Płatny materiał · sklep
Dzielenie pisemne — kartkówka, klasa 5
Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Liczby i działania › Dzielenie pisemne liczb — krok po kroku
Dzielenie pisemne liczb — krok po kroku
Dzielenie pisemne to jedyne z czterech działań, w którym zaczyna się od lewej strony, a nie od prawej. Już samo to wystarcza, żeby się pogubić. Reszta trudności bierze się z jednego kroku, który wszyscy wykonują w głowie i nikt go nie zapisuje: szacowania, ile razy dzielnik się zmieści.
Krótko: Dzielenie pisemne zaczynamy od lewej strony: dzielimy kolejne cyfry dzielnej przez dzielnik, mnożymy, odejmujemy i znosimy następną cyfrę. Na przykład 156 : 12 = 13.
Przejdź od razu do zadań (4) ↓
Dzielenie w słupku wymaga najwięcej powtórzeń ze wszystkich działań pisemnych, dlatego przydadzą się karty pracy z dzieleniem pisemnym do druku.
1Na czym polega ten algorytm
Dzielenie pisemne to seria pytań tego samego typu: ile razy dzielnik mieści się w tym, co mam w tej chwili? Odpowiedź zapisujemy nad kreską, mnożymy z powrotem, odejmujemy — i ściągamy następną cyfrę.
- podziel — ile razy dzielnik mieści się w bieżącej liczbie,
- pomnóż — wynik przez dzielnik,
- odejmij — od bieżącej liczby,
- ściągnij następną cyfrę i zacznij od nowa.
Te cztery kroki powtarzają się aż do wyczerpania cyfr. Warto je nazwać dziecku po kolei i wymawiać na głos przy pierwszych przykładach — pomyłki zwykle biorą się z pominięcia jednego z nich, najczęściej odejmowania.
Dlaczego od lewej? Bo dzielimy największe części najpierw. Rozdzielając złotych między czterech ludzi, zaczynasz od setek: każdy dostaje po dwie, zostaje jedna setka do rozmienienia. Dokładnie to robi algorytm.
2Dzielnik jednocyfrowy
Najprostszy przypadek i wart opanowania do końca, bo do niego sprowadzają się wszystkie trudniejsze.
Weź . Dziewiątka podzielona przez cztery to dwa (reszta jeden), więc nad dziewiątką piszemy . Mnożymy , odejmujemy od dziewięciu — zostaje . Ściągamy trójkę i mamy .
Trzynaście przez cztery to trzy (reszta jeden), więc dopisujemy . Mnożymy , odejmujemy od trzynastu — zostaje . Ściągamy szóstkę i mamy .
Szesnaście przez cztery to równo cztery, bez reszty. Wynik: .
Cały rachunek stoi na tabliczce mnożenia — w każdym kroku pytamy o to samo, o co pyta tabliczka, tylko od tyłu. Dziecko, które musi liczyć na palcach, przy dzieleniu pisemnym gubi się nie w algorytmie, tylko w rachunku.
Dzielenie pisemne wprowadza się jako ostatnie, bo wymaga pewności w trzech wcześniejszych rachunkach — opisałem je tam, gdzie pozostałe działania pisemne.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Działania pisemne” (klasa 4), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Działania pisemne”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł31,20 zł−16,30 złCała klasa 4, na cały rok72 arkuszy, 1,39 zł za arkusz99,90 zł
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Skąd biorą się zera w wyniku
To najczęstsza pułapka całego działania i warto ją omówić osobno.
Gdy po ściągnięciu cyfry bieżąca liczba jest mniejsza od dzielnika, dzielnik mieści się w niej zero razy — i to zero trzeba zapisać w wyniku. Uczniowie odruchowo je pomijają, bo „nic z tego nie wyszło”.
Weź . Sześć przez trzy to dwa. Ściągamy jedynkę: jeden przez trzy to zero — i właśnie ten zapis ginie. Ściągamy ósemkę, mamy , czyli sześć.
Pominięcie zera daje zamiast — wynik nie tylko błędny, ale absurdalny: pomnożone przez trzy to , a nie .
Reguła, która to wyłapuje
Wynik ma o jedną cyfrę więcej, niż razy ściągałeś — pierwsza cyfra powstaje przed ściąganiem, a każde ściągnięcie dokłada jedną kolejną, choćby była nią zero.
Przy ściągaliśmy dwa razy, plus pierwsza cyfra — razem trzy cyfry. Wynik dwucyfrowy jest więc na pewno błędny.
4Dzielnik dwucyfrowy i trzycyfrowy
Algorytm się nie zmienia — trudniejsze jest tylko zgadnięcie, ile razy się zmieści, bo tabliczka mnożenia już nie wystarcza.
Sposób jest jeden: szacowanie przez zaokrąglenie. Przy dzieleniu przez myśl o dwudziestce albo o trzydziestce, przy dzieleniu przez — o dwudziestce. Potem sprawdź mnożeniem i skoryguj.
| dzielnik | zaokrąglij do | ile razy mieści się w 187 |
|---|---|---|
| , sprawdź: ✓ | ||
| , ale reszta przekracza — zwiększam o jeden: ✓ | ||
| , sprawdź: ✓ |
Szacunek bywa o jeden za duży albo za mały i to jest normalne — dlatego zawsze sprawdzamy mnożeniem, zanim odejmiemy. Gdy iloczyn przekroczy bieżącą liczbę, zmniejszamy cyfrę o jeden; gdy reszta wyjdzie większa od dzielnika, zwiększamy.
Podstawa programowa przewiduje dzielenie przez liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe, więc dzielnik trzycyfrowy nie jest ciekawostką. Metoda jest ta sama: zaokrąglamy do albo i szacujemy.
5Reszta i sprawdzenie
Nie każde dzielenie wychodzi równo. Gdy po ostatnim odejmowaniu coś zostaje, to jest reszta — i ma jedną żelazną własność.
Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika. Jeśli wyszła większa albo równa, to znaczy, że ostatnia cyfra ilorazu jest za mała i trzeba ją zwiększyć.
Zapisujemy to zwykle tak: daje i resztę . Sprawdzenie jest naturalne:
To sprawdzenie warto robić zawsze, bo wyłapuje każdy rodzaj błędu w tym działaniu — i zgubione zero, i zły szacunek, i pomyłkę w odejmowaniu. Zajmuje kilkanaście sekund i jest najpewniejszą z kontroli; szybsze, choć zgrubne, jest oszacowanie wyniku, które wychwytuje pomyłki o cały rząd wielkości.
Ten sam zapis w postaci ogólnej wygląda tak — i w tej właśnie formie żąda go podstawa programowa:
Litery znaczą kolejno: — dzielna, — dzielnik, — iloraz (wynik), — reszta. Warunek jest tą samą „żelazną własnością” co wyżej, tylko zapisaną symbolami: reszta nie może być ujemna ani sięgnąć dzielnika. Dla naszego przykładu , , , — i rzeczywiście .
Gdy zadanie wymaga wyniku dokładnego, resztę można rozwinąć dalej po przecinku — to już dzielenie z wynikiem dziesiętnym. Dopisujemy przecinek i zera, i ciągniemy algorytm.
6Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady: dzielnik jednocyfrowy, dwucyfrowy i dzielenie z resztą.
Przykład 1 Dzielnik jednocyfrowy
Oblicz .
- Zaczynam od lewej: czwórka mieści się w dziewiątce dwa razy, bo , a to już za dużo. Piszę .
- Odejmuję: . Ściągam trójkę — mam .
- Czwórka mieści się w trzynastce trzy razy, bo . Piszę .
- Odejmuję: . Ściągam szóstkę — mam .
- równo. Piszę , reszty nie ma.
- Sprawdzenie mnożeniem: ✓
Odpowiedź:
Wynik ma trzy cyfry, bo ściągałem dwa razy plus pierwsza cyfra. Ta rachuba to najprostszy sposób, żeby zauważyć zgubione zero.
Przykład 2 Dzielnik dwucyfrowy
Oblicz .
- Dzielnik jest dwucyfrowy, więc biorę pierwsze dwie cyfry: . To mniej niż , więc biorę trzy: .
- Szacuję: to mniej więcej ćwierć setki, więc w zmieści się około siedmiu razy. Sprawdzam: ✓, a to za dużo.
- Piszę , odejmuję: . Ściągam piątkę — mam .
- równo, bo .
- Piszę . Wynik: , bez reszty.
- Sprawdzenie mnożeniem: ✓
Odpowiedź:
Zwróć uwagę na pierwszy krok: gdy dwie pierwsze cyfry są mniejsze od dzielnika, bierzemy trzy — i wtedy wynik ma o jedną cyfrę mniej, niż mogłoby się wydawać.
Przykład 3 Dzielenie z resztą
Oblicz i podaj resztę.
- Siódemka mieści się w sześć razy, bo . Piszę , odejmuję: .
- Ściągam szóstkę — mam . Siódemka mieści się w pięć razy, bo . Piszę , zostaje .
- Ściągam siódemkę — mam . Siódemka mieści się w dwa razy, bo . Piszę , zostaje .
- Cyfr już nie ma, więc to reszta.
- Sprawdzam warunek: reszta jest mniejsza od dzielnika ✓
- Sprawdzenie mnożeniem: ✓
Odpowiedź: reszty
Warunek „reszta mniejsza od dzielnika” jest darmową kontrolą ostatniego kroku. Gdyby wyszła reszta , znaczyłoby to, że ostatnia cyfra ilorazu jest o jeden za mała.
7Najczęstsze błędy
Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość błędnych wyników w tym działaniu.
Pominięcie zera w wyniku
Skąd się bierze: Gdy po ściągnięciu cyfry bieżąca liczba jest mniejsza od dzielnika, uczeń uznaje, że „nic nie wyszło”, i nie zapisuje nic. Przy daje to zamiast — wynik prawie dziesięciokrotnie za mały, choć każdy pojedynczy rachunek był poprawny.
Jak zrobić dobrze: Policz, ile razy ściągałeś cyfrę. Wynik musi mieć tyle cyfr plus jedną — każde ściągnięcie daje cyfrę ilorazu, także wtedy, gdy jest nią zero. I sprawdź mnożeniem: nijak nie przypomina .
Reszta większa od dzielnika
Skąd się bierze: Zapis powstaje, gdy szacunek był za ostrożny. Reszta jest większa od dzielnika , więc siódemka zmieściłaby się jeszcze raz — poprawnie jest i reszta .
Jak zrobić dobrze: Po każdym odejmowaniu porównaj resztę z dzielnikiem. Jeśli jest większa albo równa, zwiększ cyfrę ilorazu o jeden i policz jeszcze raz. To sprawdzenie zajmuje sekundę i wyłapuje cały ten rodzaj pomyłki.
Zapominanie o odejmowaniu
Skąd się bierze: Uczeń podaje cyfrę ilorazu, mnoży, ale zamiast odjąć — ściąga od razu następną cyfrę. Rachunek toczy się dalej i wygląda porządnie, a wynik jest zupełnie inny. To błąd typowy dla osób, które opanowały algorytm ze słuchu, nie ze zrozumienia.
Jak zrobić dobrze: Wymawiaj cztery kroki na głos: podziel, pomnóż, odejmij, ściągnij. Przy pierwszych przykładach zapisuj każde odejmowanie w osobnej linii — pominięcie stanie się wtedy widoczne.
Szacowanie bez sprawdzenia przy dzielniku dwucyfrowym
Skąd się bierze: Przy dzieleniu przez uczeń zaokrągla do , dostaje cyfrę i pisze ją bez weryfikacji. Zaokrąglenie dzielnika w górę sprawia, że szacunek bywa o jeden za mały, a wtedy reszta wychodzi większa od dzielnika.
Jak zrobić dobrze: Po oszacowaniu zawsze pomnóż z powrotem, zanim odejmiesz. Jeśli iloczyn przekracza bieżącą liczbę, zmniejsz cyfrę o jeden; jeśli po odjęciu reszta jest za duża — zwiększ. Szacunek to propozycja, nie odpowiedź.
Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zadania tekstowe
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.
Kolor pokazuje najważniejszą decyzję w każdym zadaniu tekstowym: zielona to wielkość, którą oznaczamy literą — zawsze ta, do której odnoszą się pozostałe. Czerwona to reszta, zapisana już przez nią. Dobry wybór zielonej rozwiązuje połowę zadania; zły — zamienia je w gąszcz ułamków.
Zadania otwarte
Zadanie 1 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze
Drużynę harcerską można podzielić na 4-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła o 3 osoby mniej, to harcerzy można by podzielić na zespoły 5-osobowe. Liczba zespołów 5-osobowych byłaby o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych. Oblicz, ile osób jest w tej drużynie. Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 28 osób
- Oznaczamy przez liczbę harcerzy w drużynie.
- Liczba zespołów 4-osobowych: .
- Gdyby było o 3 osoby mniej, zespołów 5-osobowych byłoby: .
- Warunek — zespołów pięcioosobowych jest o mniej: .
- Mnożymy obie strony przez 20, żeby pozbyć się ułamków: .
- , czyli .
- Odpowiedź: w drużynie jest 28 osób.
- Sprawdzenie: zespołów czteroosobowych, zespołów pięcioosobowych, a ✓
💡 Wskazówka: Przy równaniu z dwoma ułamkami pomnóż obie strony przez NWW mianowników (tu 20). Zadanie zamienia się wtedy w proste równanie liniowe.
⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie ( jest poprawne, ale już nie). Zespołów pięcioosobowych jest mniej, bo są liczniejsze.
Zadanie 2 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze
Do pracowni komputerowej kupiono 6 myszek bezprzewodowych i 6 myszek przewodowych. Cena myszki bezprzewodowej była o 11 zł wyższa od ceny myszki z przewodem. Za zakup wszystkich myszek zapłacono 234 zł. Ile najwięcej myszek bezprzewodowych można by kupić za tę kwotę? Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 9 myszek
- Oznaczamy przez cenę myszki przewodowej (tańszej). Bezprzewodowa kosztuje .
- Kupiono po 6 sztuk każdego rodzaju za 234 zł: .
- , czyli , więc zł.
- Myszka bezprzewodowa kosztuje zł.
- Teraz drugie pytanie: ile takich myszek kupimy za 234 zł? .
- Myszek nie kupuje się na sztuki ułamkowe, więc zaokrąglamy w dół: 9 myszek (za zł, zostaje zł).
- Odpowiedź: za tę kwotę można kupić najwyżej 9 myszek bezprzewodowych.
💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw równanie na cenę, potem dzielenie z zaokrągleniem w dół. Przy „ile najwięcej” resztę zawsze się odrzuca.
⚠ Dwa typowe błędy: (1) zaokrąglenie w górę do 10 (zabrakłoby 16 zł); (2) podzielenie 234 zł przez cenę myszki przewodowej — zadanie pyta o bezprzewodowe.
Zadanie 3 (marzec 2020)2 pktśrednie
Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 15 zł
- Najpierw zamieniamy jednostki: dag kg, dag kg.
- Zauważ, że razem daje to kg — czyli od razu dokładnie kilogram mieszanki.
- Koszt rodzynek: zł.
- Koszt pestek: zł.
- Razem: zł — i to jest cena za cały kilogram mieszanki.
- Odpowiedź: 1 kilogram mieszanki kosztuje 15 zł.
💡 Wskazówka: Sprawdź na początku, czy składniki sumują się do okrągłej masy — tutaj do 1 kg, więc na końcu nie trzeba nic przeliczać. To częsty zabieg w zadaniach o mieszankach.
⚠ Najczęstszy błąd: policzenie średniej cen zł. To działałoby tylko przy równych masach — a tu pestek jest więcej, więc mieszanka jest droższa.
Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)3 pkttrudniejsze
Uczniowie klas trzecich pojechali na wycieczkę pociągiem. W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o 3 przedziały więcej. Ilu uczniów pojechało na tę wycieczkę? Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: 72 uczniów
- Oznaczamy przez liczbę uczniów. Liczba przedziałów zależy od tego, ilu wsiada do każdego.
- Po ośmioro: przedziałów. Po sześcioro: przedziałów.
- Warunek: przy sześciu osobach przedziałów jest o więcej:
- .
- Mnożymy obie strony przez 24 (NWW mianowników): .
- Stąd .
- Odpowiedź: na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
- Sprawdzenie: przedziałów, przedziałów, a ✓
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na kierunek: mniej osób w przedziale to więcej przedziałów. To zależność odwrotnie proporcjonalna — dlatego plus stoi przy ułamku z szóstką.
⚠ Najczęstszy błąd: zapisanie warunku odwrotnie () — wychodzi wtedy wynik ujemny, co powinno od razu zwrócić uwagę.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
| 1. 28 osób | 2. 9 myszek | 3. 15 zł | 4. 72 uczniów |
Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Mnożenie i dzielenie pisemne — kartkówka, klasa 4
Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Płatny materiał · sklep
Działania pisemne — kartkówka, klasa 5
Liczby i działania: odejmowanie, mnożenie i dzielenie sposobem pisemnym.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.
Karty pracy · sklep
Dzielenie pisemne przez liczbę dwucyfrową – 10 kart pracy PDF
10 kart pracy PDF, 60 zadań i pełny klucz. Dzielenie przez dwucyfrowy dzielnik: szacowanie, kolejne kroki, zero w ilorazie i reszta. Zobacz…
10,90 zł
Zobacz w sklepie →
Karty pracy · sklep
Działania pisemne krok po kroku – 12 kart PDF
12 kart A4 · 114 zadań · klucz odpowiedzi. Działania pisemne w 3 poziomach dla klasy 4. Pobierz bezpłatną próbkę PDF .
12,90 zł
Zobacz w sklepie →8Pytania i odpowiedzi
Jak dzielić pisemnie krok po kroku?
Powtarzaj cztery czynności: podziel (ile razy dzielnik mieści się w bieżącej liczbie), pomnóż wynik przez dzielnik, odejmij, ściągnij następną cyfrę. Zaczynasz od lewej strony — to jedyne działanie pisemne, w którym nie idzie się od prawej. Kończysz, gdy zabraknie cyfr do ściągnięcia.
Dlaczego w wyniku dzielenia pojawia się zero?
Bo po ściągnięciu cyfry bieżąca liczba bywa mniejsza od dzielnika — mieści się w niej zero razy i to zero trzeba zapisać. Przy jedynka nie dzieli się przez trzy, więc w wyniku staje zero i wychodzi , a nie . Pominięcie tego zera to najczęstszy błąd w całym działaniu.
Jak dzielić przez liczbę dwucyfrową?
Tak samo jak przez jednocyfrową, tylko zamiast tabliczki mnożenia używasz szacowania. Zaokrąglij dzielnik do wygodnej liczby — do , do — oszacuj cyfrę, a potem sprawdź mnożeniem, zanim odejmiesz. Jeśli iloczyn wyszedł za duży, zmniejsz cyfrę o jeden.
Co zrobić z resztą?
Zależy od polecenia. Można ją podać wprost („ reszty ”), zapisać jako ułamek nad dzielnikiem albo rozwinąć dalej po przecinku, dopisując zera. Reszta zawsze musi być mniejsza od dzielnika — jeśli wyszła większa, ostatnia cyfra ilorazu jest za mała.
Jak sprawdzić wynik dzielenia pisemnego?
Pomnóż iloraz przez dzielnik i dodaj resztę — musi wyjść liczba dzielona. Dla r. liczymy ✓. To kontrola, która wyłapuje wszystkie rodzaje błędów w tym działaniu naraz; szybszym, choć zgrubnym sprawdzeniem jest oszacowanie wyniku.
Przez jak duże liczby dzieli się w szkole podstawowej?
Podstawa programowa przewiduje dzielenie sposobem pisemnym przez liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe. Dzielnik trzycyfrowy nie jest więc niczym nadzwyczajnym — metoda pozostaje ta sama, zmienia się tylko to, do jakiej liczby zaokrąglasz przy szacowaniu.
Jak dzielić pod kreską?
Dzielenie pod kreską to inaczej dzielenie pisemne. Zapisujesz dzielną, znak dzielenia i dzielnik w jednym wierszu, a nad nimi rysujesz kreskę — wynik piszesz nad kreską, cyfra po cyfrze od lewej. Pod dzielną zapisujesz kolejne kroki: podziel, pomnóż, odejmij i ściągnij następną cyfrę.
Czytaj dalej
Tabliczka mnożenia do 100Warunek wstępny — każdy krok dzielenia to pytanie z tabliczkiCechy podzielności liczbJak z góry wiedzieć, czy dzielenie wyjdzie bez resztyMnożenie sposobem pisemnymDziałanie odwrotne i zarazem sposób sprawdzenia wynikuUłamki dziesiętneCo zrobić z resztą, gdy potrzebny jest wynik dokładny
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
