Strona główna › Liczby i działania › Kwadraty i sześciany liczb naturalnych

Kwadraty i sześciany liczb naturalnych

Q: Ile to jest 3 do kwadratu?

Dziewięć, bo trzy do kwadratu znaczy trzy razy trzy. Częsty błąd to policzenie trzy razy dwa, czyli sześć — wykładnik mówi jednak, ile razy liczba stoi jako czynnik, a nie przez ile ją mnożymy.

Q: Dlaczego mówi się „kwadrat” i „sześcian” liczby?

Bo tyle wynosi pole kwadratu o takim boku i objętość sześcianu o takiej krawędzi. Kwadrat o boku pięć ma pole dwadzieścia pięć, a sześcian o krawędzi pięć ma objętość sto dwadzieścia pięć. Nazwy biorą się wprost z geometrii.

Q: Czym różni się 2 do sześcianu od 3 do kwadratu?

Dwa do sześcianu to dwa razy dwa razy dwa, czyli osiem. Trzy do kwadratu to trzy razy trzy, czyli dziewięć. Choć użyto tych samych cyfr, wyniki są różne — zamiana podstawy z wykładnikiem zmienia liczbę.

Q: Jakie kwadraty warto znać na pamięć?

Co najmniej do piętnastu: jeden, cztery, dziewięć, szesnaście, dwadzieścia pięć, trzydzieści sześć, czterdzieści dziewięć, sześćdziesiąt cztery, osiemdziesiąt jeden, sto, sto dwadzieścia jeden, sto czterdzieści cztery, sto sześćdziesiąt dziewięć, sto dziewięćdziesiąt sześć i dwieście dwadzieścia pięć. Wracają przy polach, pierwiastkach i twierdzeniu Pitagorasa.

Q: Czy jakaś liczba jest jednocześnie kwadratem i sześcianem?

Tak. Sześćdziesiąt cztery to kwadrat ósemki i zarazem sześcian czwórki. Podobnie siedemset dwadzieścia dziewięć jest kwadratem dwudziestu siedmiu i sześcianem dziewiątki. Takie liczby powstają, gdy w rozkładzie występuje sześć jednakowych czynników.

Q: Co liczymy najpierw: potęgę czy mnożenie?

Potęgę. W kolejności działań potęgowanie stoi wyżej niż mnożenie i dzielenie, a niżej tylko od nawiasów. Dlatego dwa razy trzy do kwadratu to dwa razy dziewięć, czyli osiemnaście, a nie sześć do kwadratu.

Q: Jakie są kwadraty liczb do 20?

Od 1 do 10: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Od 11 do 20: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Pełna tabela z sześcianami jest w sekcji 3.

Q: Jak sprawdzić, czy liczba jest kwadratem innej liczby?

Spójrz na ostatnią cyfrę: kwadrat liczby naturalnej kończy się tylko na 0, 1, 4, 5, 6 lub 9. Potem znajdź dwa sąsiednie kwadraty w tabeli — 250 leży między 15² = 225 a 16² = 256, więc nie jest kwadratem. Kalkulator na górze strony sprawdza to od razu, także dla ułamków.

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, a sześcian — trzech. Reguła jest krótka, a mimo to ten temat generuje jedną z najtrwalszych pomyłek w całej szkole podstawowej: $3^2$ to dziewięć, nie sześć. Warto od razu zobaczyć, skąd wzięły się te dwie dziwne nazwy, bo wtedy nie ma czego mylić.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 4

Kwadrat i sześcian liczby — kalkulator

Ćwiczenie: kwadraty do 20 i sześciany do 10

1Skąd nazwy „kwadrat” i „sześcian”

To nie są nazwy przypadkowe ani przenośnie. Biorą się wprost z geometrii i to jest najkrótsza droga do zapamiętania obu działań.

Kwadrat liczby nazywa się tak, bo tyle wynosi pole kwadratu o takim boku. Kwadrat o boku $\textcolor{#16A06A}{5}$ ma pole $5 \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{25}$ — i właśnie dlatego mówimy, że $5$ do kwadratu to $25$ .

Sześcian liczby nazywa się tak, bo tyle wynosi objętość sześcianu o takiej krawędzi. Sześcian o krawędzi $\textcolor{#16A06A}{5}$ ma objętość $5 \cdot 5 \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{125}$ .

zapis	czytamy	znaczy	figura
$5^2$	pięć do kwadratu	$5 \cdot 5 = 25$	pole kwadratu o boku $5$
$5^3$	pięć do sześcianu	$5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$	objętość sześcianu o krawędzi $5$

Kwadrat i sześcian liczby — co to jest: 5² = 5 · 5 = 25 to pole kwadratu o boku 5 (25 kratek), a 5³ = 5 · 5 · 5 = 125 to objętość sześcianu o krawędzi 5; częsty błąd: 3² to 3 · 3 = 9, a nie 3 · 2 = 6 — Kwadrat liczby to pole kwadratu, sześcian liczby — objętość sześcianu

Ta tabela wyjaśnia też, dlaczego wykładnik $2$ i $3$ mają własne nazwy, a $4$ już nie. Kwadrat ma dwa wymiary, sześcian trzy — i na tym świat się kończy. Przy $5^4$ mówimy już tylko „pięć do czwartej”.

Warto zauważyć, że nazwa działa też w drugą stronę i przyda się w klasie ósmej: skoro pole kwadratu to bok do kwadratu, to znając pole, bok znajdziemy działaniem odwrotnym — pierwiastkiem.

2Jak się to liczy — i najczęstsza pomyłka

Zapis $a^n$ mówi, ile razy liczba stoi jako czynnik, a nie przez ile ją mnożymy. To jedno zdanie usuwa najczęstszy błąd tematu.

a^2 = a \cdot a \qquad a^3 = a \cdot a \cdot a

Pomyłka polega na pomnożeniu przez wykładnik zamiast przez samą liczbę: z $3^2$ robi się $3 \cdot 2 = 6$ zamiast $3 \cdot 3 = 9$ . Wynik wygląda niewinnie, bo też jest małą liczbą.

zapis	błędnie	poprawnie	co pomylono
$3^2$	$3 \cdot 2 = 6$	$3 \cdot 3 = 9$	mnożenie przez wykładnik
$4^3$	$4 \cdot 3 = 12$	$4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$	mnożenie przez wykładnik
$2^3$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$	mnożenie przez wykładnik

Jest jeden przypadek, który ten błąd naprawdę utrwala: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ , a mnożenie przez wykładnik daje $2 \cdot 2 = 4$ — tę samą liczbę. Przy dwójce do kwadratu pomyłka jest więc niewidoczna i uczeń nabiera przekonania, że metoda działa. Przy pierwszej innej liczbie wynik się rozjeżdża. (Formalnie zgodność zachodzi jeszcze dla zera, bo $0^2 = 0 \cdot 2 = 0$ i tak samo z sześcianem, ale zerem nikt się nie zasugeruje — to dwójka jest tu winowajcą.)

Skuteczna kontrola jest jedna: rozpisz mnożenie w całości, zanim policzysz. $4^3$ to $4 \cdot 4 \cdot 4$ — trzy czwórki, nie czwórka i trójka.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Tabela kwadratów i sześcianów liczb do 20

Te liczby wracają potem przez całą szkołę — przy polach, objętościach, twierdzeniu Pitagorasa i pierwiastkach. W klasie 4 wystarczy znać kwadraty do $10$ i sześciany do $5$ (wyróżnione); reszta tabeli przydaje się w klasach 7–8, gdy pojawiają się pierwiastki.

Kwadraty liczb od 1 do 20

$n$	$n^2$	$n$	$n^2$	$n$	$n^2$	$n$	$n^2$
$1$	$1^2 = 1$	$6$	$6^2 = 36$	$11$	$11^2 = 121$	$16$	$16^2 = 256$
$2$	$2^2 = 4$	$7$	$7^2 = 49$	$12$	$12^2 = 144$	$17$	$17^2 = 289$
$3$	$3^2 = 9$	$8$	$8^2 = 64$	$13$	$13^2 = 169$	$18$	$18^2 = 324$
$4$	$4^2 = 16$	$9$	$9^2 = 81$	$14$	$14^2 = 196$	$19$	$19^2 = 361$
$5$	$5^2 = 25$	$10$	$10^2 = 100$	$15$	$15^2 = 225$	$20$	$20^2 = 400$

$n$	$n^2$	$n$	$n^2$
$1$	$1^2 = 1$	$11$	$11^2 = 121$
$2$	$2^2 = 4$	$12$	$12^2 = 144$
$3$	$3^2 = 9$	$13$	$13^2 = 169$
$4$	$4^2 = 16$	$14$	$14^2 = 196$
$5$	$5^2 = 25$	$15$	$15^2 = 225$
$6$	$6^2 = 36$	$16$	$16^2 = 256$
$7$	$7^2 = 49$	$17$	$17^2 = 289$
$8$	$8^2 = 64$	$18$	$18^2 = 324$
$9$	$9^2 = 81$	$19$	$19^2 = 361$
$10$	$10^2 = 100$	$20$	$20^2 = 400$

Tabela kwadratów liczb od 1 do 20: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400 — Kwadraty liczb od 1 do 20 — tabela

Sześciany liczb od 1 do 20

$n$	$n^3$	$n$	$n^3$	$n$	$n^3$	$n$	$n^3$
$1$	$1^3 = 1$	$6$	$6^3 = 216$	$11$	$11^3 = 1331$	$16$	$16^3 = 4096$
$2$	$2^3 = 8$	$7$	$7^3 = 343$	$12$	$12^3 = 1728$	$17$	$17^3 = 4913$
$3$	$3^3 = 27$	$8$	$8^3 = 512$	$13$	$13^3 = 2197$	$18$	$18^3 = 5832$
$4$	$4^3 = 64$	$9$	$9^3 = 729$	$14$	$14^3 = 2744$	$19$	$19^3 = 6859$
$5$	$5^3 = 125$	$10$	$10^3 = 1000$	$15$	$15^3 = 3375$	$20$	$20^3 = 8000$

$n$	$n^3$	$n$	$n^3$
$1$	$1^3 = 1$	$11$	$11^3 = 1331$
$2$	$2^3 = 8$	$12$	$12^3 = 1728$
$3$	$3^3 = 27$	$13$	$13^3 = 2197$
$4$	$4^3 = 64$	$14$	$14^3 = 2744$
$5$	$5^3 = 125$	$15$	$15^3 = 3375$
$6$	$6^3 = 216$	$16$	$16^3 = 4096$
$7$	$7^3 = 343$	$17$	$17^3 = 4913$
$8$	$8^3 = 512$	$18$	$18^3 = 5832$
$9$	$9^3 = 729$	$19$	$19^3 = 6859$
$10$	$10^3 = 1000$	$20$	$20^3 = 8000$

Tabela sześcianów liczb od 1 do 20: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000, 11³ = 1331, 12³ = 1728, 13³ = 2197, 14³ = 2744, 15³ = 3375, 16³ = 4096, 17³ = 4913, 18³ = 5832, 19³ = 6859, 20³ = 8000 — Sześciany liczb od 1 do 20 — tabela

W tabelach kryje się ciekawostka. Liczba $64$ stoi w obu: jest kwadratem ósemki i sześcianem czwórki. To nie przypadek — $64 = 2^6$ , a szóstka dzieli się i przez $2$ , i przez $3$ : $64 = (2^3)^2 = 8^2$ oraz $64 = (2^2)^3 = 4^3$ . Następna taka liczba to $729 = 27^2 = 9^3$ , a potem $4096 = 64^2 = 16^3$ . Kalkulator na górze strony sprawdza to dla dowolnej liczby.

Jak poznać, czy liczba jest kwadratem innej liczby

Liczba jest kwadratem liczby naturalnej (mówi się: liczbą kwadratową), gdy da się ją zapisać jako $n \cdot n$ . Od 1 do $400$ jest ich tylko dwadzieścia — to właśnie druga kolumna tabeli wyżej. Dwie szybkie kontrole, zanim zaczniesz liczyć:

Ostatnia cyfra. Kwadrat liczby naturalnej kończy się tylko na $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ albo $9$ — bo tylko tak kończą się kwadraty cyfr $0$ – $9$ . Liczba zakończona na $2$ , $3$ , $7$ lub $8$ kwadratem być nie może: $123$ , $57$ ani $98$ nie sprawdzaj dalej.
Dwa sąsiednie kwadraty. Znajdź w tabeli kwadraty, między którymi leży liczba. $150$ leży między $12^2 = 144$ a $13^2 = 169$ , więc nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej. $196$ trafia dokładnie w $14^2$ .

Z sześcianami jest podobnie, tylko sześciany kończą się na każdą cyfrę, więc pierwsza kontrola nie działa — zostaje druga: $100$ leży między $4^3 = 64$ a $5^3 = 125$ , więc nie jest sześcianem liczby naturalnej.

4Potęgi a kolejność działań

W tym samym dziale, w którym pojawiają się kwadraty i sześciany, wchodzi też kolejność wykonywania działań — i to nie jest zbieg okoliczności. Potęgowanie zajmuje w tej kolejności wysokie miejsce: wykonuje się je przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem, a po nawiasach.

$2 + 3^2 = 2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{11}$ — najpierw potęga, potem dodawanie,
$(2 + 3)^2 = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$ — nawias zmienia wszystko,
$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = \textcolor{#E0453A}{18}$ — a nie $6^2 = 36$ .

Pierwsze dwa wiersze różnią się tylko nawiasem, a wyniki $11$ i $25$ nie są nawet blisko siebie. To najlepszy argument za tym, żeby nawiasy czytać uważnie.

Trzeci wiersz pokazuje pomyłkę subtelniejszą: liczba przed potęgą nie wchodzi pod nią. W zapisie $2 \cdot 3^2$ do kwadratu podnosi się wyłącznie trójka.

5Gdzie to wraca później

Kwadraty i sześciany nie są ciekawostką na jeden dział — to zapis, który wraca w każdej kolejnej klasie.

Pola figur — pole kwadratu to $a^2$ , i stąd biorą się jednostki kwadratowe.
Objętości brył — objętość sześcianu to $a^3$ , a jednostki są sześcienne.
Twierdzenie Pitagorasa w klasie siódmej — cała zależność $a^2 + b^2 = c^2$ stoi na kwadratach.
Pierwiastki — pierwiastek kwadratowy jest działaniem odwrotnym do podnoszenia do kwadratu, więc bez tabeli wyżej nie da się go liczyć w pamięci.
Potęgi w klasie siódmej — kwadrat i sześcian to po prostu wykładniki $2$ i $3$ , a reguł przybywa.

Dla ułamków działa dokładnie ta sama zasada, tylko trzeba pamiętać o obu piętrach — piszę o tym przy potęgowaniu ułamków. Tam pojawia się też zaskoczenie, którego przy liczbach naturalnych nie ma: kwadrat ułamka mniejszego od jedynki wychodzi mniejszy od niego samego.

6Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: rachunek podstawowy, porównanie kwadratu z sześcianem i zastosowanie geometryczne.

Przykład 1 Oblicz kwadrat i sześcian

Oblicz: a) $7^2$ , b) $4^3$ , c) $10^3$ .

a) Kwadrat to dwa takie same czynniki: $\textcolor{#16A06A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{49}$ .
b) Sześcian to trzy czynniki: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{4}$ . Liczę po kolei: $4 \cdot 4 = 16$ , a potem $16 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{64}$ .
c) $\textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{1000}$ . Przy dziesiątce jest wygodna reguła: wykładnik mówi, ile zer ma wynik.
Kontrola sensu dla b): gdyby ktoś pomnożył przez wykładnik, wyszłoby $4 \cdot 3 = 12$ . Sześcian czwórki musi być wyraźnie większy od samej czwórki i większy od jej kwadratu ( $16$ ) — $64$ spełnia oba warunki ✓
Warto zauważyć przy c), że $10^3 = 1000$ to dokładnie ten przelicznik, który pojawia się przy jednostkach objętości. Litr to z definicji decymetr sześcienny. Skoro w metrze mieści się dziesięć decymetrów, to w metrze sześciennym mieści się $10^3$ , czyli tysiąc litrów.

Odpowiedź: a) $49$ , b) $64$ , c) $1000$ .

Przykład 2 Co jest większe — dwa do sześcianu czy trzy do kwadratu

Porównaj $2^3$ i $3^2$ .

Liczę osobno: $2^3 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{8}$ .
Oraz $3^2 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Porównuję: $8 < 9$ , czyli $2^3 < 3^2$ .
Wynik jest pouczający, bo przeczy pierwszemu odruchowi. W $2^3$ wykładnik jest większy, więc kusi, żeby uznać tę potęgę za większą — ale decyduje cały rachunek, nie sam wykładnik.
Uwaga na pułapkę zapisu: $2^3$ i $3^2$ to różne liczby, mimo że użyto tych samych cyfr. Zamiana podstawy z wykładnikiem zmienia wynik. Wyjątkiem jest para $2^4 = 16$ i $4^2 = 16$ — tam akurat wychodzi tyle samo, i właśnie dlatego bywa cytowana jako ciekawostka.

Odpowiedź: $2^3 = 8$ , $3^2 = 9$ , więc $2^3 < 3^2$ .

Przykład 3 Pole kwadratu i objętość sześcianu

Kwadrat ma bok $12$ cm, a sześcian krawędź $5$ cm. Oblicz pole kwadratu i objętość sześcianu.

Pole kwadratu to bok do kwadratu: $P = \textcolor{#16A06A}{12}^2 = 12 \cdot 12 = \textcolor{#E0453A}{144}$ cm².
Objętość sześcianu to krawędź do sześcianu: $V = \textcolor{#16A06A}{5}^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{125}$ cm³.
Zwróć uwagę na jednostki — one same tłumaczą nazwy działań. Pole wyszło w centymetrach kwadratowych, bo mnożyliśmy dwie długości; objętość w sześciennych, bo trzy.
Kontrola sensu dla pola: $12$ to trochę więcej niż $10$ , a $10^2 = 100$ , więc wynik powinien być trochę większy od stu. $144$ pasuje ✓
Kontrola dla objętości: $5^3$ musi być większe od $5^2 = 25$ i mniejsze od $10^3 = 1000$ . $125$ mieści się w tym przedziale ✓

Odpowiedź: Pole kwadratu $= 144$ cm², objętość sześcianu $= 125$ cm³.

7Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki typowe dla tego tematu. Pierwsza jest najczęstsza w całej szkole podstawowej.

Mnożenie przez wykładnik zamiast przez samą liczbę

Skąd się bierze: Z $3^2$ powstaje $3 \cdot 2 = 6$ zamiast $9$ . Błąd utrwala się dlatego, że przy $2^2$ obie metody dają ten sam wynik $4$ — więc pierwszy sprawdzian metody wypada pomyślnie.

Jak zrobić dobrze: Rozpisuj mnożenie w całości, zanim policzysz: $3^2$ to $3 \cdot 3$ , a $4^3$ to $4 \cdot 4 \cdot 4$ . Wykładnik mówi, ile razy liczba stoi jako czynnik, a nie przez ile mnożymy.

Zamiana podstawy z wykładnikiem

Skąd się bierze: $2^3$ i $3^2$ zawierają te same cyfry, więc bywają mylone. Wyniki to jednak $8$ i $9$ — liczby różne, choć blisko siebie, co dodatkowo utrudnia zauważenie pomyłki.

Jak zrobić dobrze: Czytaj zapis na głos: „dwa do sześcianu” to trzy dwójki, „trzy do kwadratu” to dwie trójki. Podstawa stoi na dole i to ją mnożymy; wykładnik u góry tylko liczy czynniki.

Mylenie kwadratu z podwojeniem

Skąd się bierze: „Do kwadratu” brzmi jak „dwa razy”, więc z $6^2$ robi się $12$ . To ta sama pomyłka co pierwsza, tylko ubrana w słowa — a przez to trudniejsza do zauważenia, bo uczeń jest przekonany, że rozumie polecenie.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź na kwadracie o boku $6$ : mieści się w nim $36$ kwadracików jednostkowych, a nie $12$ . Geometria rozstrzyga ten spór natychmiast.

Wciąganie sąsiedniej liczby pod potęgę

Skąd się bierze: Zapis $2 \cdot 3^2$ bywa liczony jako $6^2 = 36$ . Do kwadratu podnosi się wyłącznie ta liczba, przy której stoi wykładnik — czyli trójka. Poprawnie: $2 \cdot 9 = 18$ .

Jak zrobić dobrze: Jeśli potęgowana ma być cała suma albo cały iloczyn, musi stać w nawiasie: $(2 \cdot 3)^2$ . Bez nawiasu wykładnik dotyczy tylko najbliższej liczby.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Kwadraty i sześciany liczb — kartkówka, klasa 4

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Potęgi, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klasy 7: potęga jako iloczyn, potęgi liczb ujemnych, mnożenie i dzielenie potęg, potęga potęgi, notacja…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Ile to jest 3 do kwadratu?

Dziewięć, bo trzy do kwadratu znaczy trzy razy trzy. Częsty błąd to policzenie trzy razy dwa, czyli sześć — wykładnik mówi jednak, ile razy liczba stoi jako czynnik, a nie przez ile ją mnożymy.

Dlaczego mówi się „kwadrat” i „sześcian” liczby?

Bo tyle wynosi pole kwadratu o takim boku i objętość sześcianu o takiej krawędzi. Kwadrat o boku pięć ma pole dwadzieścia pięć, a sześcian o krawędzi pięć ma objętość sto dwadzieścia pięć. Nazwy biorą się wprost z geometrii.

Czym różni się 2 do sześcianu od 3 do kwadratu?

Dwa do sześcianu to dwa razy dwa razy dwa, czyli osiem. Trzy do kwadratu to trzy razy trzy, czyli dziewięć. Choć użyto tych samych cyfr, wyniki są różne — zamiana podstawy z wykładnikiem zmienia liczbę.

Jakie kwadraty warto znać na pamięć?

Co najmniej do piętnastu: jeden, cztery, dziewięć, szesnaście, dwadzieścia pięć, trzydzieści sześć, czterdzieści dziewięć, sześćdziesiąt cztery, osiemdziesiąt jeden, sto, sto dwadzieścia jeden, sto czterdzieści cztery, sto sześćdziesiąt dziewięć, sto dziewięćdziesiąt sześć i dwieście dwadzieścia pięć. Wracają przy polach, pierwiastkach i twierdzeniu Pitagorasa.

Czy jakaś liczba jest jednocześnie kwadratem i sześcianem?

Tak. Sześćdziesiąt cztery to kwadrat ósemki i zarazem sześcian czwórki. Podobnie siedemset dwadzieścia dziewięć jest kwadratem dwudziestu siedmiu i sześcianem dziewiątki. Takie liczby powstają, gdy w rozkładzie występuje sześć jednakowych czynników.

Co liczymy najpierw: potęgę czy mnożenie?

Potęgę. W kolejności działań potęgowanie stoi wyżej niż mnożenie i dzielenie, a niżej tylko od nawiasów. Dlatego dwa razy trzy do kwadratu to dwa razy dziewięć, czyli osiemnaście, a nie sześć do kwadratu.

Jakie są kwadraty liczb do 20?

Od $1$ do $10$ : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ . Od $11$ do $20$ : $121$ , $144$ , $169$ , $196$ , $225$ , $256$ , $289$ , $324$ , $361$ , $400$ . Pełna tabela z sześcianami jest w sekcji 3.

Jak sprawdzić, czy liczba jest kwadratem innej liczby?

Spójrz na ostatnią cyfrę: kwadrat liczby naturalnej kończy się tylko na $0, 1, 4, 5, 6$ lub $9$ . Potem znajdź dwa sąsiednie kwadraty w tabeli — $250$ leży między $15^2 = 225$ a $16^2 = 256$ , więc nie jest kwadratem. Kalkulator na górze strony sprawdza to od razu, także dla ułamków.

Grafiki z powiązanych tematów

Liczby naturalne

Potęgi

Potęgi i pierwiastki — wszystkie tematy

Wzory, działania na potęgach i pierwiastkach oraz liczby niewymierne — cały dział w jednym miejscu.

Potęgi

Potęgi — wzory i działania
Potęgowanie i pierwiastkowanie
Kwadraty i sześciany liczb (ta strona)
Dodawanie i odejmowanie potęg
Mnożenie i dzielenie potęg
Potęgowanie ułamków
Notacja wykładnicza

Pierwiastki

Czytaj dalej

Liczby naturalneDział nadrzędny — układ pozycyjny i zaokrąglanie Kolejność działańPotęgowanie przed mnożeniem, po nawiasach Potęgowanie ułamkówTa sama zasada dla ułamków — i jedno zaskoczenie PotęgiDalszy ciąg tematu w klasie siódmej Matematyka klasa 4Rocznik, w którym temat się pojawia

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.