Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Ciągi

Ciągi — sprawdzian, kartkówki i test (3 liceum)

Trzeci dział klasy 3: wzór ogólny i rekurencyjny, monotoniczność, ciąg arytmetyczny i geometryczny, procent składany. Na tej stronie: 3 sprawdziany, 4 kartkówki, 1 test, 4 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 3 liceum / technikumDział w podręczniku: 3. CiągiPliki: 60 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Ciąg określony wzorem ogólnym

Wyraz ze wzoru, wyrazy spełniające warunek, suma wyrazów
5 zadań · 5 pkt · 25 minut · grupy A i B
wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz

Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z ciągów

Sprawdzian

Ciąg określony wzorem ogólnym

Wyraz ze wzoru, wyrazy spełniające warunek, suma wyrazów

5 zadań · 5 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Ciąg arytmetyczny

Wyraz i różnica, suma n wyrazów, trzy wyrazy z parametrem

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 9 pkt · 45 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Ciąg geometryczny

Iloraz i wzór ogólny, trzy wyrazy z parametrem, iloczyn wyrazów równoodległych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 7 pkt · 35 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z ciągów

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Ciągi liczbowe

wzór ogólny i rekurencyjny, suma wyrazów, monotoniczność

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Ciąg arytmetyczny

wyraz ogólny, różnica ciągu, suma początkowych wyrazów

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Ciąg geometryczny

wyraz ogólny, iloraz ciągu, wyraz środkowy, suma wyrazów

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Ciągi w zadaniach

procent składany, wzrost o stały procent, ciąg arytmetyczny w praktyce

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Ciągi

wzór ogólny i rekurencja, ciąg arytmetyczny i geometryczny

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z ciągów — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=4n^{2}-3n$ dla $n\geq1$ . Ile wynosi $a_{2}$ ?
Rozwiązanie
$a_{2}=4\cdot4-6=10$ . ( $58=(4\cdot2)^{2}-6$ — kwadrat całego iloczynu; $2=4\cdot2-6$ — bez kwadratu.)
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorami $a_{1}=1$ i $a_{n+1}=2a_{n}+5$ dla $n\geq1$ . Ile wynosi $a_{4}$ ?
Rozwiązanie
$a_{2}=2+5=7$ , $a_{3}=14+5=19$ , $a_{4}=38+5=43$ . ( $19=a_{3}$ — o jeden krok za mało; $91=a_{5}$ .)
W ciągu arytmetycznym $a_{1}=5$ i $r=-2$ . Ile wynosi $a_{12}$ ?
Rozwiązanie
$a_{12}=a_{1}+11r=5-22=-17$ . ( $-19=5-12\cdot2$ — $12r$ zamiast $11r$ ; $27$ — zgubiony znak $r$ ; $-24=12r$ — bez $a_{1}$ .)
W ciągu arytmetycznym $a_{2}=1$ i $a_{6}=29$ . Ile wynosi różnica tego ciągu?
Rozwiązanie
$a_{6}=a_{2}+4r$ : $29=1+4r$ , $r=7$ . ( $28=29-1$ — bez dzielenia przez $4$ ; $4=6-2$ — różnica numerów.)
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=3n-2$ dla $n\geq1$ . Ile wynosi suma dwunastu początkowych wyrazów?
Rozwiązanie
$a_{1}=1$ , $a_{12}=34$ , $\displaystyle S_{12}=\frac{1+34}{2}\cdot12=210$ . ( $34=a_{12}$ ; $420$ — bez dzielenia przez $2$ .)
W ciągu geometrycznym $a_{1}=-1$ i $q=2$ . Ile wynosi $a_{6}$ ?
Rozwiązanie
$a_{6}=a_{1}q^{5}=-1\cdot32=-32$ . ( $-64=-1\cdot2^{6}$ — $q^{6}$ zamiast $q^{5}$ ; $32$ — zgubiony znak $a_{1}$ .)
W ciągu geometrycznym $a_{1}=2$ i $a_{4}=-54$ . Ile wynosi iloraz tego ciągu?
Rozwiązanie
$a_{4}=a_{1}q^{3}$ : $\displaystyle q^{3}=\frac{-54}{2}=-27$ , $q=-3$ . ( $-27=q^{3}$ — bez pierwiastka; $3$ — zgubiony znak.)
Liczby $3$ , $x$ , $12$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, a $x>0$ . Ile wynosi $x$ ?
Rozwiązanie
Wyraz środkowy: $x^{2}=3\cdot12=36$ , $x=6$ . ( $36=x^{2}$ — bez pierwiastka; $-6$ — pominięty warunek $x>0$ ; $9=12-3$ .)
Liczby $x+1$ , $3x$ , $4x+3$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Ile wynosi $x$ ?
Rozwiązanie
Wyraz środkowy jest średnią sąsiednich: $2\cdot3x=x+1+4x+3$ , $6x=5x+4$ , $x=4$ . ( $-4$ — zły znak przy przenoszeniu.)
Jaki jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{n+1}$ dla $n\geq1$ ?
Rozwiązanie
$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ dla każdego $n$ , więc ciąg jest rosnący $\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots)$ .

5Karty pracy z ciągów

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Ciągi — pojęcie, monotoniczność, rekurencja

Wzór ogólny, wyrazy spełniające warunek, ciąg rekurencyjny, monotoniczność ciągu

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Ciąg arytmetyczny

Wzór ogólny, różnica, suma początkowych wyrazów, wyrazy spełniające warunek

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Ciąg geometryczny

Iloraz, wzór ogólny, suma początkowych wyrazów, iloczyn wyrazów, zastosowania

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Ciągi w zadaniach, procent składany

Lokaty i kapitalizacja odsetek, kolejne obniżki, ciągi arytmetyczne i geometryczne w jednym zadaniu

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

Grupy A i B mają te same typy zadań z innymi liczbami — klucz każdej grupy jest liczony osobno.
Trzy wersje PDF. Każdy arkusz jest w trzech plikach PDF: z miejscem na obliczenia pod każdym zadaniem, same zadania (zwarte, do pracy w zeszycie) i klucz odpowiedzi dla nauczyciela.
Zadania na wzór arkuszy CKE, z liczbami zmienionymi — to arkusze ćwiczeniowe, nie są tworzone ani firmowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
Zamknięte i otwarte. Zadania zamknięte mają cztery odpowiedzi do wyboru, otwarte — miejsce na rozwiązanie i punktację w kluczu.
Druk: A4, skala 100% (bez „dopasuj do strony”). Pliki są za darmo i bez rejestracji.

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Ciągiteoria z przykładami Ciąg arytmetycznyteoria z przykładami Ciąg geometrycznyteoria z przykładami Procent składanyteoria z przykładami Ciąg arytmetyczny na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Ciąg geometryczny na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 3 liceum:

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Geometria analityczna2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Graniastosłupy i ostrosłupy2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 3 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z ciągów?

Ciąg określony wzorem ogólnym: Wyraz ze wzoru, wyrazy spełniające warunek, suma wyrazów. Ciąg arytmetyczny: Wyraz i różnica, suma n wyrazów, trzy wyrazy z parametrem. Ciąg geometryczny: Iloraz i wzór ogólny, trzy wyrazy z parametrem, iloczyn wyrazów równoodległych.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 3 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 3. Ciągi, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Ciąg określony wzorem ogólnym”: 5 zadań, 5 pkt, 25 minut; Sprawdzian „Ciąg arytmetyczny”: 6 zadań, 9 pkt, 45 minut; Sprawdzian „Ciąg geometryczny”: 6 zadań, 7 pkt, 35 minut; Kartkówka „Ciągi liczbowe”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Ciąg arytmetyczny”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Ciąg geometryczny”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Ciągi w zadaniach”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Ciągi”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Ciągi — sprawdzian, kartkówki i test (3 liceum)

1Sprawdziany z ciągów

Ciąg określony wzorem ogólnym

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

2Kartkówki z ciągów

Ciągi liczbowe

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

Ciągi w zadaniach

3Test z działu

Ciągi

4Test online z ciągów — sprawdź się

5Karty pracy z ciągów

Ciągi — pojęcie, monotoniczność, rekurencja

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

Ciągi w zadaniach, procent składany

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

8Pytania i odpowiedzi

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku