Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Geometria analityczna

Geometria analityczna — sprawdzian, kartkówki i test (3 liceum)

Drugi dział klasy 3: odległość punktów i środek odcinka, okrąg w układzie współrzędnych, symetria osiowa i środkowa. Na tej stronie: 2 sprawdziany, 3 kartkówki, 1 test, 3 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 3 liceum / technikumDział w podręczniku: 2. Geometria analitycznaPliki: 45 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Punkty, odcinki i odległości — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Punkty, odcinki i odległości

  • Długość i środek odcinka, symetrie, podział odcinka w stosunku
  • 6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B
  • wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz
Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z geometrii analitycznej

Sprawdzian

Punkty, odcinki i odległości

Długość i środek odcinka, symetrie, podział odcinka w stosunku

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Figury w układzie współrzędnych

Kwadrat i prostokąt z wierzchołków, pole trójkąta, równoległobok

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z geometrii analitycznej

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Odległość punktów i środek odcinka

długość odcinka, środek odcinka, trójkąt w układzie współrzędnych

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Okrąg w układzie współrzędnych

równanie okręgu, środek i promień, położenie punktu względem okręgu

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Symetrie w układzie współrzędnych

symetria względem osi, początku układu i punktu, obraz prostej

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Geometria analityczna

odcinki, proste, okręgi i symetrie w układzie współrzędnych

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z geometrii analitycznej — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

  1. Dane są punkty A=(3,−2)A=(3,-2) i B=(−4,22)B=(-4,22). Ile wynosi długość odcinka ABAB?

    Rozwiązanie

    ∣AB∣=(−7)2+242=625=25\displaystyle |AB|=\sqrt{(-7)^{2}+24^{2}}=\sqrt{625}=25. (31=7+2431=7+24 — dodane różnice bez pierwiastka; 527=576−49\displaystyle \sqrt{527}=\sqrt{576-49} — odjęte kwadraty; 625625 — bez pierwiastka.)

  2. Który punkt jest środkiem odcinka o końcach A=(−5,7)A=(-5,7) i B=(9,−3)B=(9,-3)?

    Rozwiązanie

    S=(−5+92,7−32)=(2,2)\displaystyle S=\left(\frac{-5+9}{2},\frac{7-3}{2}\right)=(2,2). ((4,4)(4,4) — bez dzielenia przez 22; (7,−5)(7,-5) — połowy różnic.)

  3. Punkt S=(1,4)S=(1,4) jest środkiem odcinka ABAB i A=(−3,1)A=(-3,1). Jakie współrzędne ma punkt BB?

    Rozwiązanie

    B=(2⋅1−(−3), 2⋅4−1)=(5,7)B=(2\cdot1-(-3),\ 2\cdot4-1)=(5,7). ((−7,−2)=2A−S(-7,-2)=2A-S — zamienione role punktów; (4,3)=S−A(4,3)=S-A.)

  4. Prosta przechodzi przez punkty A=(1,−4)A=(1,-4) i B=(4,5)B=(4,5). Ile wynosi jej współczynnik kierunkowy?

    Rozwiązanie

    a=5−(−4)4−1=93=3\displaystyle a=\frac{5-(-4)}{4-1}=\frac{9}{3}=3. (99 — sama różnica rzędnych; 13\displaystyle \frac{1}{3} — odwrócony iloraz.)

  5. Dla jakiego mm proste y=5x+1y=5x+1 i y=mx−2y=mx-2 są prostopadłe?

    Rozwiązanie

    Iloczyn współczynników prostych prostopadłych to −1-1: 5m=−15m=-1, m=−15\displaystyle m=-\frac{1}{5}. (55 — prosta równoległa; 15\displaystyle \frac{1}{5} — odwrotność bez zmiany znaku.)

  6. Okrąg ma równanie (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=25. Jaki jest jego środek SS i promień rr?

    Rozwiązanie

    Z postaci (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}: S=(−4,3)S=(-4,3), r=25=5\displaystyle r=\sqrt{25}=5. (r=25r=25 — wzięte r2r^{2}; (4,−3)(4,-3) — złe znaki.)

  7. Okrąg o środku S=(3,1)S=(3,1) przechodzi przez punkt P=(−5,7)P=(-5,7). Jakie ma równanie?

    Rozwiązanie

    r2=∣SP∣2=82+62=100r^{2}=|SP|^{2}=8^{2}+6^{2}=100, równanie (x−3)2+(y−1)2=100(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=100. (Prawa strona 1010 — wpisane rr zamiast r2r^{2}; środek (−5,7)(-5,7) — pomylony z punktem PP.)

  8. Jaki punkt jest obrazem punktu A=(−6,1)A=(-6,1) w symetrii względem początku układu współrzędnych?

    Rozwiązanie

    Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych: (6,−1)(6,-1). ((−6,−1)(-6,-1) — symetria względem osi OxOx; (6,1)(6,1) — względem osi OyOy.)

  9. Jaki punkt jest obrazem punktu A=(4,−3)A=(4,-3) w symetrii względem S=(1,2)S=(1,2)?

    Rozwiązanie

    SS jest środkiem odcinka AA′AA': A′=(2⋅1−4, 2⋅2−(−3))=(−2,7)A'=(2\cdot1-4,\ 2\cdot2-(-3))=(-2,7). ((7,−8)(7,-8) — przesunięcie w złą stronę; (−3,5)=S−A(-3,5)=S-A — sam wektor.)

  10. Ile wynosi pole trójkąta o wierzchołkach A=(0,0)A=(0,0), B=(8,0)B=(8,0), C=(3,7)C=(3,7)?

    Rozwiązanie

    Podstawa AB=8AB=8 leży na osi OxOx, wysokość to rzędna CC: h=7h=7; P=12⋅8⋅7=28\displaystyle P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot7=28. (5656 — bez 12\displaystyle \frac{1}{2}; 12=12⋅8⋅3\displaystyle 12=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3 — wzięta odcięta.)

5Karty pracy z geometrii analitycznej

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Odległość punktów i środek odcinka

Długość odcinka, środek odcinka, punkt równoodległy, trójkąt i równoległobok w układzie współrzędnych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu, środek i promień, położenie punktu, prostej i dwóch okręgów

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Symetria osiowa i środkowa w układzie współrzędnych

Obraz punktu, prostej i okręgu w symetrii względem osi i punktu, najkrótsza droga

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Geometria analitycznateoria z przykładami Układ współrzędnychteoria z przykładami Punkty, odcinki i odległości na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Okrąg w układzie współrzędnych na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Figury w układzie współrzędnych na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 3 liceum:

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Ciągi3 sprawdziany · 4 kartkówki · 1 test · 4 karty pracy Graniastosłupy i ostrosłupy2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 3 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z geometrii analitycznej?

Punkty, odcinki i odległości: Długość i środek odcinka, symetrie, podział odcinka w stosunku. Figury w układzie współrzędnych: Kwadrat i prostokąt z wierzchołków, pole trójkąta, równoległobok.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 3 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 2. Geometria analityczna, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Punkty, odcinki i odległości”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Figury w układzie współrzędnych”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Kartkówka „Odległość punktów i środek odcinka”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Okrąg w układzie współrzędnych”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Symetrie w układzie współrzędnych”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Geometria analityczna”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27