Strona główna › Liczby i działania › Zaznaczanie zbiorów na osi liczbowej

Zaznaczanie zbiorów na osi liczbowej

Zaznaczyć zbiór na osi liczbowej to pokazać na rysunku wszystkie liczby spełniające dany warunek — i tylko je. Cała umiejętność sprowadza się do trzech decyzji: gdzie postawić granicę, w którą stronę pomalować oraz czy kółko na granicy ma być puste, czy zamalowane. Ta ostatnia decyzja odpowiada za większość utraconych punktów.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 7–8 i liceum

Wyłącz kolory

1Trzy decyzje przy każdym zaznaczaniu

Zbiór opisany jedną nierównością zaznacza się zawsze tak samo, w trzech krokach:

1. Granica — liczba, przy której warunek przestaje być spełniony. Dla $x \geqslant 3$ granicą jest $3$.
2. Kierunek — w którą stronę leżą liczby spełniające warunek. Sprawdza się to jedną próbą: podstawiamy dowolną liczbę i patrzymy, czy warunek zachodzi.
3. Rodzaj kółka — zamalowane, gdy granica należy do zbioru ($\leqslant$, $\geqslant$), puste, gdy nie należy ($<$, $>$).

Kierunku nie warto zgadywać ze znaku nierówności — znak $\geqslant$ wygląda, jakby „wskazywał w lewo”, a zbiór $x \geqslant 3$ leży w prawo. Pewniejszy jest test podstawieniem: dla $x \geqslant 3$ biorę $x = 10$, sprawdzam $10 \geqslant 3$ ✓, więc dziesiątka należy do zbioru i maluję w prawo.

Zamalowanego kółka nie da się „dorysować na wszelki wypadek”. Zbiory $x > 3$ i $x \geqslant 3$ różnią się dokładnie jedną liczbą, ale w zadaniach o dziedzinie funkcji albo o rozwiązaniach nierówności ta jedna liczba bywa całą odpowiedzią.

2Warunki z wartością bezwzględną

Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymienia wprost dwa typy warunków do zaznaczania na osi: taki jak $x \geqslant 3$ oraz taki jak $|x| < 5$. Drugi typ ma czytelną interpretację, którą warto mieć zamiast wzoru.

$|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi. Dlatego:

Zapamiętać wystarczy jedno zdanie: znak „mniejsze” daje jeden kawałek w środku, znak „większe” daje dwa kawałki po bokach. Przy „mniejsze” zbiór jest ograniczony z obu stron, przy „większe” — rozciąga się w nieskończoność w obie strony.

3Dwa warunki naraz — „i” kontra „lub”

Gdy warunków jest dwa, rozstrzygający jest spójnik między nimi:

• „i” (koniunkcja) — zbiór to część wspólna. Zaznaczamy oba zbiory osobno i bierzemy tylko to, co pokrywa się na obu rysunkach.
• „lub” (alternatywa) — zbiór to suma. Bierzemy wszystko, co zostało zaznaczone choć na jednym z rysunków.

Warunek $x > -1$ i $x \leqslant 4$ daje odcinek od $-1$ do $4$ z pustym kółkiem po lewej i zamalowanym po prawej. Ten sam zapis w postaci łańcuchowej wygląda tak: $-1 < x \leqslant 4$.

Uwaga: łańcucha wolno używać tylko przy koniunkcji. Zbiór $x \leqslant -3$ lub $x \geqslant 3$ nie ma zapisu łańcuchowego. Próba zapisania go jako $3 \leqslant x \leqslant -3$ opisuje zbiór pusty, bo żadna liczba nie jest jednocześnie większa od $3$ i mniejsza od $-3$.

Warto też sprawdzać, czy część wspólna nie okazała się pusta. Warunek $x > 5$ i $x < 2$ nie ma ani jednego rozwiązania — na osi nie zaznacza się wtedy nic, a odpowiedź brzmi „zbiór pusty”, nie „cała oś”.

4Z rysunku do zapisu — droga odwrotna

Egzaminy równie często pytają w drugą stronę: dany jest rysunek, trzeba podać warunek. Kolejność czynności jest lustrzana:

1. Odczytaj granice — liczby, przy których zaczyna się i kończy zamalowanie.
2. Sprawdź kółka: puste to $<$ albo $>$, zamalowane to $\leqslant$ albo $\geqslant$.
3. Sprawdź, czy kawałek jest jeden (wtedy zapis łańcuchowy albo z „i”), czy dwa (wtedy „lub”).
4. Jeśli oba kawałki są symetryczne względem jakiejś liczby, zapis z modułem będzie krótszy.

Symetria to skrót, który warto zauważyć. Zbiór złożony z dwóch półprostych, odchodzących od $-3$ w lewo i od $3$ w prawo, to po prostu $|x| \geqslant 3$. Odcinek od $-2$ do $6$ ma środek w $\dfrac{-2+6}{2} = 2$ i sięga na $4$ w każdą stronę, więc to $|x - 2| \leqslant 4$.

Kontrola zapisu jest zawsze ta sama: wybierz jedną liczbę z zaznaczonego obszaru i jedną spoza, po czym podstaw obie do swojego warunku. Pierwsza musi go spełniać, druga nie. Jeśli obie spełniają albo obie nie, zapis jest zły.

5W której klasie się to pojawia

Sama oś liczbowa i zaznaczanie na niej pojedynczych liczb to klasy IV–VI: najpierw liczby naturalne, potem ułamki i liczby ujemne.

Zaznaczanie zbiorów opisanych warunkiem wchodzi w klasach VII–VIII — podstawa programowa wymienia tu zarówno prostą nierówność, jak i warunek z wartością bezwzględną. Na egzaminie ósmoklasisty pojawia się to najczęściej jako zadanie zamknięte: cztery rysunki, jeden pasuje do podanego warunku.

W liceum ten sam materiał wraca pod nazwą przedziałów liczbowych — zmienia się głównie zapis (nawiasy zamiast rysunku), a sens zostaje ten sam: kółko puste odpowiada nawiasowi okrągłemu, kółko zamalowane — kwadratowemu. Później dochodzą zbiory rozwiązań nierówności kwadratowych i wymiernych, gdzie oś służy już tylko jako narzędzie zapisu odpowiedzi.

6Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: prosta nierówność, moduł ze znakiem „mniejsze”, moduł ze znakiem „większe” i moduł z przesuniętym środkiem.

7Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą kółek i kierunku, trzy kolejne — wartości bezwzględnej.

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.