Zmiany cen w zadaniach maturalnych z procentów

**A.** \(3\)

Rozwijamy podany wzór zysku: \[Z(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-50<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\] Z treści zadania \(x\) jest wyrażone w pełnych złotych i spełnia \(1\leq x\leq14\). Liczba \(3\) jest całkowita i należy do tego przedziału, więc maksimum modelu jest osiągane wewnątrz dziedziny — nie trzeba porównywać wartości na jej krańcach. **Odpowiedź.** A. \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Cena za dobę powinna wynosić \(260\) zł.

Rozwijamy podany wzór przychodu: \[P(x)=(80-x)(120+5x)=9600+400x-120x-5x^{2}=-5x^{2}+280x+9600.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-5<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{280}{2\cdot(-5)}=28.\] Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\leq x\leq80\), należy więc do dziedziny — maksimum jest osiągane wewnątrz rozważanego zbioru, a nie na jego krańcu. Zmienna \(x\) oznacza liczbę podwyżek po \(5\) zł, zatem szukana cena to \[120+5\cdot28=120+140=260\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** Cena wynajęcia pokoju za dobę powinna wynosić \(260\) zł (przychód wynosi wtedy \(P(28)=52\cdot260=13\,520\) zł).

**2 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik: cena \(260\) zł **1 pkt** – obliczenie liczby podwyżek \(x=28\) albo równoważne wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową — wyznaczenie wierzchołka paraboli, sprawdzenie przynależności argumentu do dziedziny modelu i zinterpretowanie wyniku w kontekście zadania. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**\(32\).\(1\). A.** \(25\) **\(32\).\(2\). E.** \(60\)

Rozwijamy wzór funkcji przychodu: \[P(x)=(70-x)(20+x)=-x^2+50x+1400.\] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna \(x\) wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{50}{2\cdot(-1)}=25,\] więc największy przychód uzyskuje się dla \(x=25\). Rozwiązujemy równanie \(P(x)=800\): \[-x^2+50x+1400=800,\] \[x^2-50x-600=0.\] Mamy \(\Delta=4900\), więc \[x=\frac{50\pm70}{2}.\] Otrzymujemy \(x=60\) lub \(x=-10\). Warunki \(0\leq x\leq60\) spełnia tylko \(x=60\).

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **A** i **E** **1 pkt** – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**B.** \(1888\) zł

Po pierwszej obniżce cena stanowi \(80\%\) ceny początkowej. Po drugiej obniżce ponownie pozostaje \(80\%\) aktualnej ceny, zatem \[2950\cdot0{,}8\cdot0{,}8=1888.\] Cena po obu obniżkach wynosi \(1888\) zł.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8) Zdający wykonuje obliczenia procentowe.

**A.** \(16\frac23\%\) wartości początkowej

Obniżka wyrażona w procentach to iloraz kwoty obniżki przez cenę **początkową**: \[\frac{240-200}{240}=\frac{40}{240}=\frac16.\] Zamieniamy ułamek na procenty: \[\frac16=\frac{100}{6}\%=16\frac23\%.\] Wariant **D** \(\left(83\frac13\%\right)\) to udział nowej ceny w starej, a nie wielkość obniżki. **Odpowiedź.** **A.** \(16\frac23\%\) wartości początkowej

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(97\,200\) zł

Jeżeli cena początkowa wynosiła \(P\), to po dwóch obniżkach była równa \[0{,}9^2P=0{,}81P.\] Stąd \[P=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 wykonywanie obliczeń procentowych.

**D.** \(0{,}56x\) złotych.

Po pierwszej obniżce cena wynosi \(0{,}70x\), a po drugiej: \[0{,}80\cdot0{,}70x=0{,}56x.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie prostej sytuacji praktycznej. **Wymagania szczegółowe:** I.7 wykonywanie obliczeń procentowych, także wielokrotnych podwyżek i obniżek.

B. \(28\)%

Każdą obniżkę liczymy od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy współczynniki: \[0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72.\] Cena końcowa stanowi \(72\%\) ceny początkowej, zatem zmniejszyła się o \[100\%-72\%=28\%.\] Procentów obniżek nie wolno dodawać — suma \(20\%+10\%=30\%\) jest wariantem **C** i jest błędna, bo druga obniżka dotyczy już mniejszej podstawy. **Odpowiedź.** **B.** \(28\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**C.** \(76{,}00\) zł

Niech \(c\) oznacza cenę przed podwyżką. Po wzroście o \(40\%\) cena stanowi \(140\%\) ceny początkowej, więc \[1{,}4c=106{,}40.\] Stąd \[c=\frac{106{,}40}{1{,}4}=76{,}00.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.8 wykonywanie obliczeń procentowych.

\[x\in\left\{\frac53,2\right\}.\]

Równanie ma sens dla \[x\neq\frac23.\] Mnożymy obie strony przez \(3x-2\): \[3x+2=(3x-2)(4-x).\] Po rozwinięciu i uporządkowaniu otrzymujemy \[3x^2-11x+10=0.\] Wyróżnik tego trójmianu jest równy \[\Delta=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=1.\] Stąd \[x_1=\frac{11-1}{6}=\frac53,\qquad x_2=\frac{11+1}{6}=2.\] Obie liczby należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.

**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania wymiernego i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=\frac53\) oraz \(x=2\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(3x+2=(3x-2)(4-x)\) lub równoważnego równania kwadratowego **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zapisu \(x \neq\frac23\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.

\[x\in\left\{-\frac12,8\right\}.\]

Równanie ma sens dla \(x\neq7\). Mnożymy obie strony przez \(x-7\): \[x+8=2x(x-7).\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[2x^2-15x-8=0.\] Wyróżnik jest równy \[\Delta=(-15)^2-4\cdot2\cdot(-8)=289=17^2.\] Stąd \[x_1=\frac{15-17}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{15+17}{4}=8.\] Oba pierwiastki należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.

**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) oraz \(x=8\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(x+8=2x(x-7)\) lub równoważnego równania kwadratowego **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zastrzeżenia \(x\neq7\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań kwadratowych.

A. \(25\)%

Obniżka o \(20\%\) oznacza pomnożenie ceny przez \(0{,}8\), zatem \[y=0{,}8x.\] Podwyżkę liczy się od nowej ceny \(y\), a nie od ceny wyjściowej — to jest podstawa procentu w tym zadaniu. Szukamy \(p\) takiego, że \(y\cdot(1+p)=x\): \[1+p=\frac xy=\frac{x}{0{,}8x}=1{,}25,\qquad p=0{,}25.\] **Odpowiedź.** **A.** \(25\%\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: […]

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (1.9).

**C.** \(2677{,}50\,\text{zł}\)

Po pierwszej obniżce cena stanowi \(90\%\) ceny początkowej, a po drugiej — \(85\%\) ceny obowiązującej po pierwszej obniżce. Zatem \[3500\cdot0{,}90\cdot0{,}85=3150\cdot0{,}85=2677{,}50.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2677{,}50\,\text{zł}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - obliczenia procentowe i wielokrotne zmiany wartości.

B

Niech \(a=\frac pq\), gdzie \(p>0\) i \(q>0\). Zmniejszenie licznika o \(50\%\) daje \(0{,}5p\), a zwiększenie mianownika o \(50\%\) daje \(1{,}5q\). Zatem \[b=\frac{0{,}5p}{1{,}5q}=\frac{0{,}5}{1{,}5}\cdot\frac pq=\frac13a.\] **Odpowiedź.** **B.** \(b=\frac13a\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B. \(25\)%

Prowizja spadła z \(4\%\) na \(3\%\), czyli o **jeden punkt procentowy**. Pytanie dotyczy jednak tego, o ile **procent** zmniejszyła się prowizja — podstawą jest jej wartość początkowa \(4\%\): \[\frac{4\%-3\%}{4\%}=\frac14=25\%.\] Wariant **A** myli punkty procentowe z procentami: spadek o \(1\) punkt procentowy nie oznacza spadku o \(1\%\). **Odpowiedź.** **B.** \(25\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. (0−1) Wersja Wersja 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje III. Modelowanie I II obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk matematyczne. z lokat (1.9). B A

C

Każda z dwóch obniżek o \(10\%\) mnoży cenę przez \(0{,}9\), więc cena końcowa spełnia \[x\cdot0{,}9^2=1944,\qquad 0{,}81x=1944.\] Stąd \[x=\frac{1944}{0{,}81}=2400.\] Sprawdzenie: \(2400\cdot0{,}9=2160\), \(2160\cdot0{,}9=1944\). **Odpowiedź.** **C.** \(2400\) złotych

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

C. \(1000\),\(00\) zł

Cena po obniżce o \(15\%\) stanowi \(85\%\) ceny wyjściowej \(x\): \[0{,}85x=850.\] Stąd \[x=\frac{850}{0{,}85}=1000.\] Sprawdzenie: \(15\%\) z \(1000\) zł to \(150\) zł, a \(1000-150=850\). **Odpowiedź.** **C.** \(1000{,}00\) zł

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. (0−1) Wersja Wersja 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje III. Modelowanie I II obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk matematyczne. z lokat (1.9). C A

B

Niech \(x\) oznacza cenę przed obniżką. Obniżka o \(10\%\) to \(0{,}1x\), więc \[0{,}1x=2018,\qquad x=20\,180.\] Po obniżce towar kosztuje \[x-2018=20\,180-2018=18\,162.\] Pytanie dotyczy ceny **po** obniżce, a nie ceny wyjściowej — ta ostatnia to wariant **A**. **Odpowiedź.** **B.** \(18\,162\) zł

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B

Każda podwyżka mnoży cenę przez odpowiedni współczynnik, a druga liczona jest od ceny już podwyższonej: \[1{,}2\cdot1{,}3=1{,}56.\] Cena końcowa stanowi \(156\%\) ceny wyjściowej, więc obie podwyżki można zastąpić jedną podwyżką o \[156\%-100\%=56\%.\] Dodanie procentów \((20\%+30\%=50\%)\) daje wariant **A** i jest błędne. **Odpowiedź.** **B.** o \(56\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

B

Obniżkę odnosimy do ceny początkowej: \[\frac{220-176}{220}=\frac{44}{220}=0{,}2=20\%.\] **Odpowiedź.** **B.** \(20\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(43\%\)

Podwyżka o \(p\%\) mnoży cenę przez \(1+\frac p{100}\). Dwie kolejne podwyżki dają więc cenę \[c\cdot1{,}30\cdot1{,}10=1{,}43\,c.\] Cena wzrosła zatem \(1{,}43\) raza, czyli o \(43\%\). **Odpowiedź.** D. \(43\%\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1.9) Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

**B.** \(g(x)=f(x)-1\)

Porównujemy położenie charakterystycznych punktów obu łamanych. Dla funkcji \(f\): lewy koniec \((-6,2)\), wierzchołek \((0,5)\), poziomy odcinek na wysokości \(3\) między \(x=2\) a \(x=3\), prawy koniec \((7,-3)\). Dla funkcji \(g\): lewy koniec \((-6,1)\), wierzchołek \((0,4)\), poziomy odcinek na wysokości \(2\) między \(x=2\) a \(x=3\), prawy koniec \((7,-4)\). Odcięte punktów charakterystycznych są identyczne, a każda rzędna jest mniejsza o \(1\). Wykres funkcji \(g\) powstał więc z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([0,-1]\), czyli o jednostkę w dół, co odpowiada wzorowi \[g(x)=f(x)-1.\] Przesunięcie poziome (warianty A i C) zmieniłoby odcięte, a przesunięcie o jednostkę w górę (wariant D) podniosłoby wykres zamiast go obniżyć. **Odpowiedź.** B: \(g(x)=f(x)-1\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

A. \(44\)%

Obie obniżki liczone są od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy współczynniki: \[0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56.\] Cena końcowa stanowi \(56\%\) ceny początkowej, więc zmniejszyła się o \[100\%-56\%=44\%.\] **Odpowiedź.** **A.** \(44\%\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Modelowanie matematyczne. Wykonanie obliczeń procentowych (III.1.d).

**B.** \(20\%\)

Obniżka o \(20\%\) mnoży każdą cenę przez \(0{,}8\). Jeżeli ceny płyt przed obniżką wynosiły \(c_1\) i \(c_2\), to po obniżce zapłacimy \[0{,}8c_1+0{,}8c_2=0{,}8\,(c_1+c_2).\] Łączna kwota stanowi więc \(80\%\) kwoty wyjściowej, czyli jest mniejsza o \(20\%\). Procentowa obniżka nie zależy od liczby kupionych płyt. **Odpowiedź.** B. \(20\%\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczenia procentowe — rozpoznanie, że procentowa obniżka ceny nie zależy od liczby kupionych sztuk Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(12\%\)

Obniżka mnoży cenę przez \(0{,}8\), a późniejsza podwyżka — liczona już od nowej ceny — przez \(1{,}1\): \[0{,}8\cdot1{,}1=0{,}88.\] Cena końcowa stanowi \(88\%\) ceny pierwotnej, więc zmniejszyła się o \[100\%-88\%=12\%.\] Obniżka o \(20\%\) i podwyżka o \(10\%\) nie znoszą się do \(-10\%\), bo liczone są od różnych podstaw. **Odpowiedź.** **C.** \(12\%\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – wykonuje obliczenia procentowe.

**D.** \(24\,300\ \text{zł}\)

Dwie obniżki po \(10\%\), każda od ceny bieżącej, mnożą cenę przez \(0{,}9^2\): \[30\,000\cdot0{,}9^2=30\,000\cdot0{,}81=24\,300.\] Obniżka łączna wynosi \(19\%\), a nie \(20\%\) — dlatego wariant **A** (\(24\,400\) zł) jest błędny. **Odpowiedź.** **D.** \(24\,300\ \text{zł}\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – wykonuje kolejne obliczenia procentowe.

**D.** \(24300\ \mathrm{zł}\)

Obniżka o \(10\%\) mnoży cenę przez \(0{,}9\). Dwie kolejne obniżki dają cenę \[30\,000\cdot0{,}9\cdot0{,}9=30\,000\cdot0{,}81=24\,300\ \text{zł}.\] Zwróćmy uwagę, że druga obniżka jest liczona od ceny już obniżonej, więc łączna obniżka wynosi \(19\%\), a nie \(20\%\). **Odpowiedź.** D. \(24300\ \text{zł}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczenia procentowe — dwie kolejne obniżki liczone od cen bieżących Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

B. \(180\) zł

Cena po obniżce o \(30\%\) stanowi \(70\%\) ceny wyjściowej \(x\): \[0{,}7x=126.\] Stąd \[x=\frac{126}{0{,}7}=180.\] Sprawdzenie: \(30\%\) z \(180\) zł to \(54\) zł, a \(180-54=126\). **Odpowiedź.** **B.** \(180\ \text{zł}\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Modelowanie matematyczne. Wykonywanie obliczeń procentowych.

Przed podwyżkami litr benzyny kosztował \(4\) zł.

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie o dwóch kolejnych podwyżkach procentowych. Rzecz najważniejsza: druga podwyżka liczona jest od ceny już podwyższonej, a nie od ceny początkowej — dlatego procentów nie wolno dodawać (\(10\%\) i \(5\%\) to nie to samo co \(15\%\)). Podwyżkę o \(p\%\) najwygodniej zapisywać jako mnożenie przez czynnik \(1+\frac{p}{100}\). **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami (w złotych), przy czym \(x\gt0\). **Krok \(3\).** Po pierwszej podwyżce o \(10\%\) cena wynosi \[x+0{,}1x=1{,}1x.\] **Krok \(4\).** Po drugiej podwyżce o \(5\%\), liczonej już od kwoty \(1{,}1x\), cena wynosi \[1{,}05\cdot 1{,}1x.\] **Krok \(5\).** Z treści wiemy, że po obu podwyżkach litr kosztuje \(4{,}62\) zł, więc \[1{,}05\cdot 1{,}1x=4{,}62.\] **Krok \(6\).** Mnożymy czynniki: \(1{,}05\cdot1{,}1=1{,}155\), zatem \[1{,}155x=4{,}62\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac{4{,}62}{1{,}155}=4.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: \(4\cdot1{,}1=4{,}40\), a następnie \(4{,}40\cdot1{,}05=4{,}62\). Zgadza się. **Uwaga.** Gdyby ktoś potraktował obie podwyżki jako jedną o \(15\%\), otrzymałby \(1{,}15x=4{,}62\), czyli \(x\approx4{,}02\) — wynik błędny. Łączny współczynnik podwyżki wynosi \(1{,}155\), co odpowiada podwyżce o \(15{,}5\%\), a nie o \(15\%\). **Odpowiedź.** Przed podwyżkami litr benzyny kosztował \(4\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Oznaczam literą \(x\) cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami; \(1{,}1x\) – cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyżce; \(1{,}05\cdot 1{,}1x\) – cena jednego litra benzyny po obu podwyżkach. Zapisuję równanie: \(1{,}05\cdot 1{,}1x=4{,}62\), \(1{,}155x=4{,}62\). Rozwiązaniem równania jest \(x=4\); Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami była równa \(4\) zł.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pierwotna cena wycieczki wynosiła \(1500\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** To zadanie o procentach składanych: cena najpierw rosła, potem malała, ale każda zmiana liczona jest od innej podstawy. Znamy cenę końcową, a szukamy początkowej, więc oznaczamy ją niewiadomą i zapisujemy równanie opisujące obie zmiany po kolei. **Krok \(2\).** Niech \(x\) oznacza pierwotną cenę wycieczki (w złotych). Podwyżka o \(5\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}05\), bo nowa cena to \(100\%+5\%=105\%\) starej: \[x\ \longrightarrow\ 1{,}05x.\] **Krok \(3\).** Obniżka o \(8\%\) liczona jest już od ceny po podwyżce i oznacza mnożenie przez \(0{,}92\), bo pozostaje \(100\%-8\%=92\%\): \[1{,}05x\ \longrightarrow\ 0{,}92\cdot1{,}05x.\] **Krok \(4\).** Cena promocyjna wynosi \(1449\) zł, więc \[0{,}92\cdot1{,}05\cdot x=1449.\] **Krok \(5\).** Obliczamy iloczyn współczynników: \(0{,}92\cdot1{,}05=0{,}966\), zatem \[0{,}966x=1449.\] **Krok \(6\).** Stąd \[x=\frac{1449}{0{,}966}=\frac{1449000}{966}=1500.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: \(1500\cdot1{,}05=1575\) zł po podwyżce, a \(1575\cdot0{,}92=1449\) zł po obniżce. Zgadza się. **Uwaga.** Nie wolno łączyć procentów, mówiąc, że \(5\%\) w górę i \(8\%\) w dół daje razem \(3\%\) w dół — obie zmiany liczone są od różnych kwot. Widać to po wyniku: \(0{,}966\) to obniżka o \(3{,}4\%\), a nie o \(3\%\). **Odpowiedź.** Pierwotna cena wycieczki dla jednego uczestnika wynosiła \(1500\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] pierwotną cenę wycieczki. **1.2. (1 pkt)** – Zapisanie równania: \(0{,}92\cdot(1{,}05\cdot x)=1449\). **1.3. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania: \(x=1500\) i sformułowanie odpowiedzi. Jeśli zdający nie wprowadzi opisu niewiadomej i nie sformułuje odpowiedzi, to za tę czynność nie przyznajemy punktu. **II sposób rozwiązania.** **1.1. (1 pkt)** – Obliczenie ceny wycieczki przed obniżką: \(1449:0{,}92=1575\) zł. **1.2. (1 pkt)** – Obliczenie ceny wycieczki przed podwyżką: \(1575:1{,}05=1500\) zł. **1.3. (1 pkt)** – Podanie odpowiedzi: \(1500\) zł.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania. Mamy do czynienia z optymalizacją: zysk zależy od tego, o ile obniżymy cenę. Wprowadzamy więc jedną zmienną — wielkość obniżki — i zapisujemy zysk jako funkcję tej zmiennej. Ponieważ zarówno zysk z jednej sztuki, jak i liczba sztuk zależą od niej liniowo, ich iloczyn będzie funkcją kwadratową, a największej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy: niech \(x\) będzie obniżką ceny (w złotych). Nowa cena sprzedaży to \(160-x\) zł. **Krok \(3\).** Zysk ze sprzedaży JEDNEJ kurtki to cena sprzedaży minus cena zakupu: \[(160-x)-100=60-x.\] **Krok \(4\).** Liczba sprzedanych kurtek. Każda złotówka obniżki to jedna sztuka więcej, więc przy obniżce o \(x\) zł sprzedaż wynosi \[40+x\ \text{sztuk}.\] **Krok \(5\).** Miesięczny zysk to iloczyn zysku jednostkowego i liczby sztuk: \[f(x)=(60-x)(40+x)=2400+60x-40x-x^2=-x^2+20x+2400.\] Sensowne wartości to \(x\in\langle 0,60)\) — przy większej obniżce sklep sprzedawałby poniżej ceny zakupu. **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-1\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. Liczymy jego pierwszą współrzędną: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10.\] Liczba \(10\) należy do przedziału \(\langle 0,60)\). **Krok \(7\).** Wracamy do pytania z treści — pytano o CENĘ, a \(x\) to obniżka. Cena wynosi \[160-10=150\ \text{zł}.\] **Krok \(8\).** Dla kontroli liczymy zysk: \(f(10)=(60-10)(40+10)=50\cdot 50=2500\) zł (dla porównania przy cenie \(160\) zł zysk wynosił \(60\cdot 40=2400\) zł). **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na wyniku \(x_w=10\) i wpisanie go jako odpowiedzi. Liczba \(10\) to obniżka, a nie cena — trzeba jeszcze wykonać odejmowanie \(160-10\). **Odpowiedź.** Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] \((60-x)\) – zysk ze sprzedaży jednej kurtki, \((40+x)\) – liczba sprzedanych kurtek **5.2. (1 pkt)** – określenie funkcji \(f\) opisującej miesięczny zysk: \(f(x)=(60-x)(40+x)\) lub \(f(x)=-x^{2}+20x+2400\) **5.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości argumentu \(x_{w}\), dla której funkcja przyjmuje największą wartość: \(x_{w}=10\) **5.4. (1 pkt)** – wyznaczenie szukanej ceny: \(150\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.