Strona główna › Liczby i działania › Rodzaje liczb — mapa zbiorów

Rodzaje liczb — mapa zbiorów

Rodzaje liczb nie są listą osobnych szufladek — są zbiorami zawierającymi się jeden w drugim, jak matrioszki. Liczba 55 należy do wszystkich naraz, a 2\sqrt{2} tylko do największego. Ta strona pokazuje mapę tych zbiorów i uczy najbardziej praktycznej umiejętności: rozpoznawania, gdzie leży konkretna liczba.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–8Zadań z E8: 4

Krótko: Liczby naturalne zawierają się w całkowitych, całkowite w wymiernych, a wymierne w rzeczywistych: N ⊂ C ⊂ W ⊂ R. Liczby niewymierne, takie jak √2 i π, nie dają się zapisać ułamkiem.

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

Sprawdzarka: do jakiego zbioru należy liczba?

Wpisz np. 5, −3, 2,5, −3/4, 0,(3) (okresowa), √2, √16 albo π. Sprawdzarka najpierw oblicza wartość, a dopiero potem klasyfikuje — jak w przepisie z sekcji 2.

1Mapa zbiorów — jedno w drugim

Kolejne zbiory liczb nie stoją obok siebie. Każdy następny zawiera cały poprzedni i dokłada coś nowego.

naturalne⊂całkowite⊂wymierne⊂rzeczywiste\textcolor{#16A06A}{\text{naturalne}} \subset \textcolor{#2F80D8}{\text{całkowite}} \subset \textcolor{#8B5CF6}{\text{wymierne}} \subset \textcolor{#E0453A}{\text{rzeczywiste}}
zbiórco obejmujeco dokłada wobec poprzedniego
naturalne00, 11, 22, 33, …— (punkt wyjścia)
całkowitenaturalne i ujemneliczby ujemne: −1-1, −2-2, −3-3
wymiernecałkowite i ułamkiułamki, które nie są całkowite, np. 12\frac{1}{2} oraz −2,5-2{,}5
rzeczywistewymierne i niewymierneliczby bez zapisu ułamkowego, np. 2\sqrt{2}
Mapa zbiorów liczb: naturalne (0, 1, 5) wewnątrz całkowitych (−1, −3), te wewnątrz wymiernych (2,5 i minus trzy czwarte), te wewnątrz rzeczywistych; obok wymiernych pas liczb niewymiernych (pierwiastek z 2, pi)ℝ rzeczywisteℚ wymierneℤ całkowiteℕ naturalne015−1−32,5−34niewymierne√2π
Rysunek 1. Mapa zbiorów: każdy zbiór leży w całości wewnątrz następnego, N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Liczba stoi w najwęższym zbiorze, do którego należy, i automatycznie w każdym szerszym: 55 jest naturalna, więc też całkowita, wymierna i rzeczywista. Prawy pas to liczby niewymierne — rzeczywiste, ale spoza Q\mathbb{Q}.
Zbiory liczb jeden w drugim: liczby naturalne ℕ (0, 5, 11, 17, 100) wewnątrz całkowitych ℤ (−3, −7, −25), te wewnątrz wymiernych ℚ (1/2, −2,5, 0,(3), −3/4), a wszystko wewnątrz rzeczywistych ℝ (√2, π, −√3)
Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych z przykładami

Z tego układu wynika reguła, która rozstrzyga większość zadań typu prawda–fałsz: każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, każda wymierna jest rzeczywista — ale nigdy odwrotnie.

Dlaczego całkowite są wymierne? Bo każdą z nich da się zapisać ułamkiem o mianowniku jeden: −4=−41-4 = \frac{-4}{1}. Definicja liczby wymiernej mówi bowiem o ilorazie dwóch liczb całkowitych (przy mianowniku różnym od zera), a nie o tym, że ułamek musi „wyglądać jak ułamek”.

Po co w ogóle te rozszerzenia — czyli dlaczego zbiór liczb powiększa się przez całą szkołę i co konkretnie stawało się dzięki temu wykonalne — opisuję na stronie działu. Tutaj skupiam się na samej mapie i na rozpoznawaniu.

2Jak rozpoznać, do którego zbioru należy liczba

To najczęstsze zadanie w tym temacie i ma niezawodny przepis: idź od najwęższego zbioru do najszerszego i zatrzymaj się na pierwszym pasującym.

  1. Czy to liczba całkowita bez znaku minus? Jeśli tak — jest naturalna (i wszystkie pozostałe też).
  2. Czy to liczba całkowita? Jeśli tak, a ma minus — jest całkowita, ale nie naturalna.
  3. Czy da się ją zapisać ułamkiem zwykłym? Jeśli tak — jest wymierna.
  4. Jeśli nie — jest niewymierna, a więc tylko rzeczywista.

Zapis nie decyduje — decyduje wartość

9\sqrt{9} wygląda na liczbę niewymierną, a jest naturalna, bo równa się 33.

63\frac{6}{3} wygląda na ułamek, a jest naturalna, bo równa się 22.

−82\frac{-8}{2} wygląda na ułamek, a jest całkowita, bo równa się −4-4.

Zawsze najpierw oblicz, potem klasyfikuj. Ta jedna zasada eliminuje większość błędów w tym temacie.

Rodzaje liczb — najpierw oblicz, potem klasyfikuj: √9 = 3 to liczba naturalna, 6/3 = 2 naturalna, −8/2 = −4 całkowita, 0,333… = 1/3 wymierna, √2 = 1,41421… niewymierna
Zapis nie decyduje — o rodzaju liczby decyduje jej wartość

Oto ta sama zasada w tabeli — sześć liczb i ich przynależność:

liczbanaturalnacałkowitawymiernarzeczywista
55✓✓✓✓
00✓✓✓✓
−3-3✗✓✓✓
2,52{,}5✗✗✓✓
−34-\frac{3}{4}✗✗✓✓
2\sqrt{2}✗✗✗✓

Zwróć uwagę na kształt tabeli: znaczki ✓ tworzą schodki. To bezpośredni obraz zawierania się zbiorów — raz zaczęte „tak” już się nie kończy.

Tabela przynależności liczb do zbiorów: 5 i 0 są naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste; −3 całkowita, wymierna i rzeczywista; 2,5 i −3/4 wymierne i rzeczywiste; √2 tylko rzeczywista
Do jakiego zbioru należy liczba — tabela ze schodkami
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Liczby rzeczywiste” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Liczby rzeczywiste — cały dział, liceum, klasa 1 (10 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Liczby rzeczywiste”10 arkuszy w jednym pliku16,90 zł39,00 zł−22,10 złLiceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 16,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Skąd biorą się symbole ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

W zadaniach i podręcznikach zbiory oznacza się literami, które nie są przypadkowe.

symbolzbiórskąd litera
N\mathbb{N}liczby naturalnełac. naturalis
Z\mathbb{Z}liczby całkowiteniem. Zahlen — liczby
Q\mathbb{Q}liczby wymiernewł. quoziente — iloraz
R\mathbb{R}liczby rzeczywistełac. realis — rzeczywisty

Litera Q\mathbb{Q} tłumaczy się najciekawiej: iloraz — bo liczba wymierna to właśnie iloraz dwóch liczb całkowitych. Symbol niesie w sobie definicję.

Zapis 5∈N5 \in \mathbb{N} czytamy „pięć należy do zbioru liczb naturalnych”, a N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} — „zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych”.

W szkole podstawowej symbole te pojawiają się rzadko i nie trzeba ich znać na pamięć — ale warto je rozpoznawać, bo w liceum stają się codziennością.

Symbole zbiorów liczb: ℕ — liczby naturalne (łac. naturalis), ℤ — całkowite (niem. Zahlen), ℚ — wymierne (wł. quoziente, iloraz), ℝ — rzeczywiste (łac. realis); zapis 5 ∈ ℕ i ℕ ⊂ ℤ
Symbole ℕ, ℤ, ℚ, ℝ i skąd się wzięły

4Liczby niewymierne — ostatni krok

Przez większość szkoły wystarczają liczby wymierne. Aż do momentu, w którym pojawia się pierwiastkowanie.

Definicję, przykłady, dowód dla √2 i działania na takich liczbach opisujemy osobno na stronie liczby niewymierne.

Okazuje się wtedy, że 2\sqrt{2} nie da się zapisać żadnym ułamkiem. Jej rozwinięcie dziesiętne 1,41421356…1{,}41421356\ldots nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza — i to jest definicja liczby niewymiernej.

Najbardziej znane liczby niewymierne to 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5} oraz π≈3,14159…\pi \approx 3{,}14159\ldots, którą spotykasz przy kole i okręgu.

Ostrożnie: nie każdy pierwiastek jest niewymierny

9=3\sqrt{9} = 3 i 16=4\sqrt{16} = 4 — obie naturalne. Spośród pierwiastków z liczb naturalnych niewymierne są dokładnie te, w których liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Odwrotna pułapka też działa: 0,333…0{,}333\ldots ma rozwinięcie nieskończone, ale jest wymierna, bo się powtarza — to po prostu 13\frac{1}{3}.

To materiał na pograniczu programu

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie ma osobnego działu o liczbach niewymiernych ani rzeczywistych — nie ma też wymagania, żeby uczeń je klasyfikował.

Uczeń spotyka je jednak w praktyce, w dziale o pierwiastkach, gdzie mowa o porównywaniu wyrażeń z pierwiastkami z liczbami wymiernymi.

Uporządkowanie całej mapy zbiorów należy do liceum. W podstawówce wystarczy wiedzieć, że takie liczby istnieją i że 2\sqrt{2} nie jest ułamkiem.

5Gdzie szukać szczegółów

Ta strona jest mapą. Każdy zbiór ma własne zagadnienia, które opisuję osobno.

Kolejność, w jakiej te zbiory pojawiają się w szkole, oraz powód każdego rozszerzenia opisuję na stronie działu — tam jest oś czasu, tutaj mapa.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: klasyfikacja z pułapkami, zdania prawda–fałsz i liczba na granicy zbiorów.

Przykład 1 Klasyfikacja z pułapkami

Do których zbiorów należą liczby: 9\sqrt{9}, 63\frac{6}{3}, −2,5-2{,}5, 2\sqrt{2}?

  1. 9\sqrt{9} — najpierw obliczam: 9=3\sqrt{9} = 3. To liczba naturalna, więc także całkowita, wymierna i rzeczywista.
  2. 63\frac{6}{3} — obliczam: 63=2\frac{6}{3} = 2. Zapis ułamkowy, ale wartość naturalna — należy do wszystkich czterech zbiorów.
  3. −2,5-2{,}5 — nie jest całkowita (ma część ułamkową) ani naturalna (jest ujemna). Da się ją zapisać jako −52-\frac{5}{2}, więc jest wymierna i rzeczywista.
  4. 2\sqrt{2} — dwójka nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Jego rozwinięcie 1,41421356…1{,}41421356\ldots nie powtarza się, więc liczba jest niewymierna — należy tylko do rzeczywistych.
  5. Kontrola: dla każdej liczby znaczki „tak” tworzą nieprzerwany ciąg od któregoś miejsca do końca — nigdy dziurę w środku ✓

Odpowiedź: 9\sqrt{9} i 63\frac{6}{3} — wszystkie zbiory; −2,5-2{,}5 — wymierna i rzeczywista; 2\sqrt{2} — tylko rzeczywista.

Pierwsze dwie liczby są pułapkami zbudowanymi na zapisie: pierwiastek sugeruje niewymierność, kreska ułamkowa sugeruje ułamek. Obliczenie wartości przed klasyfikacją rozbraja obie w sekundę.

Przykład 2 Prawda czy fałsz

Oceń zdania: (a) każda liczba całkowita jest wymierna, (b) każda liczba wymierna jest całkowita, (c) 00 jest liczbą całkowitą, (d) 16\sqrt{16} jest niewymierna.

  1. (a) Prawda. Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek o mianowniku 11, na przykład −4=−41-4 = \frac{-4}{1}.
  2. (b) Fałsz. Odwrócenie zdania (a) nie działa — 2,52{,}5 jest wymierna, ale nie całkowita.
  3. (c) Prawda. Zero należy do liczb całkowitych, i to bez żadnych wątpliwości.
  4. (d) Fałsz. 16=4\sqrt{16} = 4, czyli liczba naturalna. Niewymierne są tylko pierwiastki z liczb niebędących kwadratami.
  5. Kontrola (a) i (b) razem: tutaj tylko jedno z nich może być prawdziwe, bo zbiór liczb całkowitych zawiera się w wymiernych i jest od nich mniejszy ✓

Odpowiedź: (a) prawda, (b) fałsz, (c) prawda, (d) fałsz

Zdania (a) i (b) różnią się tylko kolejnością dwóch słów, a mają przeciwne wartości logiczne. To najczęstszy schemat pytań o rodzaje liczb — i ten sam mechanizm, co przy „każdy kwadrat jest rombem”. Uwaga: „z takiej pary jedno musi być prawdziwe” nie jest regułą ogólną. Działa tylko wtedy, gdy jeden zbiór zawiera się w drugim. Gdy zbiory się krzyżują, fałszywe są oba zdania — jak przy „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” i „każda nieparzysta jest pierwsza”.

Przykład 3 Liczba na granicy

Czy 0,333…0{,}333\ldots (trójka w nieskończoność) jest liczbą wymierną?

  1. Rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone — co kusi, żeby uznać liczbę za niewymierną.
  2. Ale kryterium nie brzmi „nieskończone”, tylko „nieskończone i nieokresowe”.
  3. Tutaj cyfry się powtarzają: trójka w kółko. To rozwinięcie okresowe.
  4. Każde rozwinięcie okresowe da się zamienić na ułamek zwykły — akurat to jest równe 13\frac{1}{3}.
  5. Skoro liczba jest ilorazem dwóch liczb całkowitych, jest wymierna.
  6. Kontrola: 1:3=0,333…1 : 3 = 0{,}333\ldots ✓ Więcej o takich rozwinięciach piszę przy zamianie ułamków na dziesiętne.

Odpowiedź: Tak — 0,333…=130{,}333\ldots = \frac{1}{3} jest liczbą wymierną.

Dla kontrastu 0,1010010001…0{,}1010010001\ldots, gdzie po każdej jedynce dochodzi jedno zero więcej, jest niewymierna — rozwinięcie nie kończy się i nie ma okresu. Sama nieskończoność niczego nie przesądza.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą odwracania zdań i zapisu, dwa kolejne rozpoznawania liczb niewymiernych.

Odwracanie zdania o zawieraniu zbiorów

Skąd się bierze: Z prawdziwego „każda liczba całkowita jest wymierna” robi się fałszywe „każda wymierna jest całkowita”. Zbiory zawierają się w jedną stronę — wystarczy kontrprzykład 2,52{,}5, żeby obalić odwrócenie.

Jak zrobić dobrze: Czytaj mapę zawsze od węższego do szerszego: naturalne → całkowite → wymierne → rzeczywiste. Zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy idzie w tę stronę. W drugą szukaj kontrprzykładu.

Klasyfikowanie po zapisie zamiast po wartości

Skąd się bierze: 9\sqrt{9} zostaje uznane za niewymierne, bo ma pierwiastek, a 63\frac{6}{3} za ułamek, bo ma kreskę. Obie są liczbami naturalnymi — 33 i 22. O rodzaju decyduje wartość, nie wygląd.

Jak zrobić dobrze: Najpierw oblicz, potem klasyfikuj. Jeśli wyrażenie da się uprościć, zrób to zanim odpowiesz — to jedna zasada, która rozbraja większość pułapek w tym temacie.

Uznanie każdego nieskończonego rozwinięcia za niewymierne

Skąd się bierze: 0,333…0{,}333\ldots ma nieskończenie wiele cyfr, więc trafia do niewymiernych. Tymczasem liczy się, czy rozwinięcie jest okresowe — a to jest, bo trójka się powtarza. To po prostu 13\frac{1}{3}.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj dwa warunki naraz: rozwinięcie musi być nieskończone i nieokresowe. Sam brak końca nie wystarcza — okres oznacza liczbę wymierną.

Uznanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną

Skąd się bierze: 16\sqrt{16} zostaje wzięte za niewymierne, choć równa się 44. Spośród pierwiastków z liczb naturalnych niewymierne są dokładnie te, w których liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Jak zrobić dobrze: Zanim uznasz pierwiastek z liczby naturalnej za niewymierny, sprawdź, czy liczba pod nim nie jest kwadratem: 00, 11, 44, 99, 1616, 2525, 3636, 4949, 6464, 8181, 100100. Jeśli jest — pierwiastek jest liczbą naturalną.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami (−26)\left(-\dfrac{2}{6}\right) oraz (−16)\left(-\dfrac{1}{6}\right) znajduje się liczba
Oś liczbowa z podziałką co 1/6 i zaznaczonym przedziałem między −2/6 a −1/6−1−2/6−1/60
  • A. −14-\dfrac{1}{4}
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. −512-\dfrac{5}{12}
  • D. −12-\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
  2. Granice przedziału: −26=−0,33…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots} oraz −16=−0,16…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}
  3. A. −14=−0,25-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25} — leży między −0,33\textcolor{#16A06A}{-0{,}33} a −0,17\textcolor{#16A06A}{-0{,}17} ✓
  4. B. −13=−0,33…-\dfrac13 = -0{,}33\ldots — to dokładnie granica (bo 13=26\tfrac13 = \tfrac26), więc nie leży *między* ✗
  5. C. −512≈−0,42-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42 — za daleko w lewo ✗  ·  D. −12=−0,5-\dfrac12 = -0{,}5 — jeszcze dalej ✗
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to (−412,−212)\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right), a odpowiedzi to −312-\tfrac{3}{12}, −412-\tfrac{4}{12}, −512-\tfrac{5}{12}, −612-\tfrac{6}{12}. Od razu widać, że pasuje tylko −312-\tfrac{3}{12}.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór −13-\tfrac13, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu −26=−13-\tfrac26 = -\tfrac13 — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 2 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia (1−56)−0,5\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5 znajduje się między
  • A. −1-1 i −0,5-0{,}5
  • B. −0,5-0{,}5 i 00
  • C. 00 i 0,50{,}5
  • D. 0,50{,}5 i 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw liczymy nawias: 1−56=161 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}.
  2. Teraz odejmujemy 0,5=12=360{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  3. 16−36=−26=−13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  4. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: −13≈−0,33-\dfrac13 \approx -0{,}33.
  5. Ta liczba leży między −0,5-0{,}5 a 00 — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią (16\tfrac16), a odejmujemy od niej 0,50{,}5 — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako 56\tfrac56 (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 3 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba 120\sqrt{120} znajduje się na osi liczbowej między
  • A. 1010 i 1111
  • B. 1111 i 1212
  • C. 1212 i 2020
  • D. 3030 i 4040
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
  2. 102=100\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}  oraz  112=121\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}.
  3. Skoro 100<120<121\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}, to po spierwiastkowaniu: 10<120<11\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}.
  4. Odpowiedź A.
  5. Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż 121\textcolor{#E0453A}{121}, więc 120≈10,95\sqrt{120} \approx 10{,}95.

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza 112=12111^2 = 121, 122=14412^2 = 144, 132=16913^2 = 169, 152=22515^2 = 225. Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 4 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb   0\;0,   34\;\dfrac{3}{4},   −52\;-\dfrac{5}{2},   −2  \;-2\; jest równa
Oś liczbowa z liczbami −5/2, −2, 0 i 3/4−3−2−101−5/2−203/4
  • A. 1341\dfrac{3}{4}
  • B. 3143\dfrac{1}{4}
  • C. 2342\dfrac{3}{4}
  • D. 1141\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: 00,  34=0,75\tfrac34 = 0{,}75,  −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5,  −2-2.
  2. Rosnąco: −2,5<−2<0<0,75-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75.
  3. Największa to 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}, najmniejsza to −52\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}.
  4. Odległość =34−(−52)=0,75+2,5=3,25= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25.
  5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3,25=3143{,}25 = 3\dfrac{1}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5 jest mniejsze od −2-2, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie −2-2 za najmniejszą (bo 2<2,52 < 2{,}5 „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby 2342\tfrac34 — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. A4. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: ułamki zwykłe i dziesiętne, porównywanie, liczby przeciwne i odwrotne, działania, potęgi. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Jakie są rodzaje liczb?

Naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste — przy czym każdy następny zbiór zawiera cały poprzedni. Naturalne to 00, 11, 22, …; całkowite dokładają ujemne; wymierne dokładają ułamki; rzeczywiste dokładają liczby niewymierne, jak 2\sqrt{2}.

Czy 0 jest liczbą rzeczywistą?

Tak. Zero jest liczbą całkowitą, a w szkolnej konwencji z tej strony także naturalną — więc należy do wszystkich czterech zbiorów: 0∈N0 \in \mathbb{N}, 0∈Z0 \in \mathbb{Z}, 0∈Q0 \in \mathbb{Q} (bo 0=010 = \frac{0}{1}) i 0∈R0 \in \mathbb{R}. Nie jest natomiast liczbą niewymierną.

Czy każda liczba całkowita jest wymierna?

Tak, bo każdą da się zapisać jako ułamek o mianowniku jeden: −4=−41-4 = \frac{-4}{1}. Odwrotnie już nie — 2,52{,}5 jest wymierna, ale nie całkowita. Zawieranie zbiorów działa tylko w jedną stronę.

Jak sprawdzić, do którego zbioru należy liczba?

Najpierw oblicz jej wartość, potem idź od najwęższego zbioru do najszerszego i zatrzymaj się na pierwszym pasującym. 9\sqrt{9} to 33, więc jest naturalna — mimo pierwiastka w zapisie.

Co oznaczają symbole ℕ, ℤ, ℚ i ℝ?

Kolejno zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. Z\mathbb{Z} pochodzi od niemieckiego Zahlen (liczby), a Q\mathbb{Q} od włoskiego quoziente (iloraz) — bo liczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitych.

Czy 0,333… jest liczbą wymierną?

Tak — to 13\frac{1}{3}. Rozwinięcie jest wprawdzie nieskończone, ale okresowe, a niewymierność wymaga rozwinięcia nieskończonego i nieokresowego. Sam brak końca niczego nie przesądza.

Czy liczby niewymierne są w programie szkoły podstawowej?

Nie mają osobnego działu w podstawie programowej ani wymagania klasyfikowania. Uczeń spotyka je w praktyce przy pierwiastkach — 2\sqrt{2} nie da się zapisać ułamkiem. Uporządkowanie całej mapy zbiorów należy do liceum.

Czytaj dalej

Liczby i działaniaOś czasu: kiedy w szkole pojawia się każdy rodzaj liczb i dlaczegoLiczby całkowiteLiczby ujemne, oś liczbowa i reguły znakówLiczby pierwszePodział liczb naturalnych według liczby dzielnikówPierwiastkowanieTu pojawiają się liczby niewymierneInterpretacja geometryczna liczby zespolonejPłaszczyzna Gaussa, moduł i argument liczby zespolonej oraz mnożenie…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25