Strona główna › Liczby i działania › Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań

„Najpierw mnożenie, potem dodawanie” — to wie każdy i to nie jest miejsce, w którym uczniowie tracą punkty. Tracą je na regule, o której mówi się mimochodem: działania tego samego stopnia wykonuje się od lewej do prawej. Przez nią 20−5+320 - 5 + 3 to 1818, a nie 1212.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 9

Krótko: W działaniach liczymy najpierw w nawiasach, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie; działania tego samego stopnia wykonujemy od lewej do prawej. Na przykład 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14.

Kalkulator kolejności działań — krok po kroku

Znaki: + − · : oraz ^ (potęga), nawiasy ( ) [ ] { }, przecinek dziesiętny. Kalkulator pokaże każdy krok w kolejności, w jakiej liczy się na lekcji.

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Cztery poziomy pierwszeństwa

Wyrażenie arytmetyczne czyta się nie od lewej do prawej, tylko poziomami. Dopiero w obrębie jednego poziomu obowiązuje kolejność od lewej.

poziomcoprzykład
1nawiasy — od najbardziej wewnętrznego2⋅(3+4)2 \cdot (3 + 4)
2potęgi i pierwiastki2+322 + 3^2
3mnożenie i dzielenie2+3⋅42 + 3 \cdot 4
4dodawanie i odejmowanie2+3−42 + 3 - 4

Poziomy 3 i 4 nazywa się czasem działaniami drugiego i pierwszego stopnia. Nazwa jest przydatna, bo od razu mówi, co ma pierwszeństwo: wyższy stopień idzie wcześniej.

2+3⋅4=2+12=142 + 3 \cdot 4 = 2 + \textcolor{#2F80D8}{12} = 14

Zwróć uwagę, że mnożenie nie jest „ważniejsze” w jakimś głębszym sensie — to po prostu umowa, która pozwala zapisywać wyrażenia bez lasu nawiasów. Bez niej 2+3⋅42 + 3 \cdot 4 trzeba by pisać jako 2+(3⋅4)2 + (3 \cdot 4) za każdym razem.

Kolejność wykonywania działań: 1. nawiasy, 2. potęgi i pierwiastki, 3. mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, 4. dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej — z przykładami
Kolejność wykonywania działań — cztery poziomy

2Działania równorzędne — od lewej do prawej

To jest reguła, przez którą przepada najwięcej punktów, bo brzmi jak drobiazg, a zmienia wynik.

Gdy w wyrażeniu zostały same dodawania i odejmowania, wykonujemy je po kolei od lewej. Nie „najpierw dodawanie, potem odejmowanie” — nie ma takiej reguły.

20−5+3=15+3=1820 - 5 + 3 = \textcolor{#2F80D8}{15} + 3 = 18

Odjęcie najpierw 5+35 + 3 dałoby 1212 — inny wynik, i to jest najczęstsza pomyłka w całym temacie. Bierze się z odruchu „plus przed minusem”, którego nikt nigdy nie uczył, ale który sam się nasuwa.

To samo dotyczy mnożenia i dzielenia. Są równorzędne, więc idą od lewej:

24:4⋅2=6⋅2=1224 : 4 \cdot 2 = \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 2 = 12

Policzenie najpierw 4⋅24 \cdot 2 dałoby 24:8=324 : 8 = 3 — cztery razy mniej. Jeśli autor zadania chciałby takiego wyniku, musiałby napisać 24:(4⋅2)24 : (4 \cdot 2).

Dwie zasady, nie cztery

Między poziomami — wyższy stopień pierwszy.

W obrębie poziomu — od lewej do prawej.

Wszystko inne to konsekwencje tych dwóch zdań.

Ta reguła porządkuje wszystkie działania naraz, dlatego w planie nauki o liczbach stoi zaraz po rachunkach pisemnych.

Działania równorzędne od lewej do prawej: 20 − 5 + 3 = 18 (nie 12), 24 : 4 · 2 = 12 (nie 3); wyrażenie 3 + 2 · (8 − 5)² = 21 krok po kroku
Od lewej do prawej — pułapki w kolejności działań
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Liczby i działania” (klasa 4), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Liczby i działania — cały dział, klasa 4 (12 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Liczby i działania”12 arkuszy w jednym pliku19,90 zł46,80 zł−26,90 złCała klasa 4, na cały rok72 arkuszy, 1,39 zł za arkusz99,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 19,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Nawiasy — i co robią naprawdę

Nawias nie „przyspiesza” działania — on zmienia strukturę wyrażenia. To, co w nim stoi, staje się jedną liczbą, zanim cokolwiek innego się wydarzy.

Przy kilku nawiasach zaczynamy od najbardziej wewnętrznego i wychodzimy na zewnątrz:

2⋅(10−(3+4))=2⋅(10−7)=2⋅3=62 \cdot \left( 10 - (3 + 4) \right) = 2 \cdot (10 - 7) = 2 \cdot 3 = 6

W zapisie szkolnym używa się czasem nawiasów kwadratowych dla czytelności — [ ][\,] zamiast drugiego poziomu okrągłych. Znaczą dokładnie to samo, są tylko łatwiejsze do rozróżnienia wzrokiem.

Kreska ułamkowa to ukryty nawias

To pułapka, o której podręczniki mówią rzadko. Kreska ułamkowa grupuje to, co nad nią i pod nią — działa jak para nawiasów, których nie widać.

2+43=63=2\frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2

Zapisane w jednej linii to samo wyrażenie brzmi (2+4):3(2 + 4) : 3, a nie 2+4:32 + 4 : 3. To drugie daje 2+1132 + 1\frac{1}{3}, czyli zupełnie co innego.

Ta sama zasada dotyczy pierwiastka: 9+16\sqrt{9 + 16} to 25=5\sqrt{25} = 5, a nie 3+43 + 4.

4Trudniejsze wyrażenia

Gdy w wyrażeniu jest wszystko naraz, warto liczyć etapami i zapisywać każdy z nich, zamiast próbować zrobić całość w pamięci.

36:(2+4)⋅3−5=36:6⋅3−5=6⋅3−5=18−5=1336 : (2 + 4) \cdot 3 - 5 = 36 : \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 3 - 5 = \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 3 - 5 = \textcolor{#2F80D8}{18} - 5 = 13

Cztery kroki, cztery zapisane linijki. Kuszące jest liczenie „w głowie do samego końca”, ale to właśnie tam giną nawiasy i mylą się poziomy.

Przy potęgach pamiętaj, że potęgowanie wyprzedza mnożenie: 2⋅32=2⋅9=182 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18, a nie 62=366^2 = 36. Potęga dotyczy tylko liczby stojącej bezpośrednio pod nią, chyba że nawias mówi inaczej — (2⋅3)2(2 \cdot 3)^2 to już 3636.

Uwaga na minus przed nawiasem. 10−(3+2)10 - (3 + 2) to 10−5=510 - 5 = 5. Minus dotyczy całego nawiasu, a nie tylko pierwszej liczby w środku — to najczęstsze źródło błędów w klasie siódmej, przy opuszczaniu nawiasów.

5Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry

Nie ma tu jednego działania odwrotnego, które wszystko zweryfikuje — ale są trzy sposoby, które łapią większość pomyłek.

Najskuteczniejszy jest drugi sposób. Dopisanie nawiasów w miejscach, gdzie kolejność i tak je narzuca, nie zmienia wartości wyrażenia — a natychmiast pokazuje, czy rozumiemy je tak samo, jak rozumie je matematyka.

Warto też wiedzieć, kiedy nawias jest zbędny. 2+(3⋅4)2 + (3 \cdot 4) i 2+3⋅42 + 3 \cdot 4 to to samo, więc w odpowiedzi lepiej zapisać wersję bez nawiasu. Nadmiar nawiasów nie jest błędem, ale utrudnia czytanie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: podstawowy, pułapka z działaniami równorzędnymi i wyrażenie z wszystkim naraz.

Przykład 1 Mnożenie przed dodawaniem

Oblicz 2+3⋅42 + 3 \cdot 4.

  1. Sprawdzam poziomy: nawiasów nie ma, potęg nie ma, jest mnożenie i dodawanie.
  2. Mnożenie to wyższy stopień, więc idzie pierwsze: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
  3. Zostaje dodawanie: 2+12=142 + 12 = 14.
  4. Sprawdzenie przez dopisanie nawiasu: 2+(3⋅4)=2+12=142 + (3 \cdot 4) = 2 + 12 = 14 ✓ — nawias niczego nie zmienił, bo kolejność i tak go narzucała.
  5. Kontrola sensu: gdyby ktoś liczył od lewej, dostałby (2+3)⋅4=20(2 + 3) \cdot 4 = 20 — liczbę wyraźnie większą ✓

Odpowiedź: 2+3⋅4=142 + 3 \cdot 4 = 14

To przypadek, który wszyscy znają — i dlatego rzadko jest źródłem błędów. Prawdziwe kłopoty zaczynają się w następnym przykładzie.

Przykład 2 Działania równorzędne — pułapka

Oblicz 20−5+320 - 5 + 3 oraz 24:4⋅224 : 4 \cdot 2.

  1. Pierwsze wyrażenie: zostały same dodawanie i odejmowanie, czyli działania równorzędne.
  2. Idę od lewej: 20−5=1520 - 5 = 15, potem 15+3=1815 + 3 = 18.
  3. Gdybym najpierw dodał 5+3=85 + 3 = 8, dostałbym 20−8=1220 - 8 = 12 — i to jest właśnie najczęstsza pomyłka.
  4. Drugie wyrażenie: dzielenie i mnożenie też są równorzędne, więc znów od lewej.
  5. 24:4=624 : 4 = 6, potem 6⋅2=126 \cdot 2 = 12.
  6. Gdybym najpierw pomnożył 4⋅2=84 \cdot 2 = 8, wyszłoby 24:8=324 : 8 = 3 — wynik czterokrotnie mniejszy.

Odpowiedź: 20−5+3=1820 - 5 + 3 = 18 oraz 24:4⋅2=1224 : 4 \cdot 2 = 12

Nie ma reguły „dodawanie przed odejmowaniem” ani „mnożenie przed dzieleniem”. Te pary są równorzędne i decyduje wyłącznie kolejność zapisu.

Przykład 3 Wszystko naraz

Oblicz 36:(2+4)⋅3−536 : (2 + 4) \cdot 3 - 5.

  1. Poziom pierwszy — nawias: 2+4=62 + 4 = 6. Wyrażenie to teraz 36:6⋅3−536 : 6 \cdot 3 - 5.
  2. Poziom trzeci — dzielenie i mnożenie, od lewej. Najpierw dzielenie: 36:6=636 : 6 = 6.
  3. Potem mnożenie: 6⋅3=186 \cdot 3 = 18. Wyrażenie to teraz 18−518 - 5.
  4. Poziom czwarty — odejmowanie: 18−5=1318 - 5 = 13.
  5. Sprawdzenie z pełnymi nawiasami: (36:(2+4))⋅3−5=(36:6)⋅3−5=18−5=13\left( 36 : (2 + 4) \right) \cdot 3 - 5 = (36 : 6) \cdot 3 - 5 = 18 - 5 = 13 ✓
  6. Kontrola sensu: dzielimy 3636 przez sześć i mnożymy przez trzy, więc wynik powinien być bliski dwudziestu, minus pięć ✓

Odpowiedź: 36:(2+4)⋅3−5=1336 : (2 + 4) \cdot 3 - 5 = 13

Cztery zapisane linijki zamiast liczenia w pamięci. Przy takich wyrażeniach to nie jest przesada — to najprostszy sposób, żeby po pomyłce wiedzieć, w którym kroku wystąpiła. Bez zapisanych kroków zostaje przeliczenie całego wyrażenia od nowa.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy w całej szkole podstawowej.

Dodawanie przed odejmowaniem

Skąd się bierze: Zapis 20−5+3=12\textcolor{#9b1c14}{20 - 5 + 3 = 12} powstaje z policzenia najpierw 5+35 + 3. Nie ma reguły, która by na to pozwalała — dodawanie i odejmowanie są równorzędne, więc wykonuje się je od lewej. Poprawny wynik to 1818.

Jak zrobić dobrze: Gdy zostały same działania tego samego stopnia, idź po kolei od lewej, bez wyjątków. Jeśli autor zadania chciałby, żeby 5+35 + 3 było pierwsze, musiałby napisać 20−(5+3)20 - (5 + 3).

Mnożenie przed dzieleniem

Skąd się bierze: Zapis 24:4⋅2=3\textcolor{#9b1c14}{24 : 4 \cdot 2 = 3} bierze się z przekonania, że mnożenie ma pierwszeństwo przed dzieleniem. Nie ma — to ta sama para równorzędnych działań co dodawanie i odejmowanie. Poprawny wynik to 1212, czyli cztery razy więcej.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że poziomów jest cztery, a nie sześć: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie razem, dodawanie i odejmowanie razem. W obrębie pary decyduje kolejność zapisu.

Pominięcie ukrytego nawiasu przy kresce ułamkowej

Skąd się bierze: Przepisując 2+43\frac{2 + 4}{3} do jednej linii, uczeń pisze 2+4:3\textcolor{#9b1c14}{2 + 4 : 3} i dostaje 3133\frac{1}{3} zamiast 22. Kreska ułamkowa grupuje wszystko, co nad nią — działa jak nawias, którego nie widać.

Jak zrobić dobrze: Przepisując ułamek do jednej linii, zawsze dopisz nawiasy: 2+43\frac{2 + 4}{3} to (2+4):3(2 + 4) : 3. To samo dotyczy pierwiastka — 9+16\sqrt{9 + 16} to 25\sqrt{25}, nie 9+16\sqrt{9} + \sqrt{16}.

Potęgowanie całego iloczynu zamiast jednej liczby

Skąd się bierze: Zapis 2⋅32=36\textcolor{#9b1c14}{2 \cdot 3^2 = 36} powstaje z potraktowania kwadratu jako dotyczącego całego 2⋅32 \cdot 3. Potęga dotyczy wyłącznie liczby stojącej tuż pod nią, więc 32=93^2 = 9, a całość to 1818.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj, co dokładnie stoi pod wykładnikiem. W 2⋅322 \cdot 3^2 jest to sama trójka. Jeśli potęgowany ma być cały iloczyn, musi stać w nawiasie: (2⋅3)2=62=36(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. Kilka zadań sięga materiału klas 7–8.

To zestaw z różnych działów, więc kolor za każdym razem pokazuje to samo w innym przebraniu: zielona to wielkość, od której zaczynamy (podstawa porównania, wartość wyjściowa), a czerwona to przelicznik albo druga wielkość, z którą ją zestawiamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc dostaniesz je wszystkie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:   x=5,27⋅10−3\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3},   y=0,0023\;y = 0{,}0023,   z=1400⋅10−5\;z = 1400 \cdot 10^{-5}. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?
  • A. x<y<zx < y < z
  • B. y<x<zy < x < z
  • C. z<y<xz < y < x
  • D. x<z<yx < z < y
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
  2. x=5,27⋅10−3x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}} — przesuwamy przecinek o 3\textcolor{#E0453A}{3} miejsca w lewo: x=0,00527x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}.
  3. y=0,0023y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023} — już jest w zapisie dziesiętnym.
  4. z=1400⋅10−5z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}} — przesuwamy przecinek o 5\textcolor{#E0453A}{5} miejsc w lewo: z=0,014z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}.
  5. Porównujemy: 0,0023<0,00527<0,014\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}, czyli y<x<zy < x < z.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: 0,002300{,}00230, 0,005270{,}00527, 0,014000{,}01400. Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane jest równanie   5+1−x2=2(x−1)\;5 + \dfrac{1 - x}{2} = 2(x - 1). Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba
  • A. 22
  • B. 2122\dfrac{1}{2}
  • C. 33
  • D. 4134\dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw pozbywamy się ułamka — mnożymy całe równanie przez 2\textcolor{#E0453A}{2}:
  2. 2⋅5+(1−x)=2⋅2(x−1)\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 5 + (1 - x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2(x - 1), czyli 10+1−x=4(x−1)10 + 1 - x = 4(x - 1).
  3. Porządkujemy lewą stronę i opuszczamy nawias po prawej: 11−x=4x−411 - \textcolor{#16A06A}{x} = 4\textcolor{#16A06A}{x} - 4.
  4. Przenosimy niewiadome na prawo, liczby na lewo: 11+4=4x+x11 + 4 = 4\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x}, czyli 15=5x15 = 5\textcolor{#16A06A}{x}.
  5. Stąd x=3\textcolor{#16A06A}{x} = 3 — odpowiedź C.
  6. Sprawdzenie: lewa strona 5+1−32=5−1=45 + \dfrac{1-3}{2} = 5 - 1 = 4; prawa 2(3−1)=42(3-1) = 4 ✓

💡 Wskazówka: Mnożąc równanie przez liczbę, pamiętaj o każdym składniku po obu stronach — także o tych bez ułamka. Tu piątka też musi zostać pomnożona przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka, a pominięcie piątki i prawej strony. Zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie — zajmuje kilkanaście sekund.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Fragment etykiety opakowania śmietany — wartość odżywcza w 100 g produktu:
tłuszcz18 g
węglowodany4 g
białko3 g
sól0,15 g
Uzupełnij zdania.
W opakowaniu zawierającym 200 g tej śmietany jest AB dag białka.
  • A. 0,60{,}6
  • B. 0,060{,}06
Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest CD razy większa od masy soli.
  • C. 1212
  • D. 120120
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Pierwsze zdanie. W 100 g jest 3\textcolor{#16A06A}{3} g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest 3⋅2=6\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6 g.
  2. Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc 66 g =6:10=0,6= 6 : 10 = 0{,}6 dag — odpowiedź A.
  3. Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
  4. 180,15=180015=120\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120 — odpowiedź D.
  5. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: 180,15=180015\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}. Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:   −8°C\;-8°C,   −5°C\;-5°C,   −3°C\;-3°C,   −2°C\;-2°C.
Temperatura w Karpaczu była o 6°C6°C wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę −5°-5° zanotowano w
  • A. Szklarskiej Porębie.
  • B. Zakopanem.
  • C. Karpaczu.
  • D. Wiśle.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zaczynamy od warunku, który daje konkretną liczbę — różnicę 6°C6°C między Karpaczem a Szklarską Porębą.
  2. Szukamy wśród podanych temperatur pary różniącej się dokładnie o 6: −8\textcolor{#16A06A}{-8} i −2\textcolor{#16A06A}{-2}, bo −2−(−8)=6\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = 6 ✓
  3. Karpacz jest cieplejszy, więc Karpacz =−2°C= \textcolor{#16A06A}{-2}°C, a Szklarska Poręba =−8°C= \textcolor{#16A06A}{-8}°C.
  4. Zostają dwie temperatury: −5\textcolor{#E0453A}{-5} i −3\textcolor{#E0453A}{-3} — dla Wisły i Zakopanego.
  5. Wisła była chłodniejsza niż Zakopane, a −5<−3\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-3}, więc Wisła =−5°C= \textcolor{#E0453A}{-5}°C, Zakopane =−3°C= \textcolor{#E0453A}{-3}°C.
  6. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zacznij od najbardziej „sztywnego” warunku — takiego, który jednoznacznie wskazuje parę liczb. Reszta zwykle układa się sama.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie temperatur ujemnych jak dodatnich — uznanie, że −5-5 jest „większe” od −3-3, bo 5>35 > 3. Im dalej od zera w stronę minusa, tym zimniej.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:
I. −9,25-9{,}25  ·  II. −1,25-1{,}25  ·  III. 1,251{,}25  ·  IV. 9,259{,}25
Do której z liczb I–IV należy dodać liczbę (−4)(-4), aby otrzymać liczbę (−5,25)(-5{,}25)?
  • A. I
  • B. II
  • C. III
  • D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Szukamy liczby a\textcolor{#16A06A}{a}, dla której a+(−4)=−5,25\textcolor{#16A06A}{a} + (\textcolor{#E0453A}{-4}) = -5{,}25.
  2. Przenosimy czwórkę na drugą stronę — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  3. a=−5,25+4=−1,25\textcolor{#16A06A}{a} = -5{,}25 + \textcolor{#E0453A}{4} = -1{,}25.
  4. To liczba II — odpowiedź B.
  5. Sprawdzenie: −1,25+(−4)=−5,25-1{,}25 + (-4) = -5{,}25 ✓

💡 Wskazówka: Kontrola bez rachunków: dodajemy liczbę ujemną, więc wynik musi być mniejszy od szukanej liczby. Skoro wynik to −5,25-5{,}25, szukana liczba jest od niego większa — to od razu skreśla odpowiedź I.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 4 zamiast dodania przy przenoszeniu na drugą stronę (wychodzi −9,25-9{,}25, czyli kusząca odpowiedź A).

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Działka ma powierzchnię 200 arów. Warzywa zajmują 130 arów, jabłonie rosną na 15\dfrac{1}{5} pozostałej części działki, a resztę zajmują śliwy. Dokończ zdanie.
Śliwy zajmują powierzchnię
  • A. 1414 arów.
  • B. 3030 arów.
  • C. 5656 arów.
  • D. 7070 arów.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — co zostaje po warzywach? 200−130=70200 - 130 = \textcolor{#16A06A}{70} arów.
  2. Krok 2 — jabłonie. To 15\tfrac15 pozostałej części, czyli 15\tfrac15 z 70\textcolor{#16A06A}{70}: 70:5=14\textcolor{#16A06A}{70} : \textcolor{#E0453A}{5} = 14 arów.
  3. Krok 3 — śliwy. To cała reszta: 70−14=56\textcolor{#16A06A}{70} - 14 = 56 arów.
  4. Odpowiedź C.
  5. Szybciej: skoro jabłonie zajmują 15\tfrac15 reszty, to śliwy 45\tfrac45 reszty: 45⋅70=56\tfrac45 \cdot \textcolor{#16A06A}{70} = 56 arów ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „15\tfrac15 pozostałej części” oznacza, że ułamek liczymy od 70 arów, a nie od całych 200. To najczęstsza pułapka w tego typu zadaniach.

⚠ Trzy kuszące błędne odpowiedzi naraz: 70 arów to cała reszta (bez odjęcia jabłoni), 14 arów to same jabłonie, a 30 arów wychodzi przy liczeniu 15\tfrac15 z 200 arów.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego
  • A. 2020 razy.
  • B. 200200 razy.
  • C. 2 0002\,000 razy.
  • D. 20 00020\,000 razy.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Masy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy.
  2. 11 tona =1000= \textcolor{#E0453A}{1000} kg, więc słoń waży 6⋅1000=60006 \cdot \textcolor{#E0453A}{1000} = \textcolor{#16A06A}{6000} kg.
  3. Teraz dzielimy: 6000:3=2000\textcolor{#16A06A}{6000} : 3 = 2000.
  4. Odpowiedź C — słoń jest 2000 razy cięższy.

💡 Wskazówka: Zawsze zamień jednostki przed dzieleniem. Zapamiętaj: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 kg = 100 dag.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 6:3=26 : 3 = 2 i dopisanie zer „na oko”. Wynik różni się wtedy o cały rząd wielkości — stąd wśród odpowiedzi aż trzy warianty z zerami.

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Podczas spaceru w czasie każdych 10 sekund Ewa robi taką samą liczbę aa kroków. Ile kroków zrobi Ewa w czasie 3 minut tego spaceru?
  • A. 6a6a
  • B. 18a18a
  • C. 30a30a
  • D. 180a180a
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Sprowadzamy czas do jednej jednostki: 33 minuty =3⋅60=180= 3 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{180} sekund.
  2. Teraz pytanie brzmi: ile razy 10\textcolor{#E0453A}{10}-sekundowy odcinek mieści się w 180\textcolor{#16A06A}{180} sekundach?
  3. 180:10=18\textcolor{#16A06A}{180} : \textcolor{#E0453A}{10} = 18 takich odcinków.
  4. W każdym Ewa robi aa kroków, więc razem: 18a18a — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na dwa kroki: najpierw ile razy mieści się dana jednostka czasu, potem pomnóż przez liczbę kroków. Nie mnóż od razu przez 180.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie 180⋅a180 \cdot a (kusząca odpowiedź D) — czyli potraktowanie aa jako liczby kroków na sekundę, a nie na dziesięć sekund.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem równania   −2(x−1)−3(2−x)=0  \;-2(x - 1) - 3(2 - x) = 0\; jest liczba
  • A. −4-4
  • B. −1,6-1{,}6
  • C. 0,80{,}8
  • D. 44
  • E. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Opuszczamy nawiasy, pilnując znaków — przed oboma stoi minus.
  2. −2(x−1)=−2x+2-2(x - 1) = \textcolor{#16A06A}{-2x} + 2  (bo −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1) = +2).
  3. −3(2−x)=−6+3x-3(2 - x) = -6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x}  (bo −3⋅(−x)=+3x-3 \cdot (-x) = +3x).
  4. Składamy: −2x+2−6+3x=0\textcolor{#16A06A}{-2x} + 2 - 6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x} = 0.
  5. Redukujemy wyrazy podobne: −2x+3x=x\textcolor{#16A06A}{-2x + 3x} = \textcolor{#16A06A}{x} oraz 2−6=−4\textcolor{#E0453A}{2 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}.
  6. Zostaje x−4=0\textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{- 4} = 0, czyli x=4\textcolor{#16A06A}{x} = 4 — odpowiedź D.
  7. Sprawdzenie: −2(4−1)−3(2−4)=−6−3⋅(−2)=−6+6=0-2(4-1) - 3(2-4) = -6 - 3 \cdot (-2) = -6 + 6 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Przy dwóch nawiasach z minusem wypisz osobno cztery iloczyny ze znakami, zanim je zsumujesz. To dłuższe o pięć sekund, ale znacznie pewniejsze.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie −3⋅(−x)-3 \cdot (-x) jako −3x-3x. Wtedy wyrazy z xx się dodają zamiast redukować i wynik wychodzi ujemny — ale takiej liczby nie ma wśród odpowiedzi. Odpowiedź B bierze się z pomylenia znaku w obu nawiasach, a E — tylko w pierwszym.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B2. C3. A, D4. D5. B6. C
7. C8. B9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Kolejność wykonywania działań, klasy 4–5 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Kolejność wykonywania działań, klasy 4–5 — 12 kart pracy PDF z kluczem

12 kart pracy z matematyki dla klas 4–5: mnożenie przed dodawaniem, nawiasy okrągłe i kwadratowe, potęgi, znajdź błąd, zadania tekstowe. Na…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Najpierw nawiasy — od najbardziej wewnętrznego, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Kluczowe uzupełnienie: w obrębie tego samego poziomu działania wykonuje się od lewej do prawej.

Co jest pierwsze — mnożenie czy dzielenie?

Żadne. To działania równorzędne, więc decyduje kolejność zapisu, czyli idziemy od lewej. W 24:4⋅224 : 4 \cdot 2 najpierw dzielimy i wychodzi 1212; policzenie najpierw mnożenia dałoby 33, czyli wynik czterokrotnie mniejszy.

Ile wynosi 20−5+320 - 5 + 3?

Osiemnaście. Odejmowanie i dodawanie są równorzędne, więc liczymy od lewej: 20−5=1520 - 5 = 15, potem 15+3=1815 + 3 = 18. Częsty błąd to policzenie najpierw 5+35 + 3 i otrzymanie 1212 — nie istnieje reguła dająca dodawaniu pierwszeństwo przed odejmowaniem.

Czy kreska ułamkowa działa jak nawias?

Tak. Grupuje wszystko, co stoi nad nią, i wszystko pod nią. Dlatego 2+43\frac{2 + 4}{3} przepisane do jednej linii to (2+4):3=2(2 + 4) : 3 = 2, a nie 2+4:32 + 4 : 3. Ta sama zasada dotyczy znaku pierwiastka.

Po co w ogóle są nawiasy, skoro jest kolejność działań?

Żeby móc zmienić tę kolejność, gdy zadanie tego wymaga. Bez nawiasów 2+3⋅42 + 3 \cdot 4 zawsze znaczy 1414; jeśli chcemy 2020, musimy napisać (2+3)⋅4(2 + 3) \cdot 4. Nawias jest najprostszym sposobem, żeby dodawanie wyprzedziło mnożenie, ale nie jedynym: tę samą rolę pełnią kreska ułamkowa i znak pierwiastka. W 9+16⋅2=10\sqrt{9 + 16} \cdot 2 = 10 dodawanie idzie pierwsze, choć nawiasu nie ma — bez tego grupowania wyszłoby 3535.

Czy można dopisywać nawiasy dla pewności?

Tak i to dobra metoda sprawdzania. Dopisanie nawiasów w miejscach, które kolejność i tak narzuca, nie zmienia wartości wyrażenia — jeśli po ich dopisaniu wynik się zmienił, pierwotny rachunek był błędny. W odpowiedzi lepiej jednak zostawić zapis bez zbędnych nawiasów.

Co jest pierwsze — dodawanie czy odejmowanie?

Żadne nie ma pierwszeństwa. Dodawanie i odejmowanie wykonuje się po kolei, od lewej do prawej: 10−4+3=6+3=910 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9, a nie 10−7=310 - 7 = 3.

Czytaj dalej

Tabliczka mnożenia do 100Bez niej każde wyrażenie z mnożeniem zwalnia do tempa liczenia na palcachDzielenie pisemne liczbGdy dzielenie w wyrażeniu nie wychodzi w pamięciUłamki zwykłe od podstawKreska ułamkowa jako ukryty nawias — stąd się to bierzeCechy podzielności liczbJak z góry wiedzieć, czy dzielenie w wyrażeniu wyjdzie równoKwadraty i sześciany liczb naturalnychCo znaczy kwadrat i sześcian liczby, skąd wzięły się te nazwy i dlaczego 3 do…Kolejność działań w klasie 4Podstawowe zasady z przykładami.Kolejność działań w klasie 5Ułamki dziesiętne i nawiasy kwadratowe.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09