x⩾c jest właśnie zero.
⚠ Wybór −1 jako „najbliższej liczby całkowitej” — ale −1<−0,5, więc leży poza zbiorem. Zaokrąglanie granicy do najbliższej liczby całkowitej nie jest tu właściwą operacją; trzeba sprawdzić, po której stronie granicy leży kandydat. Drugi błąd: pominięcie +1 po prawej stronie, co daje −4⩽−4+2x, czyli x⩾0 — przypadkiem ta sama odpowiedź, ale z niepełnego rachunku.
Zadanie 21(czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 61−x⩾32x+4 jest
A.−3
B.−2
C.2
D.3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Wspólny mianownik liczb 6 i 3 to 6 — mnożymy wszystkie cztery składniki:
1−6x⩾4x+24
1−24⩾4x+6x⟹−23⩾10x
Dzielimy przez 10 — liczbę dodatnią, znak zostaje:
x⩽−1023=−2,3
Największa liczba całkowita nie większa od −2,3. Idziemy w lewo od −2,3: pierwsza liczba całkowita po tej stronie to −3.
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla x=−3 lewa strona daje 61+3≈3,17, prawa −2+4=2, a 3,17⩾2 jest prawdą ✓ Dla x=−2: lewa 61+2≈2,17, prawa −34+4≈2,67, a 2,17⩾2,67 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: To zadanie łączy dwie osobne trudności: liczby ujemne i pytanie o największą. Zbiór to (−∞,−2,3⟩, więc największy element leży przy prawym końcu — ale prawy koniec to −2,3, a najbliższa liczba całkowita w środku zbioru to −3. Rysunek osi rozstrzyga to w jednej sekundzie.
⚠ Wybór −2, czyli liczby po niewłaściwej stronie granicy: −2>−2,3, więc do zbioru nie należy. Odpowiedź B jest podstawiona dokładnie na to. Odpowiedzi dodatnie (2 i 3) wychodzą z pomylenia stron przy przenoszeniu — jeśli po lewej zostawimy 24 zamiast −24, granica wyjdzie dodatnia; kontrola na jednej liczbie natychmiast to wyłapuje, bo dla x=2 lewa strona jest ujemna, a prawa większa od 5.
Zadanie 22(sierpień 2016)1 pkttrudniejsze
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 5x+7>0 jest
A.−14
B.−13
C.13
D.14
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Rozwiązujemy nierówność. Pierwiastek jest tu zwykłą liczbą, więc przenosimy go na prawą stronę:
5x>−7⟹x>−57
Szacujemy 57. Wiemy, że 7 leży między 4=2 i 9=3, a dokładniej 7≈2,6458. Zatem
57≈13,23⟹x>−13,23
Najmniejsza liczba całkowita większa od −13,23. Idziemy w prawo od −13,23 — pierwsza liczba całkowita to −13.
Odpowiedź: B.
Kontrola bez kalkulatora: dla x=−13 nierówność brzmi −513+7>0, czyli 7>2,6. Podnosimy obie strony do kwadratu: 7>6,76 ✓ Dla x=−14: 7>2,8, czyli 7>7,84 — fałsz ✓ Ta kontrola nie wymaga znania 7 z dokładnością do czterech cyfr.
Wystarczy więc wiedzieć, że 7 mieści się między 2,6 i 2,8 — a to sprawdza się dwoma mnożeniami.
💡 Wskazówka: Nie musisz pamiętać 7≈2,6458. Wystarczy porównać kwadraty: żeby rozstrzygnąć między −13 i −14, sprawdź, czy 7 jest większe od 2,6 (2,62=6,76<7 — tak) i czy jest większe od 2,8 (2,82=7,84>7 — nie). Dwa mnożenia zamiast tablic.
⚠ Wybór −14, czyli liczby na lewo od granicy — a −14<−13,23, więc nierówności nie spełnia. Odpowiedź A jest podstawiona na tę pomyłkę, bo intuicja przy liczbach ujemnych podpowiada „najmniejsza = bardziej ujemna”. Odpowiedzi dodatnie wychodzą z pominięcia minusa przy przenoszeniu 7: zbiór rozwiązań jest nieograniczony z prawej, więc gdyby granica była dodatnia, pytanie o najmniejszą liczbę całkowitą wskazywałoby 14 — ale wtedy x=0 nie spełniałoby nierówności, a spełnia (0+7>0).
Zadanie 23(czerwiec 2024)1 pktśrednie
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności 123x−5<31 jest równa
A.2
B.3
C.5
D.6
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Rozwiązujemy nierówność. Mnożymy obie strony przez 12:
3x−5<4⟹3x<9⟹x<3
Zbiorem wszystkich rozwiązań jest (−∞,3) — zbiór nieskończony. Ale zadanie pyta o coś węższego.
Wypisujemy rozwiązania całkowite dodatnie. Muszą spełniać dwa warunki naraz: być mniejsze od 3i być dodatnie.
Kandydaci: 1 i 2. Liczba 3 odpada, bo nierówność jest ostra. Zero i liczby ujemne odpadają, bo nie są dodatnie.
Takich liczb jest zatem 2.
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla x=1 lewa strona daje 12−2=−61, a −61<31 ✓ Dla x=2: 121<31 ✓ Dla x=3: 124=31, a 31<31 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa warunki i drugi jest podkreślony w treści: rozwiązania mają być całkowite i dodatnie. Po rozwiązaniu nierówności najprościej wypisać kandydatów na palcach — przy tak małym zakresie liczenie ich jest pewniejsze niż jakikolwiek wzór.
⚠ Zaliczenie zera do liczb dodatnich i odpowiedź 3. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — a odpowiedź B jest podstawiona dokładnie na tę pomyłkę. Drugi błąd: włączenie trójki, mimo że nierówność jest ostra; wtedy również wychodzi 3. Warto zauważyć, że dwa różne błędy prowadzą tu do tej samej odpowiedzi B, co czyni ją najbardziej kuszącym dystraktorem w zadaniu.
Zadanie 24(maj 2015)1 pkttrudniejsze
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 72<14x<34?
A.14
B.15
C.16
D.17
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: A
Nierówność podwójna — mnożymy wszystkie trzy części przez 14, żeby zostało samo x w środku:
14⋅72<x<14⋅34
4<x<356≈18,667
Wypisujemy zakres liczb całkowitych. Oba znaki są ostre, więc czwórka nie wchodzi, a górny koniec 18,667 nie jest całkowity, więc największa dopuszczalna liczba to 18.
Liczby całkowite spełniające warunek to 5,6,7,…,18.
Liczymy je. Liczba wyrazów od 5 do 18 to:
18−5+1=14
Odpowiedź: A.
Kontrola na końcach: dla x=5 mamy 145≈0,357, a 72≈0,286 i 34≈1,333 — liczba mieści się między nimi ✓ Dla x=4: 144=72, czyli równość z lewym końcem, a nierówność jest ostra ✗ Dla x=19: 1419≈1,357>34 ✗
💡 Wskazówka: Najważniejszy jest plus jeden we wzorze na liczbę wyrazów. Liczb całkowitych od 5 do 18 nie jest 18−5=13, bo trzeba doliczyć jeszcze pierwszą z nich. Łatwo to sprawdzić na małym przykładzie: od 5 do 7 są trzy liczby (5, 6, 7), a 7−5=2.
⚠ Pominięcie „plus jeden” daje 13 — liczby, której nie ma wśród odpowiedzi, więc ten błąd się ujawnia. Groźniejsze są dwa inne: włączenie czwórki, mimo że lewy znak jest ostry i 144 równa się dokładnie 72 (wtedy wychodzi 15, odpowiedź B), oraz włączenie dziewiętnastki przez zaokrąglenie 18,667 w górę (również 15). Wszystkie trzy podane błędne odpowiedzi to 14 powiększone o jeden, dwa albo trzy — czyli dokładnie skutki takich pojedynczych przeoczeń.
Zadania otwarte
Zadanie 9(zbiór zadań CKE)2 pkttrudniejsze
Rozwiąż nierówność 2x⩾5x+35−6. Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: x∈(−∞,−3⟩, największa liczba całkowita: −3
Nierówność jest liniowa — x występuje w pierwszej potędze, a 5 jest tylko liczbą. Postępujemy więc jak zawsze: iksy na jedną stronę, liczby na drugą.
2x−5x⩾35−6
Po lewej wyłączamy x przed nawias:
x(2−5)⩾35−6
Teraz najważniejsze spostrzeżenie. Prawą stronę można zapisać tak, żeby zawierała ten sam nawias co lewa:
35−6=3(5−2)=−3(2−5)
Nierówność wygląda więc tak:
x(2−5)⩾−3(2−5)
Dzielimy obie strony przez (2−5) — i trzeba wiedzieć, jaki to znak. Ponieważ 5≈2,24>2, liczba 2−5 jest ujemna, więc znak nierówności się odwraca:
x⩽−3
Odpowiedź:x∈(−∞,−3⟩, a największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest −3.
Kontrola dla x=−3: lewa strona −6, prawa −35+35−6=−6 — równość, więc −3 należy do zbioru ✓ Dla x=−2: lewa −4, prawa −25+35−6=5−6≈−3,76, a −4⩾−3,76 jest fałszem ✓
💡 Wskazówka: Zamiast dzielić przez 2−5 i usuwać niewymierność z mianownika, poszukaj wspólnego czynnika. Prawa strona 35−6 to 3(5−2), czyli ten sam nawias co po lewej, tylko z przeciwnym znakiem. Cały rachunek sprowadza się wtedy do jednego dzielenia i wynik wychodzi całkowity, bez żadnego pierwiastka.
⚠ Podzielenie przez 2−5bez sprawdzenia znaku tej liczby. Wygląda niewinnie, bo to „tylko liczba”, ale 5>2, więc nawias jest ujemny i znak nierówności musi się obrócić. Bez tego wychodzi x⩾−3 i odpowiedź „największa liczba całkowita” traci sens — bo w przedziale ⟨−3,+∞) największej liczby nie ma wcale. To dobra kontrola samego siebie: jeśli pytanie o największą liczbę całkowitą nie ma odpowiedzi, znak poszedł w złą stronę.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. A
2. D
3. D
4. C
5. C
6. B
7. A
8. D
9.x∈(−∞,−3⟩, największa liczba całkowita: −3
10. D
11. D
12. C
13. D
14. B
15. A
16. C
17. C
18. B
19. B
20. C
21. A
22. B
23. A
24. A
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Równania i nierówności liniowe — sprawdzian, liceum, klasa 1
Nierówność z ułamkami, skrajne rozwiązanie całkowite, zadania tekstowe.
Czym różni się rozwiązywanie nierówności od równania?
Tylko jedną rzeczą: przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Wszystkie pozostałe przekształcenia — przenoszenie wyrazów, redukcja, mnożenie przez liczbę dodatnią — działają identycznie.
Dlaczego mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak?
Bo im większa liczba, tym mniejsza jest liczba do niej przeciwna. Z prawdziwej nierówności 2<5 po pomnożeniu przez −1 otrzymujemy −2 i −5, a na osi liczbowej −2 leży na prawo od −5, czyli jest większe.
Czy dodanie liczby ujemnej też odwraca znak?
Nie. Reguła dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Odjęcie dziesiątki od obu stron nierówności 5>3 daje −5>−7 — znak pozostaje bez zmian, mimo że wyniki są ujemne.
Co znaczy, że nierówność jest sprzeczna?
Że po redukcji zostaje zdanie fałszywe, na przykład −2>5, niezależne od niewiadomej. Taka nierówność nie ma rozwiązań, a odpowiedzią jest zbiór pusty — i to jest pełne rozwiązanie, nie brak rozwiązania.
Kiedy nierówność jest tożsamościowa?
Gdy po redukcji zostaje zdanie prawdziwe, na przykład 0≤0. Spełnia ją wtedy każda liczba rzeczywista. Dzieje się tak, gdy współczynniki przy niewiadomej są po obu stronach równe — wtedy niewiadoma znika i zostaje samo zdanie o liczbach. Jeśli jest ono prawdziwe, nierówność jest tożsamościowa; jeśli fałszywe — sprzeczna.
Jak sprawdzić poprawność rozwiązania?
Podstawić jedną liczbę z wnętrza otrzymanego przedziału i jedną spoza niego. Pierwsza powinna dawać zdanie prawdziwe, druga fałszywe. Ta kontrola wykrywa odwrócony znak, czyli najczęstszy błąd w tym dziale.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
