Strona główna › Sprawdziany z matematyki › Liceum i technikum › Graniastosłupy i ostrosłupy

Graniastosłupy i ostrosłupy — sprawdzian, kartkówki i test (3 liceum)

Czwarty dział klasy 3: przekątne, pole powierzchni i objętość graniastosłupa i ostrosłupa, kąty w bryłach. Na tej stronie: 2 sprawdziany, 3 kartkówki, 1 test, 3 karty pracy — wszystko w PDF z kluczem odpowiedzi, w grupach A i B (karty pracy — w jednej wersji).

Klasa: 3 liceum / technikumDział w podręczniku: 4. Graniastosłupy i ostrosłupyPliki: 45 PDF-ów, za darmo

Sprawdzian: Graniastosłupy — pierwsza strona, grupa A

Sprawdzian: Graniastosłupy

  • Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość
  • 6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B
  • wersja z miejscem na obliczenia, same zadania i klucz
Pobierz sprawdzian (PDF)

Na stronie pobierania: grupy A i B, wersja z miejscem na obliczenia, same zadania, klucz i podgląd wszystkich zadań.

1Sprawdziany z graniastosłupów i ostrosłupów

Sprawdzian

Graniastosłupy

Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość

6 zadań · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Sprawdzian

Ostrosłupy

Objętość z wysokości i podstawy, pole boczne i całkowite, kąt krawędzi bocznej

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 6 pkt · 30 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

2Kartkówki z graniastosłupów i ostrosłupów

Każda kartkówka mieści się na jednej stronie: 3 zadania zamknięte i 1 otwarte, 15 minut.

Kartkówka

Graniastosłupy

sześcian, prostopadłościan, graniastosłup prawidłowy, przekątne i objętość

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Ostrosłupy

objętość, wysokość ściany bocznej, pole powierzchni bocznej

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Kartkówka

Kąty w bryłach

kąt przekątnej z podstawą, nachylenie ściany i krawędzi bocznej

4 zadania · 3 zamkn. i 1 otw. · 5 pkt · 15 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

3Test z działu

Test obejmuje cały dział: 10 zadań zamkniętych, 25 minut, z kartą odpowiedzi w nagłówku — szybkie sprawdzenie przed sprawdzianem albo po nim.

Test

Stereometria

graniastosłupy i ostrosłupy — przekątne, objętości, kąty

10 zadań · 10 pkt · 25 minut · grupy A i B

Pobierz PDF i zobacz zadaniagrupy A i B · z miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

4Test online z graniastosłupów i ostrosłupów — sprawdź się

10 pytań z całego działu, jedno po drugim. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie rozwiązanie. Pytania są inne niż w teście do druku (osobny zestaw), więc to dobre ćwiczenie przed testem albo sprawdzianem.

  1. Prostopadłościan ma wymiary 2×6×92\times6\times9. Jaką długość ma jego przekątna?

    Rozwiązanie

    d=22+62+92=121=11\displaystyle d=\sqrt{2^{2}+6^{2}+9^{2}}=\sqrt{121}=11. (17=2+6+917=2+6+9; 85=22+92\displaystyle \sqrt{85}=\sqrt{2^{2}+9^{2}} — przekątna ściany; 121=d2121=d^{2}.)

  2. Przekątna sześcianu ma długość 23\displaystyle 2\sqrt{3}. Ile wynosi objętość tego sześcianu?

    Rozwiązanie

    Przekątna sześcianu to a3\displaystyle a\sqrt{3}, więc a=2a=2 i V=23=8V=2^{3}=8. (24=6⋅2224=6\cdot2^{2} — pole powierzchni; 4=a24=a^{2}.)

  3. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 22 i wysokość 77. Ile wynosi jego objętość?

    Rozwiązanie

    Pp=2234=3\displaystyle P_{p}=\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}, V=3⋅7=73\displaystyle V=\sqrt{3}\cdot7=7\sqrt{3}. (143\displaystyle 14\sqrt{3} — pole podstawy liczone jak a232\displaystyle \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}; 42=3⋅2⋅742=3\cdot2\cdot7 — pole ścian bocznych; 3\displaystyle \sqrt{3} — samo pole podstawy.)

  4. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 1×5×61\times5\times6?

    Rozwiązanie

    2⋅(1⋅5+1⋅6+5⋅6)=2⋅41=822\cdot(1\cdot5+1\cdot6+5\cdot6)=2\cdot41=82. (30=1⋅5⋅630=1\cdot5\cdot6 — objętość; 4141 — po jednej ścianie każdego rodzaju.)

  5. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 55 i wysokość 66. Ile wynosi jego objętość?

    Rozwiązanie

    V=13⋅52⋅6=50\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot5^{2}\cdot6=50. (150=25⋅6150=25\cdot6 — bez 13\displaystyle \frac{1}{3}; 7575 — 12\displaystyle \frac{1}{2} zamiast 13\displaystyle \frac{1}{3}.)

  6. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 1616 i wysokość 1515. Ile wynosi wysokość jego ściany bocznej?

    Rozwiązanie

    Wysokość ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany tworzą trójkąt prostokątny: h=152+82=17\displaystyle h=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17. (353\displaystyle \sqrt{353} — wzięta połowa przekątnej 82\displaystyle 8\sqrt{2}, czyli krawędź boczna; 481\displaystyle \sqrt{481} — cała krawędź 1616; 23=15+823=15+8.)

  7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 88 i wysokość 43\displaystyle 4\sqrt{3}. Pod jakim kątem ściana boczna jest nachylona do podstawy?

    Rozwiązanie

    Kąt między wysokością ściany a podstawą: tg⁡α=Ha2=434=3\displaystyle \operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{\frac{a}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}, α=60∘\alpha=60^\circ. (30∘30^\circ — odwrócony iloraz.)

  8. Podstawą graniastosłupa prostego jest kwadrat o boku 33, a przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60∘60^\circ. Ile wynosi wysokość graniastosłupa?

    Rozwiązanie

    tg⁡60∘=H32\displaystyle \operatorname{tg}60^\circ=\frac{H}{3\sqrt{2}}, więc H=32⋅3=36\displaystyle H=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{6}. (33\displaystyle 3\sqrt{3} — wzięty bok zamiast przekątnej podstawy; 32\displaystyle 3\sqrt{2} — sama przekątna podstawy.)

  9. Ile krawędzi ma graniastosłup, którego podstawą jest siedmiokąt?

    Rozwiązanie

    Po siedem krawędzi w każdej z dwóch podstaw i siedem bocznych: 2121. (1414 — liczba wierzchołków albo krawędzi ostrosłupa; 99 — liczba ścian.)

  10. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 55 i 1212, a wysokość ostrosłupa jest równa 99. Ile wynosi objętość ostrosłupa?

    Rozwiązanie

    Pp=5⋅122=30\displaystyle P_{p}=\frac{5\cdot12}{2}=30, V=13⋅30⋅9=90\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot30\cdot9=90. (270270 — bez 13\displaystyle \frac{1}{3}; 180=13⋅60⋅9\displaystyle 180=\frac{1}{3}\cdot60\cdot9 — pole podstawy bez 12\displaystyle \frac{1}{2}.)

5Karty pracy z graniastosłupów i ostrosłupów

Karty pracy są do ćwiczeń na lekcji i w domu: więcej zadań, bez podziału na grupy, z kluczem w osobnym pliku.

Karta pracy

Graniastosłupy

Położenie krawędzi, przekątne, pole powierzchni i objętość graniastosłupa

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Ostrosłupy

Wysokość ostrosłupa i ściany bocznej, krawędzie boczne, pole powierzchni i objętość

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

Karta pracy

Kąty w bryłach

Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny, obliczenia z funkcji trygonometrycznych

6 zadań · 4 zamkn. i 2 otw. · 8 pkt · 40 minut · jedna wersja

Pobierz PDF i zobacz zadaniaz miejscem na obliczenia · same zadania · klucz

6Jak zbudowane są arkusze

7Teoria i pozostałe działy

Powtórka teorii przed kartkówką i sprawdzianem oraz zadania maturalne z tego działu:

Graniastosłupyteoria z przykładami Ostrosłupyteoria z przykładami Objętość graniastosłupateoria z przykładami Graniastosłupy na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Ostrosłupy na maturzezadania CKE z rozwiązaniami Kąty w bryłach na maturzezadania CKE z rozwiązaniami

Inne działy — klasa 3 liceum:

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Geometria analityczna2 sprawdziany · 3 kartkówki · 1 test · 3 karty pracy Ciągi3 sprawdziany · 4 kartkówki · 1 test · 4 karty pracy

Wszystkie arkusze — klasa 3 liceum →

8Pytania i odpowiedzi

Co jest na sprawdzianie z graniastosłupów i ostrosłupów?

Graniastosłupy: Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość. Ostrosłupy: Objętość z wysokości i podstawy, pole boczne i całkowite, kąt krawędzi bocznej.

Czy jest klucz odpowiedzi?

Tak. Każdy arkusz ma osobny PDF z kluczem: poprawne odpowiedzi do zadań zamkniętych, rozwiązania i punktację zadań otwartych — dla grupy A i B osobno.

Czy to sprawdzian z Nowej Ery?

Nie — to autorskie arkusze. Działy są ułożone w kolejności podręcznika NOWA MATeMAtyka 3 (Nowa Era, zakres podstawowy), dział 4. Graniastosłupy i ostrosłupy, więc pasują do lekcji z tym podręcznikiem, ale zadania są własne, na wzór arkuszy CKE.

Ile trwa i ile ma punktów?

Sprawdzian „Graniastosłupy”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Sprawdzian „Ostrosłupy”: 6 zadań, 6 pkt, 30 minut; Kartkówka „Graniastosłupy”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Ostrosłupy”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Kartkówka „Kąty w bryłach”: 4 zadania, 5 pkt, 15 minut; Test „Stereometria”: 10 zadań, 10 pkt, 25 minut.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Arkusze: Mateusz Będkowski, „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27