Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych — skąd się bierze reguła znaków

Odpowiedź: C

1. Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
2. Od $P$ do $R$ jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ działek, a wartość rośnie z $-3$ do $7$, czyli o $7 - (-3) = 10$.
3. Jedna działka: $10 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}$.
4. Teraz punkt $S$ — dzieli go od $P$ aż $\textcolor{#E0453A}{8}$ działek: $S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13$.
5. Odpowiedź C.
6. Można też krócej, licząc od $R$: od $R$ do $S$ zostają $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, więc $S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między $P$ a $R$ jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Odpowiedź: A

1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
2. Granice przedziału: $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}$
3. A. $-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ — leży między $\textcolor{#16A06A}{-0{,}33}$ a $\textcolor{#16A06A}{-0{,}17}$ ✓
4. B. $-\dfrac13 = -0{,}33\ldots$ — to dokładnie granica (bo $\tfrac13 = \tfrac26$), więc nie leży *między* ✗
5. C. $-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42$ — za daleko w lewo ✗  ·  D. $-\dfrac12 = -0{,}5$ — jeszcze dalej ✗
6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to $\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right)$, a odpowiedzi to $-\tfrac{3}{12}$, $-\tfrac{4}{12}$, $-\tfrac{5}{12}$, $-\tfrac{6}{12}$. Od razu widać, że pasuje tylko $-\tfrac{3}{12}$.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $-\tfrac13$, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu $-\tfrac26 = -\tfrac13$ — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Odpowiedź: D

1. Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
2. Większa jest $\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ (dodatnia), mniejsza $\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}$ (ujemna).
3. Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3})$, a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
4. $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3$ — odpowiedź D.
5. Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: $2{,}3$ w lewo i $\tfrac13$ w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie $-2{,}3$ jako $2{,}3$ i odjęcie zamiast dodania).

Odpowiedź: B

1. Najpierw liczymy nawias: $1 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}$.
2. Teraz odejmujemy $0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$.
3. $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$.
4. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: $-\dfrac13 \approx -0{,}33$.
5. Ta liczba leży między $-0{,}5$ a $0$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią ($\tfrac16$), a odejmujemy od niej $0{,}5$ — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako $\tfrac56$ (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Odpowiedź: B

1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: $0$,  $\tfrac34 = 0{,}75$,  $-\tfrac52 = -2{,}5$,  $-2$.
2. Rosnąco: $-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75$.
3. Największa to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}$, najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}$.
4. Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25$.
5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: $3{,}25 = 3\dfrac{1}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: $-\tfrac52 = -2{,}5$ jest mniejsze od $-2$, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $-2$ za najmniejszą (bo $2 < 2{,}5$ „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby $2\tfrac34$ — czyli kusząca odpowiedź C.