Strona główna › Liczby i działania › Liczby niewymierne

Liczby niewymierne

Liczba niewymierna to liczba, której nie da się zapisać jako ułamka $\tfrac{p}{q}$ z liczb całkowitych. Jej rozwinięcie dziesiętne ciągnie się bez końca i nigdy nie wpada w okres. Najbardziej znane przykłady to $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ i $\pi = 3{,}14159\ldots$. Na tej stronie: jak rozpoznać liczbę niewymierną, czym różni się od wymiernej, kiedy pierwiastek jest niewymierny i jak liczyć z takimi liczbami.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 7–8 (dowody i działania: liceum)

Wyłącz kolory

1Definicja liczby niewymiernej

Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako $\tfrac{p}{q}$, gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi i $q \neq 0$. Liczba niewymierna to liczba rzeczywista, dla której takiego zapisu nie ma — żadna para liczb całkowitych nie daje jej jako ilorazu.

Zbiór liczb niewymiernych zapisuje się jako $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ — liczby rzeczywiste bez wymiernych. Wymierne i niewymierne razem tworzą liczby rzeczywiste, a każda liczba rzeczywista należy dokładnie do jednej z tych dwóch grup.

2Liczby wymierne i niewymierne — różnica

Kluczowe jest słowo nieokresowe. Liczba $0{,}333\ldots$ też się nie kończy, ale ma okres, więc jest wymierna: to $\tfrac{1}{3}$. Jak zamieniać takie liczby na ułamki, pokazujemy na stronie ułamki okresowe.

3Przykłady liczb niewymiernych

• Pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$. Także pierwiastki trzeciego stopnia z liczb, które nie są sześcianami, np. $\sqrt[3]{2}$.
• Liczba $\pi$ — stosunek obwodu okręgu do jego średnicy, $\pi = 3{,}14159\ldots$
• Liczba $e$ $= 2{,}71828\ldots$ — podstawa logarytmu naturalnego.
• Liczby zbudowane tak, żeby nie miały okresu, np. $0{,}1010010001\ldots$ — po każdej jedynce o jedno zero więcej.
• Wyrażenia z pierwiastkiem, np. $1 + \sqrt{2}$, $3\sqrt{5}$, $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ — o tym, dlaczego są niewymierne, niżej.

Uwaga na przybliżenia: $3{,}14$ i $\tfrac{22}{7}$ to liczby wymierne, które tylko przybliżają $\pi$. Sama liczba $\pi$ jest niewymierna.

4Kiedy pierwiastek jest niewymierny

Dla liczby naturalnej $n$ reguła jest prosta:

Dlatego $\sqrt{36} = 6$ jest wymierny, a $\sqrt{35}$ i $\sqrt{37}$ są niewymierne. Dla ułamka pod pierwiastkiem najpierw go skracamy: $\sqrt{\tfrac{9}{4}} = \tfrac{3}{2}$ jest wymierny, bo licznik i mianownik są kwadratami, a $\sqrt{\tfrac{1}{2}}$ już nie.

Liczbę niewymierną z pierwiastkiem często upraszcza się, wyłączając czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Wynik nadal jest niewymierny — zmienia się tylko zapis. Więcej: pierwiastkowanie i działania na pierwiastkach.

5Dlaczego √2 nie jest ułamkiem

To jeden z najstarszych dowodów w matematyce — znany już starożytnym Grekom. Przeprowadza się go nie wprost: zakładamy coś przeciwnego i dochodzimy do sprzeczności.

1. Załóżmy, że $\sqrt{2} = \tfrac{p}{q}$, gdzie ułamek jest nieskracalny.
2. Podnosimy do kwadratu: $2 = \tfrac{p^2}{q^2}$, czyli $p^2 = 2q^2$. Zatem $p^2$ jest parzyste, a więc i $p$ jest parzyste: $p = 2k$.
3. Podstawiamy: $4k^2 = 2q^2$, czyli $q^2 = 2k^2$. Zatem także $q$ jest parzyste.
4. Skoro $p$ i $q$ są parzyste, ułamek $\tfrac{p}{q}$ da się skrócić przez $2$ — a założyliśmy, że jest nieskracalny. Sprzeczność.

Wniosek: $\sqrt{2}$ nie jest ułamkiem, czyli jest liczbą niewymierną. Dokładnie tak samo dowodzi się niewymierności $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ i innych pierwiastków z liczb, które nie są kwadratami.

6Działania na liczbach niewymiernych

Dwa pierwsze wiersze pozwalają od razu ocenić wyrażenie: jeśli do liczby wymiernej dodajesz lub mnożysz przez nią (różną od zera) liczbę niewymierną, wynik na pewno jest niewymierny. Przy dwóch liczbach niewymiernych trzeba po prostu policzyć.

7Liczby niewymierne na osi liczbowej

Liczby niewymierne mają na osi liczbowej swoje dokładne miejsca, choć nie da się ich wypisać do końca. $\sqrt{2}$ można nawet skonstruować: przekątna kwadratu o boku $1$ ma z twierdzenia Pitagorasa długość $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Odkładając ją cyrklem od zera, zaznaczysz $\sqrt{2}$ dokładnie.

Do porównań wystarczą przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, $\pi \approx 3{,}14$. Żeby sprawdzić, między którymi liczbami leży pierwiastek, porównuje się kwadraty: $1{,}4^2 = 1{,}96 \lt 2 \lt 2{,}25 = 1{,}5^2$, więc $1{,}4 \lt \sqrt{2} \lt 1{,}5$.

8Przykłady krok po kroku

9Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Liczby wymierne — kartkówka, klasa 7

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Liczby wymierne i zaokrąglanie — kartkówka, klasa 7

Zbiory liczb, rozwinięcia dziesiętne, zaokrąglanie, szacowanie.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Liczby i działania — test, klasa 7

Test z działu: liczby wymierne, zaokrąglanie, działania, oś liczbowa.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

10Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.