Strona główna › Liczby całkowite › Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych — na osi i na długach

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych — na osi i na długach

Przy mnożeniu wystarczy policzyć minusy i gotowe. Przy dodawaniu tak się nie da — i to jest pierwsza trudność tego tematu. Pozostałe trzy biorą się z kolejności w różnicy, z minusa przed nawiasem i ze zwykłego przepisywania długiego wyrażenia; wszystkie opisuję niżej. (−3)+(−4)(-3) + (-4) daje −7-7, a nie 77, choć minusy są dwa. Ta strona pokazuje dwa modele, które porządkują wszystkie przypadki: oś liczbową i długi — oraz jedną zamianę, po której odejmowanie znika i zostaje samo dodawanie.

Dział: Liczby całkowitePoziom: klasa 6Zadań z E8: 5

Krótko: Dodając liczby o takich samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne i zachowujemy znak: −3 + (−4) = −7. Dla różnych znaków odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i bierzemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej: −7 + 4 = −3.

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Dwa modele, które wystarczą na wszystko

Model osi liczbowej. Liczba dodatnia to ruch w prawo, ujemna — w lewo. Dodawanie to wykonanie ruchu, a wynik to miejsce, w którym się zatrzymasz.

Model długów. Liczba dodatnia to pieniądze, ujemna to dług. Dodawanie to zsumowanie stanu konta.

Dlaczego to NIE jest reguła znaków z mnożenia

Przy mnożeniu dwa minusy znoszą się: (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12. Przy dodawaniu dwa minusy sumują się: (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7.

Powód widać na długach: pomnożenie nie dokłada długu, tylko odwraca kierunek. Dodanie dokłada. To dwa różne działania i mają dwie różne reguły.

Pytanie, które ratuje przed pomyłką: jaki znak stoi MIĘDZY liczbami? Kropka albo dwukropek — reguła znaków. Plus albo minus — modele z tej strony.

Reguła znaków przy mnożeniu i dzieleniu ma własną stronę i warto przeczytać obie, bo dopiero zestawione widać, że nie da się ich stosować zamiennie.

2Dodawanie: dwie sytuacje

Wszystkie przypadki dodawania sprowadzają się do dwóch pytań: czy znaki są takie same, czy różne.

Znaki takie same — dodaj wartości i zostaw wspólny znak.

(−3)+(−4)=−(3+4)=−7(-3) + (-4) = -(3 + 4) = -7

Dwa długi się sumują; dwa ruchy w lewo dają dłuższy ruch w lewo. Gdy oba składniki są ujemne, wynik jest zawsze ujemny — a gdy oba dodatnie, zawsze dodatni.

Znaki różne — odejmij mniejszą wartość od większej, a wynik weź ze znakiem tej większej co do wartości.

(−3)+5=+(5−3)=2(-3) + 5 = +(5 - 3) = 2
(−8)+5=−(8−5)=−3(-8) + 5 = -(8 - 5) = -3

W pierwszym przypadku pieniędzy było więcej niż długu, więc zostało na plusie. W drugim dług był większy, więc konto zostało na minusie. O znaku wyniku decyduje ta liczba, która jest dalej od zera — a gdy obie są równie daleko, wynik to zero i znaku po prostu nie ma.

działanieznakico robimywynik
(−6)+(−2)(-6) + (-2)takie same6+26 + 2, znak minus−8-8
6+26 + 2takie same6+26 + 2, znak plus88
(−6)+2(-6) + 2różne6−26 - 2, znak od −6-6−4-4
6+(−2)6 + (-2)różne6−26 - 2, znak od 6644
(−6)+6(-6) + 6różne, równe wartościznoszą się00

Ostatni wiersz to liczby przeciwne — takie same co do wartości, różne znakiem. Ich suma zawsze wynosi zero i ta obserwacja jest za chwilę potrzebna przy odejmowaniu.

Oba modele — oś i długi — wchodzą do programu klasy szóstej, bo dopiero tam odejmowanie przestaje zatrzymywać się na zerze.

Dodawanie liczb ujemnych na osi liczbowej: (−3) + 5 = 2, ruch o 5 w prawo; (−3) + (−4) = −7, ruch o 4 w lewo; model długów — dwa długi się sumują
Dodawanie liczb ujemnych na osi liczbowej i na długach
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Liczby całkowite i zastosowania” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Liczby całkowite i zastosowania — cały dział, klasa 5 (8 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Liczby całkowite i zastosowania”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł31,20 zł−16,30 złCała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Odejmowanie: zamień na dodawanie i zapomnij o nim

Odejmowania liczb ujemnych nie trzeba uczyć się osobno. Każde odejmowanie można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej — i wtedy zostaje tylko to, co już umiesz z poprzedniej sekcji.

Jedna zamiana, cały temat załatwiony

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)

Odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną. Liczba przeciwna do 44 to −4-4, a liczba przeciwna do −4-4 to 44.

Stąd bierze się słynne „minus minus daje plus” przy odejmowaniu: 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8. Nie jest to reguła znaków z mnożenia — to zamiana na liczbę przeciwną, która akurat wygląda podobnie.

Cztery przypadki po zamianie:

7−10=7+(−10)=−37 - 10 = 7 + (-10) = -3
(−7)−3=(−7)+(−3)=−10(-7) - 3 = (-7) + (-3) = -10
5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8
(−5)−(−3)=(−5)+3=−2(-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2

Dlaczego odjęcie długu powiększa stan konta? Bo dług, którego już nie masz, przestaje ci ciążyć. Jeśli miałeś 55 zł i ktoś umorzył ci 33 zł długu, jesteś w sytuacji lepszej o 33 zł. To jest sens zapisu 5−(−3)=85 - (-3) = 8.

Na osi wygląda to tak: odejmowanie liczby ujemnej odwraca kierunek ruchu — zamiast iść w lewo, idziesz w prawo.

Odejmowanie liczb ujemnych jako dodawanie liczby przeciwnej a − b = a + (−b): 5 − (−3) = 5 + 3 = 8, −2 − 6 = −2 + (−6) = −8, −4 − (−9) = −4 + 9 = 5
Odejmowanie liczb ujemnych — zamiana na dodawanie liczby przeciwnej

4Dłuższe wyrażenia — porządkowanie znaków

W zadaniach rzadko stoją dwie liczby. Zwykle jest ich kilka i między nimi mieszanka plusów i minusów, czasem w nawiasach.

Postępuj zawsze tak samo: najpierw uprość znaki, potem licz od lewej do prawej.

Zwróć uwagę, że to nie są osobne reguły: dwa przypadki z minusem to zapisana krótko zamiana z poprzedniej sekcji, a dwa z plusem — zwykłe opuszczenie nawiasu, przy którym nic się nie zmienia.

8−(−5)+(−3)−6=8+5−3−6=48 - (-5) + (-3) - 6 = 8 + 5 - 3 - 6 = 4

Po uproszczeniu znaków zostało zwykłe działanie: 8+5=138 + 5 = 13, potem 13−3=1013 - 3 = 10, potem 10−6=410 - 6 = 4.

Szybszy sposób: osobno plusy, osobno minusy

Przy dłuższych wyrażeniach opłaca się zsumować oddzielnie wszystko dodatnie i wszystko ujemne, a dopiero na końcu połączyć obie sumy.

8+5−3−6=(8+5)−(3+6)=13−9=48 + 5 - 3 - 6 = (8 + 5) - (3 + 6) = 13 - 9 = 4

Ten sam wynik i — co warto wiedzieć — dokładnie tyle samo działań: przy nn składnikach zawsze wykonasz ich n−1n-1, obojętnie którą drogą. Zysk jest gdzie indziej: sumujesz same dodatnie albo same ujemne, więc przez zero przechodzisz tylko raz i masz mniej okazji, żeby zgubić znak. Sprawdza się zwłaszcza wtedy, gdy składników jest pięć albo więcej.

Uwaga na minus przed nawiasem z sumą. Zapis −(3+6)-(3 + 6) znaczy „odejmij całą zawartość nawiasu”, czyli −3−6-3 - 6, a nie −3+6-3 + 6. Minus działa na każdy składnik w nawiasie.

5Kontrola sensu — trzy pytania przed zapisaniem wyniku

Rachunek na liczbach ujemnych łatwo pomylić, ale równie łatwo sprawdzić. Trzy pytania wyłapują niemal wszystko:

  1. Czy znak wyniku jest możliwy? Jeśli dodajesz dwie liczby ujemne, wynik nie ma prawa być dodatni.
  2. Czy wartość jest w rozsądnym zakresie? Suma liczb o różnych znakach jest zawsze mniejsza co do wartości od tej większej — (−8)+5(-8) + 5 nie może dać 1313.
  3. Czy odejmowanie poszło w dobrą stronę? Odjęcie liczby ujemnej ma wynik zwiększyć, odjęcie dodatniej — zmniejszyć.
działanieczego się spodziewaćwynik
(−9)+(−4)(-9) + (-4)ujemny, dalej od zera niż −9-9−13-13
(−9)+4(-9) + 4ujemny, bliżej zera niż −9-9−5-5
(−9)−4(-9) - 4ujemny, dalej od zera−13-13
(−9)−(−4)(-9) - (-4)ujemny, bliżej zera−5-5

Te cztery wiersze warto przeczytać uważnie: działania różnią się tylko znakami, a wyniki układają się w pary. (−9)+(−4)(-9) + (-4) daje to samo co (−9)−4(-9) - 4, a (−9)+4(-9) + 4 to samo co (−9)−(−4)(-9) - (-4) — dokładnie tak, jak zapowiada zamiana odejmowania na dodawanie liczby przeciwnej.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dłuższe wyrażenie ze wszystkimi czterema przypadkami, zadanie z temperaturą i zadanie z kontem bankowym.

Przykład 1 Dłuższe wyrażenie z nawiasami

Oblicz (−12)+7−(−5)+(−9)(-12) + 7 - (-5) + (-9).

  1. Najpierw upraszczam znaki. −(−5)-(-5) zamienia się na +5+5, a +(−9)+(-9) na −9-9. Zostaje: −12+7+5−9-12 + 7 + 5 - 9.
  2. Sumuję osobno dodatnie: 7+5=127 + 5 = 12.
  3. Sumuję osobno ujemne: 12+9=2112 + 9 = 21, czyli razem −21-21.
  4. Łączę obie sumy: 12−21=−912 - 21 = -9.
  5. Kontrola po kolei, od lewej: −12+7=−5-12 + 7 = -5; dalej −5+5=0-5 + 5 = 0; dalej 0−9=−90 - 9 = -9 ✓ Ten sam wynik.
  6. Kontrola sensu: ujemnych było więcej co do wartości, więc wynik musiał wyjść ujemny ✓

Odpowiedź: (−12)+7−(−5)+(−9)=−9(-12) + 7 - (-5) + (-9) = -9

Zwróć uwagę, że w kontroli od lewej pojawiło się po drodze zero — to znak, że −5-5 i +5+5 były liczbami przeciwnymi. Przy dłuższych wyrażeniach warto wypatrywać takich par: znoszą się i skracają rachunek.

Przykład 2 Temperatura — różnica między dwiema wartościami

Rano było −6∘-6^\circC, po południu 3∘3^\circC. O ile stopni wzrosła temperatura? A o ile spadła, jeśli wieczorem znów było −6∘-6^\circC?

  1. Wzrost to różnica: wartość późniejsza minus wcześniejsza, czyli 3−(−6)3 - (-6).
  2. Zamieniam odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej: 3+6=93 + 6 = 9. Temperatura wzrosła o 99 stopni.
  3. Sprawdzam na osi: z −6-6 do 00 jest 66 kresek, z 00 do 33 jeszcze 33 — razem 99 ✓
  4. Wieczorem: różnica to (−6)−3=(−6)+(−3)=−9(-6) - 3 = (-6) + (-3) = -9. Wynik ujemny oznacza spadek o 99 stopni.
  5. Kontrola sensu: obie zmiany dotyczą tego samego odcinka osi, więc muszą mieć tę samą wartość 99 i przeciwne znaki ✓

Odpowiedź: Temperatura wzrosła o 99 stopni, a wieczorem spadła o 99 stopni.

To najczęstszy typ zadania z liczbami ujemnymi i najczęstsze miejsce pomyłki: uczeń liczy 6−36 - 3 zamiast 3−(−6)3 - (-6), bo „odejmuje mniejszą od większej”. Kolejność w różnicy jest jednak ustalona — od wartości późniejszej odejmujemy wcześniejszą — i to ona decyduje o znaku.

Przykład 3 Konto bankowe — kilka operacji po kolei

Na koncie było 120120 zł. Wykonano trzy operacje: wypłata 200200 zł, wpłata 5050 zł, wypłata 3030 zł. Jaki jest stan konta na koniec?

  1. Zapisuję operacje jako liczby: wypłata to liczba ujemna, wpłata dodatnia. Stan końcowy to 120+(−200)+50+(−30)120 + (-200) + 50 + (-30).
  2. Upraszczam znaki: 120−200+50−30120 - 200 + 50 - 30.
  3. Sumuję dodatnie: 120+50=170120 + 50 = 170. Sumuję ujemne: 200+30=230200 + 30 = 230.
  4. Łączę: 170−230=−60170 - 230 = -60. Na koncie jest −60-60 zł, czyli 6060 zł debetu.
  5. Kontrola po kolei: 120−200=−80120 - 200 = -80; dalej −80+50=−30-80 + 50 = -30; dalej −30−30=−60-30 - 30 = -60 ✓
  6. Kontrola sensu: wypłacono łącznie 230230 zł, a było i wpłacono razem 170170 zł — brakuje 6060 zł, więc konto musi być na minusie ✓

Odpowiedź: Stan konta to −60-60 zł, czyli 6060 zł debetu.

Model konta jest tu wygodniejszy od osi, bo od razu tłumaczy, co znaczy wynik ujemny w praktyce. Warto też zauważyć, że kolejność operacji nie ma wpływu na wynik końcowy — dodawanie jest przemienne, więc konto wyszłoby na −60-60 zł niezależnie od tego, w jakiej kolejności zaksięgowano wpłaty i wypłaty.

7Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd to skutek mieszania reguł, drugi — kolejności w różnicy, trzeci — zasięgu minusa przed nawiasem, ostatni — nieuwagi przy przepisywaniu.

Stosowanie reguły „dwa minusy dają plus” do dodawania

Skąd się bierze: Reguła znaków jest z mnożenia i dzielenia, ale zapamiętuje się bez tego przypisania. Wtedy (−3)+(−4)(-3) + (-4) zamienia się w 7\textcolor{#9b1c14}{7} zamiast −7-7 — a to nie jest drobna pomyłka, bo wynik ma zły znak i złą wartość. Na długach widać to od razu: trzy złote długu plus cztery złote długu to siedem złotych długu, a nie siedem złotych majątku.

Jak zrobić dobrze: Zanim policzysz, popatrz na znak działania między liczbami, a nie na znaki liczb. Plus — sumujesz według modeli z tej strony. Kropka mnożenia — dopiero wtedy reguła znaków.

Odejmowanie mniejszej wartości od większej „bo tak wygodniej”

Skąd się bierze: W zadaniu o wzroście temperatury z −6-6 do 33 uczeń liczy 6−3=3\textcolor{#9b1c14}{6 - 3 = 3}, bo obie liczby traktuje jak dodatnie i odejmuje mniejszą od większej. Prawidłowo jest 3−(−6)=93 - (-6) = 9. Różnica jest trzykrotna, a błąd niewidoczny w zapisie — wynik 33 wygląda równie sensownie jak 99.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kolejność: różnica to wartość późniejsza minus wcześniejsza, i nie zmieniaj jej dla wygody. Sprawdź wynik na osi — policz kreski od jednej liczby do drugiej. Z −6-6 do 33 jest ich dziewięć, nie trzy.

Minus przed nawiasem zastosowany tylko do pierwszego składnika

Skąd się bierze: Zapis 10−(3+6)10 - (3 + 6) bywa liczony jako 10−3+6=13\textcolor{#9b1c14}{10 - 3 + 6 = 13}, choć poprawnie jest 10−9=110 - 9 = 1. Minus przed nawiasem dotyczy całej jego zawartości, więc po opuszczeniu nawiasu zmienia znak przy każdym składniku: 10−3−610 - 3 - 6.

Jak zrobić dobrze: Najbezpieczniej najpierw policz to, co w nawiasie, a dopiero potem odejmij wynik. Jeśli opuszczasz nawias, zmień znak przy każdym składniku bez wyjątku i sprawdź, czy liczba składników się zgadza.

Gubienie znaku przy przepisywaniu długiego wyrażenia

Skąd się bierze: Przy pięciu i więcej składnikach jeden minus ginie w przepisywaniu i wynik jest błędny o podwojoną wartość zgubionego składnika. Wygląda przy tym wiarygodnie, więc rzadko wzbudza podejrzenia.

Jak zrobić dobrze: Po uproszczeniu znaków policz składniki — ile ich było przed, ile po. Potem sumuj osobno dodatnie i osobno ujemne: dwie krótkie listy trudniej pomylić niż jeden długi łańcuch. Na koniec sprawdź znak wyniku pytaniem, której grupy było więcej co do wartości.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty PP, RR i SS. Odcinek PSPS jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów PP i RR podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu SS jest równa
Oś liczbowa z punktami P, R i S P−3R7S?
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktPRS
Kreska od początku058
Współrzędna−37?
  • A. 1010
  • B. 1111
  • C. 1313
  • D. 1515
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
  2. Od PP do RR jest 5\textcolor{#E0453A}{5} działek, a wartość rośnie z −3-3 do 77, czyli o 7−(−3)=107 - (-3) = 10.
  3. Jedna działka: 10:5=210 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}.
  4. Teraz punkt SS — dzieli go od PP aż 8\textcolor{#E0453A}{8} działek: S=−3+8⋅2=−3+16=13S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13.
  5. Odpowiedź C.
  6. Można też krócej, licząc od RR: od RR do SS zostają 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, więc S=7+3⋅2=13S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13 ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między PP a RR jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty: RR, SS, TT, WW. Odcinek RWRW jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów SS i WW podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Oś liczbowa z punktami R, S, T i W R?S287T?W311
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktRSTW
Kreska od początku0235
Współrzędna?287?311
Współrzędne punktów RR i TT różnią się o 24.PF
Współrzędna punktu RR jest równa 271.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zaczynamy od wartości jednej działki. Między SS (druga kreska) a WW (piąta kreska) są 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
  2. Jedna działka: 24:3=824 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}.
  3. Teraz odczytujemy pozostałe punkty. RR leży 2\textcolor{#E0453A}{2} działki przed SS: R=287−2⋅8=287−16=271R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271.
  4. TT leży 1\textcolor{#E0453A}{1} działkę za SS: T=287+8=295T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295.
  5. Zdanie 1: T−R=295−271=24T - R = 295 - 271 = 24 ✓ — prawda. (Widać to też od razu: RR i TT dzielą 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, czyli 3⋅8=243 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24.)
  6. Zdanie 2: R=271R = 271 ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro SS i WW różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między SS a WW są trzy, tak samo jak między RR a TT (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami (−26)\left(-\dfrac{2}{6}\right) oraz (−16)\left(-\dfrac{1}{6}\right) znajduje się liczba
Oś liczbowa z podziałką co 1/6 i zaznaczonym przedziałem między −2/6 a −1/6−1−2/6−1/60
  • A. −14-\dfrac{1}{4}
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. −512-\dfrac{5}{12}
  • D. −12-\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
  2. Granice przedziału: −26=−0,33…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots} oraz −16=−0,16…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}
  3. A. −14=−0,25-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25} — leży między −0,33\textcolor{#16A06A}{-0{,}33} a −0,17\textcolor{#16A06A}{-0{,}17} ✓
  4. B. −13=−0,33…-\dfrac13 = -0{,}33\ldots — to dokładnie granica (bo 13=26\tfrac13 = \tfrac26), więc nie leży *między* ✗
  5. C. −512≈−0,42-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42 — za daleko w lewo ✗  ·  D. −12=−0,5-\dfrac12 = -0{,}5 — jeszcze dalej ✗
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to (−412,−212)\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right), a odpowiedzi to −312-\tfrac{3}{12}, −412-\tfrac{4}{12}, −512-\tfrac{5}{12}, −612-\tfrac{6}{12}. Od razu widać, że pasuje tylko −312-\tfrac{3}{12}.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór −13-\tfrac13, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu −26=−13-\tfrac26 = -\tfrac13 — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom −2,3-2{,}3 i 13\dfrac{1}{3}, jest równa
Oś liczbowa z punktami −2,3 oraz 1/3−3−2−101−2,31/3
  • A. −2,3−13-2{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • B. 2,3−132{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • C. 13−2,3\dfrac{1}{3} - 2{,}3
  • D. 13+2,3\dfrac{1}{3} + 2{,}3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
  2. Większa jest 13\textcolor{#16A06A}{\dfrac13} (dodatnia), mniejsza −2,3\textcolor{#E0453A}{-2{,}3} (ujemna).
  3. Odległość =13−(−2,3)= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}), a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  4. =13+2,3= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3 — odpowiedź D.
  5. Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: 2,32{,}3 w lewo i 13\tfrac13 w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie −2,3-2{,}3 jako 2,32{,}3 i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb   0\;0,   34\;\dfrac{3}{4},   −52\;-\dfrac{5}{2},   −2  \;-2\; jest równa
Oś liczbowa z liczbami −5/2, −2, 0 i 3/4−3−2−101−5/2−203/4
  • A. 1341\dfrac{3}{4}
  • B. 3143\dfrac{1}{4}
  • C. 2342\dfrac{3}{4}
  • D. 1141\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: 00,  34=0,75\tfrac34 = 0{,}75,  −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5,  −2-2.
  2. Rosnąco: −2,5<−2<0<0,75-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75.
  3. Największa to 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}, najmniejsza to −52\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}.
  4. Odległość =34−(−52)=0,75+2,5=3,25= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25.
  5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3,25=3143{,}25 = 3\dfrac{1}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5 jest mniejsze od −2-2, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie −2-2 za najmniejszą (bo 2<2,52 < 2{,}5 „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby 2342\tfrac34 — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. P, P3. A4. D5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Liczby całkowite, klasa 6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby całkowite, klasa 6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

12 kart pracy z matematyki dla klasy 6: liczby ujemne w życiu, oś liczbowa, porównywanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Na…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: ułamki zwykłe i dziesiętne, porównywanie, liczby przeciwne i odwrotne, działania, potęgi. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Ile wynosi (−3)+(−4)(-3) + (-4)?

−7-7. Znaki są takie same, więc dodajemy wartości i zostawiamy wspólny znak. Reguła „dwa minusy dają plus” tu nie obowiązuje — ona dotyczy mnożenia i dzielenia. Na długach: trzy złote długu plus cztery złote długu to siedem złotych długu.

Jak dodawać liczby o różnych znakach?

Odejmij mniejszą wartość od większej, a wynik weź ze znakiem tej liczby, która jest dalej od zera. Na przykład (−8)+5(-8) + 5: liczymy 8−5=38 - 5 = 3, a znak bierzemy od −8-8, więc wynik to −3-3.

Dlaczego 5−(−3)5 - (-3) daje 88?

Bo odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną: 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8. Po ludzku: jeśli masz 55 zł i ktoś umorzy ci 33 zł długu, jesteś w sytuacji lepszej o 33 zł. To nie jest reguła znaków z mnożenia, tylko zamiana na liczbę przeciwną.

Jak policzyć różnicę temperatur, gdy jedna jest ujemna?

Od wartości późniejszej odejmij wcześniejszą i nie zmieniaj tej kolejności. Wzrost z −6∘-6^\circC do 3∘3^\circC to 3−(−6)=93 - (-6) = 9 stopni. Wynik dodatni oznacza wzrost, ujemny — spadek. Możesz sprawdzić na osi, licząc kreski między liczbami.

Co zrobić z minusem przed nawiasem?

Minus dotyczy całej zawartości nawiasu, więc po jego opuszczeniu zmienia znak przy każdym składniku: 10−(3+6)=10−3−6=110 - (3 + 6) = 10 - 3 - 6 = 1. Najbezpieczniej policzyć najpierw to, co w nawiasie, i dopiero potem odjąć wynik.

Czym różni się to od reguły znaków przy mnożeniu?

Przy mnożeniu dwa minusy się znoszą i (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12. Przy dodawaniu dwa minusy się sumują i (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7. To dwa różne działania z dwiema różnymi regułami — rozstrzyga zawsze znak działania stojący między liczbami.

Czytaj dalej

Liczby całkowiteHub działu: oś liczbowa, wartość bezwzględna, działaniaMnożenie i dzielenie liczb ujemnychDruga reguła znaków — ta, z którą najczęściej myli się tę stronęWartość bezwzględnaOdległość od zera, czyli liczba bez znakuKolejność wykonywania działańCo liczyć najpierw, gdy w wyrażeniu są nawiasyLiczby ujemne na egzaminie ósmoklasistyZadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po krokuCo musisz wiedzieć o dodawaniu i odejmowaniuCo wolno przestawić w dodawaniu, a czego nie wolno w odejmowaniu, jak liczyć…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09